专题01 圆的相关概念（重难点讲义）数学新教材苏科版九年级上册

专题01 圆的相关概念 1.理解圆的集合定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，会识别圆心、半径。 2.理解弦、直径、弧、半圆、优弧、劣弧、圆心角、同心圆、等圆的概念；掌握同圆或等圆的半径相等，能利用该结论进行简单线段相等的推理，体会几何推理的基本格式。 3.能在图形中准确找出弦、直径、各类弧、圆心角，辨析圆的相关元素，提升识图能力。 4.感受圆在现实生活中的广泛存在，激发对圆知识的探究兴趣，在识别图形元素的过程中，养成仔细观察图形的习惯。 圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫作圆（cirle）。其中，定点叫作圆心（entre of cirle），定长叫作半径（radius）。以点O为圆心的圆，记作 “⊙O”，读作 “圆O”。 连接圆上任意两点的线段叫作弦（chord）。 经过圆心的弦叫作直径（diameter）。 弧（半圆、优弧、劣弧）的相关概念： 圆上任意两点间的曲线段叫作圆弧，简称弧（arc），用符号“⌒”表示，读作“弧AC”。 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成长度相等的两条弧，每条弧都叫作半圆。 大于半圆的弧叫作优弧（major arc），小于半圆的弧叫作劣弧（minor arc）。 顶点在圆心的角叫作圆心角（central angle）。 圆心相同，半径不相等的两个圆叫作同心圆（concentricl circles）。 半径相等的两个圆叫作等圆（equal circles）。 结论：同圆或等圆的半径相等。 注意： （1）判断是否为弦：看线段两个端点是否都在圆上；直径是特殊的弦。 （2）表示优弧必须用三个字母，劣弧可用两个字母。 （3）证明线段相等，优先考虑使用同圆或等圆的半径相等。 题型01 圆的相关概念 【典例】（25-26九年级上·江苏南京·开学考试）下列说法：①同一圆上的点到圆心的距离相等；②如果某几个点到一个定点的距离相等，则这几个点共圆；③半径确定了，圆就确定了，其中正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【详解】解：同一圆上的点到圆心的距离相等，且都等于半径，故①正确； 如果某几个点到一个定点的距离相等，则这几个点共圆，故②正确； 圆心和半径共同确定一个圆，半径确定了，圆心位置不确定，圆也不能确定，故③错误．故选：A． 【变式1】（25-26九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）在观看马戏表演的时候，人们一般都会围成圆形．这是应用了圆特征中（    ） A．圆心决定圆的位置 B．半径决定圆的大小 C．同圆中的半径都相等 D．同圆中直径是半径的2倍 【答案】C 【详解】解：∵ 在同圆中，所有半径都相等，∴ 当人们围成圆形时，每个人到圆心的距离相等， ∴ 这是应用了同圆中半径都相等的特征．故选：C． 【变式2】（25-26九年级上·黑龙江大庆·月考）石矶娘娘问铜镜：“谁是方圆十里最美的女人？”这里的方圆十里中的十里是指圆的（   ） A．半径 B．直径 C．周长 D．面积 【答案】A 【详解】解：“方圆十里”意思是以某个中心为圆心，半径为十里的圆形范围， 所以这里的“十里’指的是圆的半径．故选：A． 【变式3】（25-26九年级上·黑龙江大庆·期中）早在2000多年前的战国时期，《墨经》一书中就给出了圆的描述性定义：“圜（这里读yuan），一中同长也”这就是说，圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合．其中定点是____，定长是____． 【答案】 圆心 半径 【详解】解：圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合．其中，定点是圆心，定长是半径． 故答案为：圆心，半径． 题型02 圆的相关概念（弧、弦、直径、等圆） 【典例】（25-26九年级上·江苏苏州·期中）下列说法中，正确的是（   ） A．圆上任意两点之间的线段叫做弧 B．圆心相同，半径不相等的两个圆叫等圆 C．弦是直径 D．圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小 【答案】D 【详解】解：∵弧的定义是圆上任意两点之间的部分，不是线段，∴A选项错误，不符合题意； ∵等圆是半径相等、可以完全重合的两个圆，与圆心位置无关，圆心相同半径不等的两个圆是同心圆，不是等圆，∴B选项错误，不符合题意； ∵连接圆上任意两点的线段叫做弦，只有经过圆心的弦才是直径，不是所有弦都是直径， ∴C选项错误，不符合题意；∵圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小，说法正确；∴D选项正确． 【变式1】（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）以下说法正确的是（    ） A．相等的圆心角所对的弦相等 B．弦是直径 C．半圆是最长的弧 D．同圆中直径是最长的弦 【答案】D 【详解】解：A选项：缺少“同圆或等圆”条件，即相等的圆心角所对的弦相等需在同圆或等圆中成立， 故A错误，不符合题意；B选项：弦不一定是直径，故B错误，不符合题意； C选项：弧有优弧和劣弧之分，优弧长于半圆，故C错误，不符合题意； D选项：同圆中直径是最长的弦，故D正确，符合题意，故选：D． 【变式2】（25-26九年级上·河北沧州·期末）在图中没有出现的几何图形是（    ） A．弦 B．弧 C．弓形 D．扇形 【答案】D 【详解】解：A：弦是连接圆上两点的线段，是弦；B：弧是圆上两点及其之间的部分，是弧； C：弓形是由弦和弧围成的图形，与其所对的弧围成的图形即是弓形； D：扇形是由两条半径和一段弧围成的图形，图中没有半径，也没有扇形；故选：D ． 【变式3】（25-26九年级上·江苏南通·月考）下列命题中正确的是（   ） ①直径是圆中最长的弦．②弧是半圆．③过圆心的直线是直径．④半圆不是弧．⑤直径不是弦．⑥任意两点之间的部分叫做弦．⑦圆上两点间的部分叫做弦．⑧大于半圆的弧叫优弧，小于半圆的弧叫劣弧。 A．①⑧ B．②⑦ C．③⑤ D．④⑥ 【答案】A 【详解】解：直径是圆中最长的弦，故①正确；弧不一定是半圆，故②错误； 直径是线段不是直线，故③错误；半圆是弧，故④错误；直径是弦，故⑤错误； 弦的定义是连接圆上任意两点的线段，A选项中“任意两点之间的部分”表述不符合弦的定义，故⑥错误； 圆上两点间的部分叫做圆弧，故⑦错误；大于半圆的弧叫优弧，小于半圆的弧叫劣弧，表述不符合弦的定义，该命题正确．∴正确的命题是①⑧．故选：A． 【变式4】（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）下列各个命题，是假命题的是（   ） A．直径是圆中最长的弦 B．直径所对的圆周角是直角 C．圆周角是钝角，则其所对的弦比直径大 D．在同一圆中，直径是半径的2倍 【答案】C 【详解】解：直径是圆中最长的弦，正确，故A不符合要求； 直径所对的圆周角是直角，正确，故B不符合要求； 直径是圆中最长的弦，不存在比直径更长的弦，错误，故C符合要求； 在同一圆中，直径是半径的2倍，正确，故D不符合要求；故选：C． 题型03 圆的周长和面积问题 【典例】（2026·山东德州·一模）如图，小明和小刚分别沿着室内环形跑道的内侧跑道和外侧跑道进行慢跑训练，已知内圈跑道的半径为10米，外圈跑道的半径为12米，则慢跑过程中两人的距离不可能是（   ） A．2米 B．10米 C．20米 D．25米 【答案】D 【详解】解：当两人在同一条半径上时，， 当两人在同一条直径的两端时，，故， 慢跑过程中两人的距离不可能是25米． 【变式1】（25-26九年级上·山东临沂·期中）在中国古代文化中，玉璧寓意宇宙的广阔与秩序，也经常被视为君子修身齐家的象征．下图是某玉璧的平面示意图，由一个正方形的内切圆和外接圆组成．图中空白部分与阴影部分的面积比值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【详解】解：如图所示，假设正方形内切圆的半径为1，则， 根据勾股定理得，∴外接圆的半径为， ∴内切圆的面积为；外接圆的面积为，∴阴影部分的面积为； ∴图中空白部分与阴影部分的面积比值为1，故选：C． 【变式2】（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，战机白帝号顺着大半圆从地飞到地，战机鸾鸟号顺着三个小半圆从地到地与之汇合，设白帝、鸾鸟走过的路程分别为、，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【详解】解：设白帝所走的半圆的半径为，则白帝所走的路程， 设鸾鸟所走的三个半圆的半径分别是、、，则，即， ∴．故选：A． 【变式3】（25-26九年级上·江苏常州·阶段检测）如图，在中，，弦的长为4，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，∴是等边三角形， ∴，∴的面积为，故选：B． 题型04 半径与弦长（或直径）的运算问题 【典例】（25-26九年级上·浙江宁波·开学考试）已知中最长的弦为，则的半径为（     ）． A．2 B．3 C．6 D．12 【答案】B 【详解】解：中最长的弦长为， 的直径的长为，的半径为．故选B． 【变式1】（25-26九年级上·浙江丽水·期末）已知圆的半径为，则圆中一条弦的长度不可能的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵圆的半径为，故圆的直径为，故圆中弦长的取值范围是弦长； 又∵，∴弦长不可能是．故选：D． 【变式2】（25-26九年级上·河南许昌·期中）已知的直径为，是中最长的弦，则的长为___________． 【答案】 【详解】∵是中最长的弦，是的直径， 的直径为8cm，；故答案为：． 【变式3】（25-26九年级下·吉林松原·阶段检测）如图，在中，是直径，是弦，点P是劣弧上任意一点．若，则的长不可能是（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【详解】解：是直径，∴是中最长的弦，∴， ∵∴∴只有选项D符合题意，故选：D． 题型05 圆中弦的条数问题 【典例】（25-26九年级上·江苏·校考期中）如图，在中，点A、O、D和点B、O、C分别在一条直线上，图中共有_______条弦，它们分别是_____________． 【答案】 三 ，， 【详解】解：图中的弦有，，共三条．故答案为：三；，，． 【变式1】（25-26九年级上·北京·期中）如图所示，点，，，点，，以及点，，分别在一条直线上，则圆中弦的条数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：圆中的弦有：、，共两条，故选：． 【变式2】（25-26九年级上·成都·期中）如图，⊙O 中，点 A、O、D 以及点 B、O、C 分别在一条直线上，图中弦的条数有______条． 【答案】三 【详解】解：根据弦的定义可得：图中的弦有AB，BC，CE共三条，故答案为：三． 【变式3】（25-26九年级上·河南濮阳·期末）如图所示，在⊙O中，点A，O，D以及点B，O，C分别在一条直线上，则图中的弦有(   ) A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【答案】B 【详解】解：图中的弦有AB，BC，CE共三条，故选B． 题型06 圆心角概念辨析 【典例】（25-26九年级上·江苏·课后作业）下图中的是圆心角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、顶点C不在圆心，不符合圆心角的概念，不符合题意； B、顶点C在圆心，符合圆心角的概念，符合题意； C、顶点C在圆内，不符合圆心角的概念，不符合题意； D、顶点C在圆外，不符合圆心角的概念，不符合题意；故选：B ． 【变式1】（25-26九年级上·广东汕头·阶段检测）如图所示，表示圆心角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：图D中是圆心角．故选：D． 【变式2】（25-26九年级上·贵州贵阳·期末）如图所示，下列各角是圆内的角，其中圆心角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：图中是圆心角；故选：A． 题型07 圆心角的简单运算 【典例】（2026·山西晋中·一模）如图，点、在以为直径的上，连接，，，．若，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，连接， ∵，，∴，∵，∴， ∵，∴，∴． 【变式1】（2026·河南商丘·一模）如图，在中，，，，三点均在圆上，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，连接，， ，，． ，，，， ，． 【变式2】（25-26九年级上·吉林长春·期中）如图，中，，，以为圆心、为半径的圆交于点D，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，，∴， ∵，∴，∴， ∴，故选：C． 【变式3】（2025·浙江宁波·一模）图1是阿基米德的滑动曲尺模型，图2是其抽象成的几何图形．为的直径，其延长线与弦的延长线交于点，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，，， ，，， ，，，即．故选：B． 题型08 弦长的相关运算 【典例】（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，在半径为4的中，圆心角，则弦的长为（     ） A． B． C．4 D．8 【答案】A 【详解】解：∵ ，的半径为4，∴，是直角三角形， ∴，∴弦的长为． 【变式1】（2026·上海黄浦·二模）如图，坐标平面内圆，已知圆的半径为2，圆心，下列直线中，与圆相交，且被圆所截得的弦最长的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、在直线中，当时，，∴直线不经过圆心，故此选项错误； B、在直线中，当时，，∴直线不经过圆心，故此选项错误； C、在直线中，当时，，∴直线经过圆心，故此选项正确； D、在直线中，当时，，∴直线不经过圆心，故此选项错误． 【变式2】（2026·湖北襄阳·二模）如图，是的直径，弦交于点，于点，若，，，则的长为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：连接， ∵是的直径，弦交于点，，， ∴,∴，∴． ∵，，，得：，∴为直角三角形，． ∵，，∴点、点重合，∴．故选：D． 【变式3】（25-26九年级上·浙江台州·期末）如图，是某圆形扫地机器人的平面示意图，点是其圆心，毛刷绕点转动，面积比面积大平方厘米，若点在外经过的路径为半圆，则为（    ）厘米    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设的半径为，的半径为， 根据题意得，即，，点在外经过的路径为半圆， 点的轨迹为以点为圆心，半径为的半圆，，，∴， 如图所示，，即，    ，解得（负值已舍去），故选：A． 题型09 圆的定义相关的最值问题 【典例】（2026·山东淄博·一模）如图，在中，，，，，线段绕点旋转，点为的中点，则的最大值是_____． 【答案】 【详解】解：取的中点，连接， ，线段绕点旋转，点的运动轨迹是以点为圆心、为半径的圆， 点是的中点，，点是的中点，点是的中点， 是的中位线，，即点的运动轨迹是以为圆心、为半径的圆， 在中，，，， 由勾股定理得：，根据三角形三边关系：， 当且仅当三点共线，且点在的延长线上时，取得最大值，． 【变式1】（25-26九年级下·山东·单元测试）在正方形中，边长为4，点是平面内一动点，且满足，为的中点，点运动过程中，线段长度的最小值是_____． 【答案】 【详解】解：连接，取的中点，连接，， ∵为的中点，∴为的中位线，∴， ∴点在以为圆心，以为半径的圆上运动， 在正方形中，， ∴的取值范围为，∴的最小值为，故答案为：． 【变式2】（24-25九年级上·广西贵港·期末）如图，在四边形中，，则的最大值为___________．    【答案】8 【详解】解：取的中点O，连接，    ，， 四点在以点O为圆心，为半径的同一个圆上， ∴当是圆的直径时，其值最大为8．故答案为：8． 【变式3】（25-26九年级下·上海·开学考试）如图，矩形中，，，以为圆心，半径分别为和画圆，分别是、上的一动点，是上的一动点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，以为轴作点的对称点以及的对称圆，连接交、于点、，则就是最小值， ∵矩形中，，的半径为，∴，，， ∴， ∵的半径为，∴， ∴，∴最小值为． 题型10 圆的定义相关的证明与计算 【典例】（25-26九年级上·辽宁盘锦·期中）如图，是的直径，C，D是圆上的两点，连接，，，，．若，求证：． 【答案】证明：∵，∴，， ∵，∴，∴． 【变式1】如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．求证：A，B，C，D四个点在以点O为圆心的同一个圆上． 【答案】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，OA=OC=AC，OB=OD=BD ∴OA=OB=OC=OD，∴A、B、C、D四点在以O圆心的同一个圆上．. 【变式2】（24-25九年级上·云南曲靖·阶段检测）如图，在中，C，D分别是半径，的中点，求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：∵C，D分别是半径，的中点，∴，， 又，∴，又，∴，∴． 【变式3】（24-25九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，在中，，求∠2的度数． 【答案】 【详解】解：∵，∴， ∴，∴，∴． 【巩固训练】 1．（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）下列说法正确的是（　　） A．直径是弦，弦是直径 B．过圆心的线段是直径 C．圆中最长的弦是直径 D．圆是轴对称图形，但不是中心对称图形 【答案】C 【详解】解：A：直径是弦，但弦不一定是直径（如非直径的弦），故A错误； B：过圆心的线段必须连接圆上两点才是直径，否则不是，故B错误； C： 直径是经过圆心的弦，且是圆中最长的弦，故C正确； D：圆有无数条对称轴（任何直径所在直线），且以圆心为中心对称点，故是中心对称图形，故D错误． 故选：C． 2．（25-26九年级上·广东广州·期中）已知的半径是，则中最长的弦长是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵的半径是，∴最长的弦（直径），故选：B． 3．（25-26九年级上·北京·期中）下列图形中的角是圆心角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：圆心角的定义：圆心角的顶点必在圆心上， 所以选项A符合题意，选项B，C，D不合题意．故选：A． 4．（25-26九年级上·浙江·期中）如图，是圆O弦的是（　　） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【答案】A 【详解】解：是圆上的点，不是圆周上的点，是弦，不是弦．故选：A． 5．（25-26九年级上·黑龙江绥化·期中）把一个圆形平均分成16份，然后剪开，拼成一个近似的长方形，这个转化过程中，（   ） A．周长和面积都没变 B．周长没变，面积变了 C．周长变了，面积没变 D．不能确定 【答案】C 【详解】解：设圆半径为，根据圆面积公式推导过程的结论， 圆剪拼成长方形后，长==，宽=，长方形面积==，与圆面积相等，故面积不变， 长方形周长==，长方形周长比圆周长多，故周长变了． 综上，周长变了，面积没变．故选：C． 6.（2026·辽宁·中考真题）我国古代数学著作《新编直指算法统宗》中记载：“今有方田一段，圆田一段，共积二百五十二步，只云方面、圆径适等．”其大意是：现有正方形田地和圆形田地各一块，面积之和为平方步，只知道正方形田地的边长与圆形田地的直径相等，问正方形田地的边长和圆形田地的直径各为多少步？设正方形田地的边长为步，根据题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵正方形田地的边长为步，∴正方形田地的面积为平方步． ∵圆形田地的直径与正方形边长相等，∴圆形田地的半径为步，∴圆形田地的面积为平方步． ∵两块田地面积之和为252平方步，∴． 7．（24-25九年级下·湖南长沙·开学考试）已知的半径为5，是的弦，则的长度a的取值范围是________． 【答案】 【详解】解：的半径为5，的弦的长度的取值范围为：，故答案为：． 8．（2026·安徽安庆·一模）如图，是的直径，点C，D在的异侧，连接，，，若，且，则的度数为__________． 【答案】/50度 【详解】解：∵，∴， ∵，，∴， ∵，∴． 9．（25-26七年级上·广东揭阳·期末）《左传》记载，夏朝初，奚仲创造了世界上第一辆用马牵引的木质车辆．对于现代社会而言，车仍是不可缺少的重要交通工具．生活中，车轮通常的形状是圆形． 下列选项中，能说明圆形的车轮可以保证车辆平稳（不上下颠簸）行驶的是______（填写所有正确选项的序号）． ①圆是轴对称图形；②圆的圆心到圆周上任意一点的距离相等； ③圆沿一条直线滚动，圆心始终在平行于这条直线的一条直线上． 【答案】②③ 【详解】解：能说明圆形的车轮可以保证车辆平稳（不上下颠簸）行驶的是： ②圆的圆心到圆周上任意一点的距离相等； ③圆沿一条直线滚动，圆心始终在平行于这条直线的一条直线上；故答案为：②③． 10．（24-25九年级上·浙江丽水·期中）在中，弦，圆心角，则的半径为_____． 【答案】 【详解】解：∵，∴是等边三角形，∴．故答案为：． 11.（2026·山东济宁·校考二模）如图，一枚圆形古钱币的中间是一个正方形孔，已知圆的直径与正方形的对角线之比为3∶1，则圆的面积约为正方形面积的________倍．（精确到个位） 【答案】14 【详解】解：如图，由题意得AC与EF共线；∵圆的直径与正方形的对角线之比为3：1 ∴EF：AC=3：1；∴OE：OA=3：1；设OE=3x，OA= x 在正方形ABCD中，由勾股定理得：AD=x；∴圆的面积为：π×（3x）2=9πx2 正方形的面积为（x）2=2 x2；∴9πx2÷2 x2=≈14；故答案为：14。 12.（25-26九年级上·江苏·专题练习）如图，在中，，，的中点为O．求证：A，B，C，D四点在以O为圆心的圆上．    【答案】见解析 【详解】证明：连接，，∵，AB的中点为O，∴，   ∴A，B，C，D四点在以O为圆心，长为半径的圆上． 【强化训练】 1．（25-26九年级上·安徽淮南·期末）如图，中，，以底边为直径的分别交，于点，，连接，，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：中，，，， 又，，， ，， ．故选：B． 2．（25-26九年级上·江苏南通·期末）如图，为的直径，，为的弦，，连接，．若的半径为，则的面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，连接，设与交于点， ∵，，，∴，∴， ∵为中点，∴，∴， ∴，∴，∴， 要使的面积有最大值，可以使的面积有最大值，所以当时，的面积有最大值，如图，∴，∴的面积的最大值为，故选：． 3.（2026·河北唐山·二模）如图，手机在处理任务时，常以圆形进度条显示任务完成的百分比．当任务完成时，线段的长度记为，当时，甲认为对应线段的长度满足，乙认为满足，则下列说法正确的是（     ） A．甲的结果正确 B．乙的结果正确 C．甲、乙的结果合在一起才正确 D．甲、乙的结果合在一起也不正确 【答案】D 【详解】解：设圆的半径为，线段为圆的一条弦， 当时，进度越大，圆心角越大，弦长越长， 此时若，则，甲的观点在此范围内成立； 当时，进度越大，弦所对的劣弧圆心角越小，弦长越短， 此时若，则，乙的观点在此范围内成立； 例如取，此时，但，甲、乙的观点均不成立； 则甲、乙的结果合在一起也不正确． 4．（2026·安徽马鞍山·一模）自行车是绿色环保的交通工具，图①是某自行车的传动结构，图②是该结构的示意图，其中的半径是，的半径是，．当顺时针转动1周时，上的点随之旋转，则的值为______． 【答案】144 【详解】解：顺时针转动1周，转动的长度是， ∵上的点随之旋转，∴点转动的长度是，∵，∴， ∵顺时针转动1周转动的长度等于上的点旋转转动的长度，∴，解得，． 5．（25-26九年级上·福建福州·阶段检测）如图，将大小不同的两块量角器的零度线对齐，且小量角器的中心O2，恰好在大量角器的圆周上，设图中两圆周的交点为P，且点P在小量角器对应的刻度为63°，那么点P在大量角器上对应的刻度为__________．（只考虑小于的角） 【答案】 【详解】连接，如图所示：点P在小量角器对应的刻度为，， ，，， 点P在大量角器上对应的刻度为（只考虑小于的角）．故答案为：． 6．（2026·山东东营·二模）如图，是的直径，E是上一点，A为延长线上一点，连接与交于点B，且，若，则的度数是________． 【答案】 【详解】解：连接， ，，，， 而，， ，，． 7．（25-26九年级上·江苏泰州·月考）在中，，，，则的取值范围________． 【答案】 【详解】解：作的外接圆，当时，最长 ∵ ∴∴ ∵在中，，∴ ∴∴，即最长为 当时，则，∴是等边三角形，∴， 又∵，∴， 综上所述：，故答案为：． 8．（2026九年级下·吉林长春·专题练习）如图，已知圆心和正方形的中心都是点O，正方形的边长，P是圆上的动点，若的最小值为3，则的面积为________． 【答案】 【详解】解：连接交正方形于点M，连接并延长，交于点，过点作，如图，    由题意可得： ，由勾股定理可得：， 即;或（不符合题意，舍去）， ∵为的半径，的最小值为3，，∴当取得最大值时，取得最小值， ∵点M在正方形的边上，∴当点M与点B重合时，取得最大值，此时点P与点重合， ∴，∴为的面积为． 9．（25-26九年级上·江苏扬州·月考）如图，是的直径，C是延长线上一点，点D在上，且，的延长线交于点E．若，求的度数． 【答案】 【详解】解：如图，连接，则， ∵，∴，∴，∴， ∴，∴． 10．（25-26九年级上·浙江·单元复习）如图，是半圆O的直径，正方形和正方形彼此相邻且内接于半圆O，点A，B，F在半圆上，点C，D，G在直径上，点E在上，正方形的面积为16．(1)求证：；(2)求的半径长． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵四边形是正方形，∴，， ∵，∴，∴； （2）解：如图，连接，设，则， ∵正方形的面积，∴，∴， ∵，，， ∴，解得（舍去负值）， ∴，，∴，∴半径长是． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 圆的相关概念 1.理解圆的集合定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，会识别圆心、半径。 2.理解弦、直径、弧、半圆、优弧、劣弧、圆心角、同心圆、等圆的概念；掌握同圆或等圆的半径相等，能利用该结论进行简单线段相等的推理，体会几何推理的基本格式。 3.能在图形中准确找出弦、直径、各类弧、圆心角，辨析圆的相关元素，提升识图能力。 4.感受圆在现实生活中的广泛存在，激发对圆知识的探究兴趣，在识别图形元素的过程中，养成仔细观察图形的习惯。 圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫作圆（cirle）。其中，定点叫作圆心（entre of cirle），定长叫作半径（radius）。以点O为圆心的圆，记作 “⊙O”，读作 “圆O”。 连接圆上任意两点的线段叫作弦（chord）。 经过圆心的弦叫作直径（diameter）。 弧（半圆、优弧、劣弧）的相关概念： 圆上任意两点间的曲线段叫作圆弧，简称弧（arc），用符号“⌒”表示，读作“弧AC”。 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成长度相等的两条弧，每条弧都叫作半圆。 大于半圆的弧叫作优弧（major arc），小于半圆的弧叫作劣弧（minor arc）。 顶点在圆心的角叫作圆心角（central angle）。 圆心相同，半径不相等的两个圆叫作同心圆（concentricl circles）。 半径相等的两个圆叫作等圆（equal circles）。 结论：同圆或等圆的半径相等。 注意： （1）判断是否为弦：看线段两个端点是否都在圆上；直径是特殊的弦。 （2）表示优弧必须用三个字母，劣弧可用两个字母。 （3）证明线段相等，优先考虑使用同圆或等圆的半径相等。 题型01 圆的相关概念 【典例】（25-26九年级上·江苏南京·开学考试）下列说法：①同一圆上的点到圆心的距离相等；②如果某几个点到一个定点的距离相等，则这几个点共圆；③半径确定了，圆就确定了，其中正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【变式1】（25-26九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）在观看马戏表演的时候，人们一般都会围成圆形．这是应用了圆特征中（    ） A．圆心决定圆的位置 B．半径决定圆的大小 C．同圆中的半径都相等 D．同圆中直径是半径的2倍 【变式2】（25-26九年级上·黑龙江大庆·月考）石矶娘娘问铜镜：“谁是方圆十里最美的女人？”这里的方圆十里中的十里是指圆的（   ） A．半径 B．直径 C．周长 D．面积 【变式3】（25-26九年级上·黑龙江大庆·期中）早在2000多年前的战国时期，《墨经》一书中就给出了圆的描述性定义：“圜（这里读yuan），一中同长也”这就是说，圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合．其中定点是____，定长是____． 题型02 圆的相关概念（弧、弦、直径、等圆） 【典例】（25-26九年级上·江苏苏州·期中）下列说法中，正确的是（   ） A．圆上任意两点之间的线段叫做弧 B．圆心相同，半径不相等的两个圆叫等圆 C．弦是直径 D．圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小 【变式1】（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）以下说法正确的是（    ） A．相等的圆心角所对的弦相等 B．弦是直径 C．半圆是最长的弧 D．同圆中直径是最长的弦 【变式2】（25-26九年级上·河北沧州·期末）在图中没有出现的几何图形是（    ） A．弦 B．弧 C．弓形 D．扇形 【变式3】（25-26九年级上·江苏南通·月考）下列命题中正确的是（   ） ①直径是圆中最长的弦．②弧是半圆．③过圆心的直线是直径．④半圆不是弧．⑤直径不是弦．⑥任意两点之间的部分叫做弦．⑦圆上两点间的部分叫做弦．⑧大于半圆的弧叫优弧，小于半圆的弧叫劣弧。 A．①⑧ B．②⑦ C．③⑤ D．④⑥ 【变式4】（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）下列各个命题，是假命题的是（   ） A．直径是圆中最长的弦 B．直径所对的圆周角是直角 C．圆周角是钝角，则其所对的弦比直径大 D．在同一圆中，直径是半径的2倍 题型03 圆的周长和面积问题 【典例】（2026·山东德州·一模）如图，小明和小刚分别沿着室内环形跑道的内侧跑道和外侧跑道进行慢跑训练，已知内圈跑道的半径为10米，外圈跑道的半径为12米，则慢跑过程中两人的距离不可能是（   ） A．2米 B．10米 C．20米 D．25米 【变式1】（25-26九年级上·山东临沂·期中）在中国古代文化中，玉璧寓意宇宙的广阔与秩序，也经常被视为君子修身齐家的象征．下图是某玉璧的平面示意图，由一个正方形的内切圆和外接圆组成．图中空白部分与阴影部分的面积比值为（   ） A． B． C．1 D．2 【变式2】（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，战机白帝号顺着大半圆从地飞到地，战机鸾鸟号顺着三个小半圆从地到地与之汇合，设白帝、鸾鸟走过的路程分别为、，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【变式3】（25-26九年级上·江苏常州·阶段检测）如图，在中，，弦的长为4，则的面积为（    ） A． B． C． D． 题型04 半径与弦长（或直径）的运算问题 【典例】（25-26九年级上·浙江宁波·开学考试）已知中最长的弦为，则的半径为（     ）． A．2 B．3 C．6 D．12 【变式1】（25-26九年级上·浙江丽水·期末）已知圆的半径为，则圆中一条弦的长度不可能的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·河南许昌·期中）已知的直径为，是中最长的弦，则的长为___________． 【变式3】（25-26九年级下·吉林松原·阶段检测）如图，在中，是直径，是弦，点P是劣弧上任意一点．若，则的长不可能是（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 题型05 圆中弦的条数问题 【典例】（25-26九年级上·江苏·校考期中）如图，在中，点A、O、D和点B、O、C分别在一条直线上，图中共有_______条弦，它们分别是_____________． 【变式1】（25-26九年级上·北京·期中）如图所示，点，，，点，，以及点，，分别在一条直线上，则圆中弦的条数为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·成都·期中）如图，⊙O 中，点 A、O、D 以及点 B、O、C 分别在一条直线上，图中弦的条数有______条． 【变式3】（25-26九年级上·河南濮阳·期末）如图所示，在⊙O中，点A，O，D以及点B，O，C分别在一条直线上，则图中的弦有(   ) A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 题型06 圆心角概念辨析 【典例】（25-26九年级上·江苏·课后作业）下图中的是圆心角的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级上·广东汕头·阶段检测）如图所示，表示圆心角的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·贵州贵阳·期末）如图所示，下列各角是圆内的角，其中圆心角是（    ） A． B． C． D． 题型07 圆心角的简单运算 【典例】（2026·山西晋中·一模）如图，点、在以为直径的上，连接，，，．若，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·河南商丘·一模）如图，在中，，，，三点均在圆上，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·吉林长春·期中）如图，中，，，以为圆心、为半径的圆交于点D，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2025·浙江宁波·一模）图1是阿基米德的滑动曲尺模型，图2是其抽象成的几何图形．为的直径，其延长线与弦的延长线交于点，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 题型08 弦长的相关运算 【典例】（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，在半径为4的中，圆心角，则弦的长为（     ） A． B． C．4 D．8 【变式1】（2026·上海黄浦·二模）如图，坐标平面内圆，已知圆的半径为2，圆心，下列直线中，与圆相交，且被圆所截得的弦最长的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·湖北襄阳·二模）如图，是的直径，弦交于点，于点，若，，，则的长为（   ）． A． B． C． D． 【变式3】（25-26九年级上·浙江台州·期末）如图，是某圆形扫地机器人的平面示意图，点是其圆心，毛刷绕点转动，面积比面积大平方厘米，若点在外经过的路径为半圆，则为（    ）厘米    A． B． C． D． 题型09 圆的定义相关的最值问题 【典例】（2026·山东淄博·一模）如图，在中，，，，，线段绕点旋转，点为的中点，则的最大值是_____． 【变式1】（25-26九年级下·山东·单元测试）在正方形中，边长为4，点是平面内一动点，且满足，为的中点，点运动过程中，线段长度的最小值是_____． 【变式2】（24-25九年级上·广西贵港·期末）如图，在四边形中，，则的最大值为___________．    【变式3】（25-26九年级下·上海·开学考试）如图，矩形中，，，以为圆心，半径分别为和画圆，分别是、上的一动点，是上的一动点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 题型10 圆的定义相关的证明与计算 【典例】（25-26九年级上·辽宁盘锦·期中）如图，是的直径，C，D是圆上的两点，连接，，，，．若，求证：． 【变式1】如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．求证：A，B，C，D四个点在以点O为圆心的同一个圆上． 【变式2】（24-25九年级上·云南曲靖·阶段检测）如图，在中，C，D分别是半径，的中点，求证：． 【变式3】（24-25九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，在中，，求∠2的度数． 【巩固训练】 1．（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）下列说法正确的是（　　） A．直径是弦，弦是直径 B．过圆心的线段是直径 C．圆中最长的弦是直径 D．圆是轴对称图形，但不是中心对称图形 2．（25-26九年级上·广东广州·期中）已知的半径是，则中最长的弦长是（ ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·北京·期中）下列图形中的角是圆心角的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·浙江·期中）如图，是圆O弦的是（　　） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 5．（25-26九年级上·黑龙江绥化·期中）把一个圆形平均分成16份，然后剪开，拼成一个近似的长方形，这个转化过程中，（   ） A．周长和面积都没变 B．周长没变，面积变了 C．周长变了，面积没变 D．不能确定 6.（2026·辽宁·中考真题）我国古代数学著作《新编直指算法统宗》中记载：“今有方田一段，圆田一段，共积二百五十二步，只云方面、圆径适等．”其大意是：现有正方形田地和圆形田地各一块，面积之和为平方步，只知道正方形田地的边长与圆形田地的直径相等，问正方形田地的边长和圆形田地的直径各为多少步？设正方形田地的边长为步，根据题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级下·湖南长沙·开学考试）已知的半径为5，是的弦，则的长度a的取值范围是________． 8．（2026·安徽安庆·一模）如图，是的直径，点C，D在的异侧，连接，，，若，且，则的度数为__________． 9．（25-26七年级上·广东揭阳·期末）《左传》记载，夏朝初，奚仲创造了世界上第一辆用马牵引的木质车辆．对于现代社会而言，车仍是不可缺少的重要交通工具．生活中，车轮通常的形状是圆形． 下列选项中，能说明圆形的车轮可以保证车辆平稳（不上下颠簸）行驶的是______（填写所有正确选项的序号）． ①圆是轴对称图形；②圆的圆心到圆周上任意一点的距离相等； ③圆沿一条直线滚动，圆心始终在平行于这条直线的一条直线上． 10．（24-25九年级上·浙江丽水·期中）在中，弦，圆心角，则的半径为_____． 11.（2026·山东济宁·校考二模）如图，一枚圆形古钱币的中间是一个正方形孔，已知圆的直径与正方形的对角线之比为3∶1，则圆的面积约为正方形面积的________倍．（精确到个位） 12.（25-26九年级上·江苏·专题练习）如图，在中，，，的中点为O．求证：A，B，C，D四点在以O为圆心的圆上．    【强化训练】 1．（25-26九年级上·安徽淮南·期末）如图，中，，以底边为直径的分别交，于点，，连接，，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·江苏南通·期末）如图，为的直径，，为的弦，，连接，．若的半径为，则的面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 3.（2026·河北唐山·二模）如图，手机在处理任务时，常以圆形进度条显示任务完成的百分比．当任务完成时，线段的长度记为，当时，甲认为对应线段的长度满足，乙认为满足，则下列说法正确的是（     ） A．甲的结果正确 B．乙的结果正确 C．甲、乙的结果合在一起才正确 D．甲、乙的结果合在一起也不正确 4．（2026·安徽马鞍山·一模）自行车是绿色环保的交通工具，图①是某自行车的传动结构，图②是该结构的示意图，其中的半径是，的半径是，．当顺时针转动1周时，上的点随之旋转，则的值为______． 5．（25-26九年级上·福建福州·阶段检测）如图，将大小不同的两块量角器的零度线对齐，且小量角器的中心O2，恰好在大量角器的圆周上，设图中两圆周的交点为P，且点P在小量角器对应的刻度为63°，那么点P在大量角器上对应的刻度为__________．（只考虑小于的角） 6．（2026·山东东营·二模）如图，是的直径，E是上一点，A为延长线上一点，连接与交于点B，且，若，则的度数是________． 7．（25-26九年级上·江苏泰州·月考）在中，，，，则的取值范围________． 8．（2026九年级下·吉林长春·专题练习）如图，已知圆心和正方形的中心都是点O，正方形的边长，P是圆上的动点，若的最小值为3，则的面积为________． 9．（25-26九年级上·江苏扬州·月考）如图，是的直径，C是延长线上一点，点D在上，且，的延长线交于点E．若，求的度数． 10．（25-26九年级上·浙江·单元复习）如图，是半圆O的直径，正方形和正方形彼此相邻且内接于半圆O，点A，B，F在半圆上，点C，D，G在直径上，点E在上，正方形的面积为16．(1)求证：；(2)求的半径长． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $