重难点专训04 空间向量在立体几何中的综合应用六大考法（专项训练）（上海专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

**基本信息** 以“六步通法”为核心，整合建系模板与二面角判断技巧，系统覆盖位置关系、空间角等六大题型，分层训练提升空间向量解立体几何问题的综合能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题方法及技巧提炼|3大方法|六步通法（读图到回译）、几何体建系模板、二面角锐钝判断三招|从基础操作到易错突破，构建完整解题流程| |题型通法及变式提升|6题型（31题）|位置关系证法、空间角计算步骤等|从简单证明到复杂存在性/翻折/最值问题，难度递进| |重难专题分层过关练|13+8题|巩固基础方法，创新题提升综合应用|衔接高考高频考点，强化知识迁移与问题解决能力|

重难点专训04 空间向量在立体几何中的综合应用 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 2 题型1 位置关系的向量证明（线面平行 / 垂直） 2 题型2 空间角计算（线面角 / 二面角） 3 题型3 空间距离 4 题型4 存在性问题 / 动点问题（上海卷近年高频） 5 题型5 翻折问题（折前折后对照） 8 题型6 最值与范围问题 11 重难专题分层过关练 13 巩固过关 13 创新提升 17 解题方法及技巧提炼 一、六步通法 1. 读图定结构——识别几何体（棱柱/棱锥/组合体），标注已知垂直、长度关系 2. 找三线两两垂直——直接找；找不到就用勾股逆定理、线面垂直定义补证 3. 建系写坐标——原点取三线交点，逐点写出坐标（不跳步） 4. 求向量——方向向量、法向量（叉积法＋代回验证） 5. 套公式——按目标选公式：位置关系 / 角 / 距离 6. 回译作答——把向量结果翻译成几何语言，检验合理性 二、常见几何体建系模板 几何体 建系方式（原点 / 坐标轴） 长方体、正方体 以任一顶点为原点，三条棱所在直线为坐标轴 直三棱柱（含正三棱柱） 底面取直角顶点（或对称轴/垂心）为原点，底面两条垂线为 轴，侧棱为 轴 正棱锥 底面中心为原点，底面两条对称轴为 轴，中心与顶点连线为 轴 侧棱垂直底面的锥体 底面直角顶点为原点，底面两条边为 轴，侧棱为 轴 一般棱锥 / 翻折体 先补证线面垂直，以垂足为原点；翻折体以折痕为一轴 三、二面角“锐钝判断”三招（高分关键） 法向量夹角 与二面角 的关系： 或 。定号三招： 1. 第一招 · 观察图形：直观看出二面角是锐角还是钝角（最常用）。 2. 第二招 · 同向法向量：把两法向量方向调整成都指向二面角内部（或都指向外部），则 ；一个指 向内、一个指向外，则 。 3. 第三招 · 平面角验证：在棱上取一点 ，两半平面内各取一点 ，算 的符号（正为锐角、 负为钝角），与法向量夹角符号对照。 题型通法及变式提升 题型1 位置关系的向量证明（线面平行 / 垂直） 证线面平行：方向向量 与法向量 满足 ，再补一句“直线不在平面内”（取直线上一点代入面 方程验证），然后写线面平行判定定理。 证线面垂直：方向向量与法向量平行；或 且 （ 为面内两条相交直线的方向向量）， 写线面垂直判定定理。 证面面垂直：两平面法向量点积为 0。 高分技巧：答题语言模板：“设直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 。因为 ，又 （ 为 上一点），所以 ，即 。”——向量结论必须用判定定理的语言收尾，否则扣步骤分。 1．（26-27高三上·上海·开学考试）已知四面体，，；则下列条件中是的充要条件的有（   ） ①         ②         ③ A．①②③ B．①③ C．①② D．②③ 2．空间中，两条直线、的方向向量分别为、，则“”是“”的（     ）． A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件 3．已知、是两个不同的平面，、是两条不同的直线，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．空间中，已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为（常数）．若，则实数的值为__________． 5．若直线的方向向量为，平面的一个法向量，若构成的数列既是等差数列，又是等比数列，则直线与平面的位置关系为__________. 题型2 空间角计算（线面角 / 二面角） ① 建系写坐标 → ② 求直线的方向向量、平面的法向量 → ③ 套公式 → ④ 判断二面角锐钝定正负。 6.如图，在正四棱柱中，底面边长为1，侧棱长为为线段（不包含端点）上一点.有以下两个结论：①对任意的，总存在点，使得；②对任意的，不存在点，使得二面角为直二面角.下列判断正确的是（   ）.    A．①，②均正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①，②均错误 7.如图，把一个长方形的硬纸片沿长边所在直线逆时针旋转得到第二个平面，再沿宽边所在直线逆时针旋转得到第三个平面，则第一个平面和第三个平面所成的锐二面角大小的余弦值是（    ）    A． B． C． D． 8．在正三棱锥中，且两两垂直，是的中点，过直线作平面，则直线与平面所成角的最大值为（    ）. A． B． C． D． 9．如图，直三棱柱各棱长都相等，D是棱CC₁的中点，E是棱上的动点，F是棱AC的中点． 设， 随着增大， 直线BF与平面BDE所成角是 （    ） A．增大 B．减小 C．先增大再减小 D．先减小再增大 10．小可爱问问闲来无事，将平面直角坐标系内三点，，沿将平面折起到，使二面角大小为，则与平面所成角的正弦值为________． 11．如图所示，四棱锥的底面是边长为3的正方形，平面且，Q是棱上一点.若，则平面与平面所成的锐二面角的余弦值为_____.    12．（2026·上海·二模）在正四棱台中，，，异面直线与所成角为，设二面角的大小为，则________． 题型3 空间距离 ① 求平面法向量 ；② 面上取一点 ；③ 代入 。线面距、面面距一律化归为点面距。 13．（25-26高三下·上海·阶段检测）已知椭圆的短轴长为2，分别为左、右焦点，过椭圆上顶点作椭圆所在平面的垂线，在垂线上取点，使得直线与椭圆所在平面所成角为，则空间中的点到平面的距离为（   ） A．2 B． C． D． 14．棱长为2的正方体中，为的中点，则点到平面的距离为________. 15．在棱长为的正方体中，、分别为线段、的中点，则点到平面的距离是__________. 16．（2026·上海·三模）如图，为圆锥底面圆的直径，为的中点，点是圆上的动点（点在直径同侧），当的面积最大时，点到平面距离为______．    题型4 存在性问题 / 动点问题（上海卷近年高频） ① 设动点 （）；② 把 的坐标代入条件（垂直 / 平行 / 角等于某值 / 距离等于某值），列方程；③ 解出 ，检验 ；④ 无解则说明“不存在”。 高分技巧：“是否存在”类问题即使结论是不存在，也必须写清假设 → 列方程 → 得出矛盾的完整过程，这样能拿到大部分步骤分；不要只写“不存在”。 17.如图，已知空间向量、、的模分别为2、2、3，且两两之间的夹角都为.我们引入空间斜坐标系：以为原点，以、、的方向分别为、、轴的正方向，、、分别为斜坐标系下、、轴正方向上的单位向量，若向量，则与有序实数组一一对应，称向量的斜坐标为，记作. (1)求向量的斜坐标； (2)设，，求及； (3)在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的大小为?若存在，请求出的斜坐标：若不存在，请说明理由. 18.如图，长方体被平面所截，点E，F，G分别在棱，，上，，，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)求四棱锥的体积； (3)设为直线上的动点．是否存在点，使得直线与平面所成角的大小为？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 19.如图，在四棱锥中，平面，，，，，为棱的中点． (1)证明：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)棱上是否存在点，使得点到平面的距离是?若存在，求出的长；若不存在，说明理由． 20.在晶体学研究中，某晶体的基本晶格为平行六面体结构，如图，已知从顶点出发的三条棱、、的长度分别为2、2、3，且两两夹角都为．若建立空间直角坐标系来计算晶格中某两个原子间距等问题，需将棱分解为正交分量，运算过程繁琐且易出错．为此，我们引入空间斜坐标系：以为原点，以、、的方向分别为、、轴的正方向，、、分别为斜坐标系下、、轴正方向上的单位向量，若向量，则与有序实数组一一对应，称向量的斜坐标为，记作． (1)求向量的斜坐标； (2)我们知道，在空间直角坐标系中，设，，则，在本题建立的空间斜坐标系中，该数量积公式仍然成立吗?若成立，请说明理由；若不成立，请给出正确的公式，并应用公式计算； (3)在线段上是否存在一点，使得直线与平面的夹角为，若存在，请求出的斜坐标；若不存在，请说明理由． 21.四棱锥中，平面平面，，，，，是中点． (1)求证：平面； (2)若二面角的平面角的正弦值为，求出的值； (3)在侧棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 题型5 翻折问题（折前折后对照） 1. 找折痕，明确：折痕两侧垂直于折痕的线段，翻折后仍垂直于折痕（长度也不变）；其余垂直关系必 须重新判断。 2. 以折痕为一条坐标轴建系（折痕方向翻折前后不变），折痕一侧作 轴、另一侧作 轴、垂直于翻折 平面为 轴。 3. 用翻折条件（如翻折后某两点间距离、二面角大小）确定翻折角，进而写坐标、求目标量。 22.如图，已知为等边三角形，D，E分别为，边的中点，把沿折起，使点A到达点P，平面平面，若，求直线到平面的距离． 23.如图①，在中，，点D是边AB上一点，且，． (1)若DC平分时，求的大小； (2)如图②，将沿DC翻折至，使平面平面BDC． （i）当三棱锥的体积最大时，求三棱锥的外接球的表面积； （ii）求直线与平面所成角的正弦值的最大值．    24.A4纸是长､宽比为的矩形纸张.设一张A4纸的四个顶点分别为，以两长边的中点连线为折痕，将矩形折起，连接，得到如图所示的直三棱柱是的中点. (1)证明：平面平面； (2)设，三棱柱的体积为，且为钝角，求二面角的正弦值. 25.如图所示，在菱形中，，，分别为的中点，，，将沿翻折，使到处，． (1)证明：平面； (2)求与平面所成角的正弦值． 26.如图1所示的是等腰梯形，，，，DE⊥AB于E点，现将沿直线DE折起到的位置，形成一个四棱锥，如图2所示． (1)若，求证：PE⊥平面； (2)在（1）的条件下，若点P，E，C，D四点在一个球的球面上，求此球的表面积与体积； (3)若直线PE与平面所成的角为，且为锐角，求二面角的大小． 题型6 最值与范围问题 ① 设参数 （动点比例 / 线段长 / 二面角大小）→ ② 把目标量（线面角正弦、二面角余弦、距离、体积）表成 的函数 → ③ 用二次函数、基本不等式或导数求最值 → ④ 检验 的取值范围（对称轴不在范围内时取端点）。 27．（2026·上海·三模）如图，和都垂直于平面，且，，是的中点． (1)证明：// 平面； (2)若四棱锥的体积为3，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值的最大值． 28.如图，在平行六面体中，设为与的交点，若，，.    (1)用向量表示向量； (2)若该平行六面体的体积为4，现将其截去三棱锥，求剩余几何体的体积； (3)若该平行六面体的底面是边长为1的菱形，且. 已知为空间一点，满足，，对于任意实数，求的最小值. 29.如图，在四棱锥中，平面，，是棱的中点，．    (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离； (3)若点在棱上，求平面与平面所成锐二面角的余弦值的取值范围． 30.某人设计了一个工作台，如图所示，工作台的下半部分是个正四棱柱，其底面边长为4.高为1，工作台的上半部分是一个底面半径为的圆柱体的四分之一，点P为圆弧（包括端点）上的动点. (1)若，求工作台的表面积. (2)若平面时，求点P与的最短距离. (3)若，当点P在圆弧（包括端点）上移动时，求平面与平面所成的锐二面角的正切值的取值范围. 31.已知四棱锥的底面为梯形，，，，，平面. (1)求证：； (2)若点到平面的距离为，求四棱锥的高； (3)若在棱上存在一点，使得直线与平面所成角为，求四棱锥的高的取值范围. 重难专题分层过关练 巩固过关 1．清初著名数学家孔林宗曾提出一种“蒺藜形多面体”，其可由两个正交的正四面体组合而成，如图1，也可由正方体切割而成，如图2．在图2所示的“蒺藜形多面体”中，若． (1)求该“蒺藜形多面体”的表面积和体积； (2)若点，分别在线段，上移动，求的最小值． 2．（25-26高三上·上海·期末）如图所示，已知多面体中，是正方形，平面，，．    (1)证明：平面； (2)设，当时，求二面角的余弦值． 3．如图，已知正六棱柱. (1)求证：平面； (2)设，某同学研究该正六棱柱六个侧面上12条面对角线之间的位置关系，发现当时，与异面且垂直.问：是否还存在不等于1的的值，使得与其余五个侧面上至少一条面对角线异面且垂直？若存在，求出所有满足条件的值，并在此条件下直接写出与异面且不垂直的面对角线与所成角的大小的所有不同值；若不存在，请说明理由. 4．如图过圆柱轴的截面是边长为2的正方形，是圆柱底而圆周上与不重合的一动点，是母线的中点.    (1)若，求异面直线与所成的角； (2)求过三点的平面与平面ABC所成的锐二面角的范围. 5．（25-26高三上·上海杨浦·期中）如图，已知平面四边形中，为的中点，，，且．将此平面四边形沿折成直二面角，连接、，设中点为．    (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 6.已知点是边长为2的菱形所在平面外一点，且点在底面上的投影是与的交点，已知，是等边三角形. (1)求二面角的大小（结果用反三角表示）； (2)若点是线段上的动点，请找出点所在的位置，使得直线与平面所成的角最大. 7．（25-26高三上·上海·阶段检测）如图，已知，平面平面，，，，点为梯形ADEF内（包括边界）一个动点. (1)若P为线段AE的中点，求证：平面CDE； (2)，若平面CDE，且当线段BP最短时，求直线BP与平面BCEF所成角的正弦值 8．（2025·上海浦东新·三模）如图，点是以为直径的半圆上的动点，已知，且平面. (1)证明：平面平面； (2)若点满足，当三棱锥的体积取得最大值时，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值. 创新提升 1.如图，已知正方体 内接于球 ，且球的半径为 (1)求正方体 的棱长； (2)若 分别是 上的动点，求 的最小值； (3)若 是棱 的中点， 是侧面 内的动点（包含边界），且 ，求直线 与平面 所成角的正切值的范围. 002.如图所示，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，是的中点，是的中点，动点在直线上，且满足． (1)求证：不论取何值，总有； (2)设直线与平面所成的锐角，求的取值范围； (3)设平面与平面所成的锐二面角的大小为，求的最大值，并求相应的的值． 3．如图，在三棱柱中，底面是以为斜边的等腰直角三角形.侧面为菱形，点在底面上的投影为的中点，且. (1)求直线与底面所成角大小； (2)求点到侧面的距离； (3)在线段上是否存在点，使得直线与侧面所成角的正弦值为若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由. 4.已知是底面边长为的正四棱柱.    (1)若正四棱柱的高为1，求点到平面的距离； (2)设与底面所成角的大小为，异面直线与所成角的大小为，求证：. (3)为上任意一点，为中点，若棱上至少存在一点使得，求棱长的最大值. 5．（24-25高三上·上海·阶段检测）如图，在三棱柱中，底面是以AC为斜边的等腰直角三角形，侧面为菱形，点在底面上的投影为AC的中点D，且AB = 2．    (1)求直线与底面所成角大小； (2)求证：； (3)求点C到侧面的距离； (4)在线段上是否存在点E，使得直线DE与侧面所成角的正弦值为？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由． 6．已知菱形如图①所示，其中且，现沿进行翻折，使得平面平面，再过点作平面，且，所得图形如图②所示. (1)求平面与平面夹角的正弦值； (2)若点满足. （i）平面，求的值； （ii）若与平面所成角为，求的最大值. 7．如图，在长方体中，，．为线段上一动点，记．以点为坐标原点，分别以，，为轴正方向，轴正方向，轴正方向建立空间直角坐标系. (1)写出点的坐标（用表示）； (2)当平面时，求的值； (3)过点、、作截面，求点到该截面距离的最大值. 8.如图，在长方体中，，，，，分别是棱，，的中点． (1)请判断直线与平面是否垂直，并证明你的结论； (2)求直线与半面所成角的正弦值； (3)在线段上是否存在一点，使得点到平面的距离是，若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 9.如图，在三棱台中，，，，为的中点. (1)求证：； (2)若平面平面，求直线与直线所成角的余弦值： (3)设二面角的大小为，直线与平面的所成角的大小为，求关于的函数表达式及其定义域，并求的取值范围. 10.如图，在平行六面体中，，，，，.点是棱的中点，点是对角线上一点（包括端点），且满足. (1)若三点共线，求的值； (2)若对角线，求的最大值； (3)若，直线和的所成角为，求的取值范围. 11.如图，在四棱锥中，平面，，，且，，是棱的中点． (1)求点到平面的距离； (2)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值； (3)设是棱（含端点）上的动点，求直线与平面所成角的大小的取值范围． 12.如图，在三棱柱中，侧面为正方形，，设是的中点，满足，是的中点，是线段上的一点.    (1)证明：平面； (2)若，， ①求直线与平面所成角的大小； ②线段上是否存在点，使点到平面的距离为，若存在，求的值；若不存在，说明理由. 13.如图，在四棱锥中，面，，且，，，，，E、F分别为，的中点. (1)求直线到平面的距离； (2)在线段上是否存在一点M，使得直线与平面所成角的正弦值是？若存在，求出的值，若不存在，说明理由； (3)在平面内是否存在点H，满足，若不存在，请简单说明理由；若存在，请写出点H的轨迹图形形状. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专训04 空间向量在立体几何中的综合应用 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 2 题型1 位置关系的向量证明（线面平行 / 垂直） 2 题型2 空间角计算（线面角 / 二面角） 4 题型3 空间距离 11 题型4 存在性问题 / 动点问题（上海卷近年高频） 15 题型5 翻折问题（折前折后对照） 24 题型6 最值与范围问题 33 重难专题分层过关练 41 巩固过关 41 创新提升 53 解题方法及技巧提炼 一、六步通法 1. 读图定结构——识别几何体（棱柱/棱锥/组合体），标注已知垂直、长度关系 2. 找三线两两垂直——直接找；找不到就用勾股逆定理、线面垂直定义补证 3. 建系写坐标——原点取三线交点，逐点写出坐标（不跳步） 4. 求向量——方向向量、法向量（叉积法＋代回验证） 5. 套公式——按目标选公式：位置关系 / 角 / 距离 6. 回译作答——把向量结果翻译成几何语言，检验合理性 二、常见几何体建系模板 几何体 建系方式（原点 / 坐标轴） 长方体、正方体 以任一顶点为原点，三条棱所在直线为坐标轴 直三棱柱（含正三棱柱） 底面取直角顶点（或对称轴/垂心）为原点，底面两条垂线为 轴，侧棱为 轴 正棱锥 底面中心为原点，底面两条对称轴为 轴，中心与顶点连线为 轴 侧棱垂直底面的锥体 底面直角顶点为原点，底面两条边为 轴，侧棱为 轴 一般棱锥 / 翻折体 先补证线面垂直，以垂足为原点；翻折体以折痕为一轴 三、二面角“锐钝判断”三招（高分关键） 法向量夹角 与二面角 的关系： 或 。定号三招： 1. 第一招 · 观察图形：直观看出二面角是锐角还是钝角（最常用）。 2. 第二招 · 同向法向量：把两法向量方向调整成都指向二面角内部（或都指向外部），则 ；一个指 向内、一个指向外，则 。 3. 第三招 · 平面角验证：在棱上取一点 ，两半平面内各取一点 ，算 的符号（正为锐角、 负为钝角），与法向量夹角符号对照。 题型通法及变式提升 题型1 位置关系的向量证明（线面平行 / 垂直） 证线面平行：方向向量 与法向量 满足 ，再补一句“直线不在平面内”（取直线上一点代入面 方程验证），然后写线面平行判定定理。 证线面垂直：方向向量与法向量平行；或 且 （ 为面内两条相交直线的方向向量）， 写线面垂直判定定理。 证面面垂直：两平面法向量点积为 0。 高分技巧：答题语言模板：“设直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 。因为 ，又 （ 为 上一点），所以 ，即 。”——向量结论必须用判定定理的语言收尾，否则扣步骤分。 1．（26-27高三上·上海·开学考试）已知四面体，，；则下列条件中是的充要条件的有（   ） ①         ②         ③ A．①②③ B．①③ C．①② D．②③ 【答案】B 【详解】如下图，取中点为，因，，则， 又平面，，则平面. 如下图，以为原点建立空间直角坐标系，设， ，从而. 对于①，，则， 则是的充要条件； 对于②，，则 ，结合，可得， 则 不是的充要条件； 对于③， ， 从而是的充要条件. 2．空间中，两条直线、的方向向量分别为、，则“”是“”的（     ）． A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】C 【详解】充分性：若两条直线的方向向量​​，说明方向向量夹角为， 因此两直线所成角为，可得，充分性成立， 必要性：若，说明两直线所成角为，即方向向量夹角为， 因此，必要性成立， 因此“​​”是“”的充分必要条件. 3．已知、是两个不同的平面，、是两条不同的直线，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【详解】对于A：且相交，可得，故A错； 对于B：若，则或相交或在内，故B错； 对于C：设的方向向量为，的法向量分别为， 由可得：， 即， 所以， 所以，故C正确， 对于D，若，则，或在内，故D错； 故选：C 4．空间中，已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为（常数）．若，则实数的值为__________． 【答案】 【详解】若直线，则直线的方向向量与平面的法向量垂直，即， 由，，则， 解得：. 5．若直线的方向向量为，平面的一个法向量，若构成的数列既是等差数列，又是等比数列，则直线与平面的位置关系为__________. 【答案】或 【详解】因为构成的数列既是等差数列，又是等比数列，则， 因为，所以. 所以或. 题型2 空间角计算（线面角 / 二面角） ① 建系写坐标 → ② 求直线的方向向量、平面的法向量 → ③ 套公式 → ④ 判断二面角锐钝定正负。 6.如图，在正四棱柱中，底面边长为1，侧棱长为为线段（不包含端点）上一点.有以下两个结论：①对任意的，总存在点，使得；②对任意的，不存在点，使得二面角为直二面角.下列判断正确的是（   ）.    A．①，②均正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①，②均错误 【答案】A 【详解】在正四棱柱中，建立如图所示的空间直角坐标系，      则，由为线段上除端点外的点， 设，则点， 对于①，， 由 ，得，则， 因此对任意的，总存在点，使得，①正确； 对于②，， 设平面，平面的法向量分别为， 则，取，得， ，取，得， 由，得，即平面与平面不垂直， 因此对任意的，不存在点，使得二面角为直二面角，②正确. 故选：A 7.如图，把一个长方形的硬纸片沿长边所在直线逆时针旋转得到第二个平面，再沿宽边所在直线逆时针旋转得到第三个平面，则第一个平面和第三个平面所成的锐二面角大小的余弦值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，把两个单位正方体叠放在一起，    平面，平面，平面分别代表第一，二，三个平面， 四边形为正方形，， 平面，平面，， ，平面，平面； 同理可得：平面； 平面的法向量为，平面的法向量为， ，， ，，即与的夹角为， 所求锐二面角的大小的余弦值是. 故选：C． 8．在正三棱锥中，且两两垂直，是的中点，过直线作平面，则直线与平面所成角的最大值为（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【详解】以分别为轴建立空间直角坐标系，设， 则，再设平面还通过棱上一点， 可得， 令平面的一个法向量为， 则，取，得，所以. 又，设直线与平面所成角为， 则. 令，即， 则， 当且仅当即时，等号成立，∴. 故选：C. 9．如图，直三棱柱各棱长都相等，D是棱CC₁的中点，E是棱上的动点，F是棱AC的中点． 设， 随着增大， 直线BF与平面BDE所成角是 （    ） A．增大 B．减小 C．先增大再减小 D．先减小再增大 【答案】A 【详解】以中点为坐标原点，分别为轴，并垂直向上作轴建立空间直角坐标系. 设所有棱长均为2，则，， 可得，，， 设平面BDE法向量，则， 令，则，可得. 设直线BF与平面BDE所成角为， 则， 令，可知在内单调递减，且， 则，可知在内单调递减， 可得在内单调递增，所以随着x增大而增大. 故选：A. 10．小可爱问问闲来无事，将平面直角坐标系内三点，，沿将平面折起到，使二面角大小为，则与平面所成角的正弦值为________． 【答案】 【详解】分别以原轴为空间直角坐标系的轴，以过点O且垂直于平面的直线为轴，建立如图的空间直角坐标系.          在原平面图形中作于，则. 在空间直角坐标系中，， 设在平面内的投影为，则，因为， 所以点坐标为. ，设平面的法向量为， 则，得，不妨令，则， ，设与平面所成的角为， 则 故答案为： 11．如图所示，四棱锥的底面是边长为3的正方形，平面且，Q是棱上一点.若，则平面与平面所成的锐二面角的余弦值为_____.    【答案】 【详解】由题意，可构建如下空间直角坐标系，则， 所以，若平面的一个法向量为，    所以，取，则， 而是平面的一个法向量， 所以， 即平面与平面所成的锐二面角的余弦值为. 故答案为： 12．（2026·上海·二模）在正四棱台中，，，异面直线与所成角为，设二面角的大小为，则________． 【答案】 【详解】法一：在正四棱台中，， 因为，，所以为异面直线与所成的角， 即，过点作平面的垂线，垂足为， 作直线的垂线，垂足为，连接，如图所示： 由正四棱台性质可知，点在线段上，， 所以，，， 由二面角定义可知即为二面角的平面角， 而，故. 法二：如图，作出符合题意的图形，作下底面中心，上底面中心， 以为原点，建立空间直角坐标系，设正四棱台的高为， 由题意得，，则，， ，，则，， 因为异面直线与所成角为， 所以，解得， 由题意得面的法向量为， 则，，， 设面的法向量为， 则，令，解得，， 得到，由图可知，是锐角，则， 由已知得，由同角三角函数的基本关系得， 故. 题型3 空间距离 ① 求平面法向量 ；② 面上取一点 ；③ 代入 。线面距、面面距一律化归为点面距。 13．（25-26高三下·上海·阶段检测）已知椭圆的短轴长为2，分别为左、右焦点，过椭圆上顶点作椭圆所在平面的垂线，在垂线上取点，使得直线与椭圆所在平面所成角为，则空间中的点到平面的距离为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意知椭圆的短轴长为2，即， 故椭圆方程为，则， 由题意知平面，则为直线与椭圆所在平面所成角， 即， 在中，，故， 则， 如图建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量为，则， 取，则可得， 则点到平面的距离为. 14．棱长为2的正方体中，为的中点，则点到平面的距离为________. 【答案】 【详解】以为原点，以方向为轴，以方向为轴，以方向为轴建立空间直角坐标系， 正方体棱长为，则，所以， 设平面的法向量为，所以，即，取所以平面的一个法向量为， 为的中点，所以点，所以， 所以点到平面的距离. 15．在棱长为的正方体中，、分别为线段、的中点，则点到平面的距离是__________. 【答案】 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， ，， 设平面的一个法向量为， 则，令，可得， 又因为，所以点到平面的距离为. 故答案为：. 16．（2026·上海·三模）如图，为圆锥底面圆的直径，为的中点，点是圆上的动点（点在直径同侧），当的面积最大时，点到平面距离为______．    【答案】 【详解】连接，由题意可知，， 以为坐标原点，建立下图所示空间直角坐标系，    则， 点在底面圆上，且点在直径同侧，设， 母线长，为等腰三角形， ， 设边上的高为，则， ， 令，则，开口向下，对称轴为， 当时，面积最大，此时， ，， ，设平面的法向量为， 则，令，则， 点到平面距离为． 题型4 存在性问题 / 动点问题（上海卷近年高频） ① 设动点 （）；② 把 的坐标代入条件（垂直 / 平行 / 角等于某值 / 距离等于某值），列方程；③ 解出 ，检验 ；④ 无解则说明“不存在”。 高分技巧：“是否存在”类问题即使结论是不存在，也必须写清假设 → 列方程 → 得出矛盾的完整过程，这样能拿到大部分步骤分；不要只写“不存在”。 17.如图，已知空间向量、、的模分别为2、2、3，且两两之间的夹角都为.我们引入空间斜坐标系：以为原点，以、、的方向分别为、、轴的正方向，、、分别为斜坐标系下、、轴正方向上的单位向量，若向量，则与有序实数组一一对应，称向量的斜坐标为，记作. (1)求向量的斜坐标； (2)设，，求及； (3)在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的大小为?若存在，请求出的斜坐标：若不存在，请说明理由. 【详解】（1）因为，所以． （2）设，， ， 所以； . （3）． 设，， ． 设平面，，，． ，即，取． 设直线与平面夹角为． ， 即，解得或（舍） 所以，存在点满足题意，且． 18.如图，长方体被平面所截，点E，F，G分别在棱，，上，，，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)求四棱锥的体积； (3)设为直线上的动点．是否存在点，使得直线与平面所成角的大小为？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【详解】(1)如图，在长方体中，平面平面，平面平面， 因为平面平面，平面平面， 平面平面，平面平面， 所以，， 所以四边形为平行四边形. （2）解：如图，连接，则， 因为，，， 所以 ， 所以 （3）解：如图，建立空间直角坐标系， 如图，设，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 所以，即，令，则，，即， 设直线与平面所成角为， 则 假设存在点，使得直线与平面所成角的大小为，则， 所以，即 所以，即， 整理得：，解得或， 当时，点与点重合，； 当时，，， 综上，存在点，使得直线与平面所成角的大小为，此时或. 19.如图，在四棱锥中，平面，，，，，为棱的中点． (1)证明：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)棱上是否存在点，使得点到平面的距离是?若存在，求出的长；若不存在，说明理由． 【详解】(1)取的中点，连接，如下图： 因为为棱的中点，所以， 又，所以， 所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面； （2）由题意知平面，且，可知两两垂直， 以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图， 易知 则， 设平面的一个法向量为， 则，令，可得，可得； 又， 设平面的一个法向量为， 可得，令，可得，即， 所以， 由图可知二面角为锐角， 所以二面角的余弦值为； (3)存在点，，理由如下： 假设在棱上存在点，使得点到平面的距离是， 设，，即，可得, 所以， 则点到平面的距离是，又，可得, 所以，， 即存在点到平面的距离是,. 20.在晶体学研究中，某晶体的基本晶格为平行六面体结构，如图，已知从顶点出发的三条棱、、的长度分别为2、2、3，且两两夹角都为．若建立空间直角坐标系来计算晶格中某两个原子间距等问题，需将棱分解为正交分量，运算过程繁琐且易出错．为此，我们引入空间斜坐标系：以为原点，以、、的方向分别为、、轴的正方向，、、分别为斜坐标系下、、轴正方向上的单位向量，若向量，则与有序实数组一一对应，称向量的斜坐标为，记作． (1)求向量的斜坐标； (2)我们知道，在空间直角坐标系中，设，，则，在本题建立的空间斜坐标系中，该数量积公式仍然成立吗?若成立，请说明理由；若不成立，请给出正确的公式，并应用公式计算； (3)在线段上是否存在一点，使得直线与平面的夹角为，若存在，请求出的斜坐标；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）因为，所以． （2） ． 所以公式不成立． 因为，， 所以，代入上述公式得：． （3）． 设，， ． 设平面，，，． ，即，取． 设直线与平面夹角为． ， 即，解得或（舍） 所以，存在点满足题意，且． 21.四棱锥中，平面平面，，，，，是中点． (1)求证：平面； (2)若二面角的平面角的正弦值为，求出的值； (3)在侧棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【详解】(1)，是中点，， 平面平面，平面平面，平面， 平面，平面，， ，是中点，， ，，， ，， ，， 在上取点，使得，且， 四边形为矩形，，， ，，， 在中，，，， ，， ，，平面，平面， 平面； （2）取中点，连接，则， 以为原点，以分别为轴建立空间直角坐标系， 设，，， 则，，，，，， ，，设平面的法向量为， ，，取，解得，则， ，，设平面的法向量为， ，，取，解得，， ，，，， ，， 设二面角的平面角为，则，， ，，，， （3）假设在侧棱上存在点，使得平面， 设，，， 设，，， ，， ， ，， 平面的法向量为， ，，， 存在点，使得平面， . 题型5 翻折问题（折前折后对照） 1. 找折痕，明确：折痕两侧垂直于折痕的线段，翻折后仍垂直于折痕（长度也不变）；其余垂直关系必 须重新判断。 2. 以折痕为一条坐标轴建系（折痕方向翻折前后不变），折痕一侧作 轴、另一侧作 轴、垂直于翻折 平面为 轴。 3. 用翻折条件（如翻折后某两点间距离、二面角大小）确定翻折角，进而写坐标、求目标量。 22.如图，已知为等边三角形，D，E分别为，边的中点，把沿折起，使点A到达点P，平面平面，若，求直线到平面的距离． 【详解】解法一：如图，设的中点为，的中点为，连接、，则. 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面. 因为在中，、分别为、边的中点， 所以是的中位线，即. 又平面，平面， 所以平面，因此直线到平面的距离等于点到平面的距离. 又，以为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系. 由，得，， 因此，，，，. ，. 设平面的一个法向量为，则： 解得，.令，得平面的一个法向量. 设点到平面的距离为，， 得 因为点在直线上，所以直线到平面的距离为. 解法二：如图，设的中点为，的中点为，连接、、. 由解法一可知，到平面的距离等于点到平面的距离， 又平面. 因为平面，所以， 又，，平面， 所以平面. 又平面，所以平面平面. 因为平面平面，作，垂足为， 得平面，即为点到平面的距离. 在中，， 由勾股定理得， 由直角三角形等面积法，得 因为点在直线上，所以直线到平面的距离为. 23.如图①，在中，，点D是边AB上一点，且，． (1)若DC平分时，求的大小； (2)如图②，将沿DC翻折至，使平面平面BDC． （i）当三棱锥的体积最大时，求三棱锥的外接球的表面积； （ii）求直线与平面所成角的正弦值的最大值．    【详解】（1）因为，所以， 即， 若DC平分，则，所以. 设，则， 因为，，所以. 由，得， 解得，即. 所以， 又，所以； （2）（i）设，作，垂足为O，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面BDC. 又， 所以， 当且仅当时取最大值，此时，，即BD，CD，PD两两垂直， 设三棱锥的外接球半径为R，则， 所以三棱锥的外接球的表面积为； （ii）如图，以所在直线为x轴，所在直线为y轴，所在直线为z轴，建立空间直角坐标系， 设，则，， ，，， 则， 设平面PBD的一个法向量为，则， 所以，    令，则， 所以，， 设直线PC与平面PBD所成角为，则 ， 令，则， 所以，当且仅当时取等号， 所以， 故直线PC与平面PBD所成角的正弦值的最大值为． 24.A4纸是长､宽比为的矩形纸张.设一张A4纸的四个顶点分别为，以两长边的中点连线为折痕，将矩形折起，连接，得到如图所示的直三棱柱是的中点. (1)证明：平面平面； (2)设，三棱柱的体积为，且为钝角，求二面角的正弦值. 【详解】(1)由且 为 中点，得， 又三棱柱为直三棱柱，所以平面， 又平面，所以， 又因为，平面 ，平面 ，所以平面 ， 又平面，所以平面平面 . （2）取 中点 ，故平面，又由（1）知，所以两两垂直，以 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系， 因为，由题意得， 所以三棱柱的体积， 所以，又为钝角，所以， 所以，即， 则，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 则，取，则， 即， 设平面的法向量为， 则，取，则， 即， 设二面角的平面角为 ， ， 所以， 所以二面角的正弦值. 25.如图所示，在菱形中，，，分别为的中点，，，将沿翻折，使到处，． (1)证明：平面； (2)求与平面所成角的正弦值． 【详解】(1)在菱形中，，则为等边三角形，，， ，，，28， 于是，即， 又，则， 而平面，所以平面. （2）方法1：由为等边三角形，得，又平面， 则平面，又平面，于是平面平面， 在平面内过作于，连接，又平面平面， 因此平面，为与平面所成角， 在中，由，得， 在中，， 则， 在中，， 在中，， 则，所以与平面所成角的正弦值为. 方法2：由为等边三角形，得，又平面， 则平面，又平面，于是平面平面， 在平面内过作于，因此平面， 在中，由，得， 在中，， 以为坐标原点，直线分别为轴，垂直于底面的直线为轴建立空间坐标系， 则平面的法向量为，点，， 设与平面所成角为，则， 所以与平面所成角的正弦值为. 26.如图1所示的是等腰梯形，，，，DE⊥AB于E点，现将沿直线DE折起到的位置，形成一个四棱锥，如图2所示． (1)若，求证：PE⊥平面； (2)在（1）的条件下，若点P，E，C，D四点在一个球的球面上，求此球的表面积与体积； (3)若直线PE与平面所成的角为，且为锐角，求二面角的大小． 【详解】(1)证明:如图所示，连接CE， 因为等腰梯形ABCD，AB∥DC，AB＝2DC＝4，，DE⊥AB， 可得，，且， 即PE＝1，因为，则， 所以PE⊥EC，又因为PE⊥ED，且，CE，DE⊂平面EBCD， 所以PE⊥平面； （2）由题意知，为直角三角形，设外接圆半径为r，则r， 设四面体P﹣ECD的外接球半径为R，则， 所以四面体P﹣ECD的外接球表面积为； 四面体P﹣ECD的外接球体积为． （3）以E为原点，以，ED所在的直线分别为x，y轴，以过点E垂直于平面EBCD的数轴为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 因为DE⊥EB，DE⊥PE，且，平面， 所以DE⊥平面， 又因为平面，所以平面⊥平面， 过点P作PF⊥BE于点F，因为平面PEB∩平面＝BE，所以PF⊥平面， 所以为PE与平面所成的角，所以， 可得，，，则，， 设平面PBC的法向量为，则, 取，可得，所以, 又由z轴垂直平面，可得面的一个法向量为， 则 由图可知，二面角为锐角，所以二面角的大小． 题型6 最值与范围问题 ① 设参数 （动点比例 / 线段长 / 二面角大小）→ ② 把目标量（线面角正弦、二面角余弦、距离、体积）表成 的函数 → ③ 用二次函数、基本不等式或导数求最值 → ④ 检验 的取值范围（对称轴不在范围内时取端点）。 27．（2026·上海·三模）如图，和都垂直于平面，且，，是的中点． (1)证明：// 平面； (2)若四棱锥的体积为3，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值的最大值． 【详解】(1)取的中点，连接，， 因为分别是和的中点，所以，且. 因为和都垂直于平面，且，所以，且， 所以且，所以四边形为平行四边形，所以， 又平面平面，所以// 平面． （2）设点到平面的距离为， 则，为． 由于平面， 以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，平面内过且垂直于的直线为轴，建立如图空间直角坐标系， 因为， 所以， 设，则， 设平面的法向量为，由，得， 令，得，因此平面的一个法向量． 由于平面，因此是平面的一个法向量． 设平面与平面所成的锐二面角大小为， 则. 因为，当且仅当时，等号成立； 所以. 所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值的最大值为． 28.如图，在平行六面体中，设为与的交点，若，，.    (1)用向量表示向量； (2)若该平行六面体的体积为4，现将其截去三棱锥，求剩余几何体的体积； (3)若该平行六面体的底面是边长为1的菱形，且. 已知为空间一点，满足，，对于任意实数，求的最小值. 【详解】（1）易知为与的中点， 因为 ; （2）设平行六面体的底面积为，高为， 则， 则三棱锥的高也为， 则， 所以剩余几何体的体积； （3）因为， 所以， 又因为，， ， 令， 则其开口向上，对称轴为， 所以当时，取最小值， 为， 所以时，取最小值，为9， 即的最小值为9， 所以的最小值为3. 29.如图，在四棱锥中，平面，，是棱的中点，．    (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离； (3)若点在棱上，求平面与平面所成锐二面角的余弦值的取值范围． 【详解】(1)由题平面，平面，所以， 又因为，所以， 又因为，平面，所以平面， 又因为平面，所以， 又因为，是棱的中点，所以， 又因为，平面，所以平面. （2）由题平面，且， 所以以点为坐标原点，以所在直线为轴，如图所示， ，，，，，， ，，， 设平面的一个法向量为， 则，令，得，，则， 则点到平面的距离.    （3）设，，则， ，， 设平面的一个法向量为， 则，令，得，则， 由（2）可得平面的一个法向量为， 平面与平面所成锐二面角为， 所以， 因为，对于二次函数，其对称轴， 当时，取的最小值， 当或时，取的最大值， 所以，则， 故平面与平面所成锐二面角的余弦值的取值范围为. 30.某人设计了一个工作台，如图所示，工作台的下半部分是个正四棱柱，其底面边长为4.高为1，工作台的上半部分是一个底面半径为的圆柱体的四分之一，点P为圆弧（包括端点）上的动点. (1)若，求工作台的表面积. (2)若平面时，求点P与的最短距离. (3)若，当点P在圆弧（包括端点）上移动时，求平面与平面所成的锐二面角的正切值的取值范围. 【详解】（1）因为，所以工作台的表面积 （2）如图，以为原点，以的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系， 设， 则， ， 平面， ，， 点在圆弧（包括端点）上移动， 则，， ， ， 即，当且仅当时等号成立， ， 点与的最短距离为. （3）若，由（2）知， 设，，则,,， 所以， 又，， 设平面的法向量为， 则， 令，则， 取平面的一个法向量， 设平面与平面所成的锐二面角的大小为， 则， ，，， 则，由，则， 平面与平面所成的锐二面角的正切值的取值范围为. 31.已知四棱锥的底面为梯形，，，，，平面. (1)求证：； (2)若点到平面的距离为，求四棱锥的高； (3)若在棱上存在一点，使得直线与平面所成角为，求四棱锥的高的取值范围. 【详解】(1)如图连接，作的中点，连接， 因为底面为梯形，，，所以； 又，， 所以，，， ，所以，所以； 又平面，平面，所以； 又，平面，所以平面； 又平面，所以； （2）由（1）知，即为所求的四棱锥的高，且两两相互垂直， 建立如图所示空间直角坐标系，则 ，设，则， 所以， 设平面的一个法向量为，则 ，即，取，则，所以， 所以点到平面的距离，解得， 即所求的四棱锥的高为； （3）如图，设，则， 由（2）知，平面的一个法向量为，则， 因为直线与平面所成角为， 所以，化简得； 构造函数， 由函数在上单调递减，且； 又在单调递增，且； 所以在上单调递减，则有， 即，化简得，解得， 即四棱锥的高的取值范围是. 重难专题分层过关练 巩固过关 1．清初著名数学家孔林宗曾提出一种“蒺藜形多面体”，其可由两个正交的正四面体组合而成，如图1，也可由正方体切割而成，如图2．在图2所示的“蒺藜形多面体”中，若． (1)求该“蒺藜形多面体”的表面积和体积； (2)若点，分别在线段，上移动，求的最小值． 【详解】（1）因为，所以． 蒺藜形多面体的表面可看作是八个全等的棱长为的小正四面体构成， 故该几何体的表面积为． 该几何体的体积为 （2）建立如图所示的空间直角坐标系， 设， ， 当且仅当，时，等号成立． 故PQ的最小值为. 2．（25-26高三上·上海·期末）如图所示，已知多面体中，是正方形，平面，，．    (1)证明：平面； (2)设，当时，求二面角的余弦值． 【详解】(1)因为，与无公共点，故， 因为平面，平面，所以平面. 因为四边形 是正方形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为平面， 所以平面平面， 又平面，所以平面. （2）因为平面，平面， 所以， 因为，所以两两垂直， 所以以点为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，故可取； 设平面的一个法向量为， 则，故可取. 则， 由图知二面角为钝二面角，故二面角的余弦值为.      3．如图，已知正六棱柱. (1)求证：平面； (2)设，某同学研究该正六棱柱六个侧面上12条面对角线之间的位置关系，发现当时，与异面且垂直.问：是否还存在不等于1的的值，使得与其余五个侧面上至少一条面对角线异面且垂直？若存在，求出所有满足条件的值，并在此条件下直接写出与异面且不垂直的面对角线与所成角的大小的所有不同值；若不存在，请说明理由. 【详解】(1)在正六棱柱中，，， 因为，， 且面，面； 所以面面； 因为面，所以面； （2）以为原点，以垂直方向为轴，以为轴，以为轴， 如图，建立空间直角坐标系， 则，，，， ，；，，， ，，；则， 在另外五个侧面的面对角线中，与异面的直线的方向向量如下， 为，， ，，； 若与以上面对角线异面且垂直， 令，无实数解；令，则， 令，则（舍去），令，则， 令，无实数解；当时，与异面且垂直； 又因为，，，； 所以，， ，由于异面直线夹角范围为, 则与异面且不垂直的面对角线，所成角分别为，； 综上，当时，与异面且垂直； 与异面且不垂直的面对角线，所成角分别为，. 4．如图过圆柱轴的截面是边长为2的正方形，是圆柱底而圆周上与不重合的一动点，是母线的中点.    (1)若，求异面直线与所成的角； (2)求过三点的平面与平面ABC所成的锐二面角的范围. 【详解】（1）以点O为原点，直线OB，分别为y，z轴， 过O于AB垂直的直线为x轴，建立空间直角坐标系，如图所示．    则，，，，， 设， 则， ，． 当时， ，． 设异面直线与所成的角为，从而， 因此，异面直线与所成的角为； （2）由（1）知，． 易得平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 则，令，得， 设平面与平面ABC所成的锐二面角的大小为， 则， 由是圆柱底而圆周上与不重合的一动点知，，则， 则，所以，所以， 所以，又，所以， 即锐二面角的范围为． 5．（25-26高三上·上海杨浦·期中）如图，已知平面四边形中，为的中点，，，且．将此平面四边形沿折成直二面角，连接、，设中点为．    (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）∵，， ∴，即，， 又∵二面角为直角，∴， ∴如图建立空间直角坐标系， ∵，为的中点， ∴，，，，， 则，，， 设为平面的一个法向量， 则，令，则， ， 设直线与平面所成角为， 则.    （2）存在这样的点， 设， ∵中点为，∴， 则， 当平面时，，解得， 即.    6.已知点是边长为2的菱形所在平面外一点，且点在底面上的投影是与的交点，已知，是等边三角形. (1)求二面角的大小（结果用反三角表示）； (2)若点是线段上的动点，请找出点所在的位置，使得直线与平面所成的角最大. 【详解】（1）由题意得⊥平面，又平面， 所以⊥，⊥， 四边形为菱形，故⊥， 故以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 已知，是等边三角形，故， 则，， 设平面的一个法向量为， 则， 令得，故， 显然平面的一个法向量为， 则， 设二面角的大小为，从图中可以看出二面角为锐角， 故，则. (2)当时，直线与平面所成的角最大.理由为： 当时，直线与平面所成的角最大.理由如下： 设，，， 其中，， ，则， 故，，， ， 由（1）知，平面的一个法向量为， 设直线与平面所成的角大小为， 则 ， 因为，所以当时，取得最大值， 最大值为， 又，而在上单调递增， 所以，即当时，直线与平面所成的角最大. 7．（25-26高三上·上海·阶段检测）如图，已知，平面平面，，，，点为梯形ADEF内（包括边界）一个动点. (1)若P为线段AE的中点，求证：平面CDE； (2)，若平面CDE，且当线段BP最短时，求直线BP与平面BCEF所成角的正弦值 【详解】(1)取的中点，连结， 因为点分别是的中点，所以，且， 又因为，且， 所以，且， 所以四边形是平行四边形，所以， 且平面，平面， 所以平面； （2）因为平面平面，且平面平面， 且，平面，所以平面，且， 所以如图以点为原点，为轴的正方向建立空间直角坐标系， ，，，，， ，，， 设平面的法向量， 所以，令，则， 所以平面的一个法向量为 因为平面，所以，即， ， 当时，满足点在梯形的内部，此时最短， ，，，， ，， 设平面的法向量为， 所以，，令， 所以平面的一个法向量， 8．（2025·上海浦东新·三模）如图，点是以为直径的半圆上的动点，已知，且平面. (1)证明：平面平面； (2)若点满足，当三棱锥的体积取得最大值时，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值. 【详解】(1)因为平面，平面，所以， 因为为半圆的直径，所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. （2）方法1： ，当且仅当时等号成立. 设圆心为，连接，在平面上过作， 连接，在平面上过作，如图所示. 因为，，所以， 因为平面，平面，所以平面平面， 因为平面，平面平面，所以平面ABC，平面， 则，，平面，所以平面，而平面， 于是，所以为平面与平面的夹角， 在平面上，，有，得，， ，有，得， 则，， 平面与平面所成锐角的余弦值为. 方法2： 据（1）知，面，， 当时，达到最大： 过点作于，建立以为原点，为轴，为轴， 过点垂直于平面的方向为z轴.设平面与平面的法向量分别为，. 则点，，，，. ，；则； 令，可得；因为平面的法向量为. 则平面与平面夹角的余弦值. 创新提升 1.如图，已知正方体 内接于球 ，且球的半径为 (1)求正方体 的棱长； (2)若 分别是 上的动点，求 的最小值； (3)若 是棱 的中点， 是侧面 内的动点（包含边界），且 ，求直线 与平面 所成角的正切值的范围. 【详解】（1）因为正方体内接于球，即球外接于该正方体， 那么球心位于正方体的中心，所以体对角线长为. 设正方体的棱长为，则， 所以，所以正方体的棱长为2. （2）将沿翻折到与平面位于同一平面位置，如图所示， 那么的长度的最小值就是点到线段上点的距离的最小值. 过点作，垂足为，线段与线段交于点， 因为， 所以为等腰直角三角形，且，， 所以，又， 所以为等腰直角三角形，又， 所以，，， 所以，所以 所以当点与点重合，点与点重合时， 取取 最小值，最小值为. （3）以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则. 所以，设平面的法向量为， 则，则有，令，则. 所以法向量，而，因为平面， 所以，所以，所以. 因为平面的一个法向量为，设直线与平面所成角为， 所以， 所以. 所以，又，所以. 因为，所以. 所以. 由二次函数的性质得知，，所以. 所以直线与平面所成角的正切值的范围为. 2.如图所示，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，是的中点，是的中点，动点在直线上，且满足． (1)求证：不论取何值，总有； (2)设直线与平面所成的锐角，求的取值范围； (3)设平面与平面所成的锐二面角的大小为，求的最大值，并求相应的的值． 【详解】(1)如图，以为原点， 以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 设，由，得， 所以，则， 而， 则， 所以，即不论取何值，总有. （2）由（1）知，， 易得平面的一个法向量为， 由直线与平面所成的角为， 则， 而，所以， 所以的取值范围为． （3）由（1）知，， 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 易得平面的一个法向量为， 平面与平面所成的锐二面角的大小为， 则， 令，则，则， 函数，当时，， 所以， 即当，，时，． 3．如图，在三棱柱中，底面是以为斜边的等腰直角三角形.侧面为菱形，点在底面上的投影为的中点，且. (1)求直线与底面所成角大小； (2)求点到侧面的距离； (3)在线段上是否存在点，使得直线与侧面所成角的正弦值为若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由. 【详解】（1） 因为点在底面上的投影为的中点，所以面， 所以直线与底面所成角就是， 因为侧面为菱形，的中点是，所以， 所以，则. （2） 如图所示，底面是以为斜边的等腰直角三角形，点在底面上的投影为的中点， 所以以为坐标原点，以分别为轴，建立空间直角坐标系， 底面是以为斜边的等腰直角三角形，，所以， 因为侧面为菱形，，所以. 可得， 所以， 设平面的法向量， 则，即， 令，解得，即平面的一个法向量， 则点到侧面的距离为. （3） 设，由（2）可知， 则， 由（2）可知平面的一个法向量， 设直线与侧面所成角为，则， 可得，解得， 因为，所以，即，所以. 4.已知是底面边长为的正四棱柱.    (1)若正四棱柱的高为1，求点到平面的距离； (2)设与底面所成角的大小为，异面直线与所成角的大小为，求证：. (3)为上任意一点，为中点，若棱上至少存在一点使得，求棱长的最大值. 【详解】（1）若正四棱柱的高为1，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，    则， 所以，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，，所以， 则点到平面的距离为， (2)设正四棱柱的高为，连接，    因为平面， 所以是与底面所成角，即， 所以，即， 因为，所以是异面直线与所成角，即， 在中，，， 所以，即， 所以． （3）连接，    由题意知，在正四棱柱中，在平面上的投影为， 因为，所以， 设，则，设棱长，则； △中，，即， 化简得，，因为，解得， 即的最大值为． 5．（24-25高三上·上海·阶段检测）如图，在三棱柱中，底面是以AC为斜边的等腰直角三角形，侧面为菱形，点在底面上的投影为AC的中点D，且AB = 2．    (1)求直线与底面所成角大小； (2)求证：； (3)求点C到侧面的距离； (4)在线段上是否存在点E，使得直线DE与侧面所成角的正弦值为？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）底面是以AC为斜边的等腰直角三角形，AB = 2，． 侧面为菱形，. D为AC的中点，. 点在底面上的投影为AC的中点D，底面. 即为直线与底面所成角， 在中，有，. 即直线与底面所成角为. (2)证明：由（1）知，平面. 平面，故， 又底面是以AC为斜边的等腰直角三角形，D为AC的中点，， 又，平面，故平面， 平面，故. （3）由（1）（2）知，平面，， 故以点D为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，   是以为斜边的等腰直角三角形，，，则. 在中，有， 则，，，，， 则，，， 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，得，，则， 则点C到侧面的距离为：. （4）假设存在满足条件的点， 则存在，使得， 则， 由（3）知，平面的一个法向量为， 因为直线与侧面所成角的正弦值为， 所以， 即，解得，又，故， 因此存在满足条件的点，且，即． 6．已知菱形如图①所示，其中且，现沿进行翻折，使得平面平面，再过点作平面，且，所得图形如图②所示. (1)求平面与平面夹角的正弦值； (2)若点满足. （i）平面，求的值； （ii）若与平面所成角为，求的最大值. 【详解】（1）如图，取中点，连接，， 由图①可知，、是正三角形， 所以，， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又因为平面，所以， 以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则、、、、， 因为，， 设平面的一个法向量， 所以， 令，得，，所以， 由题知，平面的一个法向量为， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 则平面与平面夹角的正弦值为. （2）（i）因为，，，， 所以，， 设平面的一个法向量， 所以， 令，得，，所以， 因为平面，所以，即， 解得. （ii）则，， 因为，设，以， 设平面的一个法向量为， 则， 令，则，，所以， 若与平面所成角为，则， 设，其中， 则， 当时，； 当时， ， 当时，取最小值，的最大值为. 7．如图，在长方体中，，．为线段上一动点，记．以点为坐标原点，分别以，，为轴正方向，轴正方向，轴正方向建立空间直角坐标系. (1)写出点的坐标（用表示）； (2)当平面时，求的值； (3)过点、、作截面，求点到该截面距离的最大值. 【详解】（1）解：如图所示： ， 故， 因为， 所以； （2）解：因为， 则，， 设平面的法向量为， 故且， 取，则， 由于平面时， 故， 即，解得； （3）解：， 设平面的法向量为， 则有 取， 则， 所以， 所以当时，取最大值. 所以. 8.如图，在长方体中，，，，，分别是棱，，的中点． (1)请判断直线与平面是否垂直，并证明你的结论； (2)求直线与半面所成角的正弦值； (3)在线段上是否存在一点，使得点到平面的距离是，若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【详解】(1) 结论：直线与平面不垂直， 以为坐标原点，，，，的方向分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，，， ， 所以直线与平面不垂直． （2）设平面的一个法向量， ，， ， 令，则，， 所以为平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为． (3)不存在，理由如下： 假设存在，，使得点到平面的距离是， 由（1）知，，，所以， 所以，又，， 设平面的一个法向量为， 则， 令，则， 所以平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离是， 故在线段上不存在点，使得点到平面的距离是． 9.如图，在三棱台中，，，，为的中点. (1)求证：； (2)若平面平面，求直线与直线所成角的余弦值： (3)设二面角的大小为，直线与平面的所成角的大小为，求关于的函数表达式及其定义域，并求的取值范围. 【详解】(1)过作，取中点为，连接, 由于，故四边形为等腰梯形， 故， 由于为等边三角形，故， 平面， 故平面, 平面， 故 （2）若平面平面，且两平面的交线为,, 平面， 故平面, 建立如图所示的空间直角坐标系， ,故, , 则， 故, 故 故直线与直线所成角的余弦值为 （3）设到平面的距离为，则，且在底面的投影分别为， 由于,故为， 则为钝角时，此时在三角形的外部， ， ， 故， 当为锐角时，此时在三角形的内部， ， ， 故， 为直角时，也符合， 故， 设是（上半圆，不包括端点）上的任意一点， 则可看作是半圆上一点到的斜率， 根据图可知：当直线与半圆相切时，此时直线的斜率最小为, 因此到的斜率的取值为， 因此 10.如图，在平行六面体中，，，，，.点是棱的中点，点是对角线上一点（包括端点），且满足. (1)若三点共线，求的值； (2)若对角线，求的最大值； (3)若，直线和的所成角为，求的取值范围. 【详解】（1）设基向量， 则， 因为， 所以， 因为三点共线，设， 则， 所以，即， 所以 （2）因为，且， 所以， 配方得：， 即， 故，即， 所以的最大值为. （3）解法一：， ， 则，即， ， 即 ， ， 令 ， . 解法二：因为，，所以， 又因为，所以，即， 所以直线和的所成角为， 当点和点重合时，最小为，即最大为1； 当点和点重合时，最大，即最小， ， 此时. 所以. 解法三：如图，以点为原点，为轴，为轴，建立空间直角直角坐标系. 则， 由点，得，则， 又，则， ， ， 令 ， . 11.如图，在四棱锥中，平面，，，且，，是棱的中点． (1)求点到平面的距离； (2)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值； (3)设是棱（含端点）上的动点，求直线与平面所成角的大小的取值范围． 【详解】（1）平面，且，平面， ，， ，，且，平面， 平面， 平面， 平面平面， 是中点，且， ，， 平面平面，平面， 平面， 点到平面的距离； （2） 由，可知，，两两垂直， 所以以点为坐标原点，，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，， 设平面的法向量， 则，令，得， 又易知平面的一个法向量， ， 即平面与平面所成的锐二面角余弦值为； （3）设，， 又是中点，则， 即，，，， 所以， 设平面法向量， 则，令，得， 则，， 所以直线与平面夹角满足， 当时，， 当，，且， 所以， 综上所述， 因为，所以. 12.如图，在三棱柱中，侧面为正方形，，设是的中点，满足，是的中点，是线段上的一点.    (1)证明：平面； (2)若，， ①求直线与平面所成角的大小； ②线段上是否存在点，使点到平面的距离为，若存在，求的值；若不存在，说明理由. 【详解】(1)证明：取中点E，连接，    又正方形中M是中点，由几何关系可得， 所以， 又，所以， 所以， 又，另外中位线， 三棱柱中，得， 平行线，确定了平面，且，平面， 则平面，即平面. （2）①由，，即，所以； 又，平面，所以平面， 平面，所以， 又正方形中，以A原点，建立空间直角坐标系，   ，，，，，， 设平面的一个法向量为， 则，即，取可得， 设直线与平面所成的角为， 则， 因此直线与平面所成角大小为； ②存在，或，理由如下： 不妨设，，则，， 点T到平面的距离， 即，解得或， 当时，； 当时，； 所以或. 13.如图，在四棱锥中，面，，且，，，，，E、F分别为，的中点. (1)求直线到平面的距离； (2)在线段上是否存在一点M，使得直线与平面所成角的正弦值是？若存在，求出的值，若不存在，说明理由； (3)在平面内是否存在点H，满足，若不存在，请简单说明理由；若存在，请写出点H的轨迹图形形状. 【详解】（1） 取的中点，连接， 又E为的中点，∴， 而平面，平面，∴平面， ∵G为中点，F为的中点，，∴， 而平面，平面，∴平面， 又∵平面， ∴平面平面，而平面， ∴平面， ∴直线到平面的距离等于点到平面的距离． ∵面，面，∴， 又，，面， ∴面，即面， ∴为点到平面的距离，而， ∴直线到平面的距离为． （2） 设 ()，如图，以点A为原点建立空间直角坐标系， ∴， ∴， ∴， 设平面的法向量， 则有，令，得，则， 由题意， 整理得，解得或(舍去)， 所以当时，直线与平面所成角的正弦值是． （3）由（2）知，平面的一个法向量， 点，中点，则， 则中点到平面的距离为， 由，即， 故H在以中点为球心，半径为的球面上， 而，故H在平面上的轨迹是半径为的圆， 故存在符合题意的H，此时点H的轨迹是半径为的圆． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $