精品解析：天津市第四中学2026届高三上学期阶段检测(三)数学试题

天津四中2026届高三上学期数学阶段检测试卷(三) 一、单选题(每小题5分，共45分) 1. 已知集合，集合，则集合C的子集个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合的交集运算求得集合C，然后可解. 【详解】因为， 所以， 所以集合C的子集个数为. 故选：D 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用特例可判定充分性不成立，结合直线与圆的位置关系，可判定必要性成立，即可得到答案. 【详解】例如：，此时，但，所以充分性不成立； 设直线，圆，则圆心为，半径为， 可得圆心到的距离为， 此时直线与圆相切，所以与圆没有公共点， 即满足不等式的点，使得恒成立，即必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 3. 如图中，图象对应的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性可排除A，根据有界性可排除C，根据4处的函数值不超过5，可判断B. 【详解】由图象可知函数关于原点对称，故为奇函数， 对于A，，故函数为偶函数，不符合， 对于B, ， 根据图象可知，4处的函数值不超过5，故B不符合， 对于C，由于，显然不符合， 故选：D 4. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系逐个判断可得答案. 【详解】对于A，或与相交但不垂直或，故A不正确； 对于B，因为，过作平面交平面于，所以，由，可得，所以，所以，故B正确； 对于C，或、相交且垂直或、相交但不垂直或、异面且垂直或、异面但不垂直，故C不正确； 对于D，或或与相交但不垂直或. 故选：B 5. 已知奇函数在上是增函数，.若，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数是奇函数得出是上的偶函数，且在上是增函数,再计算判断指数幂及对数值的大小关系进而比较函数值. 【详解】因为是奇函数且在上是增函数，所以当时，， 从而是上的偶函数，且在上是增函数. ， ，又，则，所以， 所以，所以. 故选：C. 6. 已知函数是的导数，则以下结论中正确的是（ ） A. 函数是奇函数 B. 函数与的值域相同 C. 函数的图象关于直线对称 D. 函数在区间上单调递增 【答案】D 【解析】 【分析】化简并求导，结合值域，对称性，单调性逐项判断即可. 【详解】由题意，， 对A, 为偶函数，故A错误； 对B，易知的值域为，的值域为，故B错误； 对C, ,故C错误； 对D, ,单调递减，故在区间上单调递增，故D正确. 故选：D. 7. 下列说法错误的是（ ） A. 某校高一年级共有男女学生500人，现按性别采用分层抽样的方法抽取容量为50人的样本，若样本中男生有30人，则该校高一年级女生人数是200 B. 数据1，3，4，5，7，9，11，16的第75百分位数为10 C. 在一元线性回归方程中，若线性相关系数r越大，则两个变量的线性相关性越强 D. 根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05 【答案】C 【解析】 【分析】利用分层抽样计算判断A；求出第75百分位数判断B；利用线性相关系数的意义判断C；利用独立性检验的思想判断D. 【详解】对于A，该校高一年级女生人数是，A正确； 对于B，由，得第75百分位数为，B正确； 对于C，线性回归方程中，线性相关系数绝对值越大，两个变量的线性相关性越强，C错误； 对于D，由，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05，D正确. 故选：C 8. 已知数列的通项公式为，且对任意的两个正整数，都有，则实数t的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可知数列为递增数列，根据数列的单调性求参数的取值范围. 【详解】因为对任意的两个正整数，都有， 所以数列是递增数列，当时，，可得， 当时，，即，解得， 又，所以，解得或． 综上，实数t的取值范围是． 故选：C 9. 已知O为坐标原点，双曲线C：的左、右焦点分别是，离心率为，点P是C的右支上异于顶点的一点，过作的平分线的垂线，垂足是M，，则点P到C的两条渐近线距离之积为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】延长，交于点,由已知是的平分线，且，所以得到等腰三角形，所以,且点是中点，结合原点是中点，由中位线结合双曲线定义得到，进而求出；最后距离之积利用点到直线距离公式计算即可. 【详解】如图，延长，交于点,由已知是的平分线，且， 所以,且点是中点. 由原点是中点，可得，又， 所以，又离心率为，，. 设点，所以，即， 所以点P到两条渐近线距离之积为： . 故选：B. 【点睛】结论点睛：本题利用三线合一结合中位线、双曲线定义得出是关键，这个具有一般性，可以作为相应的二级结论，最后双曲线上点到两条渐近线距离之积也具有一般性. 二、填空题(每小题5分，共30分) 10. ______． 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的乘除法运算法则计算即可. 【详解】． 故答案为：. 11. 在的二项展开式中，的系数为_______（请用数字作答）. 【答案】 【解析】 【分析】根据二项展开式的通项公式求解. 【详解】二项展开式通项为， 令，解得, 所以， 故答案为： 12. 若，则的最小值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据基本不等式即可求解. 【详解】由， 故 ，当且仅当时等号成立， 故最小值为4， 故答案为：4 13. 圆与抛物线的准线相交于，两点.若，则抛物线的焦点坐标为_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据弦长为，利用垂径定理可得，进而可得焦点坐标为. 【详解】 如图，抛物线的准线方程为， 圆即，圆心坐标为，半径为， 由垂径定理可得，即， 得或（舍去），故抛物线的方程为，焦点坐标为. 故答案为： 14. 青花瓷，常简称青花，代表了我国古代劳动人民智慧的结晶，是中国瓷器的主流品种之一.图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图二中正六边形的边长为，圆的圆心为正六边形的中心，半径为，若点在正六边形的边上运动，动点在圆上运动且关于圆心对称.（i）请用表示_______；（ii）请写出的取值范围_______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（i）根据向量线性运算可直接得到结果； （ii）根据向量线性运算、数量积运算性质，可将所求数量积转化为；根据正六边形性质可求得的范围，由此可得结果. 【详解】（i）在圆上运动且关于圆心对称，为中点，； （ii）； 当为正六边形顶点时，取得最大值；当与正六边形的边垂直时，取得最小值； 六边形为正六边形，为正三角形，； 作，则为中点，； ，即的取值范围为. 故答案为：；. 15. 已知函数，若函数有三个不同的零点（）则实数的取值范围为________；的取值范围为________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）先讨论的取值范围，结合二次函数的单调性，结合图象即可判定方程根的个数； （2）根据韦达定理可得，，以及，即可代入化简，利用不等式的性质求解. 【详解】由题意，可知， 当时，在，上单调递减，在单调递增，故方程有3个不相等的实数根，则有1个根，有2个根，如图： 所以，解得； 当时，方程的判别式， 可知方程无解，所以此时不符合题意； ③当时，，不符合题意； 综上，取值范围是． ，是方程的两个不等实根， 则，， 是方程的根，即， ， 记， 由于，所以， 故 所以的取值范围． 故答案为：， 【点睛】方法点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 三、解答题(共75分，16题14分，20题16分，17，18，19题均15分) 16. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求角B的大小； （2）设，． （ⅰ）求a的值； （ⅱ）求的值． 【答案】（1） （2）(i)；(ii) 【解析】 【分析】（1） 由已知结合正弦定理及余弦定理列出方程即可求解B； （2） (i) 由余弦定理结合上问求边长即可. (ii) 利用余弦定理结合同角平方关系可求的正弦和余弦值，然后结合二倍角公式及两角和的正弦公式即可求解. 【小问1详解】 由正弦定理，可化为 【小问2详解】 （i）由余弦定理得，由 得解得 （ii）由余弦定理得，， 17. 如图，在多面体中，底面为菱形，，平面，平面，. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正切值； （3）求点C到平面的距离. 【答案】（1） 取的中点M，连接．因为四边形为菱形，， 所以为等边三角形，所以．因为，所以． 因为平面，所以两两垂直． 如图，以D为原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系． 因为， 所以， 显然平面的法向量为，因为， 所以，又平面，所以平面． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）首先建立空间直角坐标系，利用空间向量证明线面平行. （2）先求出平面的法向量，再利用空间向量线面角的求法，即可求解. （3）利用点到平面的距离公式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设平面的法向量为， 由得 令，则，所以，， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 直线与平面所成角的正切值为． 【小问3详解】 ，所以点C到平面的距离为： . 所以点C到平面的距离为. 18. 已知椭圆C：（）的离心率为，且C的左、右焦点与短轴的两个端点构成的四边形的面积为. （1）求椭圆C的方程； （2）过点的直线l与椭圆C交于A，B两点，过点A与x轴垂直的直线与椭圆C的另一个交点为.当的面积取得最大值时，求直线l的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由椭圆焦点与顶点的坐标与离心率的定义计算即可得答案； （2）设出直线l的方程，联立曲线方程后可得与坐标有关的韦达定理表达式，结合三角形面积公式表示出面积后借助基本不等式计算即可得答案. 【小问1详解】 设椭圆C的焦距为2c，依题意，，，又， 解得，，， 所以椭圆C的方程为； 【小问2详解】 由题意可得直线的斜率不为，故可设直线l的方程为， ，，则， 联立直线l与椭圆C的方程，得， 由于直线过椭圆内一点，故必有，则． 又，， 易知与同号， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以面积的最大值为，此时直线l的方程为． 19. 设是等差数列，是各项均为正数的等比数列，，． （1）求数列与的通项公式； （2）数列的前项和分别为； （ⅰ）证明； （ⅱ）求． 【答案】（1）； （2）（ⅰ）证明：由，可得， 所以， 则. （ⅱ） 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，根据题意，列出方程求得的值，即可求解； （2）（ⅰ）由（1）求得，结合裂项法求和，即可得证； （ⅰⅰ）由（1）求得，结合错位相减法求和，即可求解. 【小问1详解】 解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 则，， 因为，可得，解得， 又因为，可得， 又由且，可得，解得（负值舍去）， 所以. 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅰⅰ）解：由，可得， 则 ， 可得， 则， 两式相减得， ， 所以，即 【点睛】关键点点睛：本题第2问（ⅱ）解决的关键是，通过观察计算发现的结果满足错位相减法的要求，从而得解. 20. 设函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）设函数 （i）当时，取得极值，求的单调区间； （ii）若存在两个极值点，证明：. 【答案】（1） （2）（i）单调增区间为，，单调减区间为 （ii）， ∵存在两个极值点， ∴方程，即在上有两个不等实根. ∵，解得， 则 ∴所证不等式等价于， 即， 不妨设，即证， 令，， 则， ∴在上递增，∴， ∴成立， ∴. 【解析】 【分析】（1）求导，再根据导数的几何意义即可得解； （2）（i），时，取得极值，所以，求出，进而可求出函数的单调区间； （ii），存在两个极值点，即方程，在上有两个不等实根，所以，而等价于，构造函数即可得证. 【小问1详解】 ， 则， 所以曲线在点处的切线方程为，即； 【小问2详解】 （i）， ， ∵时，取得极值，∴，解得， ∴， 令，得或；令，得， ∴的单调增区间为，，单调减区间为； （ii）略 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津四中2026届高三上学期数学阶段检测试卷(三) 一、单选题(每小题5分，共45分) 1. 已知集合，集合，则集合C的子集个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件 3. 如图中，图象对应的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 4. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知奇函数在上是增函数，.若，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数是的导数，则以下结论中正确的是（ ） A. 函数是奇函数 B. 函数与的值域相同 C. 函数的图象关于直线对称 D. 函数在区间上单调递增 7. 下列说法错误的是（ ） A. 某校高一年级共有男女学生500人，现按性别采用分层抽样的方法抽取容量为50人的样本，若样本中男生有30人，则该校高一年级女生人数是200 B. 数据1，3，4，5，7，9，11，16的第75百分位数为10 C. 在一元线性回归方程中，若线性相关系数r越大，则两个变量的线性相关性越强 D. 根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05 8. 已知数列的通项公式为，且对任意的两个正整数，都有，则实数t的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 已知O为坐标原点，双曲线C：的左、右焦点分别是，离心率为，点P是C的右支上异于顶点的一点，过作的平分线的垂线，垂足是M，，则点P到C的两条渐近线距离之积为（ ） A. B. C. 2 D. 4 二、填空题(每小题5分，共30分) 10. ______． 11. 在的二项展开式中，的系数为_______（请用数字作答）. 12. 若，则的最小值为______． 13. 圆与抛物线的准线相交于，两点.若，则抛物线的焦点坐标为_______. 14. 青花瓷，常简称青花，代表了我国古代劳动人民智慧的结晶，是中国瓷器的主流品种之一.图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图二中正六边形的边长为，圆的圆心为正六边形的中心，半径为，若点在正六边形的边上运动，动点在圆上运动且关于圆心对称.（i）请用表示_______；（ii）请写出的取值范围_______. 15. 已知函数，若函数有三个不同的零点（）则实数的取值范围为________；的取值范围为________. 三、解答题(共75分，16题14分，20题16分，17，18，19题均15分) 16. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求角B的大小； （2）设，． （ⅰ）求a的值； （ⅱ）求的值． 17. 如图，在多面体中，底面为菱形，，平面，平面，. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正切值； （3）求点C到平面的距离. 18. 已知椭圆C：（）的离心率为，且C的左、右焦点与短轴的两个端点构成的四边形的面积为. （1）求椭圆C的方程； （2）过点的直线l与椭圆C交于A，B两点，过点A与x轴垂直的直线与椭圆C的另一个交点为.当的面积取得最大值时，求直线l的方程. 19. 设是等差数列，是各项均为正数的等比数列，，． （1）求数列与的通项公式； （2）数列的前项和分别为； （ⅰ）证明； （ⅱ）求． 20. 设函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）设函数 （i）当时，取得极值，求的单调区间； （ii）若存在两个极值点，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $