精品解析：江苏省扬州大学附属中学2026-2027学年高三上学期诊断练习02数学试题

20260928　高三数学诊断练习02 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知点在角的终边上，将的终边绕原点逆时针旋转得到角的终边，则＝（ ） A. － B. － C. D. 5. 已知函数在其定义域内为偶函数，且，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，那么在下列区间中含有函数零点的是（ ） A. B. C. D. 7. 在梯形ABCD中，，与交于点O，记，，则（ ） A. B. C. D. 8. 函数在上单调递增，且对任意的实数，在上不单调，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设，，表示空间中三个不同的平面，下列结论正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. ，，可能交于一点 10. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则（ ） A. 若，则为等腰三角形 B. 若，则为锐角三角形 C. 在锐角三角形中，不等式恒成立 D. 若，，且该三角形有两解，则b的范围是 11. 已知函数的极大值为4，则下列结论正确的有（ ） A. B. 函数有3个零点 C. 的对称中心为 D. 过点有且仅有1条直线与函数的图象相切 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，且，，则的值为_________． 13. 已知函数是定义在上的奇函数，，当时，，则的值为__________． 14. 已知，，且，则的最大值为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某科技公司统计了过去10年每年的研发投入x（单位：亿元）和营业额y（单位：亿元）的数据，如下表： x/亿元 12.1 12.5 11.3 12.4 13.1 11.5 11.0 11.3 12.6 12.2 y/亿元 650 680 620 660 695 640 600 630 665 660 （1）估计该公司平均每年的研发投入和平均每年的营业额； （2）已知y与x的关系可以用线性回归模型进行拟合，若该公司今年投入13.5亿元用于研发，利用该模型预测该公司今年的营业额． 16. 记的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）若，，求的值； （2）若的面积为，为的中点，且，求的长． 17. 已知函数，在时最大值为2，最小值为1．设． （1）求实数，的值； （2）若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围； （3）若关于的方程有四个不同的实数解，求实数的取值范围． 18. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，． （1）求证：平面； （2）设点是的重心（为的三条中线的交点）． （i）求二面角的余弦值； （ii）设平面，求． 19. 设函数，，． （1）当时，求函数在点处的切线方程； （2）当时，设，，且轴，求、两点间的最短距离； （3）若时，函数的图象恒在的图象上方，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 20260928　高三数学诊断练习02 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意得，， 故. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法运算化简，求得，再根据复数乘法运算计算即可求解. 【详解】，则， 故，所以. 故选：B 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】取判断充分性不成立，再结合不等式性质判断必要性成立即可. 【详解】取，此时满足，但不满足； 反之，若，则，又，故， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 4. 已知点在角的终边上，将的终边绕原点逆时针旋转得到角的终边，则＝（ ） A. － B. － C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数的定义求出，再根据诱导公式可求出结果. 【详解】依题意得，又，所以. 5. 已知函数在其定义域内为偶函数，且，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用偶函数性质求得参数b，再结合求得a，从而得到函数的解析式，分析的单调性，再结合函数是偶函数，求解不等式，即可得到m的取值范围. 【详解】函数的定义域为R， 因为函数在其定义域内为偶函数， 所以，， 即 ， ， 所以，所以，， 所以. 又，所以，解得. 所以.  当时，单调递增，且， 所以单调递减，且， 故在上单调递增； 所以由， 所以，即， ， 解得， 即实数的取值范围为. 6. 已知函数，那么在下列区间中含有函数零点的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据零点存在性定理，计算区间端点的函数值的正负判断零点区间即可. 【详解】因为，在上均连续且单调递减， 所以在上连续且单调递减， 对于A，， 因为在上单调递增，所以，函数在上无零点，故A说法错误； 对于B，因为在上单调递减，所以， 所以，函数在上存在零点，故B说法正确； 对于CD，因为在上连续且单调递减，所以至多存在个零点，故CD说法错误； 故选：B 7. 在梯形ABCD中，，与交于点O，记，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用梯形相似比，可得，再用向量的减法运算，可得，再化简代换即可得解. 【详解】 由梯形ABCD中，，可得， 即，则， 因为，，所以， 故选：B. 8. 函数在上单调递增，且对任意的实数，在上不单调，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得，由题意利用正弦函数的单调性可得，所以，利用正弦函数的周期性可求的周期，解得，即可得解． 【详解】因为 ， 又因为，且，则， 若在上单调递增， 所以，所以， 因为对任意的实数，在上不单调， 所以的周期，所以， 所以． 故选：D． 【点睛】关键点点睛：本题考查正弦函数单调性求参数，关键是整体思想的应用及对任意实数，在上不单调与周期间的关系. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设，，表示空间中三个不同的平面，下列结论正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. ，，可能交于一点 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用平面平行、垂直的位置关系判定各命题真假，借助空间模型举出反例判断错误选项. 【详解】对于A，由平面平行的传递性，若，，则，A正确. 对于B，若 ， ，平面与可以平行，也可以相交，不一定垂直，B错误. 对于C，设平面内存在直线 ，由得 ，又，故 ，C正确. 对于D，三个不同平面可以交于同一点，如空间直角坐标系中三个坐标平面交于原点，D正确. 10. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则（ ） A. 若，则为等腰三角形 B. 若，则为锐角三角形 C. 在锐角三角形中，不等式恒成立 D. 若，，且该三角形有两解，则b的范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，根据正弦定理边化角即可判断；对于B，余弦定理可得，则角为锐角, 不能得到为锐角三角形；对于C，应用正弦单调性判断；对于D：由题意得到即可求解． 【详解】对于A，因为， 所以由正弦定理得， 又A，B 为的内角，，则，即，故A正确； 对于B，由余弦定理可得，则角为锐角，不能得到为锐角三角形，故B错误； 对于C，因为是锐角三角形，所以，所以， 又，所以， 又因为在单调递增，所以，C正确； 对于D，因为，，且该三角形有两解， 所以，即，故D正确． 故选：ACD 11. 已知函数的极大值为4，则下列结论正确的有（ ） A. B. 函数有3个零点 C. 的对称中心为 D. 过点有且仅有1条直线与函数的图象相切 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，求导，分，，三种情况求函数的极大值点，根据极大值为4求出的值；对于B，根据零点定义，令求解判断零点的个数即可；对于C，根据函数的对称性判断；对于D，设切点，列切线方程，代入切线上的点求出切点的个数. 【详解】对于A，因为，所以， 当时，， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以为极大值点，而，不合题意； 当时，，在上单调递增，没有极值，不合题意； 当时，， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以为极大值点，所以，解得，故A正确； 对于B，由A选项可知， 令，则或，所以有且仅有2个零点，故B错误； 对于C，， 所以的图象关于点中心对称，故C正确； 对于D，，所以， 设切点为，则切线方程为， 又点在切线上，所以， 解得或，所以过点有且仅有2条直线与函数的图象相切，故D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，且，，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【详解】因、， 则，即， 整理得 又因，则. 故，解得.​ 13. 已知函数是定义在上的奇函数，，当时，，则的值为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】首先根据题目条件得出函数周期，再通过给出的函数解析式求出部分函数值，结合函数的周期性和函数值求解的值. 【详解】因为为奇函数，所以， 又因为， 所以，， 所以可知为一个最小正周期为4的周期函数， 所以， ， ， 因为，所以，所以， 所以. 14. 已知，，且，则的最大值为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】先利用和差公式、二倍角公式和同角三角函数的基本关系化简得到，再利用基本不等式求最值即可. 【详解】由，得， 因为，，所以， 则， 则， 由二倍角公式及基本关系可得 ， 因为，，所以， 由基本不等式可得， 当且仅当，即时，等号成立， 从而， 所以的最大值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某科技公司统计了过去10年每年的研发投入x（单位：亿元）和营业额y（单位：亿元）的数据，如下表： x/亿元 12.1 12.5 11.3 12.4 13.1 11.5 11.0 11.3 12.6 12.2 y/亿元 650 680 620 660 695 640 600 630 665 660 （1）估计该公司平均每年的研发投入和平均每年的营业额； （2）已知y与x的关系可以用线性回归模型进行拟合，若该公司今年投入13.5亿元用于研发，利用该模型预测该公司今年的营业额． 【答案】（1） 平均每年研发投入为12亿元，平均每年营业额为650亿元； （2） 预测该公司今年的营业额为710亿元。 【解析】 【分析】（1）利用平均数的计算公式即可求得； （2）样本中心点代入方程求解，再代入亿元计算即可. 【小问1详解】 该公司平均每年的研发投入为： （亿元）； 平均每年的营业额为：（亿元） 【小问2详解】 将样本中心点代入，可得，解得， 故线性回归方程为 当亿元时，可得（亿元），即预测今年营业额为710亿元. 16. 记的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）若，，求的值； （2）若的面积为，为的中点，且，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理及已知得，求出角的大小并求出，再由余弦定理求； （2）根据（1）和已知得、，再由，利用向量数量积的运算律求边长. 【小问1详解】 已知， 结合余弦定理得，则， 因为为三角形边长，，所以， 因为，所以， 又因，，代入整理得， 解得，因为，所以， 根据余弦定理，； 【小问2详解】 由（1）知，由的面积，得， 又，代入，得， 因为的中点，则， 两边取平方，， 即， 所以的长为1. 17. 已知函数，在时最大值为2，最小值为1．设． （1）求实数，的值； （2）若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围； （3）若关于的方程有四个不同的实数解，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的性质及最值，即可求得， （2）利用换元法可得满足不等式，即可，再利用二次函数单调性求得实数的取值范围为. （3）根据题意由方程有四个不同的实数解，转化为方程有两个不相等的正实数根，，利用韦达定理即可求得的取值范围为. 【小问1详解】 由可知关于对称，又， 所以函数在上单调递增，可得，即， 解得，. 【小问2详解】 由（1）可知，则不等式， 可化为，所以， 即，令，又，可得， 即，显然函数，为对称轴， 所以在上单调递增， 由题意得，即可， 所以，所以的取值范围为. 【小问3详解】 ，所以， 即为，可化为： ，令，即 ，所以关于的方程 有四个不同的实数解等价于有两个不相等的 正实数根，，满足，， 解得， 所以实数的取值范围为. 【点睛】求解不等式恒（能）成立的问题时，一般先通过换元法将问题转化成求函数最值问题，即可求得参数的取值范围. 18. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，． （1）求证：平面； （2）设点是的重心（为的三条中线的交点）． （i）求二面角的余弦值； （ii）设平面，求． 【答案】（1）证明：因为平面，平面， 所以， 在中，，解得， 因为， 所以，即， 又平面， 所以平面． （2）（i）；（ii）6 【解析】 【分析】（1）由线面垂直的性质得出，由余弦定理及勾股定理逆定理得出，再由线面垂直的判定即可证明； （2）（i）建立空间直角坐标系，根据二面角的向量方法即可求解；（ii）利用向量法分别求出到平面的距离即可求解. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 （i）以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 由得，，取，则， 则， 平面的一个法向量为， 由图可知，二面角为锐角， 则， 所以二面角的余弦值为． （ii）因为， 所以点，又， 所以， 由（i）知平面的一个法向量为，， 则点到平面的距离为， 点到平面的距离为， 所以． 19. 设函数，，． （1）当时，求函数在点处的切线方程； （2）当时，设，，且轴，求、两点间的最短距离； （3）若时，函数的图象恒在的图象上方，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）1 （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求切线方程即可； （2）由题设有且两点间的距离，将问题化为求 ()的最小值即可； （3）将问题化为对任意恒成立，并应用导数研究其最小值即可得. 【小问1详解】 当时 ， 所以，故切点为， 又 ，得切线斜率 ， 所以切线方程为，化简得； 【小问2详解】 当时，，， 由轴，可知两点的纵坐标相等，即， 所以，即， 因为，两点间的距离， 由于，， 令 ()，则，求导得， 令 ，则， 因为时 ，所以（仅在时等号成立），即在上单调递增， 因此，即在上单调递增， 所以的最小值为， 所以两点间最短距离为1； 【小问3详解】 已知时，恒成立， 且，， 所以 ，整理得对任意恒成立， 令 ()，则问题转化为对任意恒成立， 注意到，要使在时恒成立，则在右侧必须单调递增， 求导，且， 若要满足条件，必有，即， 当时， ， 令，求导得 ， 令，求导得， 所以在上单调递增，且， 因此 ，在上单调递增，且， 所以，从而， 综上，当时在上单调递增， 因此对任意恒成立， 所以实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $