2.4 有理数的乘方：含乘方有理数混合运算、乘方的实际应用、科学记数法讲义-2026-2027学年北师大版七年级数学上册

有理数的乘方：含乘方有理数混合运算、乘方的实际应用、科学记数法讲义 有理数的乘方：含乘方有理数混合运算、乘方的实际应用、科学记数法讲义 考点目录 含乘方有理数混合运算 乘方的实际应用 科学记数法 考点一 含乘方有理数混合运算 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 运算优先级规则 有理数运算分为三级：乘方是三级运算（最高级），乘除是二级运算，加减是一级运算。完整运算顺序： ① 有括号时，先算括号内的运算，按 小括号→中括号→大括号 从里向外逐层计算； ② 无括号时，先算乘方，再算乘除，最后算加减； ③ 同级运算（同为乘除或同为加减），按从左到右的顺序计算。 1. 乘方的符号法则 · 正数的任何次幂都是正数； · 负数的 奇次幂 是负数，负数的 偶次幂 是正数； · 0的正整数次幂都是0；0的0次幂、负整数次幂无意义。 · 易错辨析： 与 意义完全不同： 表示“的平方”，结果为正； 表示“的平方的相反数”，结果为负。 例：，。 1. 运算技巧与注意 · 计算原则：先定符号，再算绝对值，减少符号错误； · 加法、乘法的交换律、结合律、分配律仍然适用，可简化计算； · 乘方不满足分配律：，需按乘方定义展开计算。 二、解题思路 1. 观察算式结构，先确定整体运算顺序； 1. 先计算所有乘方项，同时确定每一项的符号； 1. 按顺序计算乘除、加减，同级运算从左到右； 1. 有括号逐层向内计算，能简算的运用运算律简化； 1. 计算完成后复查符号与运算顺序。 【例题分析】 例1．（26-27七年级上·浙江嘉兴·阶段检测）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： . 例2．（26-27七年级上·广东广州·阶段检测）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 例3．（25-26七年级上·四川广元·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先括号里的有理数的加减运算，再根据有理数的乘法和加减运算法则求解即可； （2）先乘方和绝对值运算，再乘除运算，最后加减运算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式训练】 变式1．（25-26七年级上·宁夏吴忠·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 变式2．（25-26七年级上·重庆·期中）计算题，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用含乘方的有理数的混合运算法则计算即可； （2）利用含乘方的有理数的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 变式3．（25-26七年级上·四川眉山·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据有理数的加减法可以解答本题； （2）先算乘方，再算乘除法，最后算加减；如果有括号，要先做括号内的运算． 【详解】（1）解：    ； （2）解：    =． 考点二 乘方的实际应用 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 应用本质 乘方的实际场景本质是 等比变化模型：每一次变化的倍数固定，总变化倍数为该倍数的 次幂， 为变化的次数。 1. 三大经典模型 （1）倍增模型（2倍增长） · 场景：细胞分裂、拉面对折、纸张对折、细菌繁殖等，每次数量/厚度变为原来的2倍。 · 公式：（ 为倍增/对折次数） · 典型：纸张对折厚度问题：总厚度 = 单张厚度 ，计算时需统一单位。 （2）增长率模型 · 场景：人口增长、复利计息、产量增长、涨价等，每期增长率为 （百分比）。 · 公式：（ 为增长周期数） （3）衰减模型 · 场景：放射性元素半衰期、物质折旧、溶液稀释等，每期衰减率为 。 · 公式：（ 为衰减周期数） 二、解题思路 1. 明确初始量、每次变化的倍数（增长率/衰减率）、变化次数； 1. 匹配对应模型，列出乘方算式； 1. 计算结果，结合实际意义验证，统一单位后作答。 4. 写成 的标准形式。 【例题分析】 例1．（25-26七年级下·江苏·期中）数的进制是一种计数方式．如十进制数用0至9这十个数字表示，满十进一，如；计算机中使用0和1这两个数字表示二进制数，满二进一，如二进制数1101可用式子转换为十进制数13．下列说法中：①二进制数1110可转化为十进制数14；②十进制数17可转化为二进制数10001；③古代用结绳计数，满七进一，则图1的七进制数转化为十进制数为111；④用黑白小正方形分别表示数码1和0，图2表示二进制数1010，则图3表示的二进制数转化为十进制数是7；正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据题意列式计算后逐项判断即可． 【详解】解：①，那么二进制数1110可转化为十进制数14，则①正确； ②，那么十进制数17可转化为二进制数10001，则②正确； ③，那么图1的七进制数转化为十进制数为111，则③正确； ④用黑白小正方形分别表示数码1和0，图2表示二进制数1010，图3表示二进制数110， ，那么图3表示的二进制数转化为十进制数是6，则④不正确． 综上所述，正确的有3个． 例2．（25-26七年级上·湖南长沙·期末）二进制在计算机科学中有广泛的应用，二进制是逢二进一，其各数位上的数字为0或1，并利用下标表示二进制数，例如，就是二进制数1011的简单写法．在学习教科书《进位制的认识与探究》以后，爱国查阅了资料并进行了思考，发现以下两种方法均可实现二进制与十进制之间的转换． 以98为例： 方法一：因为 所以． 方法二：用如图的短除法算式表示： 根据以上材料，把234转换为五进制数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数的混合运算． 根据十进制数转化为五进制数的方法可以将234转换为五进制数． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 例3．（26-27七年级上·江苏常州·阶段检测）某种细胞每30分钟由1个分裂成2个，经过4小时后，这种细胞由1个分裂成 ________ 个． 【答案】256 【分析】根据题意可知，经过4小时这种细胞分裂8次，利用乘方运算计算即可． 【详解】解：根据题意得：（次）， 则经过4小时，这种细胞由1个能分裂成（个）． 【变式训练】 变式1．（25-26七年级上·河南濮阳·期末）如图是第十四届国际数学教育大会（）会徽，在其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数．该八进制数转换成十进制数的计算方式为：，请将十进制数20转换成八进制数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据十进制换算成八进制的方法计算即可． 【详解】解：∵， ∴十进制数20换算成八进制数是24． 变式2．（25-26七年级上·山东威海·阶段检测）《庄子·天下篇》讲到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是说一尺长的木棍，每天截去它的一半，千秋万代也截不完．若按此方式截一根长为1米的木棍，那么7天之后这根木棍还剩（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】初始木棍长1米，每天截去一半，即剩余长度为前一天的，由此可推出第天剩余长度为米，代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵初始木棍长1米，第一天截去一半后，剩余长度为米； 第二天截去一半后，剩余长度为米； 第三天截去一半后，剩余长度为米； 以此类推，第天剩余长度为米． 当时，剩余长度为米． 变式3．（25-26七年级上·山东济南·期末）将一张长方形的纸对折，如图1所示，对折1次后纸片上有1条折痕．再次对折，对折时折痕与上次的折痕保持平行，如图2所示，对折2次后纸片上有3条折痕．按照上述方法连续对折10次，则纸面上一共有_____条折痕． 【答案】1023 【分析】本题是对图形变化规律的考查，观察图形并结合折痕的条数可得，折痕的条数加上1后成2的指数次幂变化，根据此规律找出第n次对折后的折痕的条数表达式，然后把代入进行计算即可得解． 【详解】解：对折1次时，有条折痕，因为纸被分成了份； 对折2次时，有条折痕，因为纸被分成了份； 对折3次时，有条折痕，因为纸被分成了份； 对折4次时，有条折痕，因为纸被分成了份； …… 同样，对折10次时，有条折痕，因为纸被分成了份； 故答案为：1023 考点三 科学记数法 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 定义 把一个数表示成 的形式（其中 ， 为整数），这种记数方法叫做科学记数法。 1. 两种基本情况 （1）绝对值 的大数 · 为正整数， 原数的整数位数 ； · 例：（原数整数位共6位，）。 （2）绝对值 的小数 · 为负整数， 原数第一个非零数字前所有0的个数（含小数点前的0）； · 例：（第一个非零数4前共有5个0，）。 1. 还原与运算 · 还原：， 为正则把 的小数点向右移 位； 为负则向左移 位。 · 乘除运算：系数相乘除，指数相加减，最后整理为标准形式（保证 ）。 · 常用数量级：，。 二、解题思路 1. 判断原数大小（大于10还是小于1）； 1. 确定 ：移动小数点，使整数部分只有一位非零数字； 1. 确定 ：数小数点移动的位数，左移 为正，右移 为负； 【例题分析】 例1．（25-26七年级上·河南信阳·阶段检测）《海岛算经》是魏晋时期刘徽所著的一部测量数学著作，所用的长度单位有里、丈、步、尺、寸，里寸，将“”用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数，形式为，其中，为整数． 【详解】解：． 例2．（25-26七年级上·山西朔州·期末）人工智能日益融入生产生活的方方面面．截至2025年6月，我国生成式人工智能用户规模达5.15亿人．“5.15亿”不只是一个数字，更是澎湃的发展活力、广阔的未来前景．这里“5.15亿”用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数． 【详解】解：5.15亿． 例3．（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测），全称杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司，截至2月9日，的累计下载量已超过亿次，周活跃用户规模高达人．其中表示的原数中，7的后面有_____个零． 【答案】6 【分析】本题主要考查了科学记数法表示绝对值较大的数，解题的关键是对科学记数法表示的数进行还原． 对科学记数法表示的数进行还原即可． 【详解】解：，即原数7的后面有6个0． 故答案为：6． 例4．（24-25七年级上·河南洛阳·期末）《康熙字典》是清朝康熙年间出版的图书，字典全书共收录汉字余个，则的原数为_____． 【答案】47000 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数．据此解答即可． 【详解】解：． 故答案为：47000． 【变式训练】 变式1．（25-26七年级下·贵州黔西南·期末）据统计，2026年贵州省高考报名总人数为42.2万人．数据42.2万用科学记数法可以表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：万． 变式2．（26-27七年级上·陕西西安·阶段检测）是人工智能研究实验室新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，其技术底座有着多达175000000000个模型参数，数据175000000000用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据科学记数法的表示形式，其中，为整数，即可表示出175000000000． 【详解】解：科学记数法要求，原数为175000000000， 将小数点向左移动11位，得到， ． 变式3．（25-26七年级上·安徽蚌埠·阶段检测）减少过度包装既节约资源又保护环境，据测算，如果全国每年减少的过度包装纸用量，那么可减排二氧化碳吨，把写成原数为____________． 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：把写成原数为， 故答案为：． 变式4．（25-26七年级上·宁夏石嘴山·期中）已知：，则a表示的数为________． 【答案】 【分析】本题考查科学记数法，利用有理数的乘方运算，把科学记数法表示的数还原即可． 【详解】解：； 故答案为： 2 学科网（北京）股份有限公司 $有理数的乘方：含乘方有理数混合运算、乘方的实际应用、科学记数法讲义 有理数的乘方：含乘方有理数混合运算、乘方的实际应用、科学记数法讲义 考点目录 含乘方有理数混合运算 乘方的实际应用 科学记数法 考点一 含乘方有理数混合运算 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 运算优先级规则 有理数运算分为三级：乘方是三级运算（最高级），乘除是二级运算，加减是一级运算。完整运算顺序： ① 有括号时，先算括号内的运算，按 小括号→中括号→大括号 从里向外逐层计算； ② 无括号时，先算乘方，再算乘除，最后算加减； ③ 同级运算（同为乘除或同为加减），按从左到右的顺序计算。 1. 乘方的符号法则 · 正数的任何次幂都是正数； · 负数的 奇次幂 是负数，负数的 偶次幂 是正数； · 0的正整数次幂都是0；0的0次幂、负整数次幂无意义。 · 易错辨析： 与 意义完全不同： 表示“的平方”，结果为正； 表示“的平方的相反数”，结果为负。 例：，。 1. 运算技巧与注意 · 计算原则：先定符号，再算绝对值，减少符号错误； · 加法、乘法的交换律、结合律、分配律仍然适用，可简化计算； · 乘方不满足分配律：，需按乘方定义展开计算。 二、解题思路 1. 观察算式结构，先确定整体运算顺序； 1. 先计算所有乘方项，同时确定每一项的符号； 1. 按顺序计算乘除、加减，同级运算从左到右； 1. 有括号逐层向内计算，能简算的运用运算律简化； 1. 计算完成后复查符号与运算顺序。 【例题分析】 例1．（26-27七年级上·浙江嘉兴·阶段检测）计算： (1) (2) 例2．（26-27七年级上·广东广州·阶段检测）计算： (1)； (2) 例3．（25-26七年级上·四川广元·期末）计算： (1) (2) 【变式训练】 变式1．（25-26七年级上·宁夏吴忠·期末）计算： (1)； (2)． 变式2．（25-26七年级上·重庆·期中）计算题，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤． (1) (2) 变式3．（25-26七年级上·四川眉山·期中）计算： (1)； (2)． 考点二 乘方的实际应用 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 应用本质 乘方的实际场景本质是 等比变化模型：每一次变化的倍数固定，总变化倍数为该倍数的 次幂， 为变化的次数。 1. 三大经典模型 （1）倍增模型（2倍增长） · 场景：细胞分裂、拉面对折、纸张对折、细菌繁殖等，每次数量/厚度变为原来的2倍。 · 公式：（ 为倍增/对折次数） · 典型：纸张对折厚度问题：总厚度 = 单张厚度 ，计算时需统一单位。 （2）增长率模型 · 场景：人口增长、复利计息、产量增长、涨价等，每期增长率为 （百分比）。 · 公式：（ 为增长周期数） （3）衰减模型 · 场景：放射性元素半衰期、物质折旧、溶液稀释等，每期衰减率为 。 · 公式：（ 为衰减周期数） 二、解题思路 1. 明确初始量、每次变化的倍数（增长率/衰减率）、变化次数； 1. 匹配对应模型，列出乘方算式； 1. 计算结果，结合实际意义验证，统一单位后作答。 4. 写成 的标准形式。 【例题分析】 例1．（25-26七年级下·江苏·期中）数的进制是一种计数方式．如十进制数用0至9这十个数字表示，满十进一，如；计算机中使用0和1这两个数字表示二进制数，满二进一，如二进制数1101可用式子转换为十进制数13．下列说法中：①二进制数1110可转化为十进制数14；②十进制数17可转化为二进制数10001；③古代用结绳计数，满七进一，则图1的七进制数转化为十进制数为111；④用黑白小正方形分别表示数码1和0，图2表示二进制数1010，则图3表示的二进制数转化为十进制数是7；正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 例2．（25-26七年级上·湖南长沙·期末）二进制在计算机科学中有广泛的应用，二进制是逢二进一，其各数位上的数字为0或1，并利用下标表示二进制数，例如，就是二进制数1011的简单写法．在学习教科书《进位制的认识与探究》以后，爱国查阅了资料并进行了思考，发现以下两种方法均可实现二进制与十进制之间的转换． 以98为例： 方法一：因为 所以． 方法二：用如图的短除法算式表示： 根据以上材料，把234转换为五进制数是（    ） A． B． C． D． 例3．（26-27七年级上·江苏常州·阶段检测）某种细胞每30分钟由1个分裂成2个，经过4小时后，这种细胞由1个分裂成 ________ 个． 【变式训练】 变式1．（25-26七年级上·河南濮阳·期末）如图是第十四届国际数学教育大会（）会徽，在其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数．该八进制数转换成十进制数的计算方式为：，请将十进制数20转换成八进制数是（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26七年级上·山东威海·阶段检测）《庄子·天下篇》讲到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是说一尺长的木棍，每天截去它的一半，千秋万代也截不完．若按此方式截一根长为1米的木棍，那么7天之后这根木棍还剩（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 变式3．（25-26七年级上·山东济南·期末）将一张长方形的纸对折，如图1所示，对折1次后纸片上有1条折痕．再次对折，对折时折痕与上次的折痕保持平行，如图2所示，对折2次后纸片上有3条折痕．按照上述方法连续对折10次，则纸面上一共有_____条折痕． 考点三 科学记数法 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 定义 把一个数表示成 的形式（其中 ， 为整数），这种记数方法叫做科学记数法。 1. 两种基本情况 （1）绝对值 的大数 · 为正整数， 原数的整数位数 ； · 例：（原数整数位共6位，）。 （2）绝对值 的小数 · 为负整数， 原数第一个非零数字前所有0的个数（含小数点前的0）； · 例：（第一个非零数4前共有5个0，）。 1. 还原与运算 · 还原：， 为正则把 的小数点向右移 位； 为负则向左移 位。 · 乘除运算：系数相乘除，指数相加减，最后整理为标准形式（保证 ）。 · 常用数量级：，。 二、解题思路 1. 判断原数大小（大于10还是小于1）； 1. 确定 ：移动小数点，使整数部分只有一位非零数字； 1. 确定 ：数小数点移动的位数，左移 为正，右移 为负； 【例题分析】 例1．（25-26七年级上·河南信阳·阶段检测）《海岛算经》是魏晋时期刘徽所著的一部测量数学著作，所用的长度单位有里、丈、步、尺、寸，里寸，将“”用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 例2．（25-26七年级上·山西朔州·期末）人工智能日益融入生产生活的方方面面．截至2025年6月，我国生成式人工智能用户规模达5.15亿人．“5.15亿”不只是一个数字，更是澎湃的发展活力、广阔的未来前景．这里“5.15亿”用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 例3．（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测），全称杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司，截至2月9日，的累计下载量已超过亿次，周活跃用户规模高达人．其中表示的原数中，7的后面有_____个零． 例4．（24-25七年级上·河南洛阳·期末）《康熙字典》是清朝康熙年间出版的图书，字典全书共收录汉字余个，则的原数为_____． 【变式训练】 变式1．（25-26七年级下·贵州黔西南·期末）据统计，2026年贵州省高考报名总人数为42.2万人．数据42.2万用科学记数法可以表示为（     ） A． B． C． D． 变式2．（26-27七年级上·陕西西安·阶段检测）是人工智能研究实验室新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，其技术底座有着多达175000000000个模型参数，数据175000000000用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 变式3．（25-26七年级上·安徽蚌埠·阶段检测）减少过度包装既节约资源又保护环境，据测算，如果全国每年减少的过度包装纸用量，那么可减排二氧化碳吨，把写成原数为____________． 变式4．（25-26七年级上·宁夏石嘴山·期中）已知：，则a表示的数为________． 2 学科网（北京）股份有限公司 $