精品解析：天津市自立中学2026-2027学年高三上学期9月阶段练习数学试卷

2026-2027天津市自立中学高三年级9月阶段练习数学 一、单选题（共45分） 1. 已知集合，则（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用交集和补集的概念计算即可. 【详解】因为，所以． 故选：D 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数函数的性质，不等式的基本性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由，当时，可得； 当，不能得到，所以充分性不成立； 反之：由，可得， 根据不等式的基本性质，可得成立，所以必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B． 3. 设向量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量垂直的坐标表示，列式计算即得. 【详解】向量，由，得， 所以. 故选：C 4. 设，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数和对数函数的性质，分别求得，和，即可求解. 【详解】由指数函数的性质，可得，即， 且，即， 又由对数函数的性质，可得，即， 所以. 5. 已知函数（）的图象相邻的两条对称轴间的距离为，为得到的图象，可将的图象上所有的点（ ） A. 先向左平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的2倍．纵坐标不变 B. 先向左平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变 C. 先将所得点的横坐标变为原来的2倍，再向左平移个单位长度，纵坐标不变 D. 先将所得点的横坐标变为原来的倍，再向左平移个单位长度，纵坐标不变 【答案】B 【解析】 【分析】先得到函数的周期，利用周期公式可得，从而得到函数的解析式，利用图象平移和伸缩的规律求解即可. 【详解】由题意可得，，所以. 所以，故可将的图象上所有的点先向左平移个单位长度得到， 再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变得到的图象，故A错误，B正确； 或者先将的图象上所有点的横坐标变为原来的倍得到， 再向左平移个单位长度，纵坐标不变得到的图象，故C、D错误. 故选：B. 6. 已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性以及，逐一验证选项，即可求解. 【详解】由图可知：的图象关于坐标原点对称，故为奇函数，且， 对于A， ，故为偶函数，不合题意， 对于C， ，故为偶函数，不合题意， 对于B， ，故为奇函数，但，不合题意， 对于D， ，故为奇函数，，符合题意. 7. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用余弦定理求解出，再利用三角形面积公式求解即可. 【详解】在中，由余弦定理得， 可得，解得， 则，故A正确， 故选：A 8. 如图，在中，，是上一点．若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由三点共线的向量表示即可求解. 【详解】由，结合 可得：， 即， 因为三点共线， 所以， 解得：， 故选：C 9. 已知函数（其中）的部分图象如图所示，有以下结论： ① ②函数为偶函数 ③ ④在上单调递增 所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③④ C. ③④ D. ①④ 【答案】B 【解析】 【分析】借助图象可得解析式，结合正弦函数的单调性、最值、奇偶性等逐项判断即可得. 【详解】由图可得，， 且，则，即， ，即， 又，故，即， 对①：，由时，函数取最大值， 故是函数的最大值，故①正确； 对②：，故②错误； 对③：， 则，故③正确； 对④：当时，， 由函数在上单调递增， 故函数在上单调递增，故④正确. 故选：B. 二、填空题（共30分） 10. 在中，若，则的大小是________． 【答案】 【解析】 【分析】由正弦定理可得，令，则、，再由余弦定理计算可得. 【详解】由正弦定理（为外接圆的半径）， 又，所以， 令，则、， 所以， 又，所以． 故答案为： 11. 已知i是虚数单位，复数的虚部是________． 【答案】## 【解析】 【分析】应用复数模的求法及除法运算化简，即可得虚部. 【详解】由，则虚部为. 故答案为： 12. 已知向量，则在上的投影向量的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用投影向量公式计算即可得. 【详解】因为， 所以，， 则， 故在上的投影向量的坐标为. 故答案为：. 13. 已知，且，则的最小值为________. 【答案】 【解析】 【分析】分析得,再代入利用基本不等式即可. 【详解】, 故答案为 【点睛】本题主要考查了基本不等式的用法,属于基础题型. 14. 已知函数图象过点，则__________；若函数的图象关于点中心对称，则__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由可得，对称中心，即可求得，从而知函数的解析式. 【详解】因为点在的图象上，所以， 又，所以. 因为图象的一个对称中心是， 所以，则. 又，所以，故. 故答案为：； 15. 函数，若，则有______个零点，若恰有4个零点，则a的取值范围是______. 【答案】 ①. 3 ②. . 【解析】 【分析】第一空：当时、时可得答案；第二空：至多有2个零点，故在上至少有2个零点，所以；分、、讨论结合图象可得答案. 【详解】第一空：当时，当时，，解得或； 当时，，解得， 故此时的零点个数是3； 第二空：显然，至多有2个零点，故在上至少有2个零点，所以； ① 若恰有2个零点，则， 此时恰有两个零点，所以，解得， 此时； ② 若恰有3个零点，则，此时， 所以恰有1个零点，符合要求； ③当时，，所以恰有1个零点， 而至少有4个零点， 此时至少有5个零点，不符合要求，舍去. 综上，或. 故答案为：3；. 三、解答题（共75分） 16. 如图，在中，，点为中点，点为上的三等分点，且靠近点，设. （1）用表示及； （2）若，且， ①求的长； ②求在方向上的投影向量（结果用表示）. 【答案】（1）， （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据平面向量线性运算法则计算可得； （2）①由，可得，根据数量积的运算律计算可得；②根据在方向上的投影向量为计算可得. 【小问1详解】 因为，点为中点，点为上的三等分点，且靠近点， 所以， . 【小问2详解】 ①因为，所以， 所以，由，可得（负值已舍去），即； ②在方向上的投影向量为 ； 17. 已知． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求正切值，然后化简式子，在进行齐次化求解即可； （2）先用二倍角公式展开，然后进行齐次化求解. 【小问1详解】 因为 ,所以 , 所以; 【小问2详解】 . 18. 在锐角中，角的对边分别为，且 （1）求; （2）若,求; （3）若求的值. 【答案】（1） （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边角互化，即可得求解， （2）根据余弦定理即可求解， （3）根据二倍角公式以及和差角公式即可求解. 【小问1详解】 由于，所以，由得， 所以，且三角形为锐角三角形，所以． 【小问2详解】 由余弦定理有， 解得或（舍），故． 【小问3详解】 由，三角形为锐角三角形,可得， ． 所以． 19. 已知函数， （1）求的最小正周期和单调递减区间； （2）当时，求的最大值和最小值 （3）若，，求的值 【答案】（1）的最小正周期为；单调递减区间为 （2）的最大值为，最小值为； （3） 【解析】 【分析】（1）化简可得，进而可求最小正周期与单调递减区间； （2）由已知可得，进而可得最大值和最小值； （3）由已知可得，利用同角的基本关系可得，再利用两角和的正弦公式可求值. 【小问1详解】 ， 所以的最小正周期为， 由，解得， 所以的单调递减区间为； 【小问2详解】 因为，所以，所以， 所以， 所以的最大值为，最小值为； 【小问3详解】 由，所以，所以， 因为，所以， 所以 . 20. 已知函数，. （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求函数的单调区间； （3）若对于任意，都有成立，求实数m的取值范围. 【答案】（1） （2） 当时，的单调增区间是，无单调减区间； 当时，函数的单调减区间是，单调增区间是， （3） 【解析】 【分析】（1）当时，求得，得到且，结合导数的几何意义，即可求解； （2）求得，分和，两种情况讨论，求得函数的单调性和极值. （3）根据题意，转化为对于恒成立，令，求得，再令，求得在区间上单调递增，得到，得出，求得的单调性和最大值，结合，即可求解. 【小问1详解】 解：当时，函数，可得， 所以且，即切线的斜率为，切点为， 所以在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 解：因为函数，可得， ①当时，由时，可得， 所以函数的单调增区间是，无单调减区间； ②当时，令，解得， 当时，；当，， 所以函数的单调减区间是，单调增区间是， 综上：当时，的单调增区间是，无单调减区间； 当时，函数的单调减区间是，单调增区间是， 【小问3详解】 解：因为对于任意，都有成立， 所以对于恒成立， 即对于恒成立， 令，则， 令，可得， 所以在区间上单调递增，故，即， 所以在区间上单调递增，所以， 要使对于恒成立，只需，即，所以实数m的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027天津市自立中学高三年级9月阶段练习数学 一、单选题（共45分） 1. 已知集合，则（　　） A. B. C. D. 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 设向量，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 设，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数（）的图象相邻的两条对称轴间的距离为，为得到的图象，可将的图象上所有的点（ ） A. 先向左平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的2倍．纵坐标不变 B. 先向左平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变 C. 先将所得点的横坐标变为原来的2倍，再向左平移个单位长度，纵坐标不变 D. 先将所得点的横坐标变为原来的倍，再向左平移个单位长度，纵坐标不变 6. 已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 7. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，是上一点．若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 9. 已知函数（其中）的部分图象如图所示，有以下结论： ① ②函数为偶函数 ③ ④在上单调递增 所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③④ C. ③④ D. ①④ 二、填空题（共30分） 10. 在中，若，则的大小是________． 11. 已知i是虚数单位，复数的虚部是________． 12. 已知向量，则在上的投影向量的坐标为______． 13. 已知，且，则的最小值为________. 14. 已知函数图象过点，则__________；若函数的图象关于点中心对称，则__________. 15. 函数，若，则有______个零点，若恰有4个零点，则a的取值范围是______. 三、解答题（共75分） 16. 如图，在中，，点为中点，点为上的三等分点，且靠近点，设. （1）用表示及； （2）若，且， ①求的长； ②求在方向上的投影向量（结果用表示）. 17. 已知． （1）求的值； （2）求的值． 18. 在锐角中，角的对边分别为，且 （1）求; （2）若,求; （3）若求的值. 19. 已知函数， （1）求的最小正周期和单调递减区间； （2）当时，求的最大值和最小值 （3）若，，求的值 20. 已知函数，. （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求函数的单调区间； （3）若对于任意，都有成立，求实数m的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $