4.1 数列的概念专项训练（六大题型+专项练习）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

**基本信息** 聚焦数列递推关系，通过六类题型系统覆盖递推应用、通项求解、性质研究、实际建模及参数讨论，以题载知，培养数学抽象与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |根据递推公式写项|4题|直接应用递推关系计算|从递推概念到基础应用| |由递推求通项|4题|含不同递推类型（如an+1=an+f(n)）|递推关系到通项公式的转化| |递推数列性质研究|4题|结合斐波那契数列等模型|性质分析深化对递推本质的理解| |求递推关系式|4题|从图形/实际问题抽象关系|实际情境到数学模型的构建| |递推数列实际应用|4题|如兔子繁殖、灯塔宫灯问题|数学语言表达现实世界| |单调性求参数|4题|结合函数单调性分析|递推与函数性质的综合应用|

4.1 数列的概念 题型一 根据数列递推公式写出数列的项 1．已知数列的前n项和为，且，，则（   ） A． B． C． D． 2．已知数列 满足 ,则 的值可能为（    ） A． B．1 C． D． 3．数列满足，且，，则________． 4．已知数列满足，，是常数. (1)当时，求及的值； (2)当时，求数列的通项公式. 题型二 由递推关系式求通项公式 5．已知数列满足，，记的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 6．已知数列满足，，则（    ） A． B．是周期数列 C． D．数列的前项和为4 7．数列的前项和记为，，当时，，则的通项公式为____________． 8．已知数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)若是递减数列，求实数的取值范围. 题型三 由递推数列研究数列的有关性质 9．“斐波那契数列”由意大利数学家列昂纳多·斐波那契发现，因为斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称该数列为“兔子数列”．斐波那契数列满足：，，，记其前项和为，设(为常数)，则（    ）． A． B． C． D． 10．假定有一排蜂房，形状如图所示，一只蜜蜂在左下角，由于受了伤，只能爬行，假设只能向右（包括右上，右下，不允许往回走）从一间蜂房爬到与之相邻的蜂房中去，这只蜜蜂从蜂房出发，想爬到第号蜂房，记该蜜蜂爬到第号蜂房的路线数为数列，则（    ）    A． B． C． D． 11．已知数列满足，，则________． 12．无穷数列满足：为正整数，且对任意正整数，记，（定义为集合A中的元素个数）． (1)若，请写出数列的前项； (2)求证：对于任意正整数，必存在，使得； (3)求证：“”是“存在，当时，恒有成立”的充要条件． 题型四 求递推关系式 13．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒或小石子来研究数.他们根据沙粒或小石头所排列的形状把数分成许多类，如图的称为五边形数，若五边形数所构成的数列记作，则下列是数列的项的是（    ） A．36 B．50 C．70 D．91 14．一小孩玩抛硬币跳格子游戏，规则如下：抛一枚硬币，若正面朝上，则往前跳两格；若反面朝上，则往前跳一格.记跳到第格有种情况，数列的前项和为，则（   ） A． B． C． D． 15．已知数列满足，，则前5项和的最大值为______． 16．设条直线最多把平面分成部分，其求法如下：易知一条直线最多把平面分成部分，两条直线最多把平面分成部分，3条直线分平面，要使所得部分尽量多，则第三条直线必与前两条直线都相交，产生2个交点，这2个交点都在第3条直线上，并把第三条直线分成3段，这3段的每一段都在部分的某部分中，它把所在部分一分为二，故增加了3部分，即，依次类推得，累加化简得．根据上面的想法，设个平面最多把空间分成部分，且 (1)求出 (2)写出与之间的递推关系式 (3)求出数列的通项公式 题型五 递推数列的实际应用 17．韩城司马迁祠内有一座4层仿古灯塔，顶层悬挂2盏宫灯，且每下一层灯数是上一层的平方加1，问整座塔共悬挂多少盏灯（    ） A．710 B．711 C．712 D．713 18．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，记为数列的前n项和，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 19．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，…，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列称为“斐波那契数列”，记为.利用下图所揭示的的性质，则在等式中，______. 20．已知数列满足我们知道当a取不同的值时，得到不同的数列，如当a＝1时，得到无穷数列：1，2，，…；当a＝时，得到有穷数列：，﹣1，0. （1）求当a为何值时； （2）设数列满足，求证：a取数列中的任一个数，都可以得到一个有穷数列； （3）若，求a的取值范围. 题型六 根据数列的单调性求参数 21．设数列的通项公式为，若数列是单调递增数列，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 22．已知递增数列的通项公式为，则的值可能为（    ） A． B． C．2 D．6 23．已知数列的通项公式为，，若是递增数列，则的取值范围是______． 24．已知数列的前项和． (1)求数列的通项公式； (2)若，求实数的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.1 数列的概念 题型一 根据数列递推公式写出数列的项 1．已知数列的前n项和为，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先对为奇数和偶数进行分类讨论，整理得到，从而得到，为常数数列，从而推出定值，进而代入即可求出的值． 【详解】当时，，① 当时，，② 将①代入②得， 所以， 又，则，即， 所以， 所以， 所以． 2．已知数列 满足 ,则 的值可能为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】BC 【详解】由已知. 两边同乘消去分母得： . 移项整理：. 提取公因式：， 即， 故分两种情况： ① ，因为，所以 ②，则. 3．数列满足，且，，则________． 【答案】 【详解】由已知，， 当时，，代入，，得， 当时，，代入，，得． 4．已知数列满足，，是常数. (1)当时，求及的值； (2)当时，求数列的通项公式. 【答案】(1), (2) 【分析】（1）根据递推公式建立方程，求出，代入求出； （2）利用累乘法求通项公式. 【详解】（1），所以， （2）当时，，即, 当时，， 所以，因为，所以， 经检验符合，所以. 题型二 由递推关系式求通项公式 5．已知数列满足，，记的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由递推式得到相邻项比值，累乘法推出数列通项， 最后用裂项相消法求和，中间项全部抵消，快速算出前2026项和. 【详解】由，得，当时，，…，， 以上各式相乘，得， 又＝1，所以（）， 因为＝1满足上式，所以， 因为， 所以. 6．已知数列满足，，则（    ） A． B．是周期数列 C． D．数列的前项和为4 【答案】ABD 【分析】根据数列的递推公式及数列的函数性质求解即可. 【详解】由题意得，，，，， 则是周期为4的周期数列， 且，故AB正确； 当时，，故C错误； ， 前项的和： ，故D正确. 7．数列的前项和记为，，当时，，则的通项公式为____________． 【答案】 【详解】当时，，所以，解得， 当时，由，得， 两式相减得， 所以，所以， 所以， 又，所以， 所以是以3为常数的常数数列， 所以，所以. 8．已知数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)若是递减数列，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过累加法求出数列的通项公式； （2）先根据是递减数列得到，再结合数列的通项公式，通过分离参数法求出的取值范围. 【详解】（1）因为，所以， 所以，，，， 将上述个式子相加，得：， 设， 则， 所以， 所以， 所以， 又，所以， 当时，，上式也成立， 所以； （2）因为是递减数列，所以， 即， 由（1）可知，，所以， 设，则， ， 当时，，即； 当时，，即； 所以是数列的最大项，即， 所以，实数的取值范围是. 题型三 由递推数列研究数列的有关性质 9．“斐波那契数列”由意大利数学家列昂纳多·斐波那契发现，因为斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称该数列为“兔子数列”．斐波那契数列满足：，，，记其前项和为，设(为常数)，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用数列前项和的定义将待求式转化为对应项的和，再结合斐波那契数列的递推公式化简即可得到结果. 【详解】根据数列前项和的性质，对任意，有， 因此：， 结合斐波那契数列的递推关系，可得，， 代入上式得： 已知，故原式的值为. 10．假定有一排蜂房，形状如图所示，一只蜜蜂在左下角，由于受了伤，只能爬行，假设只能向右（包括右上，右下，不允许往回走）从一间蜂房爬到与之相邻的蜂房中去，这只蜜蜂从蜂房出发，想爬到第号蜂房，记该蜜蜂爬到第号蜂房的路线数为数列，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由题意可得且，据此计算判断ABCD即可. 【详解】由题意可知，该蜜蜂爬到第1号蜂房的路线数为1，该蜜蜂爬到第2号蜂房的路线数为2， 该蜜蜂爬到第3号蜂房的路线数为3，该蜜蜂爬到第4号蜂房的路线数为5， 该蜜蜂爬到第5号蜂房的路线数为8，， 该蜜蜂爬到第号蜂房的路线数为，即， 所以，，，故A正确； 由，得， 所以，所以，故B错误； ，故C正确； 由，得， 所以 ，故D正确. 11．已知数列满足，，则________． 【答案】 【分析】通过计算数列确定其周期性，再利用周期性质计算的值. 【详解】由题意，，，根据递推公式， 所以，， 即，，因此数列是周期为的周期数列. 又因为，故. 12．无穷数列满足：为正整数，且对任意正整数，记，（定义为集合A中的元素个数）． (1)若，请写出数列的前项； (2)求证：对于任意正整数，必存在，使得； (3)求证：“”是“存在，当时，恒有成立”的充要条件． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）. （2）假设存在正整数，使得对任意的，. 由题意，，考虑数列的前项： 其中至少有项的取值相同， 不妨设此时有：矛盾. 故对于任意的正整数，必存在，使得. （3）当时，数列为. 特别地，，，故对任意的： 若为偶数，则； 若为奇数，则. 综上，恒成立，特别地，取，有当时，恒有成立. 假设存在，使得“存在， 当时，恒有成立”，则数列的前项为： 后面的项顺次为： 对任意的，总存在，使得，，这与矛盾， 故若存在，当时，恒有成立，必有. 综上，“”是“存在，当时，恒有成立”的充要条件. 题型四 求递推关系式 13．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒或小石子来研究数.他们根据沙粒或小石头所排列的形状把数分成许多类，如图的称为五边形数，若五边形数所构成的数列记作，则下列是数列的项的是（    ） A．36 B．50 C．70 D．91 【答案】C 【分析】根据前四项推出判断. 【详解】解：由已知得，， ，所以， 所以. 故选：C 14．一小孩玩抛硬币跳格子游戏，规则如下：抛一枚硬币，若正面朝上，则往前跳两格；若反面朝上，则往前跳一格.记跳到第格有种情况，数列的前项和为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】由题意得出递推公式，逐个代入依次求解出. 【详解】根据题意，跳到第格有两种可能，一种是从第格跳过来，有种方式， 另一种是从第格跳过来，有种方式，所以． 因为 所以. 所以，， 故选：BCD. 15．已知数列满足，，则前5项和的最大值为______． 【答案】8 【分析】由题，去绝对值得，又，故间需要两个和两个，要使前5项和最大，只需使尽可能大即可. 【详解】由得，又， 即，所以需要两个和两个， 前5项和，要得到最大值，需要尽可能大，故，从而，则有最大值，为8， 故答案为：8 16．设条直线最多把平面分成部分，其求法如下：易知一条直线最多把平面分成部分，两条直线最多把平面分成部分，3条直线分平面，要使所得部分尽量多，则第三条直线必与前两条直线都相交，产生2个交点，这2个交点都在第3条直线上，并把第三条直线分成3段，这3段的每一段都在部分的某部分中，它把所在部分一分为二，故增加了3部分，即，依次类推得，累加化简得．根据上面的想法，设个平面最多把空间分成部分，且 (1)求出 (2)写出与之间的递推关系式 (3)求出数列的通项公式 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据条件，找出规律，依次求出前3项，即可求出的值； （2）根据规律，归纳推理，即可得到递推关系式； （3）利用叠加法和等差数列求和公式及连续自然数平方和公式，便可求出通项公式. 【详解】（1）设个平面最多把空间分成部分； 1个平面最多把空间分成2个部分；即； 2个平面最多把空间分成4个部分，增加了2个部分，即； 3个平面分空间，要使所得部分尽量多，则第三个平面必与前两个平面都相交，产生2条交线，这2条交线都在第3个平面上，并把第三个平面分成4部分平面区域，这4部分平面区域的每一部分区域都在部分空间的某部分空间中，它把它所在部分空间一分为二，故增加了4部分空间，即； 4个平面分空间，要使所得部分尽量多，则第4个平面必与前3个平面都相交，产生3条交线，这3条交线都在第4个平面上，并把第4个平面分成7部分平面区域，这7部分平面区域的每一部分区域都在部分空间的某部分空间中，它把它所在部分空间一分为二，故增加了7部分空间，即； （2）由小问（1）知： ， ， ， ， 依次类推 ， 所以； （3）由小问（2）知： ， ， ， ， ， 叠加可得， 根据，， 化简可得. 题型五 递推数列的实际应用 17．韩城司马迁祠内有一座4层仿古灯塔，顶层悬挂2盏宫灯，且每下一层灯数是上一层的平方加1，问整座塔共悬挂多少盏灯（    ） A．710 B．711 C．712 D．713 【答案】A 【分析】根据题意写出从顶层起每层灯数构成的数列的递推式，求出各项再求和即可. 【详解】依题意，不妨取该灯塔的顶层灯数为， 因从顶层向下数，第二层起每层灯数是上一层的平方加1， 故从第二层起各层灯数构成的数列满足， 则第二层灯数为；第三层灯数为； 第四层灯数为. 故整座塔共悬挂的灯有（盏）. 18．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，记为数列的前n项和，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】对于A：直接由递推公式写出数列的前6项，即可判断；对于B：直接求出数列的前7项的和；对于C：由递推关系直接求解；对于D：由，直接转化，即可判断. 【详解】对于A：写出数列的前6项为1，1，2，3，5，8，故A正确； 对于B：，故B错误； 对于C：由已知，，，…，， 累加得，故C正确； 对于D：由 ()可得 ()， 则， 又因为，所以原式，故D正确. 19．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，…，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列称为“斐波那契数列”，记为.利用下图所揭示的的性质，则在等式中，______. 【答案】2020 【分析】由题意可得，再结合累加法即可求解 【详解】由题意，， 所以， ， 。 ， 所以， 所以， 所以， 所以， 由， 所以， 所以， 故答案为： 20．已知数列满足我们知道当a取不同的值时，得到不同的数列，如当a＝1时，得到无穷数列：1，2，，…；当a＝时，得到有穷数列：，﹣1，0. （1）求当a为何值时； （2）设数列满足，求证：a取数列中的任一个数，都可以得到一个有穷数列； （3）若，求a的取值范围. 【答案】（1）      （2） 证明见解析     （ 3） 【分析】（1）根据数列递推公式直接计算得到答案. （2）变换得到，计算，故，得到，得到证明. （3）根据题意计算得到，即，解得答案. 【详解】（1），故，，，，， 故. （2），故，设， 则. ， ……………… 故，，故只能得到有穷数列. （3），故，，解得. 所以要使，当且仅当它的前一项满足 又因为 所以当时，都有 故，所以 故，即，解得. 所以a的取值范围 题型六 根据数列的单调性求参数 21．设数列的通项公式为，若数列是单调递增数列，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为数列是单调递增数列， 所以，， 即， 化简得，， 当时，有最大值， 所以. 22．已知递增数列的通项公式为，则的值可能为（    ） A． B． C．2 D．6 【答案】BCD 【分析】由分离参数，结合函数的单调性求得正确答案. 【详解】由是递增数列，得对恒成立. 易得， 则， 即对恒成立. 因为函数在上单调递减， 所以. 故选：BCD 23．已知数列的通项公式为，，若是递增数列，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据递增数列的性质知，可得到对恒成立，再根据二次函数性质求出的取值范围． 【详解】因为，， 所以，． 又因为数列为递增数列， 所以对恒成立， 即对恒成立， 化简整理得，对恒成立． 由二次函数性质知，当时，有最小值4， 所以， 故实数的取值范围是． 24．已知数列的前项和． (1)求数列的通项公式； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用的关系式，由可求得数列的通项公式； （2）判断得出的单调性，求出其最大值即可得出实数的取值范围． 【详解】（1）当时， ； 当时，满足上式， 所以 （2）令，； 当时，，即 当时，，即 所以当时， 所以 1 学科网（北京）股份有限公司 $