精品解析：江苏南京第一中学2026-2027学年高二上学期9月阶段性检测数学试题

南京一中2026-2027学年度第一学期9月阶段性检测试卷 高二数学 2026.9 注意事项： 1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分． 3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上． 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 两条平行直线与之间的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线间的距离公式求解即可. 【详解】可化为. 所以两条平行直线间的距离为. 2. 已知直线和垂直，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由两直线的位置关系求解即可. 【详解】因为， 所以，解得. 3. 若点（1，1）在圆的外部，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用点和圆的位置关系列出不等式即可求解. 【详解】由题意可知，解得或a＞3， 则实数a的取值范围是， 故选：C. 4. 在中，，记的面积为，若，判断 的形状为（ ） A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】由，利用向量的数量积和三角形的面积公式，得到，求得，再由余弦定理，结合，列出方程求得，得到，即可得到答案. 【详解】由，可得， 即，可得， 因为，可得， 又由余弦定理，可得， 因为，可得，所以， 整理得，即，所以，所以， 所以为等边三角形. 故选：B. 5. 若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为，可得圆的半径为，写出圆的标准方程，利用点在圆上，求得实数的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离. 【详解】由于圆上的点在第一象限，若圆心不在第一象限， 则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限， 设圆心的坐标为，则圆的半径为， 圆的标准方程为. 由题意可得， 可得，解得或， 所以圆心的坐标为或， 圆心到直线的距离均为； 圆心到直线的距离均为 圆心到直线的距离均为； 所以，圆心到直线的距离为. 故选：B. 【点睛】本题考查圆心到直线距离的计算，求出圆的方程是解题的关键，考查计算能力，属于中等题. 6. 已知正方体的棱长为4，的中点为，过，，的平面把正方体分成两部分，则较小部分的体积为（ ） A. B. 18 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设是的中点，求三棱台的体积即得解. 【详解】解：如图，截面是等腰梯形，是的中点，较小部分是三棱台. 上底面面积，下底面面积， 所以. 故选：C 7. 如图，在矩形中，均为边长2的等边三角形，为六边形边上的动点（含端点），则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定的几何图形，求出在方向上投影的数量，再利用数量积的定义求出范围. 【详解】令在方向上投影的数量为， 当点在线段上时，；当点在线段上（不含点）时，； 当点在线段上（不含点）时，， 则当点在折线上时，， 同理当点在折线上时，， 因此点为六边形边上运动时，， 于是， 所以的取值范围为. 故选：B 8. 在平面直角坐标系中，已知点、在圆上，且，点，，设的中点的横坐标为，则的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的运算及数量积的坐标表示，结合垂径定理求解即可. 【详解】设中点. 因为，，， 所以， 即，所以①. 圆的半径为，，为的中点， 所以，即②. 将①代入②中，整理得，即，解得或. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某研究小组依次记录下10天的观测值：26，28，22，24，22，78，32，26，20，22，则（ ） A. 众数是22 B. 80百分位数是28 C. 平均数是30 D. 前4个数据的方差比最后4个数据的方差小 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，根据众数的概念进行求解；B选项，把数据从小到大排列，按照百分位数的定义进行求解；C选项，利用平均数的定义进行求解；D选项，分别计算出前4个数据和最后4个数据的方差，比较后得到结果. 【详解】A选项，22出现了3次，出现次数最多，故众数为22，A正确； B选项，将数据从小到大进行排列，20，22，22，22，24，26，26，28，32，78， ，故选取第8个和第9个数的平均数作为80百分位数， 即，B错误； C选项，，故平均数为30，C正确； D选项，前4个数据的平均数为， 故前4个数据的方差为， 最后4个数据的平均数为， 故最后4个数据的方差为， ，故前4个数据的方差比最后4个数据的方差小. 故选：ACD 10. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A、B的距离之比为定值（且）的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，．点P满足，设点P所构成的曲线为C，下列结论正确的是（ ） A. 曲线C的方程为 B. 在曲线C上存在点D，使得D到点的距离为10 C. 过点A且被曲线C截得的弦长为的直线有两条 D. 曲线C上的点到直线的最大距离为9 【答案】AD 【解析】 【分析】通过设点坐标、由距离之比列方程化简得到圆的方程可判断A；计算定点到圆心的距离与半径之和，判断圆上点到该定点的最大距离是否达到10即可判断B；由弦长求出圆心到直线的距离，代入点到直线距离公式判断关于斜率的方程是否有解可以判断C；求出圆心到直线的距离，加上半径即为圆上点到直线的最大距离即可判断D． 【详解】对于A，由题意可设点，由，，，得， 化简得，即，故A正确； 对于B，点到圆上的点的最大距离， 故不存在点D符合题意，故B错误； 对于C，当直线斜率存在时，设过的直线为，即， 圆心到直线的距离为 弦长为，圆半径，则 所以 即，无实数解，故不存在这样的直线； 当斜率不存在时，斜率不存在的直线被曲线C截得的弦长为， 故不存在满足条件的直线，所以C错误； 对于D ，C的圆心到直线的距离为， 且曲线C的半径为4，则C上的点到直线的最大距离， 故D正确． 11. 已知，若过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点P（P与A，B不重合），则以下说法正确的是（ ） A. A点的坐标为 B. C. 的最大值为5 D. 点P到原点O的距离的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项可通过分离参数求直线过的定点判断；B先求两直线定点及垂直关系，再用勾股定理求平方和即可判断；C利用参数方程表示和，结合辅助角公式求最大值；D由确定的轨迹为圆，再用圆心到原点的距离减去半径求最小值. 【详解】对于A：由得，故直线恒过定点，故A选项正确； 对于B：由得，故直线恒过定点, 由和, 满足，所以， 所以，则,所以B正确； 对于C：因为, 且，设为锐角, 则, ， 所以, 其中， 所以当时, 取最大值, 故选项C错误； 对于D：由,取中点，所以,所以在以为直径的圆上，圆心为中点，半径， 原点到圆心的距离，故 ，所以D正确. 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知复数满足，则________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出复数，再由模公式求解即可. 【详解】因为， 所以， 所以. 13. 甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字、、、，乙的卡片上分别标有数字、、、.两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所得卡片上数字的大小，数字大的人得分，数字小的人得分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分恰为分的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】先算甲乙张卡片全配对的总等可能情况数为，再枚举甲仅赢次的所有有效配对情况数，最终用情况数除以总情况数得概率. 【详解】总样本数为乙的卡片的排法种数种. 甲：，乙： 甲的卡片1：小于乙所有卡片、、、，不可能获胜； 甲的卡片3：仅能战胜乙的卡片，小于乙的、、； 甲的另一张卡片：和上述完全一致，仅能战胜乙的； 甲的卡片：能战胜乙的、、，仅小于乙的. 记甲的两个标号为数字的卡片分别记为、，乙的两个标号为数字的卡片分别记为、， 因此甲得1分的情况仅分为两类： 情况1：甲唯一的胜场来自某一张，符合条件的情况如下表： 甲 乙 此时共有种情况； 情况2：甲唯一的胜场来自卡片，符合条件的情况如下表： 甲 乙 此时共有种情况. 符合条件的总事件数， 因此所求概率：. 14. 若直线与曲线有两个交点，则实数k的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出直线所过定点，再将曲线转化为，可知其为半圆，结合图像，即可求出的取值范围. 【详解】由题意得，直线的方程可化为，所以直线恒过定点， 又曲线可化为，其表示以为圆心，半径为2的圆的右半部分，如图. 当与该曲线相切时，点到直线的距离，解得或， 由题意可知点，则， 由图可得，若要使直线与曲线有两个交点，须得，即. 四、解答题：本题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，，． （1）求的值； （2）若，，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）对等式进行平方运算，根据平面向量的模和数量积的坐标表示公式，结合两角差的余弦公式直接求解即可； （2）由（1）可以结合同角的三角函数关系式求出的值，再由同角三角函数关系式结合的值求出的值，最后利用两角和的正弦公式求出的值即可. 【小问1详解】 ， ； 【小问2详解】 因为， 所以，而，故 所以， 因为，， 所以. 因此有 . 16. 某调研机构为了了解人们对“奥运会”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“奥运会”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，按年龄分成5组，其中第一组，第二组，第三组，第四组第五组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求a的值，并根据频率分布直方图，估计这n人的平均年龄； （2）现从以上各组中用分层抽样的方法选取20人，担任本市的“奥运会”宣传使者．若甲（年龄36岁），乙（年龄42岁）两人已确定入选，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率． 【答案】（1），平均年龄为 （2） 【解析】 【分析】（1）在频率分布直方图中，根据各个小长方形面积总和为1列式进行计算a的值； （2）先根据分层抽样确定第四组和第五组抽到的使者人数，根据古典概型计算公式进行计算概率即可． 【小问1详解】 由，解得； 则平均年龄为 ； 【小问2详解】 根据频率分布直方图可知 第四组的频率为，抽到的人数为； 第五组的频率为，抽到的人数为； 由甲年龄36岁可知，甲在第四组；乙年龄42岁可知，乙在第五组； 随机抽取2名作为组长： 选甲未选乙的概率为； 选乙未选甲的概率为； 甲乙都选的概率为； 综上，甲、乙两人至少有一人被选上的概率为． 17. 已知函数，其中，． （1）若，求函数的单调递增区间和最小值； （2）在中，分别是角的对边，且，求的值． 【答案】（1）， （2）2 【解析】 【分析】（1）根据数量积的坐标表示、二倍角公式、辅助角公式，结合正弦型函数的性质求解即可. （2）利用正弦型函数的性质求出，根据正弦定理及两角和差的正余弦公式求解即可. 【小问1详解】 ， 由，解得， 因为，所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为， ，， 故的最小值为. 故当时，函数的单调递增区间为，最小值为. 【小问2详解】 ，即，化简可得， 因为，所以，所以，即，也即. 所以． 18. 如图，在矩形中，，，为线段上的点，且，将沿折起，点翻折至位置，连接，，形成四棱锥． （1）若点在线段上，且，求证：平面； （2）若二面角的平面角大小为60°，求到平面的距离； （3）求直线与平面所成角的正切值取值范围． 【答案】（1）证明：在线段上取点，使得，连接，. 在中，因为，，所以，． 在中，，，，则，． 即且． 所以且，所以四边形为平行四边形，此时， 又平面，平面，故平面． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理，结合平行线的性质、平行四边形的性质证明即可. （2）根据二面角的定义、线面垂直的判定定理及线面垂直的性质求解即可. （3）根据面面垂直的判定定理及线面角的定义判断点的位置，结合切线的性质及三角函数求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，交于，过点作交于点. 在中，，，则，所以. 在中，，所以，即，则. 所以翻折后，， 所以为二面角的平面角，则. 又，平面，平面，所以平面． 因为平面，所以， 又，，平面，平面， 所以平面， 又，， 故点到平面的距离. 【小问3详解】 由（2）知，，故B、P、D三点共线， 易得平面，又平面，所以平面平面， 则即直线与平面所成角. 由题可知，在以为圆心，为半径的圆（平面）上， 则当直线与圆相切时，取得最大值，此时， 则， 故直线与平面所成角的正切值取值范围为． 19. 已知直线：与圆：． （1）求证：直线过定点，并求出此定点坐标； （2）若直线与圆相切，求直线的方程； （3）设为坐标原点，若直线与圆交于，两点，且直线，的斜率分别为，，试问是否为定值？若是，求出该定值：若不是，请说明理由． 【答案】（1）证明：由直线：， 得， 联立，解得， 所以直线恒过定点； （2）或 （3）为定值， 【解析】 【分析】（1）直接由直线系方程求解直线恒过定点的坐标； （2）设直线方程，利用几何法直接求出直线与圆相切时直线方程； （3）设直线方程，联立方程组，化为关于的一元二次方程，利用斜率公式及根与系数关系即可证明为定值. 【小问1详解】 证明略；，定点为； 【小问2详解】 由圆：，得圆心，半径， 又由（1）得直线恒过定点， 当直线斜率不存在时，方程为，直线与圆相切成立， 当直线斜率存在时，设直线的方程为， 圆心到直线的距离 由直线与圆相切可得，即， 解得，直线方程为，即， 综上所述：直线的方程为或； 【小问3详解】 由（2）可得直线斜率一定存在，设直线的方程为，，， 联立方程，即， ，即， ，， 又，， ， 所以为定值，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南京一中2026-2027学年度第一学期9月阶段性检测试卷 高二数学 2026.9 注意事项： 1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分． 3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上． 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 两条平行直线与之间的距离是（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线和垂直，则实数（ ） A. B. C. D. 3. 若点（1，1）在圆的外部，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 在中，，记的面积为，若，判断 的形状为（ ） A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 5. 若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 已知正方体的棱长为4，的中点为，过，，的平面把正方体分成两部分，则较小部分的体积为（ ） A. B. 18 C. D. 7. 如图，在矩形中，均为边长2的等边三角形，为六边形边上的动点（含端点），则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，已知点、在圆上，且，点，，设的中点的横坐标为，则的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某研究小组依次记录下10天的观测值：26，28，22，24，22，78，32，26，20，22，则（ ） A. 众数是22 B. 80百分位数是28 C. 平均数是30 D. 前4个数据的方差比最后4个数据的方差小 10. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A、B的距离之比为定值（且）的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，．点P满足，设点P所构成的曲线为C，下列结论正确的是（ ） A. 曲线C的方程为 B. 在曲线C上存在点D，使得D到点的距离为10 C. 过点A且被曲线C截得的弦长为的直线有两条 D. 曲线C上的点到直线的最大距离为9 11. 已知，若过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点P（P与A，B不重合），则以下说法正确的是（ ） A. A点的坐标为 B. C. 的最大值为5 D. 点P到原点O的距离的最小值为 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知复数满足，则________． 13. 甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字、、、，乙的卡片上分别标有数字、、、.两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所得卡片上数字的大小，数字大的人得分，数字小的人得分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分恰为分的概率为________． 14. 若直线与曲线有两个交点，则实数k的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，，． （1）求的值； （2）若，，求的值． 16. 某调研机构为了了解人们对“奥运会”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“奥运会”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，按年龄分成5组，其中第一组，第二组，第三组，第四组第五组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求a的值，并根据频率分布直方图，估计这n人的平均年龄； （2）现从以上各组中用分层抽样的方法选取20人，担任本市的“奥运会”宣传使者．若甲（年龄36岁），乙（年龄42岁）两人已确定入选，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率． 17. 已知函数，其中，． （1）若，求函数的单调递增区间和最小值； （2）在中，分别是角的对边，且，求的值． 18. 如图，在矩形中，，，为线段上的点，且，将沿折起，点翻折至位置，连接，，形成四棱锥． （1）若点在线段上，且，求证：平面； （2）若二面角的平面角大小为60°，求到平面的距离； （3）求直线与平面所成角的正切值取值范围． 19. 已知直线：与圆：． （1）求证：直线过定点，并求出此定点坐标； （2）若直线与圆相切，求直线的方程； （3）设为坐标原点，若直线与圆交于，两点，且直线，的斜率分别为，，试问是否为定值？若是，求出该定值：若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $