江苏省震泽中学2026-2027学年高二上学期第一周周末数学练习

**基本信息** 高二数学周末测试聚焦等差数列，融合《周髀算经》节气影长、“中国剩余定理”等文化素材，通过基础计算、新定义理解、综合应用分层设题，培养数学抽象与推理能力。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|7|等差数列定义、通项公式、性质|第2题以《周髀算经》节气影长考查等差应用| |多选题|2|等方差数列新定义、数列性质|第9题结合新定义与等差数列判定，培养创新意识| |填空题|4|中国剩余定理、递推关系求通项|第10题“物不知数”问题抽象为等差数列模型| |解答题|6|前n项和、通项公式、单调性讨论|第16题含参数数列单调性分析，发展逻辑推理|

江苏省震泽中学高二数学第一周周末测试 一、单选题 1．已知数列为等差数列，其中，为方程的两根，则（ ） A． B． C． D． 2．我国古代著名的《周髀算经》中提到：凡八节二十四气，气损益九寸九分六分分之一；冬至晷长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺六寸．意思是：二十四个节气可以通过特定标记的日影长度来确定，每相邻两个节气之间的日影长度差为分；“冬至”时日影长度最大，为1350分，“夏至”时日影长度最小，为160分．则“立秋”时日影长度为（    ） 附：二十四节气表 立春 雨水 惊蛰 春分 清明 谷雨 立夏 小满 芒种 夏至 小暑 大暑 立秋 处暑 白露 秋分 寒露 霜降 立冬 小雪 大雪 冬至 小寒 大寒 A．分 B．分 C．分 D．分 3．已知数列为等差数列，且，则（     ） A． B． C． D． 4．若且，则“”是“为等差数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 5．在等差数列中，，.记，则数列（） A．有最大项，无最小项 B．无最大项，有最小项 C．有最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项 6．记等差数列的公差为，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知数列与均为等差数列，且，则（    ） A．14 B．7 C．10 D．5 二、多选题 8．已知数列中，，，，其前项和为，则（   ） A． B． C． D． 9．若各项为正的无穷数列满足：对于，其中为常数，则称数列为等方差数列.那么（    ） A．是等方差数列 B．若数列是等方差数列，则数列是等差数列 C．若数列既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列 D．若数列是等方差数列，则数列为常数）也是等方差数列 三、填空题 10．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，《孙子算经》中“物不知数”问题的解法符合关于同余式解法的一般性定理，因而也称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：在1到2026这2026个数中，取能被4除余3且被6除余3的数按照从小到大的顺序排成一列，构成数列，则数列的项数为_________． 11．已知各项均为正数的数列满足：，，则数列的通项公式为______ 12．设为数列的前项积，若，其中常数，则_______（结果用表示）；若数列为等差数列，则_______． 13．已知无穷等差数列中的各项均大于0，且，则的最小值为___________. 四、解答题 14．等差数列的前项和为，且满足，. (1)求数列的通项公式；(2)求和的等差中项.(3)求. 15．已知正项数列的前项和为，．求数列的通项公式； 16．已知数列的前n项和（），数列满足． (1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前n项和； (3)设数列满足（为非零整数，），问是否存在整数，使得数列是单调递增数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由 17已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝，an＝－2SnSn－1(n≥2)． (1)求证：数列是等差数列； (2)求Sn和an. 18. 记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知． （1）证明：数列是等差数列; （2）求的通项公式． 19.数列{an}中，a1 1，a2 2．数列{bn}满足，． （1）若数列{an}是等差数列，求数列{bn}的前6项和S6； （2）若数列{bn}是公差为2的等差数列，求数列{an}的通项公式； 一、单选题 1．已知数列为等差数列，其中，为方程的两根，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由根与系数的关系及等差中项的性质求. 数列为等差数列，其中，为方程的两根， 由题，根据韦达定理可得， 由等差数列的中项性质得，所以. 2．我国古代著名的《周髀算经》中提到：凡八节二十四气，气损益九寸九分六分分之一；冬至晷长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺六寸．意思是：二十四个节气可以通过特定标记的日影长度来确定，每相邻两个节气之间的日影长度差为分；“冬至”时日影长度最大，为1350分，“夏至”时日影长度最小，为160分．则“立秋”时日影长度为（    ） 附：二十四节气表 立春 雨水 惊蛰 春分 清明 谷雨 立夏 小满 芒种 夏至 小暑 大暑 立秋 处暑 白露 秋分 寒露 霜降 立冬 小雪 大雪 冬至 小寒 大寒 A．分 B．分 C．分 D．分 【答案】C 【详解】由题意知，每相邻两个节气之间的日影长度差为分， “夏至”时日影长度最小，为160分，“夏至”之后，每往后一个节气日影长度增加分, 则“夏至”对应等差数列的首项，公差，则. 由二十四节气表可知，“立秋”是该数列的第4项，则. 故“立秋”时日影长度为分. 3．已知数列为等差数列，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】可知，化简得，即. 4．若且，则“”是“为等差数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【详解】由及等差数列的性质知， 若为等差数列，则，必要性成立； 数列：1，5，3，7满足，但不是等差数列，充分性不成立. 则“”是“为等差数列”的必要不充分条件. 5．在等差数列中，，.记，则数列（） A．有最大项，无最小项 B．无最大项，有最小项 C．有最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项 【答案】A 【分析】根据题意求出等差数列通项公式，将数列前几项写出来，通过分析判定即可. 【详解】由得公差: 首项，故。 由得， 因此：当时，；当时，， ,，， ，，， 可见在时取到最大正值， 当时，，随着增大单调递增，无最小项. 故选：A 6．记等差数列的公差为，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用等差数列通项公式，结合已知等式及不等式，列出关于的一元二次不等式求解即可. 【详解】在等差数列中，由，得， 整理得，由，得，因此， 解得，所以的取值范围是. 故选：C 7．已知数列与均为等差数列，且，则（    ） A．14 B．7 C．10 D．5 【答案】B 【详解】因为，所以，即， 又数列与均为等差数列，所以，解得. 故选：B. 二、多选题 8．已知数列中，，，，其前项和为，则（   ） A． B． C． D． 由，得， 所以数列是以为公差的等差数列， 而，，所以，得，故A正确； 所以，得，故B正确； 令，解得，对于， 为正，且依次递增； 为负，且依次递增， 所以，故C错误； ，故D正确. 故选：ABD 9．若各项为正的无穷数列满足：对于，其中为常数，则称数列为等方差数列.那么（    ） A．是等方差数列 B．若数列是等方差数列，则数列是等差数列 C．若数列既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列 D．若数列是等方差数列，则数列为常数）也是等方差数列 对于选项A， ，不是常数，所以A错误. 对于选项B， 若数列是等方差数列，则满足， 根据定义可知数列是公差为的等差数列，B正确. 对于选项C， 因为数列是等方差数列，则满足①， 因为数列是等差数列，则满足②， ①②联立可得：，因为， 所以，所以该数列为常数列，所以C正确. 对于选项D， 因为数列是等方差数列，则满足， 由选项B可知，数列数列是公差为的等差数列， 所以，为常数，所以数列是等方差数列，所以D正确. 故选：BCD. 三、填空题 10．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，《孙子算经》中“物不知数”问题的解法符合关于同余式解法的一般性定理，因而也称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：在1到2026这2026个数中，取能被4除余3且被6除余3的数按照从小到大的顺序排成一列，构成数列，则数列的项数为_________． 题目要求数满足两个条件：被4除余3、被6除余3，即该数减去3之后，既能被4整除，也能被6整除. 即为4和6的最小公倍数12的倍数， 因此所有符合要求的数都可以表示为， 显然数列为等差数列，且首项为3，公差为12. 由，则，解得 . 由于是正整数，的取值为，总共有169项. 11．已知各项均为正数的数列满足：，，则数列的通项公式为______ 当时，由，得，则， 当时，，∴， 当时，，∴为奇数时， ； 当时，，∴为偶数时，， ∴. 故答案为：. 12．设为数列的前项积，若，其中常数，则_______（结果用表示）；若数列为等差数列，则_______． 因为为数列的前项积，， 时，， 当时，，即， 时，， 则， 若数列 为等差数列，则， 所以， 整理得，， 解得或． 检验：当时，，则时，，则，即 ， 故为以为首项，1为公差的等差数列； 当时，,则时，，则， 故，得， 即 ，又，故为常数列，即,易知其为等差数列. 故答案为：；1或2． 【点睛】关键点点睛：本题考查数列递推关系求通项，关键是特值思想求值并证明. 13．已知无穷等差数列中的各项均大于0，且，则的最小值为___________. 根据题意，设等差数列的公差为，由于无穷等差数列中的各项均大于0，则， 由于，则，解得或（舍去）， 所以， 因为，所以， 令（），则， 由，得，得，解得或（舍去）。 当时，，当时，， 所以在上递减，在上递增， 所以当时，取得最小值， 所以的最小值为， 故答案为： 【点睛】关键点点睛：此题才查等差数列的性质的应用，考查导数的应用，解题的关键是由已知求出，则，然后构造函数，利用导数可求得其最小值，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题. 四、解答题 14．等差数列的前项和为，且满足，. (1)求数列的通项公式； (2)求和的等差中项. (3)求. （1）在等差数列中，，则公差， 由，得，因此，， 所以数列的通项公式. （2）由（1）得和的等差中项为. （3）由（1）得. 15．已知正项数列的前项和为，．求数列的通项公式； 【答案】(1)， 当时，， 当时，，， 两式相减得：， ． 又因为是正项数列，则， 则是首项为1，公差是2的等差数列，则，； 16．已知数列的前n项和（），数列满足． (1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前n项和； (3)设数列满足（为非零整数，），问是否存在整数，使得数列是单调递增数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由 【详解】（1）当时，，解得； 当时，，， 相减得到， ，， 数列是等差数列，，故，，验证时，满足， 故. （2）已知 所以 . （3），故 假设存在满足条件， ， 当时，，即，即； 当时，，即，即； 综上所述：，为非零整数，故. 17已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝，an＝－2SnSn－1(n≥2)． (1)求证：数列是等差数列； (2)求Sn和an. [听前试做]　(1)证明：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－2SnSn－1，① ∵S1＝a1≠0，由递推关系知Sn≠0(n∈N*)， 由①式得－＝2(n≥2)．∴是等差数列，其中首项为＝＝2，公差为2. (2)由(1)知＝2＋2(n－1)＝2n，∴Sn＝.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－， 当n＝1时，a1＝S1＝不适合上式，∴an＝ 18. 记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知． （1）证明：数列是等差数列; （2）求的通项公式． 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】 【分析】（1）由已知得,且，取,得,由题意得,消积得到项的递推关系,进而证明数列是等差数列; （2）由（1）可得的表达式,由此得到的表达式,然后利用和与项的关系求得. 【详解】（1）由已知得,且，, 取,由得, 由于为数列的前n项积， 所以, 所以， 所以, 由于 所以，即,其中 所以数列以为首项，以为公差等差数列; （2）由（1）可得，数列是以为首项，以为公差的等差数列， , , 当n=1时，, 当n≥2时,,显然对于n=1不成立, ∴. 19.数列{an}中，a1 1，a2 2．数列{bn}满足，． （1）若数列{an}是等差数列，求数列{bn}的前6项和S6； （2）若数列{bn}是公差为2的等差数列，求数列{an}的通项公式； 解：（1）∵a1 1，a2 2，数列{an}是等差数列，∴． 则b1 b3 b5 1，b2 5，b4 9，b6 13． ∴S6 b1 b2 … b6 30． （2）∵b1 a2 a1 2 1 1，数列{bn}是公差为2的等差数列，∴bn 2n 1． ∵b2n 1 a2n a2n－1，b2n a2n＋1 a2n， ∴a2n a2n－1 4n 3，a2n＋1 a2n 4n 1． ∴a2n＋1 a2n 1 2． 则a2n＋3 a2n 1 2．∴a2n＋3 a2n 1．（*） ∵a1 1，∴a3 1．则a4n 3 a1 1，a4n 1 a3 1． ∴a2n 1 1． 则a2n 4n 2． ∴ 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $