精品解析：江苏省无锡市第三高级中学2026-2027学年高一上学期第一次基础测试数学试卷

高一第一次基础测试数学试卷 出卷人：李双双 审卷人：孙成成 时间：120分钟 满分150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由图示分析阴影部分与集合A,B的关系，再根据集合的运算可得结果. 【详解】由图可知，阴影部分包含于集合，与集合的交集为空集， 所以阴影部分表示的集合是集合与集合的交集. 因为全集，集合，所以或. 因为集合，所以. 故选：D. 2. 设命题，，则的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】利用特称命题的否定可得出结论. 【详解】命题为特称命题，该命题的否定为“，”， 故选：C. 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分、必要条件的定义判断即可. 【详解】若，则，充分性成立； 若，当时，满足，而不成立，必要性不成立. 则“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 4. 若不等式的解集为，则函数的图象可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题可得和是方程的两个根，求出，再根据二次函数的性质即可得出. 【详解】由题可得和是方程的两个根，且， ，解得， 则， 则函数图象开口向下，与轴交于. 故选：C. 5. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质，结合举反例的方法，可得答案. 【详解】对于A，若，则，故A错误； 对于B，若，，则，故B错误； 对于C，若，，可得，故C正确； 对于D，若，，，则，故D错误. 故选：C． 6. 山东省自2017年入学的高中生实行选科分班，每名学生自高二起从物理、化学、生物、政治、历史、地理六科中任选三科作为选考科目.若某校高二1班由选考物理、化学、生物的学生组成，其中选物理的30人，选化学的20人，选生物的20人，既选物理又选化学的10人，既选物理又选生物的8人，既选化学又选生物的10人，三科都选的5人，则该班的学生总数为（ ） A. 45 B. 47 C. 48 D. 50 【答案】B 【解析】 【分析】根据题目条件结合韦恩图求出只选物理和化学，不选生物，只选化学和生物，不选物理，只选物理和生物，不选化学，只选物理，只选化学，只选生物的人数，从而计算出总人数 【详解】 因为三科都选的5人，所以只选物理和化学，不选生物的有人， 只选化学和生物，不选物理的有人， 只选物理和生物，不选化学的有人， 则只选物理的有人， 只选化学的有人， 只选生物的有人， 所以该班学生总数为人. 故选：B 7. 已知实数满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 所求的分母特征，利用变形构造，再等价变形，利用基本不等式求最值. 【详解】解：因为满足， 则 ， 当且仅当时取等号， 故选：． 【点睛】本题考查通过拼凑法利用基本不等式求最值.拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键.(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形;(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提. 8. 已知使不等式成立的任意一个，都满足不等式，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，将问题转化为不等式的解集是的子集，然后分类讨论，代入计算，即可得到结果. 【详解】由可得，解得， 因为使不等式成立的任意一个，都满足不等式， 则不等式的解集是的子集， 由可得， 当时，即，不等式解集为，满足； 当时，不等式解集为，则，无解； 当时，不等式解集为，则可得， 解得，所以； 综上所述，实数的取值范围为. 故选：B 二、多选题：本题共3小题，共18分. 9. 下列叙述中正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 已知，则“”是“”的必要不充分条件 D. 命题“，”的否定是“，” 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据自然数集的定义判断A，根据交集、并集的定义判断B，根据充分条件、必要条件的定义判断C，根据全称量词命题的否定判断D； 【详解】解：对于A：因为，所以且，故A正确； 对于B：根据，所以且，所以，故B正确； 对于C：由，即，即，即， 当时，，，，所以，即，故必要性成立， 由不一定得到，如时也成立，故“”是“”的必要不充分条件，故C正确； 对于D：命题“，”的否定是“，”，故D错误； 故选：ABC 10. 下列四个命题中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】举反例排除AD，利用不等式的性质与作差法可判断BC，从而得解. 【详解】对于A，取，满足，但，故A错误； 对于B，因为，所以，故，所以，故B正确； 对于C，因为，则，，， 则，所以，故C正确； 对于D，取，满足， 但，即不成立，故D错误. 故选：BC. 11. 下列说法正确的有　　 A. 若，则的最大值是 B. 若，则的最小值为2 C. 若，，均为正实数，且，则的最小值是4 D. 已知，，且，则最小值是 【答案】AD 【解析】 【分析】根据选项中各式的特点，进行适当变形，使用基本不等式进行判断．注意“1”的妙用及等号能否取到． 【详解】对于，由可得， 由基本不等式可得， 当且仅当即时取等号， 所以的最大值为，故正确； 对于，， 当且仅当时等号成立，但此时无解，等号无法取得， 则最小值不为2，故错误； 对于，由可得 ， 当且仅当且，即，，时，等号成立， 由于，，均为正实数，则等号取不到，故错误； 对于，由可得， 代入到， 当且仅当即时，等号成立，故正确． 故选：． 三、填密题（每题5分，共15分） 12. 的解集为___________ 【答案】 【解析】 【分析】利用移项, 通分, 转化整式不等式求解即可. 【详解】由, 可得, 即, 所以, 解得, 所以原不等式的解集为. 故答案为: . 13. 若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素，且互不为对方子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合，，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则a的取值集合为_____. 【答案】 【解析】 【分析】分“鲸吞”或“蚕食”两种情况分类讨论求出值，即可求解 【详解】当时，，此时满足， 当时，，此时集合只能是“蚕食”关系， 所以当集合有公共元素时，解得， 当集合有公共元素时，解得， 故的取值集合为. 故答案为： 14. 已知，，若关于的不等式在时恒成立，则的最小值是_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据不等式分类讨论分析可知，为方程的根，代入化简可得，进而代入消去，结合基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以当时，；当时. 要使关于的不等式在时恒成立，需两因式同号在时恒成立. 则当时，；当时，； 所以当时，， 所以，即， 所以，当且仅当，即时取等号， 即的最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知p：关于x的方程有实数根，. （1）若命题是假命题，求实数a的取值范围； （2）若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 因为是假命题，所以p是真命题， 即关于x的方程有实数根， 所以判别式，即， 解得或， 所以的取值范围是. 【小问2详解】 由(1)可知，若p成立，则a的范围是， 因为p是q的必要不充分条件， 即集合是集合或的真子集， 所以有或， 即或， 所以的取值范围是. 16. 已知集合. （1）若集合A中有两个元素，求实数a的取值范围； （2）若集合A最多有两个子集，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 因为集合A中有两个元素， 所以关于x的方程有两个不相等的实数根， 所以，且， 即且， 所以实数的范围是. 【小问2详解】 因为集合A最多有两个子集，所以集合A至多有1个元素， 即关于x的方程无解或只有一个解， 当时，，，只有1个解，符合题意； 当时，若方程有两个相等的实数根，则集合A只有1个元素， 此时，； 若方程没有实数根，则集合A没有元素， 此时，； 综上所述，a的取值范围是. 17. 已知集合. （1）当时，求； （2）若集合为非空集合且，求实数的取值范围； （3）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）当时，得到，结合集合交集，并集和补集的运算，即可求解； （2）根据题意，得到，列出不等式组，即可求解； （3）由，分和，两种情况讨论，列出不等式组，即可求解. 【小问1详解】 解：当时，可得集合，因为， 所以，或， 则. 【小问2详解】 解：由集合为非空集合且，可得， 则满足，解得，即实数的取值范围为. 【小问3详解】 解：由集合，且， 当时，则满足，解得，此时满足； 当时，则满足或，解得或， 综上可得，实数的取值范围为. 18. 如图，居民社区要建一个休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为的成轴对称的“”形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为2100元；在两个相同的矩形和上铺花岗岩地坪，造价为210元；在两个三角形和上铺草坪，造价为40元.设总造价为（单位：元），长为（单位：）. （1）设长为（单位：），写出关于的函数解析式； （2）当为何值时，最小？并求出这个最小值. 【答案】（1） （2）， 元. 【解析】 【分析】（1）由题意得，求出即可； （2）根据题意表示出每一部分的面积，再乘以相应的每平方米的造价，然后相加可得，化简后利用基本不等式可求出其最小值. 【小问1详解】 由题意得， 解得， 由于，得， 所以； 【小问2详解】 由题意得， 所以， ， 当且仅当，即时取“ 所以当时，最小，且元. 19. 已知函数. （1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围， （2）设，解关于的不等式. 【答案】（1） （2） 当时，不等式的解集为； 当时，不等式无解； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式恒成立问题建立不等式组，解之即可求解； （2）将原不等式转化为，根据含参的一元二次不等式的解法计算即可求解. 【小问1详解】 对于一切实数恒成立等价于对于一切实数恒成立. ①当时，不等式可化为，符合题意； ②当时，则，即，整理得. 解得，综上可得， 故对一切实数恒成立时，实数的取值范围是； 【小问2详解】 不等式，等价于不等式， 当时，不等式可化为，解得； 当时，不等式可化为 即 ①当时，，不等式可化为，无解； ②当时，，不等式的解集为； ③当时，，不等式的解集为. 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式无解； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一第一次基础测试数学试卷 出卷人：李双双 审卷人：孙成成 时间：120分钟 满分150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 2. 设命题，，则的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 4. 若不等式的解集为，则函数的图象可以为（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 山东省自2017年入学的高中生实行选科分班，每名学生自高二起从物理、化学、生物、政治、历史、地理六科中任选三科作为选考科目.若某校高二1班由选考物理、化学、生物的学生组成，其中选物理的30人，选化学的20人，选生物的20人，既选物理又选化学的10人，既选物理又选生物的8人，既选化学又选生物的10人，三科都选的5人，则该班的学生总数为（ ） A. 45 B. 47 C. 48 D. 50 7. 已知实数满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知使不等式成立的任意一个，都满足不等式，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分. 9. 下列叙述中正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 已知，则“”是“”的必要不充分条件 D. 命题“，”的否定是“，” 10. 下列四个命题中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 下列说法正确的有　　 A. 若，则的最大值是 B. 若，则的最小值为2 C. 若，，均为正实数，且，则的最小值是4 D. 已知，，且，则最小值是 三、填密题（每题5分，共15分） 12. 的解集为___________ 13. 若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素，且互不为对方子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合，，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则a的取值集合为_____. 14. 已知，，若关于的不等式在时恒成立，则的最小值是_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知p：关于x的方程有实数根，. （1）若命题是假命题，求实数a的取值范围； （2）若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 16. 已知集合. （1）若集合A中有两个元素，求实数a的取值范围； （2）若集合A最多有两个子集，求实数a的取值范围. 17. 已知集合. （1）当时，求； （2）若集合为非空集合且，求实数的取值范围； （3）若，求实数的取值范围. 18. 如图，居民社区要建一个休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为的成轴对称的“”形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为2100元；在两个相同的矩形和上铺花岗岩地坪，造价为210元；在两个三角形和上铺草坪，造价为40元.设总造价为（单位：元），长为（单位：）. （1）设长为（单位：），写出关于的函数解析式； （2）当为何值时，最小？并求出这个最小值. 19. 已知函数. （1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围， （2）设，解关于的不等式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $