第1讲 三角函数的概念与诱导公式专项训练（基础）-2027届高三数学一轮复习

三角函数的概念与诱导公式 弧度制、扇形与同角关系 弧度制、扇形与三角函数的概念 角的度量有两种单位制。角度制把圆周分成 等份，一份记作 ；弧度制不这样切，它把弧长与半径的比直接拿来当角的度量：长度等于半径的弧，所对的圆心角就是 弧度。这样定义出来的角是一个纯数 —— 长度比长度，没有单位。正因如此，弧度才是函数 里 唯一能用的单位：把角度代进去， 就不再是中学意义上的函数了。两制的换算靠一条线： 弧度等于 ，于是 弧度等于 ， 弧度。 扇形是把圆用两条半径切下的一块。它有三个量：半径 、弧长 、圆心角 ，三者由 联系（ 取弧度）。求弧长时把 写成 更稳妥，因为弧长是正数而圆心角可以是负的。面积有两个等价的写法： 与 。前者在「已知弧长」时好用，后者在「已知圆心角」时好用。由 还能看出，扇形面积等于「以弧长为底、半径为高」的三角形面积 —— 这就是它和三角形公式长得像的原因。 要把角放进坐标系，先规定一条始边、一条终边：始边固定在 轴正半轴，终边绕原点转到哪个位置，角就是哪个角。在终边上任取一点 （不能取原点），记 ，则 、、。这三个比值与点在终边上的取法无关 —— 取远一点、近一点，比值不变，这正是「函数」二字能成立的前提。三个函数的符号只看象限： 由纵坐标定， 由横坐标定， 由横纵坐标的符号是否相同定。 同一角的三个函数值之间有两个基本关系。平方关系是 ，它来自勾股定理；商数关系是 ，它来自定义的直接相除。有了这两条，只要知道一个函数值与角所在象限，另外两个就能求出来，这类题叫「知一求二」。做法是先由平方关系算出平方值，再开方，开方后的正负由象限决定 —— 这是全题唯一需要判断符号的地方，也是最容易丢分的地方。 例1（单选·★☆☆☆☆） 扇形的半径等于2，面积等于6，则它的圆心角等于（ ） A. 1 B. C. 3 D. 6 变式1-1（填空·★★☆☆☆） 已知一个扇形的周长是16，面积是12，则其圆心角的弧度等于__________. 例2（单选·★☆☆☆☆） 已知为第四象限角，，则 = （ ） A. B. C. D. 变式2-1（单选·★☆☆☆☆） 已知为第二象限角，且，则 = （ ） A. B. C. D. 变式2-2（填空·★★☆☆☆） 若是第二象限角，，则 = ______. 变式2-3（单选·★★☆☆☆） 已知是第三象限角，且，则 = A. B. C. D. 例3（单选·★★☆☆☆） 已知的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则 = （ ） A. B. C. D. 变式3-1（单选·★☆☆☆☆） 已知，则 = （ ） A. B. C. D. 变式3-2（单选·★★☆☆☆） 若，则＝（ ） A. 3 B. C. D. -3 诱导公式 诱导公式要解决的问题只有一个：把任意角的三角函数值，化归成锐角的三角函数值。因为除了几个特殊角，我们并不知道 等于多少，但知道 —— 只要能把前者换成后者，问题就解决了。这一整套换算的桥梁是单位圆上的对称性：角绕原点转一圈回到原处，所以 的整数倍可以直接丢掉；角的终边关于 轴、 轴、原点对称时，横纵坐标只是换了符号或交换了位置，于是函数值随之取值、变号或互换。 课本把结论整理成四组公式，分别对应 、、、 这几种形式。背它们的口诀是「奇变偶不变，符号看象限」：把要化的角写成 的整数倍加减 ，整数倍是奇数（如 、）时函数名要变（正弦变余弦），是偶数（如 、）时函数名不变；符号则看「把 当成锐角时，原角落在哪个象限」。 但高三卷上几乎没有「直接套公式」的题 —— 它们长成另一个样子：题目给出的角与要求的角都是一道式子，例如已知 ，要求 。这时真正要做的第一件事不是套公式，而是把两个角加起来（或相减）： —— 和为 ，说明两角互余；若和为 ，则两角互补。 两类关系各有自己的结论，记住这两条就够了。互余（和为 ）时，一个角的正弦等于另一个角的余弦：，余弦则等于另一个角的正弦，正切与余切互换。互补（和为 ）时，两个角的正弦相等，余弦互为相反数，正切互为相反数。所以看到「和是 」就想到「弦互换」，看到「和是 」就想到「正弦不变、余弦变号」，不必再去回忆整张公式表。 例4（单选·★★☆☆☆） 已知，则 = （ ） A. B. C. D. 变式4-1（单选·★★☆☆☆） 若，则 = （ ） A. B. C. D. 例5（单选·★★☆☆☆） 已知，则 = （ ） A. B. C. D. 变式5-1（单选·★★☆☆☆） = （ ） A. B. 1 C. D. 2 例6（单选·★★☆☆☆） 若，则 = （ ） A. B. C. D. 变式6-1（单选·★★☆☆☆） 已知，则 = （ ） A. B. C. D. 学科网（北京）股份有限公司 $ 三角函数的概念与诱导公式 弧度制、扇形与同角关系 弧度制、扇形与三角函数的概念 角的度量有两种单位制。角度制把圆周分成 等份，一份记作 ；弧度制不这样切，它把弧长与半径的比直接拿来当角的度量：长度等于半径的弧，所对的圆心角就是 弧度。这样定义出来的角是一个纯数 —— 长度比长度，没有单位。正因如此，弧度才是函数 里 唯一能用的单位：把角度代进去， 就不再是中学意义上的函数了。两制的换算靠一条线： 弧度等于 ，于是 弧度等于 ， 弧度。 扇形是把圆用两条半径切下的一块。它有三个量：半径 、弧长 、圆心角 ，三者由 联系（ 取弧度）。求弧长时把 写成 更稳妥，因为弧长是正数而圆心角可以是负的。面积有两个等价的写法： 与 。前者在「已知弧长」时好用，后者在「已知圆心角」时好用。由 还能看出，扇形面积等于「以弧长为底、半径为高」的三角形面积 —— 这就是它和三角形公式长得像的原因。 要把角放进坐标系，先规定一条始边、一条终边：始边固定在 轴正半轴，终边绕原点转到哪个位置，角就是哪个角。在终边上任取一点 （不能取原点），记 ，则 、、。这三个比值与点在终边上的取法无关 —— 取远一点、近一点，比值不变，这正是「函数」二字能成立的前提。三个函数的符号只看象限： 由纵坐标定， 由横坐标定， 由横纵坐标的符号是否相同定。 同一角的三个函数值之间有两个基本关系。平方关系是 ，它来自勾股定理；商数关系是 ，它来自定义的直接相除。有了这两条，只要知道一个函数值与角所在象限，另外两个就能求出来，这类题叫「知一求二」。做法是先由平方关系算出平方值，再开方，开方后的正负由象限决定 —— 这是全题唯一需要判断符号的地方，也是最容易丢分的地方。 例1（单选·★☆☆☆☆） 扇形的半径等于2，面积等于6，则它的圆心角等于（ ） A. 1 B. C. 3 D. 6 【切入点】只给了半径和面积，要求圆心角。扇形的三个量是半径、弧长、圆心角，在面积的两个公式里， 恰好把已知的两个量和要求的圆心角串在一起，直接代入即可。 【关键】取弧度制，。代入 、，得 ，所以 。故选 C。 【易错】第一，公式里的圆心角必须取弧度，写成角度会算出另一个数。第二， 与 是同一个公式的两种写法，选哪个只看题目给的是圆心角还是弧长，不要两个一起代。 【答案】C 变式1-1（填空·★★☆☆☆） 已知一个扇形的周长是16，面积是12，则其圆心角的弧度等于__________. 【切入点】与例 1 同属扇形，但已知量换成了周长与面积，而扇形有半径与弧长两个未知量 —— 两个条件正好凑成方程组。 【关键】设半径为 、弧长为 。周长是「两条半径加一段弧」，所以 ；面积用 ，所以 ，即 。把 代入：，即 ，解得 或 。当 时 ，由 得 ；当 时 ，得 。所以圆心角为 或 。 【易错】第一，周长一定要写成 而不是 ，漏掉一条半径是这类题最集中的错。第二，解出 的两个值都要保留并都算一遍角，题目没有给额外限制，只答一个就漏了。第三， 里的 取弧度，答案 就是弧度数。 【答案】 或 例2（单选·★☆☆☆☆） 已知为第四象限角，，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】给了一个函数值和角所在象限，要另一个函数值 —— 这是同角关系最标准的用法：先用平方关系把平方值算出来，再开方，最后用象限决定正负。 【关键】由 ，可设 、（）—— 这样设的好处是两个式子的比值自动等于 。代入平方关系 ：，得 。 是第四象限角，，所以取 ，。故选 C。 【易错】第一，设参数时要让两个分量带着符号，（ 取负、 取正）这样 的负号自然成立。第二， 有两个值，取哪个完全由象限决定，不能看 是正是负。第三，第四象限横坐标为正、纵坐标为负，这个符号表要记牢。 【答案】C 变式2-1（单选·★☆☆☆☆） 已知为第二象限角，且，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】与例 2 同一类型（给象限与正切、求余弦），但这次不必设参数 —— 直接把 写成 的式子，算完平方再定一次符号即可。 【关键】把 的分子分母同除以 ：。 是第二象限角，，所以 。故选 B。 【易错】第一，这种解法只有一步需要判符号（最后开方），比设参数少一次讨论，但前提是要求的量可以写成 的式子。第二， 中 的负号在平方后消失，所以正负只能靠象限定，不能从 直接读出 的符号。 【答案】B 变式2-2（填空·★★☆☆☆） 若是第二象限角，，则 = ______. 【切入点】已知 与象限，求 —— 平方关系一步到位，是「知一求二」里最直接的一类。 【关键】由 得 。 是第二象限角，，所以 。 【易错】第一，开方只取一个符号，依据是象限，不要写成 。第二，第二象限 、，所以 、，已知的 正好与之相符，可以顺手验一下。 【答案】 变式2-3（单选·★★☆☆☆） 已知是第三象限角，且，则 = A. B. C. D. 【切入点】要求的式子既有 又有 ，所以要先把 求出来，再按定义算出 ，最后代入。 【关键】 是第三象限角，，由平方关系 。再由商数关系 。所以 。故选 A。 【易错】第一，第三象限 、，两个函数的符号方向相反，别一起取负。第二， 要分母有理化成 ，否则最后乘以 时容易算错。第三， 是正数，与前面的 相加才是 。 【答案】A 例3（单选·★★☆☆☆） 已知的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】题干直接给了终边上的一个点，这是三角函数定义的标准出题方式：先算点到原点的距离，再按定义写比值。 【关键】由 得 、，所以 。由定义 。故选 C。 【易错】第一， 由勾股定理算出，恒为正，不要写成 。第二，最后一步要分母有理化： 要化成 ，否则与选项对不上。第三，题干给的是点的坐标而不是角，不需要先求角的大小，直接用坐标比即可。 【答案】C 变式3-1（单选·★☆☆☆☆） 已知，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】已知 ，要求一个关于 、 的一次齐次分式。这类式子的值只由 决定，做法固定：分子分母同除以 。 【关键】由 得 。把所求式子的分子分母同除以 ：。故选 D。 【易错】第一，「分子分母同时除以同一个式子」的前提是这个式子不为零，本题中 （否则 不存在），所以可以放心除。第二，除以 后常数项要跟着变成 —— 但这里恰好没有常数项，所以化出来很干净；若式子里有单独的数字，就不能这样除了。 【答案】D 变式3-2（单选·★★☆☆☆） 若，则＝（ ） A. 3 B. C. D. -3 【切入点】已知 与角的范围，要求的式子里有 与 。先把第二项化简，会发现两项可以合并，算量立刻变小。 【关键】由 、 得 ，所以 是第一象限角，，。又 ，于是 。故选 A。 【易错】第一， 本身不能定 的符号，是配合 才推出第一象限的 —— 这一步不能省。第二，把 写成 后与第一项通分，比分别算出两个倒数再相加快得多。第三，选项里有 ，那是取错 符号的结果，算完可以拿它自我校验。 【答案】A 诱导公式 诱导公式要解决的问题只有一个：把任意角的三角函数值，化归成锐角的三角函数值。因为除了几个特殊角，我们并不知道 等于多少，但知道 —— 只要能把前者换成后者，问题就解决了。这一整套换算的桥梁是单位圆上的对称性：角绕原点转一圈回到原处，所以 的整数倍可以直接丢掉；角的终边关于 轴、 轴、原点对称时，横纵坐标只是换了符号或交换了位置，于是函数值随之取值、变号或互换。 课本把结论整理成四组公式，分别对应 、、、 这几种形式。背它们的口诀是「奇变偶不变，符号看象限」：把要化的角写成 的整数倍加减 ，整数倍是奇数（如 、）时函数名要变（正弦变余弦），是偶数（如 、）时函数名不变；符号则看「把 当成锐角时，原角落在哪个象限」。 但高三卷上几乎没有「直接套公式」的题 —— 它们长成另一个样子：题目给出的角与要求的角都是一道式子，例如已知 ，要求 。这时真正要做的第一件事不是套公式，而是把两个角加起来（或相减）： —— 和为 ，说明两角互余；若和为 ，则两角互补。 两类关系各有自己的结论，记住这两条就够了。互余（和为 ）时，一个角的正弦等于另一个角的余弦：，余弦则等于另一个角的正弦，正切与余切互换。互补（和为 ）时，两个角的正弦相等，余弦互为相反数，正切互为相反数。所以看到「和是 」就想到「弦互换」，看到「和是 」就想到「正弦不变、余弦变号」，不必再去回忆整张公式表。 例4（单选·★★☆☆☆） 已知，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】已知 ，要求 。两个括号里的式子都不一样，第一件事就是把它们加起来看看： —— 和为 ，两角互余。 【关键】两角互余时，一个角的正弦等于另一个角的余弦。把要求的角写成「 减去已知角」：，所以 。故选 C。 【易错】第一， 与 的符号相反，相加时 会消掉，剩下 —— 正是这个「消掉」说明两角互余，别看到两个不同的式子就以为没法化。第二，互余的结论是「正弦换余弦」，不要习惯性地去套 那组公式。第三，选项里有 ，那是把 错算成 的结果；本题不需要开方，直接换名即可。 【答案】C 变式4-1（单选·★★☆☆☆） 若，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】已知 ，要求 。这次两角不是相加得定值，而是相减得定值： —— 相差 与互余是同一件事（把其中一个角加 就得到另一个）。 【关键】由 ，得 。故选 A。 【易错】第一，本题用的是 ，与前面几题的 差一个加减号 —— 两种写法结论相同，因为 与 本身就是互余的两个角。第二，判断「两个角的差是 」与判断「和为 」等价，哪种算法顺手就用哪种。第三，本题同样不需要开方， 的具体范围也就用不上。 【答案】A 例5（单选·★★☆☆☆） 已知，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】与例 1 同一套路：先把两个角相加。 —— 和为 ，两角互补。 【关键】两角互补时正弦相等、余弦互为相反数。把要求的角写成「 减去已知角」：，所以 。故选 A。 【易错】第一，互补时是正弦不变；如果本题问的是余弦，就要加一个负号 —— 「和是 换函数名，和是 不变名」这两条要分清。第二， 的系数一正一负，相加后消掉，这是判断互补的关键动作。第三，选项里的 来自开方，本题同样不需要开方。 【答案】A 变式5-1（单选·★★☆☆☆） = （ ） A. B. 1 C. D. 2 【切入点】两项的角一个是 、一个是 ，而 与 只差一个周期加负号。第一步把大角化到小角，第二步会发现两项能合并成一个正弦。 【关键】由 ，，所以 。提取 并凑成两角和的正弦：。故选 C。 【易错】第一， 这一步把「减」变成了「加」，漏掉负号会让后面全盘皆错。第二，辅助角公式 在本题里是 、，模长 ，所以提出 之后系数正好是 与 ，对应 与 —— 这套「提取模长、凑特殊角」的动作要练熟。第三，两项的角 与 相加得 ，是特殊角，这才有最终结果；若凑不出特殊角，说明方向错了。 【答案】C 例6（单选·★★☆☆☆） 若，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】仍先算和：，两角互余。不过这次已知的是正弦、要求的是余弦，换名的方向与前两题相反。 【关键】由 ，得 。故选 B。 【易错】第一，「互余」是一个对称的关系：甲与乙互余，乙也就与甲互余，所以不必区分谁先谁后，写出等式即可。第二，本题的选项里既有 又有 ，凡是只做「换名」而不动符号的题，答案就是同号的那一个。第三，若题目改成「 是第二象限角」之类的附加条件，要想想它是否用得上 —— 本题只做换名，条件与结论无关。 【答案】B 变式6-1（单选·★★☆☆☆） 已知，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】所求式子里用了三个不同的诱导形式，先把每一个都化成 的三角函数，再对得到的齐次分式做弦化切 —— 题目给的正是 ，两步正好接上。 【关键】逐项化简：；；。代入分母：，所以原式等于 。分子分母同除以 ：。由 得 。故选 C。 【易错】第一，分母里的减号后面跟的是 ，「减负」之后变成 ，这一步是本题最容易出错的地方。第二， 属于「 型」，函数名要变；判断符号时把 当成锐角， 落在第三象限，正弦为负。第三，化成 的式子后再代入，全程不需要知道 、 的符号，这也是弦化切的好处。 【答案】C 学科网（北京）股份有限公司 $