专题01一元二次方程的概念及解法知题通关讲义(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年苏科版九年级数学上册

专题01一元二次方程的概念及解法知题通关讲义 知识点01:一元二次方程定义与判定条件 1.定义：只含有一个未知数，未知数最高次数是 2，且等式两边都是整式的方程。 2.三大判定条件，缺一不可： ① 整式方程，分母不含未知数；② 只含 1 个未知数；③ 未知数最高次数为 2，二次项系数a≠0。 3.方程判定对比 知识点02:一元二次方程一般形式 标准形式：ax2+bx+c=0(a、b、c)为常数，a≠0) ax2：二次项，a为二次项系数； bx：一次项，b为一次项系数； c：常数项。 书写要求：所有项移至等式左侧，右侧化为 0，优先将二次项系数化为正数。 知识点03:一元二次方程的根 1.概念：能让方程左右两边数值相等的未知数的值，叫做方程的根。 2.检验根标准步骤： ① 将数值分别代入方程左、右两侧； ② 分别计算两侧结果； ③ 若左边 = 右边，该数值为方程的根。 3.参数求解应用：已知根，把根代入方程，建立关于参数的等式，求出参数。 例：x=2是x2-ax+2=0的根，代入得4-2a+2=0，解得a=3。 知识点04.一元二次方程的解法【四法通关：选法有技巧，步骤有模板】 核心原则：能简不繁，优先选法顺序：因式分解法→直接开平方法→配方法→公式法 1. 直接开平方法【平方型专属，一步到位】 ✅ 适用：x2=p(p≥0) 或 (mx+n)2=p(p≥0)（无一次项，可凑平方） 解题步骤： 1.把方程化为(mx+n)2=p的形式 2.当p≥0时，两边开平方得mx+n=±​ 3.解两个一元一次方程，得到方程的根 2. 因式分解法【乘积为 0 专属，最快解法】 ✅ 适用：方程右边为 0，左边能分解为两个一次因式乘积（提公因式 / 平方差 / 十字相乘） 步骤： 1.移项：把方程右边化为 0 2.因式分解：把左边分解为两个一次因式的乘积 3.降次：令每个因式分别为 0，得两个一元一次方程 4.求解：解两个一元一次方程 3. 配方法【万能基础法，为公式法铺路】 ✅ 适用：所有一元二次方程（尤适二次项系数为 1、一次项系数为偶数） 解题步骤（以x2+bx+c=0为例）： 1.移项：把常数项移到右边，得x2+bx=−c 2.配方：两边加一次项系数一半的平方，得x2+bx+()2=−c+()2 3.化为平方形式：(x+)2= 4.用直接开平方法求解 4. 公式法【万能终极法，无技巧硬解】 ✅ 适用：所有一元二次方程（前三种方法无法快速求解时用） 解题步骤： 1.把方程化为标准形式ax2+bx+c=0（a0） 2.计算判别式：Δ=b2−4ac 3.若Δ≥0，代入求根公式：；若Δ<0，方程无实数根 知识点05:一元二次方程.四大方法・择优解题 知识点06:一元二次方程根的判别式｜秒判根的个数・必考考点 一、判别式定义 对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a0))，把 △=b²-4ac 叫做根的判别式。 2.根的判别式（△=b²-4ac） △>0：两个不相等实数根 △=0：两个相等实数根 △<0：无实数根 3.重要前提 使用判别式的先决条件：方程必须是一元二次方程，即 a0，含参数题目必须分类讨论。 1、忽略一元二次方程二次项系数不为0的限定条件 易错提醒：判定一元二次方程或者求解相关参数时，只关注未知数最高次数等于2，忽视二次项系数a≠0；题干没有明确说明该方程是一元二次方程时，应当分类讨论a=0（降为一元一次方程）与a≠0两种情况。 2、化为一般形式过程中移项符号处理错误 易错提醒：整理成一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)}，移项必须改变移动项的符号；移项符号出错会直接导致a、b、c取值全部错误；a、b、c的取值要包含各项自带的正负符号。 3、方程两边约去含有未知数的公因式造成丢根 易错提醒：解方程时，不可以在等式两侧直接除以含有未知数的代数式；该代数式取值有可能为0，直接约去会丢失一个实数根；正确操作为先移项，再提取公因式因式分解求解。 4、直接开平方法开方运算遗漏负根 易错提醒：对于(x+m)2=k (k≥0)的形式，开平方后得到x+m=±，容易只取正平方根，遗漏负根；当k<0时，方程没有实数根，不得强行写出方程的解。 5、配方法变形时等式没有同步加减常数 易错提醒：进行配方运算前，先将二次项系数化为1；等式左右两侧必须同时加上一次项系数一半的平方；仅在等式左侧增加常数而右侧不变，会破坏等式；配方前确认二次项系数已经化为1。 6、求根公式代入时a、b、c符号代入失误 易错提醒：使用求根公式之前，先把方程整理为一般形式；a、b、c连同自身正负符号整体代入公式；重点注意-b项，b本身为负数时极易发生错误；先计算判别式=b2‑4ac，<0时方程无实数根。 7、判别式和求根公式内的根式概念混淆 易错提醒：判别式 = b2‑4ac不带根号，根号只出现在求根公式之中；实数根判定规则：>0，两个不相等的实数根；=0，两个相等的实数根；<0，无实数根。 8、因式分解法解方程混淆“或”与“且”的逻辑关系 易错提醒：若A·B=0，可以推出A=0或B=0，不能理解为A=B=0；只需要任意一个因式的值等于0，等式即可成立，不需要两个因式同时等于0。 9、已知方程的根求代数式的值，习惯先解出x再代入计算 易错提醒：已知x为一元二次方程的根，求值优先选用整体代入；将根代入原方程得到等量关系，不必求出未知数的具体数值再运算。 10、判定一元二次方程时遗漏整式方程这一前提 易错提醒：一元二次方程属于整式方程，未知数不能出现在分母内；未知数位于分母的方程属于分式方程，不属于一元二次方程，不能使用一元二次方程相关结论。 题型 考察方向 难度 题型一 一元二次方程的定义 ★ 题型二 化成一元二次方程的一般式 ★ 题型三 由一元二次方程的定义求参数 ★★ 题型四 判断是否是一元二次方程的解 ★ 题型五 由一元二次方程的解求参数 ★★ 题型六 一元二次方程的解的估算 ★★ 题型七 直接开平方法 ★★ 题型八 配方法 ★★ 题型九 配方法的应用 ★★★ 题型十 因式分解法解一元二次方程 ★★ 题型十一 公式法解一元二次方程 ★★ 题型十二 换元法解一元二次方程 ★★★ 题型十三 根据判别式判断一元二次方程根的情况 ★★ 题型十四 根据一元二次方程根的情况求参数 ★★★ 题型十五 解分式方程 ★★★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 题型一 一元二次方程的定义 1．下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】一元二次方程需同时满足只含一个未知数、未知数最高次数为、是整式方程三个条件，以此为依据判断各选项． 【详解】解：A、方程含有两个未知数，不符合一元二次方程定义； B、方程中未知数最高次数为，是一元一次方程，不符合要求； C、方程的分母含未知数，不是整式方程，不符合要求； D、方程只含一个未知数，未知数最高次数为，且是整式方程，符合一元二次方程的定义． 2．若是关于x的一元二次方程，则m的值为______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义，未知数最高次数为2，且二次项系数不为0，据此列条件求解． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴需满足， 由解得或又由得， ∴． 3．下列方程中，一元二次方程的个数有（   ） （1）；（2）；（3）；（4）． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的定义，逐个判断每个方程是否符合要求，统计符合定义的方程个数即可，一元二次方程需满足：只含一个未知数，未知数最高次数为2，是整式方程． 【详解】解：（1）对于， ∵只含有1个未知数x，未知数最高次数为2，且是整式方程， ∴是一元二次方程； （2）对于， ∵含有x和y两个未知数， ∴不是一元二次方程； （3）对于， ∵只含有1个未知数x，未知数最高次数为2，且是整式方程， ∴是一元二次方程； （4）对， ∵分母含有未知数x，不是整式方程， ∴不是一元二次方程． 综上，一元二次方程共有2个． 题型二 化成一元二次方程的一般式 4．将一元二次方程化成一般式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（     ） A．3，， B．3，，1 C．3，2，1 D．3，2， 【答案】D 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再分别确定二次项系数、一次项系数和常数项即可． 【详解】解：将原方程移项整理为一般形式， 移项可得， 二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 5．将一元二次方程化为一般形式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题将原方程依次进行去括号、移项、合并同类项，整理为一元二次方程的一般形式，即可得到结果． 【详解】解：∵原方程为 ， 先去括号，可得 ， 将所有项移到等号左侧，移项变号得 ， 合并同类项得 ． 6．一元二次方程化成一般形式后二次项的系数为，一次项的系数为，则的值为(   ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再根据题意给出的一次项系数列方程求解即可． 【详解】解： 展开右侧得 移项合并同类项得 由题意，该方程一次项系数为，可得 解得． 题型三 由一元二次方程的定义求参数 7．若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为（     ） A．3 B． C．3或 D．0 【答案】A 【分析】需同时满足的最高次数为2、二次项系数不为0，据此列关系式求解． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴，且， 由得，即或， 由得， ∴． 8．已知关于x的方程是一元二次方程，则k的值为______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义，未知数最高次数为且二次项系数不为，据此列等式和不等式求解的值． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴且， 由，得， 由，得， ∴． 9．若关于的方程满足，称此方程为“贺岁”方程．已知方程是“贺岁”方程，则的值为（  ） A． B．2024 C． D．2025 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的解、代数式求值等知识点，掌握整体代入的方法是解题的关键． 利用新定义得到“贺岁”方程的一个解为，则，即、，然后对原式变形后再整体代入计算即可． 【详解】解：根据题意得“贺岁”方程的一个解为， ∵方程是“贺岁”方程， ∴，即、， ∴ ． 故选C． 题型四 判断是否是一元二次方程的解 10．请你写一个一元二次方程，使其中一个解等于1，它是____________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是根据方程的解构造一元二次方程． 根据一元二次方程的解的定义，构造一个含有因式的一元二次方程即可． 【详解】解：因为方程的一个解是1，所以可设方程为，展开得到． 故答案为：（答案不唯一）． 11．如表是某代数式的值的情况，根据表格可知方程的根是（   ） ．．． 0 1 2 3 ．．． ．．． 10 4 0 0 ．．． A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，解题关键是熟练掌握一元二次方程根的定义． 观察表格，找出使方程左右两边相等的的值，根据方程解的定义进行解答即可． 【详解】解：通过观察表格可知：当和2时，， ∴方程的根是：或， 故选D． 12．若实数，满足，，则（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】由题意可得,是一元二次方程的两个不相等实数根，利用多项式对应系数相等得到的值，再结合满足方程变形，计算的值判断正负，即可得到结果. 【详解】解：∵ ，且，， ∴ 是方程的两个不相等的实数根， ∴ ， 对比系数得 ， 又∵ ， ∴ ， 则， 把代入得 ， ∴ ，. 题型五 由一元二次方程的解求参数 13．若是一元二次方程的一个根，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程根的定义，代入已知根求解的值. 【详解】解：将代入方程，得， 整理得， 解得． 14．已知方程的一个根是，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由方程根的定义得到，，，通过降次法计算代数式的值． 【详解】解：∵m是方程的根， ∴，即，， ∴， ∴ ． 15．已知是一元二次方程的一个根，则_________． 【答案】 【分析】将方程的根代入原方程得到，对所求多项式因式分解后整体代入求值即可． 【详解】解：是一元二次方程的一个根， 将代入方程得， 整理得， 对所求代数式变形：， 将代入上式得：． 题型六 一元二次方程的解的估算 16．下列表格是关于代数式在取部分值时的对应情况． 1.1 1.2 1.3 1.4 0.84 2.29 3.76 请根据表格判断，关于方程的一个正根的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了估算一元二次方程的近似解．结合表中的数据，根据代数式的值的变化趋势，即可进行解答． 【详解】解：由表可知， 当时，， 当时，， ∴方程的一个根的范围是． 故选：B． 17．在确定一元二次方程的近似解时，小明所在的小组采用了赋值法，计算结果如表： x 1.1 1.2 1.3 1.4 0.29 0.76 小组同学说，他们发现了该方程的一个近似解．这个近似解的十分位上的数字是_______． 【答案】2 【分析】方程的解对应代数式的值为时的取值，根据表格中代数式值的符号变化，确定的取值范围，即可得到十分位数字． 【详解】解：当时，， 当时，， 使的的取值范围是， 这个近似解的十分位上的数字是． 18．根据下面表格中的对应值，判断关于x的方程的一个解x的取值范围是（   ） x A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解，用列举法估算一元二次方程的近似解即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：根据表格可知， 当时，， 当时，， ∴当时，一个解x的取值范围是， 故选：B． 题型七 直接开平方法 19．关于x的一元二次方程的解是_______． 【答案】 ， 【分析】方程移项后直接开平方，转化为一元一次方程即可求解. 【详解】解： 或 解得，. 20．已知是关于的一元二次方程的一个根，则正数的值为________． 【答案】 【分析】将根代入原方程，得到关于的一元二次方程，求解后筛选出正数即可得到结果． 【详解】解：是关于的一元二次方程的一个根， 将代入方程得， 解得或， 是正数， ． 21．如果一个一元二次方程的根是，那么这个方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键． 求解出每一个方程的根，即可解答． 【详解】解：A、， ， 或， ，， 故此选项不符合题意； B、， ， ， ， 故此选项符合题意； C、， ，， 故此选项不符合题意； D、， ， 故此选项不符合题意； 故选：B． 题型八 配方法 22．用配方法解方程，配方后所得的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】解：移项得， 配方得， 整理得． 23．用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为_______． 【答案】/ 【分析】将原方程用配方法整理为的形式，得到和的值，即可计算． 【详解】解：对移项得， 将二次项系数化为，两边同除以得， 配方，两边同时加上一次项系数一半的平方得， 整理得， 对比，得，， 因此． 24．老师设计了一个“接力游戏”，用合作的方式，用配方法求解一元二次方程，如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，…，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子，接力中，自己负责的式子出现错误的是（     ） A．小明 B．小丽 C．小红 D．小亮 【答案】C 【分析】通过逐步验证配方法解方程的每一步变形，确定出错环节． 【详解】小明：方程两边同时除以2， 得，正确； 小丽：移项变形得，正确； 小红：左边配方应为，小红写为，错误． 题型九 配方法的应用 25．∵，由，得；∴代数式的最小值是4，仿照上述方法求代数式的最小值为______． 【答案】 【分析】仿照上述方法将所求式子变形为，从而即得出，即代数式的最小值为． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴代数式的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查配方法的应用．理解题意，并掌握配方法是解题关键． 26．代数式的最大值为_____________ ． 【答案】 【分析】本题考查了配方法的应用；完全平方公式，利用完全平方公式配方后判断即可． 【详解】， ∵， ∴， ∴当时，代数式的最大值为， 故答案为：． 27．设，其中a为实数，则M与N的大小关系是（     ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】作差后配方，利用平方的非负性判断差的符号，比较M与N的大小． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型十 因式分解法解一元二次方程 28．若关于的一元二次方程的一个根是10，则另一个根是________． 【答案】 5 【分析】方程已分解为两个一次因式的乘积，可直接得到方程的两个根，结合已知一个根为10即可确定另一个根． 【详解】解：∵， ∴方程的两个根为，， ∵已知方程的一个根是，且， ∴， ∴方程的另一个根为． 29．若，则关于的方程必有一根是__________． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解和解一元二次方程的能力，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 【详解】解： , , , , ， 或， 则方程必有一根为． 30．方程的解是（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】分类讨论去掉绝对值符号，将原方程转化为一元二次方程求解，结合的取值范围舍去增根． 【详解】解：当时，原方程化为， 整理得， 因式分解得， 解得，， ∵， ∴舍去； 当时，原方程化为， 整理得， 因式分解得， 解得，， ∵， ∴舍去． 综上，方程的解为或． 题型十一 公式法解一元二次方程 31．在一元二次方程中，其根的判别式的值是______． 【答案】64 【分析】先把原方程整理为一元二次方程一般形式，确定的值后代入计算即可． 【详解】解：将原方程移项，整理为一般形式， 可得，，， ． 32．用公式法解方程，下列代入公式正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：将方程移项得， ∴，，， 代入求根公式，得 ． 33．若关于的一元二次方程能用公式法求解，则必须满足的条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由一元二次方程能用公式法求解，则其根的判别式大于等于零，据此即可解答． 【详解】解：∵ 关于的一元二次方程能用公式法求解． ∴ ，即． 题型十二 换元法解一元二次方程 34．若关于x的一元二次方程有一解为，则一元二次方程必有一解为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将待求方程整理为与已知方程结构一致的形式，通过整体代换求解． 【详解】解：对移项，得， 整理得． ∵一元二次方程有一解为， ∴， 解得． 35．若关于x的一元二次方程的两个根为，，则关于x的一元二次方程的解为_______． 【答案】 ， 【分析】将待求方程变形为，通过换元转化为已知根的原方程，即可求解． 【详解】解：将方程变形为， 令， 则方程转化为， ∵已知方程的两个根为，， ∴，， 即或， 解得，． 36．若，则的值为（     ） A． B．4 C．4或 D．或2 【答案】B 【分析】采用换元法简化方程，结合的非负性舍去负根． 【详解】解：设，由平方的非负性得． 方程可化为． 整理得． ． 解得，． ∵， ∴不符合题意，舍去． ∴． 题型十三 根据判别式判断一元二次方程根的情况 37．关于的一元二次方程的根的情况是（  ） A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 【答案】C 【详解】解：∵方程的判别式， 又∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 38．已知，则的值为________． 【答案】 【分析】由可得，进而得，最后把当作一个整体求解一元二次方程可得，，根据一元二次方程根的判别式即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴ ∴， ∴ ， ∴，， 当时，可化为， ∵， ∴方程有实数根，符合题意， 当时，可化为， ∵， ∴方程无实数根，不符合题意， ∴的值为． 39．若一次函数（为常数）的图象如图所示，则关于的一元二次方程的根的情况是（     ） A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 【答案】C 【分析】利用一次函数性质得出，再判断出，即可求解． 【详解】解：根据题意可知一次函数（为常数）的图象经过第二、三、四象限， ∴， ∴，， 对于一元二次方程，， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根． 题型十四 根据一元二次方程根的情况求参数 40．已知关于的方程有两个相等的实数根，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次方程判别式的意义求解即可． 【详解】解：∵有两个相等的实数根， ∴， ∴， 解得． 41．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值可以是_____．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一，满足且即可） 【分析】根据一元二次方程定义得二次项系数不为0，结合根的判别式求出m的取值范围，写出一个符合范围的值即可． 【详解】解：∵方程为关于的一元二次方程， ∴． ∵方程有两个不相等的实数根， ∴根的判别式， 整理得， 解得， ∴的取值范围是且，可取符合条件的． 42．已知一元二次方程有解，则a的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】根据一元二次方程的定义及根的判别式求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程有解， ， 且， ∴且． 题型十五 解分式方程 43．分式方程 的正数解为 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： 方程两边同乘得：， 整理得：． 因式分解得：． 解得或， 检验：当时，， 当时，， ∴原方程的正数解为或． 44．方程的解为________． 【答案】 【分析】把分式方程转化为一元二次方程进行求解，需要对根进行检验． 【详解】， ， ， ， ， ， 解得：， 检验：当时，，是增根，舍去， 当时，，是原分式方程的根， 方程的解为． 45．对于非零的两个实数、，规定．若，则的值为____________． 【答案】 或 【分析】根据新定义运算得到关于的分式方程，去分母转化为一元二次方程求解，检验后得到的值，进行解答，即可． 【详解】解：由题意得， 方程两边同乘最简公分母，得：， 整理得：， 因式分解得：， 解得，， 经检验，当和时，且，均为原方程的解． 解答题 1．解方程：． 【答案】 【分析】设，则原方程可化为，把方程化为整式方程求出的值，进而得到关于的方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设，则原方程可化为， ∴， ∴， 解得， 经检验，，都是方程的解， 当时，则， ∴， 此时，方程无实数根； 当时，则， ∴， ∴， 解得或， 经检验，和都是原方程的解； 综上所述，原方程的解为，． 2．用适当的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4)原方程无实数根 【分析】（1）利用直接开平方法即可求出的值． （2）利用因式分解法即可求出的值． （3）利用提公因式法即可求出的值． （4）利用一元二次方程根的判别式即可知道方程有无实数根． 【详解】（1）解： 方程两边同时除以2得， 直接开平方得， 移项得， ，． （2）解：， 因式分解得， ，． （3）解：， 移项得， 提公因式得， ，， ，． （4）解：， 移项得， ，，， ， 原方程无实数根． 3．“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中，，为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的倒方程是______； (2)若m是一元二次方程的倒方程的一个实数根，求的值． 【答案】(1) (2)2011 【分析】（1）直接根据定义把二次项系数和常数项交换即可； （2）先根据定义写出原方程的倒方程，然后根据方程的解的定义得到，接着代入所求代数式即可求解． 【详解】（1）解：根据倒方程的定义可知：一元二次方程的倒方程是； （2）解：根据倒方程的定义可知：一元二次方程 的倒方程是， ∴把代入方程， 得 ， ∴， ∴ ． 4．已知关于的一元二次方程． (1)若该方程的一个根为，求的值； (2)求证：该方程有两个不相等的实数根； (3)若的两边，的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为5，当是等腰三角形时，求的值． 【答案】(1)或者； (2)证明：， 方程有两个不相等的实数根； (3)的值为5或4 【分析】（1）把代入原方程求解即可； （2）根据方程的系数结合根的判别式，可得出，进而可证出方程有两个不相等的实数根； （3）利用公式法可求出方程的解，得出的长，然后分情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得 ， 整理得， 解得或； （2）略； （3）解：一元二次方程的解为，即，， ， ． 当，，且时，是等腰三角形，则； 当，，且时，是等腰三角形，则，解得， 当时三边为5、6、5，当时三边为4、5、5，均满足三角形三边关系， 综合上述，的值为5或4． 5．综合与探究 用配方法解一元二次方程，配方的过程可以用拼图直观表示．把方程变形为，即．配方的过程可以看成将一个长为，宽为，面积为24的矩形割补成一个正方形，具体如下： 配方的过程： ，（如图（1）） ，（如图（2）、（3）） ，（如图（4）） ．（如图（5）） 【初步应用】 (1)如图（6）是利用矩形割补对方程配方的结果，则______________；由图（6）可知方程配方的结果是______________． 【综合应用】 (2)如图（7），将面积为8的正方形剪去一个边长为的小正方形，类比以上用矩形割补成正方形完成配方的过程，你能猜想这是对哪个一元二次方程进行配方吗？若该方程有正整数解，请求出的值． 【迁移应用】 (3)现有长为，宽为，面积为的矩形（，，），，为常数，如图（8），请你尝试用四个相同的这样的矩形拼成一个新图形，并利用该图形直观展示如何通过几何方法求一元二次方程的正数解，画出图形并根据图形推导出求解过程（画图时，将，标在对应线段旁）． 【答案】(1)， (2)；或 (3)解：根据题意，画图如下： ， ， ， ， ， ． 【分析】（1）根据题意，得，再把3平均分成2份，一份图形的面积为，根据，解得即可；根据题意，得配方结果为，结合已知确定答案即可． （2）类比上述方法，结合正整数解的意义，估算求解即可． （3）先根据一个矩形的面积为，得到四个矩形的面积为，再应用给出的方法拼成一个边长为的大正方形，解答即可． 【详解】（1）解：根据题意，得，， 故， 解得； ， ， ． （2）解：根据题意，得， ， ， ， 故方程的正数解为， 由方程有正整数解，且， ， 故x的正整数值为1或2； 或． （3）解：略． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $专题01一元二次方程的概念及解法知题通关讲义 知识梳理 知识点01：一元二次方程定义与判定条件 1.定义：只含有一个未知数，未知数最高次数是2，且等式两边都是整 式的方程。 2.三大判定条件，缺一不可： ①整式方程，分母不含未知数：②只含1个未知数：③未知数最高 次数为2，二次项系数a0。 3.方程判定对比 方程 是否一元二次方程 判断理由 2x2-3x+1=0 是 整式、单未知数、最高次2，a≠0 x2+3y-5 否 存在两个未知数 x3-2x2-0 否 未知数最高次数为3 +2x1 否 分母含未知数，非整式方程 3x2=0 是 b、c可为0，仅要求a≠0 (x+1)2=x2+2 否 化简后二次项抵消，为一元一次方程 知识点02：一元二次方程一般形式 标准形式：ax2+bx+c=0(a、b、c)为常数，a0) 试卷第1页（共3页） ax2:二次项，a为二次项系数： bx:一次项，b为一次项系数： C:常数项。 书写要求：所有项移至等式左侧，右侧化为0，优先将二次项系数化为 正数。 知识点03：一元二次方程的根 1.概念：能让方程左右两边数值相等的未知数的值，叫做方程的根。 2检验根标准步骤： ①将数值分别代入方程左、右两侧： ②分别计算两侧结果； ③若左边=右边，该数值为方程的根。 3.参数求解应用：已知根，把根代入方程，建立关于参数的等式，求出 参数。 例：=2是x2-ax+2=0的根，代入得4-2a+2=0,解得a=3。 知识点04，一元二次方程的解法【四法通关：选法有技巧，步骤有模 试卷第2页（共3页） 板】 核心原则：能简不繁，优先选法顺序：因式分解法→直接开平方法→配 方法一公式法 1.直接开平方法【平方型专属，一步到位】 ☑适用：x2=p(p20)或(mx+n)2=p(p20)(无一次项，可凑平方) 解题步骤： 1.把方程化为mx+n)2=p的形式 2.当p≥0时，两边开平方得mx+n=±p 3解两个一元一次方程，得到方程的根 2. 因式分解法【乘积为0专属，最快解法】 ☑适用：方程右边为0，左边能分解为两个一次因式乘积（提公因式 /平方差/十字相乘) 步骤： 1.移项：把方程右边化为0 2因式分解：把左边分解为两个一次因式的乘积 3.降次：令每个因式分别为0，得两个一元一次方程 试卷第3页（共3页） 4.求解：解两个一元一次方程 3.配方法【万能基础法，为公式法铺路】 ☑适用：所有一元二次方程（尤适二次项系数为1、一次项系数为偶 数) 解题步骤（以x2+bx+c=0为例）： 1.移项：把常数项移到右边，得2+bx=-c 2配方：两边加一次项系数一半的平方，得+bx+-c+ 3化为平方形式：(+2) _b2-4ac 4 4.用直接开平方法求解 4. 公式法【万能终极法，无技巧硬解】 ☑适用：所有一元二次方程（前三种方法无法快速求解时用） 解题步骤： 1.把方程化为标准形式ax2+bx+c=0(a≠0) 2.计算判别式：△=b2-4ac 3.若△≥0，代入求根公式：X=-b±b-4ac 2a 若△<0，方程无实数根 试卷第4页（共3页） 知识点05：一元二次方程.四大方法·择优解题 解法名称 适用方程特征 解题核心思路 难易程度 直接开平方 不含一次项、平方式等直接对等式两边开平方，注意正 法 于常数 负 最简单 因式分解法 方程易分解为两个整 式乘积形式 移项整理为乘积为0，分别求根 计算快 配方法 所有一元二次方程通 用 配方转化为完全平方式，再开方 步骤多 公式法 所有 元二次方程通 用 套用固定求根公式，代入计算 万能法 知识点06：一元二次方程根的判别式|秒判根的个数·必考考点 一、判别式定义 对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a0》,把△=b2-4ac叫做根的判别式。 2.根的判别式（△=b2-4ac) △>0：两个不相等实数根 △=0：两个相等实数根 △<0：无实数根 3.重要前提 使用判别式的先决条件：方程必须是一元二次方程，即a0,含参数题 目必须分类讨论。 试卷第5页（共3页） 高频易错点 1、忽略一元二次方程二次项系数不为0的限定条件 易错提醒：判定一元二次方程或者求解相关参数时，只关注未知数最高 次数等于2，忽视二次项系数≠0：题干没有明确说明该方程是一元二次 方程时，应当分类讨论a0(降为一元一次方程)与a≠0两种情况。 2、化为一般形式过程中移项符号处理错误 易错提醒：整理成一般形式ax+bx+c-0(a≠0)}，移项必须改变移动项的 符号；移项符号出错会直接导致a、b、c取值全部错误；a、b、c的取值 要包含各项自带的正负符号。 3、方程两边约去含有未知数的公因式造成丢根 易错提醒：解方程时，不可以在等式两侧直接除以含有未知数的代数 式：该代数式取值有可能为0，直接约去会丢失一个实数根；正确操作为 先移项，再提取公因式因式分解求解。 4、直接开平方法开方运算遗漏负根 易错提醒：对于(x+m)k(k≥0)的形式，开平方后得到x+m=±VK,容易 只取正平方根，遗漏负根；当k<0时，方程没有实数根，不得强行写出 方程的解。 5、配方法变形时等式没有同步加减常数 易错提醒：进行配方运算前，先将二次项系数化为1；等式左右两侧必须 同时加上一次项系数一半的平方；仅在等式左侧增加常数而右侧不变， 会破坏等式：配方前确认二次项系数已经化为1。 试卷第6页（共3页） 6、求根公式代入时a、b、c符号代入失误 易错提酷：使用求根公式X=-b+-4©之前，先把方程整理为一般形 2a 式：a、b、c连同自身正负符号整体代入公式：重点注意-b项，b本身为 负数时极易发生错误；先计算判别式△=b'-4ac,△<0时方程无实数根。 7、判别式和求根公式内的根式概念混淆 易错提醒：判别式△=b?-4ac不带根号，根号只出现在求根公式之中； 实数根判定规则：△>0，两个不相等的实数根：△=0，两个相等的实数 根：△<0，无实数根。 8、因式分解法解方程混淆“或”与“且”的逻辑关系 易错提醒：若AB=0,可以推出A0或B0,不能理解为A=B0;只需 要任意一个因式的值等于0，等式即可成立，不需要两个因式同时等于 0。 9、已知方程的根求代数式的值，习惯先解出x再代入计算 易错提醒：已知x为一元二次方程的根，求值优先选用整体代入；将根 代入原方程得到等量关系，不必求出未知数的具体数值再运算。 10、判定一元二次方程时遗漏整式方程这一前提 易错提醒：一元二次方程属于整式方程，未知数不能出现在分母内；未 知数位于分母的方程属于分式方程，不属于一元二次方程，不能使用一 元二次方程相关结论。 题型通关 试卷第7页（共3页） 题型 考察方向 难度 题型一 一元二次方程的定义 题型二 化成一元二次方程的一般式 题型三 由一元二次方程的定义求参数 题型四 判断是否是一元二次方程的解 ★★ 题型五 由一元二次方程的解求参数 ★ 题型六 一元二次方程的解的估算 ★★ 题型七 直接开平方法 ★★ 题型八 配方法 ★★★ 题型九 配方法的应用 ★★ 题型十 因式分解法解一元二次方程 ★★ 题型十一 公式法解一元二次方程 ★★★ 题型十二 换元法解一元二次方程 题型十三 根据判别式判断一元二次方程根的情况 ★★★ 题型十四 根据一元二次方程根的情况求参数 ★★★ 题型十五 解分式方程 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 试卷第8页（共3页） 分题型精讲 题型一一元二次方程的定义 1.下列方程中，是一元二次方程的是() A.22-7=3y+1 B.2x-3=0 D.x2-4x+8=0 2.若m-2)x+2x-3=0 关于x的一元二次方程，则m的值为一 3.下列方程中，一元二次方程的个数有() 02x-3=0:2+y=5:3-5x=0:④8+ 22 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 题型二化成一元二次方程的一般式 4.将一元二次方程3x2=-2x+1化成一般式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是 () A.3,-2,-1 B.3,-2,1 C.3,2,1 D.3,2, -1 x2-3(x+5)=2(3x-2) 5.将一元二次方程 化为一般形式是() A.x2-3x+5=6x-4 B.x2-9x-11=0 C.x2-9x+11=0 D.x2-9x+9=0 6.一元二次方 2x2-(m+)x+1=x(x-少化成一般形式后二次项的系数为，一次项的系 数为-1，则m的值为() A.1 B.2 C.3 D.4 题型三由一元二次方程的定义求参数 试卷第9页（共3页） （m+3)xm+6x-2=0 7.若方程 是关于x的一元二次方程，则的值为() A.3 B.-3 C.3或-3 D.0 8.已知关于x的方程 k+2)x+x+4=0 是一元二次方程，则k的值为 9.若关于*的方程+r+c=0a≠0 满足a-h+c=0,称此方程为“贺岁”方程.已知 a 方程dx-2024ax+1=0(a≠0)是“贺岁”方程，则口+2025a-2024a+的值为() A.-2024 B.2024 C.-2025 D.2025 题型四判断是否是一元二次方程的解 10.请你写一个一元二次方程，使其中一个解等于1，它是 11.如表是某代数式ax2+bx的值的情况，根据表格可知方程ax2+bx=-2的根是() -2 -101 2 3 ax2+bx 10 40-2-20 A. x=3 B.r=0 c.=0或5-3 D.1 或专2 12.若实数“b(a≠b) 满足4-2a-2=0,b-26-2=0,则() A.a+b=2,a2+2b>0 B.a+b=2,a2+2b<0 C.a+b=-2,a2+2b>0 D.a+b=-2,a2+2b<0 试卷第10页（共3页） 题型五由一元二次方程的解求参数 13.若x=-1是一元二次方程x2+mx-5=0的一个根，则m的值为() A.4 B.0 C.-4 D.-5 14.己知方程x2-2x-1=0的一个根是m,则代数式-2m3+m2+8m的值为() A.-1 B.-2 C.-3 D.4 15.己知x=-3是一元二次方程x2-2a+b=0的一个根，则-36a2-b2-12ab+7= 题型六一元二次方程的解的估算 16.下列表格是关于代数式x2+12x-15在x取部分值时的对应情况. 1.1 1.2 1.3 1.4 x2+12x-15 -0.59 0.84 2.29 3.76 请根据表格判断，关于方程+12x-15=0 的一个正根的范围是() A.1<x<1.1 B.1.1<x<1.2 C.1.2<x<1.3 D.1.3<x<1.4 17.在确定一元二次方程x+2x-4=0的近似解时，小明所在的小组采用了赋值法，计算 结果如表： 1.1 1.2 1.3 1.4 x2+2x-4 -0.59 -0.16 0.29 0.76 小组同学说，他们发现了该方程的一个近似解.这个近似解的十分位上的数字是 18.根据下面表格中的对应值，判断关于x的方 ar2+bx+c=0(a≠0) 的一个解x的取值 范围是() 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 试卷第11页（共3页） ax2+bx+c -0.25 -0.04 0.19 0.44 0.71 A.1.5<x<1.6 B.1.6<x<1.7 C.1.7<x<1.8D.1.8<x<1.9 题型七直接开平方法 19.关于x的一元二次方程-2-9=0 的解是 20.已知x=m是关于x的一元二次方程x2+mx-2=0的一个根，则正数m的值为 21,如果一个一元二次方程的根是=5= ,那么这个方程可能是() A.x2-3x+2=0 B.x2-2x+1=0 C.x2=1 D.x-1=0 题型八配方法 22.用配方法解方程x2-6x-5=0,配方后所得的方程是() A.(x+3)}2=14 B.(x-3)}2=14 C.(x+3)2=4 D.(x-3}=4 23.用配方法解-元二次方程3r+12x-2=0时，将它化为c+=b的形式，则a+b 的值为。 24.老师设计了一个“接力游戏”，用合作的方式，用配方法求解一元二次方程，如图， 老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，·，依次进行，最后完成 计算.规则是每人只能看到前一人传过来的式子，接力中，自己负责的式子出现错误的是 () 试卷第12页（共3页) 老师 小明 小丽 小红 小亮 25=0x2-10x+25-25=-)x+5)2-25 =-5+5 2x2-20x+25=0→ x2-10x+2 2 2 =55v2 A.小明 B.小丽 C.小红 D.小亮 题型九配方法的应用 25.d-2a+5=d-2a+1+4=(a-l+4,由a-≥0，得a-+4≥4：代数 式a2-2a+5的最小值是4，仿照上述方法求代数式m2-4m-3的最小值为 26.代数式-2x2-4x-1的最大值为 27.设 M=2a2-5a+1,N=a2-6 其中a为实数，则M与N的大小关系是() A.M>N B.M<N C.M=N D.不能确 定 题型十因式分解法解一元二次方程 28若关于产的一元二次方程-5x-m侧)=0的一个根是10，则另一个根是。 29.若a≠b,则关于x的方程a-b)r+(c-)x+c-a=0 有一根是 30.方程冈=r-2 解是() A.x=-1或x=1 B.x=-2或x=2 C.x=-2或x=1 D.x=-1或x=2 题型十一公式法解一元二次方程 31.在一元二次方程V2r+43x=2V2 ，其根的判别 b2-4ac的值是一 32.用公式法解方程3x2+4=12x,下列代入公式正确的是() 试卷第13页（共3页） A.=七12)±12-4×3x4 2 B,x=-12±12-3x4 C.x=-12±12+4x3x4 2×3 D.x=12)±y12-4x3x4 2×3 3,若关于产的一元二次方程-瓜+b=0≠0)能用公式法求解，则必须满足的条件是 () A.b2-4ac≥0 B.a2-4bc≥0 C.c2-4ab>0 D.a2-4bc<0 题型十二换元法解一元二次方程 34.若关于x的一元二次方程 2+b-4=0(a+0)有一解为=2024，则一元二次方程 a(x-3+b6x=4+3b必有一解为() A.x=2021 B.x=2024 C.x=2026 D x=2027 35.若关于x的一元二次方程(x++k= 的两个根为=-1，名=3，则关于x的一元 二次方程(x+h-2+k=0的解为 36若(+y+少-2列-8=0，则2+y的值为() A.-2 B.4 C.4或-2 D.-4或2 试卷第14页（共3页) 题型十三根据判别式判断一元二次方程根的情况 37.关于x的一元二次方程x2+mx-2=0的根的情况是() A.有两个相等的实数根 B.没有实数根 C.有两个不相等的实数根 D.无法确定 2 38.已知x-4x+7x2-8x+4=0,则x+元的值为 39.若一次函数y=r+b(a,b为常数a≠0)的图象如图所示，则关于x的一元二次方程 x2-ax+b=0 的根的情况是() A.无实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.无法确定 题型十四根据一元二次方程根的情况求参数 40.已知关于x的方程x2+4x-k-4=0有两个相等的实数根，则k的值为() A.5 B.1 C.-2 D.-8 41.若关于x的一元二次方程mx2-4x+4=0有两个不相等的实数根，则m的取值可以是 一·（写出一个即可） a-2)x2-2x+1=0 42.已知一元二次方程 有解，则a的取值范围是() A.a<2 B.a≤3 C.a<3且a≠2 D.a≤3且 a≠2 题型十五解分式方程 试卷第15页（共3页） 43.分式方程x-x+2的正数解为（) A.x=-4 B.x=4 C.x=-2 D.x=2 63 44.方程一x之l的解为 45,对于非零的两个实数。八6：规定a®6-名- =6a若x②(3x-1)=2,则x的值为 解答题 x412x=1 1.解方程：x2x+1. 2.用适当的方法解下列方程： 1)2(x-42=8 x2-2x-15=0 (2) 6)*2x-3列=(3x+22x-3) ④16r+8x=-3 3,“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅 读理解能力、应变能力和创新能力.定义：方程cx2+bx+a=0是一元二次方程 ax2+bx+c=0 的倒方程，其中”，6，‘为带数<且0，c+0) ),根据此定义解决下列问 题： (1)一元二次方程4x2+3x+1=0的倒方程是一； (2)若m是一元二次方程-5x2+x+1=0的倒方程的一个实数根，求2m3-m2-13m+2026的 值 试卷第16页（共3页） 2-(2k+1)x+k2+k=0 4.已知关于x的一元二次方程 (1)若该方程的一个根为x=1,求k的值： (2)求证：该方程有两个不相等的实数根： (3)若△ABC的两边AB,AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，当 △ABC是等腰三角形时，求k的值， 5.综合与探究 2+2x-24=0(x>0) 用配方法解一元二次方程 ,配方的过程可以用拼图直观表示.把方程 x2+2x-24=0 x2+2x=24x(x+2)=24 x+2 变形为 ，即 配方的过程可以看成将一个长为 ,，宽为x,面积为24的矩形割补成一个正方形，具体如下： 1x 24 x 10 x X x 11 x+2 1 1 图(1) 图(2) 图(3) 图(4) a m mx a x+ 25 mx x+b x x+1 m 图(5) 图(6) 图(7) 图(8) 配方的过程： x(x+2)=24 ,(如图(1)) .x2+2x=24 (如图(2)、(3)) ∴.x2+2x+12=24+12 (如图(4)) .(x+1}=25 ,(如图(5)) 【初步应用】 试卷第17页（共3页） 1)如图(6)是利用矩形割补对方程(x+3)=9 配方的结果，则m= ；由图 (6)可知方程(r+3)=9 方的结果是 【综合应用】 (2)如图(7)，将面积为8的正方形剪去一个边长为的小正方形，类比以上用矩形割补成 正方形完成配方的过程，你能猜想这是对哪个一元二次方程进行配方吗？若该方程有正整 数解，请求出a的值. 【迁移应用】 (3)现有长为x+b,宽为x,面积为c的矩形(x>0,b>0,c>0),b,C为常数，如图 (8),请你尝试用四个相同的这样的矩形拼成一个新图形，并利用该图形直观展示如何通 过几何方法求一元二次方程x+bx=c的正数解，画出图形并根据图形推导出求解过程（画 图时，将x,x+b标在对应线段旁). 试卷第18页（共3页）