专题04圆的相关概念知题通关讲义(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年苏科版九年级数学上册

专题04圆的相关概念知题通关讲义 知识点 1：圆的两种定义（核心基础，填空选择必考）. 1. 动态定义（操作理解，画图用） 在同一平面内，一条线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点运动所形成的封闭曲线叫做圆。 固定端点：圆心，用大写字母O表示； 线段定长：半径，用字母r表示； 关键限制：必须强调同一平面；空间旋转形成球面，不是平面圆。 2. 静态（集合）定义（考试核心考点） 平面内到定点的距离等于定长的所有点的集合叫做圆。 定点：圆心O；定长：半径r； 几何记作：以O为圆心的圆，写作⊙ O； 核心区分易错： ⊙ O仅指圆周（外围曲线），不含内部； 圆面 = 圆周 + 圆内部所有区域；做题看清题干描述是 “圆” 还是 “圆面”。 补充教师备课拓展 生活实例：车轮做成圆形，利用 “圆上各点到圆心距离相等”，保证行驶平稳；摩天轮、圆形餐盘都是圆的现实模型。 知识点 2：圆相关基础概念（背诵专用，区分易混概念） 配套推论（学生必背） 1.直径长度 = 2× 半径，d=2r，r=； 2.同一个圆内，直径是长度最大的弦，不存在更长的弦； 3.一条非直径弦对应 1 条劣弧、1 条优弧；直径对应两条相等半圆。 知识点 3：点与圆的三种位置关系（本章重难点，计算、大题高频） 设：⊙ O的半径为定值r，平面内任意一点P，点P到圆心O的距离为线段长度OP=d。 位置关系完整对照表（解题万能模板）2.两类核心考法 · 基础判定：给出半径、线段长度，直接判断点的位置； 例：⊙O半径 4，OP=6，6>4，点P在圆外。 · 含参数综合题：已知点的位置，列不等式求参数取值范围； 例：⊙ O半径 5，点M(a,0)在圆内，圆心(0,0)，则OM<5，利用勾股定理<5，解得-5<a<5。 3.配套计算方法（坐标类题目必备） 4.高频易错提醒（教师课堂重点纠错） 1.d是线段长度，一定是非负数，距离不能为负； 2 区分 “圆上” 和 “圆内 / 外”，等于半径才在圆周上； 2.坐标题先算距离，不可直接拿横坐标、纵坐标和半径比较； 3.审题区分 “圆”（仅曲线，点d=r才算圆上）和 “圆面”dr都在圆面内）。 知识点 4：本节核心几何推论（几何证明必用） 1.同圆半径相等推论 若OA、OB、OC均为 ⊙O半径，则OA=OB=OC。 用途：①证明线段相等；②构造等腰三角形，结合等腰三角形性质解题。 拓展：连接圆心与圆上两点，△ OAB一定是等腰三角形。 2.直径等分圆推论 任意一条直径把圆分成两个完全重合、长度相等的半圆。 3.定点定长唯一圆推论 平面内给定一个定点（圆心）、定长（半径），只能画出唯一的一个圆； 同心圆：圆心相同，半径不相等的多个圆。 4.弦与弧基础推论 在同一个圆中，等弦对应等劣弧、等优弧。 1、弦与直径概念辨析错误 易错提醒：直径是经过圆心的弦，属于弦的特例；弦并不一定是直径；判定直径必须同时满足两个条件：线段经过圆心，线段两个端点落在圆上。 2、弧与半圆概念辨析错误 易错提醒：半圆由直径分割圆得到，属于弧的特例；弧并不一定是半圆；大于半圆的弧定义为优弧，书写优弧必须使用三个字母；小于半圆的弧定义为劣弧，劣弧一般使用两个字母书写。 3、依据弧长相等直接判定为等弧 易错提醒：等弧的定义为可以完全重合的弧；仅弧的长度相等，不能判定两条弧为等弧；等弧仅存在于同圆或者等圆之中，半径不等的圆不存在等弧。 4、圆的集合定义理解偏差 易错提醒：圆是到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的点的集合；圆仅指圆周这条曲线，不包含圆的内部；到定点距离小于定长的点位于圆内，到定点距离大于定长的点位于圆外。 5、点与圆的位置关系判断出错 易错提醒：设圆半径为r，点到圆心的距离为d；d>r，点在圆外；d=r，点在圆上；d<r，点在圆内；比较的距离是点到圆心的距离，而非点到圆周的距离。 6、优弧书写时采用两个字母标注 易错提醒：优弧书写必须使用三个字母，用于区分同一条弦所对应的两段不同弧；两个字母标注弧时，默认表示劣弧。 7、命题判断忽略同圆或等圆的前提条件 易错提醒：涉及半径、弧的相关命题，需要确认前提为同圆或者等圆；缺少该前提，对应结论不能成立；不同圆的半径不一定相等。 8、多点共圆判定标准理解错误 易错提醒：若干点共圆的判定依据是所有点到同一个定点的距离全部相等；只有部分点距离相等，不能够判定这一组点共圆。 题型 考察方向 难度 题型一 圆的基本概念辨析 ★ 题型二 求圆中弦的条数 ★ 题型三 求过圆内一点的最长弦 ★ 题型四 圆的周长和面积问题 ★★ 题型五 求小圆绕某图形一圈自转的圈数 ★★★★ 题型六 圆心角概念辨析及简单运算 ★ 拔高题 4题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 题型一 圆的基本概念辨析 1．已知圆的半径为，则圆中一条弦的长度不可能的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆的基本概念，先计算出直径长度，再根据圆中最长的弦为直径，判断各选项弦长是否合理，即可． 【详解】解：∵圆的半径为， 故圆的直径为， 故圆中弦长的取值范围是弦长； 又∵， ∴弦长不可能是． 故选：D． 2．如图，，，是上的点，，垂足为点，且为的中点，若，则的长为______． 【答案】 【分析】连接，可得，根据垂直平分线的性质可得，即可得出． 【详解】解：如图，连接， ∵，，是上的点， ∴， ∵，垂足为点，且为的中点， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴． 3．如图，直角中，，，将点放至量角器左侧刻度位置．斜边经过量角器的中心点，边与量角器的交点为，连接，则_________度． 【答案】 【分析】根据题意可知为圆心，、为圆上的点，利用等边对等角及三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵， ， ，即， ， ． 4．如图，在中，，以点为圆心，长为半径画弧交于点．以点为圆心，长为半径画弧，以点为圆心，长为半径画弧，两弧在直线下方交于点，连接交于点．若，，，则长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，过点A作于点H，求出，，再利用勾股定理求解． 【详解】解∶如图，过点A作于点H， ，， ． ． 以点为圆心，长为半径画弧交于点， ． ． ． ． ． 题型二 求圆中弦的条数 5．如图，在中，点A、O、D和点B、O、C分别在一条直线上，图中共有_______条弦，它们分别是_____________． 【答案】 三/3 ，， 【分析】根据连接圆上任意两点的线段叫弦回答即可． 【详解】解：图中的弦有，，共三条． 故答案为：三；，，． 【点睛】本题主要考查圆的基本性质，熟练掌握弦的概念是解题的关键． 6．如图，四点在上，点，点分别共线，则图中弦的条数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查圆的认识，理解弦的定义是解决本题的关键．根据弦的定义进行分析，从而得到答案． 【详解】解：图中的弦有共三条， 故选：B． 7．过圆内的一点(非圆心)有________条弦，有________条直径． 【答案】 无数 一 【分析】根据弦和直径的定义求解． 【详解】过圆内一点（非圆心）有无数条弦，有1条直径． 故答案为：无数，1． 【点睛】本题考查了圆的认识：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）． 8．点A、O、D与点B、O、C分别在同一直线上，图中弦的条数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】试题分析：弦是连接圆上任意两点的线段，根据定义作答． 解：由图可知，点A、B、E、C是⊙O上的点， 图中的弦有AB、BC、CE，一共3条． 故选B． 考点：圆的认识． 题型三 求过圆内一点的最长弦 9．已知的半径是3，A、B是圆周上的两点，则两点间的最长距离是（    ） A．3 B．6 C．12 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题主要查了圆的基本性质．根据圆的基本性质解答，即可求解． 【详解】解：经过圆心的弦最长，即直径是最长的弦， ∵的半径是3， ∴两点间的最长距离是6． 故选：B ． 10．小明在半径为的圆中测量弦的长度，测量结果可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆的认识，根据直径是圆中最长的弦即可求解． 【详解】解：半径为的圆，直径为， 在半径为的圆中测量弦的长度，的取值范围是：， 弦的长度可以是，不可能为、、． 故选：D． 11．如图，AB是半径为2的的弦，点C是上的一个动点，若点M，N分别是AB，BC中点，则MN长的最大值是______．    【答案】2 【分析】如图，连接并延长，交圆于点D，连接，由中位线定理，得，点A为定点，C为动点，的最大值为直径长，即长．于是的最大值为． 【详解】解：如图，连接并延长，交圆于点D，连接， ∵点M，N分别是AB，BC中点， ∴． 点A为定点，C为动点，的最大值为直径长，即长． ∵是直径， ∴． ∴的最大值为． 故答案为：2    【点睛】本题考查中位线定理，圆的基本概念弦与直径；掌握中位线定理是解题的关键． 12．如图，坐标平面内圆，已知圆的半径为2，圆心，下列直线中，与圆相交，且被圆所截得的弦最长的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆中最长的弦是直径，可得经过圆心的直线被圆所截得的弦最长，判断选项中哪条直线经过圆心即可． 【详解】解：A、在直线中，当时，，∴直线不经过圆心，故此选项错误； B、在直线中，当时，，∴直线不经过圆心，故此选项错误； C、在直线中，当时，，∴直线经过圆心，故此选项正确； D、在直线中，当时，，∴直线不经过圆心，故此选项错误． 题型四 圆的周长和面积问题 13．在一个半径为的大圆上，挖去9个半径为的小圆，当，时，剩余部分的面积为 __（结果保留． 【答案】 【分析】本题考查了圆的面积．熟练掌握圆的面积是解题的关键． 根据剩余部分的面积为：，计算求解即可． 【详解】解：由题知，剩余部分的面积为：， 故答案为：． 14．如图，个正方形的边长均为，则涂色部分的面积是的图有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了求不规则图形的面积． 由图可知，前三个图形空白部分面积均与直径为的圆的面积相同，第四个图形涂色部分的面积与直径为的圆的面积相同，计算后判断即可． 【详解】①涂色部分的面积是，符合题意； ②涂色部分的面积是，符合题意； ③涂色部分的面积是，符合题意； ④涂色部分的面积是，不符合题意； 即涂色部分的面积是的图有个， 故选：C． 15．如图1，一枚圆形古钱币的正中间是一个正方形孔，图2是其示意图，若圆的直径与正方形的对角线之比是，则整个圆形区域的面积与正方形的面积之比是_________． 【答案】 【分析】设圆的直径为，正方形的对角线长为，其中，分别表示出圆的面积和正方形的面积，即可求解． 【详解】解：∵圆的直径与正方形的对角线之比是， ∴设圆的直径为，正方形的对角线长为，其中， ∴圆的面积， 正方形的面积， ∴． 16．为方便销售，售货员把直径都为7cm的啤酒瓶捆成如图的形状，如果每组分别捆5圈（接头处不计），每组至少需要绳子（    ）cm．（π取3.14）    A．49.98 B．249.9 C．179.9 D．332.325 【答案】B 【分析】根据一圈绳子长=一个圆周长+一个正方形周长，列出算式，进而即可求解． 【详解】解：一圈的长度为：（cm）， 5圈的长度为：． 故选：B． 【点睛】本题主要考查几何图形的周长问题，掌握圆周长公式是关键． 题型五 求小圆绕某图形一圈自转的圈数 17．如图，与在同一平面内，其半径都是r．将固定，让从上的一点P出发，沿的边缘滚动一周，回到原来的位置．下列说法：①滚动过程中的圆心形成的轨迹与是同心圆；②的圆心经过的路程是；③在滚动中自身转了2周．其中正确的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题考查了轨迹问题，掌握上的点P运动的路径长点运动的路径长是本题的关键． 根据题意可得，的圆心是以为圆心，为半径运动，即可解答． 【详解】解：根据题意可得，的圆心是以为圆心，为半径运动，即的圆心形成的轨迹与是同心圆；故①正确； ，则的圆心经过的路程是，故②错误； 根据题意可得点P运动的路径长， 的周长， 即在滚动中自身转了2周，故③正确； 故选：B． 18．自行车是绿色环保的交通工具，图①是某自行车的传动结构，图②是该结构的示意图，其中的半径是，的半径是，．当顺时针转动1周时，上的点随之旋转，则的值为______． 【答案】144 【分析】由顺时针转动1周，转动的长度是，上的点随之旋转，点转动的长度是，得到，即可求解． 【详解】解：顺时针转动1周，转动的长度是， ∵上的点随之旋转， ∴点转动的长度是， ∵， ∴， ∵顺时针转动1周转动的长度等于上的点旋转转动的长度， ∴， 解得，． 19．圆的滚动问题探索： (1)如图1，一个半径为的圆沿直线方向从地滚动到地，若的长为，则该圆在滚动过程中自转了___________圈．（用含、的式子表示） 试验： 现有两个半径相等的圆（如图5），将圆固定，圆沿定圆的周围滚动无滑动．当圆沿圆周围滚动一周回到原来的位置时，圆自转了圈，而圆的圆心运动的线路也是一个圆，而这个圆的周长恰好是圆的周长的倍． (2)如图2，的半径为，的半径为，现将固定，让沿的周围滚动无滑动．当沿的周围滚动一周回到原来的位置时，自转了___________圈； (3)如图3，的半径为，的半径为，现将固定，让沿的内部边缘滚动无滑动．当沿边缘滚动一圈回到原来的位置时，自转了___________圈． 解决问题： (4)如图4，一个等边三角形的边长与圆的周长相等，当此圆按箭头方向从某一位置沿等边三角形的三边作无滑动滚动，直至回到原来的位置时，该圆自转了多少圈？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) (4)该圆自转了圈； 理由如下： 等边三角形的边长与和圆的周长相等， 圆在等边三角形三条边上滚动时，转了圈，而圆从一边转到另一边时，圆心绕三角形的一个顶点旋转了三角形的一个外角的度数， 圆心要绕其三角形的顶点旋转， 圆绕三个顶点共旋转了，即转了圈， 此圆按箭头方向从某一位置沿等边三角形的三边作无滑动滚动，直至回到原来的位置时，该圆自转了圈． 【分析】（1）利用圆运动的距离除以圆的周长即可得出答案； （2）利用运动的距离除以的周长即可得出答案； （3）利用运动的距离除以的周长即可得出答案； （4）圆自转的圈数绕三边滚动所转的圈数圆心要绕其三角形的顶点所转的圈数． 【详解】（1）解：该圆在滚动过程中自转的圈数为：（圈）； （2）解：当沿沿周围滚动一周回到原来的位置时，滚动的路程为：， 自转了（圈）； （3）解：当沿内部边缘滚动一圈回到原来的位置时，滚动的路程为：， 自转了（圈）； （4） 略 题型六 圆心角概念辨析及简单运算 20．如图，在中，劣弧的度数为，则圆心角_________. 【答案】 【分析】的度数即为所对圆心角的度数； 【详解】解：的度数即为所对圆心角的度数； ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查了弧与圆心角的关系；正确理解圆心角的定义是解题的关键． 21．如图，为的弦，，则所对的圆心角等于（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据圆的半径相等确定的度数，然后根据三角形内角和定理求出的度数． 【详解】解：，都是的半径， ， ， ， 所对的圆心角等于． 22．如图，将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放，直尺的长边与量角器的外弧分别交于点A，B，C，D，连接，则的度数为_______．    【答案】 【分析】方法一∶如图：连接，由题意可得：，，然后再根据等腰三角形的性质求得、，最后根据角的和差即可解答． 方法二∶ 连接，由题意可得：，然后根据圆周角定理即可求解． 【详解】方法一∶ 解：如图：连接， 由题意可得：，，， ∴，， ∴． 故答案为．    方法二∶解∶ 连接， 由题意可得：， 根据圆周角定理，知． 故答案为．      【点睛】本题主要考查了角的度量、圆周角定理等知识点，掌握圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半是解答本题的关键． 23．一张圆形纸片，圆周被等分，等分点分别为，圆形纸片的部分示意图如图所示，若的半径是2，弦，则（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】C 【分析】本题考查了圆心角、勾股定理的逆定理等知识，熟练掌握圆心角的概念是解题关键．连接，先根据勾股定理的逆定理可得，再根据圆的性质求出圆心角，则，由此即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵的半径是2， ∴， ∵弦， ∴， ∴是直角三角形，， ∵圆形纸片被等分， ∴， ∴， 解得，经检验，是所列分式方程的解． 故选：C． 解答题 1．如图，在中，，，以点C为圆心、为半径的圆交于点D，求弦所对圆心角的度数． 【答案】 【分析】由直角三角形的性质得出，由等腰三角形的性质得出，由三角形内角和定理求出即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．如图，点A，N在半圆O上，四边形，均为矩形，，．a与b的大小关系是怎样的？ 【答案】相等 【分析】连接，，根据矩形的性质，易得，，再根据半径相等，即可求解． 【详解】解：如图，连接，， 四边形，均为矩形，，， ，， 点A，N在半圆O上， ， 则a和b的大小关系是相等． 3．【背景】4米标准跑道由两条直道（各米）和两个半圆形弯道组成，共条跑道，每条宽米．最内圈（第圈）弯道半径米． 【素材1】小轩计算各跑道内圈边线长度（，结果保留一位小数）： ·第圈：米 ·第圈：米 ·第圈：米 【素材2】小轩沿第1圈边线逆时针跑步，徐教练沿第3圈边线逆时针骑自行车（均按内侧边线计算路程）． 【任务1】 （1）第圈一个半圆形弯道长比第圈一个半圆形弯道长多多少米？ （2）计算第圈跑道全长． 【任务2】 （3）当徐教练跑了不足两圈时，判断两人从起跑线同时出发，徐教练速度与小轩速度之比为，两人行了秒，是否能在直道首次相遇？如果能，请你求出小轩与教练的平均速度（单位：米/秒），如果不能，请你说明理由．（注：相遇条件即两人所在点连线与跑道边线在同侧与直道垂直时视为直道相遇；以上各题中取，结果保留一位小数） 【答案】（1）米； （2）米； （3）不能， 设小轩的平均速度为米/秒，则徐教练的平均速度为米/秒． ∵两人在直道首次相遇时，路程差为第3圈长度加上第3圈与第1圈一个半圆形弯道的长度差， ∴路程差为（米）， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵当小轩跑100秒时，路程为米，大于第1圈的一半（米）， ∴他们不能在直道上首次相遇． 【分析】本题主要考查了圆的周长计算、行程问题中的相遇问题以及一元一次方程的应用，熟练掌握圆的周长公式和行程问题中的路程、速度、时间关系是解题的关键． （1）利用圆的周长公式，分别计算第3圈和第1圈半圆形弯道的长度，再求两者的差值． （2）根据跑道的结构，将直道长度和弯道长度相加，计算出第圈跑道的全长． （3）先根据速度比设出两人的速度，再结合相遇条件列出方程，通过求解并验证小轩的路程是否超过半圈，判断能否在直道首次相遇． 【详解】（1）由题意得：（米）， 答：第三圈半圆形弯道长比第一圈半圆形弯道长多米； （2）（米） 答：小轩计算的第七圈长约米； （3） 略 4．如图1，在正方形中，，O是对角线的中点，P是平面内一点，且． (1)P到的最小距离______； (2)如图2，当P点落在上时，求的长； (3)如图3，连接，把绕点P顺时针旋转得到，连接，，求的最大值． 【答案】(1)1 (2)3 (3) 【分析】（1）先计算O到的距离，又因为P在以O为圆心、1为半径的圆上，所以P到的最小距离为O到的距离减去圆的半径． （2）先计算的长度，再得到、的长度，又因为，所以分P在上和P在上两种情况，结合勾股定理可计算的长度． （3）先将绕点旋转得到，根据旋转的性质和平行四边形的判定证明四边形为平行四边形，进而有，可理解点在以为圆心、为半径的圆上运动．当点位于线段延长线上时，取得最大值，求出这种情况的的值即可． 【详解】（1）解：正方形中心到边的距离为边长的一半，即． 点在以为圆心半径的圆上， 因此到的最小距离为 到的距离减去半径：． （2）如图， ∵正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵是直角三角形，，， 由勾股定理： ， 无论在的哪一侧，长度恒为， ∴． （3）如图，连接、． 由正方形性质知：，且，为等腰直角三角形． 将绕点旋转得到． 由旋转性质得：，，且． 在等腰中，． 由题意，将绕点顺时针旋转得到， ∴，且，即． 由旋转知． ∴． 又∵， ∴四边形为平行四边形． ∴． 这说明无论点在何处，点到定点的距离恒为， 即点在以为圆心、为半径的圆上运动． 为定点，且正方形边长为4，故． 当点位于线段延长线上时，取得最大值：． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04圆的相关概念知题通关讲义 知识点 1：圆的两种定义（核心基础，填空选择必考）. 1. 动态定义（操作理解，画图用） 在同一平面内，一条线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点运动所形成的封闭曲线叫做圆。 固定端点：圆心，用大写字母O表示； 线段定长：半径，用字母r表示； 关键限制：必须强调同一平面；空间旋转形成球面，不是平面圆。 2. 静态（集合）定义（考试核心考点） 平面内到定点的距离等于定长的所有点的集合叫做圆。 定点：圆心O；定长：半径r； 几何记作：以O为圆心的圆，写作⊙ O； 核心区分易错： ⊙ O仅指圆周（外围曲线），不含内部； 圆面 = 圆周 + 圆内部所有区域；做题看清题干描述是 “圆” 还是 “圆面”。 补充教师备课拓展 生活实例：车轮做成圆形，利用 “圆上各点到圆心距离相等”，保证行驶平稳；摩天轮、圆形餐盘都是圆的现实模型。 知识点 2：圆相关基础概念（背诵专用，区分易混概念） 配套推论（学生必背） 1.直径长度 = 2× 半径，d=2r，r=； 2.同一个圆内，直径是长度最大的弦，不存在更长的弦； 3.一条非直径弦对应 1 条劣弧、1 条优弧；直径对应两条相等半圆。 知识点 3：点与圆的三种位置关系（本章重难点，计算、大题高频） 设：⊙ O的半径为定值r，平面内任意一点P，点P到圆心O的距离为线段长度OP=d。 位置关系完整对照表（解题万能模板）2.两类核心考法 · 基础判定：给出半径、线段长度，直接判断点的位置； 例：⊙O半径 4，OP=6，6>4，点P在圆外。 · 含参数综合题：已知点的位置，列不等式求参数取值范围； 例：⊙ O半径 5，点M(a,0)在圆内，圆心(0,0)，则OM<5，利用勾股定理<5，解得-5<a<5。 3.配套计算方法（坐标类题目必备） 4.高频易错提醒（教师课堂重点纠错） 1.d是线段长度，一定是非负数，距离不能为负； 2 区分 “圆上” 和 “圆内 / 外”，等于半径才在圆周上； 2.坐标题先算距离，不可直接拿横坐标、纵坐标和半径比较； 3.审题区分 “圆”（仅曲线，点d=r才算圆上）和 “圆面”dr都在圆面内）。 知识点 4：本节核心几何推论（几何证明必用） 1.同圆半径相等推论 若OA、OB、OC均为 ⊙O半径，则OA=OB=OC。 用途：①证明线段相等；②构造等腰三角形，结合等腰三角形性质解题。 拓展：连接圆心与圆上两点，△ OAB一定是等腰三角形。 2.直径等分圆推论 任意一条直径把圆分成两个完全重合、长度相等的半圆。 3.定点定长唯一圆推论 平面内给定一个定点（圆心）、定长（半径），只能画出唯一的一个圆； 同心圆：圆心相同，半径不相等的多个圆。 4.弦与弧基础推论 在同一个圆中，等弦对应等劣弧、等优弧。 1、弦与直径概念辨析错误 易错提醒：直径是经过圆心的弦，属于弦的特例；弦并不一定是直径；判定直径必须同时满足两个条件：线段经过圆心，线段两个端点落在圆上。 2、弧与半圆概念辨析错误 易错提醒：半圆由直径分割圆得到，属于弧的特例；弧并不一定是半圆；大于半圆的弧定义为优弧，书写优弧必须使用三个字母；小于半圆的弧定义为劣弧，劣弧一般使用两个字母书写。 3、依据弧长相等直接判定为等弧 易错提醒：等弧的定义为可以完全重合的弧；仅弧的长度相等，不能判定两条弧为等弧；等弧仅存在于同圆或者等圆之中，半径不等的圆不存在等弧。 4、圆的集合定义理解偏差 易错提醒：圆是到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的点的集合；圆仅指圆周这条曲线，不包含圆的内部；到定点距离小于定长的点位于圆内，到定点距离大于定长的点位于圆外。 5、点与圆的位置关系判断出错 易错提醒：设圆半径为r，点到圆心的距离为d；d>r，点在圆外；d=r，点在圆上；d<r，点在圆内；比较的距离是点到圆心的距离，而非点到圆周的距离。 6、优弧书写时采用两个字母标注 易错提醒：优弧书写必须使用三个字母，用于区分同一条弦所对应的两段不同弧；两个字母标注弧时，默认表示劣弧。 7、命题判断忽略同圆或等圆的前提条件 易错提醒：涉及半径、弧的相关命题，需要确认前提为同圆或者等圆；缺少该前提，对应结论不能成立；不同圆的半径不一定相等。 8、多点共圆判定标准理解错误 易错提醒：若干点共圆的判定依据是所有点到同一个定点的距离全部相等；只有部分点距离相等，不能够判定这一组点共圆。 题型 考察方向 难度 题型一 圆的基本概念辨析 ★ 题型二 求圆中弦的条数 ★ 题型三 求过圆内一点的最长弦 ★ 题型四 圆的周长和面积问题 ★★ 题型五 求小圆绕某图形一圈自转的圈数 ★★★★ 题型六 圆心角概念辨析及简单运算 ★ 拔高题 4题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 题型一 圆的基本概念辨析 1．已知圆的半径为，则圆中一条弦的长度不可能的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，，，是上的点，，垂足为点，且为的中点，若，则的长为______． 3．如图，直角中，，，将点放至量角器左侧刻度位置．斜边经过量角器的中心点，边与量角器的交点为，连接，则_________度． 4．如图，在中，，以点为圆心，长为半径画弧交于点．以点为圆心，长为半径画弧，以点为圆心，长为半径画弧，两弧在直线下方交于点，连接交于点．若，，，则长为（     ） A． B． C． D． 题型二 求圆中弦的条数 5．如图，在中，点A、O、D和点B、O、C分别在一条直线上，图中共有_______条弦，它们分别是_____________． 6．如图，四点在上，点，点分别共线，则图中弦的条数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 7．过圆内的一点(非圆心)有________条弦，有________条直径． 8．点A、O、D与点B、O、C分别在同一直线上，图中弦的条数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 题型三 求过圆内一点的最长弦 9．已知的半径是3，A、B是圆周上的两点，则两点间的最长距离是（    ） A．3 B．6 C．12 D．不能确定 10．小明在半径为的圆中测量弦的长度，测量结果可能是（   ） A． B． C． D． 11．如图，AB是半径为2的的弦，点C是上的一个动点，若点M，N分别是AB，BC中点，则MN长的最大值是______．    12．如图，坐标平面内圆，已知圆的半径为2，圆心，下列直线中，与圆相交，且被圆所截得的弦最长的是（    ） A． B． C． D． 题型四 圆的周长和面积问题 13．在一个半径为的大圆上，挖去9个半径为的小圆，当，时，剩余部分的面积为 __（结果保留． 14．如图，个正方形的边长均为，则涂色部分的面积是的图有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 15．如图1，一枚圆形古钱币的正中间是一个正方形孔，图2是其示意图，若圆的直径与正方形的对角线之比是，则整个圆形区域的面积与正方形的面积之比是_________． 16．为方便销售，售货员把直径都为7cm的啤酒瓶捆成如图的形状，如果每组分别捆5圈（接头处不计），每组至少需要绳子（    ）cm．（π取3.14）    A．49.98 B．249.9 C．179.9 D．332.325 题型五 求小圆绕某图形一圈自转的圈数 17．如图，与在同一平面内，其半径都是r．将固定，让从上的一点P出发，沿的边缘滚动一周，回到原来的位置．下列说法：①滚动过程中的圆心形成的轨迹与是同心圆；②的圆心经过的路程是；③在滚动中自身转了2周．其中正确的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 18．自行车是绿色环保的交通工具，图①是某自行车的传动结构，图②是该结构的示意图，其中的半径是，的半径是，．当顺时针转动1周时，上的点随之旋转，则的值为______． 19．圆的滚动问题探索： (1)如图1，一个半径为的圆沿直线方向从地滚动到地，若的长为，则该圆在滚动过程中自转了___________圈．（用含、的式子表示） 试验： 现有两个半径相等的圆（如图5），将圆固定，圆沿定圆的周围滚动无滑动．当圆沿圆周围滚动一周回到原来的位置时，圆自转了圈，而圆的圆心运动的线路也是一个圆，而这个圆的周长恰好是圆的周长的倍． (2)如图2，的半径为，的半径为，现将固定，让沿的周围滚动无滑动．当沿的周围滚动一周回到原来的位置时，自转了___________圈； (3)如图3，的半径为，的半径为，现将固定，让沿的内部边缘滚动无滑动．当沿边缘滚动一圈回到原来的位置时，自转了___________圈． 解决问题： (4)如图4，一个等边三角形的边长与圆的周长相等，当此圆按箭头方向从某一位置沿等边三角形的三边作无滑动滚动，直至回到原来的位置时，该圆自转了多少圈？请说明理由． 题型六 圆心角概念辨析及简单运算 20．如图，在中，劣弧的度数为，则圆心角_________. 21．如图，为的弦，，则所对的圆心角等于（     ）． A． B． C． D． 22．如图，将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放，直尺的长边与量角器的外弧分别交于点A，B，C，D，连接，则的度数为_______．    23．一张圆形纸片，圆周被等分，等分点分别为，圆形纸片的部分示意图如图所示，若的半径是2，弦，则（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 解答题 1．如图，在中，，，以点C为圆心、为半径的圆交于点D，求弦所对圆心角的度数． 2．如图，点A，N在半圆O上，四边形，均为矩形，，．a与b的大小关系是怎样的？ 3．【背景】4米标准跑道由两条直道（各米）和两个半圆形弯道组成，共条跑道，每条宽米．最内圈（第圈）弯道半径米． 【素材1】小轩计算各跑道内圈边线长度（，结果保留一位小数）： ·第圈：米 ·第圈：米 ·第圈：米 【素材2】小轩沿第1圈边线逆时针跑步，徐教练沿第3圈边线逆时针骑自行车（均按内侧边线计算路程）． 【任务1】 （1）第圈一个半圆形弯道长比第圈一个半圆形弯道长多多少米？ （2）计算第圈跑道全长． 【任务2】 （3）当徐教练跑了不足两圈时，判断两人从起跑线同时出发，徐教练速度与小轩速度之比为，两人行了秒，是否能在直道首次相遇？如果能，请你求出小轩与教练的平均速度（单位：米/秒），如果不能，请你说明理由．（注：相遇条件即两人所在点连线与跑道边线在同侧与直道垂直时视为直道相遇；以上各题中取，结果保留一位小数） 4．如图1，在正方形中，，O是对角线的中点，P是平面内一点，且． (1)P到的最小距离______； (2)如图2，当P点落在上时，求的长； (3)如图3，连接，把绕点P顺时针旋转得到，连接，，求的最大值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $