第二章 有理数及其运算（6核心+11题型+6难点+复习讲义）数学新教材北师大版七年级上册

该初中数学第二章“有理数及其运算”复习讲义通过表格系统梳理复习要点与重难点，分6个核心知识点构建知识脉络，每个知识点配套定义、性质及要点速测题，清晰呈现数轴、相反数、绝对值等概念的内在联系与运算逻辑。 讲义亮点在于11类题型分类突破与6大难点专项精练，如“有理数混合运算应用问题”结合助农销售情境培养应用意识，“算24点”题型提升运算能力与创新思维，分层设计基础达标与能力进阶练习，助力不同学生巩固基础或拓展提升，为教师精准教学提供系统支持。

第二章 有理数及其运算 复习要点 1. 理解正数、负数表示相反意义的量，能准确区分正数、负数与0，掌握有理数的两种分类标准（按定义、按符号），明确0的特殊地位。 2. 掌握数轴的三要素（原点、正方向、单位长度），能借助数轴理解相反数、绝对值的几何意义，会求一个数的相反数和绝对值。 3. 理解绝对值的代数意义（正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0），能进行简单的绝对值化简与比较。 4. 掌握科学记数法表示绝对值较大的数，能按要求取近似数。 5. 理解有理数运算的符号法则与运算顺序，掌握运用运算律简化运算，能正确进行有理数的加、减、乘、除、乘方及混合运算。 复习重难点 重点：有理数核心概念（数轴、相反数、绝对值）的辨析，以及有理数混合运算的准确性与运算律的灵活运用。 难点：绝对值概念的深入理解与灵活应用（含化简与比较大小），以及有理数混合运算中符号的准确判断与运算顺序的把握。 知识点 正数和负数 正数：大于0的数叫做正数。正数表示具有某种量的增加或上升等意义。 负数：在正数前面加上负号“-”的数叫做负数。负数表示与正数相反意义的量，如减少、下降等。 0：0既不是正数也不是负数，它是正数和负数的分界。 要点速测 1．（26-27七年级上·江苏扬州·开学考试）在、、、中，负数的个数是（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 知识点 有理数的概念 定义：整数和分数统称为有理数。有理数是可以表示为两个整数的比的数，其中分母不为0。 分类： 整数：包括正整数、0和负整数。 分数：包括正分数和负分数。注意，有限小数和无限循环小数也可以看作分数。 要点速测 2．（25-26六年级上·山东泰安·期中）有理数的分类： ，0，，，，，，． ①正有理数集合：｛______⋯｝； ②整数集合：｛______⋯｝； ③负分数集合：｛______⋯｝； ④非正有理数集合：｛______⋯｝． 知识点 数轴、相反数、绝对值 1.数轴 定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。 点与数的对应关系：数轴上的每一个点都对应一个有理数，反之亦然。正数对应数轴原点右侧的点，负数对应数轴原点左侧的点，0对应原点。 应用：数轴可以用来比较有理数的大小，右边的数总比左边的数大。此外，数轴还可以用来表示有理数的加减运算结果等。 2.相反数 定义：只有符号不同的两个数叫做相反数。例如，5和-5是相反数。 性质：任何一个数都有相反数，而且只有一个。正数的相反数是负数，负数的相反数是正数。0的相反数是0。 求法：求一个数的相反数，只需改变这个数前面的符号。 3.绝对值 定义：数轴上表示数a的点离开原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。 性质：正数的绝对值是它本身。负数的绝对值是它的相反数。0的绝对值是0。 应用：绝对值在有理数的运算、比较大小等方面有重要应用。 要点速测 3．（24-25七年级上·广东梅州·阶段检测）的绝对值是_________，相反数是_________． 4．（25-26七年级上·内蒙古呼和浩特·期中）已知点、、、、在数轴上分别对应下列各数： 、、、、 (1)请将这些数在数轴上表示出来（标字母即可）； (2)请用“”将它们连接起来． 知识点 有理数的大小比较 利用数轴：在数轴上表示有理数，右边的数总比左边的数大。 利用法则：同为正数或同为负数时，绝对值大的数大。正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数。 两个负数比较时，绝对值大的反而小。 要点速测 5.（24-25七年级下·黑龙江绥化·阶段检测）比较大小：（1）______；（2）_____；（3）______0． 知识点 有理数的运算 1.法则： （1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数同0相加，仍得这个数． （2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即a-b=a+(-b) ． （3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同0相乘，都得0． （4）除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即a÷b=a·(b≠0) ． （5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次幂都是正数，0的任何非零次幂都是0． (6)有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行； ③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 2．运算律： （1）交换律: ① 加法交换律:a+b=b+a； ②乘法交换律:ab=ba； （2）结合律: ①加法结合律： (a+b)+c=a+(b+c)； ②乘法结合律：（ab）c=a(bc) （3）分配律：a(b+c)=ab+ac 要点速测 6.（25-26六年级下·上海·期末）计算： (1)； (2)． 7.（25-26七年级上·浙江衢州·期末）直播助农已成为乡村振兴的重要抓手，衢州“红小播”团队在某次公益助农中售卖刚上市的猕猴桃，计划每天销售100千克，实际每天销售量超过计划量记为正，不足计划量记为负，下表是该团队一周的销售情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量偏差（千克） (1)这周实际销售猕猴桃的总量是多少千克？ (2)若猕猴桃售价为元/千克，则这一周销售收入共多少元？ 知识点 科学记数法 1.科学记数法：把一个大于10的数表示成的形式（其中，是正整数），此种记法叫做科学记数法． 要点速测 8.（2026·内蒙古通辽·二模）哈啰出行是一家致力于为用户提供自由出行工具的共享单车公司，年月开始陆续在包头地区进行投放，让包头市民都能便捷出行．《上半年中国共享单车行业监测报告》显示，哈啰单车月活跃用户规模最高达到万人，将数据万用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 题型1 正负数的识别 ▌例1 （25-26六年级下·黑龙江绥化·期末）下列各数中，是负整数的是（   ） A． B． C． D． 解题要点 看符号：带“+”为正（可省略），带“−”为负；0既非正也非负。先找基准，高于记正、低于记负，读数时看清单位与符号即可。 ▌迁移练1-1（25-26七年级上·广西梧州·期末）在数中，正数的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ▌迁移练1-2（24-25七年级上·云南红河·期末）在下列各数，7，，，，，0，中，负数有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 ▌迁移练1-3（25-26七年级上·宁夏银川·期中）下列四个数：其中计算结果为非负数的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型2 相反意义的量 ▌例2 （25-26九年级上·云南昆明·期末）《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之．”意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．如果风车顺时针旋转记作，那么表示（     ） A．减少 B．旋转 C．顺时针旋转 D．逆时针旋转 解题要点 成对出现，意义相反，属性同类。先规定一个为正，另一个为负，用正负数表示。注意标明数量与单位，0是分界点。 ▌迁移练2-1（25-26八年级下·吉林长春·期末）如果表示向东走，那么表示（     ） A．向东走 B．向西走 C．向东走 D．向西走 ▌迁移练2-2（25-26七年级下·贵州铜仁·期末）小明同学把收支情况用正数和负数表示，若收入100元记为+100元，则支出80元记作（     ） A．元 B．元 C．元 D．元 ▌迁移练2-3（25-26七年级下·云南文山·期末）3月22日是“世界水日”，为了增强同学们的节水意识，学校课外兴趣小组进行用水调查．如果小明家节约了4.5吨水，记作吨，那么小兰家浪费了2.2吨水，可记作（     ） A．6.7吨 B．吨 C．2.2吨 D．吨 题型3 求一个数的绝对值、相反数、倒数 ▌例3 （25-26七年级上·宁夏银川·期末）的相反数是______，的倒数是______，的绝对值是______． 解题要点 绝对值：负数的绝对值是其相反数，正数和0是本身。 相反数：仅符号不同，互为相反数。 倒数：分子分母颠倒（0无倒数）。看清符号，分步计算。 ▌迁移练3-1（25-26七年级上·河北邯郸·期末）0的绝对值是___________，的倒数是___________，的相反数是___________ ▌迁移练3-2（24-25七年级上·湖北武汉·期末）的相反数是___________，7绝对值数是___________，倒数是___________． ▌迁移练3-3（25-26七年级上·辽宁·期末）的相反数是______，的相反数的倒数是______ ，的绝对值是______ 题型4 有理数的大小比较 ▌例4 （25-26八年级上·广东云浮·期末）比较大小：______  (填“”“”或“”) ． 解题要点 数轴法：右大左小。法则：正数>0>负数；两个负数，绝对值大的反而小。分数：通分或化小数比较。先定正负，再比绝对值。 ▌迁移练4-1（25-26七年级上·安徽合肥·期末）比较大小：__________（填“”，“”，“”）． ▌迁移练4-2（25-26七年级上·福建泉州·期末）比较大小：______，______（填“”，“”或“”）． ▌迁移练4-3（25-26七年级上·安徽蚌埠·期末）比较大小：__________．（填“”“”或“”） 题型5 用科学记数法表示较大的数 ▌例5 （25-26七年级上·湖北省直辖县级单位·期末）2025年国庆中秋双节中，各地推出丰富多彩的文化和旅游产品、服务、活动．经文旅局数据中心测算，假日8天，全国国内出游亿人次．将数“亿”用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 解题要点 将数写成a×10ⁿ形式（1≤|a|<10，n为整数）。 n等于原数整数位数减1。移动小数点确定a，数清位数，注意单位换算，先统一单位再表示。 ▌迁移练5-1（25-26七年级上·四川乐山·期末）2026年是中国工农红军二万五千里长征胜利90周年．数据25000用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． ▌迁移练5-2（25-26七年级上·北京海淀·期末）中国邮政定于年月日发行《丙午年》特种邮票套枚，计划发行套票套，将用科学记数法表示应为（   ） A． B． C． D． ▌迁移练5-3（2023·江苏南京·中考真题）全国深入践行习近平生态文明思想，科学开展大规模国土绿化行动，厚植美丽中国亮丽底色，去年完成造林约公顷．用科学记数法表示是（   ） A． B． C． D． 题型6 绝对值的非负性 ▌例6 （25-26七年级上·宁夏银川·期末）已知a为有理数，则的最小值为__________． 解题要点 绝对值 ≥ 0 恒成立。 若 |a| + |b| = 0，则 a = b = 0（非负数和为零，各项皆零）。 常用于求字母值、化简或证明，注意含绝对值的式子有最小值。 ▌迁移练6-1（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知a为有理数，则的最小值为________． ▌迁移练6-2（24-25七年级上·甘肃武威·期末）若，则x的取值范围是_____． ▌迁移练6-3（2024·四川资阳·中考真题）若，则________． 题型7 根据点在数轴上的位置判断式子的正负 ▌例7 （25-26七年级上·广东广州·期末）如图，已知是数轴上的两个数，下列正确的式子是（   ） A． B． C． D． 解题要点 原点左负右正。先标出各点符号与距离（绝对值大小），再判断和、差、积、商符号：同号得正，异号得负，注意 a－b 即左减右。 ▌迁移练7-1（25-26七年级上·重庆·期末）实数在数轴上对应点的位置如图所示，下列式子正确的是（  ） A． B． C． D． ▌迁移练7-2（25-26七年级上·湖南衡阳·期末）如图，两点在数轴上表示的数分别为，下列式子成立的是（    ） A． B． C． D． ▌迁移练7-3（25-26七年级上·湖北黄石·期末）有理数，，在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（    ） A． B． C． D． 题型8 用数轴上的点表示有理数 ▌例8 （25-26七年级上·湖南永州·期中）在数轴上把下列各数表示出来，并用“”连接各数． ，，，． 解题要点 画三要素：原点、正方向、单位长度。正数在原点右侧，负数在左侧。先定符号，再按绝对值确定位置，标清对应点。数轴上的点与有理数一一对应。 ▌迁移练8-1（25-26七年级上·浙江杭州·期中）把，，，0，，这些数表示在数轴上，再按从小到大的顺序用“”连接起来． ▌迁移练8-2（21-22七年级上·广东·期中）把下列各数0，（﹣2）2，﹣|﹣3|，﹣（﹣1）在数轴上表示出来，并用“＜”号把这些数连接起来． ▌迁移练8-3（25-26七年级上·新疆阿克苏·期中）把下列各数在数轴上表示出来，并把它们按从大到小的顺序用“＞”号连接起来． ，，，，， 题型9 有理数的混合运算 ▌例9 （25-26七年级上·湖南株洲·期末）计算： (1) (2) 解题要点 顺序：先乘方，再乘除，后加减；有括号先算括号内。 技巧：同级运算从左到右，巧用运算律（交换、结合、分配），带分数化假分数，小数化分数，注意符号。 ▌迁移练9-1（25-26七年级上·北京·期末）计算： (1)； (2) ▌迁移练9-2（25-26七年级上·湖北咸宁·期末）计算： (1)； (2)． ▌迁移练9-3（25-26七年级下·黑龙江大庆·期末）计算： (1)． (2)． 题型10 有理数的混合运算中错解复原问题 ▌例10 （25-26七年级上·甘肃平凉·期末）小明做了如下一道有理数混合运算题，在检查时发现有错误． 解：原式…第一步 …第二步 …第三步 ．…第四步 (1)小明在第______步开始出现错误； (2)请给出该题的正确解答过程． 解题要点 从错误结果反推原式，按运算顺序逆推（先乘方，再乘除，后加减，有括号先括号）。注意符号和括号还原，检验复原结果是否满足条件。 ▌迁移练10-1（24-25七年级上·山西朔州·期末）（1）计算：； （2）下面是小颖同学解方程的过程，请认真阅读，并完成相应的任务． 解：________，得．        第一步 去括号，得．        第二步 移项，得．        第三步 合并同类项，得．        第四步 方程两边同除以2，得        第五步 任务： ①以上求解步骤中，第一步进行的是________，这一步的依据是________________________________； ②以上求解步骤中，第________步开始出现错误，具体的错误是________________________________； ③该方程正确的解为________． ▌迁移练10-2（25-26七年级上·江西鹰潭·期中）阅读下面解题过程并解答问题：计算：． 解：原式（第一步） （第二步） =3．（第三步） (1)上面解题过程从第 步开始错误； (2)请你写出正确的解答过程． ▌迁移练10-3（25-26七年级上·浙江金华·期末）小明与小红同学计算的过程如下： 小明： 原式（第一步） （第二步） （第三步） 小红： 原式 （第二步） （第三步） （第四步） (1)小明与小红在计算中均出现了错误，请分别指出他们开始出错的步骤． (2)请写出正确的解答过程． 题型11 有理数的混合运算中应用问题 ▌例11 （25-26六年级上·山东烟台·期末）某食品厂计划每天生产1000袋食品，实际每天生产量与计划量相比有出入，下表是某周的生产情况（超产为正，减产为负）： 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 (1)这周产量最多的一天比最少的一天多生产_________袋食品； (2)已知本周生产的食品全部在本周售出，生产这些食品的总成本为30000元，食品售价为8元/袋，且需缴纳本周销售总额的交易税，求本周的收益总额． 解题要点 北师大版七上有理数混合运算应用题解题要点 审清题意，列出算式。**先乘方、再乘除、后加减**；有括号先算括号内。统一单位，注意符号。分步计算，最后检验结果是否符合实际意义。 ▌迁移练11-1（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）我国的机器人技术发展迅速，某实验室对一款机器人进行测试．现让机器人在一条东西走向的路上从点A处开始行走（规定向东为正方向，向西为负方向，单位：m），经过测试，得到下表实验数据： 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 (1)5次行走结束后，机器人停在何处? (2)如果机器人行走每米耗电0.08度，在这次测试中，机器人共耗电多少度? ▌迁移练11-2（25-26七年级上·浙江宁波·期末）现将一批慈城年糕分装成6盒，以每盒3千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数表示，记录如下，每盒质量达到千克的年糕为合格品． 序号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 与标准质量的差值（单位：千克） 0.01 0.02 0.03 (1)这6盒年糕有 盒是合格品，最重的一盒年糕是 千克； (2)若每千克的年糕成本为10元，则这6盒年糕的成本共多少元？ ▌迁移练11-3（25-26六年级下·上海·期末）某淘宝商家计划平均每天销售某品牌儿童滑板车100辆，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有差距．下表是本周每天的销售情况（超额记为正．不足记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差额（辆） (1)本周四销售该品牌儿童滑板车 辆； (2)本周销售量最多的一天比最少的一天多 ； (3)通过计算说明，本周实际销售总量是否达到了计划？ 难点一 有理数的简便运算 难点1：运算律的逆向与拆分技巧 学生易正向使用交换律、结合律，但逆用（如提取公因数）或拆分（如将带分数拆为整数与分数）常不熟练。难点在于敏锐识别可凑整、抵消或统一为相同因子的结构，并通过恒等变形简化计算。 难点2：多重符号的化简与去括号 涉及多个负号、绝对值及括号嵌套时，符号确定规则易混淆。难点在于逐层化简时确保符号与运算顺序同步处理，若跳步或忽视负号对括号内每一项的影响，则极易导致符号错误。 难点精练 1．（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）请你仔细阅读下列材料并计算： 解法：简便计算，先求其倒数 原式的倒数为： 故 再根据你对所提供材料的理解，模仿以上方法进行计算：. 2．（25-26七年级上·江西吉安·期中）阅读下列计算过程，解决问题． 计算： 解：原式 ． 上面的解题方法叫作拆项法. (1)仿照上面方法，可将拆为_____，将拆为_____； (2)用拆项法计算：． 3．（25-26七年级上·河南郑州·期中）简便运算． (1) (2) (3) (4) 难点二 含乘方的有理数混合运算 难点1：运算优先级的层级嵌套 乘方、乘除、加减及括号形成多层运算结构。难点在于同时处理括号内的运算、乘方展开及同级运算从左到右的规则，尤其在含多重括号时，学生易因顺序跳步导致中间结果错误。 难点2：乘方符号的底数辨别 区别(-a)n 与-an是关键难点。前者底数为-a，符号随指数奇偶变化；后者底数为a，负号独立于乘方之外。学生常混淆两者，尤其在指数为偶数时误判符号，导致整个计算方向性错误。 难点精练 1．（25-26七年级下·辽宁盘锦·开学考试）计算： (1) (2)． 2．（26-27七年级·江苏·小升初衔接）计算： (1)； (2) 3．（25-26七年级上·重庆·期中）计算题，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤． (1) (2) 难点三 有理数运算中的程序问题 难点1：程序流程的路径依赖与跳转 当程序含有条件判断（如“若结果为正则平方，否则加5”）或循环反馈时，每一步输出作为下一步输入。难点在于严格按箭头方向执行，勿跳步，同时根据中间结果的符号正确选择分支，否则路径偏离会导致最终输出错误。 难点2：多轮迭代中的符号惯性 含乘方、乘除的迭代程序，若中间结果反复出现负数或分数，后续运算的符号和顺序极易混淆。难点在于每轮计算后需重置符号认知，结合运算优先级逐次推进，防止上一轮结果的符号惯性影响后续判断。 难点精练 1．（25-26七年级上·湖南·期中）按如图所示的程序进行计算，则输出的结果为______． 2．（25-26七年级上·四川达州·期中）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，；②当n为偶数时，（其中k是使为奇数的正整数）…，两种运算交替重复进行，例如，取则： 若，则第2025次“F”运算的结果是_______． 3．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如图是一个数学游戏活动，、、、分别代表一种运算，运算结果随着运算顺序的变化而变化．（提示：①每次游戏都涉及、、、四种运算；②运算过程中自动添加必要的括号） (1)6经过、、、的顺序运算，列算式并计算结果是多少？ (2)经过▅、的顺序运算后，结果是，则被遮挡部分的运算顺序应是______． 难点四 算24点 难点1：运算形式的穷举与配对 给定4个数，需通过加、减、乘、除及括号调整运算顺序。难点在于将所有数分为两组，每组先算出一个中间结果，再通过最后一步运算得到24。学生常陷入盲目试算，缺乏“倒推目标值”的配对策略，无法系统覆盖所有组合。 难点2：分数与负数的构造应用 当整数直接运算无法得到24时，需构造如或-2等中间值，通过除法或减法化解。难点在于跳出整数思维定势，灵活运用分数或负数作为桥梁，此逆向构造能力对初学者极为困难。 难点精练 1．（25-26七年级上·浙江丽水·期末）有一种“24点”的扑克牌游戏的规则是：任意抽四张牌，将各张牌上的数用加、减、乘、除、乘方中的几种运算（可用括号，且各数只能用一次）列一个算式，先计算结果为“24”者获胜．现已抽出如图所示的四张牌（A表示1），则可算“24”点的算式是________（写出一个即可）　                  　 ． 2．（25-26六年级上·上海静安·期末）如图，现有5张卡片写着不同数，利用所学过的加、减、乘、除、乘方运算，从中选取4张卡片（每张卡片上的数只能用一次），使这4张卡片上的数运算结果为24，写出一个符合要求的等式为___________． 3．（25-26七年级上·贵州贵阳·期中）你会玩“24点”游戏吗？从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算（每一张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号），使运算结果为24或，其中红色（红桃、方块）扑克牌代表负数，黑色（黑桃、梅花）扑克牌代表正数，J，Q，K，A分别代表11，12，13，1，小明抽到了黑桃7，黑桃3，梅花3，梅花7，他运用下面的方法凑成了24：．如果抽到的是黑桃A，方块2，黑桃2，黑桃3，请写出凑成24或的其中一种方法：____________________ ． 难点五 有理数的混合运算中新定义型问题 难点1：新运算符号的代数化转译 题目定义新型运算（如a b = a2 - ab + b）。难点在于将陌生符号准确还原为含加、减、乘、除、乘方的常规算式，尤其当参与运算的式子本身含括号或负数时，代入和符号变换极易出错。 难点2：新运算与常规优先级的混合 新定义运算常与常规运算（括号、乘方、乘除）混合出现。难点在于明确新运算本身的优先级（若未特殊说明，通常视同高级运算），同时兼顾括号对运算顺序的强制改变，若顺序错判则整体结果谬以千里。 难点精练 1．（25-26七年级上·陕西西安·期中）用“△”定义新运算，对于任意有理数a，b，都有．例如：． (1)求的值； (2)若继续用“”定义另一种新运算，例如：．求． 2．（25-26六年级上·山东济南·期中）在有理数范围内，定义三个数之间的一种新运算：“”，定义；例如：．请根据以上定义解答下列问题： (1)计算：； (2)若，，，求． 3．（25-26七年级上·广东广州·期末）定义新运算：求若干个相同的有理数的除法运算叫做除方．记作，比如把记作，记作．特别地，规定． (1)根据除方的定义，可记作____________； (2)直接写出计算结果：____________； (3)计算：； (4)对于有理数时， ____________． 难点六 有理数运算中的规律探究问题 难点1：算式的结构特征提取 给定若干具有相同模式的算式（如12-22=-3，22-32=-5 ），难点在于敏锐识别数字变化规律与符号分布，提炼出统一的代数形式（如n2-(n+1)2=-(2n+1)）。学生易迷失于具体数值，难以捕捉共同框架。 难点2：规律的验证与拓展 归纳出猜想后，需通项代入验证其普遍性，并将规律推广至含参或较大数运算。难点在于兼顾特殊到一般的逻辑严密性，同时灵活运用该规律实现复杂式子的快速化简。 难点精练 1．（25-26七年级上·山东淄博·阶段检测）观察：，，，…，以此类推．请你根据发现的规律，回答下列问题： (1)根据发现的规律， ①写出第5个式子___________________； ②写出第个式子___________________； (2)利用发现的规律，计算：． 2．（25-26七年级上·江苏淮安·阶段检测）阅读探究： ①； ②； ③； ④；…… (1)根据上述规律，则⑤______； (2)根据以上式子的规律，请写出第个式子； (3)利用你发现的规律，计算下面算式的值：． 3．（25-26七年级上·江苏淮安·期中）观察下列算式，你会发现什么规律？ …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)找出规律并计算：______=______； (2)用含有n的式子表示上面的规律：______； (3)用找到的规律解决下面的问题： 计算：______． 基础达标 一、单选题 1.（25-26六年级上·山东烟台·期末）下列各数：，，，，，，其中负数的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（2026·甘肃白银·二模）DeepSeek是一款先进的人工智能助手，可提供高效、精准的信息检索和智能对话服务，其活跃用户数在上线天后达到了万，将万用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·内蒙古赤峰·期末）下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）已知有理数在数轴上对应点的位置如图所示．下列式子中，正确的是（    ） A． B． C． D． 5.（25-26七年级上·江苏淮安·期中）若，则的值为（    ）． A．2 B． C．1 D． 二、填空题 6．（25-26七年级上·河南许昌·阶段检测）在，0，，，，中，负分数有______个． 7．（25-26七年级上·北京昌平·期末）在空间站某次舱外作业中，航天员的宇航服表面温度显示：向阳面为零上，背阴面为零下．若零上记作，则零下记作___________． 8．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）如图，数轴上的数a，b，c，d中，小于的是______． 9．（25-26七年级上·湖北黄冈·期末）比较大小：______．（填“＞”或“＝”或“＜”） 10．（24-25七年级上·黑龙江绥化·阶段检测）的相反数是( )；绝对值是( )；倒数是( )． 三、解答题 11．（25-26七年级上·宁夏银川·期末）计算 (1) (2) (3) 12．（25-26七年级上·广东江门·期中）先在数轴上标出表示下列各数的点，再用“<”号把这些数连接起来： ，，，0，． 13．（24-25七年级上·吉林·单元测试）在一次体检过程中，七（3）班班长记录了该班6名学生的视力情况，若每名学生的视力以为标准，大于的记为正数，小于的记为负数，记录数据如下： 学生 小明 小颖 小梦 小璐 小杰 小萌 视力 0 (1)这6名学生中哪名学生的视力最差？用学过的知识说明理由； (2)若规定与标准视力相差大于需要配戴眼镜，则6名学生中有几人需要配戴眼镜？ 14．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）（1）有理数a，b在数轴上的对应点如图所示． ①填空：（填“”、“”或“”）a__________0；b__________0； ②用“”将a，b，，0连接起来：______________； （2）已知，若，求x，y的值． 15．（24-25七年级上·全国·期中）阅读下列解题过程： 计算： 解： （第一步） （第二步） （第三步） 回答： (1)上述解题过程有两处错误： 第一处是第_______步，错误原因是______________； 第二处是第_______步，错误原因是______________； (2)请写出正确解题过程． 能力进阶 一、单选题 1.（25-26七年级上·福建福州·期中）数轴上的点，，分别表示数，，，它们的位置如图所示，若点在原点左侧，则表示数1的点的位置正确的是（    ） A．在原点和点之间 B．在原点和点之间 C．与点重合 D．在点的右边 2．（25-26七年级上·全国·阶段检测）已知，，，则的最小值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（25-26七年级上·广东深圳·阶段检测）已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的有（   ）个． （1）；（2）；（3）；（4）． A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 4．（25-26六年级上·上海·期末）的最小值为______． 5．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）如图所示，已知正方形的边长为1，在数轴上的位置如图所示，点表示的数为0，点表示的数为． （1）将正方形从如图所示的位置沿数轴向左滚动一圈（滚动一圈指线段再次落在数轴上），则点表示的数是______； （2）将正方形从如图所示位置沿数轴向右滚动，则数2025表示的点与点______重合． 6．（25-26七年级上·福建泉州·期末）代数式的最小值为____________． 三、解答题 7．（25-26七年级上·陕西西安·期末）同学们知道，表示与的差的绝对值，也可理解为数轴上表示数与数两点间的距离．试探索： (1)表示数轴上数与数_____________两点间的距离； (2)的最小值是_____________； (3)计算的最小值． 8．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）概念学习 规定：求个相同的有理数（均不等于）的商的运算叫做除方， 比如，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“的次商”；写作，读作“的次商”，一般地，把（）这样个相除，写作，读作“的次商”． 初步探究 （1）请直接写出计算结果：________，________； （2）下列关于除方说法中，错误的是（   ）（单选） A．当时， B．当时， C．正数的次商结果是正数，负数的次商结果是负数 D．次商等于它本身的数是 深入思考 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 除方乘方（幂）的形式． （3）归纳：请把有理数的次商（，），写成乘方（幂）的形式为：________； （4）比较：________（填“”“”或“”）； （5）计算：． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 有理数及其运算 复习要点 1. 理解正数、负数表示相反意义的量，能准确区分正数、负数与0，掌握有理数的两种分类标准（按定义、按符号），明确0的特殊地位。 2. 掌握数轴的三要素（原点、正方向、单位长度），能借助数轴理解相反数、绝对值的几何意义，会求一个数的相反数和绝对值。 3. 理解绝对值的代数意义（正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0），能进行简单的绝对值化简与比较。 4. 掌握科学记数法表示绝对值较大的数，能按要求取近似数。 5. 理解有理数运算的符号法则与运算顺序，掌握运用运算律简化运算，能正确进行有理数的加、减、乘、除、乘方及混合运算。 复习重难点 重点：有理数核心概念（数轴、相反数、绝对值）的辨析，以及有理数混合运算的准确性与运算律的灵活运用。 难点：绝对值概念的深入理解与灵活应用（含化简与比较大小），以及有理数混合运算中符号的准确判断与运算顺序的把握。 知识点 正数和负数 正数：大于0的数叫做正数。正数表示具有某种量的增加或上升等意义。 负数：在正数前面加上负号“-”的数叫做负数。负数表示与正数相反意义的量，如减少、下降等。 0：0既不是正数也不是负数，它是正数和负数的分界。 要点速测 1．（26-27七年级上·江苏扬州·开学考试）在、、、中，负数的个数是（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【详解】解：，是负数， ，不是负数， ，是负数， ，是负数， 综上，负数的个数是3个． 知识点 有理数的概念 定义：整数和分数统称为有理数。有理数是可以表示为两个整数的比的数，其中分母不为0。 分类： 整数：包括正整数、0和负整数。 分数：包括正分数和负分数。注意，有限小数和无限循环小数也可以看作分数。 要点速测 2．（25-26六年级上·山东泰安·期中）有理数的分类： ，0，，，，，，． ①正有理数集合：｛______⋯｝； ②整数集合：｛______⋯｝； ③负分数集合：｛______⋯｝； ④非正有理数集合：｛______⋯｝． 【答案】①，，，；②0，，；③，；④0，，， 【分析】本题主要考查了有理数的分类、绝对值的性质、有理数的乘方等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 先根据绝对值的性质、有理数的乘方化简，再根据有理数的分类解答即可． 【详解】解：①正有理数集合：｛，，，，⋯｝； ②整数集合：｛0，，，⋯｝； ③负分数集合：｛，，⋯｝； ④非正有理数集合：｛0，，，，⋯｝． 知识点 数轴、相反数、绝对值 1.数轴 定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。 点与数的对应关系：数轴上的每一个点都对应一个有理数，反之亦然。正数对应数轴原点右侧的点，负数对应数轴原点左侧的点，0对应原点。 应用：数轴可以用来比较有理数的大小，右边的数总比左边的数大。此外，数轴还可以用来表示有理数的加减运算结果等。 2.相反数 定义：只有符号不同的两个数叫做相反数。例如，5和-5是相反数。 性质：任何一个数都有相反数，而且只有一个。正数的相反数是负数，负数的相反数是正数。0的相反数是0。 求法：求一个数的相反数，只需改变这个数前面的符号。 3.绝对值 定义：数轴上表示数a的点离开原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。 性质：正数的绝对值是它本身。负数的绝对值是它的相反数。0的绝对值是0。 应用：绝对值在有理数的运算、比较大小等方面有重要应用。 要点速测 3．（24-25七年级上·广东梅州·阶段检测）的绝对值是_________，相反数是_________． 【答案】 2024 2024 【分析】本题考查了绝对值、相反数，根据绝对值、相反数的定义解答即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：， 的绝对值是，相反数是， 故答案为：，． 4．（25-26七年级上·内蒙古呼和浩特·期中）已知点、、、、在数轴上分别对应下列各数： 、、、、 (1)请将这些数在数轴上表示出来（标字母即可）； (2)请用“”将它们连接起来． 【答案】(1) ，，，， 将各数表示在数轴上如下： (2) 【分析】本题考查用数轴表示有理数，并比较有理数的大小． （1）先化简绝对值，多重符号，再在数轴上表示各数即可； （2）根据数轴上的右边的数大，进行作答即可． 【详解】（1）略 （2）解：． 知识点 有理数的大小比较 利用数轴：在数轴上表示有理数，右边的数总比左边的数大。 利用法则：同为正数或同为负数时，绝对值大的数大。正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数。 两个负数比较时，绝对值大的反而小。 要点速测 5.（24-25七年级下·黑龙江绥化·阶段检测）比较大小：（1）______；（2）_____；（3）______0． 【答案】 【分析】先对需要化简的数进行化简，再根据有理数大小比较法则：正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数；两个负数比较，绝对值大的反而小，进行比较即可． 【详解】解：（1），，且， ； （2），， ； （3）， ． 知识点 有理数的运算 1.法则： （1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数同0相加，仍得这个数． （2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即a-b=a+(-b) ． （3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同0相乘，都得0． （4）除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即a÷b=a·(b≠0) ． （5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次幂都是正数，0的任何非零次幂都是0． (6)有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行； ③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 2．运算律： （1）交换律: ① 加法交换律:a+b=b+a； ②乘法交换律:ab=ba； （2）结合律: ①加法结合律： (a+b)+c=a+(b+c)； ②乘法结合律：（ab）c=a(bc) （3）分配律：a(b+c)=ab+ac 要点速测 6.（25-26六年级下·上海·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． 7.（25-26七年级上·浙江衢州·期末）直播助农已成为乡村振兴的重要抓手，衢州“红小播”团队在某次公益助农中售卖刚上市的猕猴桃，计划每天销售100千克，实际每天销售量超过计划量记为正，不足计划量记为负，下表是该团队一周的销售情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量偏差（千克） (1)这周实际销售猕猴桃的总量是多少千克？ (2)若猕猴桃售价为元/千克，则这一周销售收入共多少元？ 【答案】(1)千克 (2)元 【分析】本题考查正数和负数以及有理数的混合运算的应用； （1）根据一周实际销售猕猴桃的数量相加计算即可； （2）将总数量乘以每千克的收入解答即可． 【详解】（1）解：（千克） （千克） 答：这周实际销售猕猴桃的总量是720千克． （2）解：（元） 答：这一周销售收入共5760元． 知识点 科学记数法 1.科学记数法：把一个大于10的数表示成的形式（其中，是正整数），此种记法叫做科学记数法． 要点速测 8.（2026·内蒙古通辽·二模）哈啰出行是一家致力于为用户提供自由出行工具的共享单车公司，年月开始陆续在包头地区进行投放，让包头市民都能便捷出行．《上半年中国共享单车行业监测报告》显示，哈啰单车月活跃用户规模最高达到万人，将数据万用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把万表示为的形式，其中，为整数进行解答，即可． 【详解】解：万． 题型1 正负数的识别 ▌例1 （25-26六年级下·黑龙江绥化·期末）下列各数中，是负整数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查负整数的定义，负整数需要同时满足两个条件：为负数，为整数，据此对各选项逐一判断即可． 【详解】解：∵选项A．是正分数，不是负整数， 选项B．是负分数，不是整数， 选项C．是小于的整数，符合负整数定义， 选项D．是正整数，不是负整数， 故选C． 解题要点 看符号：带“+”为正（可省略），带“−”为负；0既非正也非负。先找基准，高于记正、低于记负，读数时看清单位与符号即可。 ▌迁移练1-1（25-26七年级上·广西梧州·期末）在数中，正数的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查正数的定义、化简绝对值，先计算绝对值，根据正数的定义，逐个判断即可得出答案． 【详解】解：， ∴正数为0.5，，，，共个， 故选：D． ▌迁移练1-2（24-25七年级上·云南红河·期末）在下列各数，7，，，，，0，中，负数有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】本题考查有理数分类，负数定义等．根据题意逐一计算每个表达式的值，判断是否为负数，负数指小于零的数． 【详解】解：∵ ， ， ， ， （2025为奇数）， 而，，既非正也非负， ∴ 负数有5个， 故选：C． ▌迁移练1-3（25-26七年级上·宁夏银川·期中）下列四个数：其中计算结果为非负数的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了化简多重符号，正负数的定义，先化简各个数值，再结合正数和0为非负数进行逐个分析，即可作答． 【详解】解：依题意， ∴计算结果为非负数的个数是2个， 故选：B． 题型2 相反意义的量 ▌例2 （25-26九年级上·云南昆明·期末）《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之．”意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．如果风车顺时针旋转记作，那么表示（     ） A．减少 B．旋转 C．顺时针旋转 D．逆时针旋转 【答案】D 【详解】解：∵风车顺时针旋转，记作， ∴正数表示顺时针旋转，负数表示逆时针旋转； ∴表示逆时针旋转. 解题要点 成对出现，意义相反，属性同类。先规定一个为正，另一个为负，用正负数表示。注意标明数量与单位，0是分界点。 ▌迁移练2-1（25-26八年级下·吉林长春·期末）如果表示向东走，那么表示（     ） A．向东走 B．向西走 C．向东走 D．向西走 【答案】D 【详解】解：∵规定表示向东走，即向东为正方向，正负数表示一组相反意义的量， ∴负数表示与向东相反的方向，即向西， 因此表示向西走. ▌迁移练2-2（25-26七年级下·贵州铜仁·期末）小明同学把收支情况用正数和负数表示，若收入100元记为+100元，则支出80元记作（     ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【详解】解：∵收入和支出是一对相反意义的量，题目中规定收入记为正数， ∴支出应记为负数， ∴此支出80元记作元． ▌迁移练2-3（25-26七年级下·云南文山·期末）3月22日是“世界水日”，为了增强同学们的节水意识，学校课外兴趣小组进行用水调查．如果小明家节约了4.5吨水，记作吨，那么小兰家浪费了2.2吨水，可记作（     ） A．6.7吨 B．吨 C．2.2吨 D．吨 【答案】D 【分析】节约用水量记为正，对应相反意义的浪费用水量应记为负，即可得出答案． 【详解】解：∵题目规定节约用水记为正，浪费与节约是相反意义的量， ∴浪费用水应记为负，因此小兰家浪费了吨水，可记作吨． 题型3 求一个数的绝对值、相反数、倒数 ▌例3 （25-26七年级上·宁夏银川·期末）的相反数是______，的倒数是______，的绝对值是______． 【答案】 /0.75 【分析】本题考查了相反数的定义，倒数，求一个数的绝对值等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 根据相反数、倒数、绝对值的意义，分别对所给数求解即可． 【详解】解：的相反数是， 因为， 所以的倒数是， 的绝对值是， 故答案为：，，． 解题要点 绝对值：负数的绝对值是其相反数，正数和0是本身。 相反数：仅符号不同，互为相反数。 倒数：分子分母颠倒（0无倒数）。看清符号，分步计算。 ▌迁移练3-1（25-26七年级上·河北邯郸·期末）0的绝对值是___________，的倒数是___________，的相反数是___________ 【答案】 0 【分析】本题主要考查了绝对值，倒数和相反数的定义，解题的关键是掌握以上定义． 根据绝对值，倒数和相反数的定义，进行求解即可． 【详解】解：0的绝对值是0， 的倒数是， 的相反数是， 故答案为：0, , ． ▌迁移练3-2（24-25七年级上·湖北武汉·期末）的相反数是___________，7绝对值数是___________，倒数是___________． 【答案】 3 7 【分析】本题考查相反数，倒数和绝对值，根据只有符号不同的两个数互为相反数，正数的绝对值是它本身，积为1的两个数互为倒数，进行求解即可． 【详解】解：的相反数是3，7绝对值数是7，倒数是； 故答案为：3，7，． ▌迁移练3-3（25-26七年级上·辽宁·期末）的相反数是______，的相反数的倒数是______ ，的绝对值是______ 【答案】 【分析】本题考查的是相反数，倒数，绝对值的含义，化简多重符号，根据相反数，倒数，绝对值的含义分别求解即可． 【详解】解：的相反数是，的相反数的倒数是， ∵， ∴的绝对值是． 故答案为：，， 题型4 有理数的大小比较 ▌例4 （25-26八年级上·广东云浮·期末）比较大小：______  (填“”“”或“”) ． 【答案】 【分析】本题考查的是有理数的大小比较，先化简和，然后比较大小即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 解题要点 数轴法：右大左小。法则：正数>0>负数；两个负数，绝对值大的反而小。分数：通分或化小数比较。先定正负，再比绝对值。 ▌迁移练4-1（25-26七年级上·安徽合肥·期末）比较大小：__________（填“”，“”，“”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数比较大小，计算绝对值，掌握两个负数比较大小，绝对值越大，其值越小是解题的关键． 根据比较两个负数的大小，先比较它们的绝对值，绝对值大的负数反而小即可． 【详解】解：因为， 所以，，且， 所以． 故答案为：． ▌迁移练4-2（25-26七年级上·福建泉州·期末）比较大小：______，______（填“”，“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，求一个数的绝对值，化简多重符号．先化简表达式，再根据有理数的大小比较法则：正数大于负数，即可比较大小． 【详解】解：因为是负数，是正数， 所以， 由，， 因为， 所以， 故答案为：，． ▌迁移练4-3（25-26七年级上·安徽蚌埠·期末）比较大小：__________．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查求一个数的绝对值，有理数的大小比较，先去绝对值，再根据有理数大小的比较方法，进行比较即可． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为：． 题型5 用科学记数法表示较大的数 ▌例5 （25-26七年级上·湖北省直辖县级单位·期末）2025年国庆中秋双节中，各地推出丰富多彩的文化和旅游产品、服务、活动．经文旅局数据中心测算，假日8天，全国国内出游亿人次．将数“亿”用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正整数指数科学记数法， “对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为正整数．”正确确定a和n的值是解答本题的关键，由题意可知本题中，，即可得到答案． 【详解】解：亿． 故选：B． 解题要点 将数写成a×10ⁿ形式（1≤|a|<10，n为整数）。 n等于原数整数位数减1。移动小数点确定a，数清位数，注意单位换算，先统一单位再表示。 ▌迁移练5-1（25-26七年级上·四川乐山·期末）2026年是中国工农红军二万五千里长征胜利90周年．数据25000用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正整数指数科学记数法， “对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为正整数．”正确确定a和n的值是解答本题的关键，由题意可知本题中，，即可得到答案． 【详解】解：． 故选：C． ▌迁移练5-2（25-26七年级上·北京海淀·期末）中国邮政定于年月日发行《丙午年》特种邮票套枚，计划发行套票套，将用科学记数法表示应为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查科学记数法，解题的关键是掌握科学记数法的定义：将一个数表示成的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于时，是正整数；当原数的绝对值小于时，是负整数．据此解答即可． 【详解】解：将用科学记数法表示为． 故选：B． ▌迁移练5-3（2023·江苏南京·中考真题）全国深入践行习近平生态文明思想，科学开展大规模国土绿化行动，厚植美丽中国亮丽底色，去年完成造林约公顷．用科学记数法表示是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查科学记数法，根据科学记数法的表示形式为整数，当原数大于或等于时，原数变为时，小数点向左移动了几位，的值就是几，由此即可求解． 【详解】解：， 故选：A． 题型6 绝对值的非负性 ▌例6 （25-26七年级上·宁夏银川·期末）已知a为有理数，则的最小值为__________． 【答案】1 【分析】本题考查绝对值的非负性．根据绝对值的非负性，，从而推导出表达式的最小值． 【详解】解：∵， ∴， ∴的最小值为1． 故答案为：1． 解题要点 绝对值 ≥ 0 恒成立。 若 |a| + |b| = 0，则 a = b = 0（非负数和为零，各项皆零）。 常用于求字母值、化简或证明，注意含绝对值的式子有最小值。 ▌迁移练6-1（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知a为有理数，则的最小值为________． 【答案】3 【分析】本题考查了绝对值的性质，根据绝对值的非负性，，从而确定表达式的最小值． 【详解】解：∵， ∴， 故最小值为3． 故答案为：3． ▌迁移练6-2（24-25七年级上·甘肃武威·期末）若，则x的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了绝对值的性质，掌握绝对值的非负性是解题的关键． 根据绝对值的非负性列不等式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． ▌迁移练6-3（2024·四川资阳·中考真题）若，则________． 【答案】2 【分析】本题考查了绝对值和平方的非负性，解题的关键是掌握几个非负数和为0，则这几个非负数分别为0．根据绝对值和平方的非负性，得出，求出a和b的值，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：2． 题型7 根据点在数轴上的位置判断式子的正负 ▌例7 （25-26七年级上·广东广州·期末）如图，已知是数轴上的两个数，下列正确的式子是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，有理数的四则运算，根据数轴可得，再根据有理数的四则运算法则逐一判断即可． 【详解】解：由数轴可得， ∴，，， 故选：D． 解题要点 原点左负右正。先标出各点符号与距离（绝对值大小），再判断和、差、积、商符号：同号得正，异号得负，注意 a－b 即左减右。 ▌迁移练7-1（25-26七年级上·重庆·期末）实数在数轴上对应点的位置如图所示，下列式子正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查数轴、绝对值的意义及有理数的运算，熟练掌握数轴、绝对值的意义及有理数的运算是解题的关键． 由数轴易得，且，然后求解即可． 【详解】解：由数轴可得：，且， 则，，， 则，， 则B、C、D选项错误，A选项正确， 故选：A ▌迁移练7-2（25-26七年级上·湖南衡阳·期末）如图，两点在数轴上表示的数分别为，下列式子成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上点的特点和有理数的大小比较，根据两点在数轴上的位置判断出其取值范围是解答此题的关键；根据两点在数轴上的位置判断出取值范围，再对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：由数轴可知：， ∴，，，， ∴A、B、D错误，不符合题意，故C正确，符合题意， 故选：C． ▌迁移练7-3（25-26七年级上·湖北黄石·期末）有理数，，在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上有理数的大小比较与绝对值的性质，关键是根据数轴上点的位置判断数的符号与绝对值大小．根据数轴及绝对值的相关知识逐一进行判断即可． 【详解】解：由数轴可知，． ∵在的左侧， ∴，故选项A错误； ∵， ∴，故选项B错误； ∵到原点的距离比到原点的距离大， ∴，故选项C正确； ∵， ∴，故选项D错误； 故选：C． 题型8 用数轴上的点表示有理数 ▌例8 （25-26七年级上·湖南永州·期中）在数轴上把下列各数表示出来，并用“”连接各数． ，，，． 【答案】 各数在数轴上的位置如图： 【分析】本题考查了在数轴上表示有理数，化简多重符号，化简绝对值，有理数的乘方，根据数轴比较有理数的大小，数形结合是解题的关键． 【详解】略 解题要点 画三要素：原点、正方向、单位长度。正数在原点右侧，负数在左侧。先定符号，再按绝对值确定位置，标清对应点。数轴上的点与有理数一一对应。 ▌迁移练8-1（25-26七年级上·浙江杭州·期中）把，，，0，，这些数表示在数轴上，再按从小到大的顺序用“”连接起来． 【答案】图见解析； 【分析】根据题目信息把数准确标注到数轴，再按照从左到右的顺序用“”连接即可． 【详解】解：，，如图所示， ． ▌迁移练8-2（21-22七年级上·广东·期中）把下列各数0，（﹣2）2，﹣|﹣3|，﹣（﹣1）在数轴上表示出来，并用“＜”号把这些数连接起来． 【答案】 各数表示在数轴上如图所示： 【分析】先化简各数，再将各数表示在数轴上，然后根据在数轴上右边的数总是比左边的数即可解答． 【详解】解： 由数轴可知： ▌迁移练8-3（25-26七年级上·新疆阿克苏·期中）把下列各数在数轴上表示出来，并把它们按从大到小的顺序用“＞”号连接起来． ，，，，， 【答案】 将各数在数轴上表示出来，如下图所示， 【分析】本题考查了数轴和有理数的比较大小，关键是正确确定表示各数的点的位置．首先在数轴上确定表示各数的点，然后根据在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数大用“＞”把它们连接起来即可． 【详解】解：，， ． 题型9 有理数的混合运算 ▌例9 （25-26七年级上·湖南株洲·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1)25 (2) 【分析】（1）利用有理数的加减法法则进行计算即可； （2）先进行乘方运算，再进行乘除运算，最后进行加减运算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 解题要点 顺序：先乘方，再乘除，后加减；有括号先算括号内。 技巧：同级运算从左到右，巧用运算律（交换、结合、分配），带分数化假分数，小数化分数，注意符号。 ▌迁移练9-1（25-26七年级上·北京·期末）计算： (1)； (2) 【答案】(1)0 (2)15 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． ▌迁移练9-2（25-26七年级上·湖北咸宁·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先算乘法，再算加减法；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算； （2）先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有绝对值，要先做绝对值内的运算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． ▌迁移练9-3（25-26七年级下·黑龙江大庆·期末）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型10 有理数的混合运算中错解复原问题 ▌例10 （25-26七年级上·甘肃平凉·期末）小明做了如下一道有理数混合运算题，在检查时发现有错误． 解：原式…第一步 …第二步 …第三步 ．…第四步 (1)小明在第______步开始出现错误； (2)请给出该题的正确解答过程． 【答案】(1)一 (2) 原式 ． 【分析】本题考查了有理数的混合运算． （1）逐一分析各个步骤，发现小明在第一步时计算开始出现错误； （2）先计算乘方，再计算除法，最终计算出结果． 【详解】（1）解：根据有理数的乘方运算规则，表示2的立方的相反数，即，而不是，所以第一步开始出现错误， 故答案为：一． （2）略 解题要点 从错误结果反推原式，按运算顺序逆推（先乘方，再乘除，后加减，有括号先括号）。注意符号和括号还原，检验复原结果是否满足条件。 ▌迁移练10-1（24-25七年级上·山西朔州·期末）（1）计算：； （2）下面是小颖同学解方程的过程，请认真阅读，并完成相应的任务． 解：________，得．        第一步 去括号，得．        第二步 移项，得．        第三步 合并同类项，得．        第四步 方程两边同除以2，得        第五步 任务： ①以上求解步骤中，第一步进行的是________，这一步的依据是________________________________； ②以上求解步骤中，第________步开始出现错误，具体的错误是________________________________； ③该方程正确的解为________． 【答案】（1）；（2）①去分母，等式的性质；②三，移项没变号；③ 【分析】此题考查有理数的混合运算，熟练掌握计算法则是解题的关键： （1）根据乘法分配律计算； （2）根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解答． 【详解】解：（1） ； （2）①以上求解步骤中，第一步进行的是去分母，这一步的依据是等式的性质； 故答案为：去分母，等式的性质； ②以上求解步骤中，第三步开始出现错误，具体的错误是移项没变号； 故答案为：三，移项没变号； ③解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 方程两边同除以2，得， 故答案为： ． ▌迁移练10-2（25-26七年级上·江西鹰潭·期中）阅读下面解题过程并解答问题：计算：． 解：原式（第一步） （第二步） =3．（第三步） (1)上面解题过程从第 步开始错误； (2)请你写出正确的解答过程． 【答案】(1)二 (2) 原式 ． 【分析】本题考查了有理数乘除混合运算，熟练掌握有理数乘除混合运算的运算法则是解题的关键． （1）根据有理数乘除混合运算的运算法则判断作答即可； （2）先计算括号，然后将除法变乘法，最后进行乘法运算即可． 【详解】（1）解：由题意知，上面解题过程从第二步开始错误，错误原因是没有按同级运算从左至右运算； 故答案为：二； （2）解：略． ▌迁移练10-3（25-26七年级上·浙江金华·期末）小明与小红同学计算的过程如下： 小明： 原式（第一步） （第二步） （第三步） 小红： 原式 （第二步） （第三步） （第四步） (1)小明与小红在计算中均出现了错误，请分别指出他们开始出错的步骤． (2)请写出正确的解答过程． 【答案】(1)小明：第一步，小红：第二步 (2) 解： 【分析】本题考查了有理数的混合运算． （1）小明：第一步将错误地计算为，小红：第二步应该按照从左到右的顺序计算 （2）根据有理数的混合运算进行计算即可求解． 【详解】（1）解：小明：第一步开始出错，小红：第二步开始出错 （2）略 题型11 有理数的混合运算中应用问题 ▌例11 （25-26六年级上·山东烟台·期末）某食品厂计划每天生产1000袋食品，实际每天生产量与计划量相比有出入，下表是某周的生产情况（超产为正，减产为负）： 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 (1)这周产量最多的一天比最少的一天多生产_________袋食品； (2)已知本周生产的食品全部在本周售出，生产这些食品的总成本为30000元，食品售价为8元/袋，且需缴纳本周销售总额的交易税，求本周的收益总额． 【答案】(1)200 (2)本周的收益总额为21480元 【分析】本题考查了正负数的意义，有理数的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，找出这周产量最多的一天，这周产量最少的一天，再列式计算，即可作答． （2）先求出本周总产量，再结合食品售价为8元/袋，且需缴纳本周销售总额的交易税，进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，（袋）， ∴这周产量最多的一天比最少的一天多生产200袋食品； （2）解：本周总产量为：（袋）． ∵食品售价为8元/袋，且需缴纳本周销售总额的交易税， 则（元）． 因此本周的收益总额为21480元． 解题要点 北师大版七上有理数混合运算应用题解题要点 审清题意，列出算式。**先乘方、再乘除、后加减**；有括号先算括号内。统一单位，注意符号。分步计算，最后检验结果是否符合实际意义。 ▌迁移练11-1（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）我国的机器人技术发展迅速，某实验室对一款机器人进行测试．现让机器人在一条东西走向的路上从点A处开始行走（规定向东为正方向，向西为负方向，单位：m），经过测试，得到下表实验数据： 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 (1)5次行走结束后，机器人停在何处? (2)如果机器人行走每米耗电0.08度，在这次测试中，机器人共耗电多少度? 【答案】(1)机器人在点A向东41m处 (2)机器人共计耗电度 【分析】本题主要考查了正负数的意义，有理数加减法的应用及有理数乘法的应用． （1）将表格中所给的有理数相加，即可解答； （2）将表格中所给数据的绝对值相加再即可解决问题． 【详解】（1）解：， 答：机器人在点A向东处； （2）解：， （度）． 答：机器人共计耗电度． ▌迁移练11-2（25-26七年级上·浙江宁波·期末）现将一批慈城年糕分装成6盒，以每盒3千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数表示，记录如下，每盒质量达到千克的年糕为合格品． 序号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 与标准质量的差值（单位：千克） 0.01 0.02 0.03 (1)这6盒年糕有 盒是合格品，最重的一盒年糕是 千克； (2)若每千克的年糕成本为10元，则这6盒年糕的成本共多少元？ 【答案】(1)5，3.03 (2)这6盒年糕的成本共179.6元 【分析】本题考查了正负数和有理数的混合运算，理解正负数的意义是解答此题的关键． （1）根据正、负数的意义进行判断即可； （2）根据题意列出算式进行计算即可． 【详解】（1）解：每盒质量达到千克的年糕为合格品，， 序号为①②③⑤⑥共5盒合格品； 最重的一盒年糕为（千克）； 故答案为：5，3.03； （2）解： （元） 答：这6盒年糕的成本共元． ▌迁移练11-3（25-26六年级下·上海·期末）某淘宝商家计划平均每天销售某品牌儿童滑板车100辆，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有差距．下表是本周每天的销售情况（超额记为正．不足记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差额（辆） (1)本周四销售该品牌儿童滑板车 辆； (2)本周销售量最多的一天比最少的一天多 ； (3)通过计算说明，本周实际销售总量是否达到了计划？ 【答案】(1) (2) 辆 (3) 本周实际销售总量达到了计划 【分析】（1）用计划数加上差额进行计算即可； （2）表格中的最大数据减去最小数据即可得出结果； （3）求出本周实际销量，进行判断即可. 【详解】（1）解：（辆）， 答：本周四销售该品牌儿童滑板车92辆； （2）解：（辆）， 答：本周销售量最多的一天比最少的一天25辆； （3）解：（辆）， （辆）， ， 故本周实际销售总量达到了计划. 难点一 有理数的简便运算 难点1：运算律的逆向与拆分技巧 学生易正向使用交换律、结合律，但逆用（如提取公因数）或拆分（如将带分数拆为整数与分数）常不熟练。难点在于敏锐识别可凑整、抵消或统一为相同因子的结构，并通过恒等变形简化计算。 难点2：多重符号的化简与去括号 涉及多个负号、绝对值及括号嵌套时，符号确定规则易混淆。难点在于逐层化简时确保符号与运算顺序同步处理，若跳步或忽视负号对括号内每一项的影响，则极易导致符号错误。 难点精练 1．（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）请你仔细阅读下列材料并计算： 解法：简便计算，先求其倒数 原式的倒数为： 故 再根据你对所提供材料的理解，模仿以上方法进行计算：. 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，乘法分配律的运用，熟练掌握有理数混合运算的法则和乘法分配律是解题的关键.计算，把除法变成乘法，再利用乘法分配律求解，所得结果取倒数即为答案. 【详解】解：原式的倒数为： ， ∴． 故答案为. 2．（25-26七年级上·江西吉安·期中）阅读下列计算过程，解决问题． 计算： 解：原式 ． 上面的解题方法叫作拆项法. (1)仿照上面方法，可将拆为_____，将拆为_____； (2)用拆项法计算：． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了有理数加减混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数加减混合运算法则，准确计算． （1）根据题干信息进行解答即可； （2）利用题干提供的信息，运用有理数加减混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：拆为，拆为， 故答案为：，； （2）解： ． 3．（25-26七年级上·河南郑州·期中）简便运算． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）对于，，分别取，相加即可； （2）把各因数通分相乘得分子是从2开始的连续自然数的平方，分母是从1开始的相差2的两个自然数的积，再相乘并依次约分即可； （3）拆分带分数，利用乘法分配律简便计算； （4）利用乘法分配律展开，再把同分母分数相加减即可． 【详解】（1）解：当时，， 则 ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 难点二 含乘方的有理数混合运算 难点1：运算优先级的层级嵌套 乘方、乘除、加减及括号形成多层运算结构。难点在于同时处理括号内的运算、乘方展开及同级运算从左到右的规则，尤其在含多重括号时，学生易因顺序跳步导致中间结果错误。 难点2：乘方符号的底数辨别 区别(-a)n 与-an是关键难点。前者底数为-a，符号随指数奇偶变化；后者底数为a，负号独立于乘方之外。学生常混淆两者，尤其在指数为偶数时误判符号，导致整个计算方向性错误。 难点精练 1．（25-26七年级下·辽宁盘锦·开学考试）计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 2．（26-27七年级·江苏·小升初衔接）计算： (1)； (2) 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．（25-26七年级上·重庆·期中）计算题，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用含乘方的有理数的混合运算法则计算即可； （2）利用含乘方的有理数的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 难点三 有理数运算中的程序问题 难点1：程序流程的路径依赖与跳转 当程序含有条件判断（如“若结果为正则平方，否则加5”）或循环反馈时，每一步输出作为下一步输入。难点在于严格按箭头方向执行，勿跳步，同时根据中间结果的符号正确选择分支，否则路径偏离会导致最终输出错误。 难点2：多轮迭代中的符号惯性 含乘方、乘除的迭代程序，若中间结果反复出现负数或分数，后续运算的符号和顺序极易混淆。难点在于每轮计算后需重置符号认知，结合运算优先级逐次推进，防止上一轮结果的符号惯性影响后续判断。 难点精练 1．（25-26七年级上·湖南·期中）按如图所示的程序进行计算，则输出的结果为______． 【答案】160 【分析】按照框图的计算顺序进行计算即可． 【详解】解：把40输入得： ， 把80输入得： ， ∴输出结果为：160． 2．（25-26七年级上·四川达州·期中）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，；②当n为偶数时，（其中k是使为奇数的正整数）…，两种运算交替重复进行，例如，取则： 若，则第2025次“F”运算的结果是_______． 【答案】4 【分析】本题考查了有理数的相关运算以及找规律，理解题意，找出相应的规律是解题的关键．根据题目表述，逐一进行计算，找到规律即可得出结果． 【详解】解：若，则第1次“F”运算的结果是； 第2次“F”运算的结果是； 第3次“F”运算的结果是； 第4次“F”运算的结果是； 第5次“F”运算的结果是； 第6次“F”运算的结果是； …， 发现规律为：从第4次开始，进入1，4的循环，周期为2． ， 对应周期内第二个结果，即4， 故答案为：4． 3．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如图是一个数学游戏活动，、、、分别代表一种运算，运算结果随着运算顺序的变化而变化．（提示：①每次游戏都涉及、、、四种运算；②运算过程中自动添加必要的括号） (1)6经过、、、的顺序运算，列算式并计算结果是多少？ (2)经过▅、的顺序运算后，结果是，则被遮挡部分的运算顺序应是______． 【答案】(1)34 (2)C、B、A． 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是严格遵循运算顺序进行计算，并通过结果逆向推导运算步骤． （1）按A、B、C、D顺序依次运算； （2）通过结果反推被遮挡的运算顺序． 【详解】（1）解：列式为 答：计算结果是34． （2）解：由得 对进行（平方）、（减3）、（乘）运算： ，符合要求． 故答案为：C、B、A． 难点四 算24点 难点1：运算形式的穷举与配对 给定4个数，需通过加、减、乘、除及括号调整运算顺序。难点在于将所有数分为两组，每组先算出一个中间结果，再通过最后一步运算得到24。学生常陷入盲目试算，缺乏“倒推目标值”的配对策略，无法系统覆盖所有组合。 难点2：分数与负数的构造应用 当整数直接运算无法得到24时，需构造如或-2等中间值，通过除法或减法化解。难点在于跳出整数思维定势，灵活运用分数或负数作为桥梁，此逆向构造能力对初学者极为困难。 难点精练 1．（25-26七年级上·浙江丽水·期末）有一种“24点”的扑克牌游戏的规则是：任意抽四张牌，将各张牌上的数用加、减、乘、除、乘方中的几种运算（可用括号，且各数只能用一次）列一个算式，先计算结果为“24”者获胜．现已抽出如图所示的四张牌（A表示1），则可算“24”点的算式是________（写出一个即可）　                  　 ． 【答案】 【分析】根据题意和题目中的数字，可以写出一个结果为24的算式，注意本题答案不唯一． 【详解】解： 2．（25-26六年级上·上海静安·期末）如图，现有5张卡片写着不同数，利用所学过的加、减、乘、除、乘方运算，从中选取4张卡片（每张卡片上的数只能用一次），使这4张卡片上的数运算结果为24，写出一个符合要求的等式为___________． 【答案】或（答案不唯一） 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，理解题意是解决本题的关键． 任意取出4张卡片，进行计算得出结果即可． 【详解】解：由题意得，可以用、、、这四个数来构造等式： 则 ； 或者用、、、构造： 则 ， 故答案为：或． 3．（25-26七年级上·贵州贵阳·期中）你会玩“24点”游戏吗？从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算（每一张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号），使运算结果为24或，其中红色（红桃、方块）扑克牌代表负数，黑色（黑桃、梅花）扑克牌代表正数，J，Q，K，A分别代表11，12，13，1，小明抽到了黑桃7，黑桃3，梅花3，梅花7，他运用下面的方法凑成了24：．如果抽到的是黑桃A，方块2，黑桃2，黑桃3，请写出凑成24或的其中一种方法：____________________ ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了“24点”． 先求出抽到的数据，再根据“24点”计算即可． 【详解】解：∵红色（红桃、方块）扑克牌代表负数，黑色（黑桃、梅花）扑克牌代表正数，A代表1，抽到的是黑桃A，方块2，黑桃2，黑桃3， ∴抽到的数据是1，，2，3， 则一种方法为：． 故答案为：． 难点五 有理数的混合运算中新定义型问题 难点1：新运算符号的代数化转译 题目定义新型运算（如a b = a2 - ab + b）。难点在于将陌生符号准确还原为含加、减、乘、除、乘方的常规算式，尤其当参与运算的式子本身含括号或负数时，代入和符号变换极易出错。 难点2：新运算与常规优先级的混合 新定义运算常与常规运算（括号、乘方、乘除）混合出现。难点在于明确新运算本身的优先级（若未特殊说明，通常视同高级运算），同时兼顾括号对运算顺序的强制改变，若顺序错判则整体结果谬以千里。 难点精练 1．（25-26七年级上·陕西西安·期中）用“△”定义新运算，对于任意有理数a，b，都有．例如：． (1)求的值； (2)若继续用“”定义另一种新运算，例如：．求． 【答案】(1)24 (2)20 【分析】本题主要考查了有理数混合运算； （1）根据题干信息列出算式进行计算即可； （2）根据题干信息列出算式进行计算即可． 解题的关键是理解题意，熟练掌握有理数混合运算法则． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．（25-26六年级上·山东济南·期中）在有理数范围内，定义三个数之间的一种新运算：“”，定义；例如：．请根据以上定义解答下列问题： (1)计算：； (2)若，，，求． 【答案】(1)7 (2) 【分析】本题主要考查含乘方的有理数混合运算，解题的关键是理解题意； （1）根据题中所给定义进行求解即可； （2）根据题意先得出a、b、c的值，然后再代值求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵，，， ∴． 3．（25-26七年级上·广东广州·期末）定义新运算：求若干个相同的有理数的除法运算叫做除方．记作，比如把记作，记作．特别地，规定． (1)根据除方的定义，可记作____________； (2)直接写出计算结果：____________； (3)计算：； (4)对于有理数时， ____________． 【答案】(1) (2)1 (3)33 (4) 【分析】本题主要考查了有理数运算的新定义及乘方运算，解题的关键是读懂题意，掌握新定义的计算法则，利用新定义计算． （1）根据题意，利用新定义计算即可． （2）根据题意，利用新定义计算即可． （3）根据题意，利用新定义计算即可． （4）根据题意，利用新定义计算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：． （2）解：， 故答案为：1． （3）解：； （4）解：原式， 故答案为：． 难点六 有理数运算中的规律探究问题 难点1：算式的结构特征提取 给定若干具有相同模式的算式（如12-22=-3，22-32=-5 ），难点在于敏锐识别数字变化规律与符号分布，提炼出统一的代数形式（如n2-(n+1)2=-(2n+1)）。学生易迷失于具体数值，难以捕捉共同框架。 难点2：规律的验证与拓展 归纳出猜想后，需通项代入验证其普遍性，并将规律推广至含参或较大数运算。难点在于兼顾特殊到一般的逻辑严密性，同时灵活运用该规律实现复杂式子的快速化简。 难点精练 1．（25-26七年级上·山东淄博·阶段检测）观察：，，，…，以此类推．请你根据发现的规律，回答下列问题： (1)根据发现的规律， ①写出第5个式子___________________； ②写出第个式子___________________； (2)利用发现的规律，计算：． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题考查数字类规律探究，有理数的混合运算．解题的关键是得到． （1）①根据题干给定的算式，直接作答即可；②根据题干给定的算式，概括出相应的规律即可； （2）根据规律，拆项相加即可． 【详解】（1）解：①第5个式子：； ②第个式子； （2） ． 2．（25-26七年级上·江苏淮安·阶段检测）阅读探究： ①； ②； ③； ④；…… (1)根据上述规律，则⑤______； (2)根据以上式子的规律，请写出第个式子； (3)利用你发现的规律，计算下面算式的值：． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、数字的变化规律，解决本题的关键是根据阅读材料中所给的式子，找到式子的变化规律，根据规律解决问题． 根据阅读材料中从开始的连续正整数的平方和的计算规律进行计算即可； 根据阅读材料中从开始的连续正整数的平方和的计算规律，写出从到的连续正整数的平方和的计算公式； 利用中得到的计算规律可得：，由可知，两个等式求差，即可得到结果． 【详解】（1）解：根据规律可得：； （2）解：根据规律可得：第个式子是： （3）解：由可知， ， 由可知：， ． 3．（25-26七年级上·江苏淮安·期中）观察下列算式，你会发现什么规律？ …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)找出规律并计算：______=______； (2)用含有n的式子表示上面的规律：______； (3)用找到的规律解决下面的问题： 计算：______． 【答案】(1)64， (2) (3) 【分析】（1）根据有理数的运算法则计算即可；掌握有理数的运算法则是解题的关键； （2）观察发现一个正整数乘以比这个正整数大2的数再加1就等于这个正整数加1的平方，即可总结出含有n的式子表示的规律；发现数字间的关系是解题的关键； （3）将原式变形为知，，然后再利用（2）的规律计算即可；灵活对原式进行变形是解题的关键． 【详解】（1）解：． 故答案为：64，． （2）解：观察发现一个正整数乘以比这个正整数大2的数再加1就等于这个正整数加1的平方，则第n个等式为：． 故答案为:． （3）解： ． 故答案为． 基础达标 一、单选题 1.（25-26六年级上·山东烟台·期末）下列各数：，，，，，，其中负数的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】此题主要考查了绝对值以及有理数的乘方运算，正确化简各数是解题关键． 根据负数的定义即小于0的数是负数，再把所给的数进行计算，即可得出答案． 【详解】解：，，，，，， 其中负数的个数是4个， 故选：C． 2．（2026·甘肃白银·二模）DeepSeek是一款先进的人工智能助手，可提供高效、精准的信息检索和智能对话服务，其活跃用户数在上线天后达到了万，将万用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查科学记数法表示较大的数，科学记数法的一般形式为，其中要求，为正整数，进行解答，即可． 【详解】解：万． 3．（25-26七年级上·内蒙古赤峰·期末）下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据有理数大小比较、相反数与绝对值的基本运算逐一判断选项即可． 【详解】解：∵负数小于正数，为负数，4为正数， ∴，选项A正确，符合题意； ∵， ∴选项B错误，不符合题意； ∵， ∴选项C错误，不符合题意； ∵两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，， ∴，选项D错误，不符合题意． 4．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）已知有理数在数轴上对应点的位置如图所示．下列式子中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了借助数轴进行的相关运算，数形结合，得出相关基本结论，并明确有理数的运算法则，是解题的关键；观察数轴可得：，，据此及有理数的运算法则逐个分析即可． 【详解】解：∵由数轴可得： ， ∴，故A错误； ，故B错误； ，故C正确； ，故D错误． 故选：C． 5.（25-26七年级上·江苏淮安·期中）若，则的值为（    ）． A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值和平方数的非负性，解题的关键是利用非负性求出、的值． 通过分析等式中各项的非负性，得出绝对值项和平方项均为零，进而求出和的值，再代入表达式计算． 【详解】解：∵，且左边各项非负， ， ， 代入方程得， 两边减去得， ， 且， ∴， ． 故答案为：A． 二、填空题 6．（25-26七年级上·河南许昌·阶段检测）在，0，，，，中，负分数有______个． 【答案】3 【分析】本题考查有理数的分数，掌握好有理数的概念是关键． 负分数是小于0的分数，需判断每个数是否为负且为分数形式． 【详解】解：在数，0，，，3.15，中， 是负分数；0不是负数；化为假分数为，是负分数；是正分数；3.15可化为，是正分数；化为分数为，是负分数． ∴负分数一共有3个． 故答案为：3． 7．（25-26七年级上·北京昌平·期末）在空间站某次舱外作业中，航天员的宇航服表面温度显示：向阳面为零上，背阴面为零下．若零上记作，则零下记作___________． 【答案】 【分析】该题考查了正负数的意义，根据正负数的意义，零上温度记为正数，零下温度记为负数 【详解】解：由题意，零上记作，则零下应记作负数，即， 故答案为：． 8．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）如图，数轴上的数a，b，c，d中，小于的是______． 【答案】a 【分析】本题考查了数轴上数的大小比较，解题的关键是通过数轴上数的位置，直接与 对比大小． 根据数轴上、、、与的位置关系，判断出小于的数． 【详解】解：由数轴位置可知，在左侧，、、均在右侧，数轴上左侧的数小于右侧的数，故小于的数是． 故答案为：． 9．（25-26七年级上·湖北黄冈·期末）比较大小：______．（填“＞”或“＝”或“＜”） 【答案】＜ 【分析】本题主要考查了相反数、绝对值、有理数大小比较等知识点，正确运用相反数、绝对值化简成为解题的关键．先运用相反数、绝对值化简，然后再比较大小即可． 【详解】解：，． ，． 故答案为：＜ 10．（24-25七年级上·黑龙江绥化·阶段检测）的相反数是( )；绝对值是( )；倒数是( )． 【答案】 【分析】此题主要考查有理数的性质，解题的关键是熟知相反数、绝对值、倒数的定义. 根据相反数、绝对值、倒数的定义即可求解. 【详解】解：∵ ∴的相反数是，绝对值是，倒数是， 故填：，，. 三、解答题 11．（25-26七年级上·宁夏银川·期末）计算 (1) (2) (3) 【答案】(1)7 (2) (3)15 【分析】（1）根据有理数的加减混合运算法则计算即可； （2）先用分配律计算括号里的乘法，再计算除法即可； （3）先算乘方，再算括号，乘除，最后计算加减． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解∶原式． 12．（25-26七年级上·广东江门·期中）先在数轴上标出表示下列各数的点，再用“<”号把这些数连接起来： ，，，0，． 【答案】 化简各数：，，，， ． 【分析】本题主要考查有理数大小的比较、有理数的绝对值、有理数的乘方、有理数的相反数等知识，准确分析是解题的关键． 先在数轴上把各数表示出来，再根据数轴上表示的数右边的总比左边的大，用小于号依次将各数连接起来． 【详解】略 13．（24-25七年级上·吉林·单元测试）在一次体检过程中，七（3）班班长记录了该班6名学生的视力情况，若每名学生的视力以为标准，大于的记为正数，小于的记为负数，记录数据如下： 学生 小明 小颖 小梦 小璐 小杰 小萌 视力 0 (1)这6名学生中哪名学生的视力最差？用学过的知识说明理由； (2)若规定与标准视力相差大于需要配戴眼镜，则6名学生中有几人需要配戴眼镜？ 【答案】(1) 小杰的视力最差，理由： ∵， ∴最小，与标准差的最多， ∴小杰的视力最差． (2)6名学生中有2人需要配戴眼镜 【分析】本题主要考查了正数和负数的意义，绝对值，有理数大小的比较，理解正负数的意义是解答关键． （1）根据负数数值越小表示视力越差，结合表格中数值求解； （2）求出6名学生数据的绝对值，分别比较大小，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，，，， 所以6名学生中有2人需要配戴眼镜． 14．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）（1）有理数a，b在数轴上的对应点如图所示． ①填空：（填“”、“”或“”）a__________0；b__________0； ②用“”将a，b，，0连接起来：______________； （2）已知，若，求x，y的值． 【答案】（1）①，；②（2） 【分析】本题考查有理数和数轴，绝对值的意义，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）①根据点在原点的左侧还是右侧即可得出结果；②根据点在数轴上的位置进行判断即可； （2）根据绝对值的意义，结合，进行求解即可． 【详解】解：（1）①由数轴可知，在原点右侧，在原点左侧， 故； ②∵， ∴， 故； （2）∵， ∴， ∵， ∴． 15．（24-25七年级上·全国·期中）阅读下列解题过程： 计算： 解： （第一步） （第二步） （第三步） 回答： (1)上述解题过程有两处错误： 第一处是第_______步，错误原因是______________； 第二处是第_______步，错误原因是______________； (2)请写出正确解题过程． 【答案】(1)一；运算顺序错误；三；符号弄错 (2) 【分析】此题考查了有理数的四则运算，解题的关键是熟练运用有理数的乘除运算法则． （1）根据有理数的四则运算法则即可进行判断； （2）根据有理数的四则运算法则即可求出答案． 【详解】（1）解：第一处是第一步，错误原因是运算顺序错误； 第二处是第三步，错误原因是符号弄错； 故答案为：一；运算顺序错误；三；符号弄错； （2）略 能力进阶 一、单选题 1.（25-26七年级上·福建福州·期中）数轴上的点，，分别表示数，，，它们的位置如图所示，若点在原点左侧，则表示数1的点的位置正确的是（    ） A．在原点和点之间 B．在原点和点之间 C．与点重合 D．在点的右边 【答案】D 【分析】本题考查数轴表示数，数的大小比较，根据题意得到是解题的关键． 由题可知，再分和讨论可知，进而得到即可． 【详解】根据题意，，且， 若，则，不符合； 当时，，符合， ，又，所以，即， 故表示数1的点的位置在点的右边． 故选：D． 2．（25-26七年级上·全国·阶段检测）已知，，，则的最小值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查绝对值的性质（绝对值等于一个正数的数有两个，互为相反数）、绝对值的运算规律；掌握将拆分为的形式，通过分析各差值的符号组合求的最小值，是解题的关键．先根据绝对值的性质，得出两种情况；再将差值转化为前三个差值的和，通过绝对值的运算性质表示出；最后分析不同符号组合下的结果，找出最小值． 【详解】解：∵，，， ∴，，， ∴， ∴的最小值为． 故选：D． 3．（25-26七年级上·广东深圳·阶段检测）已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的有（   ）个． （1）；（2）；（3）；（4）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了实数的大小比较，相反数的性质，绝对值的定义，解决本题的关键是结合数轴，灵活运用相关知识进行判断． 由数轴知，画出如图，根据绝对值定义，逐一判断即可． 【详解】解：根据题意画出如图： 由到0的距离远近可知：，故（1）不符合题意，（3）符合题意； 由数轴上右边的点表示的数总大于左边的点表示的数知：，，故（2）（4）符合题意；故结论正确的有3个． 故选：C． 二、填空题 4．（25-26六年级上·上海·期末）的最小值为______． 【答案】 【分析】此题考查了绝对值的几何意义． 根据绝对值的几何意义，多个绝对值之和的最小值出现在中间的数值处．由于点从1到2026共2026个，是偶数，中间的数值为第1013个点和第1014个点的平均值，即． 【详解】解：设．当时，取得最小值． ． 故答案为． 5．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）如图所示，已知正方形的边长为1，在数轴上的位置如图所示，点表示的数为0，点表示的数为． （1）将正方形从如图所示的位置沿数轴向左滚动一圈（滚动一圈指线段再次落在数轴上），则点表示的数是______； （2）将正方形从如图所示位置沿数轴向右滚动，则数2025表示的点与点______重合． 【答案】 【分析】此题主要考查数轴的特点，解题的关键是根据题意得到正方形滚动一周，正方形的顶点移动4个单位． （1）根据正方形滚动1周后点的位置得出点对应的数； （2）根据正方形滚动的规律，得到经过数轴上的数的点． 【详解】（1）由题可得，正方形向左滚动一周，正方形的顶点向左移动4个单位， 所以正方形向左滚动一周后，点对应的数为：， 故答案为：； （2）∵ 所以将正方形从如图所示位置沿数轴向右滚动，数2025表示的点与点B重合； 故答案为：． 6．（25-26七年级上·福建泉州·期末）代数式的最小值为____________． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的化简计算，明确绝对值的化简法则并明确何时题中所要求的式子取得最小值是解题的关键．将原式化为，可理解为到的距离，倍的到的距离，倍的到的距离，倍的到的距离，倍的到的距离的和，求得时，取得最小值即可解得答案． 【详解】解： ． 原式可理解为到的距离，倍的到的距离，倍的到的距离，倍的到的距离，倍的到的距离的和， 原式可看作个绝对值相加，而中间项第八项为， 当，即时取最小值， 最小值为 ， 故答案为：． 三、解答题 7．（25-26七年级上·陕西西安·期末）同学们知道，表示与的差的绝对值，也可理解为数轴上表示数与数两点间的距离．试探索： (1)表示数轴上数与数_____________两点间的距离； (2)的最小值是_____________； (3)计算的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，关键是应用知识点解决问题； （1）根据绝对值的几何意义解答即可； （2）分情况讨论在不同位置时，代数式的值，比较并得出最小值； （3）通过观察可发现在到这段线段的中点时，代数式有最小值，代入求值即可． 【详解】（1）解：由题意得：表示数轴上数与数两点间的距离； 故答案为：； （2）解：当时，，即； 当时，； 当时，，即； 综上：的最小值是； 故答案为：； （3）解：共项， 根据绝对值的几何意义，取中间项时，原式的值最小， 即：当时， 原式 ， ∴的最小值为：． 8．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）概念学习 规定：求个相同的有理数（均不等于）的商的运算叫做除方， 比如，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“的次商”；写作，读作“的次商”，一般地，把（）这样个相除，写作，读作“的次商”． 初步探究 （1）请直接写出计算结果：________，________； （2）下列关于除方说法中，错误的是（   ）（单选） A．当时， B．当时， C．正数的次商结果是正数，负数的次商结果是负数 D．次商等于它本身的数是 深入思考 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 除方乘方（幂）的形式． （3）归纳：请把有理数的次商（，），写成乘方（幂）的形式为：________； （4）比较：________（填“”“”或“”）； （5）计算：． 【答案】（1）， （2） （3） （4） （5） 【分析】本题主要考查了有理数的除法运算，有理数的乘方运算，含乘方的有理数混合运算等知识点，读懂题意，深刻理解题中所给除方的定义是解题的关键． （1）根据除方的定义进行计算即可； （2）根据除方的定义逐项分析判断即可； （3）根据题中所给示例进行计算即可得出答案； （4）分别求出和，然后比较即可； （5）根据除方的定义进行计算即可． 【详解】解：（1）由题知：， ， 故答案为：，； （2）由题知： A．当时，， 该说法正确，故选项不符合题意； B．当时，， 该说法正确，故选项不符合题意； C．当为正数时，的次商表示个相除，结果是正数， 当为负数时，奇数个负数相除结果为负，偶数个负数相除结果为正， 该说法错误，故选项符合题意； D．由除方的定义可知，次商等于它本身的数是， 该说法正确，故选项不符合题意； 故选：； （3）由题知： ， 故答案为：； （4），， ， 故答案为：； （5） ． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $