专题07点与圆及直线与圆的位置关系专题通关讲义(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年苏科版九年级数学上册

专题07点与圆及直线与圆的位置关系专题通关讲义 知识点01:直线与圆的位置关系 设圆的半径为 r，圆心到直线的距离为 d。 核心逻辑：图形位置（形）⇔距离半径大小（数），数形结合双向互判。 知识点02:切线的核心两大定理（本节重中之重，中考必考） 1.判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 2.性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。 3.切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 设两圆的半径分别为 R 和 r (R≥r)，圆心距为 d。 补充区分：判定 vs 性质对比表 核心模型： 连心线：连接两圆圆心的直线。它是两圆组成图形的对称轴。 相交两圆性质：连心线垂直平分两圆的公共弦。 在解决圆的位置关系综合题时，常考以下模型，可直接套用： 1.切线长模型 场景：从圆外一点 P 引圆的两条切线 PA,PB，切点为 A,B。 结论：PA=PB，OA⊥PA，四边形 OAPB 中，∠APB+∠AOB=180∘。 2.相交弦模型 场景：两圆相交于 A,B 两点，连心线为 MN​。 结论：MN垂直平分公共弦 AB。可构造直角三角形 MAN​求解半径或圆心距。 知识点03:三角形的内切圆与内心 1. 基础概念 三角形内切圆：与三角形三边都相切的圆； 内心：内切圆圆心，是三角形三条角平分线的交点； 核心性质：内心到三角形三条边的距离相等，距离长度为内切圆半径r。 2. 内心与外心完整对比（高频易混，课堂必讲） 3. 直角三角形内切圆半径公式 设 Rt△两直角边a、b，斜边c，面积S，周长C 通用公式：r= 直角三角形简化公式：r= 4. 三角形内切圆尺规作图步骤 (1)任意作三角形两个内角的角平分线； (2)两条角平分线交点即为内心； (3)过内心向任意一边作垂线段，垂线段长为半径画圆，即为内切圆。 知识点04:本节经典解题模型 1.切线直角模型：切线 + 切点半径，直接出现直角三角形，搭配勾股定理求边长； 2.双切线全等模型：圆外一点引两条切线，形成一对全等直角三角形，用于转化等线段、等角； 3.内心倒角模型：利用角平分线性质，推导三角形内角与内心夹角关系。 1、点与圆位置关系大小判定颠倒 易错提醒：判定点和圆的位置关系，比较点到圆心的距离d与半径r；d>r点在圆外，d=r点在圆上，d<r点在圆内，不可颠倒距离大小对应的位置结论。 2、切线判定条件遗漏 易错提醒：直线判定为圆的切线必须同时满足两个条件：直线经过半径的外端点，直线垂直于该半径；仅满足单一条件，不能判定直线为切线。 3、切线性质使用错误 易错提醒：圆的切线垂直于过切点的半径；遇到切线条件时，连接圆心与切点构造垂直关系，不能随意选取非切点处的半径推导垂直。 4、直线与圆位置关系判定出错 易错提醒：判定直线和圆的位置关系，比较圆心到直线的距离d与半径r；d>r直线与圆相离，d=r直线与圆相切，d<r直线与圆相交；相交对应两个公共点，相切仅有一个公共点。 5、切线与切线长概念混淆 易错提醒：切线属于直线，不存在长度；切线长是圆外一点到切点之间的线段长度，二者定义不同，解题不可混用。 6、切线长定理理解出现偏差 易错提醒：从圆外一点引圆的两条切线，两条切线长相等；该点与圆心的连线平分两条切线的夹角；不能错误认为连线平分切线线段。 7、三角形内心、外心概念混淆 易错提醒：三角形外心是三边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点距离相等；三角形内心是三条角平分线的交点，到三角形三边距离相等，二者性质不可混淆。 8、忽略三角形内切圆、外接圆适用范围 易错提醒：任意三角形都存在外接圆与内切圆；钝角三角形的外心落在三角形外部，直角三角形外心位于斜边中点，不要默认外心均在三角形内部。 题型 考察方向 难度 题型一 判断点与圆的位置关系 ★ 题型二 利用点与圆的位置关系求半径 ★★ 题型三 点与圆上一点的最值问题 ★★★ 题型四 判断直线和圆的位置关系 ★ 题型五 已知直线和圆的位置关系求半径的取值 ★★ 题型六 直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 ★★ 题型七 求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离 ★★★ 题型八 求直线平移到与圆相切时运动的距离 ★★★ 题型九 切线的应用 ★★ 题型十 有关切线的概念辨析 ★ 题型十一 判断或补全使直线为切线的条件 ★★ 题型十二 证明某直线是圆的切线 ★★★ 题型十三 切线的性质和判定的综合应用 ★★★ 题型十四 应用切线长定理求解 ★★★ 题型十五 应用切线长定理求证 ★★★ 题型十六 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 ★★★ 题型十七 三角形内心有关应用 ★★★ 题型十八 一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 ★★★ 题型十九 三角形内切圆与外接圆综合 ★★★★ 题型二十 过圆外一点作圆的切线 ★★ 题型二十一 圆内知识综合 ★★★★ 题型二十二 圆与三角形的综合 ★★★★ 题型二十三 圆与四边形的综合 ★★★★ 题型二十四 圆与函数的综合 ★★★★★ 拔高题 12题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 题型一 判断点与圆的位置关系 1．已知的半径为．若点到圆心的距离为，则在________．（填“圆内”、“圆外”、“圆上”中的一种） 2．在中，，，．分别以、为圆心，长为半径作圆、圆，下列关于点的位置描述正确的是（     ） A．在圆外部，在圆外部 B．在圆外部，在圆内部 C．在圆内部，在圆内部 D．在圆内部，在圆外部 3．已知点A是数轴上一定点，点B是数轴上一动点，点A表示的实数为，点B所表示的实数为b，作以A为圆心，2为半径的，若点B在外，则b的值可能是（     ） A． B． C． D． 题型二 利用点与圆的位置关系求半径 4．点为外一点，它到最大距离与最小距离为18、8，与相切于点，则 （1）的半径为 _____； （2）切线长为 _______． 5．平面上有及一点P，P到上一点的距离最长为，最短为，则的半径为（     ）． A．4 B．2或4 C．3或2 D．4或3 6．如图，在中，，，，，且，当以点C为圆心、长为半径的圆C与以点E为圆心的圆相交且点A在圆E外，则圆E的半径的取值范围是_______________． 题型三 点与圆上一点的最值问题 7．已知的半径为，是内一点，，则点到上各点的最大距离是_________． 8．如图，，垂足为点，，，点是平面内的一个动点，且满足，则线段BM的最大值为__________． 9．如图，在矩形中，，，以为斜边在矩形所在平面作，，点为的中点，则的最小值为________． 题型四 判断直线和圆的位置关系 10．的直径为，若圆心与直线的距离为，则与的位置关系是_______． 11．以坐标原点O为圆心，作半径为4的圆，若直线与⊙O相交，则b的取值范围是（     ） A． B． C． D． 12．如图，在平面直角坐标系中，的半径是，直线：与轴交于点，若直线与有公共点，则的取值范围是_____________． 题型五 已知直线和圆的位置关系求半径的取值 13．若直线l与半径为6的相离，则圆心O到直线l的距离d满足（    ） A． B． C． D． 14．已知点O到直线l的距离为，以点O为圆心的与直线l有两个交点，则的半径可能为（    ） A． B． C． D． 15．已知在中，，，，以点为圆心，为半径作圆，若圆与斜边有两个公共点，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 题型六 已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 16．的半径为r，某直线与该圆有公共点，且与圆心的距离为d，则    （     ） A． B． C． D． 17．在平面直角坐标系中，直线是边长为1的正三角形，其中为坐标原点，则点P，Q到直线的距离之和的最小值是____． 18．如图，已知 的半径为6，点 到矩形某条边的距离为8，则这条边可以是 （   ） A． B． C． D． 题型七 求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离 19．如图，在平面直角坐标系中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为（　　） A．1或5 B．1或3 C．3或5 D．1 20．如图，，圆心在边上的的半径为，．若在上向点移动，当与相切时，圆心移动的距离为________． 21．如图，中，，，，半径为的与，相切，当沿边平移至与相切时，则平移的距离为（    ）    A． B． C． D． 题型八 求直线平移到与圆相切时运动的距离 22．如图，在平面直角坐标系中，半径为2的圆的圆心的坐标为（-3，0），将圆沿轴的正方向平移，使得圆与轴相切，则平移的距离为（    ） A．1 B．3或6 C．3 D．1或5 23．如图，的半径，直线，垂足为，且交于，两点，，若沿所在直线平移后与相切，则平移的距离是________． 24．如图，在平面直角坐标系中， ⊙O的半径是1，直线AB与x轴交于点P(x，0)，且与x轴的正半轴夹角为45°，若直线AB与⊙O有公共点，则x值的范围是(　　) A． B． C． D． 题型九 切线的应用 25．如图，直线，垂足为，点在直线上，，为直线上一动点，若以为半径的与直线相切，则的长为________． 26．如图，正五边形的两条边，与相切，切点为点，，则为（   ） A． B． C． D． 27．如图，在中，，，，点O是AB的三等分点，半圆O与AC相切，M，N分别是BC与半圆弧上的动点，则MN的最小值和最大值之和是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 题型十 有关切线的概念辨析  28．如图，与相切的直线是（   ） A． B． C． D．和 29．如图，以边为直径作交于点，恰好是的切线，为切点，连接．若，则的度数为_______． 30．如图，点是外一点，现将直线绕点旋转，与定圈恰好只有一个交点，当时，的半径为（　　） A． B． C． D． 题型十一 判断或补全使直线为切线的条件 31．如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C画圆弧，则点B与下列格点连线所得的直线中，能够与该圆弧相切的格点坐标是(　　) A．(5，2) B．(2，4) C．(1，4) D．(6，2) 32．如图，是⊙O的直径，交⊙O于点，于点，下列说法不正确的是（    ） A．若，则是⊙O的切线 B．若，则是⊙O的切线 C．若，则是⊙O的切线 D．若是⊙O的切线，则 33．如图，点C在以为直径的半圆上，，点D在线段上运动，点E与点D关于对称，于点D，并交的延长线于点F，当长度为 __________________时，与半圆相切． 题型十二 证明某直线是圆的切线 34．如图，已知的半径为5，直线经过上一点P，下列条件不能判定直线与相切的是（    ） A． B． C．点O到直线的距离是5 D． 35．如图，直线经过上的点C，并且，则直线和的位置关系是________． 36．如图，为的切线，A为切点，B为上的一点，连接、交于点C，的延长线交于点D．则下列条件不能判断为的切线的是（    ） A． B． C．点A，B都在以为直径的圆上 D．平分 题型十三 切线的性质和判定的综合应用  37．如图，是的直径，点为延长线上一点，经过点作的切线，点为切点，连接，．若，则的度数为___________． 38．如图，为外一点，与相切于点，若，则 ______ 39．如图，为外一点，连接，分别以，为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接交于点，以为圆心，为半径作圆，交于点，，连接，，．若，则的大小为（     ） A． B． C． D． 题型十四 应用切线长定理求解 40．如图，，是的切线，，为切点，连接，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 41．如图，，是的切线，A，B为切点，是的直径，若，则___________． 42．在直角中，，，为边BC上一点，为的内心（内心是指内切圆的圆心），F为的内心，若，则（） A．3 B． C． D． 题型十五 应用切线长定理求证 43．如图，切于，切于，交于，连接，下列结论中，错误的是（　　）．    A． B． C． D．以上都不对 44．如图，圆O的圆心在梯形的底边上，并与其它三边均相切，若，，，且，则长为（    ） A．b B． C． D． 45．如图，P为外一点，和为的两条切线，A和B为切点，为直径，连接，．如果，那么的度数是（   ） A． B． C． D． 题型十六 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 46．已知一个三角形的三边长分别为5、5、6，则其内切圆的半径为（　　） A．3 B．5 C． D． 47．如图，在中，，，，则的内切圆半径___________． 48．如图，在Rt中，，是的内切圆，三个切点分别为，，，若，，则的半径是（    ） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 题型十七 三角形内心有关应用 49．已知为的内切圆，则点O是的（     ） A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三边垂直平分线的交点 D．三条角平分线的交点 50．如图，点为的内心，，则的度数是______． 51．如图，点为的外心，点为的内心，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 题型十八 一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 52．如图，是的内切圆，与，，分别相切于点D，E，F．若的半径为r，，，，则的面积为（   ） A． B．12r C．13r D．26r 53．如图，的内切圆分别与，，相切于点D，E，F，且，．若的周长为36，则的长为________． 54．如图，在中，，为中线，若，，设与的内切圆半径分别为，，那么的值为（    ） A．1 B． C． D． 题型十九 三角形内切圆与外接圆综合 55．如图，点是外接圆的圆心，点是的内心，连接．若，则的度数为___________． 56．如图，、在网格中小正方形的顶点处，每个小方格的边长为，在此网格中找两个格点（即小正方形的顶点）、，使为的外心，则的长度是______． 57．若等边内接于等边的内切圆，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型二十 过圆外一点作圆的切线 58．如图，点A在外，连接，作线段的中点B，以B为圆心，为半径作，与交于两点C，D，连接，则，均为直角，直线，是的两条切线．得到，均为直角的依据是（    ） A．同弧或等弧所对的圆周角相等 B．经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 C．直径所对的圆周角是直角 D．圆的切线垂直于过切点的半径 59．以下是“用尺规过圆外一点作圆的切线”的作图过程： 已知：如图，及外一点． 作法：连结，作线段的垂直平分线交于点； 以点为圆心，的长为半径作圆，交于点、点； 作直线，． 说明：连结． ∵以点为圆心，的长为半径作圆，∴为的直径，∴_____°． ∵为半径，∴为的_____，且_____（填“”、“”或“”）．    60．已知是外一点，用直尺和圆规过点作的切线．以下是甲、乙两人的作法： 下列判断正确的是（    ） 甲：①如图1，连接，以为直径作圆，交于，两点． ②连接，，，就是的切线． 乙：①如图2，连接，交于点．以点为圆心，为半径画弧，交于点． ②连接，就是的切线． A．甲、乙的作法都正确 B．甲、乙的作法都错误 C．甲的作法错误，乙的作法正确 D．甲的作法正确，乙的作法错误 题型二十一 圆内知识综合 61．如图，⊙O的弦BC长为8，点A是⊙O上一动点，且∠BAC=45°，点D，E分别是BC，AB的中点，则DE长的最大值是_____．    62．已知一个等腰直角三角形， ，，分别以A，B为圆心，以a的长为半径作圆，两圆的交点为点D，若的长度为2，则的长为________． 63．如图，⊙O的直径，弦，过⊙O上一点D作切线，交的延长线于点E，若，则的长为（    ） A．3 B．2 C．4 D．4 题型二十二 圆与三角形的综合 64．如图，是等边的外接圆，若，则的半径是（    ） A． B． C． D． 65．如图，的半径为5，弦，点C在弦上，延长交于点D，则的取值范围是______． 66．如图，已知直线，与轴、轴分别交于、两点，是以为圆心，为半径的圆上一动点，连接、，则面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 题型二十三 圆与四边形的综合 67．如图，是平行四边形，是的直径，点在上，，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 68．如图，正方形内接于．点E为上一点，连接、，若，，则的长为___． 69．如图是一张四边形纸片，已知，要在该纸片中剪出一个圆形纸片，则圆形纸片的半径的最大值是（   ） A． B． C． D． 题型二十四 圆与函数的综合 70．如图，已知的半径为1，圆心在抛物线上运动，当与轴相切时，圆心的横坐标为______． 71．如图，A，B是半径为1的⊙O上两点，且OA⊥OB，点P从点A出发，在⊙O上以每秒一个单位长度的速度逆时针匀速运动，回到点A运动结束，设运动时间为x（单位：s），弦BP的长为y，则表示y与x的函数关系的图象大致是（） A． B． C． D． 72．在平面直角坐标系中，，连接，，以P为圆心，1个单位长度为半径作，Q为上一点，连接，记的面积为S，则S的取值范围为_____． 解答题 1．在中，． (1)若以点为圆心，2cm长为半径画，则直线与的位置关系如何？ (2)若线段与半径为的有唯一公共点，求的取值范围． 2．如图，在中，，，为边上一点，，，的半径为1，当所在直线与相切、相离时，分别求出的取值范围． 3．如图，半圆O的直径，点C是半圆弧上一点，点D为的中点，延长交于点G．在射线上取一点E，使得． (1)当点E为中点时，求的长； (2)过点E作直线的垂线，垂足为F，连接．证明，并求的最大值． 4．如图，，是的切线，A，B为切点，延长交的延长线于点D，若，求的长． 5．如图，是的直径，是的切线，为延长线上一点，延长交于点，，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 6．一摄影爱好者做一个实地测量，用无人机在一半径为50米的球体表面P点正上方80米处F点看到球体表面最远点M、N两点． (1)求的长度； (2)求M、N两点的距离． 7．已知直角三角形，，，，在边上有一点 ，使三角形与三角形的内切圆半径相等，求的值． 8．如图，点是的内心，点是的外心． (1)请仅用没有刻度的直尺在上一个点，使得． (2)试判断点是图中哪三个点构成的三角形的外心，并说明理由．（如需画草图，请使用图2） 9．对于和点，给出如下定义：若过点的直线与有两个交点，且的大小为，则称为的“生成点”，特别地，若这样的直线只存在一条，则称点为的“完美生成点”． (1)如图，在平面直角坐标系中，的半径为4，点，，． ①在点，，中，点 是的“生成点”； ②过点的直线交轴于点，且．若直线上的点是的“完美生成点”，直接写出点的坐标： (2)已知的长为2，若线段上的所有点都是某个圆的“完美生成点”，且，直接写出这个圆的半径的取值范围． 10．如图，以为直径的经过点，点是的中点，连接，过点作的切线交延长线于点． (1)求证：； (2)若的半径为，求的长． 11．如图，圆内接四边形满足，连结、，是延长线上的一点，过点作于点． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 12．在平面直角坐标系中，对于线段和直线（点，均不在直线上且直线不与直线平行），给出如下定义：过线段的两个端点分别作直线的平行线，交轴于点和，称线段的长为线段关于直线的纵影长． (1)如图，已知点，点，线段关于直线的纵影长为______； (2)已知点，点，线段关于直线的纵影长为4，则的值为______； (3)已知，的半径为．若上存在点，使线段关于直线的纵影长与线段关于直线的纵影长的和为，直接写出的取值范围． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07点与圆及直线与圆的位置关系专题通关讲义 知识点01:直线与圆的位置关系 设圆的半径为 r，圆心到直线的距离为 d。 核心逻辑：图形位置（形）⇔距离半径大小（数），数形结合双向互判。 知识点02:切线的核心两大定理（本节重中之重，中考必考） 1.判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 2.性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。 3.切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 设两圆的半径分别为 R 和 r (R≥r)，圆心距为 d。 补充区分：判定 vs 性质对比表 核心模型： 连心线：连接两圆圆心的直线。它是两圆组成图形的对称轴。 相交两圆性质：连心线垂直平分两圆的公共弦。 在解决圆的位置关系综合题时，常考以下模型，可直接套用： 1.切线长模型 场景：从圆外一点 P 引圆的两条切线 PA,PB，切点为 A,B。 结论：PA=PB，OA⊥PA，四边形 OAPB 中，∠APB+∠AOB=180∘。 2.相交弦模型 场景：两圆相交于 A,B 两点，连心线为 MN​。 结论：MN垂直平分公共弦 AB。可构造直角三角形 MAN​求解半径或圆心距。 知识点03:三角形的内切圆与内心 1. 基础概念 三角形内切圆：与三角形三边都相切的圆； 内心：内切圆圆心，是三角形三条角平分线的交点； 核心性质：内心到三角形三条边的距离相等，距离长度为内切圆半径r。 2. 内心与外心完整对比（高频易混，课堂必讲） 3. 直角三角形内切圆半径公式 设 Rt△两直角边a、b，斜边c，面积S，周长C 通用公式：r= 直角三角形简化公式：r= 4. 三角形内切圆尺规作图步骤 (1)任意作三角形两个内角的角平分线； (2)两条角平分线交点即为内心； (3)过内心向任意一边作垂线段，垂线段长为半径画圆，即为内切圆。 知识点04:本节经典解题模型 1.切线直角模型：切线 + 切点半径，直接出现直角三角形，搭配勾股定理求边长； 2.双切线全等模型：圆外一点引两条切线，形成一对全等直角三角形，用于转化等线段、等角； 3.内心倒角模型：利用角平分线性质，推导三角形内角与内心夹角关系。 1、点与圆位置关系大小判定颠倒 易错提醒：判定点和圆的位置关系，比较点到圆心的距离d与半径r；d>r点在圆外，d=r点在圆上，d<r点在圆内，不可颠倒距离大小对应的位置结论。 2、切线判定条件遗漏 易错提醒：直线判定为圆的切线必须同时满足两个条件：直线经过半径的外端点，直线垂直于该半径；仅满足单一条件，不能判定直线为切线。 3、切线性质使用错误 易错提醒：圆的切线垂直于过切点的半径；遇到切线条件时，连接圆心与切点构造垂直关系，不能随意选取非切点处的半径推导垂直。 4、直线与圆位置关系判定出错 易错提醒：判定直线和圆的位置关系，比较圆心到直线的距离d与半径r；d>r直线与圆相离，d=r直线与圆相切，d<r直线与圆相交；相交对应两个公共点，相切仅有一个公共点。 5、切线与切线长概念混淆 易错提醒：切线属于直线，不存在长度；切线长是圆外一点到切点之间的线段长度，二者定义不同，解题不可混用。 6、切线长定理理解出现偏差 易错提醒：从圆外一点引圆的两条切线，两条切线长相等；该点与圆心的连线平分两条切线的夹角；不能错误认为连线平分切线线段。 7、三角形内心、外心概念混淆 易错提醒：三角形外心是三边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点距离相等；三角形内心是三条角平分线的交点，到三角形三边距离相等，二者性质不可混淆。 8、忽略三角形内切圆、外接圆适用范围 易错提醒：任意三角形都存在外接圆与内切圆；钝角三角形的外心落在三角形外部，直角三角形外心位于斜边中点，不要默认外心均在三角形内部。 题型 考察方向 难度 题型一 判断点与圆的位置关系 ★ 题型二 利用点与圆的位置关系求半径 ★★ 题型三 点与圆上一点的最值问题 ★★★ 题型四 判断直线和圆的位置关系 ★ 题型五 已知直线和圆的位置关系求半径的取值 ★★ 题型六 直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 ★★ 题型七 求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离 ★★★ 题型八 求直线平移到与圆相切时运动的距离 ★★★ 题型九 切线的应用 ★★ 题型十 有关切线的概念辨析 ★ 题型十一 判断或补全使直线为切线的条件 ★★ 题型十二 证明某直线是圆的切线 ★★★ 题型十三 切线的性质和判定的综合应用 ★★★ 题型十四 应用切线长定理求解 ★★★ 题型十五 应用切线长定理求证 ★★★ 题型十六 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 ★★★ 题型十七 三角形内心有关应用 ★★★ 题型十八 一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 ★★★ 题型十九 三角形内切圆与外接圆综合 ★★★★ 题型二十 过圆外一点作圆的切线 ★★ 题型二十一 圆内知识综合 ★★★★ 题型二十二 圆与三角形的综合 ★★★★ 题型二十三 圆与四边形的综合 ★★★★ 题型二十四 圆与函数的综合 ★★★★★ 拔高题 12题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 题型一 判断点与圆的位置关系 1．已知的半径为．若点到圆心的距离为，则在________．（填“圆内”、“圆外”、“圆上”中的一种） 【答案】圆外 【分析】点与圆的位置关系可通过比较点到圆心的距离与圆半径的大小判断，直接比较给定数值即可得到结论． 【详解】解：已知的半径，点到圆心的距离， ，即 ∴在圆外． 2．在中，，，．分别以、为圆心，长为半径作圆、圆，下列关于点的位置描述正确的是（     ） A．在圆外部，在圆外部 B．在圆外部，在圆内部 C．在圆内部，在圆内部 D．在圆内部，在圆外部 【答案】B 【分析】根据点与圆的位置关系，比较点A到两个圆心的距离和对应圆的半径，即可判断点A的位置，点与圆的位置关系为：设圆半径为，点到圆心的距离为，则时点在圆外，时点在圆内． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得， 对于圆，圆心为，半径， ，点在圆外部， 对于圆，圆心为，半径， ，点在圆内部． 3．已知点A是数轴上一定点，点B是数轴上一动点，点A表示的实数为，点B所表示的实数为b，作以A为圆心，2为半径的，若点B在外，则b的值可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据点与圆位置关系得到，结合数轴距离写出，解不等式得到的取值区间，估算值后求解即可． 【详解】解：∵点B在外， ∴． ∵点A、B在数轴上，分别表示和， ∴． ∴． ∴或． ∵， ∴，， ∴的值可能是． 题型二 利用点与圆的位置关系求半径 4．点为外一点，它到最大距离与最小距离为18、8，与相切于点，则 （1）的半径为 _____； （2）切线长为 _______． 【答案】 5 12 【分析】本题考查点与圆的位置关系，切线的性质，勾股定理等知识． （1）设的半径为，根据圆外一点与圆的关系建立方程求解即可得出答案； （2）连接，由切线的性质可得，运用勾股定理即可求得答案． 【详解】解：（1）设的半径为， 由题意得：， 解得：， 故答案为：5； （2）如图，连接， 与相切于点， ，，， ． 故答案为：12． 5．平面上有及一点P，P到上一点的距离最长为，最短为，则的半径为（     ）． A．4 B．2或4 C．3或2 D．4或3 【答案】B 【分析】根据点P在内或外分类讨论，由最长最短距离与圆直径的关系计算半径即可． 【详解】当点P在外时， ∵ 点P到上点的最长距离为，最短距离为， ∴ 的直径为 ，半径为 ． 当点P在内时， ∵ 点P到上点的最长距离为，最短距离为， ∴的直径为 ，半径为 ． 因此的半径为或． 6．如图，在中，，，，，且，当以点C为圆心、长为半径的圆C与以点E为圆心的圆相交且点A在圆E外，则圆E的半径的取值范围是_______________． 【答案】 【详解】，，， ， ， △△， ， ， ， ，，， ， 要使得以点C为圆心、长为半径的圆C与以点E为圆心的圆相交， 则圆E的半径的范围为：， 又要使得点A在圆E外，则圆E的半径：， 又， ． 题型三 点与圆上一点的最值问题 7．已知的半径为，是内一点，，则点到上各点的最大距离是_________． 【答案】 【分析】根据点到圆心的距离与半径的大小关系，判断点在内，点在圆内时，点到圆上各点的最大距离为半径与点到圆心距离的和． 【详解】解：的半径为，， ，即点在内， 点到上各点的最大距离为． 8．如图，，垂足为点，，，点是平面内的一个动点，且满足，则线段BM的最大值为__________． 【答案】8 【分析】先证明点M在以为直径的圆上，取的中点O，连接并延长交于点，B，O，三点共线，此时的值最大，据此求解即可． 【详解】如图，，， ， ∵， ∴， ， ∴点M在以为直径的圆上， 取的中点O，连接并延长交于点，B，O，三点共线，此时的值最大， ， ， ∴在中，， ，即的最大值为8． 9．如图，在矩形中，，，以为斜边在矩形所在平面作，，点为的中点，则的最小值为________． 【答案】1 【分析】取的中点，连接，，，先求出的长，再得出点的运动轨迹，利用圆的性质求最值即可． 【详解】解：如图，取的中点，连接，，， ∵在矩形中，，， ∴，， ∴在中，， ∵点为的中点，点为的中点， ∴， ∵在中，，点为斜边的中点， ∴， ∴点在以点为圆心、长为半径的圆上， ∴当点与和线段的交点重合时，的值最小，最小值为． 【点睛】本题的难点在于正确找出点的运动轨迹． 题型四 判断直线和圆的位置关系 10．的直径为，若圆心与直线的距离为，则与的位置关系是_______． 【答案】相交 【详解】解：的直径为， 的半径， 圆心与直线的距离， ， 直线与的位置关系是相交． 11．以坐标原点O为圆心，作半径为4的圆，若直线与⊙O相交，则b的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：当直线与圆相切，且函数经过一、二、四象限时，如图： 在中，令时，，则与y轴的交点是， 当时，，则与x轴的交点是， 则，即是等腰直角三角形， 在中，， 连接圆心O和切点C，则， ， ∴， 则； 同理，当直线与圆相切，且函数经过二、三、四象限时，； 则若直线与⊙O相交，则b的取值范围是． 12．如图，在平面直角坐标系中，的半径是，直线：与轴交于点，若直线与有公共点，则的取值范围是_____________． 【答案】 【分析】直线与圆有公共点，考虑临界情况即直线与圆相切. 由直线解析式可知直线与轴夹角为，结合圆的半径构造等腰直角三角形求解的长，从而确定的取值范围． 【详解】解：直线的解析式为， 直线与轴正半轴的夹角为， 当直线与相切时，圆心到直线的距离等于半径， 设切点为，连接， ，， ，， 是等腰直角三角形， ， 由勾股定理得， 当直线与轴正半轴相交且相切时，，即， 同理，当直线与轴负半轴相交且相切时，，即， 直线与有公共点， 点在轴上介于两切点之间，则的取值范围是． 题型五 已知直线和圆的位置关系求半径的取值 13．若直线l与半径为6的相离，则圆心O到直线l的距离d满足（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，熟知设的半径为，圆心到直线的距离为，当时，直线和相离是解答此题的关键． 根据圆与直线的位置关系，当直线与圆相离时，圆心到直线的距离大于半径即可求解． 【详解】解：∵直线与相离，的半径为， ∴圆心到直线的距离， 故选：B． 14．已知点O到直线l的距离为，以点O为圆心的与直线l有两个交点，则的半径可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了直线与圆的位置关系，根据圆心到直线的距离d与半径r的大小关系解答．若，则直线与圆相交；若，则直线于圆相切；若，则直线与圆相离．据此作答即可． 【详解】解：∵点O到直线l的距离为，以点O为圆心的与直线l有两个交点， ∴的半径． ∴的半径可能为． 故选：D． 15．已知在中，，，，以点为圆心，为半径作圆，若圆与斜边有两个公共点，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系、勾股定理及三角形面积公式的应用，解题的关键是求出点到的距离，并结合线段长度确定半径范围．先通过勾股定理求的长，再用面积法求点到的距离，结合直线与圆的位置关系及的长度，确定的取值范围． 【详解】解： 又 （d为C到的距离）， 即 ， ， 当 时，圆与相切，有一个公共点， 当 时，圆与相交， 为保证两个交点在线段上，需 故选：B． 题型六 已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 16．的半径为r，某直线与该圆有公共点，且与圆心的距离为d，则    （     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线与圆有公共点确定直线与圆为相交或相切的位置关系，以此推导与的大小关系． 【详解】解：∵直线与有公共点， ∴直线与圆相交或相切． ∵直线与圆相交时，相切时， ∴． 17．在平面直角坐标系中，直线是边长为1的正三角形，其中为坐标原点，则点P，Q到直线的距离之和的最小值是____． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标平面内两动点到直线的距离之和最小问题，根据题意，首先确定点P，Q的运动轨迹是以O为圆心，以1为半径的圆，然后过中点向直线l作垂线段，利用梯形的中位线定理把求P，Q到l的距离之和转化为求的最小值，由垂线段求得结果． 【详解】解：∵， ∴点P、Q在以O为圆心，以1为半径的圆上， 作于E，于F，取的中点N，作于M， 由梯形的中位线定理得，， 连接，当M，N，O三点共线时，最小， 对于直线，当时，，当时，，解得， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴的最小值， ∴P，Q到直线l距离之和的最小值为． 故答案为：． 18．如图，已知 的半径为6，点 到矩形某条边的距离为8，则这条边可以是 （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是熟练掌握直线与圆的位置关系：设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，若直线与圆相交；若．直线与圆相切；若直线与圆相离．过点作于E，作于F，作于G，作于H，由图可知：、与圆相交，与圆相离，与圆相切，则，，，，即可求解． 【详解】解：过点作于E，作于F，作于G，作于H， 由图可知：、与圆相交，与圆相离，与圆相切， 又∵的半径为6， ∴，，，， ∵点 到矩形某条边的距离为8，且， ∴点 到矩形某条边的距离为8，这条边可以是， 故选：C． 题型七 求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离 19．如图，在平面直角坐标系中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为（　　） A．1或5 B．1或3 C．3或5 D．1 【答案】A 【分析】分圆心在y轴的左侧和y轴的右侧两种情况，根据半径等于圆心到直线的距离写出答案即可． 【详解】解：当⊙P位于y轴的左侧且与y轴相切时，此时圆心P到y轴的距离是2，P的坐标为（﹣2，0），所以平移的距离为-2-（-3）=1； 当⊙P位于y轴的右侧且与y轴相切时，此时圆心P到y轴的距离是2，P的坐标为（2，0），所以平移的距离为2-（-3）=5． 故选：A． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是了解当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径，注意分类讨论． 20．如图，，圆心在边上的的半径为，．若在上向点移动，当与相切时，圆心移动的距离为________． 【答案】 【分析】此题重点考查平移的性质、切线的性质定理、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 当移动到与相切时，设圆心为，切点为，由，，，得，最后求解即可． 【详解】解：当移动到与相切时，设圆心为，切点为，则， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴圆心移动的距离为． 故答案为：． 21．如图，中，，，，半径为的与，相切，当沿边平移至与相切时，则平移的距离为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接OA，OB，OC，设此时点O到AC的距离为h，根据S△ABC=S△AOC+S△BOC+S△AOB，求出 S△AOC，即可求出h，即可得到答案． 【详解】当与AB，BC相切时，如图，连结OA，OB，OC，    设此时点O到AC的距离为h， ∵AC=6，BC=8，∠ACB=90°， ∴AB==10， ∴S△ABC=S△AOC+S△BOC+S△AOB， ∴AC·BC=S△AOC+（AB+BC）×1， ∴×6×8=S△AOC+×（8+10）×1， ∴S△AOC=24-9=15=AC·h=×6×h， ∴h=5， ∴的平移距离为5-1=4， 故选：B． 【点睛】本题考查了切线的性质，三角形的面积，勾股定理，掌握知识点是解题关键． 题型八 求直线平移到与圆相切时运动的距离 22．如图，在平面直角坐标系中，半径为2的圆的圆心的坐标为（-3，0），将圆沿轴的正方向平移，使得圆与轴相切，则平移的距离为（    ） A．1 B．3或6 C．3 D．1或5 【答案】D 【分析】分圆P在y轴的左侧与y轴相切、圆P在y轴的右侧与y轴相切两种情况，根据切线的判定定理解答即可求得． 【详解】解：根据题意可得：OP=3，圆P的半径为2， 当圆P在y轴的左侧与y轴相切时，平移的距离为3-2=1， 当圆P在y轴的右侧与y轴相切时，平移的距离为3+2=5， 故圆与轴相切，则平移的距离为1或5， 故选：D． 【点睛】本题考查了圆的切线的判定，图形的平移，分类讨论是解决本题的关键． 23．如图，的半径，直线，垂足为，且交于，两点，，若沿所在直线平移后与相切，则平移的距离是________． 【答案】或 【分析】连接，利用垂径定理可得，再由勾股定理可得，然后分两种情况解答即可． 【详解】解：连接， ∵直线，， ∴， 在中，， ∴， ∵直线l沿所在直线平移后与相切， ∴直线l应垂直于过点C的直径，垂足为直径的两个端点， ∴当直线向下平移时，直线l沿所在直线移动的距离为； 当直线向上平移时，直线l沿所在直线移动的距离为； 综上所述，平移的距离是或． 24．如图，在平面直角坐标系中， ⊙O的半径是1，直线AB与x轴交于点P(x，0)，且与x轴的正半轴夹角为45°，若直线AB与⊙O有公共点，则x值的范围是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设直线AB的解析式为y=x+b，当直线与圆相切时切点为C，连接OC，则OC=1，由于直线AB与x轴正方向夹角为45°，所以△AOC是等腰直角三角形，故OC=PC=1再根据勾股定理求出OA的长即可． 【详解】∵直线AB与x轴正方向夹角为45°， ∴设直线AB的解析式为y=x+b，切点为C，连接OC， ∴， ∵⊙O的半径为1， ∴△AOC是等腰直角三角形， ∴OC=PC=1， ∴OA==， ∴P（，0）， 同理可得，当直线与x轴负半轴相交时，P（，0）， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系，熟知直线和圆的三种位置关系是解答此题的关键． 题型九 切线的应用 25．如图，直线，垂足为，点在直线上，，为直线上一动点，若以为半径的与直线相切，则的长为________． 【答案】或/或 【分析】分点在点的左侧、点在点的右侧两种情况，根据切线的性质计算即可． 【详解】解：∵直线，为直线上一动点， ∴与直线相切时，切点为， ∴， 当点在点的左侧，与直线相切时，如图1所示： （）； 当点在点的右侧，与直线相切时，如图2所示： （）； ∴与直线相切，OP的长为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查的是切线的性质，熟练掌握切线的性质、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 26．如图，正五边形的两条边，与相切，切点为点，，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多边形的内角定理、切线的定义、三角形外角的性质，首先根据多边形的内角定理求出正五边形每个内角的度数为，根据切线的定义可知，从而可得，再根据三角形外角的性质求出的度数． 【详解】解：如下图所示，连接并延长到点， 五边形是正五边形， ， 又、是的切线， ， ， ，， ． 故选：D． 27．如图，在中，，，，点O是AB的三等分点，半圆O与AC相切，M，N分别是BC与半圆弧上的动点，则MN的最小值和最大值之和是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】设⊙O与AC相切于点D，连接OD，作垂足为P交⊙O于F，此时垂线段OP最短，PF最小值为，当N在AB边上时，M与B重合时，MN经过圆心，经过圆心的弦最长，根据图形与圆的性质即可求解. 【详解】如图，设⊙O与AC相切于点D，连接OD，作垂足为P交⊙O于F， 此时垂线段OP最短，PF最小值为， ∵，， ∴ ∵， ∴ ∵点O是AB的三等分点， ∴，， ∴， ∵⊙O与AC相切于点D， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴MN最小值为， 如图，当N在AB边上时，M与B重合时，MN经过圆心，经过圆心的弦最长， MN最大值， , ∴MN长的最大值与最小值的和是6． 故选B． 【点睛】此题主要考查圆与三角形的性质，解题的关键是熟知圆的性质及直角三角形的性质. 题型十 有关切线的概念辨析  28．如图，与相切的直线是（   ） A． B． C． D．和 【答案】A 【分析】本题主要考查切线的定义，根据与圆有唯一公共点的直线是圆的切线进行判断即可． 【详解】解：∵与有唯一公共点的直线是， ∴与相切的直线是， 故选：A． 29．如图，以边为直径作交于点，恰好是的切线，为切点，连接．若，则的度数为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、圆周角定理、切线的定义，首先根据切线的定义可得：，再根据三角形内角和定理求出，最后再根据圆周角定理可求． 【详解】解：为直径，是的切线，为切点， ， 在中，， ， 对应的圆心角为，圆周角为， ． 30．如图，点是外一点，现将直线绕点旋转，与定圈恰好只有一个交点，当时，的半径为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查切线的判定和性质．根据题意可得直线与切于点，再根据角的直角三角形的性质可得结论．掌握切线的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵直线绕点旋转，与定圈恰好只有一个交点，，设交点为， ∴直线与切于点，， 连接， ∴， ∴， ∴的半径为． 故选：D． 题型十一 判断或补全使直线为切线的条件 31．如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C画圆弧，则点B与下列格点连线所得的直线中，能够与该圆弧相切的格点坐标是(　　) A．(5，2) B．(2，4) C．(1，4) D．(6，2) 【答案】D 【分析】根据切线的判定在网格中作图即可得结论． 【详解】解：如图， 过格点A，B，C画圆弧，则点B与下列格点连线所得的直线中， 能够与该圆弧相切的格点坐标是(6，2)． 故选：D． 【点睛】本题考查了切线的判定，掌握切线的判定定理是解题的关键. 32．如图，是⊙O的直径，交⊙O于点，于点，下列说法不正确的是（    ） A．若，则是⊙O的切线 B．若，则是⊙O的切线 C．若，则是⊙O的切线 D．若是⊙O的切线，则 【答案】A 【分析】根据AB=AC，连接AD，利用圆周角定理以及等腰三角形的性质可以得到点D是BC的中点，OD是△ABC的中位线，OD∥AC，然后由DE⊥AC，得到∠ODE=90°，可以证明DE是⊙O的切线，可判断B选项正确； 若DE是⊙O的切线，同上法倒推可证明AB=AC，可判断D选项正确； 根据CD=BD，AO=BO，得到OD是△ABC的中位线，同上可以证明DE是⊙O的切线，可判断C选项正确； 若，没有理由可证明DE是⊙O的切线． 【详解】解：当AB=AC时，如图：连接AD， ∵AB是⊙O的直径， ∴AD⊥BC， ∴CD=BD， ∵AO=BO， ∴OD是△ABC的中位线， ∴OD∥AC， ∵DE⊥AC， ∴DE⊥OD， ∴DE是⊙O的切线，所以B选项正确； 当DE是⊙O的切线时，如图：连接AD， ∵DE是⊙O的切线， ∴DE⊥OD， ∵DE⊥AC， ∴OD∥AC， ∴OD是△ABC的中位线， ∴CD∥BD， ∵AB是⊙O的直径， ∴AD⊥BC， ∴AD是线段BC的垂直平分线， ∴AB=AC，所以D选项正确； 当CD=BD时，又AO=BO， ∴OD是△ABC的中位线， ∴OD∥AC， ∵DE⊥AC， ∴DE⊥OD， ∴DE是⊙O的切线，所以C选项正确． 若，没有理由证明DE是⊙O的切线，所以A选项错误． 故选：A． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键． 33．如图，点C在以为直径的半圆上，，点D在线段上运动，点E与点D关于对称，于点D，并交的延长线于点F，当长度为 __________________时，与半圆相切． 【答案】/1.5 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、切线的判定、轴对称的性质等知识，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 连接，，先证明是等边三角形，从而可得，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得，进而可得，然后再证，即可判断． 【详解】解：当时，与半圆相切． 连接，， ∵为直径， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵点E与点D关于对称， ∴， ∴， ∴， ∵是半的半径， ∴与半相切， ∴当时，与半圆相切． 故答案为：． 题型十二 证明某直线是圆的切线 34．如图，已知的半径为5，直线经过上一点P，下列条件不能判定直线与相切的是（    ） A． B． C．点O到直线的距离是5 D． 【答案】A 【分析】依据切线的判定定理“经过半径的外端且垂直于这条半径的直线”或“圆心到直线的距离等于半径”进行判断即可． 【详解】解：A、，不能判定直线与相切，符合题意； B、由，得到，且点P在上，能判定直线与相切，不符合题意； C、点O到直线的距离是5，等于半径，能判定直线与相切，不符合题意； D、且点P在上，能判定直线与相切，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了切线的判定；熟练掌握切线的判定是解题的关键． 35．如图，直线经过上的点C，并且，则直线和的位置关系是________． 【答案】相切 【分析】本题主要考查了切线的判定，等腰三角形的性质．连接，根据等腰三角形的性质，可得，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵直线经过上的点C， ∴直线和的位置关系是相切． 故答案为：相切 36．如图，为的切线，A为切点，B为上的一点，连接、交于点C，的延长线交于点D．则下列条件不能判断为的切线的是（    ） A． B． C．点A，B都在以为直径的圆上 D．平分 【答案】D 【详解】本题考查切线的性质和判定，全等三角形，连接，，根据选项条件证明即可解题． 解：∵为的切线， ∴， 连接，， ∴， ∴， ∴， ∴为的切线，故A正确，不符合题意； ∵，， ∴垂直平分， ∴， 即， ∴， ∴为的切线，故B正确，不符合题意； ∵点A，B都在以为直径的圆上， ∴， 又∵， ∴为的切线，故A正确，不符合题意； ∵平分， ∴， 再根据，，不能判断，故D错误，符合题意； 故选：D 题型十三 切线的性质和判定的综合应用  37．如图，是的直径，点为延长线上一点，经过点作的切线，点为切点，连接，．若，则的度数为___________． 【答案】/20度 【分析】因为点为的切点，连接，得，，可知的度数，根据是的外角，又因为，得到，由此即可求解． 【详解】解：∵点为的切点， ∴是的切点，即有，，且， ∴， 连接，得， ∴，且， ∴， 故答案是：． 【点睛】本题主要考查圆的切线的性质，理解切线的性质，即切点到圆心的连线垂直与切线，垂直为切点，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和以及等腰三角形的性质是解题的关键． 38．如图，为外一点，与相切于点，若，则 ______ 【答案】 【分析】本题考查了切线的性质、含角的直角三角形，解题的关键是掌握切线的性质． 根据与相切于点，得出，再利用含的直角三角形的性质求解． 【详解】与相切于点， ， ， ， ， 故答案为：． 39．如图，为外一点，连接，分别以，为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接交于点，以为圆心，为半径作圆，交于点，，连接，，．若，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意得点，在以为直径的上，连接，证明和都是的切线，利用切线长定理结合四边形内角和定理求解即可． 【详解】解：如图，由题意得点，在以为直径的上，连接， ∴， ∵和都是的半径， ∴和都是的切线， ∴， ∴． 题型十四 应用切线长定理求解 40．如图，，是的切线，，为切点，连接，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．据此解答即可． 【详解】解：∵，是的切线，，为切点，连接，， ∴平分， ∴． 41．如图，，是的切线，A，B为切点，是的直径，若，则___________． 【答案】/42度 【分析】根据切线及，得到，根据切线长定理得到，结合三角形内角和定理求解即可得到答案； 【详解】解：∵是的切线，A为切点，， ∴， ∴， ∵，是的切线，，为切点， ∴， ∴， ∴． 42．在直角中，，，为边BC上一点，为的内心（内心是指内切圆的圆心），F为的内心，若，则（） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】设分别与相切于点，连接，则，根据切线长定理求出，，得出，然后求出，，代入整理可得答案． 【详解】解：如图，设分别与相切于点，连接，则， ∵， ∴点M在线段上． 由切线长定理得，， ∵， ∴， ∴， 同理可得，， ∴， ∴． ∵，， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型十五 应用切线长定理求证 43．如图，切于，切于，交于，连接，下列结论中，错误的是（　　）．    A． B． C． D．以上都不对 【答案】D 【分析】连接，，根据切线长定理可得，再证明，问题得解． 【详解】连接，，如图，    ∵切于，切于， ∴，即是等腰三角形， ∵，， ∴， ∴，即平分， ∴，即A、B、C三项都正确， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了切线长定理，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，掌握切线长定理，是解答本题的关键． 44．如图，圆O的圆心在梯形的底边上，并与其它三边均相切，若，，，且，则长为（    ） A．b B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了切线长定理、切线的性质等知识，利用切线的性质得出，证明，进而得出，即可得到，同理可证，由得到，即可得到答案． 【详解】解：连接，圆O的圆心在梯形的底边上，并与其它三边均相切，切点分别为，如图，连接， 则， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可证，， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 45．如图，P为外一点，和为的两条切线，A和B为切点，为直径，连接，．如果，那么的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，证明得，根据圆周角定理求出，可得，进而可求出的度数． 【详解】解：如图，连接， ∵和为的两条切线， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． 题型十六 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 46．已知一个三角形的三边长分别为5、5、6，则其内切圆的半径为（　　） A．3 B．5 C． D． 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质可得，根据切线长定理和勾股定理可得，进而可求内切圆的半径．本题考查了三角形的内切圆与内心，解决本题的关键是掌握三角形内心的性质． 【详解】解：如图， 根据题意，得 ， 设圆O是等腰的内切圆，切圆于点D，切圆于点E， 连接， ∴， ∴， ∴， 根据切线长定理可知： ， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理，得 ， 解得． ∴内切圆O的半径为． 故选：C． 47．如图，在中，，，，则的内切圆半径___________． 【答案】2 【分析】由勾股定理可得，如图：连接，再根据三角形面积列方程求解即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 如图：连接， ∵， ∴， 即， 解得：． 48．如图，在Rt中，，是的内切圆，三个切点分别为，，，若，，则的半径是（    ） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 【答案】C 【分析】本题考查切线长定理、三角形的内切圆及勾股定理，解题的关键是理解切线长定理、三角形的内切圆的性质． 根据切线长定理得到，，，代入求解即可得到答案． 【详解】解：连接，， 设的半径为， 在四边形中，， 四边形为矩形， 又， 四边形为正方形， 则， 由切线长定理得：，， ，， 在中，， ， 解得：或（负值舍去）， 故选：C． 题型十七 三角形内心有关应用 49．已知为的内切圆，则点O是的（     ） A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三边垂直平分线的交点 D．三条角平分线的交点 【答案】D 【详解】解：∵是的内切圆， ∴点O是的内心，即三条角平分线的交点． 50．如图，点为的内心，，则的度数是______． 【答案】/120度 【分析】此题主要考查了三角形内心的性质以及三角形内角和定理，正确得出是解题关键． 首先求出，然后利用内心的性质得出，，进而利用三角形内角和定理得出，进而求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵O是的内心， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 51．如图，点为的外心，点为的内心，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题重点考查三角形的内切圆与内心、三角形的外接圆与外心、圆周角定理、三角形内角和定理等知识，正确地求出的度数是解题的关键． 作的外接圆，则该圆的圆心为点O，求得，因为点I是的内心，所以，，求得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图，作的外接圆， ∵点O是的外心， ∴的外接圆的圆心为点O， ∵，， ∴， ∴， ∵点I是的内心， ∴平分，平分， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 题型十八 一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 52．如图，是的内切圆，与，，分别相切于点D，E，F．若的半径为r，，，，则的面积为（   ） A． B．12r C．13r D．26r 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内切圆与三角形三边的关系，熟练掌握三角形三边与内切圆的关系是解答此题的关键； 根据三角形面积=三角形边长之和乘以内切圆半径之积的一半． 计算即可． 【详解】 是的内切圆且半径为r，，， ， ， 则的面积为， 故选：C 53．如图，的内切圆分别与，，相切于点D，E，F，且，．若的周长为36，则的长为________． 【答案】8 【分析】本题考查了三角形内切圆、切线长定理．由切线长定理可得，，，从而得出的值，再由三角形周长得出的值，设，列出关于x的方程求解x的值，即可得出的值． 【详解】解：∵的内切圆分别与，，相切于点D，E，F， ∴，，， ∵，， ∴，， ∴， 又∵的周长为36， ∴， 设， ∴， ∴， 解得：， 即的长为8， 故答案为：8． 54．如图，在中，，为中线，若，，设与的内切圆半径分别为，，那么的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的内切圆与内心，直角三角形的斜边中线的性质，根据直角三角形的边角关系和性质求出，，，，再利用三角形内切圆半径，三角形周长与面积之间的关系分别表示，，由可求出答案． 【详解】解：如图，连接，，，，，，过点O，点I分别作的垂线，垂足分别为M，N， 在中，，，， ∴， ∵为中线， ∴， ∵，即， ∴ ∴． 故选：B． 题型十九 三角形内切圆与外接圆综合 55．如图，点是外接圆的圆心，点是的内心，连接．若，则的度数为___________． 【答案】/10度 【分析】本题考查了三角形的内心和外心的概念、圆周角定理、三角形内角和定理； 连接，由点I是的内心可得平分，根据角平分线的定义可得，根据圆周角定理可得，根据等腰三角形的定义及三角形内角和定理进行计算即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， ∵点I是的内心， ∴平分， ∵， ∴， ∵点O是外接圆的圆心， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 56．如图，、在网格中小正方形的顶点处，每个小方格的边长为，在此网格中找两个格点（即小正方形的顶点）、，使为的外心，则的长度是______． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，勾股定理，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据为的外心，可得，从而以点为圆心，以长为半径作圆，交格点为点，点，然后利用勾股定理进行计算即可解答． 【详解】解：如图：连接，以点为圆心，以长为半径作圆，交格点为点，点， 由题意得：， 的长度是， 故答案为：． 57．若等边内接于等边的内切圆，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形的内切圆与内心的性质，由于、都是等边三角形，因此它们的外心与内心重合；可过内切圆的圆心O分别作、的垂线，连接、；在构建的含特殊角的直角三角形中，用的半径分别表示出、的长，进而可求出它们的比值． 【详解】解：∵和都是等边三角形， ∴它们的内心与外心重合． 如图，过点O作的垂线，交于E，连接、． 设圆O的半径为R． 中，∵， ∴，即． 中，∵， ∴，即． ∴． 故答案为：． 题型二十 过圆外一点作圆的切线 58．如图，点A在外，连接，作线段的中点B，以B为圆心，为半径作，与交于两点C，D，连接，则，均为直角，直线，是的两条切线．得到，均为直角的依据是（    ） A．同弧或等弧所对的圆周角相等 B．经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 C．直径所对的圆周角是直角 D．圆的切线垂直于过切点的半径 【答案】C 【分析】本题考查了作圆的切线，直径所对的圆周角是直角．根据“直径所对的圆周角是直角”解答即可． 【详解】解：由作图知，是的直径， ∴，， ∴得到，均为直角的依据是直径所对的圆周角是直角， 故选：C． 59．以下是“用尺规过圆外一点作圆的切线”的作图过程： 已知：如图，及外一点． 作法：连结，作线段的垂直平分线交于点； 以点为圆心，的长为半径作圆，交于点、点； 作直线，． 说明：连结． ∵以点为圆心，的长为半径作圆，∴为的直径，∴_____°． ∵为半径，∴为的_____，且_____（填“”、“”或“”）．    【答案】 ； 切线； ． 【分析】本题考查了作图-复杂作图，线段垂直平分线的性质、圆周角定理和切线的判定与性质，先根据圆周角定理的推论得到，，然后根据切线的判定定理得到直线为切线，同理可证，直线也是的切线，熟练掌握以上知识点的应用是解题的关键． 【详解】连接，    ∵为的直径， ∴， ∵为半径， ∴为的切线， 同理为的切线， ∴， 故答案为：；切线；． 60．已知是外一点，用直尺和圆规过点作的切线．以下是甲、乙两人的作法： 下列判断正确的是（    ） 甲：①如图1，连接，以为直径作圆，交于，两点． ②连接，，，就是的切线． 乙：①如图2，连接，交于点．以点为圆心，为半径画弧，交于点． ②连接，就是的切线． A．甲、乙的作法都正确 B．甲、乙的作法都错误 C．甲的作法错误，乙的作法正确 D．甲的作法正确，乙的作法错误 【答案】D 【分析】本题考查了切线的作法，切线的判定．甲：连接、，利用圆周角定理求得，即可证明是的切线；乙：连接，不能证明是的切线． 【详解】解：甲：连接、， 由作图知，是直径， ∴， 又∵、是的半径， ∴是的切线； ∴甲的作法正确； 乙：连接， 由作图知，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 若是的切线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵不一定等于， ∴不一定是的切线， ∴乙的作法不正确； 故选：D． 题型二十一 圆内知识综合 61．如图，⊙O的弦BC长为8，点A是⊙O上一动点，且∠BAC=45°，点D，E分别是BC，AB的中点，则DE长的最大值是_____．    【答案】4 【分析】当AC是直径时，DE最长，求出直径即可解决问题． 【详解】当AC是直径时，∵∠BAC＝45°，∠ABC＝90°， ∴∠BAC＝∠BCA＝45°， ∴AB＝BC＝8， ∴AC＝=8， ∵AE＝EB，BD＝DC， ∴DE＝AC＝4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查三角形中位线性质、圆的有关性质，解题的关键是灵活应用三角形中位定理识解决问题，属于中考常考题型． 62．已知一个等腰直角三角形， ，，分别以A，B为圆心，以a的长为半径作圆，两圆的交点为点D，若的长度为2，则的长为________． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理和圆的有关知识，学会分类讨论是解题的关键； 根据勾股定理求出，设与其垂直平分线的交点为E，分和两种情况讨论，根据直角三角形的勾股定理分别求解即可． 【详解】以A，B为圆心，以a的长为半径作圆，两圆的交点 D 在AB 的垂直平分线上． ∵ ，， ， 如图，    设与其垂直平分线的交点为E， 则 ， 当的长为2时，如图， 即 ， ①在中， ， ②在中， ， 综上， 的长为或． 故答案为：或 63．如图，⊙O的直径，弦，过⊙O上一点D作切线，交的延长线于点E，若，则的长为（    ） A．3 B．2 C．4 D．4 【答案】B 【分析】连接交于点F，证明四边形是矩形，点O圆心且，可得是的中位线，可得F为的中点，由勾股定理的，即可求出的长． 【详解】解：连接交于点F点， 为直径， ， ∴， 又为切线， ， ∴， 四边形是矩形， ，， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题考查圆知识的综合应用，解题的关键是掌握切线的性质、圆周角定理、矩形的判定、垂径定理． 题型二十二 圆与三角形的综合 64．如图，是等边的外接圆，若，则的半径是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】是等边的外接圆，如图所示，连接，过点作于，证明是含特殊角的直接三角形，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， 如图所示，连接，过点作于， ∵是等边的外接圆，， ∴，平分，是弦的垂直平分线， ∴， ∴在中，， 设，则， ∴，即，解得，（舍去），， ∴ ∴的半径是， 故选：． 【点睛】本题主要考查等边三角形，圆，含特殊角的直角三角形的综合，掌握等边三角形的性质，外接圆的性质，含特殊角的直角三角形的性质是解题的关键． 65．如图，的半径为5，弦，点C在弦上，延长交于点D，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理等知识点，根据勾股定理、垂径定理求出的长是解题的关键． 过O作于H，由垂径定理得到，由勾股定理求出，当C和H重合时，的最小值是，当是圆直径时，的值最大是，即可得到的取值范围． 【详解】解：过O作于H， ∴， ∵的半径为5， ∴， ∴， ∴当C和H重合时，的最小值是4，的最小值是， 当是圆直径时，的值最大是， ∴的取值范围是． 故答案为：． 66．如图，已知直线，与轴、轴分别交于、两点，是以为圆心，为半径的圆上一动点，连接、，则面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查的是一次函数图象与坐标轴的交点、圆上动点问题，勾股定理，求出圆上距离直线最近的点到直线的距离是解决此题的关键．过点作于点，连接，根据一次函数求出点、的坐标，然后利用等面积即可求出的值，根据圆上距离直线最远的点为，即可求得面积的最大值． 【详解】解：过点作于点，连接， 令，则， 令，则，得， 点，点， ，，， 根据勾股定理可得：， 则由三角形面积公式得：， ， ， ， 圆的半径 圆上点到直线的最大距离是，即 ， 则面积的最大值为：， 故选：C． 题型二十三 圆与四边形的综合 67．如图，是平行四边形，是的直径，点在上，，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查圆的性质、等边三角形的判定与性质，平行四边形的性质，角的正弦值等知识，连接，作于点，由图可知，阴影部分的面积的面积，根据题目的条件和图形，可以求得的面积，从而可以解答本题． 【详解】解：连接，作于点， ∵是的直径，点在上，， ， 是等边三角形， ， 是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴是四个全等的等边三角形，边长均为2， ∵， ∴， ∵ ∴弓形的面积弓形的面积， 图中阴影部分的面积为等边三角形的面积， 即图中阴影部分的面积为， 故选：A． 68．如图，正方形内接于．点E为上一点，连接、，若，，则的长为___． 【答案】 【分析】连接、、，由圆内接正方形的性质可得到，，，进而证得是等边三角形，得到，根据勾股定理求出，即可得到． 【详解】解：如图，连接、、， ∵正方形内接于， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正多边形和圆，正方形的性质，等边三角形的性质，勾股定理等知识，证得是等边三角形是解决问题的关键． 69．如图是一张四边形纸片，已知，要在该纸片中剪出一个圆形纸片，则圆形纸片的半径的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了四边形内切圆的性质与面积法求半径，解题的关键是通过圆心到各边的距离（即半径）分割四边形，利用面积和建立方程． 设内切圆圆心为，半径为，利用，即；代入，，，解得． 【详解】解：设内切圆圆心为，半径为，连接及四个切点（如图）； 根据切线的性质定理可知，每条半径r都与四边形的各边垂直。 ∵， ， ∴， 即， ∴． 故选：B． 题型二十四 圆与函数的综合 70．如图，已知的半径为1，圆心在抛物线上运动，当与轴相切时，圆心的横坐标为______． 【答案】2或或0 【分析】当⊙P与x轴相切时，圆心P的纵坐标为1或-1，根据圆心P在抛物线上，所以当y为±1时，可以求出点P的横坐标． 【详解】解：当y=1时，有1=-x2+1，x=0． 当y=-1时，有-1=-x2+1，x=． 故答案是：2或或0． 【点睛】本题考查的是二次函数的综合题，利用圆与x轴相切得到点P的纵坐标，然后代入抛物线求出点P的横坐标． 71．如图，A，B是半径为1的⊙O上两点，且OA⊥OB，点P从点A出发，在⊙O上以每秒一个单位长度的速度逆时针匀速运动，回到点A运动结束，设运动时间为x（单位：s），弦BP的长为y，则表示y与x的函数关系的图象大致是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】当点P逆时针旋转时，在运动到B点之前，PB越来越小，过了B点PB越来越长，而PB最大等于直径长为2，所以可以直接选出对应图像． 【详解】当点P在如图位置时，PB的长小于PA， ∵OA=1，OA⊥OB， ∴∠AOB=90°， ∴PA= ，∴PB<PA<； 当P运动到点B时，PB=0，然后过了点B后PB逐渐增大，最大时PB为直径长即为2； 由此可知A项图像最符合题意， 故答案为：A． 【点睛】此题考查有关圆上的动点问题，可以根据运动轨迹来判断线段长度的变化，找出PB的最大值和最小值是解题关键点，难度一般． 72．在平面直角坐标系中，，连接，，以P为圆心，1个单位长度为半径作，Q为上一点，连接，记的面积为S，则S的取值范围为_____． 【答案】 【分析】中长度固定，面积随点到直线的距离变化而变化.先求出的长度和直线的解析式，再求出圆心到直线的距离，结合的半径得到圆上点到的最小距离和最大距离，最后根据三角形面积公式计算的取值范围． 【详解】设直线的解析式为，代入坐标得： ，解得， 即直线的解析式为， 过圆心作轴， 把代入中得， 点的坐标为， 已知 ， 设， ， ， ， 的半径， 圆上点到直线的距离的最小值为，最大值为， 由三角形面积公式，其中为点到直线的距离，代入得： 当时， 当时， 故的取值范围为． 解答题 1．在中，． (1)若以点为圆心，2cm长为半径画，则直线与的位置关系如何？ (2)若线段与半径为的有唯一公共点，求的取值范围． 【答案】(1)直线与相离． (2)的取值范围是或． 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系和半径的取值范围： 先依据勾股定理的逆定理确定为直角三角形，再用等面积法求出直角三角形的高，通过直线与圆的位置关系，即可求解； 分类讨论：当半径为，，时，与交点的个数，即可求出半径的取值范围． 【详解】（1）解：在中， ， 可得， ， 为直角三角形，且． 如图，过点作于点， 则的面积为：， 即， ． ， 直线与相离． （2）解：若线段与半径为的有唯一公共点， 如图所示：    ， 当时，与有两个交点， 当时，与有一个交点， 当时，与有一个交点， 综上所述：的取值范围是或． 【点睛】本题考查了直角三角形的判定、点到直线的距离以及直线与圆的位置关系，利用勾股定理的逆定理判定直角三角形，再结合面积法求出点到直线的距离，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题关键． 2．如图，在中，，，为边上一点，，，的半径为1，当所在直线与相切、相离时，分别求出的取值范围． 【答案】当所在直线与相切时，；当所在直线与相离时， 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系、含30度的直角三角形，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题的关键． 过点作于点，则，根据三角形内角和定理可得，则有，由题意得，再分所在直线与相切或相离两种情况讨论，即可求出的取值范围． 【详解】解：如图，过点作于点， 则， ∵，， ∴， ∴在中，， ∵为边上一点，， ∴， ∵的半径为1， ∴当所在直线与相切时，则，即，解得； 当所在直线与相离时，则，即，解得， ∴； ∴综上所述，当所在直线与相切时，；当所在直线与相离时，． 3．如图，半圆O的直径，点C是半圆弧上一点，点D为的中点，延长交于点G．在射线上取一点E，使得． (1)当点E为中点时，求的长； (2)过点E作直线的垂线，垂足为F，连接．证明，并求的最大值． 【答案】(1) (2) 证明：连接，作，垂足为H，，交延长线于点I， ， ． 又，， ， ． 为直径， ． ，， ， ， ， 平分 ； 的最大值为 【分析】本题主要考查了勾股定理，圆周角定理，等腰三角形的性质和判定，矩形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，切线的性质， 对于（1），设，则，可得，再根据勾股定理列出方程求出解即可； 对于（2），连接，作，，再根据“角角边”证明，可得，然后证明，可得，最后根据角平分线性质的逆定理得出答案； 过C作的平行线，可得，作，可得四边形为矩形，进而得出，再说明，然后根据圆心O到直线的距离半径，即，，可知当N与C重合，即与圆相切时，取得最大值为5，此时的最大值为，最后根据等腰直角三角形的性质得出答案． 【详解】（1）解：设，则， ， 为直径， ， ， 即， 解得， ； （2）解：过C作的平行线，交延长线于M，则， 作于N，交于P， 则，四边形为矩形， ，为中点， ， ． ∵直线与必有交点C， ∴圆心O到直线的距离半径，即，， ∴当N与C重合，即与圆相切时，取得最大值为5， 的最大值为． ， ∴在等腰直角三角形中，， 的最大值为． 4．如图，，是的切线，A，B为切点，延长交的延长线于点D，若，求的长． 【答案】 【分析】证明，设，进一步利用勾股定理列方程计算即可． 【详解】解：∵，是的切线，A，B为切点， ， 设， ， ， 在中，， 即， 解得， ． 5．如图，是的直径，是的切线，为延长线上一点，延长交于点，，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明：连接， 是的直径，是的切线， ， ， ，， ， ， ， 四边形中，， ， ， 是的半径， 是的切线； (2) 【分析】（1）连接，根据切线的性质得，根据四边形的内角和是及，，可得，进而即可证明结论； （2）根据证明，得，根据勾股定理求出，进而根据勾股定理建立方程即可求得的半径． 【详解】（1）略 （2）解：， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 中，， 在中，， 即， 解得， 即的半径为． 6．一摄影爱好者做一个实地测量，用无人机在一半径为50米的球体表面P点正上方80米处F点看到球体表面最远点M、N两点． (1)求的长度； (2)求M、N两点的距离． 【答案】(1)米； (2)米． 【分析】此题考查了切线长定理、切线的性质定理、勾股定理等知识，熟练掌握切线长定理、切线的性质定理是关键． （1）连接，根据切线的性质和勾股定理进行解答即可； （2）设线段与相交于点，证明垂直平分线段，由得到，即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，连接， 由题意可得，均是的切线， ∴， ∵米，米， ∴米， ∴米， 即的长度为米； （2）设线段与相交于点， ∵均是的切线， ∴, ∵， ∴垂直平分线段， ∴， ∴米， ∴米， 故M、N两点的距离为米． 7．已知直角三角形，，，，在边上有一点 ，使三角形与三角形的内切圆半径相等，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等，也考查了勾股定理的应用． 【详解】解：在直角三角形中， ，，， 根据勾股定理可得：． 设，则， 在直角三角形中，同理可得． 设的内切圆半径为​，根据直角三角形内切圆半径公式（其中为直角边，为斜边），可得：． 设的内切圆半径为​，其周长为， 在中，， 可得其周长． ， 由三角形内切圆公式可得，． ， ． 设，则方程化简为：， 交叉相乘得，， 展开左侧并化简，结合，解得． 将代入得：，解得（负值舍去）． 8．如图，点是的内心，点是的外心． (1)请仅用没有刻度的直尺在上一个点，使得． (2)试判断点是图中哪三个点构成的三角形的外心，并说明理由．（如需画草图，请使用图2） 【答案】(1) 如图所示，点D为所求： (2) 点是图中的外心，理由如下： 如图，连接， 由（1）知， ∴，即， ∴， ∴点在以点D为圆心，为半径的圆上，即是的外心． 【分析】本题考查了三角形外心与内心，弧与弦的关系，圆周角定理．熟记三角形外心与内心的性质是解题的关键． （1）连接，并延长交于点，连接，由三角形内心的性质可得平分，平分，得到，根据圆周角定理可得，推出，进而求出，即可得到； （2）如图，连接，由（1）知，圆周角定理可得，推出，进而得到点在以点D为圆心，为半径的圆上，即是的外心． 【详解】（1）解：∵点是的外心， ∴是的外接圆， ∵点是的内心， ∴平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）略 9．对于和点，给出如下定义：若过点的直线与有两个交点，且的大小为，则称为的“生成点”，特别地，若这样的直线只存在一条，则称点为的“完美生成点”． (1)如图，在平面直角坐标系中，的半径为4，点，，． ①在点，，中，点 是的“生成点”； ②过点的直线交轴于点，且．若直线上的点是的“完美生成点”，直接写出点的坐标： (2)已知的长为2，若线段上的所有点都是某个圆的“完美生成点”，且，直接写出这个圆的半径的取值范围． 【答案】(1)①点、点；②或 (2) 【分析】本题考查圆心角，弦心距，解直角三角形； （1）①根据定义判断即可；②“完美生成点”就是该点到圆心的距离等于圆心角所对弦的弦心距，据此可求出坐标； （2）如果一个点到某个圆的圆心的距离等于圆心角所对的弦的弦心距时，那么该点就是这个圆的“完美生成点”，线段上的所有点都是某个圆的“完美生成点”，且，即线段上的所有点到这个圆的圆心的距离都可以等于这个圆的圆心角（）所对的弦的弦心距，分别算出和时的弦心距与半径的关系即可求出半径的取值范围． 【详解】（1）解：①在中作圆心角，点在上，过点作直线，线段为的弦， ∵的半径为4，， ∴圆心到弦的距离，即弦心距， ∵， ∴将直线绕圆心O旋转，直线可以正好经过点D，如图所示： ∴过点的直线与有两个交点，且，点为的“生成点”， ∵， ∴将直线绕圆心O旋转，直线可以两次经过点F，如图所示： ∴过点有两条直线与有两个交点，且，点为的“生成点”， ∵， ∴， ∴将直线绕圆心O旋转，直线无法经过点E，如图所示： ∴点不是的“生成点”． 综上：点、点为的“生成点”． 故答案为：点、点． ②在中作圆心角，点在上，过点作直线，线段为的弦， ∵的半径为4，， ∴圆心到弦的距离，即弦心距， 过点作，过点作轴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴将直线绕圆心O旋转，直线有且只有一次经过点P， ∴过点P的直线与有两个交点，这样的直线只存在一条，且，点P为的“完美生成点”， ∴当点G在x轴正半轴时，点P坐标为，当点G在x轴负半轴时，点P坐标为， ∵直线直线上除点以外的其他点到圆心的距离大于弦心距， ∴直线直线上除点以外的其他点会有两条直线经过，不是的“完美生成点”． （2）解：由（1）得，如果一个点到某个圆的圆心的距离等于圆心角所对的弦的弦心距时，那么该点就是这个圆的“完美生成点”， 当，即时，如图所示， 此时弦心距， 当，即时，如图所示， 此时弦心距， ∴此时线段上的点到点的距离， ∴线段上的所有点都是这个圆的“完美生成点”，且， ∵，，， ∴，解得：， ∴当一个圆的半径时，可以使得线段在这个圆的内部且线段上的所有的点到圆心的距离，即线段上的所有点都是某个圆的“完美生成点”，且， ∴半径的取值范围为． 10．如图，以为直径的经过点，点是的中点，连接，过点作的切线交延长线于点． (1)求证：； (2)若的半径为，求的长． 【答案】(1)证明：如图，连接交于点． 与相切于点， ，即． 是的直径， ，即， ． ， ， ． ∵点是的中点， ， ； (2) 【分析】（）连接，由切线性质得，结合直径所对圆周角为直角推出与相等，再通过得到等角，依据弧中点性质完成角等量代换，最终证得； （）设，利用弧中点垂径定理得，通过两个直角三角形的勾股定理列方程求出，再计算，最后由垂径定理得出长度． 【详解】（1）略 （2）解：设， ∵的半径为， ∴， ∴， ∵点是的中点， ， 在中，， 在中，， ， ， ∴， 解得， ， ∴， ． 11．如图，圆内接四边形满足，连结、，是延长线上的一点，过点作于点． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ， ， ， ， ， ， 平分； (2)8 【分析】（1）根据圆的内接四边形，得到，可推导出，继而推导出，即可解答； （2）过作于，推导出，可证明，得到，继而推导出，可求出，进而求出的长即可． 【详解】（1）略 （2）解：过作于， 平分，，， ， 在和中 ， ， 在和中 ， ， ， ， ， 答：的长为． 12．在平面直角坐标系中，对于线段和直线（点，均不在直线上且直线不与直线平行），给出如下定义：过线段的两个端点分别作直线的平行线，交轴于点和，称线段的长为线段关于直线的纵影长． (1)如图，已知点，点，线段关于直线的纵影长为______； (2)已知点，点，线段关于直线的纵影长为4，则的值为______； (3)已知，的半径为．若上存在点，使线段关于直线的纵影长与线段关于直线的纵影长的和为，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，一次函数的图像与性质等知识点，能够掌握数形结合和极限思维是解题的关键． （1）根据题意可设为，为，根据待定系数法即可求得为，为，将分别代入上式，可得和，进而求出答案； （2）直线一条过点旋转的直线，可以先确定一条直线，根据定义画出图像，结合平行的性质，可以将进行平移，且，所以可以得到点坐标，从而利用待定系数法求解； （3）根据线段关于直线的纵影长与线段关于直线的纵影长的和为，确定点的运动轨迹，然后可以确定与该轨迹有交点的圆的位置，从而可以求出半径的范围． 【详解】（1）解：∵过线段的两个端点分别作直线的平行线，交轴于点和，称线段的长为线段关于直线的纵影长， ∴，， 设为，为， 将点，点分别代入上面两个式子，即，， ∴，， ∴为，为， 将分别代入上面两个式子，即，， ∴点和 ∴， ∴线段关于直线的纵影长为． （2）解： 是一条过点旋转的直线，如图，根据定义可知，当线段关于直线的纵影长为4时，，则或， 将，代入得， ，解得， 根据纵影长的定义可知， ， 将，代入得， ，解得， 根据纵影长的定义可知， ， 综上所述，或． （3）过点分别作直线和直线的平行线，分别交轴于点，， 当线段关于直线的纵影长与线段关于直线的纵影长的和为时，， 如图，当，位于点两侧时，，过点作，与轴交于，与轴交于， 设， 与平行； ， ， 与平行， ， ， ， 则， ，即点的横坐标为， 当点的横坐标为2时，令与重合，的纵坐标为2，令与重合，的纵坐标为4， 当点的横坐标为2时，令与重合，的纵坐标为2，令与重合，的纵坐标为4， 此时点的运动轨迹如图所示， 如图，当，位于点同侧时，设， 当在第一象限， 设过点分别与直线和直线平行的直线为，， 代入得，则， 故，， 令得，，， ，即在直线上运动， ， ， 同理可以找到在第二象限，第三象限和第四象限的运动轨迹，如下图， 整理可得完整的运动轨迹，以为圆心，为半径的圆需与此轨迹有交点， 当刚好与轨迹相切时，， 当过点时，， 综上，． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $