江苏省东海高级中学2026-2027学年高三上学期第一次月考数学试卷

高三年级第一学期第一次月考数学试卷 一、单选（每题5分，共40分） 1．复数（为虚数单位）在复平面内对应点的坐标是 A． B． C． D． 2．已知命题：，，则是 A．， B．， C．， D．， 3．把标号为1，2，3，4的四个小球分别放入标号为1，2，3，4的四个盒子中，每个盒子只放一个小球，则1号球不放入1号盒子，且2号球不放入2号盒子的方法共有 A．14种 B．12种 C．9种 D．6种 4．将函数的图象向右平移个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到函数的图象，则函数的图象与函数的图象 A．关于直线对称 B．关于直线对称 C．关于点对称 D．关于点对称 5．已知公比不为1的等比数列满足，若，则 A．9 B．10 C．11 D．12 6．若的展开式中各项系数之和为，所有偶数项的二项式系数之和为，且，则展开式中含项的系数为 A．-540 B．-180 C．540 D．180 7．已知，且，则 A． B． C． D． 8．已知球与棱长为2的正方体的各面都相切，则平面截球所得的截面圆与球心所构成的圆锥的体积为 A． B． C． D． 二、多选（每题6分，少选得部分分，错选得0分，共18分） 9．已知双曲线：（，）的一个焦点在圆上，且，则双曲线的渐近线方程可能为 A． B． C． D． 10．已知定义在上的奇函数满足，且．若函数只有一个零点，则 A．函数的周期为4 B．函数的图象关于点对称 C． D． 11．已知正方体的棱长为1，是棱上的动点，点是正方体的表面上的动点，且平面，动点的轨迹所围成的区域的面积为，则 A．若点为的中点，则 B．若点与点重合，则 C．有最大值，无最小值 D．若，则在底面上的投影的面积为 三、填空（每题5分，共15分） 12．已知是抛物线上的一动点，则点到直线：和：的距离之和的最小值是_____． 13．设函数，若，，不等式恒成立，则实数的取值范围是_____． 14．已知点是的边上的点，且，过作直线交直线，于点，，若，，其中，，则的最小值是_____． 四、解答 15．（13分）为加快新能源汽车产业发展，推进节能减排，某年国家对消费者购买新能源汽车给予补贴，其中对纯电动乘用车补贴标准如下表： 车辆类型 续驶里程 纯电动乘用车 3.5万元/辆 5万元/辆 6万元/辆 某校研究学习小组从汽车市场上随机选取了辆纯电动乘用车，根据其续驶里程（单次充电后能行驶的最大里程）作出了如下的频率与频数的统计表： 分组 频数 频率 2 0.2 5 z 合计 1 现从这辆纯电动乘用车中任选2辆，回答下面的问题： （1）设表示选到的2辆车续驶里程不低于的个数，求的分布列及数学期望； （2）若以频率作为概率，设表示从汽车市场上随机选到的2辆车获得的补贴的总数，求． 16．（15分）在中，角，，所对的边分别是，，，且． （1）求； （2）当时，试判断的形状． 17．（15分）已知四棱锥的底面为菱形，平面，，是的中点，点在棱上． （1）证明：； （2）若，，且直线与底面所成的角为45°，求二面角的余弦值． 18．（17分）已知椭圆：（）的离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）设直线过点且与椭圆交于，两点，过点作直线的垂线，垂足为．证明：直线过定点； （3）在（2）的条件下，记直线交直线于点，证明：轴． 19．（17分）设函数． （1）求函数的单调区间； （2）若，不等式恒成立，求正数的取值范围； （3）证明：（，）． 学科网（北京）股份有限公司 $