专题 2.4 有理数的乘方 讲义 2026-2027学年北师大版七年级数学上册

本讲义聚焦有理数的乘方核心知识点，从概念理解（底数、指数、幂的意义）出发，通过基本运算与符号规律（正数、负数、0的乘方结果）构建基础，延伸到混合运算（运算顺序）和科学记数法（表示与还原），结合程序流程图、进制问题等应用，形成从基础到应用的学习支架。 资料以“小模块·微专题·大压轴”分层设计，模块通关通过典例与变式夯实概念，培养抽象能力，专题攻坚的非负性应用、混合运算提升运算能力与推理意识，压轴突破的规律探究、新定义问题发展创新意识。课中辅助分层教学，课后助力查漏补缺，强化知识应用。

挖井人数学 小模块·微专题·大压轴 https://shop.xkw.com/165948 行而不舍 ·若骥千里 納无所穷·如海百川 ----【小模块·微专题·大压轴】《专题2.4 有理数的乘方》专题突破 【专辑简介】【小模块·微专题·大压轴】实现了知识模块化，重点专题化，难点压轴素养化。从【模块通关·举一反三】的小桥流水，到【专题攻坚·多题归一】的黄河之水天上来，再到【压轴突破·素养提升】的大江东去浪淘尽，数（学的）风流人物，请看此卷！ 题型清单 · 图表导航 模块1 有理数乘方的概念理解 微专题2含乘方的有理数四则混合运算 模块2 有理数乘方的基本运算与符号规律 微专题3乘方中的应用问题 模块3 乘方中的程序流程图问题 压轴1 乘方中的末尾数字与规律探究 模块4 乘方中的进制问题 压轴2 乘方中的新定义问题 模块5 用科学记数法表示绝对值大于1的数 压轴3 算“24”点游戏应注意哪些问题 模块6将用科学记数法表示的数还原为原数 通关检测·实战演练 微专题1偶次乘方的非负性应用 知识梳理 · 基础溯源 知识点1有理数的乘方 1.一般地，n个相同的乘数a相乘，即记作.求n个相同乘数的积的运算，叫作乘方，乘方的结果叫作幂. 2 .中，a叫作底数，n叫作指数，读作a的n次方(或a的n次幂） 【方法点拨】 有理数乘方易错警示:an表示n个a相乘。注意区分(-2)4=16与-24=-16负数的奇次幂为负，偶次幂为正。 指数为1时结果为其本身。勿混淆底数与指数位置。 知识点2：乘方运算法则 （1）正数的任何次幂都是正数 （2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数 （3）0的任何正整数次幂都是0 【方法点拨】 有理数乘方运算易错警示:先确定幂的符号(负数奇次幂为负，偶次为正)，再算绝对值。注意底数为分 数或负数要加括号，如，而，注意两者的不同。 知识点3：含乘方的混合运算 （1）先乘方，再乘除，最后加减． （2）同级运算，从左到右的顺序进行． （3）如有括号，先算括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行．在进行有理数的运算时，要分两步走：先确定符号，再求值． 【方法点拨】 有理数混合运算易错警示:先乘方，再乘除，最后加减;有括号先算括号内。注意运算律使用可简化， 但需带符号移动。勿跳步导致符号错误或漏算。 知识点4：科学计数法 1.科学记数法概念：把一个大于10的数表示成a×10n的形式（其中a 是整数数位只有一位的数，n为正整数）．这种记数的方法叫做科学记数法．﹙1≤|a|＜10﹚ 注：一个n为数用科学记数法表示为a×10n－1 【方法点拨】 科学记数法易错警示：形式为，其中1≤a|<10，n为整数。注意a是整数部分仅一位的数，n等于原数整数位数减1或小数点移动位数。单位需在括号外。 模块通关·举一反 三 【模块一】有理数乘方的概念理解 .首先要注意区分不同书写形式带来的概念差异：(-a)n表示n个-a相乘，其结果的符号由指数n的奇偶性决定；而-an表示n个a相乘结果的相反数，二者底数不同，最终的运算结果也往往不同，审题时要格外注意。 其次要牢记不同符号数乘方的结果规律，对应本节点的结论可得：正数参与乘方运算时，无论指数是奇数还是偶数，最终结果一定保持正号，不会出现符号变化，运算时无需额外纠结符号判断，只需计算绝对值的乘方结果即可。 除此之外还要关注特殊数的乘方规律：1的任何次幂都为1，0的正整数次幂都为0，这些规律可以帮助我们快速完成计算，提升运算效率。 【典例1】式子的意义是（　　） A．2的平方 B．的平方 C．2的平方的相反数 D．的平方的相反数 【变式1-1】可以表示为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】比较（﹣4）3和﹣43，下列说法正确的是（　　） A．它们底数相同，指数也相同 B．它们底数相同，但指数不相同 C．它们底数不同，运算结果也不同 D．它们所表示的意义不相同，但运算结果相同 【变式1-3】（1）计算下面两组算式： ①(3×5)2与32×52 ； ②[(－2)×3]2与(－2)2×32 ； （2）根据以上计算结果猜想： (ab)3＝ (直接写出结果) （3）猜想与验证：当n为正整数时，(ab)n等于什么?请你利用乘方的意义说明理由． 【模块二】有理数乘方的基本运算与符号规律 .首先要明确符号规律的判断前提，符号结果的核心决定因素是底数本身的符号，而非指数的奇偶性：对应本节点结论，只要底数是正数，无论指数取奇数还是偶数，最终的乘方结果一定是正数。 其次要注意区分不同书写形式的运算顺序差异，同样带有负号的乘方表达式，(-X)n表示n个(-X)相乘，需要先根据底数的符号和指数奇偶性确定结果符号，再计算数值；而-Xn表示Xn的相反数，需要先计算X的n次乘方，再添加负号，二者运算顺序不同，结果也往往不同，审题运算时要仔细分辨书写形式的差异。 最后要留意正数乘方的结果变化规律：当底数是大于1的正数时，指数越大，乘方的运算结果越大；当底数是大于0且小于1的正数时，指数越大，乘方的运算结果越小，掌握这一规律可以帮助我们快速预判结果范围，检验运算结果是否合理。 【典例2】下列各式中，结果为正数的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】填空：___；____；____；_____；____；_____． 【变式2-2】下列各组数中，数值相等的一组是（    ） A．32和23 B．（﹣2）3和﹣23 C．﹣32和（﹣3）2 D．﹣（2×3）2和﹣2×32 【变式2-3】下列计算：①；②；③；④；⑤．其中正确的是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【模块三】乘方中的程序流程图问题 首先要注意找准流程图的初始输入值，明确运算的起点是给定的初始底数还是初始运算次数，不少同学容易混淆输入顺序，把循环过程中得到的中间结果错当成初始值代入，导致第一步运算就出错。 其次要准确把握循环终止的条件，乘方类程序流程图通常会设置多次循环运算，需要严格按照流程图给定的终止判断条件停止运算，避免提前终止或者多运算一次，改变最终的输出结果。 最后要注意每一步运算后结果的符号，每次循环得到的结果都会作为下一次运算的底数，要结合有理数乘方的符号规律提前判断符号，避免带错符号，引发后续一连串的运算错误。 【典例3】根据如图所示的程序计算，若输入x的值为1，则输出y的值为 ． 【变式3-1】图为“数值转换机”，问：当，时，输出的值为（　　） A． B． C． D．109 【变式3-2】按如图所示的程序运算：当输入的数据为时，则输出的数据是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式3-3】如图是一个简单的数值计算程序，当输入的x的值为5时，则输出的结果为（       ） A． B． C． D．2 【模块四】乘方中的进制问题 要注意进制转换的顺序规则，将十进制转换为k进制时，使用“除k取余法”得到余数后，最终的结果要将余数逆序排列，不少同学会直接按得到余数的顺序书写，导致转换结果出错。反过来将k进制转换为十进制时，要注意每一位数位上的数字要乘对应k的幂次，最右侧个位对应的幂次是k的0次幂，不要错把个位对应成k的1次幂，导致所有幂次都偏移一位，计算结果出错。 最后判断k进制数的位数时，可利用乘方的范围性质辅助验证：k进制下的n位数一定满足大于等于k的(n-1)次幂，且小于k的n次幂，可以用这个性质快速检验转换结果是否符合位数要求，及时发现计算错误。 【典例4】我们常用的数是十进制，如，十进制数要用10个数码（又叫数字）：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．而在电子计算机中用的是二进制，只要2个数码：0和1，如二进制，相当于十进制数中的6，，相当于十进制数中的53．那么二进制中的101011等于十进制中的数是________．（提示：非零有理数的零幂都为1） 【变式4-1】我们平常用的是十进制，如:1967=1×103+9×102+6×101+7，表示十进制的数要用10个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．在计算机中用的是二进制，只有两个数码：0，1．如:二进制中111=1×22+1×21+1相当于十进制中的7，又如：11011=1×24+1×23+0×22+1×21+1相当于十进制中的27．那么二进制中的1011相当于十进制中的(    ) A．9 B．10 C．11 D．12 【变式4-2】我国古代《易经》一书中记载，远古时期人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．一书生用此方法来记录自己读书的天数，如图1，他在从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，表示的天数为51天（），按同样的方法，图2表示的天数是 _____． 【变式4-3】我们平时用的是十进制数，例如，，表示十进制数要用个数字：，，，…，．在电子计算机中使用的是二进制，只用两个数字：，．例如：在二进制中，等于十进制的，，等于十进制的．请你计算一下：   （1）二进制中的数等于十进制的数多少？ （2）仿照二进制的说明与算法，请你计算一下，八进制中的数等于十进制的数多少？ 【模块五】用科学记数法表示绝对值大于1的数 首先要准确把握科学记数法的形式要求，用a10n表示绝对值大于1的数时，a的取值范围必须满足1 ≤|a|<10，也就是a需要保留且仅保留一位整数，不能出现a大于等于10或小于1的错误写法。 其次要正确确定10的指数n，当原数绝对值大于1时，n的数值等于原数的整数位数减1，也可以通过移动小数点判断：将原数的小数点向左移动，移动到第一个非零数字后得到a，小数点移动了几位，n就等于几，不要出现移动方向颠倒、位数计数错误的问题。 最后要注意特殊场景的细节：如果原数带有单位，用科学记数法改写后单位要保留，不能遗漏；如果是需要先换算单位的题目，要先完成单位换算，再进行科学记数法改写，避免进率换算错误；当需要判断近似数的精确度时，要结合指数n确定a末位数字在原数中的数位，不能直接根据a的末位直接判断精确度。 【典例5】贵州日报月日报道，年第一季度，我省生产总值约为亿元，亿用科学记数法可表示为，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】习近平主席在二十大报告中指出：经过连续奋斗，全国832个贫困县全部摘帽，近1亿农村贫困人口实现脱贫，960多万贫困人口实现易地搬迁，历史性地解决了绝对贫困问题.请将960万用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】某新闻媒体发布“北京时间月日时分，神舟十四号载人飞船返回舱，在东风着陆场成功着陆，航天员陈冬，刘洋，蔡旭哲，安全顺利出舱”，据不完全统计，总播放量超过次，将数据用科学记数法表示为______． 【变式5-3】党的二十大报告指出，我国经济实力实现历史性跃升，非凡十年，成就斐然．2021年我国经济总量高达1144000亿元，数据1144000用科学记数法表示为______． 【模块六】将用科学记数法表示的数还原为原数 首先要正确确定小数点的移动方向，对于绝对值大于1的数改写得到的科学记数法a 10n（n为正整数），还原时需要将a的小数点向右移动n位，不要混淆移动方向错误向左移动，导致还原出的原数大小出现数量级错误。 其次要注意补足空缺数位，当a的小数位数少于n时，需要在a的末尾补0占位，不能因为位数不足就停止移动，少补0导致原数位数错误。 另外要注意符号不变，科学记数法只会对数值本身做形式改写，不会改变原数的符号，还原时要保留a本身的符号，不要遗漏负号，出现符号错误。 最后若原科学记数法本身带有单位，还原后要保留对应单位，不要遗漏单位，保证表述完整准确。 【典例6】年河北首次突破四万亿元，其中石家庄年总量约为元，名义增速约，数据可以表示为(　　) A．亿 B．亿 C．亿 D．亿 【变式6-1】“绿水青山就是金山银山”．某地积极响应党中央号召，大力推进农村厕所革命，已经累计投资元资金，数据可表示为（    ） A．1102亿 B．1.102亿 C．110.2亿 D．11.02亿 【变式6-2】一个整数x用科学记数法表示为，则x的位数为（    ） A．27 B．28 C．29 D．30 【变式6-3】下列是用科学记数法表示的数，请写出原数． (1) 2.31×105； (2) 3.001×104； (3) －1.28×106； (4) －7.568×107. 专题攻坚·多题归一 【微专题一】偶次乘方的非负性应用 首先要准确把握偶次乘方非负性的适用范围，在实数范围内，无论底数是正数、负数还是零，任何实数的偶次乘方结果都满足非负性，也就是大于等于0， 其次在多个非负数相加和为0的常见题型中，要牢记“若干个非负数的和为0，则每一个非负数都等于0”，不能只求解其中一个非负项就停止，必须保证每一个带非负性的偶次乘方项都满足取值要求，避免漏解或错解。 其次遇到偶次乘方非负性和绝对值等其他非负形式结合的题型，要分别识别每一个非负项，不能混淆不同形式的非负项，更不能遗漏任意一项的非负要求。 【典例7】若，则的值是__________． 【变式7-1】若与|互为相反数，则 ________ . 【变式7-2】若(a－1)2＋|b＋1|＝0，则2a2＋4b＋2018＝________． 【变式7-3】若 （1）求、 y的值； （2）求的值． 【微专题二】含乘方的有理数四则混合运算 首先要严格遵守运算顺序，混合运算需遵循“先乘方，再乘除，后加减，有括号先算括号内”的规则，不能颠倒运算顺序，错误地先计算乘除再进行乘方运算，导致结果出错。 其次要注意区分易混淆的乘方形式，要分清“负数的偶次/奇次乘方”与“一个数乘方的相反数”，比如(-3)2和-32，二者意义、符号和结果都完全不同，不能混淆二者的计算结果，避免出现符号错误。 还要注意区分乘方运算和乘法运算，不要错误地将指数与底数直接相乘，比如错把32计算成32=6，混淆乘方与乘法的概念，出现基础性错误。 最后遇到多层括号或者同级运算连算的情况，要按规则一步步计算，不要盲目跳步，多层括号遵循从内到外依次计算的顺序，同级的乘除运算遵循从左到右的顺序计算，避免因跳步、乱序出现计算错误。 【典例8】．填空： （1）______；_______；_______；______； （2）______；______；______；_____． （3）_______；_______；_______；______． 【变式8-1】．计算： （1） （2） 【变式8-2】计算下列各题． (1)． (2)． (3)． (4)． (5)． (6)． (7)． (8)． (9)； (10)． (11)． (12) 【变式8-3】计算 （1）；      （2）； （3）；      （4） （5）；      （6）； （7）；      （8）； 【微专题三】乘方中的应用问题 首先要准确对应实际问题中的乘方关系，先明确题目描述的变化规律，区分是线性变化还是指数型变化，比如折叠纸片、复利增长这类每次按固定倍数变化的问题，才能对应到乘方运算，不能错把乘方规律当成普通乘法规律列式。 其次要准确把握乘方中底数和指数代表的实际意义，比如增长率问题中，底数是「1+增长率」，指数是增长的次数，不能混淆两者，错把增长次数写到底数位置，或者错换指数，导致列式错误。 另外要结合实际场景对计算结果进行合理取舍，涉及物体个数、人数这类实际量时，结果必须取符合要求的正整数，不能直接保留计算得到的分数或无理数；遇到求最值、判断范围类问题时，要结合实际要求确定结果的合理性，不能直接将纯计算结果作为最终答案。 最后要注意做好单位换算，很多乘方应用问题给出的初始量单位较小，经过多次乘方运算后，结果量级发生较大变化，要根据题目要求统一单位后再输出最终结果，避免因单位错误导致结果出错。 【典例9】我国古代《易经》一书中记载：远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数．由图可知，孩子自出生后的天数是_______． 【变式9-1】你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条，如草图所示．这样捏合到第10次后拉出___________根细面条． 【变式9-2】某种细菌培养过程中每半小时分裂1次，每次一分为二，若这种细菌由1个分裂到256个，那么这个过程要经过____小时． 【变式9-3】如图，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依此类推． （1）阴影部分的面积是_______； （2）受此启发，则的值为_______． 压轴拓展·素养提升 【压轴一】 乘方中的末尾数字与规律探究 首先，探究规律时要先正确列举出前几个乘方运算的结果，至少列举到末尾数字开始重复为止，不能随意简化列举步骤，避免错判循环周期长度，比如底数末尾为2的乘方，要算到第五个才能发现周期为4的规律，提前停止就会出错。 其次，得到循环周期后，计算指数除以周期的余数时，要注意余数为0的特殊情况，当刚好整除没有余数时，所求末尾数字对应循环周期的最后一个数字，不能错当成周期的第一个数字，导致结果错误。 如果是多个乘方运算组合求整体末尾数字的题目，只需要分别算出每个乘方项的末尾数字，再将这些末尾数字做对应运算，最终取结果的末尾数字即可，无需计算整个大式子的完整结果，既简化计算也能降低出错概率。 最后要记住，不管原底数有多大位数，探究末尾数字规律只需要关注原底数的末尾数字即可，原底数其他数位的数字不会影响最终乘方结果的末尾数字，不用做多余的计算，可以大幅提升解题效率。 【典例10】观察下面三行数: 1，-2，  4，  -8，  16，  -32,    64，  …；① 3， 0，  6，  -6，  18，  -30，   66，  …；② 0， 3，  -3，  9，  -15，  33，   -63， …. ③ (1)第①行数的第n（n≥2）个数是 ；    (2)请将第②行数中的每一个数分别减去第①行数中对应位置的数，并找出规律，根据你得到的结论，直接写出第②行数的第n（n≥2）个数是 ；同理直接写出第③行数的第n（n≥2）个数是 ； (3)取每行的第k个数,这三个数的和能否等于 -509？如果能，请求出k的值；如果不能，请说明理由. 【变式10-1】．请通过计算推测的个位数是 A．2 B．4 C．6 D．8 【变式10-2】观察下列各式： 13=12 13+23=32 13+23+33=62 13+23+33+43=102 … 猜想13+23+33+…+103=_________________． 【变式10-3】探究规律： （1）计算： ① 2－1＝ ； ② 22－2－1＝ ； ③23－22－2－1＝ ； ④24－23－22－2－1＝ ； （2）根据上面结果猜想： ① 22020－22019－22018－…－23－22－2－1＝ ； ②2n－2n－1－2n－2－…－23－22－2－1＝ ； ③212－211－210－29－28－27－26＝ ； 【压轴二】乘方中的新定义问题 首先，核心前提是准确读懂新定义的规则，不能凭固有经验混淆新规则与常规乘方运算的区别，要明确新定义中运算对象、运算顺序的要求，严格按照给定规则列式计算，不能随意更改规则。 其次，遇到嵌套式的新定义运算时，必须遵循从内到外的计算顺序，先算出内层新定义运算的结果，再将结果作为新的运算对象代入外层运算，不能颠倒运算顺序，避免规则使用错误。 如果新定义中涉及分情况讨论的规则，要把所有可能的情况都考虑完整，比如根据底数的正负、大小范围对应不同的运算方式，要逐一验证每种情况的合理性，不能遗漏任意一种符合条件的情况，避免出现漏解。 最后，完成计算后要将结果代回原新定义中验证，对照规则检查运算过程是否符合要求，及时修正因规则理解偏差、运算顺序错误带来的问题，保证结果的准确性。 【典例11】已知x、y为有理数，如果规定一种新运算，则（    ） A．41 B．29 C．20 D．36 【变式11-1】对于正整数，定义，其中表示的首位数字、末位数字的平方和．例如：，．规定，（为正整数），例如，，．按此定义，则由__________，___________． 【变式11-2】请认真阅读下面材料，并解答下列问题． 如果a（a＞0，a≠1）的b次幂等于N，即指数式ab＝N，那么数b叫做以a为底N的对数，对数式记作：logaN＝b．例如： ①因为指数式22＝4，所以以2为底4的对数是2，对数式记作：log24＝2； ②因为指数式42＝16，所以以4为底16的对数是2，对数式记作：log416＝2. （1）请根据上面阅读材料将下列指数式改为对数式： ①62＝36； ②43＝64； （2）将下列对数式改为指数式： ①log525＝2； ②log327＝3； （3）计算：log232 【变式11-3】概念学习 规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作，读作“﹣3的圈4次方”，一般地，把（a≠0）记作，读作“a的圈n次方”． 初步探究 （1）直接写出计算结果： = ，= ； （2）关于除方，下列说法错误的是 A．任何非零数的圈2次方都等于1；    B．对于任何正整数n，1的圈n次方都等于1；    C．       D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． 深入思考： 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （1）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式． 的圈4次方＝　 　；5的圈5次方＝　 　；的圈6次方＝　 　． （2）想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于________； （3）算一算：． 【压轴三】 算“24”点游戏应注意哪些问题 首先要明确题目的规则要求，参与运算的每个数字都必须且只能使用一次，必须把全部数字都用到，不能出现漏用数字、重复使用数字的违规做法，避免思路方向一开始就出错。 其次可以优先尝试往经典凑24的组合上靠拢，常见的组合有3×8、4×6、12×2、25-1、18+6等，顺着组合思路拆解数字，能大幅减少盲目试错的次数，提升解题效率。 遇到无法用整数运算凑出结果的情况，要打破思维定式，不要局限于仅用整数乘除，可以尝试通过构造分数运算得到结果，不少特殊组合的24点都需要借助分数运算才能得到正确算式。 最后得出算式后，要再重新验算一遍运算顺序和计算结果，确认结果确实为24，同时再次核对每个数字的使用次数，避免出现计算错误或者违规用数的问题，保证答案符合要求。 【典例12】对1，3，5，5四个数进行“加、减、乘、除、乘方”混合运算（每个数只能使用一次），其计算结果为24，请列出算式： （填一个算式即可） 【变式12-1】请将“﹣2，4，，8”这四个数进行加、减、乘、除、乘方混合运算，使运算结果为24或（不可使用绝对值和相反数参与运算，可以加括号，每个数必须用一次且只能用一次），写出你的算式： ． 【变式12-2】有一种“24点”游戏的规则：用4个整数进行有理数运算（可用括号和乘方）列出一个计算结果为24的算式，现有数2，﹣3，4，5，请列出“24点”的算式： （写出一个算式即可）． 【变式12-3】在学习了有理数的混合运算后，小明和小刚玩算“24点”游戏游戏规则：从一副扑克牌（去掉大，小王）中任意抽取4张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号），使得运算结果为24或－24．其中红色扑克牌代表负数，黑色扑克代表正数，J，Q，K分别代表11，12，13．小明抽到的四张牌分别是黑桃1，黑桃3，梅花4，梅花6（都是黑色扑克牌），小明凑成的等式为，小亮抽到的四张牌分别是红桃5、黑桃5、方块5、梅花1，请写出小亮凑成的“24点”等式 ． 通关检测·实战演练 一 选择题 1.等于（   ） A． B． C． D． 2．下列各组数中，相等的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 3.如图，是一个“数值转换机”的示意图．若，则输出结果为（    ） A． B． C． D． 4.2022年2月28日，国家统计局公布了“2022年国民经济和社会发展统计公报”，经过初步核算，截止到2022年年末我国总人口人141175万人．将数据141175万用科学记数法表示为（ ） A． B． C． D． 5.用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数x和y，（a为常数），如：．若，则的值为（　　） A．7 B．8 C．9 D．13 二 填空题 6. 一个数的平方是它本身的数是__________． 7.如图，是一个“数值转换机”的示意图．若x＝﹣5，y＝3，则输出结果为 ． 8.若x，y为有理数，且，则的值为 ． 9.小明和同学们玩扑克牌游戏．游戏规则是：从一副扑克牌（去掉“大王”“小王”）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌上的数字只能用一次），使得运算结果等于24．小明抽到的牌如图所示，请帮小明列出一个结果等于24的算式 ．    10.如图，某学校“桃李餐厅”把WIFI密码做成了数学题．小红在餐厅就餐时，思索了一会儿，输入密码，顺利地连接到了“桃李餐厅”的网络．那么她输入的密码是 ． 三解答题 11计算： （1）；          （2）；         （3）； （4）；        （5）；          （6） 12..计算： (1) (2) 13.拉面馆的师傅将一根很粗的面条，捏合一起拉伸，再提合，再拉伸， 反复几次，就把这根很粗的面条，拉成了许多细的面条，如下面的草图所示: （1）第 4 次捏合后可拉出 根细面条； （2）第 次捏合后可拉出 256 根细面条. 14如果那么我们规定．例如；因为所以． （1）根据上述规定填空：__ ，__ ，__ ； （2）若．判断之间的数量关系，并说明理由． 15 阅读材料：求的值． 解：设 将等式两边同时乘以2，得： ； 将下式减去上式得： ，即，即； 请你仿照此法计算： （1）． （2）． 2 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $挖井人数学 小模块·微专题·大压轴 https://shop.xkw.com/165948 行而不舍 ·若骥千里 納无所穷·如海百川 ----【小模块·微专题·大压轴】《专题2.4 有理数的乘方》专题突破 【专辑简介】【小模块·微专题·大压轴】实现了知识模块化，重点专题化，难点压轴素养化。从【模块通关·举一反三】的小桥流水，到【专题攻坚·多题归一】的黄河之水天上来，再到【压轴突破·素养提升】的大江东去浪淘尽，数（学的）风流人物，请看此卷！ 题型清单 · 图表导航 模块1 有理数乘方的概念理解 微专题2含乘方的有理数四则混合运算 模块2 有理数乘方的基本运算与符号规律 微专题3乘方中的应用问题 模块3 乘方中的程序流程图问题 压轴1 乘方中的末尾数字与规律探究 模块4 乘方中的进制问题 压轴2 乘方中的新定义问题 模块5 用科学记数法表示绝对值大于1的数 压轴3 算“24”点游戏应注意哪些问题 模块6将用科学记数法表示的数还原为原数 通关检测·实战演练 微专题1偶次乘方的非负性应用 知识梳理 · 基础溯源 知识点1有理数的乘方 1.一般地，n个相同的乘数a相乘，即记作.求n个相同乘数的积的运算，叫作乘方，乘方的结果叫作幂. 2 .中，a叫作底数，n叫作指数，读作a的n次方(或a的n次幂） 【方法点拨】 有理数乘方易错警示:an表示n个a相乘。注意区分(-2)4=16与-24=-16负数的奇次幂为负，偶次幂为正。 指数为1时结果为其本身。勿混淆底数与指数位置。 知识点2：乘方运算法则 （1）正数的任何次幂都是正数 （2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数 （3）0的任何正整数次幂都是0 【方法点拨】 有理数乘方运算易错警示:先确定幂的符号(负数奇次幂为负，偶次为正)，再算绝对值。注意底数为分 数或负数要加括号，如，而，注意两者的不同。 知识点3：含乘方的混合运算 （1）先乘方，再乘除，最后加减． （2）同级运算，从左到右的顺序进行． （3）如有括号，先算括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行．在进行有理数的运算时，要分两步走：先确定符号，再求值． 【方法点拨】 有理数混合运算易错警示:先乘方，再乘除，最后加减;有括号先算括号内。注意运算律使用可简化， 但需带符号移动。勿跳步导致符号错误或漏算。 知识点4：科学计数法 1.科学记数法概念：把一个大于10的数表示成a×10n的形式（其中a 是整数数位只有一位的数，n为正整数）．这种记数的方法叫做科学记数法．﹙1≤|a|＜10﹚ 注：一个n为数用科学记数法表示为a×10n－1 【方法点拨】 科学记数法易错警示：形式为，其中1≤a|<10，n为整数。注意a是整数部分仅一位的数，n等于原数整数位数减1或小数点移动位数。单位需在括号外。 模块通关·举一反 三 【模块一】有理数乘方的概念理解 .首先要注意区分不同书写形式带来的概念差异：(-a)n表示n个-a相乘，其结果的符号由指数n的奇偶性决定；而-an表示n个a相乘结果的相反数，二者底数不同，最终的运算结果也往往不同，审题时要格外注意。 其次要牢记不同符号数乘方的结果规律，对应本节点的结论可得：正数参与乘方运算时，无论指数是奇数还是偶数，最终结果一定保持正号，不会出现符号变化，运算时无需额外纠结符号判断，只需计算绝对值的乘方结果即可。 除此之外还要关注特殊数的乘方规律：1的任何次幂都为1，0的正整数次幂都为0，这些规律可以帮助我们快速完成计算，提升运算效率。 【典例1】式子的意义是（　　） A．2的平方 B．的平方 C．2的平方的相反数 D．的平方的相反数 【答案】C 【分析】根据乘方的意义和相反数的定义进行判断． 【详解】解：的意义为2的平方的相反数． 故选：C． 【点睛】本题考查了有理数乘方：求n个相同因数积的运算，叫做乘方．乘方的结果叫做幂，在中，a叫做底数，n叫做指数．读作a的n次方．也考查了相反数． 【变式1-1】可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接根据乘方的概念即可解答． 【详解】解： 故选：B． 【点睛】此题主要考查乘方的概念，正确理解概念是解题关键． 【变式1-2】比较（﹣4）3和﹣43，下列说法正确的是（　　） A．它们底数相同，指数也相同 B．它们底数相同，但指数不相同 C．它们底数不同，运算结果也不同 D．它们所表示的意义不相同，但运算结果相同 【答案】D 【详解】(-4）3表示-4的三次方，-43表示4的三次方的相反数，它们的底数不相同，指数相同，结果相同. 故选D. 【变式1-3】（1）计算下面两组算式： ①(3×5)2与32×52 ； ②[(－2)×3]2与(－2)2×32 ； （2）根据以上计算结果猜想： (ab)3＝ (直接写出结果) （3）猜想与验证：当n为正整数时，(ab)n等于什么?请你利用乘方的意义说明理由． 【答案】（1）①225，225；②36，36；（2）a³b³；（3）(ab)n＝，理由见解析 【分析】（1）①②根据有理数的乘方运算分别计算即可； （2）（3）根据乘方的意义以及乘法交换律计算即可； 【详解】(1)计算下面两组算式： ①(3×5)2与32×52；       解：(3×5)2＝15²＝225 32×52＝9×25＝225 ②[(－2)×3]2与(－2)2×32； [(－2)×3]2＝(－6)²＝36 (－2)2×32＝4×9＝36 (2) (ab)3＝ 故答案为： (3) (ab)n＝． 理由如下： (ab)n＝＝＝ 【点睛】本题考查了有理数的乘方的计算，理解乘方的意义是解题的关键． 【模块二】有理数乘方的基本运算与符号规律 .首先要明确符号规律的判断前提，符号结果的核心决定因素是底数本身的符号，而非指数的奇偶性：对应本节点结论，只要底数是正数，无论指数取奇数还是偶数，最终的乘方结果一定是正数。 其次要注意区分不同书写形式的运算顺序差异，同样带有负号的乘方表达式，(-X)n表示n个(-X)相乘，需要先根据底数的符号和指数奇偶性确定结果符号，再计算数值；而-Xn表示Xn的相反数，需要先计算X的n次乘方，再添加负号，二者运算顺序不同，结果也往往不同，审题运算时要仔细分辨书写形式的差异。 最后要留意正数乘方的结果变化规律：当底数是大于1的正数时，指数越大，乘方的运算结果越大；当底数是大于0且小于1的正数时，指数越大，乘方的运算结果越小，掌握这一规律可以帮助我们快速预判结果范围，检验运算结果是否合理。 【典例2】下列各式中，结果为正数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据去括号的法则，乘方的性质，绝对值的性质，有理数乘法法则去判断下列选项符号的正负． 【详解】A选项，去括号之后是； B选项，根据乘方运算，； C选项，根据绝对值的运算，； D选项，根据乘法和乘方运算，． 故选：D． 【点睛】本题考查去括号的法则，乘方的性质，绝对值的性质，有理数乘法法则，解题的关键是利用这些方法算出结果，再判断结果的正负． 【变式2-1】填空：___；____；____；_____；____；_____． 【答案】 9 / 【分析】根据乘方的意义计算即可． 【详解】解：；；；；； 故答案为：9，，，，，． 【点睛】本题考查乘方运算，理解乘方的意义进行计算是解决问题的关键． 【变式2-2】下列各组数中，数值相等的一组是（    ） A．32和23 B．（﹣2）3和﹣23 C．﹣32和（﹣3）2 D．﹣（2×3）2和﹣2×32 【答案】B 【分析】根据乘方的定义逐一计算判断即可，注意符号． 【详解】解：A．32＝9，23＝8，故选项A不符合题意； B．（﹣2）3＝﹣8，﹣23＝﹣8，故选项B符合题意； C．﹣32＝﹣9，（﹣3）2＝9，故选项C不符合题意； D．﹣（2×3）2＝﹣36，﹣2×32＝﹣2×9＝﹣18，故选项D不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查乘方的定义，根据乘方的定义准确计算是解题的关键． 【变式2-3】下列计算：①；②；③；④；⑤．其中正确的是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据乘方的意义：an表示n个a相乘，分别计算出结果，根据结果判断即可． 【详解】①，故本选项正确， ②，故本选项错误， ③，故本选项错误， ④，故本选项错误， ⑤，故本选项错误， 正确的有：①1个． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了乘方的意义，能正确进行计算是解此题的关键，注意计算时应先确定结果的符号． 【模块三】乘方中的程序流程图问题 首先要注意找准流程图的初始输入值，明确运算的起点是给定的初始底数还是初始运算次数，不少同学容易混淆输入顺序，把循环过程中得到的中间结果错当成初始值代入，导致第一步运算就出错。 其次要准确把握循环终止的条件，乘方类程序流程图通常会设置多次循环运算，需要严格按照流程图给定的终止判断条件停止运算，避免提前终止或者多运算一次，改变最终的输出结果。 最后要注意每一步运算后结果的符号，每次循环得到的结果都会作为下一次运算的底数，要结合有理数乘方的符号规律提前判断符号，避免带错符号，引发后续一连串的运算错误。 【典例3】根据如图所示的程序计算，若输入x的值为1，则输出y的值为 ． 【答案】7 【分析】根据程序的计算顺序将x的值代入就可以计算出y的值．如果计算的结果＜0则需要把结果再次代入关系式求值，直到算出的值＞0为止，即可得出y的值． 【详解】解：依据题中的计算程序列出算式：， ∴应该按照计算程序继续计算，， ∴． 故答案为：7． 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，解答本题的关键就是弄清楚题图给出的计算程序． 【变式3-1】图为“数值转换机”，问：当，时，输出的值为（　　） A． B． C． D．109 【答案】B 【分析】观察数值转换机的示意图可得，用表示输出的结果为，再将,代入数值转换机的示意图，计算可得出结果． 【详解】解：由题意得计算过程为， 则当,时， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了代数式求值，解题关键是弄清楚题图给的计算程序，按照程序进行计算． 【变式3-2】按如图所示的程序运算：当输入的数据为时，则输出的数据是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】把x＝﹣1代入程序中计算，判断结果与0的大小，即可确定出输出结果． 【详解】解：把x＝﹣1代入程序中得：（﹣1）2×2﹣4＝2﹣4＝﹣2＜0， 把x＝﹣2代入程序中得：（﹣2）2×2﹣4＝8﹣4＝4＞0， 则输出的数据为4， 故选：B． 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【变式3-3】如图是一个简单的数值计算程序，当输入的x的值为5时，则输出的结果为（       ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据计算程序图可直接代值求解． 【详解】解：由题意得： ，； 故选C． 【点睛】本题主要考查含乘方的有理数混合运算，解题的关键是熟知题中所给计算程序图． 【模块四】乘方中的进制问题 要注意进制转换的顺序规则，将十进制转换为k进制时，使用“除k取余法”得到余数后，最终的结果要将余数逆序排列，不少同学会直接按得到余数的顺序书写，导致转换结果出错。反过来将k进制转换为十进制时，要注意每一位数位上的数字要乘对应k的幂次，最右侧个位对应的幂次是k的0次幂，不要错把个位对应成k的1次幂，导致所有幂次都偏移一位，计算结果出错。 最后判断k进制数的位数时，可利用乘方的范围性质辅助验证：k进制下的n位数一定满足大于等于k的(n-1)次幂，且小于k的n次幂，可以用这个性质快速检验转换结果是否符合位数要求，及时发现计算错误。 【典例4】我们常用的数是十进制，如，十进制数要用10个数码（又叫数字）：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．而在电子计算机中用的是二进制，只要2个数码：0和1，如二进制，相当于十进制数中的6，，相当于十进制数中的53．那么二进制中的101011等于十进制中的数是________．（提示：非零有理数的零幂都为1） 【答案】43 【分析】依据题中二进制的换算方式将二进制转化为十进制计算即可． 【详解】解：101011＝1×25+0×24+1×23+0×22+1×21+1×20＝32+0+8+0+2+1＝43． 故答案为43． 【点睛】本题考查有理数的乘方运算．根据已知转化方法，找出其中规律是解决此题的关键． 【变式4-1】我们平常用的是十进制，如:1967=1×103+9×102+6×101+7，表示十进制的数要用10个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．在计算机中用的是二进制，只有两个数码：0，1．如:二进制中111=1×22+1×21+1相当于十进制中的7，又如：11011=1×24+1×23+0×22+1×21+1相当于十进制中的27．那么二进制中的1011相当于十进制中的(    ) A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【分析】根据题意得出1011=1×23+0×22+1×21+1，求出即可 【详解】1011=1×23+0×22+1×21+1=11， 即二进制中的1011相当于十进制中的11. 故答案选C. 【点睛】考查了有理数的乘方，结合计算机教学，主要考查学生的理解能力、阅读能力和计算能力． 【变式4-2】我国古代《易经》一书中记载，远古时期人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．一书生用此方法来记录自己读书的天数，如图1，他在从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，表示的天数为51天（），按同样的方法，图2表示的天数是 _____． 【答案】92 【分析】由于从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，所以从右到左的数分别为，然后把它们相加即可． 【详解】解：根据题意得： ． 故图2表示的天数是92． 故答案为：92． 【点睛】本题考查了用数字表示事件，是以古代“结绳计数”为背景，按满六进一计数，运用了类比的方法，根据图中的数学列式计算；本题题型新颖，一方面让学生了解了古代的数学知识，另一方面也考查了学生的思维能力． 【变式4-3】我们平时用的是十进制数，例如，，表示十进制数要用个数字：，，，…，．在电子计算机中使用的是二进制，只用两个数字：，．例如：在二进制中，等于十进制的，，等于十进制的．请你计算一下：   （1）二进制中的数等于十进制的数多少？ （2）仿照二进制的说明与算法，请你计算一下，八进制中的数等于十进制的数多少？ 【答案】（1）；（2） 【分析】根据十进制中的数与二进制中的数的相互转化的方法计算． 【详解】解：（1）． 答：二进制中的数等于十进制的数是． （2）． 答：八进制中的数等于十进制的数是． 【点睛】本题考查的是有理数的乘方，解题的关键在于阅读材料，明确十进制与二进制的转化． 【模块五】用科学记数法表示绝对值大于1的数 首先要准确把握科学记数法的形式要求，用a10n表示绝对值大于1的数时，a的取值范围必须满足1 ≤|a|<10，也就是a需要保留且仅保留一位整数，不能出现a大于等于10或小于1的错误写法。 其次要正确确定10的指数n，当原数绝对值大于1时，n的数值等于原数的整数位数减1，也可以通过移动小数点判断：将原数的小数点向左移动，移动到第一个非零数字后得到a，小数点移动了几位，n就等于几，不要出现移动方向颠倒、位数计数错误的问题。 最后要注意特殊场景的细节：如果原数带有单位，用科学记数法改写后单位要保留，不能遗漏；如果是需要先换算单位的题目，要先完成单位换算，再进行科学记数法改写，避免进率换算错误；当需要判断近似数的精确度时，要结合指数n确定a末位数字在原数中的数位，不能直接根据a的末位直接判断精确度。 【典例5】贵州日报月日报道，年第一季度，我省生产总值约为亿元，亿用科学记数法可表示为，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为 ，其中 ，为整数，先将亿转化成数字，然后按要求表示即可． 【详解】解：亿＝， ∴， 故选：． 【点睛】此题考查了科学记数法，确定与的值是解决问题的关键． 【变式5-1】习近平主席在二十大报告中指出：经过连续奋斗，全国832个贫困县全部摘帽，近1亿农村贫困人口实现脱贫，960多万贫困人口实现易地搬迁，历史性地解决了绝对贫困问题.请将960万用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】科学记数法的表示形式为的形式：，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数． 【详解】解：960万， 故选：D． 【点睛】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值． 【变式5-2】某新闻媒体发布“北京时间月日时分，神舟十四号载人飞船返回舱，在东风着陆场成功着陆，航天员陈冬，刘洋，蔡旭哲，安全顺利出舱”，据不完全统计，总播放量超过次，将数据用科学记数法表示为______． 【答案】 【分析】根据科学记数法的表示方法直接求解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】此题考查科学记数法，解题关键是科学记数法的表示方法为，（，为正整数）． 【变式5-3】党的二十大报告指出，我国经济实力实现历史性跃升，非凡十年，成就斐然．2021年我国经济总量高达1144000亿元，数据1144000用科学记数法表示为______． 【答案】 【分析】利用科学记数法的表示方法，进行表示即可． 【详解】解：； 故答案为：． 【点睛】本题考查科学记数法．熟练掌握科学记数法的表示方法：，是解题的关键． 【模块六】将用科学记数法表示的数还原为原数 首先要正确确定小数点的移动方向，对于绝对值大于1的数改写得到的科学记数法a 10n（n为正整数），还原时需要将a的小数点向右移动n位，不要混淆移动方向错误向左移动，导致还原出的原数大小出现数量级错误。 其次要注意补足空缺数位，当a的小数位数少于n时，需要在a的末尾补0占位，不能因为位数不足就停止移动，少补0导致原数位数错误。 另外要注意符号不变，科学记数法只会对数值本身做形式改写，不会改变原数的符号，还原时要保留a本身的符号，不要遗漏负号，出现符号错误。 最后若原科学记数法本身带有单位，还原后要保留对应单位，不要遗漏单位，保证表述完整准确。 【典例6】年河北首次突破四万亿元，其中石家庄年总量约为元，名义增速约，数据可以表示为(　　) A．亿 B．亿 C．亿 D．亿 【答案】C 【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数． 【详解】解：亿． 故选：C． 【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键． 【变式6-1】“绿水青山就是金山银山”．某地积极响应党中央号召，大力推进农村厕所革命，已经累计投资元资金，数据可表示为（    ） A．1102亿 B．1.102亿 C．110.2亿 D．11.02亿 【答案】B 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于1时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数． 【详解】解：亿． 故选：B． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．解决本题的关键是掌握科学记数法的表示形式为，其中，n为整数． 【变式6-2】一个整数x用科学记数法表示为，则x的位数为（    ） A．27 B．28 C．29 D．30 【答案】C 【分析】将科学记数法表示的数的指数加上1得到原来的数的整数位，由此解答即可． 【详解】x的整数数位少1位为28，则x的位数为29． 故选C． 【点睛】本题考查了把科学记数法表示的数整数位与指数的关系． 【变式6-3】下列是用科学记数法表示的数，请写出原数． (1) 2.31×105； (2) 3.001×104； (3) －1.28×106； (4) －7.568×107. 【答案】(1)231 000;(2)30 010;(3)－1 280 000;(4)－75 680 000 【分析】通过科学记数法换算成原数，正负符号不变，乘以几次幂就将小数点后移几位，不足的补0． 【详解】解：(1) 2.31×105=231 000； (2) 3.001×104=30 010； (3) －1.28×106=－1 280 000； (4) －7.568×107=－75 680 000. 【点睛】本题考查的是将用科学记数法表示的数改为原数的原理，即科学记数法的逆推． 专题攻坚·多题归一 【微专题一】偶次乘方的非负性应用 首先要准确把握偶次乘方非负性的适用范围，在实数范围内，无论底数是正数、负数还是零，任何实数的偶次乘方结果都满足非负性，也就是大于等于0， 其次在多个非负数相加和为0的常见题型中，要牢记“若干个非负数的和为0，则每一个非负数都等于0”，不能只求解其中一个非负项就停止，必须保证每一个带非负性的偶次乘方项都满足取值要求，避免漏解或错解。 其次遇到偶次乘方非负性和绝对值等其他非负形式结合的题型，要分别识别每一个非负项，不能混淆不同形式的非负项，更不能遗漏任意一项的非负要求。 【典例7】若，则的值是__________． 【答案】 【分析】根据绝对值与偶数次方的非负性可求得与的值，从而可求得结果． 【详解】，，且， ，， 即，， 得：，， ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了绝对值与偶数次方的非负性质：即两个非负数的和为零，则它们都为零，乘方的计算，关键是由非负性质求得与的值． 【变式7-1】若与|互为相反数，则 ________ . 【答案】3 【分析】根据相反数及非负数的性质求出a、b的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】∵（a-1）2与|b-2|互为相反数， ∴（a-1）2+|b-2|=0， ∴a-1=0，b-2=0， ∴a=1，b=2， ∴5a-b=3， 故答案为3. 【点睛】本题考查了非负数的性质、相反数、绝对值、偶次方等知识，熟知某个数的平方与另一数的绝对值的和等于0，那么平方数的底数为0，绝对值里面的代数式的值为0是解题的关键. 【变式7-2】若(a－1)2＋|b＋1|＝0，则2a2＋4b＋2018＝________． 【答案】2016 【详解】【分析】根据平方数的非负性以及绝对值的非负性可得a-1=0，b+1=0，求得a、b的值后代入进行计算即可得. 【详解】由题意，得a－1＝0，b＋1＝0， 解得a＝1，b＝－1， 则2a2＋4b＋2018＝2×1＋4×(－1)＋2018＝2016， 故答案为2016. 【点睛】本题考查了非负数的性质，熟知几个非负数的和为0，那么每个非负数都为0是解题的关键. 【变式7-3】若 （1）求、 y的值； （2）求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据非负数的性质：几个非负数的和等于0，则每个数等于0，据此即可列方程求得x和y的值； （2）把x和y的值代入，然后根据把每个式子化成两个分数的差的形式，相消即可求解． 【详解】解：（1）∵ ∴2-x=0，1-y=0, ∴x=2，y=1, （2）原式 【点睛】本题考查了非负数的性质以及分数的计算，掌握正确对每个分数进行变形是关键． 【微专题二】含乘方的有理数四则混合运算 首先要严格遵守运算顺序，混合运算需遵循“先乘方，再乘除，后加减，有括号先算括号内”的规则，不能颠倒运算顺序，错误地先计算乘除再进行乘方运算，导致结果出错。 其次要注意区分易混淆的乘方形式，要分清“负数的偶次/奇次乘方”与“一个数乘方的相反数”，比如(-3)2和-32，二者意义、符号和结果都完全不同，不能混淆二者的计算结果，避免出现符号错误。 还要注意区分乘方运算和乘法运算，不要错误地将指数与底数直接相乘，比如错把32计算成32=6，混淆乘方与乘法的概念，出现基础性错误。 最后遇到多层括号或者同级运算连算的情况，要按规则一步步计算，不要盲目跳步，多层括号遵循从内到外依次计算的顺序，同级的乘除运算遵循从左到右的顺序计算，避免因跳步、乱序出现计算错误。 【典例8】．填空： （1）______；_______；_______；______； （2）______；______；______；_____． （3）_______；_______；_______；______． 【答案】 -8 0 1 -1 -1 【分析】（1）根据乘方的定义及运算法则逐一计算即可得答案； （2）根据乘方的定义及运算法则逐一计算即可得答案； （3）根据乘方的定义及运算法则逐一计算即可得答案． 【详解】（1）（-2）3=-8，，=，0； （2）12n=1，（-1）（-1）2n=-1，102n，-102n+1； （3）-1，，，． 故答案为：-8，，，0，1，-1，102n，-102n+1，-1，，， 【点睛】本题考查乘方的定义及运算，熟练掌握定义及运算法则是解题关键． 【变式8-1】．计算： （1） （2） 【答案】（1）-52；（2）0 【分析】（1）根据有理数的混合运算，先算乘方、再算乘法、最后算加减逐步计算即可 （2）根据有理数的混合运算，先算乘方、再算乘除、最后算加减逐步计算即可 【详解】（1）原式= =-24﹣36+8 =﹣52； （2）原式=1×4+(﹣8)÷2 =4﹣4 =0． 【点睛】本题考查的是有理数的混合运算，熟练掌握有理数的运算法则是解答的关键． 【变式8-2】计算下列各题． (1)． (2)． (3)． (4)． (5)． (6)． (7)． (8)． (9)； (10)． (11)． (12) 【答案】(1)9 (2)3 (3)-15 (4)5 (5)17.2 (6)4.5 (7)-1 (8) (9) (10) (11)2 (12) 【详解】（1） =-3+8-6+10=9 （2） =-1+2+2=3 （3） = =-32+21-4=-15 （4） = =-8+4+9=5 （5） =1-（-8）-0.8+9 =1+8-0.8+9=17.2 （6） = =4+4-4+0.5=4.5 （7） = =-1-1+1=-1 （8） （9） （10） ．(11)解：原式 (12)解： 【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，正确的计算能力是解决问题的关键. 【变式8-3】计算 （1）；      （2）； （3）；      （4） （5）；      （6）； （7）；      （8）； 【答案】（1）；（2）；（3）0；（4）8；（5）；（6）；（7）；（8） 【分析】（1）先计算乘方，再计算除法，最后计算加减即可； （2）先计算乘方，再计算乘法，最后计算加减即可； （3）先计算乘方，再计算绝对值符号内的，利用0乘任何数都为0计算即可； （4）变形，使指数一样，逆用积的乘方即可求解； （5）先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加减即可； （6）先计算乘方，再计算乘法，最后计算加减即可； （7）先计算乘方，再计算括号内的，最后计算加减即可； （8）先计算乘方，再计算除法，利用乘法分配律计算即可． 【详解】解：（1） ； （2） （3） ； （4） ； （5） ； （6） ； （7） ； （8） ． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则和运算顺序是解题的关键． 【微专题三】乘方中的应用问题 首先要准确对应实际问题中的乘方关系，先明确题目描述的变化规律，区分是线性变化还是指数型变化，比如折叠纸片、复利增长这类每次按固定倍数变化的问题，才能对应到乘方运算，不能错把乘方规律当成普通乘法规律列式。 其次要准确把握乘方中底数和指数代表的实际意义，比如增长率问题中，底数是「1+增长率」，指数是增长的次数，不能混淆两者，错把增长次数写到底数位置，或者错换指数，导致列式错误。 另外要结合实际场景对计算结果进行合理取舍，涉及物体个数、人数这类实际量时，结果必须取符合要求的正整数，不能直接保留计算得到的分数或无理数；遇到求最值、判断范围类问题时，要结合实际要求确定结果的合理性，不能直接将纯计算结果作为最终答案。 最后要注意做好单位换算，很多乘方应用问题给出的初始量单位较小，经过多次乘方运算后，结果量级发生较大变化，要根据题目要求统一单位后再输出最终结果，避免因单位错误导致结果出错。 【典例9】我国古代《易经》一书中记载：远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数．由图可知，孩子自出生后的天数是_______． 【答案】510 【分析】由于从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，所以从右到左的数分别为，然后把它们相加即可． 【详解】解：（天）， 所以孩子自出生后的天数是510天． 故答案为：510． 【点睛】本题考查了用数字表示事件．本题是以古代“结绳计数”为背景，按满七进一计算自孩子出生后的天数，运用了类比的方法，根据图中的数学列式计算；本题题型新颖，一方面让学生了解了古代的数学知识，另一方面也考查了学生的思维能力． 【变式9-1】你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条，如草图所示．这样捏合到第10次后拉出___________根细面条． 【答案】1024 【分析】找出捏的次数与拉出面条根数之间的关系即可． 【详解】第一次捏合，拉出2根细面条； 第二次捏合，拉出2×2=22根细面条； 第三次捏合，拉出2×2×2=23根细面条； …… 第n次捏合，拉出2n根细面条； 第十次捏合，拉出210=1024根细面条． 故答案为：1024． 【点睛】本题主要考查有理数的乘方的应用，找出捏合的次数与拉出面条根数之间的关系是解题关键． 【变式9-2】某种细菌培养过程中每半小时分裂1次，每次一分为二，若这种细菌由1个分裂到256个，那么这个过程要经过____小时． 【答案】4 【分析】每半小时分裂一次，一个变为2个，实际是21个．分裂第二次时，2个就变为了22个．那么经过4小时，就要分裂8次．根据有理数的乘方的定义可得． 【详解】解：由题意可得：2n＝256＝28， 因为每半小时分裂1次， 则这个过程要经过：4小时． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了有理数的乘方在实际生活中的应用，应注意观察问题得到规律． 【变式9-3】如图，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依此类推． （1）阴影部分的面积是_______； （2）受此启发，则的值为_______． 【答案】 【分析】（1）根据题意可以写出前几部分的面积，从而可以发现各部分面积的变化规律，再根据图形可知阴影部分的面积和部分⑥的面积相等，从而可以解答本题； （2）根据（1）中发现的规律和题目中的式子，可以计算出相应的结果． 【详解】解：由题意可知，部分①面积是，部分②面积是， 部分③面积是，… 则阴影部分的面积是（ 故答案为：． ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查有理数的乘方，关键是根据题意得到规律，然后利用乘方运算求解即可 压轴拓展·素养提升 【压轴一】 乘方中的末尾数字与规律探究 首先，探究规律时要先正确列举出前几个乘方运算的结果，至少列举到末尾数字开始重复为止，不能随意简化列举步骤，避免错判循环周期长度，比如底数末尾为2的乘方，要算到第五个才能发现周期为4的规律，提前停止就会出错。 其次，得到循环周期后，计算指数除以周期的余数时，要注意余数为0的特殊情况，当刚好整除没有余数时，所求末尾数字对应循环周期的最后一个数字，不能错当成周期的第一个数字，导致结果错误。 如果是多个乘方运算组合求整体末尾数字的题目，只需要分别算出每个乘方项的末尾数字，再将这些末尾数字做对应运算，最终取结果的末尾数字即可，无需计算整个大式子的完整结果，既简化计算也能降低出错概率。 最后要记住，不管原底数有多大位数，探究末尾数字规律只需要关注原底数的末尾数字即可，原底数其他数位的数字不会影响最终乘方结果的末尾数字，不用做多余的计算，可以大幅提升解题效率。 【典例10】观察下面三行数: 1，-2，  4，  -8，  16，  -32,    64，  …；① 3， 0，  6，  -6，  18，  -30，   66，  …；② 0， 3，  -3，  9，  -15，  33，   -63， …. ③ (1)第①行数的第n（n≥2）个数是 ；    (2)请将第②行数中的每一个数分别减去第①行数中对应位置的数，并找出规律，根据你得到的结论，直接写出第②行数的第n（n≥2）个数是 ；同理直接写出第③行数的第n（n≥2）个数是 ； (3)取每行的第k个数,这三个数的和能否等于 -509？如果能，请求出k的值；如果不能，请说明理由. 【答案】（1）（-1）n×2n；（2）（-1）n×2n+2，1-（-1）n×2n；（3）取每行的第k个数，这三个数的和能等于-509． 【分析】（1）观察不难发现，后一个数是前一个数字的（-2）倍解答即可； （2）观察不难发现，第②行为第①行的2倍，第③行为第②行相应的数字加2； （3）根据各行的第n个数的表达式列出方程，然后解方程即可． 【详解】解：（1）第①行数的第n（n≥2）个数是：（-1）n+1×2n-1， 故答案为（-1）n+1×2n-1； （2）由图中的数据可得， 第②行数中的每一个数分别减去第①行数中对应位置的数的差都是2，则第②行数的第n（n≥2）个数是（-1）n+1×2n-1+2， 第③行数中的每一个数分别加上第①行数中对应位置的数的和都是1，则第③行数的第n（n≥2）个数是1-（-1）n+1×2n-1， 故答案为（-1）n+1×2n-1+2，1-（-1）n+1×2n-1； （3）取每行的第k个数，这三个数的和能等于-509， 令（-1）k+1×2k-1+2+（-1）k+1×2k-1+1-（-1）k+1×2k-1=-509， 解得，k=10， 即取每行的第10个数，这三个数的和能等于-509． 【点睛】本题是对数字变化规律的考查，比较简单，观察出第①行后一个数字是前一个数字的（-2）倍是解题的关键，也是本题的突破口． 【变式10-1】．请通过计算推测的个位数是 A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】观察个位数的变化规律：，之后又是，即这四个数循环，再根据2019除以4的结果即可得出答案. 【详解】由可得： 等号右边个位数变化规律为：；，即以每四个数后，又出现 ，即和第三次出的位置相同 则的个位数是8 故选：D. 【点睛】本题考查了有理数乘方运算的变化规律题，根据运算结果找出个位数的变化规律是解题关键. 【变式10-2】观察下列各式： 13=12 13+23=32 13+23+33=62 13+23+33+43=102 … 猜想13+23+33+…+103=_________________． 【答案】552 【分析】由题意得出13+23+…+103＝(1+2+…+10)2＝552，即可得出答案； 【详解】解：∵13＝12； 13+23＝ (1+2)2＝32； 13+23+33＝(1+2+3)2＝62； 13+23+33+43=(1+2+3+4) 2=102 … ∴13+23+…+103＝(1+2+…+10)2＝552， 故答案为：552； 【点睛】本题考查了数字的变化规律和有理数的混合运算，根据题意数字变化规律是解题的关键． 【变式10-3】探究规律： （1）计算： ① 2－1＝ ； ② 22－2－1＝ ； ③23－22－2－1＝ ； ④24－23－22－2－1＝ ； （2）根据上面结果猜想： ① 22020－22019－22018－…－23－22－2－1＝ ； ②2n－2n－1－2n－2－…－23－22－2－1＝ ； ③212－211－210－29－28－27－26＝ ； 【答案】（1）①1； ②1；③1；④1 （2）①1；②1；③64 【分析】（1）①简单计算即可得到结果； ②，代入计算即可； ③，代入计算即可； ④，代入计算即可． （2）①根据（1）中，四个式子的计算结果，进行猜想即可； ②根据（1）中，四个式子的计算结果，进行猜想即可； ③对比规律可发现，需要将式子变形为： 计算即可． 【详解】解：（1）计算：① ②； ③ ； ④； （2）①； ②； ③ = = = 【点睛】本题考查幂的运算，根据规律进行猜想，并对比分析将式子变形计算是解题关键． 【压轴二】乘方中的新定义问题 首先，核心前提是准确读懂新定义的规则，不能凭固有经验混淆新规则与常规乘方运算的区别，要明确新定义中运算对象、运算顺序的要求，严格按照给定规则列式计算，不能随意更改规则。 其次，遇到嵌套式的新定义运算时，必须遵循从内到外的计算顺序，先算出内层新定义运算的结果，再将结果作为新的运算对象代入外层运算，不能颠倒运算顺序，避免规则使用错误。 如果新定义中涉及分情况讨论的规则，要把所有可能的情况都考虑完整，比如根据底数的正负、大小范围对应不同的运算方式，要逐一验证每种情况的合理性，不能遗漏任意一种符合条件的情况，避免出现漏解。 最后，完成计算后要将结果代回原新定义中验证，对照规则检查运算过程是否符合要求，及时修正因规则理解偏差、运算顺序错误带来的问题，保证结果的准确性。 【典例11】已知x、y为有理数，如果规定一种新运算，则（    ） A．41 B．29 C．20 D．36 【答案】B 【分析】首先根据题意，可得，原式变为，再根据题意列式计算，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了有理数的混合运算，解题的关键是正确理解题意． 【变式11-1】对于正整数，定义，其中表示的首位数字、末位数字的平方和．例如：，．规定，（为正整数），例如，，．按此定义，则由__________，___________． 【答案】 16 58 【分析】根据题意分别求出F1（4）到F8（4），通过计算发现，F1（4）＝F8（4），只需确定即可求解． 【详解】F1（4）＝16，F2（4）＝F（16）＝12+62=37， F3（4）＝F（37）＝32+72=58，F4（4）＝F（58）＝52+82=89， F5（4）＝F（89）＝82+92=145，F6（4）＝F（145）＝12+52=26， F7（4）＝F（26）＝22+62=40，F8（4）＝F（40）＝42+0=16，… 通过计算发现，F1（4）＝F8（4）， ∵2019÷7＝288…3， ∴F2019（4）＝F3（4）＝58； 故答案为16，58． 【点睛】本题考查有理数的乘方；能准确理解定义，多计算一些数字，进而确定循环规律是解题关键． 【变式11-2】请认真阅读下面材料，并解答下列问题． 如果a（a＞0，a≠1）的b次幂等于N，即指数式ab＝N，那么数b叫做以a为底N的对数，对数式记作：logaN＝b．例如： ①因为指数式22＝4，所以以2为底4的对数是2，对数式记作：log24＝2； ②因为指数式42＝16，所以以4为底16的对数是2，对数式记作：log416＝2. （1）请根据上面阅读材料将下列指数式改为对数式： ①62＝36； ②43＝64； （2）将下列对数式改为指数式： ①log525＝2； ②log327＝3； （3）计算：log232 【答案】（1）①log636＝2；②log464＝3；（2）①52＝25；②33＝27；（3）5 【分析】（1）根据题意可以把指数式写成对数式； （2）根据题意可以把对数式写成指数式； （3）根据题目中提供的信息可以计算出式子的结果． 【详解】解：（1）①62＝36； 对数式记作：log636＝2； ②43＝64； 对数式记作：log464＝3； （2）①log525＝2； 指数式为52＝25， ②log327＝3； 指数式为33＝27； （3）∵25＝32， log232＝5. 【点睛】本题考查了对数与指数之间的关系与相互转化的关系，解题的关键是明确新定义，明白指数与对数之间的关系与相互转化关系． 【变式11-3】概念学习 规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作，读作“﹣3的圈4次方”，一般地，把（a≠0）记作，读作“a的圈n次方”． 初步探究 （1）直接写出计算结果： = ，= ； （2）关于除方，下列说法错误的是 A．任何非零数的圈2次方都等于1；    B．对于任何正整数n，1的圈n次方都等于1；    C．       D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． 深入思考： 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （1）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式． 的圈4次方＝　 　；5的圈5次方＝　 　；的圈6次方＝　 　． （2）想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于________； （3）算一算：． 【答案】初步探究（1）；；（2）C；深入思考（1），，；（2）；（3）． 【分析】理解除方运算，利用除方运算的法则和意义解决初步探究，通过除方的法则，把深入思考的除方写成幂的形式解决（1），总结（1）得到通项（2）．根据法则计算出（3）的结果． 【详解】初步探究 解：初步探究 （1）， 故答案为：，； （2）A、任何非零数的圈2次方就是两个相同数相除，所以都等于1； 所以选项A正确； B、因为多少个1相除都是1，所以对于任何正整数，都等于1； 所以选项B正确； C、，，则； 所以选项C错误； D、负数的圈奇数次方，相当于奇数个负数相除，则结果是负数，负数的圈偶数次方，相当于偶数个负数相除，则结果是正数．所以选项D正确； 本题选择说法错误的，故选C； 深入思考 （1）； ； ； 故答案为：，，． （2）． 故答案为：． （3） ． 【点睛】本题考查了新运算，幂的运算．解决问题的关键是掌握新运算的法则，理解新运算的意义． 【压轴三】 算“24”点游戏应注意哪些问题 首先要明确题目的规则要求，参与运算的每个数字都必须且只能使用一次，必须把全部数字都用到，不能出现漏用数字、重复使用数字的违规做法，避免思路方向一开始就出错。 其次可以优先尝试往经典凑24的组合上靠拢，常见的组合有3×8、4×6、12×2、25-1、18+6等，顺着组合思路拆解数字，能大幅减少盲目试错的次数，提升解题效率。 遇到无法用整数运算凑出结果的情况，要打破思维定式，不要局限于仅用整数乘除，可以尝试通过构造分数运算得到结果，不少特殊组合的24点都需要借助分数运算才能得到正确算式。 最后得出算式后，要再重新验算一遍运算顺序和计算结果，确认结果确实为24，同时再次核对每个数字的使用次数，避免出现计算错误或者违规用数的问题，保证答案符合要求。 【典例12】对1，3，5，5四个数进行“加、减、乘、除、乘方”混合运算（每个数只能使用一次），其计算结果为24，请列出算式： （填一个算式即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】结合所给数字及结果的特点，利用“加、减、乘、除、乘方”进行尝试，即可得出答案． 【详解】解：， 或， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查含乘方的有理数的混合运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． 【变式12-1】请将“﹣2，4，，8”这四个数进行加、减、乘、除、乘方混合运算，使运算结果为24或（不可使用绝对值和相反数参与运算，可以加括号，每个数必须用一次且只能用一次），写出你的算式： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】首先用构造出，然后除以4构造出，最后乘以，使运算结果为24． 【详解】， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数混合运算的顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算，如果有括号要先算括号内的． 【变式12-2】有一种“24点”游戏的规则：用4个整数进行有理数运算（可用括号和乘方）列出一个计算结果为24的算式，现有数2，﹣3，4，5，请列出“24点”的算式： （写出一个算式即可）． 【答案】-2×（-3-4-5）=24 【分析】写一个算式，可以用加减乘除，乘方，括号，使最后结果为24． 【详解】解：-2×（-3-4-5） =-2×[（-3）+（-4）+（-5）] =-2×（-12） =24． 故答案为：-2×（-3-4-5）=24． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，考核学生的计算能力，注意运算顺序． 【变式12-3】在学习了有理数的混合运算后，小明和小刚玩算“24点”游戏游戏规则：从一副扑克牌（去掉大，小王）中任意抽取4张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号），使得运算结果为24或－24．其中红色扑克牌代表负数，黑色扑克代表正数，J，Q，K分别代表11，12，13．小明抽到的四张牌分别是黑桃1，黑桃3，梅花4，梅花6（都是黑色扑克牌），小明凑成的等式为，小亮抽到的四张牌分别是红桃5、黑桃5、方块5、梅花1，请写出小亮凑成的“24点”等式 ． 【答案】或任选一个 【分析】利用“24点”游戏规则列出等式即可． 【详解】根据题意， 红桃5表示－5 黑桃5表示5 方块5表示－5， 梅花1表示1， 则可列式为，． 故答案为或任选一个 ． 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，弄清“24点”游戏规则是解本题的关键． 通关检测·实战演练 一 选择题 1.等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】进行乘方运算即可得出结果． 【详解】解：； 故选A． 【点睛】本题考查有理数的乘方运算．熟练掌握乘方的法则，正确的计算，是解题的关键． 2．下列各组数中，相等的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】根据各个选项中的式子可以计算出正确的结果，从而可以解答本题． 【详解】∵32=9，23=8，故选项A不符合题意， ∵-23=-8，（-2）3=-8，故选项B符合题意， ∵-32=-9，（-3）2=9，故选项C不符合题意， ∵=27，=-27，故选项D不符合题意， 故选B． 【点睛】此题考查有理数的乘法，有理数的乘方，解题关键在于掌握运算法则. 3.如图，是一个“数值转换机”的示意图．若，则输出结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数值转换机的示意图：先给平方，再给平方后的数乘以，最后加上，即可得到输出的结果 【详解】∵， ∴， ∴， ∴， ∴输出的结果为：， 故选：C 【点睛】本题考查程序流程图与有理数计算，熟练掌握流程图的中的运算顺序是解决问题的关键 4.2022年2月28日，国家统计局公布了“2022年国民经济和社会发展统计公报”，经过初步核算，截止到2022年年末我国总人口人141175万人．将数据141175万用科学记数法表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】 解：141175万． 故选：D． 【点睛】 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 5.用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数x和y，（a为常数），如：．若，则的值为（　　） A．7 B．8 C．9 D．13 【答案】A 【分析】根据新运算可得，再根据，把代入，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ ． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了求代数式的值，利用整体代入思想解答是解题的关键． 二 填空题 6. 一个数的平方是它本身的数是__________． 【答案】0或1/1或0 【分析】根据有理数的乘方的意义解答即可． 【详解】解：∵，， ∴一个数的平方是它本身的数是0或1． 故答案为：0或1． 【点睛】本题考查有理数的乘方．掌握有理数的乘方的意义是解题关键． 7.如图，是一个“数值转换机”的示意图．若x＝﹣5，y＝3，则输出结果为 ． 【答案】13 【分析】根据题意可得，把，代入进行计算即可解答． 【详解】解：当，时， ． 故答案为：13． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 8.若x，y为有理数，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】先根据非负数的性质求出x、y的值，然后代值计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了非负数的性质，代数式求值，正确根据非负数的性质求出x、y的值是解题的关键． 9.小明和同学们玩扑克牌游戏．游戏规则是：从一副扑克牌（去掉“大王”“小王”）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌上的数字只能用一次），使得运算结果等于24．小明抽到的牌如图所示，请帮小明列出一个结果等于24的算式 ．    【答案】（5-3+2）×6（答案不唯一） 【分析】根据有理数的加、减、乘、除、乘方运算法则，进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： （5-3+2）×6＝24， 故答案为：（5-3+2）×6（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的加、减、乘、除、乘方运算法则是解题的关键． 10.如图，某学校“桃李餐厅”把WIFI密码做成了数学题．小红在餐厅就餐时，思索了一会儿，输入密码，顺利地连接到了“桃李餐厅”的网络．那么她输入的密码是 ． 【答案】 【分析】根据前面三个等式，寻找规律解决问题即可． 【详解】解：由前三个式子得到的规律计算该式得： ， 故答案为． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，由前面三个等式发现规律是解题的关键． 三解答题 11计算： （1）；          （2）；         （3）； （4）；        （5）；          （6） 【答案】（1）；（2）27；（3）；（4）；（5）；（6） 【分析】根据有理数乘方运算法则计算即可． 【详解】解：（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6） 【点睛】本题考查了有理数的乘方，熟练运用运算法则是解本题的关键． 12..计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据幂的运算法则及有理数四则混合运算法则直接求解即可得到答案； （2）根据绝对值的性质，幂的运算法则，有理数加减运算法则直接计算即可得到答案； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【点睛】本题考查含乘方有理数混合运算及去绝对值，解题的关键是注意符号的选取． 13.拉面馆的师傅将一根很粗的面条，捏合一起拉伸，再提合，再拉伸， 反复几次，就把这根很粗的面条，拉成了许多细的面条，如下面的草图所示: （1）第 4 次捏合后可拉出 根细面条； （2）第 次捏合后可拉出 256 根细面条. 【答案】（1）16；（2）8. 【分析】（1）观察图形，根据有理数的乘方，第4次捏合后为2的4次方；（2）第n次捏合后为2的n次方，然后根据2的指数次幂求解即可． 【详解】（1）由图可知，第1次捏合为2根， 第2次捏合可拉出4根， 第3次捏合可拉出8根， 第4次捏合可拉出24根，即16根； （2）由（1）可得，第n次捏合可拉出2n根， ∴2n=256， 解得n=8． 故答案为16，8． 【点睛】本题考查了有理数乘方的运用，根据图形，正确理解2的指数次幂是解决问题的关键． 14如果那么我们规定．例如；因为所以． （1）根据上述规定填空：__ ，__ ，__ ； （2）若．判断之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）；理由见解析． 【分析】（1）根据代入数运算即可； （2）根据题意列出等式求解即可． 【详解】（1） （2）因为 ， ， ， ． 【点睛】此题考查了新定义问题和同底数幂的乘法结合问题，解题的关键是根据题意列出等式． 15 阅读材料：求的值． 解：设 将等式两边同时乘以2，得： ； 将下式减去上式得： ，即，即； 请你仿照此法计算： （1）． （2）． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）设，从而可得的值，再计算，由此即可得； （2）设，从而可得的值，再计算，由此即可得． 【详解】解：（1）设， 将等式两边同乘以得：， 将上式减去下式得：，即， 则， 即； （2）设， 将等式两边同乘以3得：， 将下式减去上式得：，即， 则， 即． 【点睛】本题考查了有理数乘方的应用，掌握理解阅读材料中的求解方法是解题关键． 2 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $