精品解析：陕西渭南高级中学2026-2027学年第一学期第一阶段考试高一数学试题

渭南高级中学2026—2027学年度第一学期第一阶段考试 高一数学试题 注意事项： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分． 2．考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上． 3．作答时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、单选题：本题共8小题，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知命题：，，那么是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 集合的真子集个数为（ ） A. 16 B. 15 C. 8 D. 6 3. 已知集合，且，则（ ） A. B. 或 C. D. 4. 函数的最大值为（ ） A. 1 B. C. 3 D. 5. 集合 之间的关系是（　　） A. ⫋ B. ⫋ C. ⫋⫋ D. ⫋ 6. 已知全集，集合，，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 《几何原本》中的几何代数法(用几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”.如图所示，AB是半圆O的直径，点C是AB上一点(不同于)，点D在半圆O上，且于E，设，则该图形可以完成的“无字证明”为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，且，则的最小值是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 下列说法错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 设，且满足，则（ ） A. 有最大值为 B. 有最小值为 C. 有最小值为5 D. 有最大值为 11. 对任意，，记，并称为集合，的对称差.例如：若，，则.下列命题为真命题的是（ ） A. 若，，则{或} B. 若，且，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 三、填空题：本题共3小题，共15分． 12. 已知集合，，若，则_________. 13. 已知，，则的取值范围为________. 14. 设S为实数集R的非空子集，若对任意x，y∈S，都有x+y，x-y，xy∈S，则称S为封闭集．下列结论： ①集合S={a+b|a，b为整数}为封闭集;②若S为封闭集，则一定有0∈S;③封闭集一定是无限集;④若S为封闭集，则满足S⊆T⊆R的任意集合T也是封闭集．其中正确的是_____．(写出所有正确结论的序号) 四、解答题：本题共5小题，共64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 集合 （1）若A是空集，求a的取值范围． （2）若A中至多一个元素，求a的取值范围． 16. 已知集合、集合． （1）若，求实数的取值范围； （2）设命题：；命题：，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围． 17. 用基本不等式证明不等式 （1）已知a，b，c为不全相等的正实数，求证：； （2）已知a，b，c为正实数，且，求证：． 18. 已知集合． （1）若，求实数的值； （2）若，且，求m的值； （3）求实数的值使得． 19. 已知克糖水中有克糖（），往糖水中加入克糖（）（假设全部溶解），糖水更甜了． （1）请将这个事实表示为一个不等式并证明该不等式； （2）利用（1）的结论证明命题：“若在中，，，分别为角，，所对的边长，则”； （3）证明：设，，，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 渭南高级中学2026—2027学年度第一学期第一阶段考试 高一数学试题 注意事项： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分． 2．考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上． 3．作答时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、单选题：本题共8小题，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知命题：，，那么是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定方法求命题的否定即可得解. 【详解】由题可得是，. 故选：B 2. 集合的真子集个数为（ ） A. 16 B. 15 C. 8 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】确定集合中的元素个数，即可求解. 【详解】因为， 所以该集合的真子集的个数为， 故选：B. 3. 已知集合，且，则（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意，是集合的元素，则或， 得 或. 当时，且，集合中出现重复元素，故舍去； 当时，，，集合，符合题意. 综上，. 4. 函数的最大值为（ ） A. 1 B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】令，结合基本不等式即可求解. 【详解】令，得， 则， 当且仅当，即时，取等号， 所以函数的最大值为， 故选：D 5. 集合 之间的关系是（　　） A. ⫋ B. ⫋ C. ⫋⫋ D. ⫋ 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得，，，即可得答案. 【详解】集合， ， 所以， ， ， 所以⫋. 故选：A 6. 已知全集，集合，，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出集合的补集，再对集合分空集和非空集讨论，建立不等式关系，进而可以求解． 【详解】由已知可得或，又， 当时，，解得，此时满足题意； 当时，要满足题意，只需，解得， 综上，实数的范围为． 故选：D 7. 《几何原本》中的几何代数法(用几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”.如图所示，AB是半圆O的直径，点C是AB上一点(不同于)，点D在半圆O上，且于E，设，则该图形可以完成的“无字证明”为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆和直角三角形的性质得到、、，结合即可得. 【详解】由，可得半圆的半径， 由，， 所以， ， 由图知，则. 故选：D 8. 已知，且，则的最小值是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，得，再利用基本不等式“1”的妙用求最值 【详解】因为，所以， 所以， 又，，所以，所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以，的最小值是4. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 下列说法错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】由不等式的性质及特殊值逐项判断即可. 【详解】对于A，当时，显然不成立，错误； 对于B，由，可知，所以，正确； 对于C，取，此时，错误； 对于D，取，此时，错误； 故选：ACD 10. 设，且满足，则（ ） A. 有最大值为 B. 有最小值为 C. 有最小值为5 D. 有最大值为 【答案】BC 【解析】 【分析】利用基本不等式求出最值判断AB选项；利用基本不等式“1”的妙用求出最小值判断C选项；利用两正数的算术平均数不大于其平方平均数求出最大值判断D选项. 【详解】对于A选项：因为，，， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以有最大值为，A错误； 对于B选项：因为，，， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以有最小值为，B正确； 对于C选项：因为，，， 所以，当且仅当即 时，等号成立， 所以有最小值为5，C正确； 对于D选项：因为，，， 所以，当且仅当即时，等号成立，此时与矛盾， 所以，D错误. 故选：BC. 11. 对任意，，记，并称为集合，的对称差.例如：若，，则.下列命题为真命题的是（ ） A. 若，，则{或} B. 若，且，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，求出，根据定义得到A正确；B选项，举出反例；CD选项，可利用韦恩图进行说明. 【详解】A选项，，，故{或}，A正确； B选项，，不妨设， 则，故， 但不满足，B错误； C选项，当且A与B不是包含关系时，如图1， ①为集合且，②为集合且， ③为集合，④为集合， 表示集合①④的并集，表示集合①③④的并集， 为集合①，故为集合③④的并集， 为集合①②的并集，故为集合③④的并集，故； 当时，如图2，①为集合，表示集合①和集合的并集， 表示集合①和集合的并集，为集合，故为集合①， 为集合的并集，故为集合①，故； 如图3，当时，表示集合①，为集合， 故为集合①和集合的并集， 为集合的并集去掉的交集，即集合②部分， 故为集合①和集合的并集，故； 如图4，当时，②为且，①为， 表示集合①和②的并集，， 表示集合②，故为集合①和集合的并集， 为集合的并集去掉的交集，即集合②部分， 故为集合①和集合的并集，故. 综上，C正确； D选项，画韦恩图，如下： 情况较多，我们就第一个图进行说明， ①为且且， ②为且且， ③为且，④为， ⑤为且，⑥为， ⑦为且，⑧为且且， 表示集合①⑤②⑦的并集，故表示集合①②⑥⑧的并集， 表示集合②③⑤⑧的并集，表示集合①②⑥⑧的并集， 故， 当满足其他关系时，经检验，也满足，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：当集合之间的关系较为复杂或解决容斥原理的题型时，常常使用韦恩图来进行求解，其直观易懂，可大大减少思维量. 三、填空题：本题共3小题，共15分． 12. 已知集合，，若，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意利用集合中元素的互异性分类讨论即可求得结果. 【详解】依题意可知，由于可知， 此时， 所以，解得或(舍去) 即. 故答案为： 13. 已知，，则的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】由待定系数法可得，利用不等式性质求解即可. 【详解】设， 则， 令，解得， 故， 因为，， 所以， 所以，即， 所以的取值范围为. 故答案为： 14. 设S为实数集R的非空子集，若对任意x，y∈S，都有x+y，x-y，xy∈S，则称S为封闭集．下列结论： ①集合S={a+b|a，b为整数}为封闭集;②若S为封闭集，则一定有0∈S;③封闭集一定是无限集;④若S为封闭集，则满足S⊆T⊆R的任意集合T也是封闭集．其中正确的是_____．(写出所有正确结论的序号) 【答案】①② 【解析】 【分析】根据集合的新定义逐一判断即可. 【详解】对于整数a1，b1，a2，b2， 有a1+b1+a2+b2=(a1+a2)+(b1+b2)∈S， a1+b1-(a2+b2)=(a1-a2)+(b1-b2)∈S， (a1+b1)(a2+b2)=(a1a2+3b1b2)+(a1b2+a2b1)∈S，所以①正确． 根据封闭集的定义，0∈S可知②正确． 当S={0}时，S为封闭集，所以③错误； 取S={0}，T={0，1，2，3}时，显然2×3=6∉T，所以④错误． 故答案为：①②． 【点睛】本题考查了集合的新定义题目，考查了理解分析能力，属于基础题. 四、解答题：本题共5小题，共64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 集合 （1）若A是空集，求a的取值范围． （2）若A中至多一个元素，求a的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据题意可知方程无解，可知且，即可解得； （2）由题可得方程至多一个实数根，易知符合题意，当时需满足，即可求得a的取值范围． 【小问1详解】 由A是空集可知方程无解， 若，则方程必有解，不合题意； 若，由方程无解可得， 解得； 即a的取值范围为. 【小问2详解】 由A中至多一个元素可知方程至多一个实数根， 若，则方程有一解，符合题意； 若，则方程至多一个实数根， 即可得，解得； 综上可得，a的取值范围为或 16. 已知集合、集合． （1）若，求实数的取值范围； （2）设命题：；命题：，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出集合A，先根据，列出相应不等关系，求出的取值范围，进而求解即可； （2）由题意可判断B是A的真子集，由此列出相应不等关系，即可求得答案. 【小问1详解】 集合，而， 若，故当时，，即； 当时，或，解得. 综合上述，若，则或， 则时，，即实数的取值范围为. 【小问2详解】 命题：；命题：， 因为命题是命题的必要不充分条件，所以B是A的真子集， 当时，即，解得； 当时，或，解得. 综上所述，实数的取值范围为. 17. 用基本不等式证明不等式 （1）已知a，b，c为不全相等的正实数，求证：； （2）已知a，b，c为正实数，且，求证：． 【答案】（1）∵正数，∴，，， 又是不全相等的正数，上述三个等号不能同时取到， ∴，即， （2）∵a，b，c为正实数，且， ∴ ． 【解析】 【分析】（1）应用基本不等式，同理有的不等式式，相加后可得； （2）每个括号内通分，并代入已知条件，然后应用基本不等式可证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 已知集合． （1）若，求实数的值； （2）若，且，求m的值； （3）求实数的值使得． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）是方程的根，代入即可求a； （2）分和两种情况进行讨论即可； （3）由可得，即，分，，，四种情况讨论即可． 【小问1详解】 ∵，∴，解得． 【小问2详解】 ． 由， 若，即，满足题设， 若，即，则或， 将代入可得（不成立，舍去），或， 综上，或． 【小问3详解】 由，且，则，即， 当时，无实数根，即，解得； 当时，有两相等实数根，，则，符合题意； 当时，有两相等实数根，，则， 此时为，则，不合题意； 当时，有两实数根0和4， 此时且，解得且，则； 故综合上述，的取值范围为或． 19. 已知克糖水中有克糖（），往糖水中加入克糖（）（假设全部溶解），糖水更甜了． （1）请将这个事实表示为一个不等式并证明该不等式； （2）利用（1）的结论证明命题：“若在中，，，分别为角，，所对的边长，则”； （3）证明：设，，，证明：． 【答案】（1）由题可得，； 证明：因为，，， 所以，，，从而，即. （2）由三角形三边关系，可得，即， ， ，， 故， 所以， （3）证明：因为， 根据（1）中的结论，可得， 同向不等式相加可得，①， 又由，同理可得， 则，② 综合①②，得. 【解析】 【分析】（1）根据题意直接写出答案，利用作差法证明该不等式； （2）利用三角形的三边关系和（1）中的结论可得，再利用放缩法即可证明. （3）由（1）中的结论，得到，证得，再由， ，，由即可得证. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 略. 【小问3详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $