专题3.5 点与圆、直线与圆的位置关系（举一反三讲义）数学新教材苏科版九年级上册

本讲义聚焦初中数学点与圆、直线与圆的位置关系核心知识点，系统梳理从点与圆的位置判断、直线与圆的位置关系（相交、相切、相离），到切线的判定与性质、切线长定理及三角形内切圆的知识脉络，构建从基础到综合的学习支架。 资料以19种题型为载体，通过例题与变式题结合中考模拟情境，培养学生的推理能力和几何直观，如切线证明题提升逻辑推理，内切圆计算强化运算能力。课中辅助教师分层教学，课后助力学生举一反三，查漏补缺，发展数学思维与应用意识。

专题3.5 点与圆、直线与圆的位置关系（举一反三讲义） 【新教材苏科版】 题型归纳 【题型1 判断点与圆的位置关系】 2 【题型2 根据点与圆的位置关系求半径】 4 【题型3 判断直线与圆的位置关系】 7 【题型4 根据直线与圆的位置关系求半径的取值范围】 9 【题型5 根据直线与圆的位置关系求圆心到直线的距离】 12 【题型6 有关切线的概念辨析】 14 【题型7 判断或补全使直线为切线的条件】 17 【题型8 证明某直线式圆的切线】 21 【题型9 利用切线的性质求线段长度】 27 【题型10 利用切线的性质求角度】 31 【题型11 利用切线的性质与判定的综合运用】 35 【题型12 利用切线长定理求值】 41 【题型13 利用切线长定理证明】 45 【题型14 三角形内切圆中角度计算】 50 【题型15 三角形内切圆中长度计算】 54 【题型16 与三角形内切圆有关的证明】 60 【题型17 作三角形的内切圆】 66 【题型18 三角形的周长、面积与内切圆半径的关系】 74 【题型19 三角形的内切圆与外接圆的综合】 77 考点1 点与圆的位置关系 【知识点1 点与圆的位置关系】 设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则点与圆的位置关系为 【题型1 判断点与圆的位置关系】 【例1】（2026·贵州遵义·模拟预测）如图，在直角中，为斜边上的中线，以点D为圆心，以为直径作，则点C与的位置关系为（     ） A．点C在圆外 B．点C在圆内 C．点C在圆上 D．不能确定 【答案】C 【分析】已知的半径，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得出，即可求解． 【详解】解：为直径作， ∴的半径 ∵在直角中，为斜边上的中线， ∴ ∴点C在圆上． 【变式1-1】（2026·云南保山·一模）已知的半径为．若点P到圆心O的距离为，则（   ） A．点P在上 B．点P在内 C．点P在外 D．无法判断 【答案】C 【分析】通过比较点到圆心的距离与圆的半径的大小，即可判断点的位置． 【详解】解：设的半径为，点到圆心的距离为， ∵由题意得 ，， ∴ ，即 ， 根据点与圆的位置关系判定规则：当时，点在圆外， ∴点在外． 【变式1-2】（2026·贵州黔西南·模拟预测）已知矩形，，，以点为圆心，为半径作，则点在_________（填“外”“内”或“上”）． 【答案】内 【分析】先确定点D到圆心A的距离d以及的半径r，再根据当d和r的关系判断点和圆的位置关系即可． 【详解】解：如图：矩形，，，以点为圆心，为半径作， ∴点D到圆心A的距离，的半径， ∴， ∴点在内． 【变式1-3】（2026·宁夏银川·二模）如图，点P，Q分别在直线和上，且，与的平分线交于点R．如果以为直径作，那么点R与O的位置关系是（     ） A．点R在外 B．点R在内 C．点R在上 D．无法确定 【答案】C 【分析】根据平行线的性质得出同旁内角互补，结合角平分线的定义求出，再根据直径所对的圆周角是直角即可判定点R在上 【详解】解：∵， ∴， ∵与的平分线交于点R， ∴，， ∴， ∴， ∴以为直径作时，的半径， ∴点R在上． 【题型2 根据点与圆的位置关系求半径】 【例2】如图，在中，，，．以点为圆心，为半径作圆，当点在内且点在外时，的值可能是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】先利用勾股定理可得，再根据“点在内且点在外”可得，由此即可得出答案． 【详解】解：在中，，，， ， 点在内且点在外， ，即， 观察四个选项可知，只有选项C符合， 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理、点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是解题关键． 【变式2-1】（25-26九年级上·浙江·阶段检测）若内有一点P，点P到圆心O的距离为5，则的半径r可以是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有3种．设的半径为r，点P到圆心的距离，则有：①点P在圆外，②点P在圆上，③点P在圆内． 根据点与圆的位置关系判断得出即可． 【详解】解：∵点P在内，点P到圆心O的距离为5， ∴． 故选：D． 【变式2-2】（2025·上海黄浦·二模）已知点在半径为5的内，那么点到圆心的距离不可能是（   ） A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】D 【分析】本题考查的是点与圆的位置关系，掌握点P到圆心的距离，当时，点P在圆内是解题的关键． 根据点与圆的位置关系解答即可． 【详解】解：∵点P在半径为5的内， ∴， ∴点P到圆心O的距离不可能是6． 故选：D． 【变式2-3】（2025·浙江杭州·三模）已知中，弦垂直弦，，，则关于直径的说法正确的是（    ） A．一定等于 B．可能大于 C．不可能大于 D．不可能等于 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，利用点与圆的位置关系求半径，解题的关键是根据垂径定理和勾股定理求出． 分为弦是圆的直径和弦不是圆的直径，两种情况进行分析，若弦是圆的直径，则圆的直径是，若弦不是圆的直径，弦与弦交于点，连接，，，过点作交于点，过点作交于点，根据矩形的性质得出，根据垂径定理得出，，设圆的半径为，根据勾股定理可求得，即可求解． 【详解】解：如果弦是圆的直径，此时的直径是，故A选项、D选项说法错误； 如果弦不是圆的直径，如图： 弦与弦交于点，连接，，，过点作交于点，过点作交于点， 则四边形是矩形， ∴， ∵，，，， ∴，， 设圆的半径为，即， 在中，， 在中，， 在中，， 即， 当点在圆上时，， 即， 解得：， 即圆的直径可能等于； 当点在圆内时，， 即， 解得：， 即圆的直径可能小于； 综上，圆的直径不可能大于． 故选：C． 考点2 直线与圆的位置关系 【知识点2 直线与圆的位置关系】 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2 1 0 d与r关系 d＜r d＝r d＞r 公共点名称 割点 切点 直线名称 割线 切线 【题型3 判断直线与圆的位置关系】 【例3】（25-26九年级下·上海长宁·期中）已知及其所在平面内的直线l，P为直线l上的一点，如果半径为3，且，那么下列对直线l的表述不正确的是（   ） A．直线l可能经过圆心O B．直线l可能与相交 C．直线l可能与相切 D．直线l可能与相离 【答案】D 【分析】根据垂线段最短得到圆心到直线的距离范围，再结合直线与圆位置关系的判定即可得出结论 【详解】解：设的半径为，圆心到直线的距离为， 由题意得，为上一点，， ∵点到直线的距离，垂线段最短， ∴，即， ∵直线与圆相离的判定条件为， ∴不可能大于， ∴直线不可能与相离． 【变式3-1】直线a上有一点到圆心O的距离等于⊙O的半径，则直线a与⊙O的位置关系是（     ） A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交 【答案】D 【详解】∵直线a上一点到圆心O的距离等于半径， ∴圆心O到直线a的距离小于或等于半径， ∴直线a与⊙O的位置关系是相切或相交. 故选D． 【变式3-2】（24-25九年级上·陕西渭南·期中）已知直线l与相交，圆心O到直线l的距离为，则的半径可能为______ ．（只写一个） 【答案】6（或其他值） 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系，根据圆和直线相交即可求解，掌握直线和圆的位置与圆心距d与半径r之间的关系是解题的关键． 【详解】解：∵直线l与相交，圆心O到直线l的距离为， ∴的半径大于， 故答案为：6（或其他值）． 【变式3-3】（2025·广东广州·一模）在平面直角坐标系中，的半径为2.5，直线的解析式为，那么直线与的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，一次函数的性质，关键是由三角形面积公式求出的长．求出，由勾股定理得到，由三角形面积公式求出，而的半径，即可判断直线与的位置关系． 【详解】解：如图，直线分别与 轴交于， 过作于， 当时，， ， 当时，， ， ， ， 的面积， ， ， 到直线的距离， 的半径， ， 直线与的位置关系是相交． 故选：C． 【题型4 根据直线与圆的位置关系求半径的取值范围】 【例4】（2025·上海杨浦·模拟预测）如图，已知点到直线的距离为5，如果在以点为圆心的圆上有且只有两个点到直线的距离为2，那么这个圆的半径长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了圆与直线的位置关系．要掌握直线与圆的三种位置关系中各自的特点，并根据特殊的位置关系求出相对应的半径的长度是解题的关键．已知点O到直线l的距离为5，要使圆上有且只有两个点到直线l的距离为2．过点O作直线l的垂线，垂足为A．当圆与直线l的位置关系满足： 以O为圆心的圆与直线l相交，且在直线l两侧到直线l距离为2的点中，只有两个在圆上．从距离角度看，圆的半径r要满足：，即，得出答案． 【详解】解：已知点O到直线l的距离为5，要使圆上有且只有两个点到直线l的距离为2． 过点O作直线l的垂线，垂足为A． 当圆与直线l的位置关系满足： 以O为圆心的圆与直线l相交，且在直线l两侧到直线l距离为2的点中，只有两个在圆上． 从距离角度看，圆的半径r要满足：，即． 故选：D 【变式4-1】（2026·河南周口·二模）如图，在中，，，．以点C为圆心，r为半径作圆．若与斜边所在直线有且只有一个公共点，则r的值为（     ） A． B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】首先由勾股定理求，再用面积法求出到的距离，然后根据切线的判定定理回答即可． 【详解】解：在中，，，． ， 过点作于点， ， ， 与斜边所在直线有且只有一个公共点， 与相切， ． 【变式4-2】（25-26九年级下·上海杨浦·期中）在平面直角坐标系中，已知点，以M为圆心，r为半径的圆与x轴相交，与y轴相离，那么r可以取的值是（    ） A．6 B．7 C．8 D．10 【答案】B 【分析】先求出圆心M到x轴和y轴的距离，再根据直线与圆相交相离的位置关系确定半径r的取值范围，最后匹配选项即可． 【详解】解：∵点M的坐标为， ∴圆心M到轴的距离，到轴的距离， ∵圆与轴相交，与轴相离， ∴且，即， 观察选项，只有满足该范围，因此选B． 【变式4-3】如图，直线与圆心在原点，半径为的圆有公共点，则的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等面积法算出坐标原点到直线的距离，根据圆与直线有交点可判断圆半径范围； 【详解】    解：过原点作交于点C， 直线与坐标轴的交点为A、B两点， 令解得，故A点坐标为： 令解得，故B点坐标为： 故直线到坐标原点的距离为：， 直线与圆有公共点， 故； 故选：C． 【点睛】此题考查了直线与圆的位置关系、勾股定理以及直角三角形的性质，此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用． 【题型5 根据直线与圆的位置关系求圆心到直线的距离】 【例5】（2024·天津滨海新区·一模）的直径为，直线l与相交，圆心O到l的距离为d，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，解决本题的关键是掌握直线与圆的位置关系的性质． 根据直线和圆相交，则圆心到直线的距离小于半径，得． 【详解】解：∵的直径为，直线l与相交，点O到直线l的距离为d， ∴，即， 故选：B． 【变式5-1】的圆心到直线的距离为3cm，的半径为，将直线向垂直于的方向平移，使与相切，则平移的距离是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据直线与圆的位置关系,平移使直线与相切,有两种情况,一种是移动3-1=2厘米,第二种是移动3+1=4厘米. 【详解】解:如图, 当直线向上平移至位置时,平移距离为3-1=2厘米; 当直线向上平移至位置时,平移距离为3+1=4厘米. 故答案选:D. 【点睛】本题考查了平移,直线与圆的位置关系,熟练掌握知识点并结合图形是解答关键. 【变式5-2】已知直角坐标内，半径为2的圆心坐标为（3，-4），当该圆向上平移m个单位长度时，若要此圆与x轴没有交点，则m的取值范围是 _______________． 【答案】m<2或m>6 【详解】圆心向上平移m个单位长度后坐标为（3，m－4）， ∵圆与x轴没有交点， ∴所以圆心到x轴的距离＞2， 即m－4＞2或m－4＜－2， ∴m＞6或m＜2. 故答案为m＞6或m＜2. 点睛：（1）掌握平面坐标系中，点经过平移后，对应的坐标的表示方法； （2）将圆与x轴的交点问题转化为圆心到x 轴的距离问题. 【变式5-3】如图，在平面直角坐标系中，的圆心是，半径为2，函数的图象被截得的弦的长为，则a的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作于，过点作轴于，交于，连接．分别求出、，相加即可． 【详解】解：过点作于，过点作轴于，交于，连接． ，，半径为2， ，， 根据勾股定理得：， 点在直线上， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ． 的圆心是， ． 故选：C． 【点睛】本题综合考查了一次函数与几何知识的应用，题中运用圆与直线的关系以及直角三角形等知识求出线段的长是解题的关键．注意函数y=x与x轴的夹角是45°． 考点3 切线的判定与性质 【知识点3 切线的判定与性质】 1. 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 2. 切线的判定定理的推论 （1）经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． （2）经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． 3. 切线的性质定理 圆的切线垂直于过切点的半径． 4. 证明直线是圆的切线的方法 一看 利用交点个数：直线与圆有唯一的公共点 二算 利用数量关系：圆心到直线的距离等于圆的半径 三说明 利用切线的判定定理：直线经过半径的外端并且垂直于这条半径 【题型6 有关切线的概念辨析】 【例6】下列四个命题中正确的是(   ) ①与圆有公共点的直线是该圆的切线; ②垂直于圆的半径的直线是该圆的切线; ③到圆心的距离等于半径的直线是该圆的切线; ④过圆直径的端点，垂直于此直径的直线是该圆的切线. A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】C 【详解】①中，与圆有两个公共点的直线，是圆的割线，故错误； ②中，应经过此半径的外端，故错误； ③中，根据切线的判定方法，正确； ④中，根据切线的判定方法，正确． 故选C. 点睛：要正确理解切线的定义：和圆有唯一公共点的直线是圆的切线．掌握切线的判定：①经过半径的外端，且垂直于这条半径的直线，是圆的切线；②到圆心的距离等于半径的直线是该圆的切线． 【变式6-1】（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，与相切的直线是（   ） A． B． C． D．和 【答案】A 【分析】本题主要考查切线的定义，根据与圆有唯一公共点的直线是圆的切线进行判断即可． 【详解】解：∵与有唯一公共点的直线是， ∴与相切的直线是， 故选：A． 【变式6-2】当点P在⊙O上时, 经过点P能作________条直线与⊙O相切. 若过点P能作⊙O的两条切线,则点P必在⊙O_________(填”上”或”外”或”内”) 【答案】 一 外 【分析】根据切线的定义求解即可. 【详解】如图， 当点P在⊙O上时, 经过点P能作一条直线与⊙O相切. 若过点P能作⊙O的两条切线,则点P必在⊙O外. 故答案为一；外. 【点睛】本题考查了切线的定义，经过半径的外端，且与半径垂直的直线是圆的切线，熟练掌握切线的定义是解答本题的关键. 【变式6-3】如图，已知、分别为的直径和弦，为 的中点，垂直于的延长线于，连接，若，，下列结论一定错误的是(     ) A．DE是⊙O的切线 B．直径AB长为20cm C．弦AC长为16cm D．C为 的中点 【答案】D 【分析】AB是圆的直径，则∠ACB=90°，根据DE垂直于AC的延长线于E，可以证得ED∥BC，则DE⊥OD，即可证得DE是圆的切线，根据切割线定理即可求得AC的长，连接OD，交BC与点F，则四边形DECF是矩形，根据垂径定理即可求得半径． 【详解】解：连接OD，OC． ∵D是弧BC的中点，则OD⊥BC， ∴DE是圆的切线．故A正确； ∴DE2=CE?AE 即：36=2AE ∴AE=18，则AC=AE-CE=18-2=16cm．故C正确； ∵AB是圆的直径． ∴∠ACB=90°， ∵DE垂直于AC的延长线于E． D是弧BC的中点，则OD⊥BC， ∴四边形CFDE是矩形． ∴CF=DE=6cm．BC=2CF=12cm． 在直角△ABC中，根据勾股定理可得：AB=．故B正确； 在直角△ABC中，AC=16，AB=20， 则∠ABC≠30°， 而D是弧BC的中点． ∴弧AC≠弧CD． 故D错误． 故选D． 【题型7 判断或补全使直线为切线的条件】 【例7】如图，为的直径，，当________时，直线与相切． 【答案】1 【分析】直线与相切时，，根据勾股定理即可求出． 【详解】解：当时，直线与相切， ∴（cm）， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了切线的判定，掌握切线的判定和性质是解题关键． 【变式7-1】如图，已知，M为OB边上任意一点，以M为圆心，2cm为半径作，当________cm时，与OA相切. 【答案】4 【分析】过M作MN⊥OA于点N，此时以MN为半径的圆与OA相切，根据30°角所对直角边为斜边的一半可得OM的长. 【详解】解：如图，过M作MN⊥OA于点N， ∵MN=2cm，， ∴OM=4cm， 则当OM=4cm时，与OA相切. 故答案为4. 【点睛】本题主要考查切线判定，直角三角形中30°角所对直角边为斜边的一半，解此题的关键在于熟练掌握其知识点. 【变式7-2】如图，A、B是⊙O上的两点，AC是过A点的一条直线，如果∠AOB=120°，那么当∠CAB的度数等于________度时，AC才能成为⊙O的切线． 【答案】60 【分析】由已知可求得∠OAB的度数，因为OA⊥AC，AC才能成为⊙O的切线，从而可求得∠CAB的度数． 【详解】解：∵△AOB中，OA=OB，∠AOB=120°， ∴， ∵当OA⊥AC即∠OAC=90°时，AC才能成为⊙O的切线， ∴当∠CAB的度数等于60°，即OA⊥AC时，AC才能成为⊙O的切线． 故答案为：60． 【点睛】本题考查了切线的判定，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，掌握切线的判定定理是解答此题的关键． 【变式7-3】如图，是⊙O的直径，交⊙O于点，于点，下列说法不正确的是（    ） A．若，则是⊙O的切线 B．若，则是⊙O的切线 C．若，则是⊙O的切线 D．若是⊙O的切线，则 【答案】A 【分析】根据AB=AC，连接AD，利用圆周角定理以及等腰三角形的性质可以得到点D是BC的中点，OD是△ABC的中位线，OD∥AC，然后由DE⊥AC，得到∠ODE=90°，可以证明DE是⊙O的切线，可判断B选项正确； 若DE是⊙O的切线，同上法倒推可证明AB=AC，可判断D选项正确； 根据CD=BD，AO=BO，得到OD是△ABC的中位线，同上可以证明DE是⊙O的切线，可判断C选项正确； 若，没有理由可证明DE是⊙O的切线． 【详解】解：当AB=AC时，如图：连接AD， ∵AB是⊙O的直径， ∴AD⊥BC， ∴CD=BD， ∵AO=BO， ∴OD是△ABC的中位线， ∴OD∥AC， ∵DE⊥AC， ∴DE⊥OD， ∴DE是⊙O的切线，所以B选项正确； 当DE是⊙O的切线时，如图：连接AD， ∵DE是⊙O的切线， ∴DE⊥OD， ∵DE⊥AC， ∴OD∥AC， ∴OD是△ABC的中位线， ∴CD∥BD， ∵AB是⊙O的直径， ∴AD⊥BC， ∴AD是线段BC的垂直平分线， ∴AB=AC，所以D选项正确； 当CD=BD时，又AO=BO， ∴OD是△ABC的中位线， ∴OD∥AC， ∵DE⊥AC， ∴DE⊥OD， ∴DE是⊙O的切线，所以C选项正确． 若，没有理由证明DE是⊙O的切线，所以A选项错误． 故选：A． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键． 【题型8 证明某直线式圆的切线】 【例8】如图，是以为直径的的内接三角形，与相切于点B，与的延长线交于点D，E是的中点，延长，交的延长线于点F． (1)与有怎样的位置关系并说明理由； (2)若，，求的长和的半径． 【答案】(1)解：与相切．理由如下： 如图，连接， ∵与相切于点B，， ∴，即， ∵为的直径， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴与相切； (2)，的半径为 【分析】（1）连接，证明，可得证； （2）根据题意，求得，，设，则，利用勾股定理解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， 由（1）得， 设，则， ∵， ∴， 解得：， ∴的半径为． 【变式8-1】（2026·四川攀枝花·中考真题）如图，是的直径，弦，垂足为．为上一点，连接交于点，的垂直平分线交的延长线于点，连接． (1)若的半径为，，求的长； (2)求证：是的切线． 【答案】(1)； (2)证明：连接， ∵点在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是半径， ∴是的切线。 【分析】（1）连接，先求出长度，利用垂径定理得，再在中由勾股定理算出，进而求出； （2）连接，由垂直平分线性质得，等边对等角得，结合推出，再利用得，等量代换证明，依据切线判定定理证为切线。 【详解】（1）解：连接， ∵半径为， ∴， ∵， ∴， ∵，为直径， ∴，， 在中，， ∴； （2）略 【变式8-2】如图，在中，，点D是边的中点，点O是边上的点，以O为圆心，为半径的交于点F，E，G，且点E是弧的中点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径． 【答案】(1)证明：连接交于点M， ∵， ∴， 又∵点D是的中点， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵点E是弧的中点， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴是的切线； (2)3 【分析】（1）连接交于点M，由等腰三角形的性质得出，由圆周角定理及垂径定理得出 ，得出四边形是矩形，即可得证； （2）设，则，由勾股定理可求出答案． 【详解】（1）略 （2）解：设，则， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴的半径为3． 【变式8-3】（2026·湖北武汉·模拟预测）如图，在中，，平分交于点，以点为圆心，为半径的圆交于点． (1)求证：为圆的切线； (2)若，，求圆的半径． 【答案】(1)证明：如图，过点作于点， ， ， 平分交于点，， ， 点在上， 又， 与相切； (2) 【分析】（1）过点作于点，首先根据角平分线的性质证明，继而根据切线的判定定理证明与相切． （2）通过证明，得到，根据勾股定理得到，继而得到，在中根据勾股定理解得． 【详解】（1）略； （2）解：，， 在和中， ， ， ， 在中，， ， 圆的半径为， ， ， ， 在中，，即，解得：， 圆的半径． 【题型9 利用切线的性质求线段长度】 【例9】如图，在中，，是上的一点，以为直径的与相切于点，连接、，若，，则的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是含30度角的直角三角形的性质，切线的性质．先连接，证明，，再进一步解答即可． 【详解】解：如图，连接， 切圆于， 于， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ． 故选：B． 【变式9-1】（2024·重庆·三模）如图，是的切线，为切点，连接交于点，延长交于点，连接．若，且，则的长度是（　　） A．3 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查圆周角定理、切线的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识点．连接．根据切线的定义得出，由含30度直角三角形的性质求出，利用勾股定理求出，证明，根据等腰三角形的性质和判定即可求得答案． 【详解】解：如图，连接． 是的切线， ， 在中，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 【变式9-2】如图，在平面直角坐标系中，⊙M与x轴相切于点A，与y轴交点分别为B、C，圆心M的坐标是（4，5），则弦BC的长度为___． 【答案】6 【分析】连接BM、AM，作MH⊥BC于H，由垂径定理得到BC=2HB，根据切线的性质及M点的坐标得到OH，OB，在Rt△MBH中，由勾股定理可求出BH，即可得到BC的长度． 【详解】解：如图，连接BM、AM，作MH⊥BC于H， 则BH=CH， ∴BC=2HB， ∵与x轴相切于点A， ∴MA⊥OA， ∵圆心M的坐标是(4，5)， ∴MA=5，MH=4， ∴MB=MA=5， 在Rt△MBH中，由勾股定理得：， ∴BC=2×3=6． 故答案为：6． 【点睛】本题考查切线的性质、坐标与图形性质、垂径定理、勾股定理的知识．解题的关键是正确添加辅助线，构造直角三角形． 【变式9-3】如图，⊙O的半径为4，点P是⊙O外的一点，PO=10，点A是⊙O上的一个动点，连接PA，直线l垂直平分PA，当直线l与⊙O相切时，PA的长度为____________． 【答案】． 【分析】如图设切点为E，作OF⊥PA于F，连接OE．直线l交PA于K，则四边形OEKF是矩形．设AK=PK=x，由OE=KF=4，推出AF=x﹣4，PF=x+4，由OF2=OA2﹣AF2=OP2﹣PF2，列出方程即可解决问题． 【详解】如图设切点为E，作OF⊥PA于F，连接OE． 直线l交PA于K，则四边形OEKF是矩形． 设AK=PK=x． ∵OE=KF=4， ∴AF=x﹣4，PF=x+4． 在中， ∵OF2=OA2﹣AF2=OP2﹣PF2， ∴42﹣(x﹣4)2=102﹣(x+4)2， ∴x， ∴PA=2x． 故答案为：． 【点睛】本题考查切线的性质、垂直平分线的性质、勾股定理、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是添加常用辅助线，构造特殊四边形，列出关于x的方程解决问题． 【题型10 利用切线的性质求角度】 【例10】（2026·安徽阜阳·二模）如图，点为中边上一点，以点为圆心、长为半径，作恰与边相切于点，若，则___________． 【答案】/度 【分析】根据可得，再根据切线的性质可得，利用三角形内角和定理即可解答． 【详解】解：， ， ， 恰与边相切于点， ， ． 【变式10-1】（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，是的切线，为切点，直线交于两点，点为弧上一点，连接，若，则______度． 【答案】40 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，切线的性质， 先根据圆内接四边形的性质求出，进而求出，再根据切线的性质得，然后根据直角三角形的两个锐角互余得出答案． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵是的切线， ∴， ∴． 故答案为：40． 【变式10-2】（2026·北京·模拟预测）如图，为的直径，点C在上，连接、，过点B作的切线交的延长线于点D．若，则的大小为______． 【答案】/30度 【分析】连接，由题意易得，，则有，然后可得是等边三角形，进而问题可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵过点B作的切线交的延长线于点D， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴． 【变式10-3】（2026·河南平顶山·三模）如图，A是外一点，连接并延长，交于点，与相切于点，是上一点，连接， ．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，连接，利用切线的性质求解，可得，进一步利用圆周角定理可得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵与相切于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【题型11 利用切线的性质与判定的综合运用】 【例11】（2026·新疆·一模）如图，是的直径，点是上一点，过点的直线交的延长线于点．作，垂足为点，已知平分． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1) 证明：如图，连接， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； (2)． 【分析】（1）连接，根据题意求得，，从而求出，，结合切线的判定即可求解； （2）设的半径，则，由勾股定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：，是的直径， ， 设的半径，则， ，， 由勾股定理得， 解得：，（舍）， 的半径为． 【变式11-1】（2026·浙江·模拟预测）如图，在矩形中，以为直径作半圆O，切线的延长线交于点F，E为切点，对角线恰好过E点． (1)求证：F为中点； (2)求的长． 【答案】(1) 证明：∵矩形， ∴， ∵为半圆O的直径， 、CD为的切线， 又AE为切线， ， ， 在矩形ABCD中，， ， ， ， 、FC为切线， ， ， 为CD中点． (2) 【分析】（1）先证、CD为的切线，再根据切线长定理得出，从而得出，然后根据平行线的性质与对顶角性质证得，得出，最后由切线长定理得出，即可得出结论； （2）设，则，，再在中，由勾股定理得出，解得：，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：、AE为切线 ， 设 则， ∴， ∵矩形， ∴， 在中 ， 即， 又， ， ． 【点睛】本题考查切线的判定与性质，切线长定理，勾股定理，矩形的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握切线的判定与性质以及切线长定理是解题的关键． 【变式11-2】（2026·河南驻马店·模拟预测）如图，是的直径，过点作的切线，切点为，点为直径上方上一点，连接并延长交直线于点． (1)请用无刻度的直尺和圆规过点作的平行线；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若（1）中所作的平行线交于，连接，求证：是的切线． 【答案】(1) 所作图形如图所示： (2) 证明：连接， ∵是的切线， ∴， 由作图知，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是的切线． 【分析】（1）利用尺规作图作出即可； （2）连接，由切线的性质求得，证明，再利用证明得到，据此即可证明是的切线． 【变式11-3】（25-26九年级上·广东惠州·期中）如图，在中，，为的外接圆，，为的直径，连接并延长交于点E． (1)求证：为的切线； (2)求证：； (3)若，，求的半径． 【答案】(1) 证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴即， ∵是的半径， ∴为的切线； (2) 证明：延长交于点，连接， ∵，， ∴垂直平分， ∴，， ∵为的切线， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴四边形为矩形， ∴； (3) 【分析】本题考查切线的判定与性质，圆周角定理，中垂线的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理： （1）连接，由，得到，结合，推出，再根据为的直径，得到，进而得到即，即可证明结论； （2）延长交于点，连接，易证垂直平分，圆周角定理，切线的性质，推出四边形为矩形，即可得证； （2）由（2）可知，勾股定理求出的长，设的半径为，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：由（2）知四边形为矩形，，， ∴， ∴， 设的半径为，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得：； 即：的半径为． 考点4 切线长 【知识点4 切线长及切线长定理】 1. 切线长：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长． 2. 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角． 【知识点5 三角形的内切圆】 1. 三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，这个三角形叫做这个圆的外切三角形． 2. 三角形的内心：三角形的内切圆的圆心，是三角形三条角平分线的交点． 3. 三角形的内心与外心的区别 内心 外心 内心到三角形三边的距离相等 外心到三角形的三个顶点的距离相等 过三角形顶点和内心的射线平分三角形的内角 过三角形三边中点和外心的直线垂直平分三角形的边 所有三角形的内心均在三角形内部 三角形的外心不一定在三角形内部 【题型12 利用切线长定理求值】 【例12】（2026·广东肇庆·三模）如图，，是的两条切线，A，B是切点，C是上一点，过点C画的切线，分别交，于点D，E，，则的周长是________． 【答案】24 【详解】解：和是的两条切线， ， 同理可得：，， 的周长 ． 【变式12-1】（2026·广东广州·二模）如图，为的弦，，为的切线，且，点为劣弧上一动点（点与点，不重合），则的度数为______． 【答案】/度 【分析】连接、，在优弧上取一点，连接、，根据切线的性质及切线长定理得出，，进而得出是等边三角形，根据四边形内角和为求出，根据圆周角定理及圆内接四边形的性质即可得出答案． 【详解】解：如图，连接、，在优弧上取一点，连接、， ∵，为的切线， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵和是所对的圆周角和圆心角， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴． 【变式12-2】（2026·山东淄博·一模）如图，，是的切线，切点为，，点，在圆上，若，则（    ） A．55° B．65° C．70° D．78° 【答案】C 【分析】连接，则，而，求得，由切线长定理得，则，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是的内接四边形， ∴． ∵， ． ，是⊙O的切线， ， ， ． 故选：C． 【变式12-3】（2024·四川南充·三模）如图，过外一点P作的两条切线，，切点分别为A，B，与交于点D，与弧交于点E，为的直径．若，，则的长为（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】连接，由切线长定理得，则，由为的直径，得，则，再证明是等边三角形，得，求得，则，可证明是等边三角形，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接， 分别与相切于点， ， ， 为的直径，， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ∴是等边三角形， ， 故选：B． 【点睛】此题重点考查切线的性质定理、切线长定理、等腰三角形的“三线合一”、直径所对的圆周角是直角、三角形的中位线定理、等边三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 【题型13 利用切线长定理证明】 【例13】（2025·广东中山·二模）如图，是的直径，和是它的两条切线，切于点，交于点，交于点，求证：． 【答案】 证明：连接交于，连接，如图， 和为的切线， ， ， 垂直平分， 是的直径， ， ， ． 【分析】本题考查了切线长定理，圆周角定理，垂直平分线的判定，掌握相关知识是解决问题的关键．连接、，如图，先根据切线长定理得到，再判断垂直平分，接着根据圆周角定理得到，然后根据平行线的判定方法得到结论． 【变式13-1】如图，AB是⊙O直径，BC⊥AB于点B，点C是射线BC上任意一点，过点C作CD切⊙O于点D，连接AD． (1)求证：BC＝CD； (2)若∠C＝60°，BC＝3，求AD的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据切线长定理证明即可； （2）根据已知条件可得是等边三角形，根据直径所对的圆周角是直角，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵ AB是⊙O直径，BC⊥AB于点B， 是的切线， CD是的切线， （2）连接，， 是的切线， ， BC＝3， 是等边三角形， ， 是直径 【点睛】本题考查了切线长定理，切线的性质，直径所对的圆周角是直角，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，掌握圆的切线的性质是解题的关键． 【变式13-2】（2025·江西·模拟预测）【课本再现】如图1， 是的切线， 为切点， 是的直径．若， (1)求的度数． (2)【变式设问】如图2，是的直径， 与相切于点为上一 点，的延长线与射线相交于点D， 若，求证：． 【答案】(1) (2) 根据题意， 如图，连接， 可得 ， 又 是的切线 ． 【分析】此题考查了切线的性质和切线长定理，三角形内角和定理，等腰三角形性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点． （1）利用圆的切线性质得到，由切线长定理知，得到 ，最后根据三角形内角和定理求出． （2）连接 ，利用等腰三角形性质得到 ，推出 ． 结合已知条件，得到 ，从而判定是切线，根据切线长定理即可得证． 【详解】（1）是的切线 ． （2）略 【变式13-3】（2024·广东梅州·模拟预测）如图，P为外一点，为的切线，切点分别为A、B，直线交于点D、E，交于点C． (1)求证∶． (2)若，连接，求证：四边形是菱形． 【答案】(1) 证明：如图，连接， ∵是直径， ∴ 即 ∵为的切线， ∴， 即． ∴， ∵ ∴， ∴． (2) 连接，连接，如图， ∵， ∴， ∵为的切线， ∴， ∴， ∴ ∵为的切线， ∴，， ∵ ∴， ∴ ∴ ∴， ∵， ∴四边形是菱形． 【分析】（1）连接，由,证明，，进而得证； （2）连接，连接，证明，得到，由为的切线得到，，证明，得到，则，得到，又由，即可证明四边形是菱形． 【点睛】此题考查了切线的性质、切线长定理、圆周角定理、全等三角形的判定和性质、菱形的判定等知识，添加适当的辅助线是证明的关键． 考点5 三角形的内切圆 【知识点5 三角形的内切圆】 1. 三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，这个三角形叫做这个圆的外切三角形． 2. 三角形的内心：三角形的内切圆的圆心，是三角形三条角平分线的交点． 3. 三角形的内心与外心的区别 内心 外心 内心到三角形三边的距离相等 外心到三角形的三个顶点的距离相等 过三角形顶点和内心的射线平分三角形的内角 过三角形三边中点和外心的直线垂直平分三角形的边 所有三角形的内心均在三角形内部 三角形的外心不一定在三角形内部 【题型14 三角形内切圆中角度计算】 【例14】如图，已知⊙是的内切圆，且，，则的度数为_____． 【答案】110°． 【分析】根据三角形的内心的概念得到∠OBC＝∠ABC＝30°，∠OCB＝∠ACB＝40°，根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】∵⊙O是△ABC的内切圆， ∴∠OBC＝∠ABC＝30°，∠OCB＝∠ACB＝40°， ∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝110°， 故答案为110°． 【点睛】本题考查的是三角形的内切圆与内心，三角形内角和定理，掌握三角形的内心是三角形三个内角角平分线的交点是解题的关键． 【变式14-1】如图，在扇形CAB中，CD⊥AB，垂足为D，⊙E是△ACD的内切圆，连接AE，BE，则∠AEB的度数为__．    【答案】135°． 【详解】分析：如图，连接EC．首先证明∠AEC=135°，再证明△EAC≌△EAB即可解决问题. 详解：如图，连接EC．    ∵E是△ADC的内心， ∴∠AEC=90°+∠ADC=135°， 在△AEC和△AEB中， ， ∴△EAC≌△EAB， ∴∠AEB=∠AEC=135°， 故答案为135°． 点睛：本题考查三角形的内心、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 【变式14-2】（2025·浙江杭州·二模）如图，是的内切圆，分别切，，于点D，E，F，，P是上一点，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题重点考查三角形的内切圆与内心、切线的性质、圆周角定理等知识，连接、，由切线的性质得，而，所以，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接、， ∵与、分别相切于点D，E， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 【变式14-3】如图所示，△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，若∠DEF＝55°，则∠A的度数是（　　）． A．35° B．55° C．70° D．125° 【答案】C 【分析】根据三角形内切圆、圆心角和圆周角定理、四边形的性质分析，即可完成解题． 【详解】连接OD，OF，如下图所示 ∵△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F ∵∠DEF＝55° ∴∠DOF＝2∠DEF＝2×55°＝110° ∵四边形ADOF ∵∠A+∠ADO+∠AFO+∠DOF＝360° ∵AD，AF是圆的切线 ∴∠ADO＝∠AFO＝90° ∴∠A＝360°-90°-90°-110°＝70° 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形内切圆、圆心角、圆周角、四边形内角和的知识；解题的关键是熟练掌握三角形内切圆、圆心角、圆周角、四边形内角和性质，从而完成求解． 【题型15 三角形内切圆中长度计算】 【例15】（2025·湖北武汉·三模）如图，在中，，为中线，若，，设与的内切圆半径分别为，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形的内切圆和面积，设的内切圆为，与 分别相切于点，由，，得，，连接，由可得，即得，同理得，进而即可求解，正确地作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：设的内切圆为，与 分别相切于点， ∵，，， ∴， ， ∵为斜边上的中线， ∴， ∴， 连接，，，，，，则， ∵，且，，， ∴， 解得：， 同理可得，， 解得， ∴， 故选：D． 【变式15-1】如图，是的内切圆，切点分别为，，，且，，，则的半径是（    ）    A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】连接，，，如图，设的半径为r，利用勾股定理计算出，再证明四边形为正方形，则，所以，，进而可证，，因此，由此可解． 【详解】解：连接，，，如图， 设的半径为r， ∵，，， ∴， ∵F点、D点为切点， ∴，， 又∵， ∴四边形为矩形， 又∵， ∴四边形为正方形， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴ ， ∴， 同理可证， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的半径为2． 故选C． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，勾股定理，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是证明四边形为正方形． 【变式15-2】如图，矩形ABCO的顶点A，C分别在x轴、y轴上，点B的坐标为，⊙M是的内切圆，点N，点P分别是⊙M，x轴上的动点，则的最小值是______． 【答案】4 【分析】作点B关于x轴的对称点B′，连接MB′，交⊙M于点N，交x轴于点P，此时BP+PN取得最小值，然后结合勾股定理及三角形的面积公式分析计算． 【详解】解：作点B关于x轴的对称点B′，连接MB′，交⊙M于点N，交x轴于点P， 过点M作MQ⊥x轴，交x轴于点E，过点B′作B′Q⊥MQ， ∵点B与点B′关于x轴对称， ∴PB+PN=PB′+PN， 当N、P、B’在同一直线上且经过点M时取最小值． 在Rt△ABC中，AC==5， 由⊙M是△AOC的内切圆，设⊙M的半径为r， ∴S△AOC=（3r+4r+5r）=×3×4， 解得r=1， ∴ME=MN=1， ∴QB′=4-1=3，QM=3+1=4， ∴MB′=5， ∴PB′+PN=5-1=4， 即PB+PN最小值为4， 故答案为：4． 【点睛】本题考查轴对称—最短路线问题，三角形内切圆，理解“两点之间，线段最短”，掌握轴对称的性质，通过添加辅助线构建直角三角形是解题关键． 【变式15-3】如图，是矩形的对角线，是的内切圆，现将矩形按如图所示的方式折叠，使点D与点O重合，折痕为，点F、G分别在上，连结，若，且的半径长为1，则的值______，的值______． 【答案】 2 5 【分析】设与的切点为M，连接并延长交于点N，过点O作于点P，则，先证明四边形是矩形，四边形是矩形，四边形是正方形，再根据折叠的性质得到，根据全等三角形的性质得到，．设，，，的半径为r，推出是的内切圆可得，根据勾股定理得到，再设，在中，，，，由勾股定理可得，于是得到结论． 【详解】解：如图，设与的切点为M，连接并延长交于点N，过点O作于点P，则， ∴，即， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， 同理，四边形是矩形， 又， ∴四边形是正方形， ∴， ∵将矩形按如图所示的方式折叠，使点D与点O重合，折痕为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴； 设，，，的半径为r， 是的内切圆可得， ∴， 在中，由勾股定理可得， 整理得， 又∵即，代入可得， 解得（舍去），， ∴， ∴，， 再设，在中，，，， 由勾股定理可得，解得， ∴， 故答案为：2，5． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆和内心，切线的性质，勾股定理，矩形的性质等知识点的综合应用，解决本题的关键是三角形内切圆的性质． 【题型16 与三角形内切圆有关的证明】 【例16】（25-26九年级上·湖南长沙·期中）如图1，四边形的边均与相切，切点分别为E，F，G，且，连接平分． (1)求证：与相切； (2)如图2，记与的公共点为点H，连接交于点I，若，求证：四边形对角互补； (3)如图3，的半径为，连接与交于点M，N，与交于点P，Q，，连接，令，，求关于的函数解析式．(不考虑自变量的取值范围) 【答案】(1) 证明：如图1，连接，过点作于点， ∵与相切， ∴，又平分， ∴， ∴与相切． (2) 证明：如图2，连接， ∵是四边形的内切圆， ∴，，，， ∴， 在四边形中，， 同理可证，． ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形对角互补． (3) 【分析】此题考查切线的判定定理，圆周角定理，圆外切四边形的性质，切线长定理，勾股定理等， （1）连接，过点作于点，由角平分线的性质证得，即可得到与相切． （2）连接，得到，同理可证，．根据，，，推出，进而推出，由此得到结论四边形对角互补． （3）由是四边形的内切圆，得①，由，得②，由①②可得，设，，得和都是方程的两根，进而推出为直径，连接，由勾股定理求出，，由，可得． 【详解】（1）略 （2）略 （3）∵是四边形的内切圆， ∴，① 记与的交点为点， ∵， ∴，② 由①②可得， 设，， ∴和都是方程的两根， 又，∴，， 又，∴平分， ∴为直径， 连接，则， ∴， ∴， ∵为直径，， ∴， ∴． 【变式16-1】（专题27圆中定值-【微专题】2022-2023学年九年级数学上册常考点微专题提分精练（人教版））如图，已知，在以为弦的弓形劣弧上取一点（不包括，两点），以为圆心作圆和相切，分别过，作的切线，两条切线相交于点．求证：为定值． 【答案】见解析 【分析】连接，，由题意得：是内心，进而得到平分、平分， 然后由三角形内角和定理即可证明结论． 【详解】证明：连接，， 由题意得：是内心， 平分，平分， ，， ， ， ∵中，， 所在圆是个定圆，弦和半径都是定值， 为定值， 为定值． 【点睛】本题主要考查了三角形的内切圆、三角形内角和定理等知识点，熟练掌握三角形内切圆的定义是解题的关键． 【变式16-2】如图，中，，是的内切圆，D，E，F是切点． (1)求证：四边形ODCE是正方形； (2)如果，，求内切圆的半径． 【答案】(1)见解析 (2)1 【分析】（1）根据切线判定定理可得，先证四边形ODCE是矩形，再根据正方形的判定即可求证； （2）设的半径为r，根据正方形的性质可得，从而得到，，再由切线长定理可得，，然后根据，即可求解． 【详解】（1）证明：∵BC，AC分别切于点D，E， ∴，， 又∵， ∴四边形ODCE是矩形， 又∵， ∴矩形ODCE是正方形． （2）解：设的半径为r， ∵四边形ODCE是正方形， ∴， 在中，， ∴，， ∵与各边相切于点D，E，F， ∴，， 又∵， ∴，解得 ∴内切圆的半径是1． 【点睛】本题主要考查了切线长定理，矩形的判定，正方形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握切线长定理，正方形的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 【变式16-3】如图，过点和点的动圆分别与轴，轴相交于点，． (1)求的值； (2)设的内切圆的直径为，求证：为定值． 【答案】(1)4 (2)见解析 【分析】（1）如图：作轴于D，轴于E，连接，先证明四边形为正方形，再证明 得到，从而得到； （2）利用直角三角形内切圆半径与三边的关系得到的内切圆的半径为，则，然后可计算出． 【详解】（1）解：作轴于，轴于，连接、，如图， 点坐标为， ， 四边形为正方形， ，， 为直径， ，即， 而， ， 在和中 ， ， ． ． （2）证明：的内切圆的半径， 的内切圆的直径， ， 即为定值． 【点睛】本题主要考查了三角形的内切圆与内心、全等三角形的判定与性质、正方形的性质等知识点，掌握三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角是解答本题的关键． 【题型17 作三角形的内切圆】 【例17】（24-25九年级下·广东茂名·开学考试）如图，的三边分别为、、． (1)利用尺规作的内切圆（保留作图痕迹，不必写作法）； (2)在（1）的条件下，连接，，若，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2) 【分析】本题主要考查了尺规作垂线，尺规作角平分线，角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟练掌握尺规作垂线，尺规作角平分线，三角形的内角和定理是解题的关键， （1）分别作和的角平分线交于点，过作的垂线，以为圆心，到的距离为半径作即可； （2）由角平分线定义及三角形的内角和定理得，求解即可得解． 【详解】（1）解：如图，为所作． （2）解：由（）的作图可知，平分，平分， ∴， ∵，， ∴ ， ∴ ∴． 【变式17-1】已知：． 问题一：请用圆规与直尺（无刻度）直接在内作内切圆，（要求清晰地保留尺规作图的痕迹，不要求写画法） 问题二：若的周长是24，的面积是24，，求的内切圆半径． 【答案】（1）见解析；（2）r=2 【分析】（1）先作∠B和∠C的平分线交于点O，再过点O作OH⊥AB于H，然后以点O为圆心，OH为半径作圆即可； （2）连结OA、OB、OC，作OD⊥AB于D，OE⊥BC于E，OF⊥AC于F，根据切线的性质得OD=OE=OF=r，则利用S△ABC=S△AOB+S△OBC+S△OAC得到 rAB+ rBC+ rAC=24，变形得到 r（AB+BC+AC）=24，然后把周长为24代入计算即可得到r的值． 【详解】解：（1）如图，为所求作的的内切圆； （2）解：如下图，连结OA、OB、OC，作OD⊥AB于D，OE⊥BC于E，OF⊥AC于F， 设它的内切圆的半径为r，则OD=OE=OF=r， ∵S△ABC=S△AOB+S△OBC+S△OAC， ∴ rAB+ rBC+ rAC=24， ∴ r（AB+BC+AC）=24， ∴ r24=24， ∴r=2． 即的内切圆的半径为2． 【点睛】本题考查了如何作三角形的内切圆与求三角形内切圆的半径，在作内切圆的时先要明确如何确定三角形的内心，即三角形三个内角角平分线的交点，以及三角形的内心到三角形三边的距离是三角形内切圆的半径，掌握以上要点是完成作图的关键；三角形的内心到三角形三边的距离相等和切线的性质，是解答第（2）小题，建立等式的关键． 【变式17-2】（1）如图，已知线段和点O，利用直尺和圆规作，使点O是的内心（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在所画的中，若，则的内切圆半径是______． 【答案】（1）作法：如图所示，见解析；（2）2． 【分析】（1）内心是角平分线的交点，根据AO和BO分别是∠CAB和∠CBA的平分线，作图即可； （2）连接OC，设内切圆的半径为r，利用三角形的面积公式，即可求出答案． 【详解】解：（1）作法：如图所示： ①作射线、； ②以点A为圆心，任意长为半径画弧分别交线段，射线于点D，E；          ③以点E为圆心，长为半径画弧，交上一步所画的弧于点F，同理作出点M；                 ④作射线，相交于点C，即所求． （2）如图，连接OC， ∵， 由勾股定理，得：， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的内切圆半径是2； 故答案为：2； 【点睛】本题考查了求三角形内切圆的半径，角平分线的性质，勾股定理，以及三角形的面积公式，解题的关键是作出图形，利用所学的知识正确求出三角形内切圆的半径． 【变式17-3】【阅读理解】 六中珠江中学初三数学学习小组，在做《圆》的课题学习探究时发现： 三角形有五心：重心、外心、内心、垂心、旁心，其中的外心、内心、旁心是我们现在学习的《圆》的“心”．而找“心”所用的工具“垂直平分线”和“角平分线”是8年级学习内容．小组同学做了以下摘要记录 重心：三角形三条中线的交点叫做三角形重心，它是力的平衡点，重心是中线的三等分点． 外心：三角形外接圆的圆心，外心为三角形三边的垂直平分线的交点，外心到三顶点距离相等． 内心：三角形内切圆的圆心，内心为三角形三条内角平分线的交点，内心到三角形三边距离相等． 【实践探究】 (1)已知中，，， ①作出的角平分线交点（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； 过作，垂足为（不需尺规作图）； 以为圆心，为半径作出的内切圆 ②求出的面积． ③求出内切圆的半径的长度． (2)已知中，，，， ①作出的三边垂直平分线的交点（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； 连接；以为圆心，为半径作出的外接圆 ②以为原点，所在的直线为轴（点在点右方）建立直角坐标系，求点A坐标． ③求出外接圆的半径的长度． 【答案】(1)①见解析；②；③ (2)①见解析；②；③ 【分析】（1）①作和的角平分线交于点O，然后作于M，最后以O为圆心，为半径作圆即可； ②过A作于E，在和中根据勾股定理得出，然后求出，再在根据勾股定理求出，最后根据三角形面积公式求解即可； ③连接，过O作于F，于H，根据切线的性质可得然后根据即可求出圆的半径． （2）作和的垂直平分线交于点O，然后以O为圆心，为半径作圆即可； ②过A作于G，在和中根据勾股定理得出，然后求出出，再在根据勾股定理求出，即可得出点A的坐标； ③设圆心，连接，，，根据两点间距离公式得出关于x，y的方程组，然后求解即可． 【详解】（1）解∶①如图所示，即为所求， ②过A作于E， ∴， 由，，， ∴， ∴， ∴， ∴； ③连接，过O作于F，于H， ∵是的内切圆， ∴，，是的切线， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， 即内切圆的半径的长度为； （2）解：①如图所示，即为所求， ②过A作于G， 在中，， 中，， ∴， 又，，， ∴， ∴， ∴， ∴； ③设圆心，连接，，， 由②知，，， ∵是的外接圆， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， 即外接圆的半径的长度． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆，外接圆的性质，勾股定理，两点间距离公式等知识，添加合适辅助线进行解答是解题的关键． 【题型18 三角形的周长、面积与内切圆半径的关系】 【例18】（25-26九年级上·甘肃兰州·期末）如图，为的内切圆，切点分别为，已知，则的半径为__________． 【答案】1 【分析】本题考查了三角形内切圆，切线的性质，勾股定理等知识﹒ 连接证明四边形为正方形﹒设的半径为r，则﹒根据切线长定理得到，在中，根据勾股定理得到方程，解方程，舍去不合题意解即可﹒ 【详解】解：如图，连接﹒ ∵为切线， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∵， ∴矩形为正方形﹒ 设的半径为r，则﹒ ∵为的内切圆， ∴， ∴在中，根据勾股定理得， 解得（舍去）﹒ ∴的半径为1﹒ 故答案为：1 【变式18-1】边长为6的正三角形的内切圆的半径为 ______． 【答案】 【分析】画出图形，利用内切圆和等边三角形的性质得出，，再得出，，利用勾股定理即可求解． 【详解】如图， 是等边三角形， ，， ∵是的内切圆， ∴和与相切， ，， ∴，， ，即， 得， 此正三角形内切圆的半径为． 【变式18-2】如图，的内切圆与、、分别相切于点、、，且，的周长为14，则的长为_______． 【答案】5 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．根据切线长定理得到，，，由的周长为14，可求的长． 【详解】解：与 ，，分别相切于点，，， ，，， 的周长为14， ， ， ． 故答案为：5． 【变式18-3】如图，是的内切圆，与，，分别相切于点D，E，F．若的半径为r，，，，则的面积为（   ） A． B．12r C．13r D．26r 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内切圆与三角形三边的关系，熟练掌握三角形三边与内切圆的关系是解答此题的关键； 根据三角形面积=三角形边长之和乘以内切圆半径之积的一半． 计算即可． 【详解】 是的内切圆且半径为r，，， ， ， 则的面积为， 故选：C 【题型19 三角形的内切圆与外接圆的综合】 【例19】（25-26九年级上·江苏常州·阶段检测）如图，四边形为的内接四边形，，平分，，，则的内心与外心之间的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作于，于，证明，推出，可证，得到，得到四边形是正方形，是对角线，作的内切圆，圆心为，为切点，连接，．由切线长定理可知，推出，由面积法可知内切圆半径为，在中，由勾股定理即可解决问题． 【详解】解：作于，于， 平分，，， ，， 又 ， ，即， 四边形为的内接四边形，， ，即， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， 四边形是正方形，是对角线， ， 正方形的边长为， ， ， ， ， 作的内切圆，圆心为，为切点，连接，． 由切线长定理可知：， ， ， ， ， 即内切圆半径为， 在中，． 的内心与外心之间的距离为， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的判定与性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 【变式19-1】（2025·四川成都·一模）在中，已知，下列判断中错误的是（   ） A．若为重心，则 B．若为外心，则 C．若为内心，则 D．若为垂心，则 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的重心，外心，内心及垂心的性质，要理解这“四心”的定义，因为三角形的性质不确定，所以根据题意举反例是解题的关键． 根据三角形重心，外心，内心及垂心的定义及性质逐个选项进行判断． 【详解】解：若是的重心，即是三条中线的交点． 当是等边三角形时，如图，，则； 当是非等边三角形时，；故选项A正确； 若是的外心，即是外接圆的圆心， ，故选项B正确； 若是的内心，即是内切圆的圆心， 如图， ∵ ， ， ∵是的内心， ， ， ，故选项C正确； 若是的垂心，即是三条高的交点． 当是直角三角形时，如图，与直角顶点重合， ，故选项D错误． 故选：D． 【变式19-2】如图，已知在中，，，，点是的内心．    （1）点到边的距离为 __； （2）是的外心，连接，则的长为 __． 【答案】 2 【分析】（1）连接，，，过点分别作，，于点，，，根据，，可得，即可解决问题； （2）连接，证明，可得，再利用勾股定理即可解决问题． 【详解】解：（1）如图，连接，，，过点分别作，，于点，，，    在中， ，，， ， 是的内心， ， ， ， ， 点到边的距离为2； 故答案为：2； （2）如图，连接， 由1.知，， ，， 四边形是正方形， ， ， ， 在和中， ， （AAS）， ， 是的外心， ， ， 在中，根据勾股定理得： ． 故答案为：；． 【点睛】本题考查了三角形内切圆与内心，三角形外接圆与外心，三角形的全等的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握内心和外心的区别． 【变式19-3】（2024·福建南平·模拟预测）如图，以的直角边为直径的交斜边于点，过点作的切线与交于点，弦与垂直，垂足为． (1)求证：为的中点； (2)若的面积为，两个和的外接圆面积之比为3，求的内切圆面积和四边形的外接圆面积的比． 【答案】(1) 证明：连接、， 是直径，则， 是切线， ， ， ，即是圆的切线， ， ， ， ， ， ， 为的中点； (2) 【分析】（1）证明，，为直角三角形的中线，即可求解； （2）和的外接圆面积之比为3，确定，即，得，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：和的外接圆面积之比为3，， 则两个三角形的外接圆的直径分别为、， ， ∵， ∴， ， ∵，是直径， ∴， ， ∴， ， ，是直角三角形的中线， ， 为等边三角形， 的面积：， 则，， ，，， ∵是的中位线， ∴， ∴四边形的外接圆面积， ∵等边三角形边长为2， ∴其内切圆的半径为：，面积为， 故的内切圆面积和四边形的外接圆面积的比为：． 【点睛】本题为圆的综合运用题，涉及到三角形的外接圆和内切圆的相关知识，本题的关键是通过和的外接圆面积之比为3，确定，进而求解． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.5 点与圆、直线与圆的位置关系（举一反三讲义） 【新教材苏科版】 题型归纳 【题型1 判断点与圆的位置关系】 2 【题型2 根据点与圆的位置关系求半径】 2 【题型3 判断直线与圆的位置关系】 3 【题型4 根据直线与圆的位置关系求半径的取值范围】 4 【题型5 根据直线与圆的位置关系求圆心到直线的距离】 5 【题型6 有关切线的概念辨析】 6 【题型7 判断或补全使直线为切线的条件】 7 【题型8 证明某直线式圆的切线】 8 【题型9 利用切线的性质求线段长度】 9 【题型10 利用切线的性质求角度】 10 【题型11 利用切线的性质与判定的综合运用】 11 【题型12 利用切线长定理求值】 13 【题型13 利用切线长定理证明】 14 【题型14 三角形内切圆中角度计算】 16 【题型15 三角形内切圆中长度计算】 17 【题型16 与三角形内切圆有关的证明】 18 【题型17 作三角形的内切圆】 19 【题型18 三角形的周长、面积与内切圆半径的关系】 21 【题型19 三角形的内切圆与外接圆的综合】 22 考点1 点与圆的位置关系 【知识点1 点与圆的位置关系】 设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则点与圆的位置关系为 【题型1 判断点与圆的位置关系】 【例1】（2026·贵州遵义·模拟预测）如图，在直角中，为斜边上的中线，以点D为圆心，以为直径作，则点C与的位置关系为（     ） A．点C在圆外 B．点C在圆内 C．点C在圆上 D．不能确定 【变式1-1】（2026·云南保山·一模）已知的半径为．若点P到圆心O的距离为，则（   ） A．点P在上 B．点P在内 C．点P在外 D．无法判断 【变式1-2】（2026·贵州黔西南·模拟预测）已知矩形，，，以点为圆心，为半径作，则点在_________（填“外”“内”或“上”）． 【变式1-3】（2026·宁夏银川·二模）如图，点P，Q分别在直线和上，且，与的平分线交于点R．如果以为直径作，那么点R与O的位置关系是（     ） A．点R在外 B．点R在内 C．点R在上 D．无法确定 【题型2 根据点与圆的位置关系求半径】 【例2】如图，在中，，，．以点为圆心，为半径作圆，当点在内且点在外时，的值可能是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2-1】（25-26九年级上·浙江·阶段检测）若内有一点P，点P到圆心O的距离为5，则的半径r可以是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式2-2】（2025·上海黄浦·二模）已知点在半径为5的内，那么点到圆心的距离不可能是（   ） A．0 B．2 C．4 D．6 【变式2-3】（2025·浙江杭州·三模）已知中，弦垂直弦，，，则关于直径的说法正确的是（    ） A．一定等于 B．可能大于 C．不可能大于 D．不可能等于 考点2 直线与圆的位置关系 【知识点2 直线与圆的位置关系】 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2 1 0 d与r关系 d＜r d＝r d＞r 公共点名称 割点 切点 直线名称 割线 切线 【题型3 判断直线与圆的位置关系】 【例3】（25-26九年级下·上海长宁·期中）已知及其所在平面内的直线l，P为直线l上的一点，如果半径为3，且，那么下列对直线l的表述不正确的是（   ） A．直线l可能经过圆心O B．直线l可能与相交 C．直线l可能与相切 D．直线l可能与相离 【变式3-1】直线a上有一点到圆心O的距离等于⊙O的半径，则直线a与⊙O的位置关系是（     ） A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交 【变式3-2】（24-25九年级上·陕西渭南·期中）已知直线l与相交，圆心O到直线l的距离为，则的半径可能为______ ．（只写一个） 【变式3-3】（2025·广东广州·一模）在平面直角坐标系中，的半径为2.5，直线的解析式为，那么直线与的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【题型4 根据直线与圆的位置关系求半径的取值范围】 【例4】（2025·上海杨浦·模拟预测）如图，已知点到直线的距离为5，如果在以点为圆心的圆上有且只有两个点到直线的距离为2，那么这个圆的半径长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2026·河南周口·二模）如图，在中，，，．以点C为圆心，r为半径作圆．若与斜边所在直线有且只有一个公共点，则r的值为（     ） A． B．3 C．4 D．5 【变式4-2】（25-26九年级下·上海杨浦·期中）在平面直角坐标系中，已知点，以M为圆心，r为半径的圆与x轴相交，与y轴相离，那么r可以取的值是（    ） A．6 B．7 C．8 D．10 【变式4-3】如图，直线与圆心在原点，半径为的圆有公共点，则的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【题型5 根据直线与圆的位置关系求圆心到直线的距离】 【例5】（2024·天津滨海新区·一模）的直径为，直线l与相交，圆心O到l的距离为d，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】的圆心到直线的距离为3cm，的半径为，将直线向垂直于的方向平移，使与相切，则平移的距离是（   ） A． B． C． D．或 【变式5-2】已知直角坐标内，半径为2的圆心坐标为（3，-4），当该圆向上平移m个单位长度时，若要此圆与x轴没有交点，则m的取值范围是 _______________． 【变式5-3】如图，在平面直角坐标系中，的圆心是，半径为2，函数的图象被截得的弦的长为，则a的值是（    ） A． B． C． D． 考点3 切线的判定与性质 【知识点3 切线的判定与性质】 1. 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 2. 切线的判定定理的推论 （1）经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． （2）经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． 3. 切线的性质定理 圆的切线垂直于过切点的半径． 4. 证明直线是圆的切线的方法 一看 利用交点个数：直线与圆有唯一的公共点 二算 利用数量关系：圆心到直线的距离等于圆的半径 三说明 利用切线的判定定理：直线经过半径的外端并且垂直于这条半径 【题型6 有关切线的概念辨析】 【例6】下列四个命题中正确的是(   ) ①与圆有公共点的直线是该圆的切线; ②垂直于圆的半径的直线是该圆的切线; ③到圆心的距离等于半径的直线是该圆的切线; ④过圆直径的端点，垂直于此直径的直线是该圆的切线. A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【变式6-1】（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，与相切的直线是（   ） A． B． C． D．和 【变式6-2】当点P在⊙O上时, 经过点P能作________条直线与⊙O相切. 若过点P能作⊙O的两条切线,则点P必在⊙O_________(填”上”或”外”或”内”) 【变式6-3】如图，已知、分别为的直径和弦，为 的中点，垂直于的延长线于，连接，若，，下列结论一定错误的是(     ) A．DE是⊙O的切线 B．直径AB长为20cm C．弦AC长为16cm D．C为 的中点 【题型7 判断或补全使直线为切线的条件】 【例7】如图，为的直径，，当________时，直线与相切． 【变式7-1】如图，已知，M为OB边上任意一点，以M为圆心，2cm为半径作，当________cm时，与OA相切. 【变式7-2】如图，A、B是⊙O上的两点，AC是过A点的一条直线，如果∠AOB=120°，那么当∠CAB的度数等于________度时，AC才能成为⊙O的切线． 【变式7-3】如图，是⊙O的直径，交⊙O于点，于点，下列说法不正确的是（    ） A．若，则是⊙O的切线 B．若，则是⊙O的切线 C．若，则是⊙O的切线 D．若是⊙O的切线，则 【题型8 证明某直线式圆的切线】 【例8】如图，是以为直径的的内接三角形，与相切于点B，与的延长线交于点D，E是的中点，延长，交的延长线于点F． (1)与有怎样的位置关系并说明理由； (2)若，，求的长和的半径． 【变式8-1】（2026·四川攀枝花·中考真题）如图，是的直径，弦，垂足为．为上一点，连接交于点，的垂直平分线交的延长线于点，连接． (1)若的半径为，，求的长； (2)求证：是的切线． 【变式8-2】如图，在中，，点D是边的中点，点O是边上的点，以O为圆心，为半径的交于点F，E，G，且点E是弧的中点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径． 【变式8-3】（2026·湖北武汉·模拟预测）如图，在中，，平分交于点，以点为圆心，为半径的圆交于点． (1)求证：为圆的切线； (2)若，，求圆的半径． 【题型9 利用切线的性质求线段长度】 【例9】如图，在中，，是上的一点，以为直径的与相切于点，连接、，若，，则的长度是（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】（2024·重庆·三模）如图，是的切线，为切点，连接交于点，延长交于点，连接．若，且，则的长度是（　　） A．3 B．4 C． D． 【变式9-2】如图，在平面直角坐标系中，⊙M与x轴相切于点A，与y轴交点分别为B、C，圆心M的坐标是（4，5），则弦BC的长度为___． 【变式9-3】如图，⊙O的半径为4，点P是⊙O外的一点，PO=10，点A是⊙O上的一个动点，连接PA，直线l垂直平分PA，当直线l与⊙O相切时，PA的长度为____________． 【题型10 利用切线的性质求角度】 【例10】（2026·安徽阜阳·二模）如图，点为中边上一点，以点为圆心、长为半径，作恰与边相切于点，若，则___________． 【变式10-1】（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，是的切线，为切点，直线交于两点，点为弧上一点，连接，若，则______度． 【变式10-2】（2026·北京·模拟预测）如图，为的直径，点C在上，连接、，过点B作的切线交的延长线于点D．若，则的大小为______． 【变式10-3】（2026·河南平顶山·三模）如图，A是外一点，连接并延长，交于点，与相切于点，是上一点，连接， ．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【题型11 利用切线的性质与判定的综合运用】 【例11】（2026·新疆·一模）如图，是的直径，点是上一点，过点的直线交的延长线于点．作，垂足为点，已知平分． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【变式11-1】（2026·浙江·模拟预测）如图，在矩形中，以为直径作半圆O，切线的延长线交于点F，E为切点，对角线恰好过E点． (1)求证：F为中点； (2)求的长． 【变式11-2】（2026·河南驻马店·模拟预测）如图，是的直径，过点作的切线，切点为，点为直径上方上一点，连接并延长交直线于点． (1)请用无刻度的直尺和圆规过点作的平行线；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若（1）中所作的平行线交于，连接，求证：是的切线． 【变式11-3】（25-26九年级上·广东惠州·期中）如图，在中，，为的外接圆，，为的直径，连接并延长交于点E． (1)求证：为的切线； (2)求证：； (3)若，，求的半径． 考点4 切线长 【知识点4 切线长及切线长定理】 1. 切线长：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长． 2. 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角． 【知识点5 三角形的内切圆】 1. 三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，这个三角形叫做这个圆的外切三角形． 2. 三角形的内心：三角形的内切圆的圆心，是三角形三条角平分线的交点． 3. 三角形的内心与外心的区别 内心 外心 内心到三角形三边的距离相等 外心到三角形的三个顶点的距离相等 过三角形顶点和内心的射线平分三角形的内角 过三角形三边中点和外心的直线垂直平分三角形的边 所有三角形的内心均在三角形内部 三角形的外心不一定在三角形内部 【题型12 利用切线长定理求值】 【例12】（2026·广东肇庆·三模）如图，，是的两条切线，A，B是切点，C是上一点，过点C画的切线，分别交，于点D，E，，则的周长是________． 【变式12-1】（2026·广东广州·二模）如图，为的弦，，为的切线，且，点为劣弧上一动点（点与点，不重合），则的度数为______． 【变式12-2】（2026·山东淄博·一模）如图，，是的切线，切点为，，点，在圆上，若，则（    ） A．55° B．65° C．70° D．78° 【变式12-3】（2024·四川南充·三模）如图，过外一点P作的两条切线，，切点分别为A，B，与交于点D，与弧交于点E，为的直径．若，，则的长为（   ） A．2 B．3 C． D． 【题型13 利用切线长定理证明】 【例13】（2025·广东中山·二模）如图，是的直径，和是它的两条切线，切于点，交于点，交于点，求证：． 【变式13-1】如图，AB是⊙O直径，BC⊥AB于点B，点C是射线BC上任意一点，过点C作CD切⊙O于点D，连接AD． (1)求证：BC＝CD； (2)若∠C＝60°，BC＝3，求AD的长． 【变式13-2】（2025·江西·模拟预测）【课本再现】如图1， 是的切线， 为切点， 是的直径．若， (1)求的度数． (2)【变式设问】如图2，是的直径， 与相切于点为上一 点，的延长线与射线相交于点D， 若，求证：． 【变式13-3】（2024·广东梅州·模拟预测）如图，P为外一点，为的切线，切点分别为A、B，直线交于点D、E，交于点C． (1)求证∶． (2)若，连接，求证：四边形是菱形． 考点5 三角形的内切圆 【知识点5 三角形的内切圆】 1. 三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，这个三角形叫做这个圆的外切三角形． 2. 三角形的内心：三角形的内切圆的圆心，是三角形三条角平分线的交点． 3. 三角形的内心与外心的区别 内心 外心 内心到三角形三边的距离相等 外心到三角形的三个顶点的距离相等 过三角形顶点和内心的射线平分三角形的内角 过三角形三边中点和外心的直线垂直平分三角形的边 所有三角形的内心均在三角形内部 三角形的外心不一定在三角形内部 【题型14 三角形内切圆中角度计算】 【例14】如图，已知⊙是的内切圆，且，，则的度数为_____． 【变式14-1】如图，在扇形CAB中，CD⊥AB，垂足为D，⊙E是△ACD的内切圆，连接AE，BE，则∠AEB的度数为__．    【变式14-2】（2025·浙江杭州·二模）如图，是的内切圆，分别切，，于点D，E，F，，P是上一点，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【变式14-3】如图所示，△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，若∠DEF＝55°，则∠A的度数是（　　）． A．35° B．55° C．70° D．125° 【题型15 三角形内切圆中长度计算】 【例15】（2025·湖北武汉·三模）如图，在中，，为中线，若，，设与的内切圆半径分别为，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式15-1】如图，是的内切圆，切点分别为，，，且，，，则的半径是（    ）    A．1 B． C．2 D． 【变式15-2】如图，矩形ABCO的顶点A，C分别在x轴、y轴上，点B的坐标为，⊙M是的内切圆，点N，点P分别是⊙M，x轴上的动点，则的最小值是______． 【变式15-3】如图，是矩形的对角线，是的内切圆，现将矩形按如图所示的方式折叠，使点D与点O重合，折痕为，点F、G分别在上，连结，若，且的半径长为1，则的值______，的值______． 【题型16 与三角形内切圆有关的证明】 【例16】（25-26九年级上·湖南长沙·期中）如图1，四边形的边均与相切，切点分别为E，F，G，且，连接平分． (1)求证：与相切； (2)如图2，记与的公共点为点H，连接交于点I，若，求证：四边形对角互补； (3)如图3，的半径为，连接与交于点M，N，与交于点P，Q，，连接，令，，求关于的函数解析式．(不考虑自变量的取值范围) 【变式16-1】（专题27圆中定值-【微专题】2022-2023学年九年级数学上册常考点微专题提分精练（人教版））如图，已知，在以为弦的弓形劣弧上取一点（不包括，两点），以为圆心作圆和相切，分别过，作的切线，两条切线相交于点．求证：为定值． 【变式16-2】如图，中，，是的内切圆，D，E，F是切点． (1)求证：四边形ODCE是正方形； (2)如果，，求内切圆的半径． 【变式16-3】如图，过点和点的动圆分别与轴，轴相交于点，． (1)求的值； (2)设的内切圆的直径为，求证：为定值． 【题型17 作三角形的内切圆】 【例17】（24-25九年级下·广东茂名·开学考试）如图，的三边分别为、、． (1)利用尺规作的内切圆（保留作图痕迹，不必写作法）； (2)在（1）的条件下，连接，，若，求的度数． 【变式17-1】已知：． 问题一：请用圆规与直尺（无刻度）直接在内作内切圆，（要求清晰地保留尺规作图的痕迹，不要求写画法） 问题二：若的周长是24，的面积是24，，求的内切圆半径． 【变式17-2】（1）如图，已知线段和点O，利用直尺和圆规作，使点O是的内心（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在所画的中，若，则的内切圆半径是______． 【变式17-3】【阅读理解】 六中珠江中学初三数学学习小组，在做《圆》的课题学习探究时发现： 三角形有五心：重心、外心、内心、垂心、旁心，其中的外心、内心、旁心是我们现在学习的《圆》的“心”．而找“心”所用的工具“垂直平分线”和“角平分线”是8年级学习内容．小组同学做了以下摘要记录 重心：三角形三条中线的交点叫做三角形重心，它是力的平衡点，重心是中线的三等分点． 外心：三角形外接圆的圆心，外心为三角形三边的垂直平分线的交点，外心到三顶点距离相等． 内心：三角形内切圆的圆心，内心为三角形三条内角平分线的交点，内心到三角形三边距离相等． 【实践探究】 (1)已知中，，， ①作出的角平分线交点（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； 过作，垂足为（不需尺规作图）； 以为圆心，为半径作出的内切圆 ②求出的面积． ③求出内切圆的半径的长度． (2)已知中，，，， ①作出的三边垂直平分线的交点（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； 连接；以为圆心，为半径作出的外接圆 ②以为原点，所在的直线为轴（点在点右方）建立直角坐标系，求点A坐标． ③求出外接圆的半径的长度． 【题型18 三角形的周长、面积与内切圆半径的关系】 【例18】（25-26九年级上·甘肃兰州·期末）如图，为的内切圆，切点分别为，已知，则的半径为__________． 【变式18-1】边长为6的正三角形的内切圆的半径为 ______． 【变式18-2】如图，的内切圆与、、分别相切于点、、，且，的周长为14，则的长为_______． 【变式18-3】如图，是的内切圆，与，，分别相切于点D，E，F．若的半径为r，，，，则的面积为（   ） A． B．12r C．13r D．26r 【题型19 三角形的内切圆与外接圆的综合】 【例19】（25-26九年级上·江苏常州·阶段检测）如图，四边形为的内接四边形，，平分，，，则的内心与外心之间的距离为（　　） A． B． C． D． 【变式19-1】（2025·四川成都·一模）在中，已知，下列判断中错误的是（   ） A．若为重心，则 B．若为外心，则 C．若为内心，则 D．若为垂心，则 【变式19-2】如图，已知在中，，，，点是的内心．    （1）点到边的距离为 __； （2）是的外心，连接，则的长为 __． 【变式19-3】（2024·福建南平·模拟预测）如图，以的直角边为直径的交斜边于点，过点作的切线与交于点，弦与垂直，垂足为． (1)求证：为的中点； (2)若的面积为，两个和的外接圆面积之比为3，求的内切圆面积和四边形的外接圆面积的比． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $