精品解析：浙江省绍兴市第一中学2025-2026学年高一上学期10月月考数学试卷（创新班）

绍兴一中高一10月（创新班）教学检测卷 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 下列各项中表示同一集合的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题：，，则命题的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 下列各组函数是同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. ， 4. 如图，在矩形中，分别为的中点，为中点，则（ ） A. B. C. D. 5. 若且，则 A. B. C. D. 6. 已知是定义在上的增函数，且存在函数使得，若，分别是方程和的根，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 7. 已知函数在区间上单调递增且存在零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，则在区间（    ）上一定存在零点. A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 关于向量，，的论述，其中错误的是（ ） A. 若，则或 B. 若，则 C. D. 10. 已知函数，则（ ） A. 的图象关于点对称 B. 的图象关于直线对称 C. 在单调递增 D. 函数有两个零点 11. 已知定义在上的偶函数和奇函数满足，则（    ） A. 的图象关于点对称 B. 是以8为周期的周期函数 C. D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知正六边形，､分别是对角线､上的点，使得，当___________时，､､三点共线. 13. 已知对恒成立，则的最小值为______. 14. 若实数，满足，则的最大值为______. 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 求下列各式的值： （1）； （2）； （3）. 16. 设函数，，记的解集为，的解集为. （1）求； （2）当时，求的最大值. 17. 已知函数，函数． （1）当时，求函数的值域； （2）若不等式对任意实数恒成立，试求实数的取值范围． 18. 如图，摩天轮的半径为40米，中心轴距地面50米．启动后，逆时针匀速旋转一周需要15分钟．某乘客从摩天轮最低处登舱，该舱的底部离地面的高度（单位：米）（忽略座舱本身高度）与启动后开始计时的时间（单位：分钟）的关系可表示为，其中． （1）求该乘客首次达到70米高度所需时间． （2）在直角坐标系上的图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，再向左平移个单位长度，得到的图象，其中． ①求的值； ②求在上的单调递增区间． 19. 已知函数． （1）若，求函数在上的值域； （2）若关于的方程恰有三个不等实根，且. (i)求证：； (ii)求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绍兴一中高一10月（创新班）教学检测卷 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 下列各项中表示同一集合的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合的概念及分类对选项一一判断，得到答案. 【详解】A选项，是坐标系内不同的两个点，故不表示同一集合，A错误； B选项，是同一个集合，B正确； C选项，是点集，是数集，不是同一集合，C错误； D选项，为点集，为数集，D错误. 故选：B 2. 已知命题：，，则命题的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称命题的否定即可得到答案. 【详解】根据全称命题的否定得到命题的否定为， . 故选：C. 3. 下列各组函数是同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】函数相等的充要条件是对应法则、定义域相同，由此逐一判断各个选项即可得解. 【详解】对于选项A：由函数可得，解得， 可知函数的定义域为； 由函数可得，解得， 可知函数的定义域为； 两个函数的定义域不同，因此不是同一个函数，故A错误． 对于选项B：函数的定义域为，函数的定义域为， 两个函数的定义域不同，因此不是同一个函数，故B错误． 对于选项C：函数的定义域为， 函数的定义域为， 两个函数的定义域不同，因此不是同一个函数，故C错误． 对于选项D：函数、的定义域均为， 且，可知定义域与对应法则均相同，因此是同一个函数，故D正确． 故选：D. 4. 如图，在矩形中，分别为的中点，为中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据题意得到，，再根据求解即可. 【详解】连接，如图所示： 因为分别为的中点， 所以， ， 因为为中点， 所以. 故选：C 5. 若且，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用特值法或利用对数函数的图象与性质即可得到结果. 【详解】（方法一）对选项A：由，从而，，，从而选项A错误； 对选项B：首先，，，从而知最小，下只需比较与的大小即可，采用差值比较法： ， 从而，选项B正确； 对于选项C：由，，知C错误； 对于选项D：可知，从而选项D错误； 故选B （方法二）取，，代入验证知选项B正确. 【点睛】本题考查式子间大小的比较，考查对数函数的图象与性质，考查运算能力，属于常考题型. 6. 已知是定义在上的增函数，且存在函数使得，若，分别是方程和的根，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】利用已知条件可分别得到关于和的关系式，再利用将关系式变形得到和，最后借助函数的单调性即可求解. 【详解】是的根，，即，① 是的根，，即， 存在函数使得，，② 是定义在上的增函数，在上单调递增， 由①②可得， ， 又，即， ，即. 故选：B. 7. 已知函数在区间上单调递增且存在零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据在区间上单调递增，得到，换元法得到，根据的性质得到不等式组，求出或，得到答案. 【详解】设函数的最小正周期为，因为在区间上单调递增， 所以，解得，所以. 令，则当时，. 因为在区间上单调递增且存在零点， 所以，解得， 又，时，得，时，得，其他值，均不合要求， 所以或， 所以的取值范围是. 故选：C 8. 已知函数，则在区间（    ）上一定存在零点. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】按照和两种情况讨论，结合题意可设，，进而结合零点存在性定理分析判断即可. 【详解】由， 当时，函数开口向上，且，则函数必然有两个零点， 可设，要使在上存在零点， 则，即， 而的取值不确定，则在上不一定存在零点； 要使在上存在零点， 则，即， 而的取值不确定，则在上不一定存在零点； 要使在上存在零点， 则或， 即或，则， 所以在上一定存在零点； 要使在上存在零点， 则或， 即或，而的取值不确定， 所以在上不一定存在零点. 同理，当时，函数开口向下，且， 要使在上存在零点， 则，即， 而的取值不确定，则在上不一定存在零点； 要使在上存在零点， 则，即， 而的取值不确定，则在上不一定存在零点； 要使在上存在零点， 则或， 即或，则， 所以在上一定存在零点； 要使在上存在零点， 则或， 即或，而的取值不确定， 所以在上不一定存在零点. 综上所述，函数在一定存在零点. 故选：C. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 关于向量，，的论述，其中错误的是（ ） A. 若，则或 B. 若，则 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，存在垂直的情况；对B，可能为0；对C，根据的特殊性即可判断；对D，根据向量数量积的运算律即可判断判断. 【详解】对于选项A，结论少了（且都是非零向量）的情形，故是假命题； 对于选项B，若，则或，故是假命题； 对于选项C，结论，故是真命题； 对于选项D，为与共线的向量，而是与共线的向量，两者一般情况下不等，故D错误. 故选：ABD. 10. 已知函数，则（ ） A. 的图象关于点对称 B. 的图象关于直线对称 C. 在单调递增 D. 函数有两个零点 【答案】ACD 【解析】 【分析】先求出函数的定义域，然后将函数利用对数的运算变形，再利用复合函数的单调性的判断法则以及二次函数的性质依次判断A,B,C即可；分析函数与函数的单调性结合图象的交点，即可判断函数零点个数，从而判断D. 【详解】函数定义域为，又， 令，，在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增， 所以在上单调递增，故选项C正确； 因为， 所以函数的对称中心为对称，故选项B错误，选项A正确； 因为，所以函数，函数， 所以在上单调递减，在上单调递增，又函数在上为增函数， 则函数与函数在平面直角坐标系中的图象如下图所示： 故函数与函数在区间上有两个交点，即函数有两个零点，故D正确. 故选：ACD． 11. 已知定义在上的偶函数和奇函数满足，则（    ） A. 的图象关于点对称 B. 是以8为周期的周期函数 C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据函数奇偶性以及表达式，可得，则的图象关于点对称，故A错误；化简可得，故B正确；又，，可得，故C错误；利用赋值法可求得，故D正确． 【详解】对于A，由题意，，且， 又，即①， 用替换中的，得②， 由①+②得，所以的图象关于点对称，故A错误； 对于B，由，可得， 即， 所以， 所以是以8为周期的周期函数，故B正确； 对于C，由①可得，且， 则， 所以，故C错误； 对于D，因为，为偶函数，所以， 令，则有， 令，则有， 令，则有， ， 令，则有， 所以 ，故D正确． 故选：BD． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知正六边形，､分别是对角线､上的点，使得，当___________时，､､三点共线. 【答案】 【解析】 【分析】连结AD，交EC于G点，根据正六边形的性质，表示出，然后根据，表示成，由共线定理求得参数r的值. 【详解】连结AD，交EC于G点，设正六边形边长为a，由正六边形的性质知，，，G点为EC的中点，且， 则， 又，（），则，， 故，即 若B、M、N三点共线，由共线定理知， ，解得或（舍） 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题的解题关键在于用向量表示，从而根据，把向量表示成，若B、M、N三点共线，由共线定理可以求得参数. 13. 已知对恒成立，则的最小值为______. 【答案】6 【解析】 【分析】首先分析函数在区间的零点和正负区间，再根据不等式分析函数的零点，利用韦达定理表示 关系，再结合基本不等式，即可求解. 【详解】当，，则， 当，， 当，，， 当，， 当，，， 若对恒成立， 则，并且函数的两个零点分别是1和7， 则，则，，， 所以， 当，，即时，等号成立， 所以的最小值为6. 故答案为：6 14. 若实数，满足，则的最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】已知条件可化为，故可设，从而目标代数式可化为，利用基本不等式可求其最大值. 【详解】由，得， 设，其中，则， 从而， 故 记，则， 要求最大值，则只需考虑，则, 当且仅当，即时取等号，即最大值为. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 求下列各式的值： （1）； （2）； （3）. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据对数运算性质和换底公式化简求值即可. （2）利用两角和正切公式化简即可得到结果. （3）根据同角三角函数基本关系切化弦和两角差的正弦公式、二倍角公式即可化简计算. 【小问1详解】 原式； 【小问2详解】 原式 ； 【小问3详解】 原式. 16. 设函数，，记的解集为，的解集为. （1）求； （2）当时，求的最大值. 【答案】（1）. （2） 【解析】 【分析】（1）分和两种情况解不等式即可； （2）求出交集后，化简原式，用二次函数求最值． 【小问1详解】 因为 当时，由，解得，所以； 当时，由，解得，所以； 所以的解集为. 【小问2详解】 由，得，解得， 因此，故. 当时，，于是 ， 其中当且仅当时等号成立， 所以的最大值为. 17. 已知函数，函数． （1）当时，求函数的值域； （2）若不等式对任意实数恒成立，试求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用换元，设，将化为，结合二次函数的性质即可求得答案； （2）结合（1）的结论，将不等式对任意实数恒成立转化为，整理为，求出的范围，即可求得答案. 【小问1详解】 设，则， 则即化为， 在上单调递增， 当时，，当时，， 即 的值域是． 【小问2详解】 由不等式对任意实数恒成立得， 由（1）可知，． ，，即， 即， 整理得，即， 解得， 实数x的取值范围为． 18. 如图，摩天轮的半径为40米，中心轴距地面50米．启动后，逆时针匀速旋转一周需要15分钟．某乘客从摩天轮最低处登舱，该舱的底部离地面的高度（单位：米）（忽略座舱本身高度）与启动后开始计时的时间（单位：分钟）的关系可表示为，其中． （1）求该乘客首次达到70米高度所需时间． （2）在直角坐标系上的图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，再向左平移个单位长度，得到的图象，其中． ①求的值； ②求在上的单调递增区间． 【答案】（1）5分钟 （2）①， ；②和 【解析】 【分析】（1）由题意结合正弦函数的性质求出解析式，再令，解出可得； （2）①由函数平移的性质解出即可； ②正体代入利用正弦函数的递增区间求解可得；②其他解答方法：先求出相位，得到摩天轮刚好转了一周，再由和解出即可. 【小问1详解】 已知摩天轮半径米，中心轴距地面50米，所以，． 旋转一周需要分钟，根据，可得． 乘客从最低点登舱，此时，，代入得 ，即， 取，则． 令，即． 化简可得，即． 根据正弦函数性质时，或，， 这里，求首次达到高度时间，取． 即，移项得到，解得分钟． 综上，该乘客首次达到70米高度所需时间为5分钟； 【小问2详解】 ①由（1）可得：． 若函数变换为．纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，因此． 解得． 再向左平移个单位长度，由，解得：． 综上，和的值为和． ②函数在时递增 解不等式：，解得： 对于，由于，区间为． 对于，由于，区间为． 因此，在的单调增区间和． （2）②其他解答方法： 时，相位．，摩天轮刚好转了一周． 由得：，由得， 故在的单调递增区间为和． 19. 已知函数． （1）若，求函数在上的值域； （2）若关于的方程恰有三个不等实根，且. (i)求证：； (ii)求的最大值． 【答案】（1）． （2）(i)， 显然：当时，， 由于方程有三个不等实根，所以必有， 令，则，显然有， 由， 得到，所以函数关于直线对称， 由，可得：， (ii)12 【解析】 【分析】（1）根据和的单调性可得在上单调递减，进而可求解； （2）(i)构造，根据，可得关于直线对称，进而可得； (ii)即可代入化简得的表达式，即可结合二倍角公式以及二次函数的性质求解． 【小问1详解】 若， 因为函数和均在上单调递减， 所以函数在上单调递减，故， 所以函数在上的值域为． 【小问2详解】 (i)略 (ii)于是， ， ①， 由可得：②， 将②代入①式可得： ，当且仅当时等号成立， 故的最大值为12． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $