精品解析：江苏省新海高级中学2026-2027学年高三年级九月学情调研测试数学试题

新海高级中学高三年级九月学情调研测试数学试题 试题满分（150分） 考试时间（120分钟） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，，则. 2. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】应用复数的除法化简，并确定其对应点所在的象限，即可得. 【详解】由，对应点为在第四象限. 故选：D 3. 已知向量满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由，得， 所以，即； 由，得， 所以，即. 两式相减，得， 所以 . 4. 已知无穷等比数列的公比为，则“且”是“数列为递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】首先写出数列的通项公式，然后根据指数函数的单调性确定充分性，再根据通项公式及单调性确定必要性不成立. 【详解】由题意可得， 且，则，且单调递增， 则数列为递增数列，充分性成立； 若数列为递增数列，， 则或，必要性不成立； “且”是“数列为递增数列”的充分不必要条件. 5. 已知，则（ ） A. 25 B. 5 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数式与对数式的互化，幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出． 【详解】因为，，即，所以． 故选：C. 6. 下列两个函数和，的图象不可以由的图象经过平移得到的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【详解】A. 因为，所以的图象可以由的图象向上平移个单位得到，A不适合题意； B.因为，所以的图象可以由的图象向左平移2个单位得到，B不适合题意； C.因为，所以先关于轴对称得到，再向右平移1个单位得到的图象，C适合题意； D.因为，所以的图象可以由的一下向左平移个单位得到，D不适合题意. 7. 已知函数，实数满足.若对任意的，总有不等式成立，则的最大值为（ ） A. B. C. 4 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】由分段函数的定义域对进行分类讨论可得的范围，即可得的最大值. 【详解】当时，有， 由随增大而增大，且，故， 当时，有，即， 即， 整理得，即， 故，又，故， 综上所述，， 则，当且仅当、时等号成立， 故的最大值为. 故选：D. 8. 已知对于，都有，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，可转化为，设，则，结合函数单调性可知，分离参数，构造新函数，根据导数判断单调性可得最值，即可得解. 【详解】由已知，， 即，即， 设，函数，即恒成立， 又函数在上单调递增，且， 即， 即，， 设，， 则， 令，解得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以当时，取最小值为， 即， 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分． 9. 已知，则a，b满足（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由对数与指数的互换公式可得，由作差法结合对数的换底公式可判断选项A，由对数运算可判断B；由均值不等式结合由选项B推出的结论可判断选项C,D. 【详解】由，则，则， 所以，所以A正确； ，所以B不正确； 由，因为，故等号不成立，则，故C正确； 因为，故等号不成立，故D正确. 故选：ACD. 10. 如图，在直三棱柱中，为的中点，则（ ） A. B. 三棱锥的体积为 C. 直线与所成角的余弦值为 D. 三棱柱的外接球的表面积为 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A：利用勾股定理即可判断；对于B：利用等体积法求解即可；对于C：根据， 得出ME与AC所成的角为，解三角形即可；对于D：根据三棱锥的外接球即为直三棱柱的外接球，结合球面积公式求解． 【详解】在直三棱柱中，有，，， 因为，为的中点， 所以，， 又，所以，， 则，从而与不垂直，故A错误； 如图，设，分别为，的中点，连接，，，， 因为，，，，与交于点， 所以平面， 则，故B正确； 因为、为、的中点，四边形为矩形， 所以，则与所成的角为， 由，， 得，故C正确； 由直三棱柱，，， 则三棱柱的外接球球心为中点，直径为， 故三棱锥的外接球即为直三棱柱的外接球， 该外接球的直径为， 则三棱锥的外接球的表面积为，故D错误． 故选：BC． 11. 已知函数及其导函数的定义域均为，记．若奇函数，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由奇函数可得为偶函数，再结合已知得出的解析式，再分别判断A,C,D选项，再结合解析式应用基本不等式计算判断B. 【详解】因为奇函数关于对称，所以，所以，所以为偶函数， 因为，则, 又因为奇函数，所以为偶函数，所以， 所以，A选项错误； 因为，当且仅当时等号成立，所以，所以，B选项正确； 因为，又因为，所以，所以 所以，C选项正确； 因为，所以，D选项正确. 故选：BCD. 二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知椭圆两个焦点的坐标分别是，，并且经过点，则它的标准方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件设出椭圆的标准方程，再代点求系数即可，结合椭圆的定义求出，进而可求出，从而可得到椭圆的标准方程. 【详解】因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为， 由椭圆的定义知， 所以． 又因为， 所以， 所以椭圆的标准方程为. 故答案为：. 13. 设为实数，函数，若有且只有一个零点，则的取值集合为__________． 【答案】 【解析】 【详解】因为函数有且只有一个零点，即关于的方程有且只有一个实数根. 当时，方程的解为，符合题意； 当时，，解得或； 综上所述， 的取值集合为. 14. 设，为实数，函数和．设，，若存在，，使得，则称和“零点贴近”．当时，函数与“零点贴近”，则的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先结合函数的单调性求出的值，再结合“零点贴近”的概念确定的取值范围，利用二次函数的零点分布求的取值范围. 【详解】因为，在上都是增函数， 所以在上单调递增， 当时，，所以. 根据“零点贴近”的概念，. 即函数在内至少有1个零点. 又因为方程有1正1负两个根， 所以函数在内有唯一零点. 因为，所以. 所以所求的取值范围为. 四、解答题：本题共3小题，共45分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知二次函数是R上的偶函数，且. （1）设，根据函数单调性的定义证明在区间上单调递增； （2）当时，解关于x的不等式. 【答案】（1）证明见解析；（2）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）先用待定系数法求出，进而求出，再用定义法证明即可. （2）先化简不等式，然后对参数进行讨论. 【详解】（1）设 由题意得，，解得. . ， 设且， 则. 由，得.于是，即， 所以函数在区间上单调递增. （2）原不等式可化为.因为，故. ①当，即时，得或. ②当，即时，得到，所以； ③当，即时，得或. 综上所述， 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【点睛】本题考查了函数的单调性的证明，解含参不等式，分类讨论是常用的方法，需要熟练掌握. 16. 已知双曲线，过点作直线． （1）是否存在直线，使得直线与双曲线相交于，两点，且为线段的中点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由； （2）若直线的斜率存在，且与双曲线左、右两支都相交，求直线斜率的取值范围． 【答案】（1）所求直线不存在，理由如下： 如图： 因为直线与双曲线交于，两点，所以直线必有斜率. 设直线：，即. 代入双曲线方程得， 整理得：. 因为方程有2个解，所以. 设，，则. 若为线段的中点，则. 但不满足， 故所求直线不存在. （2） 【解析】 【分析】（1）设出直线方程，与双曲线方程联立，根据方程组有两解，确定的取值范围，再根据求出的值，结合的取值范围进行判断即可. （2）结合（1）中的结论，利用即可求的取值范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 直线与双曲线左右两支都相交， 则方程有1正1负两根. 所以. 即直线斜率的取值范围为. 17. 某公司在联欢活动中设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有3个红球和4个白球，这些球除颜色外完全相同．游戏参与者可以选择有放回或者不放回的方式从中依次随机摸出3个球，规定至少摸到两个红球为中奖．现有一位员工参加此摸奖游戏． （1）如果该员工选择有放回的方式（即每摸出一球记录后将球放回袋中再摸下一个）摸球，求他能中奖的概率； （2）如果该员工选择不放回的方式摸球，设在他摸出的3个球中红球的个数为，求的分布列； （3）该员工选择哪种方式摸球中奖的可能性更大？请说明理由． 【答案】（1） （2）分布列见解析 （3）在有放回的摸球方式下，该员工中奖可能性更大，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由独立重复试验概率公式求解 （2）由超几何分布概率公式求解 （3）分别计算两种情况下中奖概率后比较大小 【小问1详解】 在有放回方式下，记“他能中奖”为事件，则． 【小问2详解】 由题意，随机变量的可能值为0，1，2，3； ，， ，； 所以的分布列为 0 1 2 3 【小问3详解】由（2），在不放回方式下，该员工能中奖的概率为 ； 由，所以，在有放回的摸球方式下，该员工中奖可能性更大． 18. 如图，四边形为梯形，，，侧面为等边三角形，平面平面，，点在边上，且. （1）证明：平面； （2）当二面角的平面角的正切值为时，求四棱锥的体积. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】(1) 连接交于，再连接,由三角形相似得比例相等可得由线面平行的判定定理求证即可； （2）设AB=a，利用空间向量法计算二面角的大小，解出，再由四棱锥体积公式求解即可. 【小问1详解】 连接交于，再连接, 由知，又， 所以，所以 又平面，平面, 所以平面. 【小问2详解】 作PO⊥AB于O， 平面ABP⊥平面ABCD，是交线，PO⊥平面ABCD, 以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图， 设AB=a，则，,,, ，，， 设平面BCM的法间量,平面BDM的法向量 则, 即，令x= 1,得 即，令x=1，得， 设二面角的平面角为，则 所以，解得， . 19. 设，若对任意的，且，函数与满足关系，则称函数是函数在区间上的级控制函数． （1）判断函数是否是函数在区间上的1级控制函数，并说明理由； （2）若函数是函数在区间上的级控制函数，求实数的最大值； （3）若函数是函数在区间上的2026级控制函数，且函数在区间上存在两个零点，求两零点之积的取值范围． 【答案】（1）不是，理由见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）直接取区间端点 ，计算，，不满足要求，故不是1级控制函数； （2）由定义化为​，得递增，即，分离得，从而得到最小值； （3）由控制函数定义及 得，利用在单调递增，得 ，应用换元法求得范围． 【详解】（1）由于， 故． 所以函数不是函数在区间上的1级控制函数． （2）由函数是函数在区间上的m级控制函数， 得， ， 从而， 即在上恒成立. 令，则在上恒成立， 即在上为增函数， 故在上恒成立. 即， 在恒成立，即． 记，则， 故在上单调递减，在上单调递增， 从而，故实数m的最大值为e． （3）因为函数在区间上存在两个零点， 不妨设，且， 因为函数是在区间上的2026级控制函数， 所以，即， 所以， 即． 又函数在上单调递增，故有， 从而，即． 令， 则． 令，则， 从而， 即的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新海高级中学高三年级九月学情调研测试数学试题 试题满分（150分） 考试时间（120分钟） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知向量满足，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知无穷等比数列的公比为，则“且”是“数列为递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知，则（ ） A. 25 B. 5 C. D. 6. 下列两个函数和，的图象不可以由的图象经过平移得到的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 已知函数，实数满足.若对任意的，总有不等式成立，则的最大值为（ ） A. B. C. 4 D. 6 8. 已知对于，都有，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分． 9. 已知，则a，b满足（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在直三棱柱中，为的中点，则（ ） A. B. 三棱锥的体积为 C. 直线与所成角的余弦值为 D. 三棱柱的外接球的表面积为 11. 已知函数及其导函数的定义域均为，记．若奇函数，且，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知椭圆两个焦点的坐标分别是，，并且经过点，则它的标准方程为______． 13. 设为实数，函数，若有且只有一个零点，则的取值集合为__________． 14. 设，为实数，函数和．设，，若存在，，使得，则称和“零点贴近”．当时，函数与“零点贴近”，则的取值范围为__________． 四、解答题：本题共3小题，共45分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知二次函数是R上的偶函数，且. （1）设，根据函数单调性的定义证明在区间上单调递增； （2）当时，解关于x的不等式. 16. 已知双曲线，过点作直线． （1）是否存在直线，使得直线与双曲线相交于，两点，且为线段的中点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由； （2）若直线的斜率存在，且与双曲线左、右两支都相交，求直线斜率的取值范围． 17. 某公司在联欢活动中设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有3个红球和4个白球，这些球除颜色外完全相同．游戏参与者可以选择有放回或者不放回的方式从中依次随机摸出3个球，规定至少摸到两个红球为中奖．现有一位员工参加此摸奖游戏． （1）如果该员工选择有放回的方式（即每摸出一球记录后将球放回袋中再摸下一个）摸球，求他能中奖的概率； （2）如果该员工选择不放回的方式摸球，设在他摸出的3个球中红球的个数为，求的分布列； （3）该员工选择哪种方式摸球中奖的可能性更大？请说明理由． 18. 如图，四边形为梯形，，，侧面为等边三角形，平面平面，，点在边上，且. （1）证明：平面； （2）当二面角的平面角的正切值为时，求四棱锥的体积. 19. 设，若对任意的，且，函数与满足关系，则称函数是函数在区间上的级控制函数． （1）判断函数是否是函数在区间上的1级控制函数，并说明理由； （2）若函数是函数在区间上的级控制函数，求实数的最大值； （3）若函数是函数在区间上的2026级控制函数，且函数在区间上存在两个零点，求两零点之积的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $