培优专练+三年真题12 三角函数-2027年高考数学一轮复习讲义与培优专练（全国通用）

**基本信息** 以“概念-公式-方法-综合”为逻辑主线，系统覆盖三角函数基础概念到齐次化切综合应用，通过真题与模拟题结合实现高频考点突破，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |任意角与弧度制|5题|象限判断、弧度转化、终边关系|从角的概念构建三角函数研究基础| |三角函数求值|8题|坐标定义、参数求解、对称关系|深化三角函数定义的应用| |诱导公式|8题|化简求值、充要条件、解三角形|公式记忆与灵活变形训练| |同角三角|5题|知一求二、齐次式转化|建立同角关系的运算体系| |齐次化切|9题（一次5/二次4）|分式/整式化切、参数求值|方法迁移解决代数式转化问题| |综合应用|4题|公式+化切结合|知识整合提升综合解题能力| |三年真题|10题|高考高频考点重现|对接考情强化应试能力|

培优专练+三年真题12 三角函数 【考点一】任意角与弧度制、终边相同角题型 【考点五】一次齐次分式化切题型 【考点二】任意角的三角函数求值题型 【考点六】二次齐次整式/分式化切题型 【考点三】诱导公式化简求值题型 【考点七】诱导公式+齐次化切综合题型 【考点四】同角三角求值题型 【题型一】任意角与弧度制、终边相同角题型 1．（2024·江苏苏州·模拟预测）所在的象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知集合，是第一象限角，则元素的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3.（2024·全国·模拟预测）将120°化为弧度制为______． 4．（多选）（2026·重庆万州·模拟预测）下列各角中，与终边相反的有（    ） A． B． C． D． 5．（多选）（2024·浙江杭州·模拟预测）已知函数，设的始边是轴非负半轴且，若关于的方程在内有解，则的终边可能位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【题型二】任意角的三角函数求值题型 1．（2026·河南开封·二模）已知的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，且，则实数的值为（    ） A．5 B． C． D． 3．（2026·陕西西安·模拟预测）已知为第一象限角，且的终边经过点，则（   ） A． B． C． D．6 4．（2025·安徽·模拟预测）已知，则（   ） A． B． C． D． 5．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）已知点是角终边上的一点，则（    ） A． B．1 C． D． 6．（2026·北京·三模）若点关于轴对称点为，写出的一个取值为________． 7．（2025·四川成都·模拟预测）已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，若角与角关于轴对称，则__________. 8．（2025·河北保定·一模）设是第二象限角，为其终边上一点，且，则______． 【题型三】诱导公式化简求值题型 1．（2026·天津·一模）“或，（）”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2025·广东·模拟预测）设，且，则（   ） A． B． C． D． 3．（2026·云南昭通·模拟预测）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·山东临沂·二模）已知集合，，则（   ） A．， B．， C．， D．， 5．（2026·河南·模拟预测）已知，若，则__________. 6．（2026·北京·三模）已知，，且，．则满足条件的一组，的值可以是________，________． 7.（多选）（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 8．（2026·江西·二模）在中，角所对的边分别为，其面积为．若， (1)求． (2)若，求，． 【题型四】同角三角求值题型 1．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知，，则（   ） A． B．7 C． D． 2．（2026·广东揭阳·二模）若，，则（   ） A． B． C． D． 3.（2026·重庆南岸·模拟预测）已知角的终边与单位圆交于第二象限的点，则________. 4．（多选）（2025·吉林长春·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C．. D． 5.（2025·天津河北·模拟预测）已知，α是第三象限角． (1)求和的值； (2)求的值． 【题型五】一次齐次分式化切题型 1．（2026·四川遂宁·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（2026·贵州·模拟预测）已知，则（   ） A． B． C． D． 3.（2025·贵州六盘水·模拟预测）已知，则__________. 4．（2025·四川成都·二模）已知角的终边过点，则__________. 5．（2024·辽宁大连·模拟预测）已知，则__________ 【题型六】二次齐次整式/分式化切题型 1．（2026·河北秦皇岛·二模）若，则（    ） A． B． C． D． 2．（2026·陕西商洛·二模）已知，则（     ） A． B． C． D． 3．（2025·四川德阳·模拟预测）若，则_____. 4．（2024·浙江杭州·模拟预测）已知，则_____________． 5．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知，则______. 【题型七】诱导公式+齐次化切综合题型 1.（2025·吉林长春·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知，则（   ） A． B． C． D． 3.（2025·山东·一模）若，则__________. 4．（2025·黑龙江牡丹江·模拟预测）若，则________． 一、单选题 1．（2025·天津·高考真题）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2024·全国甲卷·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 4．（2025·全国二卷·高考真题）已知，，则（   ） A． B． C． D． 5．（2026·全国一卷·高考真题）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（2025·上海·高考真题）已知，则__________． 7．（2026·天津·高考真题）在中，，，，则__________． 8．（2024·北京·高考真题）已知命题若为第一象限角，且，则．能说明p为假命题的一组的值为__________， _________． 9．（2024·北京·高考真题）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于原点对称.若，则的最大值为________． 10．（2025·北京·高考真题）已知，且，.写出满足条件的一组的值________，_________． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优专练+三年真题12三角函数 【考点一】任意角与弧度制、终边相同角题型 【考点五】一次齐次分式化切题型 【考点二】任意角的三角函数求值题型 【考点六】二次齐次整式/分式化切题型 【考点三】诱导公式化简求值题型 【考点七】诱导公式+齐次化切综合题型 【考点四】同角三角求值题型 【题型一】任意角与弧度制、终边相同角题型 1．（2024·江苏苏州·模拟预测）所在的象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】将，与的终边相同． 【详解】， 又终边在第三象限， 所在的象限为第三象限， 故选：C． 2．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知集合，是第一象限角，则元素的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】集合，是第一象限角， ，该角为第一象限角，为第一象限角，为第二象限角， 则，即元素的个数为3. 3.（2024·全国·模拟预测）将120°化为弧度制为______． 【答案】 【分析】利用弧度制和角度制的转化即可得出答案. 【详解】因为 所以 所以 故答案为： 4．（多选）（2026·重庆万州·模拟预测）下列各角中，与终边相反的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】依题意，，则角与角终边相同， 与角终边相反的角可以为， 因此与角终边相反的所有角的集合为， 显然，. 5．（多选）（2024·浙江杭州·模拟预测）已知函数，设的始边是轴非负半轴且，若关于的方程在内有解，则的终边可能位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】ABD 【分析】根据函数解析式，写出方程，解出方程，根据角的取值范围，得到角的取值范围，从而得出可能在的象限. 【详解】由，, 或， 当时，得， 又因为，所以不存在， 当时，， ， ，又因为 时，，此时在第一象限， 时，此时在第二象限， 时，此时在第四象限 所以的终边可能位于第一二四象限. 故选：ABD 【题型二】任意角的三角函数求值题型 1．（2026·河南开封·二模）已知的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】已知角终边过点, 根据,其中, 可得. . 2．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，且，则实数的值为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】C 【分析】借助三角函数定义计算即可得. 【详解】由题意可得，则. 故选：C. 3．（2026·陕西西安·模拟预测）已知为第一象限角，且的终边经过点，则（   ） A． B． C． D．6 【答案】B 【详解】由题得，所以， 又为第一象限角，所以，所以. 4．（2025·安徽·模拟预测）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用不等式即可. 【详解】如图，角的终边与单位圆圆交于点，单位圆与轴正半轴交于点， 过作轴，交角的终边于点， 则，， 则，扇形的面积为，， 由三者的大小关系可知，，即， 因，则，即. 故选：C 5．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）已知点是角终边上的一点，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】由任意角的三角函数的定义，可得正弦值与余弦值，可得答案. 【详解】由题意可得，， 则. 故选：D. 6．（2026·北京·三模）若点关于轴对称点为，写出的一个取值为________． 【答案】 【分析】根据在单位圆上，可得角与角的终边关于轴对称，得出求解. 【详解】 与关于轴对称， 所以角与角的终边关于轴对称， ， 则， 当时，可取的一个值为. 7．（2025·四川成都·模拟预测）已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，若角与角关于轴对称，则__________. 【答案】/ 【分析】由对称性确定角终边上的点，再结合三角函数的定义即可求解. 【详解】因为角终边过点，又角与角关于轴对称， 所以角终边过点， 所以， 故答案为： 8．（2025·河北保定·一模）设是第二象限角，为其终边上一点，且，则______． 【答案】 【分析】根据余弦函数的定义列方程解出，再利用正切函数的定义求解即可. 【详解】由题：， 又是第二象限角，所以， 所以， 故答案为：. 【题型三】诱导公式化简求值题型 1．（2026·天津·一模）“或，（）”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】化简三角函数等式结合命题的判断解题 【详解】， 当 时，，当 时， 成立， 因为，所以或， 当时，成立，但 且， 故选：A 2．（2025·广东·模拟预测）设，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用诱导公式化成同名三角函数值，再利用，结合的范围即可得解. 【详解】诱导公式有， 故或，其中， 分别解得或． 由于，故只能是取的情形，即． 故选：D． 3．（2026·云南昭通·模拟预测）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】． 4．（2026·山东临沂·二模）已知集合，，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】对于集合，根据正弦函数的性质，时，，所以． 对于集合，根据余弦函数的性质，时，，所以． 选项A：集合，集合，集合中的元素是集合中为偶数时的元素，即． 这意味着存在，但，例如当时，，但，所以选项A错误． 选项B：因为，所以对于任意，都有，不存在，使得，选项B错误． 选项C：已知，任取，设，，，则． 当为奇数时，，例如，，，选项C错误． 选项D：已知，任取，设，，，则． 因为，所以，那么满足，即，选项D正确． 5．（2026·河南·模拟预测）已知，若，则__________. 【答案】 【详解】，， ，． 6．（2026·北京·三模）已知，，且，．则满足条件的一组，的值可以是________，________． 【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一） 【分析】先利用诱导公式化简已知等式，推导与的关系，结合二者的取值范围写出一组符合条件的解即可. 【详解】由诱导公式知，所以，即 ① ， ，即 ②， 因为，，故，由①得，因此， 由②得，因此， 由诱导公式知，又，与的取值范围一致，因此， 取，则，代入①②验证均成立，符合条件， 则满足条件的一组，的值可以是，.（答案不唯一） 7.（多选）（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】直接由三角函数定义、诱导公式验算即可. 【详解】由题意， 从而. 故选：AD. 8．（2026·江西·二模）在中，角所对的边分别为，其面积为．若， (1)求． (2)若，求，． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角形的面积公式求出，然后结合求解可得； （2）利用正弦定理和面积公式列方程组求解即可. 【详解】（1）由，得． ，又． ， 或． 当 当（舍去） 综上：． （2）由（1）知， 由正弦定理可得：． ． 【题型四】同角三角求值题型 1．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知，，则（   ） A． B．7 C． D． 【答案】B 【分析】根据同角的三角函数关系及两角差的正切公式求解即可. 【详解】由，，得，所以， 所以. 2．（2026·广东揭阳·二模）若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由， 则，又，所以， 而，则， 所以. 3.（2026·重庆南岸·模拟预测）已知角的终边与单位圆交于第二象限的点，则________. 【答案】 【分析】利用单位圆求出的坐标，利用正切函数的定义可求答案. 【详解】因为角的终边与单位圆交于第二象限的点，所以， 解得，因为在第二象限，所以， 所以. 故答案为： 4．（多选）（2025·吉林长春·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C．. D． 【答案】AC 【分析】先利用同角三角函数的基本关系可求与值，进而利用诱导公式逐项判断. 【详解】由，得，. 对于A：，故A正确； 对于B：，故B错误； 对于C：，故C正确； 对于D：，故D错误. 故选：AC 5.（2025·天津河北·模拟预测）已知，α是第三象限角． (1)求和的值； (2)求的值． 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）应用平方关系、商数关系分别求出和； （2）应用差角的余弦公式求值即可. 【详解】（1）由，α是第三象限角，则， 所以； （2）. 【题型五】一次齐次分式化切题型 1．（2026·四川遂宁·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 . 2．（2026·贵州·模拟预测）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将弦化切，再代入计算可得. 【详解】因为， 所以． 故选：C 3.（2025·贵州六盘水·模拟预测）已知，则__________. 【答案】 【分析】将正、余弦化为正切后计算即可得. 【详解】. 故答案为：. 4．（2025·四川成都·二模）已知角的终边过点，则__________. 【答案】10 【分析】利用正切函数的定义及齐次式法计算得解. 【详解】由角的终边过点，得， 所以. 故答案为：10 5．（2024·辽宁大连·模拟预测）已知，则__________ 【答案】 【分析】将原式中的分子、分母同除以，再将代入即可. 【详解】. 故答案为： 【题型六】二次齐次整式/分式化切题型 1．（2026·河北秦皇岛·二模）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得 ， 所以. 2．（2026·陕西商洛·二模）已知，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，可得．又， 所以，所以． 所以． 3．（2025·四川德阳·模拟预测）若，则_____. 【答案】 【分析】利用齐次式进行弦化切，计算即可. 【详解】. 所以答案为：. 4．（2024·浙江杭州·模拟预测）已知，则_____________． 【答案】 【分析】利用同角三角函数之间的基本关系可得，将表达式利用平方和关系为1化简可得结果. 【详解】由可得，即； 所以 将代入计算可得； 即. 故答案为： 5．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知，则______. 【答案】/0.875 【分析】根据弦切互化可得，平方得，即可根据完全平方求解. 【详解】由得，平方可得， 故， ， 故答案为： 【题型七】诱导公式+齐次化切综合题型 1.（2025·吉林长春·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用诱导公式及、弦化切，把所给式子化简，将代入可得答案. 【详解】. 故选：D 2．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由诱导公式化简已知式可求出，再由二倍角的余弦公式和同角三角函数的基本关系化简即可得出答案. 【详解】由诱导公式可得，即. 所以 ， 故选:A. 3.（2025·山东·一模）若，则__________. 【答案】 【分析】根据诱导公式，结合和差角公式以及弦切互化即可求解. 【详解】， 代入可得， 故答案为： 4．（2025·黑龙江牡丹江·模拟预测）若，则________． 【答案】/0.6 【分析】根据给定条件，利用诱导公式及二倍角的正弦公式，结合正余弦齐次式法求值. 【详解】当时， . 故答案为： 一、单选题 1．（2025·天津·高考真题）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】通过判断是否能相互推出，由充分条件与必要条件的定义可得. 【详解】由，则“”是“”的充分条件； 又当时，，可知， 故“”不是“”的必要条件， 综上可知，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 2．（2024·全国甲卷·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将弦化切求得，再根据两角和的正切公式即可求解. 【详解】因为， 所以，， 所以， 故选：B. 3．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两角和的余弦可求的关系，结合的值可求前者，故可求的值. 【详解】因为，所以， 而，所以， 故即， 从而，故， 故选：A. 4．（2025·全国二卷·高考真题）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二倍角余弦公式得，则，最后再根据两角差的正弦公式即可得到答案. 【详解】， 因为，则，则， 则. 故选：D. 5．（2026·全国一卷·高考真题）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，，， 即集合，且集合，所以. 二、填空题 6．（2025·上海·高考真题）已知，则__________． 【答案】 【分析】利用同角三角函数关系和余弦的两角和公式求解即可. 【详解】由可得， 所以， 故答案为： 7．（2026·天津·高考真题）在中，，，，则__________． 【答案】/ 【详解】在中，，所以， 由正弦定理可得. 8．（2024·北京·高考真题）已知命题若为第一象限角，且，则．能说明p为假命题的一组的值为__________， _________． 【答案】 【分析】根据正切函数单调性以及任意角的定义分析求解. 【详解】因为在上单调递增，若，则， 取， 则，即， 令，则， 因为，则， 即，则. 不妨取，即满足题意. 故答案为：. 9．（2024·北京·高考真题）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于原点对称.若，则的最大值为________． 【答案】/ 【分析】首先得出，结合三角函数单调性即可求解最值. 【详解】由题意，从而， 因为，所以的取值范围是，的取值范围是， 当且仅当，即时，取得最大值，且最大值为. 故答案为：. 10．（2025·北京·高考真题）已知，且，.写出满足条件的一组的值________，_________． 【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一） 【分析】根据角的三角函数的关系可得角的等量关系，从而可得满足条件的一组解. 【详解】因为，， 所以的终边关于轴对称，且不与轴重合， 故且， 即， 故取可满足题设要求； 故答案为：；（答案不唯一） 1 学科网（北京）股份有限公司 $