数学臻选·2026-2027学年苏科版九年级数学上《第三章圆第一节圆的相关概念》提优特训A·B卷（学生版+教师版）2026-2027学年苏科版九年级数学上册

数学臻选·2026-2027学年苏科版九年级数学上 《第三章圆第一节圆的相关概念》提优特训A·B卷 一．特训目标 ( 1.掌握圆的两种定义，理解弦、直径、弧、优弧、劣弧、半圆、等圆、等弧、点与圆位置关系等核心概念，会利用距离与半径大小关系判断点和圆的位置。 2.经历圆概念构建过程，强化数形结合，提升几何识图、逻辑辨析能力，能区分易混淆几何名词。 3.感受圆在生活、工程中的应用，养成严谨审题、规范书写几何符号的习惯。 4.发展几何直观、推理意识，建立集合观点理解圆，夯实圆章节后续学习基础。 ) 二．重点难点 ( （一） 重点 1.圆的描述性定义、集合定义，圆的两大要素：圆心、半径。 2.弦、直径、弧、优弧、劣弧、半圆概念辨析。 3.点与圆的三种位置关系，d与r的数量转化关系。 （二） 难点 1.用集合思想理解圆：圆是全部点的集合，区分圆（圆周）和圆面。 2.等弧的条件：必须在同圆或等圆中，能够完全重合，只看弧长相等不等于等弧。 3.区分弦（线段）与弧（曲线），区分半圆、优弧、劣弧。 4.几何符号规范书写，优弧的表示方法。 )三．知识梳理 （一）圆的定义 1.描述性定义（动态定义）： 平面内，一条线段绕固定端点旋转一周，另一个端点运动形成的图形叫做圆。固定端点叫圆心O，旋转的线段叫半径r；记作⊙O，读作“圆O”。 如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 　　　　　　　 　 圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小；两个条件缺一不可，只定圆心不能确定圆。 2.集合定义（静态定义）： 圆是平面内，到定点（圆心）距离等于定长（半径）的所有点的集合。 3.注意： ⊙O指圆周（一圈曲线），不是内部填充的圆面；圆面是到定点距离小于等于定长的点的集合。 4.同圆、同心圆、等圆 （1）同圆：同一个圆，半径全部相等。 （2）同心圆：圆心相同，半径不相等。 （3）等圆：半径相等的两个圆，圆心位置可以不同；等圆可以经过平移完全重合。 （二）弦与直径 1.弦： （1）定义：连接圆上任意两点的线段。两端必须都落在圆周上。如图中线段AB,CD; （2）理解： ①弦是线段，不是曲线，不是直线；有两个端点。 ②两个端点必须都在圆周（圆上），一个点在圆心不算弦。 2.直径： （1）定义：经过圆心的弦。如上图中线段AB. （2）理解： ①直径属于特殊的弦，也是圆中最长的弦。 ②数量关系：直径 D=2r。 重要结论：直径一定是弦，但弦不一定是直径；直径是圆里面最长的弦；半径一端在圆心，另一端在圆上，半径不是弦（弦要求两个端点都在圆上）。 3.关系： 直径一定是弦，弦不一定是直径。直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径. 为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O中任意一条弦，求证：AB≥CD.　　　　　　 证明：连结OC、OD 　　　　　　 ∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD过圆心O时，取“=”号) ∴直径AB是⊙O中最长的弦. 4.辨析：半径不是弦 半径：一端在圆心，一端在圆上。只有一个端点在圆上，不满足弦“两个端点都在圆上”的条件，所以半径不属于弦。 （三）弧、半圆、优弧、劣弧 1.圆弧（弧）： 圆上两点间的曲线部分；以C,D为端点的弧,记作，读作“弧CD”。 2.半圆： 直径两端点分割圆得到的弧，等于圆周长一半； 3.劣弧： 小于半圆的弧，用两个字母表示；如图中的，BC是劣弧. 4.优弧： 大于半圆的弧，必须用三个字母表示；如图中的是优弧. 5.等弧： 在同圆或者等圆中，能够完全互相重合的弧叫做等弧。 【补充说明】： ①半圆是弧，而弧不一定是半圆； ②无特殊说明时，弧指的是劣弧. ③同圆中优弧＞半圆＞劣弧。 ④仅仅弧长相等，不能叫等弧；大小不一样的圆，弧长再长也不可能是等弧。 （四）点与圆的位置关系 点和圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外.若⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，那么： （1）点P在圆内 d ＜ r ； （2）点P在圆上 d = r ； （3）点P在圆外 d ＞r. （五）共圆问题 若几个点到同一个定点距离相等，则这几个点在以该定点为圆心的同一个圆上。典型：矩形四个顶点共圆，圆心是对角线交点，半径等于对角线长度一半。 A卷·基础过关 （时间：45分钟 满分：120分） 一、选择题（共30分） 1.圆的集合定义中，定长指（ ） A.圆心 B.半径 C.直径 D.弦 【答案】：B 【解析】：定点是圆心，定长是半径。 2.下列线段是圆中最长弦的是（ ） A.半径 B.劣弧 C.直径 D.任意弦 【答案】：C 【解析】：直径是过圆心的弦，同圆内最长弦。 3. 下列说法中，结论错误的是（ ） A. 直径相等的两个圆是等圆 B. 长度相等的两条弧是等弧 C. 圆中最长的弦是直径 D. 一条弦把圆分成两条弧，这两条弧可能是等弧 【答案】B 【解析】A、直径相等的两个圆是等圆，正确，不符合题意；B、长度相等的两条弧圆周角不一定相等，它们不一定是等弧，原题的说法是错误的，符合题意；C、圆中最长的弦是直径，正确，不符合题意；D、一条直径把圆分成两条弧，这两条弧是等弧，正确，不符合题意， 故选B． 4. 过圆上一点可以作圆的最长弦有（ ）条． A. 1 B. 2 C. 3 D. 无数条 【答案】A 【解析】圆的最长的弦是直径，直径经过圆心，过圆上一点和圆心可以确定一条直线，所以过圆上一点可以作出圆的最长弦的条数为一条． 5.⊙A半径6，点P满足AP=5，点P位置（ ） A.圆内 B.圆上 C.圆外 D.圆心 【答案】：A 【解析】：d=5<6=r，点在圆内。 6.优弧和劣弧分界线是（ ） A.半径 B.直径 C.弦 D.圆心 【答案】：B 【解析】：直径分割圆为两个半圆，半圆区分优弧劣弧 7.如图，已知A，B，C，D四点都在⊙O上，则⊙O中的弦的条数为（    ） A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】B 【解析】根据弦的定义可知，AB、CD和BD都是圆的弦，所以⊙O中的弦的条数为3， 故选：B． 8.如图，⊙O的弦中最长的是（   ） A.AB B.CD C.EF D.GH 【答案】A 【解析】由图可知，弦AB经过圆心O，故圆的弦中最长的是AB．故选：A． 9．为准备一次大型实景演出，某旅游区划定了边长为12m的正方形演出区域，并在该区域画出4×4的网格以便演员定位（如图所示），其中O为中心，A，B，C，D是某节目中演员的四个定位点．为增强演出效果，总策划决定在该节目演出过程中增开人工喷泉，喷头位于演出区域东侧，且在中轴线l上与点O相距14m处．该喷泉喷出的水流落地半径最大为10m，为避免演员被喷泉淋湿，需要调整的定位点的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】：B 【解析】：如图，设点P是喷泉中心位置，OP＝14m，连接PT．由题意，OA＝6m，∴PA＝8m＜10m，∵PT＝＝m＜10m，PB＝11m＞10m，PC＞PB＞10m，∴为避免演员被喷泉淋湿，需要调整的定位点的个数是2个，故选：B． 10.如图，⊙O为矩形ABCD外接圆，AB＝6，BC＝8，点M在⊙O上运动，N为MB中点，当点M在⊙O上运动一周时，点N运动的路径长为（　　） A．10π B．10 C．5π D．10π 【答案】：C 【解析】：如图，连接BD，ON．∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝90°，AB＝﹣CD＝6， ∴BD＝＝＝10，∴OB＝OD＝5，∵NB＝NM，∴ON⊥BM， ∴点N的运动轨迹是以OB为直径的圆，∴点N运动的路径长为5π，故选：C． 二．填空题（共30分） 11.平面内到定点距离相等的点组成图形是________。 【答案】：圆 【解析】：圆的静态集合定义。 12.能够完全重合的两个圆叫做________。 【答案】：等圆 【解析】：等圆判定标准：半径相等、可完全重合。 13.已知⊙O的半径r=5cm，点P到圆心O的距离OP=3cm，则点P在⊙O________。 【答案】：内部 【解析】：d=3<r=5，根据点与圆位置关系判定，点在圆内。 14.已知⊙O半径为6，点A在⊙O上，则线段OA的长度为________。 【答案】：6 【解析】：圆上的点到圆心距离等于半径，故OA=6。 15.在半径为10的圆中，圆内最长的弦长为________。 【答案】：20 【解析】：圆中最长弦为直径，直径=2×10=20。 16.矩形ABCD四个顶点在同一个圆上，若该圆半径为5，则矩形对角线长为________。 【答案】：10 【解析】：矩形外接圆直径等于矩形对角线长，2×5=10。 17.如图，⊙O的弦AB、半径OC延长交于点D，BD＝OA，若∠AOC＝105°，则∠D＝ 　 　度． 【答案】25 【解析】连接OB，∵BD＝OA，OA＝OB所以△AOB和△BOD为等腰三角形，设∠D＝x度，则∠OBA＝2x°，因为OB＝OA，所以∠A＝2x°，在△AOB中，2x+2x+（105﹣x）＝180， 解得x＝25，即∠D＝25°． 18．在直角坐标系中，M（2，0），⊙M的半径为4，那么点P（﹣2，3）与⊙M的位置关系 　 　． 【答案】点P在圆外 【解析】∵M（2，0），P（﹣2，3），∴MP＝＝5，∵圆M的半径为4，5＞4，∴点P在圆外，故答案为：点P在圆外． 19．在公园的O处附近有E，F，G，H四棵树，位置如图所示(图中小正方形的边长均相等)．现计划修建一座以O为圆心，OA为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则E，F，G，H四棵树中需要被移除的是________． 【答案】E，F，G　 【解析】 ∵OA＝＝， ∴OE＝2＜OA，点E在⊙O内，OF＝2＜OA，点F在⊙O内，OG＝1＜OA，点G在⊙O内，OH＝＝2 ＞OA，点H在⊙O外，故答案是E，F，G. 20．如图，⊙O的半径为6，△OAB的面积为18，点P为弦AB上一动点，当OP长为整数时，P点有　 　个． 【答案】4 【解析】解法一：过O作OC⊥AB于C，则AC＝BC，设OC＝x，AC＝y，∵AB是⊙O的一条弦，⊙O的半径为6，∴AB≤12，∵△OAB的面积为18， ∴，则y＝，∴，解得x＝3或﹣3（舍），∴OC＝3＞4，∴4＜OP≤6，∵点P为弦AB上一动点，当OP长为整数时，OP＝5或6，P点有4个． 解法二：设△AOB中OA边上的高为h，则，即，∴h＝6，∵OB＝6，∴OA⊥OB，即∠AOB＝90°，∴AB＝6，图中OC＝3，同理得：点P为弦AB上一动点，当OP长为整数时，OP＝5或6，P点有4个．故答案为：4． 三．解答题（共60分） 21.如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD为钝角，且AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，连接BD.求证：A，E，C，F四点在同一个圆上． 证明：如图，连接AC，交BD于点O，连接EO，FO.因为四边形ABCD是平行四边形，所以O为AC的中点，所以AO＝CO＝AC.因为AE⊥BC，AF⊥CD，所以∠AEC＝∠AFC＝90°，所以EO＝AC，FO＝AC，所以AO＝CO＝EO＝FO，所以A，E，C，F四点在以点O为圆心，AC长为半径的圆上． 22.如图，过A，C，D三点的圆的圆心为E，过B，F，E三点的圆的圆心为D，∠A=63°， 求∠B的度数. 解：连接EC，ED.∵AE=CE，∴∠ACE=∠A=63°.∴∠AEC=180°－63°×2=54°.∵DE=DB，∴∠DEB=∠B.∴∠CDE=∠DEB＋∠B=2∠B.∵CE=DE，∴∠ECD=∠CDE=2∠B.∴∠AEC=∠ECD＋∠B=3∠B.∴3∠B=54°.∴∠B=18°. 23.如图，AB是⊙O的弦，半径OC，OD分别交AB于点E，F，且AE=BF，请你写出线段OE与OF的数量关系，并给予证明. 解：OE=OF.证明：连接OA，OB.∵OA，OB是⊙O的半径，∴OA=OB.∴∠OAB=∠OBA.又∵AE=BF， ∴△OAE≌△OBF(SAS).∴OE=OF. 24.如图，点A，B的坐标分别为A(2，0)，B(0，2)，C为坐标平面内一点，BC＝1，M为线段AC的中点，连接OM，求OM的最大值． 解：如图，因为C为坐标平面内一点，BC＝1，所以点C在⊙B上，且半径为1.在x轴负半轴上取一点D，令OD＝OA＝2，连接CD，因为AM＝CM，OD＝OA，所以OM是△ACD的中位线， 所以OM＝CD，故当OM最大时，CD最大，而当D，B，C三点共线，点C在DB的延长线上时，CD最大．因为OB＝OD＝2，∠BOD＝90°，所以BD＝2，所以CD＝2＋1，所以OM＝CD＝＋，即OM的最大值为＋. 25.已知如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝5，AB的中点为点M． （1）以点C为圆心，4为半径作⊙C，则点A、B、M分别与⊙C有怎样的位置关系？ （2）若以点C为圆心作⊙C，使A、B、M三点中至少有一点在⊙C内，且至少有一点在⊙C外，求⊙C的半径r的取值范围． 解：（1）∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝5，AB的中点为点M，∴AB＝＝＝，CM＝AB＝，∵以点C为圆心，4为半径作⊙C，∴AC＝4，则A在圆上，CM＝＜4，则M在圆内，BC＝5＞4，则B在圆外； （2） 以点C为圆心作⊙C，使A、B、M三点中至少有一点在⊙C内时，r＞，当至少有一点在⊙C外时，r＜5，故⊙C的半径r的取值范围为：＜r＜5． 26.如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，CD⊥AB于D，AD＜BD，若CD=2cm，AB=5cm，求AD、AC的长. 解：连接OC，∵AB=5cm，∴OC=OA=AB=cm，Rt△CDO中，由勾股定理得：DO=1.5cm，∴AD=﹣=1cm，由勾股定理得：AC==，则AD的长为1cm，AC的长为cm 27.新定义题如图①，⊙O的半径为r(r＞0)，若点P′在射线OP上，满足OP′·OP＝r2，则称点P′是点P关于⊙O的“反演点”．如图②，⊙O的半径为4，点B在⊙O上，∠BOA＝60°，OA＝8，点A′，B′分别是点A，B关于⊙O的“反演点”，求A′B′的长． 解：依题意知OA′·OA＝16，且OA＝8，所以OA′＝2.同理可知，OB′＝4，即点B的“反演点”B′与点B重合．设OA交⊙O于点M，连结B′M，因为∠BOA＝60°，OM＝OB′，所以△OB′M为等边三角形．又因为OA′＝2＝OM，所以A′B′⊥OM.根据勾股定理，得OB′2＝OA′2＋A′B′2，即16＝4＋A′B′2，解得A′B′＝2 (负值已舍去)． B卷·强化提优 （时间：45分钟 满分：120分） 一．选择题（共30分） 1.以线段AB为直径画圆，圆心是（ ） A. 点A B. 点B C. AB中点 D. 线段上任意点 【答案】：C 【解析】：直径中点到两端距离相等，即为圆心。 2.下列说法正确的是（ ） A. 圆的对称轴是直径 B. 长度相等的弧是等弧 C. 直径是圆中最长的弦 D. 半圆不是弧 【答案】：C 【解析】：A对称轴是直径所在直线，直径是线段；B等弧必须同圆/等圆且能重合；D半圆属于弧；C正确。 3.两个圆面积相等，则两圆一定是（ ） A.同心圆 B.等圆 C.等弧 D.同一个圆 【答案】：B 【解析】：面积相等则半径相等，半径相等为等圆。 4.如图，在⊙O中，点A,O,D在一条直线上，点在一条直线上，那么图中有弦（　　） A.2 条 B.3条 C.4条 D.5条 【答案】B 【解析】弦为AB,BC,CE，共有3条，故选：B． 5.如图，OA是⊙O的半径，B为OA上一点（且不与点O、A重合），过点B作OA的垂线交⊙O于点C．以OB、BC为边作矩形OBCD，连接BD．若BD＝10，BC＝8，则AB的长为（　　） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【解析】如图，连接OC．∵四边形OBCD是矩形，∴∠OBC＝90°，BD＝OC＝OA＝10，∴OB＝＝＝6，∴AB＝OA﹣OB＝4，故选：C． 6.如图，已知A、B是线段MN上的两点，MN＝4，MA＝1，MB＞1．以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成△ABC，设AB＝x．若以点B为圆心，1.6为半径作圆⊙B，使点M和点N都在⊙B外，则x的取值范围是（　　） A．1＜x＜2 B．0.6＜x＜1.6 C．1＜x＜1.6 D．1＜x＜1.4 【答案】D 【解析】设⊙O的半径为r，根据题意，得：πr2＝25π，解得r＝5（负值舍去），A．若PO＝5.5＞5，则P点在⊙O外，此选项不符合题意；B．若PO＝＝＜5，则则P点在⊙O内，此选项不符合题意；C．若点P在⊙O内，则PO＜5，此选项不符合题意；D．若点P在⊙O上，则PO＝5，此选项符合题意；故选：D． 7.如图，已知空间站A与星球B距离为a，信号飞船C在星球B附近沿圆形轨道行驶，B，C之间的距离为b．数据S表示飞船C与空间站A的实时距离，那么S的最大值是（　　） A．a B．b C．a+b D．a﹣b 【答案】C 【解析】空间站A与星球B、飞船C在同一直线上时，S取到最大值a+b．故选：C． 8．如图，AB是半⊙O的直径，点C在半⊙O上，AB＝5cm，AC＝4cm．D是上的一个动点，连接AD，过点C作CE⊥AD于E，连接BE．在点D移动的过程中，BE的最小值为（　B　） A．1 B．﹣2 C．2﹣1 D．3 【答案】：B 【解析】：如图，连接BO′、BC．∵CE⊥AD，∴∠AEC＝90°，∴在点D移动的过程中，点E在以AC为直径的圆上运动，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，在Rt△ABC中，∵AC＝4，AB＝5，∴BC＝＝＝3，O′E＝2，在Rt△BCO′中，BO′＝＝＝，∵O′E+BE≥O′B，∴当O′、E、B共线时，BE的值最小，最小值为O′B﹣O′E＝﹣2，故选：B． 9．雷达通过无线电的方法发现目标并测定它们的空间位置，因此雷达被称为“无线电定位”．现有一款监测半径为5km的雷达，监测点的分布情况如图，如果将雷达装置设在P点，每一个小格的边长为1km，那么能被雷达监测到的最远点为（　B　） A．G点 B．H点 C．M点 D．N点 【答案】：B 【解析】：如图，观察图象可知，能被雷达监测到的最远点为点H．故选：B． 10．如图，A是⊙B上任意一点，点C在⊙B外，已知AB＝2，BC＝4，△ACD是等边三角形，则△BCD的面积的最大值为（　　） A．4+4 B．4 C．4+8 D．6 【答案】：A 【解析】：以BC为边作等边△BCM，连接DM．∵∠DCA＝∠MCB＝60°，∴∠DCM＝∠ACB， ∵DC＝AC，MC＝BC∴△DCM≌△CAB（SAS），∴DM＝AB＝2为定值，即点D在以M为圆心，半径为2的圆上运动，当点D运动至BC的中垂线与圆的交点时，CB边上的高取最大值为2+2，此时面积为4+4．故选：A． 二．填空题（共30分） 11.线段绕端点旋转一周形成封闭曲线是________。 【答案】：圆 【解析】：圆动态定义。 12.⊙P半径12，点N在圆内，则PN取值范围________。 【答案】：0<PN<12 【解析】：圆内点到圆心距离大于0小于半径。 13．一个已知点P到圆周上的最长距离是7，最短距离是3，则此圆的半径是 　 　． 【答案】2或5 【解析】①当点在圆外时，∵圆外一点和圆周的最短距离为3，最长距离为7，∴圆的直径为7﹣3＝4，∴该圆的半径是2；②当点在圆内时，∵点到圆周的最短距离为3，最长距离为7，∴圆的直径＝7+3＝10，∴圆的半径为5，故答案为2或5． 14.已知点P在⊙O外部，⊙O半径为4，则OP的取值范围是OP>________。 【答案】：4 【解析】：圆外点到圆心距离大于半径。 15.已知⊙O半径为8，点A、B在圆上，则线段AB的最大值为________。 【答案】：16 【解析】：圆上两点连线最长为直径，即16。 16.直角三角形斜边长为14，该三角形三个顶点共圆，则此圆的半径为________。 【答案】：7 【解析】：直角三角形外接圆直径等于斜边长，半径=14÷2=7。 17.如图，△ABC中，∠A=50°，O是BC的中点，以O为圆心，OB长为半径画弧，分别交AB，AC于点D，E，连接OD，OE，测量∠DOE的度数是_______. 【答案】80° 【解析】如图，首先根据圆的性质得到OC=OB=OD=OE，然后根据∠A=50°求得∠B+∠C=130°，从而得到∠CEO+∠BDO=130°，即∠AEO+∠ADO=230°，利用∠EOD=360°﹣∠A﹣∠AEO﹣∠ADO=360°﹣50°﹣230°=80°． 18. 如图，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DE=OB，∠AOC=74°，则∠E=__________． 【答案】 【解析】连接OD,则OD=OB=OC因为，DE=OB,所以，OD=OB=OC= DE所以，∠E=∠DOE, ∠C=∠CDO 所以，∠CDO=2∠E,所以，∠C=2∠E,所以，∠AOC=∠C+∠E=3∠E=74°，所以，∠E= 19.点O在直线AB上，点A1、A2、A3，…在射线OA上，点B1、B2、B3，…在射线OB上，图中的每一个实线段和虚线段的长均为一个单位长度，一个动点M从O点出发，按如图所示的箭头方向沿着实线段和以O为圆心的半圆匀速运动，速度为每秒1个单位长度，按此规律，则动点M到达A101点处所需时间为____秒． 【答案】 【解析】动点从点出发到点，在直线上运动了4个单位长度，在以为圆心半圆运动了单位长度，，动点到达点处运动的单位长度，动点到达点处运动的单位长度，动点到达点处运动所需时间秒． 故答案为：． 20.如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1）、点B（0，1+t）、C（0，1﹣t）（t＞0），点P在以D（3，3）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC＝90°，则t的最小值是　　 ． 【答案】-1 【解析】如图，连接AP，∵点A（0，1）、点B（0，1+t）、C（0，1﹣t）（t＞0），∴AB＝（1+t）﹣1＝t，AC＝1﹣（1﹣t）＝t，∴AB＝AC，∵∠BPC＝90°，∴AP＝BC＝AB＝t，要t最小，就是点A到⊙D上的一点的距离最小，∴点P在AD上，∵A（0，1），D（3，3）， ∴AD＝＝，∴t的最小值是AP＝AD﹣PD＝﹣1，故答案为﹣1． 三．解答题（共60分） 21. 已知线段AB=4cm，以3cm长为半径作圆，使它经过点A.B，能作几个这样的？请作出符合要求的图． 解：这样的圆能画2个．作AB的垂直平分线l，再以点A为圆心，3cm为半径作圆交l于O1和O2，然后分别以O1和O2为圆心，以3cm为半径作圆，如图： 则⊙O1和⊙O2为所求圆． 22.几何应用：矩形ABCD，AB=6，BC=8，以顶点A为圆心，6为半径作⊙A。 (1)判断点B与⊙A位置； (2)计算AC长度，判断点C位置； (3)判断点D与⊙A位置。 解：(1)距离等于半径；AB=6=r，点B在圆上； (2)勾股定理求对角线，对比半径；矩形对角线AC2=62+82=102，AC=10,10>6，点C在圆外； (3)AD=BC=8，距离大于半径。AD=8>6，点D在圆外。 23.如图，有两条公路OM，ON相交成30°，沿公路OM方向离两条公路的交叉处O点80米的A处有一所希望小学，当拖拉机沿ON方向行驶时，路两旁50米内会受到噪音影响，已知有两台相距30米的拖拉机正沿ON方向行驶，它们的速度均为5米/秒，问这两台拖拉机沿ON方向行驶时给小学带来噪音影响的时间是多少？ 解：如图， 过点A作AC⊥ON，∵∠MON=30°，OA=80米，∴AC=40米，当第一台拖拉机到B点时对学校产生噪音影响，此时AB=50，由勾股定理得：BC=30，第一台拖拉机到D点时噪音消失，所以CD=30．由于两台拖拉机相距30米，则第一台到D点时第二台在C点，还须前行30米后才对学校没有噪音影响．所以影响时间应是：90÷5=18秒． 答：这两台拖拉机沿ON方向行驶给小学带来噪音影响的时间是18秒 24.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3cm，AC＝4cm，AD是高线，AE是中线． （1）以点A为圆心，3cm为半径作⊙A，则点B，D，E，C与⊙A的位置关系怎样？ （2）若以点A为圆心作⊙A，使B，C，D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，求⊙A的半径r的取值范围． 解：（1）∵∠BAC＝90°，AB＝3cm，AC＝4cm，∴BC＝＝5cm，∵AD•BC＝AB•AC，∴AD＝cm，∵AE是中线，∴AE＝BC＝2.5cm，∵r＝3cm，∴AB＝r，AD＜r，AE＜r，AC＞r，∴点B在⊙A上，点D、点E在⊙A内，点C在⊙A外； （2）⊙A的半径r的取值范围为＜r＜4． 25.阅读下列材料: 平面上两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)之间的距离表示为|P1P2|=.如图,设P(x,y)是圆心坐标为C(a,b),半径为r的圆上任意一点,则点P适合的条件可表示为=r,变形可得(x-a)2+(y-b)2=r2,我们称其为圆心为C(a,b),半径为r的圆的标准方程. 例如:由圆的标准方程(x-1)2+(y-2)2=25可得它的圆心为(1,2),半径为5. 根据上述材料,结合你所学的知识,完成下列各题. (1)圆心为C(3,4),半径为2的圆的标准方程为　　　　　　　;  (2)若已知圆的标准方程为(x-2)2+y2=22,圆心为C,请判断点A(3,-1)与☉C的位置关系. 解：(1)圆心为C(3,4),半径为2的圆的标准方程为(x-3)2+(y-4)2=4. (2)由题意知圆心为C(2,0),半径为2, ∵A(3,-1),∴AC=<2, ∴点A在☉C内部. 26.在⊙O中，直径AB＝10，BC是弦，∠ABC＝30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ. (1) 如图1，当PQ∥AB时，求PQ的长度； (2) 如图2，当点P在BC上移动时，求PQ长度的最大值． 图1 图2 解：(1) 如图1，连接OQ.因为PQ∥AB，OP⊥PQ，所以OP⊥AB.在Rt△OBP中，因为∠ABC＝30°，所以BP＝2OP，所以OP2＋OB2＝BP2＝4OP2.又OB＝5，所以OP＝.在Rt△OPQ中，因为OP＝，OQ＝5，所以PQ＝＝. (2) 如图2，连接OQ.当OP的长最小时，PQ的长最大，此时OP⊥BC，则OP＝OB＝， 所以PQ＝＝＝，所以PQ长度的最大值为. 27.如图，直线l经过⊙O的圆心O，且与⊙O交于A、B两点，点C在⊙O上，且∠AOC＝30°，点P是直线l上的一个动点（与圆心O不重合），直线CP与⊙O相交于点Q．是否存在点P，使得QP＝QO；若存在，求出相应的∠OCP的大小；若不存在，请简要说明理由． 解：①根据题意，画出图（1），在△QOC中，OC＝OQ，∴∠OQC＝∠OCP，在△OPQ中，QP＝QO，∴∠QOP＝∠QPO，又∵∠AOC＝30°，∴∠QPO＝∠OCP+∠AOC＝∠OCP+30°，在△OPQ中，∠QOP+∠QPO+∠OQC＝180°，即（∠OCP+30°）+（∠OCP+30°）+∠OCP＝180°， 整理得，3∠OCP＝120°，∴∠OCP＝40°． ②当P在线段OA的延长线上（如图2）∵OC＝OQ，∴∠OQP＝（180°﹣∠QOC）×①，∵OQ＝PQ，∴∠OPQ＝（180°﹣∠OQP）×②，在△OQP中，30°+∠QOC+∠OQP+∠OPQ＝180°③，把①②代入③得∠QOC＝20°，则∠OQP＝80°∴∠OCP＝100°； ③当P在线段OA的反向延长线上（如图3），∵OC＝OQ，∴∠OCP＝∠OQC＝（180°﹣∠COQ）×①，∵OQ＝PQ，∴∠P＝（180°﹣∠OQP）×②，∵∠AOC＝30°，∴∠COQ+∠POQ＝150°③，∵∠P＝∠POQ，2∠P＝∠OCP＝∠OQC④，①②③④联立得∠P＝10°，∴∠OCP＝180°﹣150°﹣10°＝20°． 故答案为：40°、20°、100°． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学臻选·2026-2027学年苏科版九年级数学上 《第三章圆第一节圆的相关概念》提优特训A·B卷 一．特训目标 ( 1.掌握圆的两种定义，理解弦、直径、弧、优弧、劣弧、半圆、等圆、等弧、点与圆位置关系等核心概念，会利用距离与半径大小关系判断点和圆的位置。 2.经历圆概念构建过程，强化数形结合，提升几何识图、逻辑辨析能力，能区分易混淆几何名词。 3.感受圆在生活、工程中的应用，养成严谨审题、规范书写几何符号的习惯。 4.发展几何直观、推理意识，建立集合观点理解圆，夯实圆章节后续学习基础。 ) 二．重点难点 ( （一） 重点 1.圆的描述性定义、集合定义，圆的两大要素：圆心、半径。 2.弦、直径、弧、优弧、劣弧、半圆概念辨析。 3.点与圆的三种位置关系，d与r的数量转化关系。 （二） 难点 1.用集合思想理解圆：圆是全部点的集合，区分圆（圆周）和圆面。 2.等弧的条件：必须在同圆或等圆中，能够完全重合，只看弧长相等不等于等弧。 3.区分弦（线段）与弧（曲线），区分半圆、优弧、劣弧。 4.几何符号规范书写，优弧的表示方法。 )三．知识梳理 （一）圆的定义 1.描述性定义（动态定义）： 平面内，一条线段绕固定端点旋转一周，另一个端点运动形成的图形叫做圆。固定端点叫圆心O，旋转的线段叫半径r；记作⊙O，读作“圆O”。 如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 　　　　　　　 　 圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小；两个条件缺一不可，只定圆心不能确定圆。 2.集合定义（静态定义）： 圆是平面内，到定点（圆心）距离等于定长（半径）的所有点的集合。 3.注意： ⊙O指圆周（一圈曲线），不是内部填充的圆面；圆面是到定点距离小于等于定长的点的集合。 4.同圆、同心圆、等圆 （1）同圆：同一个圆，半径全部相等。 （2）同心圆：圆心相同，半径不相等。 （3）等圆：半径相等的两个圆，圆心位置可以不同；等圆可以经过平移完全重合。 （二）弦与直径 1.弦： （1）定义：连接圆上任意两点的线段。两端必须都落在圆周上。如图中线段AB,CD; （2）理解： ①弦是线段，不是曲线，不是直线；有两个端点。 ②两个端点必须都在圆周（圆上），一个点在圆心不算弦。 2.直径： （1）定义：经过圆心的弦。如上图中线段AB. （2）理解： ①直径属于特殊的弦，也是圆中最长的弦。 ②数量关系：直径 D=2r。 重要结论：直径一定是弦，但弦不一定是直径；直径是圆里面最长的弦；半径一端在圆心，另一端在圆上，半径不是弦（弦要求两个端点都在圆上）。 3.关系： 直径一定是弦，弦不一定是直径。直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径. 为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O中任意一条弦，求证：AB≥CD.　　　　　　 4.辨析：半径不是弦 半径：一端在圆心，一端在圆上。只有一个端点在圆上，不满足弦“两个端点都在圆上”的条件，所以半径不属于弦。 （三）弧、半圆、优弧、劣弧 1.圆弧（弧）： 圆上两点间的曲线部分；以C,D为端点的弧,记作，读作“弧CD”。 2.半圆： 直径两端点分割圆得到的弧，等于圆周长一半； 3.劣弧： 小于半圆的弧，用两个字母表示；如图中的，BC是劣弧. 4.优弧： 大于半圆的弧，必须用三个字母表示；如图中的是优弧. 5.等弧： 在同圆或者等圆中，能够完全互相重合的弧叫做等弧。 【补充说明】： ①半圆是弧，而弧不一定是半圆； ②无特殊说明时，弧指的是劣弧. ③同圆中优弧＞半圆＞劣弧。 ④仅仅弧长相等，不能叫等弧；大小不一样的圆，弧长再长也不可能是等弧。 （四）点与圆的位置关系 点和圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外.若⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，那么： （1）点P在圆内 d ＜ r ； （2）点P在圆上 d = r ； （3）点P在圆外 d ＞r. （五）共圆问题 若几个点到同一个定点距离相等，则这几个点在以该定点为圆心的同一个圆上。典型：矩形四个顶点共圆，圆心是对角线交点，半径等于对角线长度一半。 A卷·基础过关 （时间：45分钟 满分：120分） 一、选择题（共30分） 1.圆的集合定义中，定长指（ ） A.圆心 B.半径 C.直径 D.弦 2.下列线段是圆中最长弦的是（ ） A.半径 B.劣弧 C.直径 D.任意弦 3. 下列说法中，结论错误的是（ ） A. 直径相等的两个圆是等圆 B. 长度相等的两条弧是等弧 C. 圆中最长的弦是直径 D. 一条弦把圆分成两条弧，这两条弧可能是等弧 4. 过圆上一点可以作圆的最长弦有（ ）条． A. 1 B. 2 C. 3 D. 无数条 5.⊙A半径6，点P满足AP=5，点P位置（ ） A.圆内 B.圆上 C.圆外 D.圆心 6.优弧和劣弧分界线是（ ） A.半径 B.直径 C.弦 D.圆心 7.如图，已知A，B，C，D四点都在⊙O上，则⊙O中的弦的条数为（    ） A.2 B.3 C.4 D.5 8.如图，⊙O的弦中最长的是（   ） A.AB B.CD C.EF D.GH 9．为准备一次大型实景演出，某旅游区划定了边长为12m的正方形演出区域，并在该区域画出4×4的网格以便演员定位（如图所示），其中O为中心，A，B，C，D是某节目中演员的四个定位点．为增强演出效果，总策划决定在该节目演出过程中增开人工喷泉，喷头位于演出区域东侧，且在中轴线l上与点O相距14m处．该喷泉喷出的水流落地半径最大为10m，为避免演员被喷泉淋湿，需要调整的定位点的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10.如图，⊙O为矩形ABCD外接圆，AB＝6，BC＝8，点M在⊙O上运动，N为MB中点，当点M在⊙O上运动一周时，点N运动的路径长为（　　） A．10π B．10 C．5π D．10π 二．填空题（共30分） 11.平面内到定点距离相等的点组成图形是________。 12.能够完全重合的两个圆叫做________。 13.已知⊙O的半径r=5cm，点P到圆心O的距离OP=3cm，则点P在⊙O________。 14.已知⊙O半径为6，点A在⊙O上，则线段OA的长度为________。 15.在半径为10的圆中，圆内最长的弦长为________。 16.矩形ABCD四个顶点在同一个圆上，若该圆半径为5，则矩形对角线长为________。 17.如图，⊙O的弦AB、半径OC延长交于点D，BD＝OA，若∠AOC＝105°，则∠D＝ 　 　度． 18．在直角坐标系中，M（2，0），⊙M的半径为4，那么点P（﹣2，3）与⊙M的位置关系 　 　． 19．在公园的O处附近有E，F，G，H四棵树，位置如图所示(图中小正方形的边长均相等)．现计划修建一座以O为圆心，OA为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则E，F，G，H四棵树中需要被移除的是________． 20．如图，⊙O的半径为6，△OAB的面积为18，点P为弦AB上一动点，当OP长为整数时，P点有　 　个． 三．解答题（共60分） 21.如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD为钝角，且AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，连接BD.求证：A，E，C，F四点在同一个圆上． 22.如图，过A，C，D三点的圆的圆心为E，过B，F，E三点的圆的圆心为D，∠A=63°， 求∠B的度数. 23.如图，AB是⊙O的弦，半径OC，OD分别交AB于点E，F，且AE=BF，请你写出线段OE与OF的数量关系，并给予证明. 24.如图，点A，B的坐标分别为A(2，0)，B(0，2)，C为坐标平面内一点，BC＝1，M为线段AC的中点，连接OM，求OM的最大值． 25.已知如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝5，AB的中点为点M． （1）以点C为圆心，4为半径作⊙C，则点A、B、M分别与⊙C有怎样的位置关系？ （2）若以点C为圆心作⊙C，使A、B、M三点中至少有一点在⊙C内，且至少有一点在⊙C外，求⊙C的半径r的取值范围． 26.如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，CD⊥AB于D，AD＜BD，若CD=2cm，AB=5cm，求AD、AC的长. 27.新定义题如图①，⊙O的半径为r(r＞0)，若点P′在射线OP上，满足OP′·OP＝r2，则称点P′是点P关于⊙O的“反演点”．如图②，⊙O的半径为4，点B在⊙O上，∠BOA＝60°，OA＝8，点A′，B′分别是点A，B关于⊙O的“反演点”，求A′B′的长． B卷·强化提优 （时间：45分钟 满分：120分） 一．选择题（共30分） 1.以线段AB为直径画圆，圆心是（ ） A. 点A B. 点B C. AB中点 D. 线段上任意点 2.下列说法正确的是（ ） A. 圆的对称轴是直径 B. 长度相等的弧是等弧 C. 直径是圆中最长的弦 D. 半圆不是弧 3.两个圆面积相等，则两圆一定是（ ） A.同心圆 B.等圆 C.等弧 D.同一个圆 4.如图，在⊙O中，点A,O,D在一条直线上，点在一条直线上，那么图中有弦（　　） A.2 条 B.3条 C.4条 D.5条 5.如图，OA是⊙O的半径，B为OA上一点（且不与点O、A重合），过点B作OA的垂线交⊙O于点C．以OB、BC为边作矩形OBCD，连接BD．若BD＝10，BC＝8，则AB的长为（　　） A．8 B．6 C．4 D．2 6.如图，已知A、B是线段MN上的两点，MN＝4，MA＝1，MB＞1．以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成△ABC，设AB＝x．若以点B为圆心，1.6为半径作圆⊙B，使点M和点N都在⊙B外，则x的取值范围是（　　） A．1＜x＜2 B．0.6＜x＜1.6 C．1＜x＜1.6 D．1＜x＜1.4 7.如图，已知空间站A与星球B距离为a，信号飞船C在星球B附近沿圆形轨道行驶，B，C之间的距离为b．数据S表示飞船C与空间站A的实时距离，那么S的最大值是（　　） A．a B．b C．a+b D．a﹣b 8．如图，AB是半⊙O的直径，点C在半⊙O上，AB＝5cm，AC＝4cm．D是上的一个动点，连接AD，过点C作CE⊥AD于E，连接BE．在点D移动的过程中，BE的最小值为（　B　） A．1 B．﹣2 C．2﹣1 D．3 9．雷达通过无线电的方法发现目标并测定它们的空间位置，因此雷达被称为“无线电定位”．现有一款监测半径为5km的雷达，监测点的分布情况如图，如果将雷达装置设在P点，每一个小格的边长为1km，那么能被雷达监测到的最远点为（　B　） A．G点 B．H点 C．M点 D．N点 10．如图，A是⊙B上任意一点，点C在⊙B外，已知AB＝2，BC＝4，△ACD是等边三角形，则△BCD的面积的最大值为（　　） A．4+4 B．4 C．4+8 D．6 二．填空题（共30分） 11.线段绕端点旋转一周形成封闭曲线是________。 12.⊙P半径12，点N在圆内，则PN取值范围________。 13．一个已知点P到圆周上的最长距离是7，最短距离是3，则此圆的半径是 　 　． 14.已知点P在⊙O外部，⊙O半径为4，则OP的取值范围是OP>________。 15.已知⊙O半径为8，点A、B在圆上，则线段AB的最大值为________。 16.直角三角形斜边长为14，该三角形三个顶点共圆，则此圆的半径为________。 17.如图，△ABC中，∠A=50°，O是BC的中点，以O为圆心，OB长为半径画弧，分别交AB，AC于点D，E，连接OD，OE，测量∠DOE的度数是_______. 18. 如图，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DE=OB，∠AOC=74°，则∠E=__________． 19.点O在直线AB上，点A1、A2、A3，…在射线OA上，点B1、B2、B3，…在射线OB上，图中的每一个实线段和虚线段的长均为一个单位长度，一个动点M从O点出发，按如图所示的箭头方向沿着实线段和以O为圆心的半圆匀速运动，速度为每秒1个单位长度，按此规律，则动点M到达A101点处所需时间为____秒． 20.如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1）、点B（0，1+t）、C（0，1﹣t）（t＞0），点P在以D（3，3）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC＝90°，则t的最小值是　　 ． 三．解答题（共60分） 21. 已知线段AB=4cm，以3cm长为半径作圆，使它经过点A.B，能作几个这样的？请作出符合要求的图． 22.几何应用：矩形ABCD，AB=6，BC=8，以顶点A为圆心，6为半径作⊙A。 (1)判断点B与⊙A位置； (2)计算AC长度，判断点C位置； (3)判断点D与⊙A位置。 23.如图，有两条公路OM，ON相交成30°，沿公路OM方向离两条公路的交叉处O点80米的A处有一所希望小学，当拖拉机沿ON方向行驶时，路两旁50米内会受到噪音影响，已知有两台相距30米的拖拉机正沿ON方向行驶，它们的速度均为5米/秒，问这两台拖拉机沿ON方向行驶时给小学带来噪音影响的时间是多少？ 24.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3cm，AC＝4cm，AD是高线，AE是中线． （1）以点A为圆心，3cm为半径作⊙A，则点B，D，E，C与⊙A的位置关系怎样？ （2）若以点A为圆心作⊙A，使B，C，D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，求⊙A的半径r的取值范围． 25.阅读下列材料: 平面上两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)之间的距离表示为|P1P2|=.如图,设P(x,y)是圆心坐标为C(a,b),半径为r的圆上任意一点,则点P适合的条件可表示为=r,变形可得(x-a)2+(y-b)2=r2,我们称其为圆心为C(a,b),半径为r的圆的标准方程. 例如:由圆的标准方程(x-1)2+(y-2)2=25可得它的圆心为(1,2),半径为5. 根据上述材料,结合你所学的知识,完成下列各题. (1)圆心为C(3,4),半径为2的圆的标准方程为　　　　　　　;  (2)若已知圆的标准方程为(x-2)2+y2=22,圆心为C,请判断点A(3,-1)与☉C的位置关系. 26.在⊙O中，直径AB＝10，BC是弦，∠ABC＝30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ. (1) 如图1，当PQ∥AB时，求PQ的长度； (2) 如图2，当点P在BC上移动时，求PQ长度的最大值． 图1 图2 27.如图，直线l经过⊙O的圆心O，且与⊙O交于A、B两点，点C在⊙O上，且∠AOC＝30°，点P是直线l上的一个动点（与圆心O不重合），直线CP与⊙O相交于点Q．是否存在点P，使得QP＝QO；若存在，求出相应的∠OCP的大小；若不存在，请简要说明理由． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $