3.1 相似多边形 讲义 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

本讲义聚焦初三数学“相似多边形”核心知识点，系统梳理成比例线段（含线段比、成比例线段定义）、相似多边形（定义、相似符号、相似比）及比例性质（基本性质、等比性质），构建从概念到性质再到应用的学习支架，为后续相似三角形学习奠定基础。 资料亮点在于结合生活情境设计例题（如无人机测绘、敦煌藻井），培养学生用数学眼光观察现实世界，通过分类讨论（比例性质应用）和规律探究（矩形扩张问题）发展推理意识，课中分层例题辅助教学，课后实战演练助力学生查漏补缺，提升数学应用能力。

2026秋季初三数学同步讲义08-相似多边形 【基础巩固】 1．成比例线段 （1）线段的比：两线段长度之比，单位统一； （2）成比例线段：四条线段，，，中，如果与的比等于与的比，即，那么这四条线段，，，叫作成比例线段，简称比例线段。 2．相似多边形 （1）相似多边形：各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫作相似多边形； （2）相似符号：用“∽”表示。读作“相似于”； （3）相似多边形对应边的比叫作相似比，一般用字母k表示； 3．比例的性质 （1）基本性质：； （2）等比性质：如果，那么. 【精准突破】 一、成比例线段 例1．（判断）下列各组线段中，a、b、c、d成比例的一组是（     ） A． B． C． D． 例2．（计算）（1）已知线段，，，为成比例线段，其中，，，则是（     ） A． B． C． D． （2）已知线段a、b、c的长度分别为3、6、9，再选取一条线段d，使得这四条线段成比例，这条线段的长度不能是（     ） A．2 B．4.5 C．18 D．8 【实战演练】 1．下列各组中的四条线段成比例的是(    ) A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 2．已知、、、为成比例线段，其中，，，则为（     ） A． B． C． D． 3．已知三条线段的长分别是，和，如果再加上一条线段，使这四条线段成比例，那么这条线段的长是________． 二、相似多边形 例1．（判断）在研究相似问题时，两位同学的观点如下： 甲：将矩形按图1的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似． 乙：将菱形按图2的方式向外扩张，得到新的菱形，它们的对应边间距均为1，则新菱形与原菱形相似． 对以上两人的观点，下列判断正确的是（     ） A．甲错 B．乙错 C．都错 D．都对 例2．（相似多边形性质）（1）如图，已知矩形的边长为，边长为，从中截去一个矩形（图中阴影部分），如果所截矩形与原矩形相似，那么所截矩形的面积是 ． （2）为调查某住宅区的实际占地情况，技术人员使用无人机进行航拍测绘（如图1）．其基本原理是：无人机从空中拍摄地面物体，所生成的数字模型（如图2）与地面实际物体（如图3）构成相似图形．在本次测绘中，设定数字模型上的代表实际距离．技术人员在数字模型上测得住宅区边界构成的四边形各边长度分别为 ，，， ，则该住宅区实际边界四边形的周长是_______． （3）敦煌藻井是敦煌石窟图案中的精华，位于石窟顶部中央，绘制了从东晋十六国至元代末年的千年时段，它被称为“天空的艺术”．如图1是方井套叠藻井，由三层方井以45度角交错套叠而成，层层递进极具纵深感．如图2是抽象的几何图形，外切于的正方形，正方形，正方形以45度角交错套叠而成，其中，则正方形与正方形的相似比是（     ） A． B． C． D． 例3．（规律问题）在矩形中，，连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形ADCB；再连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形，…，按照此规律作下去，则边的长为（     ） A． B． C． D． 【实战演练】 1．在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下： 甲：将三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距均为2，则新三角形与原三角形相似． 乙：将矩形按图2的方式向外扩张，得到新矩形，它们的对应边间距均为2，则新矩形与原矩形相似． 对于两人的观点，下列说法正确的是（   ） A．甲对，乙错 B．甲错，乙对 C．甲乙都对 D．甲乙都错 2．（1）一块矩形的纸片的长，宽，按照图中的方式将它裁成相同的两个矩形，且使裁成的每个矩形的宽和长的比与原纸片的宽与长的比相同，即，则a的值为（    ）． A． B． C．2 D． （2）矩形相邻的两边长分别为25和，把它按如图所示的方式分割成五个全等的小矩形，每一个小矩形均与原矩形相似，则的值为（   ） A．5 B．5 C．10 D．5 （3）如图，一个矩形广场（阴影部分）的长为，宽为，广场外围两条纵向小路的宽均为．如果设两条横向小路的宽都为，那么当x为_______时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似． （4）如图1是古希腊时期的巴台农神庙，将图1中的虚线画成如图2所示的矩形，当以矩形的宽为边作正方形时，发现矩形矩形，则的值为___________． 3．如图，矩形的长，宽． (1)如图①，若在矩形的内部沿四周有宽为1的环形区域，则矩形与矩形相似吗？请说明理由． (2)如图②，当x为多少时，矩形与矩形相似？ 4．如图1，木质镂空花格常见于江南园林的门窗与屏风．图2是其示意图，正八边形的内部包含4个全等的正方形和1个正八边形（阴影部分），则正八边形与阴影部分的面积比是_______． 5．如图①，等腰面积为． (1)如图②，延长到，使，延长到，使，以为边长在的左侧作正方形，其面积记作，以为边长在右上方作正方形，其面积记作，则______． (2)如图③，延长到，使，延长到，使，以为边长在的左侧作正方形，其面积记作，以为边长在右上方作正方形，其面积记作，则______． (3)延长到，使，延长到，使，以为边长在的左侧作正方形，其面积记作，以为边长在右上方作正方形，其面积记作，则______． 三、比例性质 例1．（1）若，，则 ． （2）已知，则的值是___________． 例2．（注意分类讨论）已知，则直线一定经过（　　） A．第一、二象限 B．第二、三家限 C．第三、四象限 D．第一、四象限 【实战演练】 1．若且，则的值为_______． 2．已知，那么的值是 _____． 3．已知：，且． (1)求a、b、c的值； 4．已知实数 a、b、c 满足 （注：），则直线 不经过 （ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．已知，则直线一定经过（　　） A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限 6．已知，且，则直线不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．已知a，b，c为正实数，且，则直线一定不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2026秋季初三数学同步讲义08-相似多边形 【基础巩固】 1．成比例线段 （1）线段的比：两线段长度之比，单位统一； （2）成比例线段：四条线段，，，中，如果与的比等于与的比，即，那么这四条线段，，，叫作成比例线段，简称比例线段。 2．相似多边形 （1）相似多边形：各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫作相似多边形； （2）相似符号：用“∽”表示。读作“相似于”； （3）相似多边形对应边的比叫作相似比，一般用字母k表示； 3．比例的性质 （1）基本性质：； （2）等比性质：如果，那么. 【精准突破】 一、成比例线段 例1．（判断）下列各组线段中，a、b、c、d成比例的一组是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、， ，， ∵， 这组线段不成比例，故本选项错误． B、， ，， ∴， 这组线段成比例，故本选项正确． C、， ，， ∵， 这组线段不成比例，故本选项错误． D、， ，， ∵， ∴这组线段不成比例，故本选项D错误． 例2．（计算）（1）已知线段，，，为成比例线段，其中，，，则是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，，，是成比例线段， ∴， ∵，，， ∴． （2）已知线段a、b、c的长度分别为3、6、9，再选取一条线段d，使得这四条线段成比例，这条线段的长度不能是（     ） A．2 B．4.5 C．18 D．8 【答案】D 【详解】解：情况1：若，则，解得，对应选项C，可能； 情况2：若，则，解得，对应选项B，可能； 情况3：若，则，解得，对应选项A，可能； ∴d的可能取值为2，4.5，18，不可能为8，故D不可能． 【实战演练】 1．下列各组中的四条线段成比例的是(    ) A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】B 【详解】解：选项A、 ， ∴ 四条线段不成比例，A错误； 选项B 、，则， ∴ 四条线段成比例，B正确； 选项C 、， ∴ 四条线段不成比例，C错误； 选项D 、， ∴ 四条线段不成比例，D错误； 故选：B． 2．已知、、、为成比例线段，其中，，，则为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵、、、为成比例线段，根据定义可得， ∴将，，代入得， 解得． 3．已知三条线段的长分别是，和，如果再加上一条线段，使这四条线段成比例，那么这条线段的长是________． 【答案】或或 【详解】解：设所求的线段是，根据题意得到， ， 解得． ， 解得． ， 解得． 二、相似多边形 例1．（判断）在研究相似问题时，两位同学的观点如下： 甲：将矩形按图1的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似． 乙：将菱形按图2的方式向外扩张，得到新的菱形，它们的对应边间距均为1，则新菱形与原菱形相似． 对以上两人的观点，下列判断正确的是（     ） A．甲错 B．乙错 C．都错 D．都对 【答案】A 【详解】解：如图所示， 甲：设原矩形边长为，， 向外扩张一个单位后边长变为，， 则， ∴新矩形与原矩形不相似，甲说法不正确； 乙：将边长为的菱形按图2的方式向外扩张，得到新菱形，各边与原菱形边平行， 因此各角与原菱形角对应相等，扩张后四条边依然相等，即新菱形与原菱形相似， 故乙正确． 例2．（相似多边形性质）（1）如图，已知矩形的边长为，边长为，从中截去一个矩形（图中阴影部分），如果所截矩形与原矩形相似，那么所截矩形的面积是 ． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴， ∵矩形和矩形相似， ∴， ∴， 故答案为： （2）为调查某住宅区的实际占地情况，技术人员使用无人机进行航拍测绘（如图1）．其基本原理是：无人机从空中拍摄地面物体，所生成的数字模型（如图2）与地面实际物体（如图3）构成相似图形．在本次测绘中，设定数字模型上的代表实际距离．技术人员在数字模型上测得住宅区边界构成的四边形各边长度分别为 ，，， ，则该住宅区实际边界四边形的周长是_______． 【答案】 【详解】解：由题意可知，数字模型上的四边形与实际边界四边形相似， 数字模型上四边形的周长， 因为数字模型上的代表实际距离，所以实际边界四边形的周长为：． （3）敦煌藻井是敦煌石窟图案中的精华，位于石窟顶部中央，绘制了从东晋十六国至元代末年的千年时段，它被称为“天空的艺术”．如图1是方井套叠藻井，由三层方井以45度角交错套叠而成，层层递进极具纵深感．如图2是抽象的几何图形，外切于的正方形，正方形，正方形以45度角交错套叠而成，其中，则正方形与正方形的相似比是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵四边形，均为正方形， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形，， ∴，为等腰直角三角形， ∴， ∴， 同理， ∴， ∴正方形与正方形的相似比是． 例3．（规律问题）在矩形中，，连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形ADCB；再连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形，…，按照此规律作下去，则边的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵四边形是矩形， ∵按逆时针方向作矩形的相似矩形， ∴矩形的边长和矩形的相似比为， ∴矩形的对角线和矩形的对角线的比为， ∵矩形的对角线为， ∴矩形的对角线， 依此类推，矩形的对角线和矩形的对角线的比为， ∴矩形的对角线， ∴矩形的对角线， 按此规律第个矩形的对角线 ． 【实战演练】 1．在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下： 甲：将三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距均为2，则新三角形与原三角形相似． 乙：将矩形按图2的方式向外扩张，得到新矩形，它们的对应边间距均为2，则新矩形与原矩形相似． 对于两人的观点，下列说法正确的是（   ） A．甲对，乙错 B．甲错，乙对 C．甲乙都对 D．甲乙都错 【答案】A 【详解】解：甲：如图所示， ∴，， ∴，故甲对； 乙：如图所示，设， ∴，， ∵， ∴原矩形与新矩形不相似，故乙错； 综上所述，甲对，乙错， 故选：A ． 2．（1）一块矩形的纸片的长，宽，按照图中的方式将它裁成相同的两个矩形，且使裁成的每个矩形的宽和长的比与原纸片的宽与长的比相同，即，则a的值为（    ）． A． B． C．2 D． 【答案】A 【详解】解：根据题意可知，． 由，得， 即． ∴． 开平方，得（舍去）， 故选：A． （2）矩形相邻的两边长分别为25和，把它按如图所示的方式分割成五个全等的小矩形，每一个小矩形均与原矩形相似，则的值为（   ） A．5 B．5 C．10 D．5 【答案】B 【详解】解：∵大矩形的长边为25， 则切割后的小矩形的短边长为5， 又∵大矩形的短边与小矩形的长边都为x， ∴由相似可得， 即，且， 解得 故选：B ． （3）如图，一个矩形广场（阴影部分）的长为，宽为，广场外围两条纵向小路的宽均为．如果设两条横向小路的宽都为，那么当x为_______时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似． 【答案】 【详解】解：根据题意得：内矩形长为，宽为，外矩形长为，宽为， 若内外两个矩形相似，除对应角相等外，还需，解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． ∴当时， 小路内、外边缘所围成的两个矩形相似． 故答案为：． （4）如图1是古希腊时期的巴台农神庙，将图1中的虚线画成如图2所示的矩形，当以矩形的宽为边作正方形时，发现矩形矩形，则的值为___________． 【答案】 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵矩形矩形， ∴， ∴， 设， ∴，即， 解得或（不符合题意，舍去）， 经检验，是所列方程的解， ∴． 3．如图，矩形的长，宽． (1)如图①，若在矩形的内部沿四周有宽为1的环形区域，则矩形与矩形相似吗？请说明理由． (2)如图②，当x为多少时，矩形与矩形相似？ 【答案】(1)不相似．理由如下： 由题意，在矩形的内部沿四周有宽为1的环形区域得： ． ∴矩形与矩形不相似． （2）由题意，得，． 若矩形与矩形相似， 则或， 即或， 解得或． 故当x为1.5或9时，矩形与矩形相似． 4．如图1，木质镂空花格常见于江南园林的门窗与屏风．图2是其示意图，正八边形的内部包含4个全等的正方形和1个正八边形（阴影部分），则正八边形与阴影部分的面积比是_______． 【答案】 【详解】解：如图2： 正八边形， ，，， 四边形是矩形， ， 内部阴影是正八边形， ， 由4个全等的正方形可知：是等腰直角三角形，， 设，则， ， 阴影部分为正八边形，正八边形都相似， ∴正八边形与阴影部分的面积比为． 5．如图①，等腰面积为． (1)如图②，延长到，使，延长到，使，以为边长在的左侧作正方形，其面积记作，以为边长在右上方作正方形，其面积记作，则______． (2)如图③，延长到，使，延长到，使，以为边长在的左侧作正方形，其面积记作，以为边长在右上方作正方形，其面积记作，则______． (3)延长到，使，延长到，使，以为边长在的左侧作正方形，其面积记作，以为边长在右上方作正方形，其面积记作，则______． 【答案】(1)4 (2) (3) 【详解】（1）解：∵等腰， ， ∴以为边长的正方形面积为1， ∵， ， ∵正方形皆相似， ∴， ∴以为边长的正方形面积为4， 由勾股定理得； 故答案为：4； （2）同（1）得： ， ∴， ∴以为边长的正方形面积为， ； 故答案为：16； （3）同上所得：， ， ∴， ∴以为边长的正方形面积为， ． 故答案为：． 三、比例性质 例1．（1）若，，则 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， （2）已知，则的值是___________． 【答案】 【详解】解：设（），则，，， ∴． 故答案为：． 例2．（注意分类讨论）已知，则直线一定经过（　　） A．第一、二象限 B．第二、三家限 C．第三、四象限 D．第一、四象限 【答案】B 【详解】 ， ， 当时，， 则， 此时直线为，过二、三、四象限． 当时，， 此时直线为，过一、二、三象限． 综上所述，过二、三象限． 故选B． 【实战演练】 1．若且，则的值为_______． 【答案】 【详解】解：设，，（）， ∵， ∴， 解得：， ∴． 故答案为： 2．已知，那么的值是 _____． 【答案】 【详解】解：设， ∴，，， ∴． 故答案为：． 3．已知：，且． (1)求a、b、c的值； 【答案】(1) 【详解】（1）解：设， ∴， ∵ ∴， 解得：， ∴； 4．已知实数 a、b、c 满足 （注：），则直线 不经过 （ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】解：由题意得， ∵ ， ∴，，， ∴， ∵， ∴． ∴直线解析式为， ∴ 直线经过第一、第三和第四象限，不经过第二象限． 故选：B 5．已知，则直线一定经过（　　） A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限 【答案】B 【详解】（1）当a+b+c=0时，b+c=-a，∴k==-1，则直线是：y=-x-2，则经过二，三，四象限； （2）当a+b+c≠0时，k==，则直线是：y=x+1，一定经过第一、二、三象限 ∴直线y=kx+2k一定经过第二、三象限．故选B． 6．已知，且，则直线不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【详解】解：∵a+b+c≠0，根据等比性质，得p=， ∴直线y=px+p，即直线y=2x+2， ∴直线y=px+p不经过第四象限． 故选D． 7．已知a，b，c为正实数，且，则直线一定不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【详解】∵a，b，c为正实数， ∴a+b+c≠0， ∴k==2, ∴一次函数表达式为y=2x+3, ∴它的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限， 故选D. 1 学科网（北京）股份有限公司 $