第2讲 两角和差与二倍角公式专项训练（基础）-2027届高三数学一轮复习

两角和差与二倍角公式 和差角、正切公式与二倍角 两角和与差的正弦、余弦公式 两角和与差的公式，做的是同一件事：把一个复合角的三角函数，拆成两个单角三角函数的乘积组合。余弦的两条是 与 ；正弦的两条是 与 。四条式子放在一起看，结构只有一句话：余弦「余余、正正」，正弦「正余、余正」；而右边的加减号，余弦与左边相反，正弦与左边相同。把这句话记住，四条公式就不必分开背。 公式有两个使用方向。正向是展开：把 这类复合角拆成单角的乘积之和；反向是合并：看到 这样的结构，就认出它是 。高考题里两个方向大约各占一半，而且反向那一半更难 —— 因为题目不会告诉你「这里该用和角公式」，只会把式子摆在那里。所以判断用什么公式，看的是结构，不是公式的名字。 在所有拆分方式里， 出现得最多。把 写成 ，或者把 与已知角配在一起，几乎能覆盖这类题的一大半。两条常用的特例是 与 ，它们的作用是把 这个组合与单一复数角联系起来。 给值求值题的流程是固定的：先看已知角和所求角有什么关系，再把缺的函数值用平方关系补上，最后代公式。补函数值时要用到象限 —— 同一个平方值开方后有两个符号，题目给的象限就是用来二选一的。如果已知的是复合角的函数值，那么符号判断也要在复合角的范围里做，这一步是最容易漏的地方。 例1（填空·★★☆☆☆） 已知锐角满足，则的值为______． 【切入点】已知 ，要求 。展开这个正弦需要 与 两个值，而题目只给了它们的比，所以先用同角关系把两个值定出来。 【关键】 是锐角，，于是可设 、（），这样比值自动等于 。代入 得 ，所以 ，，。代公式：。 【易错】设参数时 不能漏 —— 锐角保证两个函数值都为正，若写成 为任意实数，开方处就多出一个要舍去的解。另外这里用的是 的合并形式，直接代 比逐项展开更快，但要确认记得住这条特例。 【答案】 变式1-1（单选·★★☆☆☆） 若，且是第四象限角，则等于（ ） A. B. C. D. 【切入点】给了 和象限，要求的角是 。与例 1 是同一套路，只是这次给的是余弦值，要先用象限把正弦值的符号定下来。 【关键】 是第四象限角，正弦为负，所以 。代合并形式：。故选 D。 【易错】符号必须由象限决定，不能因为 就顺手把正弦也取正。第四象限的两个函数值一正一负，这里的负号会一直传到最后的答案里，丢掉它就会选到 。 【答案】D 变式1-2（单选·★★☆☆☆） 若，，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】已知的是复合角 的余弦，要求的是单角 的正弦。先补出同一个复合角的正弦值，再把 写成，用差角公式拆开。 【关键】由 得 ，这个区间内的正弦为正，所以 。于是 。故选 A。 【易错】区间判断不能跳。若只看 是锐角就认定正弦取正，碰巧这道题结果一样，但换一个范围就会错。正确做法是先算出复合角的确切区间，再在该区间上判断符号。 【答案】A 例2（单选·★★☆☆☆） 已知，若，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】给了 与 ，要求 。这是最直接的一类：把两角差的余弦公式展开后发现，还需要 与 ，而它们可以由平方关系补出来。 【关键】 时两个函数值都为正，所以 ，。代公式：。故选 D。 【易错】符号是这类题唯一的分水岭： 展开后中间是加号，写成减号就会得到 —— 这个数恰好也在选项里。另外注意 、 这两组勾股数应当直接认出来，不必每次重算。 【答案】D 变式2-1（单选·★★☆☆☆） 已知，则 = （ ） A. B. C. D. 或 【切入点】题目给的是 与 ，要求 。所求的 并没有直接给出来，但注意到 ，把 写成两个已知角的差，就能用差角公式。 【关键】由 得 。再定 的范围：，故 ；又 ，所以 只能落在 内，于是 。代公式：。故选 C。 【易错】这里最关键的一步是把 的范围由 收窄到 —— 依据是它的正弦为正。少这一步，余弦的正负就无法确定，两个选项都说得通。另外 这个凑法要主动去想，题目不会提示。 【答案】C 变式2-2（单选·★★☆☆☆） 计算的值是（ ） A. B. C. D. 【切入点】式子里没有具体的角，只有 ，像是求不出来。把分子按差角公式展开，会出现 ，恰好与分母相同，约掉后剩下的全是常数。 【关键】。代入原式得 。故选 C。 【易错】展开差角余弦时符号要看清：里是「余余正正」且取加号，写成减号就得不到与分母相同的形式。另外分母 不为零是题目隐含的条件，否则原式无意义 —— 这类题不必专门讨论，但要心里有数。 【答案】C 例3（填空·★★☆☆☆） 已知，，则=______． 【切入点】两个条件各含 、 的一次式，要求的却是 —— 它只与两个角的乘积有关。把两个条件分别平方，乘积项就会出现；再相加，平方项之和恰好是常数。 【关键】由 平方得 ；由 平方得 。两式相加，左边为 ，前两组各为 ，最后一组含 。于是 ，得 。 【易错】两式必须都平方后相加，只平方一个就没有交叉项。结果是负数不必怀疑 —— 小于 ，于是 ，这正说明两个角相差较大。 【答案】 两角和与差的正切公式 正切的公式由正弦、余弦的公式相除得到：，。用它有一个前提：、、 的正切都要有意义，也就是这些角都不能等于 。另外要注意分子分母的符号恰好相反 —— 和角的分母是减号，差角的分母是加号，这一点与正弦余弦的规律都不一样。 真正高频的是它的变形。把公式两边同乘分母，得到 ；再展开，就是 。这条式子的用处在于：题目里只要同时出现 与 （或者它们的组合），就可以把两个量当成一个整体处理，不必分别求出 、。 最常配的特殊角还是 ，此时正切为 ，公式化简成 。把 换成 ，又得到 。两式右侧互为倒数，所以 与 的乘积恒为 —— 看到 这样的分式，应当立刻想到它是某个角的正切。 判断该不该用正切公式，看的是条件与所求的形式：如果两边都是正切（或都能化成正切），用正切公式最省事；如果条件是正弦余弦的乘积或和，而所求是正切，那么把正切写成 更合适 —— 这个方向叫切化弦。选择哪一边，以「少引入新量」为准。 用正切还有一个前提容易忽略：公式里出现的角都必须有正切。若题目中出现 或别的轴线角，正切没有意义，这时要改用正弦余弦来做。反过来，如果条件里混着 型的诱导，一般先做诱导把角化成普通角，再决定用哪一条公式 —— 顺序颠倒会让定义域的问题变得很难交代。 例4（单选·★★☆☆☆） 已知，则 = （ ） A. 3 B. 2 C. D. 【切入点】已知 ，要求 。把左边的公式展开，里面只有 一个未知量，解一个分式方程即可。 【关键】，去分母得 ，所以 ，。故选 C。 【易错】分母里的符号最容易被改错：这里是和角，分母应当是 。另外去分母时要确认 ，即 —— 本题解出的 满足该条件。 【答案】C 变式4-1（填空·★★☆☆☆） 已知，则 = _____. 【切入点】条件给的是 ，要求的式子 看着眼熟 —— 把分母、分子同时改变符号，它就与 那两条特例对上了。 【关键】。代入 得 。 【易错】识别结构比硬算重要。若先解出 再代入，步骤多一步、出错的机会也多一处。另外这一对分式互为倒数的理由是 ，两个角互余，正切之积为 。 【答案】 变式4-2（单选·★★☆☆☆） 若是角终边上一点，则 = （ ） A. B. C. 4 D. 【切入点】由终边上一点可以先求出 ，再代和角正切公式。中间不需要求 、，这正是正切公式的便利之处。 【关键】点 在终边上，所以 。于是 。故选 D。 【易错】由点求正切时要把符号带进去 —— 横坐标为负，正切为负，写成 就会得到 那类选项。另外分母是 ，这里 是负数，所以分母为 ，两处符号不要一起弄混。 【答案】D 例5（单选·★★☆☆☆） 的值为（ ） A. B. C. 1 D. 【切入点】式子里有 、 与它们的乘积，而 是特殊角 —— 这正是正切和角公式的变形所对应的结构。 【关键】由 ，得 。代入原式：。故选 A。 【易错】关键是认出两个角之和为特殊角，这一步看不出来就无从下手。另外注意公式变形后的常数：分子整体等于 ，系数 要一路带到底，漏乘就配不出题目中第三项的系数。 【答案】A 变式5-1（单选·★★☆☆☆） 若，则 = （ ） A. 0 B. C. 1 D. 4 【切入点】条件是 与 的乘积，要求的却是 。先把左边展开，看看能否整理出公式分子分母上的两个量。 【关键】展开得 ，即 。于是 。故选 C。 【易错】展开后的常数项 要参与运算 —— 把右边写成 而不是 ，是本题最常见的错。另外把 整体换成 后，分子与分母完全相同，这一步的观察是关键。 【答案】C 变式5-2（单选·★★☆☆☆） 若，则 = （ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 【切入点】这次的已知与所求正好与变 2 反过来：给了 ，要求 。先把和角的正切算出来，得到分子分母上两个量的关系，再展开所求式子代入。 【关键】，而 ，所以 ，即 。展开所求式：。故选 D。 【易错】先化简 是必要的一步 —— 是第三象限角，但它的正切与 相同，都是 。另外由和角正切公式反推关系式时，要默认分母 ，题目已经用 、 都不是轴线角作了保证。 【答案】D 例6（单选·★★☆☆☆） 若，则 = （ ） A. B. C. D. 3 【切入点】两个条件都是正弦的复合角，要求的却是正切的比。把两式都按和差角展开，得到关于 与 的方程组，解出这两个乘积后，它们的比就是所求。 【关键】展开得 ，。两式相加、相减分别得到 ，。而 。故选 D。 【易错】求比值时不要急着去解 、 —— 两个乘积的比已经等于两个正切的比，中间可以省掉求余弦的过程。另外 说明这个角取到最大值，但本题并不需要由它推出 的具体值，多走这一步反而绕远。 【答案】D 二倍角公式 二倍角公式不是新公式，只要在和角公式里令 就得到。它有三条：，，。三条之中只有 的结构是唯一的， 那条则有两个常用变形：把 换成 得 ；把 换成 得 。 选哪一个变形，取决于题目给了哪个函数值。已知正弦就用 ，已知余弦就用 ，两个都已知或都不已知时才用 。这个选择看似琐碎，却直接决定要不要多算一个函数值 —— 选错就要先由平方关系补出另一个值，凭空多一次开方和一次符号判断。 把 的两条形反过来解，就得到降幂公式：，。它们的作用是把二次式降成一次式 —— 凡是遇到含平方的三角式，降幂之后基本都能化成一个角的一次式，再求周期、最值、单调区间就水到渠成。所以「见平方先降幂」是这类题的第一反应。 二倍角题里最常见的障碍是角对不上。要求的角常常是 或 ，而已知的角却是 这种形式。这时要利用 ，把所求角写成已知角的二倍再配一个常数角。换句话说，先把要求的角凑成已知角的二倍，剩下的偏差用特殊角补上。 三条式子里，只有 与 的形式是唯一的， 的那三条本是同一个式子的不同写法。记的时候守住 一条就够，另外两条用 一步就能推出来。现推一步所花的时间，远比记混了公式再回头验算要少。 例7（单选·★☆☆☆☆） 若，，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】题目直接把 与 都给了出来，属于最直接的代入 —— 不需要补值，也不需要凑角。 【关键】代入 得 。故选 A。 【易错】选项里设有 、 这类值，它们分别来自逐项相加与只算一次相乘，说明「 倍」这个系数不能漏。另外要看出本题并没有用上「 在哪个象限」的信息 —— 因为两个函数值都给了，符号不存在歧义。 【答案】A 变式7-1（单选·★☆☆☆☆） 已知，，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】已知 ，要求 —— 方向与例 1 相反。选 的哪一个变形？既然要的是正弦，就该用只含正弦的那条。 【关键】用 ：，所以 。由 知正弦为正，故 。故选 D。 【易错】若改用 ，算出来的是 ，还得再转换一次，多绕一步。另外象限决定符号： 在第二象限，正弦为正、余弦为负，这里取的是正弦，所以答案是正的。 【答案】D 变式7-2（单选·★★☆☆☆） 在平面直角坐标系中，设角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】由终边上一点先求出 ，再代 的公式 —— 正切的倍角只与正切有关，不必求正弦余弦。 【关键】点 在终边上，所以 。于是 。故选 A。 【易错】分母 为正数，所以结果为正；若终边落在第二、四象限使 变号，答案的符号也会跟着变。另外要确认 有意义，即 —— 本题显然满足。 【答案】A 例8（单选·★☆☆☆☆） 已知，则 = （ ）． A. B. C. D. 【切入点】已知 ，要求 。二者之间隔着 ，先把已知条件展开，看看会剩下什么。 【关键】展开得 ，即 。两边平方：，所以 ，即 。故选 C。 【易错】 平方后交叉项是 ，中间的负号要与 挂钩；把负号丢掉就会得到 ，那是选项 D。另外本题不必去求 或 的具体值，目标式的值由 一步算出。 【答案】C 变式8-1（单选·★☆☆☆☆） 已知，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】已知的是 ，要求 。先把 解出来，再把 写成只含 的式子。 【关键】由 得 ，所以 。于是 。故选 C。 【易错】这个式子值得记住 —— 它让 完全由 决定，免去了求 、 和判断象限这两步。它的推导是：，分子分母同除以 即得。 【答案】C 例9（单选·★★☆☆☆） 已知，若，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】条件里有 ，要求 。平方能把前者变成 ，而 与 之间只差一个符号判断。 【关键】由 得 ，所以 ，。，而 说明 ，此时 。又 ，故 。于是 。故选 C。 【易错】平方关系直接给出的是 ，要到 还需要 的符号 —— 这一步必须由 反推象限才能定下来。另外把 写成 是有意为之：前者已知，后者刚算出，比用 少一次开方。 【答案】C 变式9-1（单选·★★☆☆☆） 在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则 = （ ） A. 4 B. 2 C. D. 【切入点】所求式子里有 与 ，这正是降幂公式的分子。把两处都降幂，分式会化简成只含 的式子。 【关键】由 、 得 。点 在终边上，，所以原式等于 。故选 A。 【易错】这一步的实质是降幂：把二次的正弦余弦平方换成了角度翻倍的一次式，或者反过来用。两个方向都要熟 —— 求值时常把 换掉，化简 时常把 、 换成 。另外分母 由点在终边 保证。 【答案】A 学科网（北京）股份有限公司 $ 两角和差与二倍角公式 和差角、正切公式与二倍角 两角和与差的正弦、余弦公式 两角和与差的公式，做的是同一件事：把一个复合角的三角函数，拆成两个单角三角函数的乘积组合。余弦的两条是 与 ；正弦的两条是 与 。四条式子放在一起看，结构只有一句话：余弦「余余、正正」，正弦「正余、余正」；而右边的加减号，余弦与左边相反，正弦与左边相同。把这句话记住，四条公式就不必分开背。 公式有两个使用方向。正向是展开：把 这类复合角拆成单角的乘积之和；反向是合并：看到 这样的结构，就认出它是 。高考题里两个方向大约各占一半，而且反向那一半更难 —— 因为题目不会告诉你「这里该用和角公式」，只会把式子摆在那里。所以判断用什么公式，看的是结构，不是公式的名字。 在所有拆分方式里， 出现得最多。把 写成 ，或者把 与已知角配在一起，几乎能覆盖这类题的一大半。两条常用的特例是 与 ，它们的作用是把 这个组合与单一复数角联系起来。 给值求值题的流程是固定的：先看已知角和所求角有什么关系，再把缺的函数值用平方关系补上，最后代公式。补函数值时要用到象限 —— 同一个平方值开方后有两个符号，题目给的象限就是用来二选一的。如果已知的是复合角的函数值，那么符号判断也要在复合角的范围里做，这一步是最容易漏的地方。 例1（填空·★★☆☆☆） 已知锐角满足，则的值为______． 变式1-1（单选·★★☆☆☆） 若，且是第四象限角，则等于（ ） A. B. C. D. 变式1-2（单选·★★☆☆☆） 若，，则 = （ ） A. B. C. D. 例2（单选·★★☆☆☆） 已知，若，则 = （ ） A. B. C. D. 变式2-1（单选·★★☆☆☆） 已知，则 = （ ） A. B. C. D. 或 变式2-2（单选·★★☆☆☆） 计算的值是（ ） A. B. C. D. 例3（填空·★★☆☆☆） 已知，，则=______． 两角和与差的正切公式 正切的公式由正弦、余弦的公式相除得到：，。用它有一个前提：、、 的正切都要有意义，也就是这些角都不能等于 。另外要注意分子分母的符号恰好相反 —— 和角的分母是减号，差角的分母是加号，这一点与正弦余弦的规律都不一样。 真正高频的是它的变形。把公式两边同乘分母，得到 ；再展开，就是 。这条式子的用处在于：题目里只要同时出现 与 （或者它们的组合），就可以把两个量当成一个整体处理，不必分别求出 、。 最常配的特殊角还是 ，此时正切为 ，公式化简成 。把 换成 ，又得到 。两式右侧互为倒数，所以 与 的乘积恒为 —— 看到 这样的分式，应当立刻想到它是某个角的正切。 判断该不该用正切公式，看的是条件与所求的形式：如果两边都是正切（或都能化成正切），用正切公式最省事；如果条件是正弦余弦的乘积或和，而所求是正切，那么把正切写成 更合适 —— 这个方向叫切化弦。选择哪一边，以「少引入新量」为准。 用正切还有一个前提容易忽略：公式里出现的角都必须有正切。若题目中出现 或别的轴线角，正切没有意义，这时要改用正弦余弦来做。反过来，如果条件里混着 型的诱导，一般先做诱导把角化成普通角，再决定用哪一条公式 —— 顺序颠倒会让定义域的问题变得很难交代。 例4（单选·★★☆☆☆） 已知，则 = （ ） A. 3 B. 2 C. D. 变式4-1（填空·★★☆☆☆） 已知，则 = _____. 变式4-2（单选·★★☆☆☆） 若是角终边上一点，则 = （ ） A. B. C. 4 D. 例5（单选·★★☆☆☆） 的值为（ ） A. B. C. 1 D. 变式5-1（单选·★★☆☆☆） 若，则 = （ ） A. 0 B. C. 1 D. 4 变式5-2（单选·★★☆☆☆） 若，则 = （ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 例6（单选·★★☆☆☆） 若，则 = （ ） A. B. C. D. 3 二倍角公式 二倍角公式不是新公式，只要在和角公式里令 就得到。它有三条：，，。三条之中只有 的结构是唯一的， 那条则有两个常用变形：把 换成 得 ；把 换成 得 。 选哪一个变形，取决于题目给了哪个函数值。已知正弦就用 ，已知余弦就用 ，两个都已知或都不已知时才用 。这个选择看似琐碎，却直接决定要不要多算一个函数值 —— 选错就要先由平方关系补出另一个值，凭空多一次开方和一次符号判断。 把 的两条形反过来解，就得到降幂公式：，。它们的作用是把二次式降成一次式 —— 凡是遇到含平方的三角式，降幂之后基本都能化成一个角的一次式，再求周期、最值、单调区间就水到渠成。所以「见平方先降幂」是这类题的第一反应。 二倍角题里最常见的障碍是角对不上。要求的角常常是 或 ，而已知的角却是 这种形式。这时要利用 ，把所求角写成已知角的二倍再配一个常数角。换句话说，先把要求的角凑成已知角的二倍，剩下的偏差用特殊角补上。 三条式子里，只有 与 的形式是唯一的， 的那三条本是同一个式子的不同写法。记的时候守住 一条就够，另外两条用 一步就能推出来。现推一步所花的时间，远比记混了公式再回头验算要少。 例7（单选·★☆☆☆☆） 若，，则 = （ ） A. B. C. D. 变式7-1（单选·★☆☆☆☆） 已知，，则 = （ ） A. B. C. D. 变式7-2（单选·★★☆☆☆） 在平面直角坐标系中，设角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则 = （ ） A. B. C. D. 例8（单选·★☆☆☆☆） 已知，则 = （ ）． A. B. C. D. 变式8-1（单选·★☆☆☆☆） 已知，则 = （ ） A. B. C. D. 例9（单选·★★☆☆☆） 已知，若，则 = （ ） A. B. C. D. 变式9-1（单选·★★☆☆☆） 在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则 = （ ） A. 4 B. 2 C. D. 学科网（北京）股份有限公司 $