第06讲平面向量的综合应用（知识清单+3典例精讲+5方法技巧+分层训练）-2027年高考数学一轮复习讲义与培优专练（全国通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦平面向量综合应用，涵盖向量与几何、三角函数、最值问题及实际情景的结合等高考核心考点，按“知识清单-典例精讲-方法技巧-分层训练”逻辑架构，通过考点梳理、方法指导与真题训练，帮助学生构建系统知识网络，突破综合应用难点。 讲义创新采用“基底法”“坐标法”等五大解题大招，如几何背景优先选基底转化向量关系，培养学生数学思维与几何直观。分层训练含基础、拔高及错题复盘，配合典例精讲实现精准突破，助力学生高效提升应考能力，为教师把控复习节奏提供实用指导。

第06讲平面向量的综合应用 （知识清单+3典例精讲+5方法技巧+分层训练） 近3年考查情况 题型 分值 1. 向量与实际情景结合；2. 向量与平面几何结合（三角形、线段背景下数量积运算）；3. 向量坐标运算与数量积综合应用 单选题/解答题 5分/10分 1. 向量垂直、平行的坐标判定；2. 数量积与向量性质辨析（充分必要条件判断）；3. 向量模长的综合运算；4. 向量与基础几何的简单结合 单选题/多选题/填空题/解答题 5分/6分/5分/10分 1. 向量与圆的综合问题；2. 三个向量和的性质及数量积运算；3. 向量几何意义的应用（图形法求解数量积） 单选题/填空题/解答题 5分/5分/10分 【知识点01】平面向量与平面几何综合 利用向量的线性运算、数量积，结合平面几何图形（三角形、四边形、圆）的性质，求解线段长度、夹角、垂直关系、面积等问题；关键是将几何图形中的边、角转化为向量，借助向量运算简化求解。 核心结论： 1. 若，则D为BC中点，为△ABC的中线向量； 2. 若，则AB⊥AC，△ABC为直角三角形； 3. 向量、满足，则O在AB的垂直平分线上。 【例1】在△ABC中，D为BC中点，E为AD中点，若，求λ和μ的值。 【知识点02】平面向量与三角函数综合 将向量的数量积、模长运算与三角函数的化简、求值、性质结合，常见场景：以向量垂直、平行为条件，转化为三角函数等式，求解角的大小、三角函数值或最值。 利用向量垂直（）、平行（）的条件，建立三角函数关系式，再利用三角恒等变换、三角函数性质求解。 【例2】已知向量，，且，求的值。 【知识点03】平面向量与最值、范围问题综合 利用向量数量积、模长公式，将最值问题转化为二次函数、三角函数、基本不等式的最值求解，常见场景：求、（t为实数）的最值或取值范围。 1. 坐标法：建立平面直角坐标系，将向量坐标化，转化为代数最值；2. 几何法：利用向量几何意义，结合图形直观求解；3. 转化法：转化为二次函数或三角函数，利用相关性质求解。 【例3】已知，，与的夹角为，若（），求的最小值及此时t的值。 【知识点04】平面向量与实际情景综合 将实际中的位移、速度、力等矢量，转化为平面向量，利用向量的线性运算、数量积解决实际问题，常见场景：位移合成、风速与航速合成、力的合成与分解。 明确实际矢量的方向和大小，建立向量模型，借助向量运算求解实际问题中的未知量（如合速度大小、合位移方向等）。 【例4】一艘船以10km/h的速度向正北航行，此时刮起西北风（风向为西北，即指向东南），风速为6km/h，求船的实际航行速度的大小（结果保留根号）。 【题型一】平面向量与平面几何综合 【例1】（2025·山东临沂·三模）在平行四边形中，，，，为边上一点，若，则线段的长为（    ） A． B． C．3 D． 【例2】（多选）（2023·湖北·模拟预测）下列关于平面向量的说法中正确的是（    ） A．已知，点在直线上，且，则的坐标为； B．若是的外接圆圆心，则 C．若，且，则 D．若点是所在平面内一点，且，则是的垂心. 【例3】（2026·全国·模拟预测）已知的顶点坐标分别为，，，则的角平分线所在的直线方程为________． 【变式1】（2024·湖南娄底·一模）已知圆内接四边形中，是圆的直径，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·广东广州·二模）在平面四边形中，，若的面积是的面积的2倍，则的长度为______. 【变式3】（2026·河南开封·模拟预测）如图，在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且． (1)求B； (2)若D是边AC的中点，，，求的面积； 【题型二】平面向量与最值、范围问题综合 【例4】（2026·云南曲靖·二模）已知正方形的边长为2，为该正方形内切圆的直径，点P在正方形的边上运动，则的最大值为（   ） A． B．1 C． D．2 【例5】（2026·湖南怀化·二模）已知圆的圆心为，半径为，，，是圆上的动点，且，则的取值范围为________． 【例6】（2023·福建福州·模拟预测）在中，角的对边分别是，且. (1)求角； (2)若的中线长为，求面积的最大值. 【变式1】（2026·浙江·二模）如图，已知正三角形的边长为2，以B为圆心的圆与直线相切，若点P是圆B上的动点，则的最大值是（    ）． A． B． C．4 D． 【变式2】（2026·吉林白山·模拟预测）如图，是边长为2的等边三角形，以为直径作一个半圆，点P为此半圆弧上的一个动点，若，则的最大值为______________. 【变式3】（2024·河南·模拟预测）的内角的对边分别为，已知是边上一点，. (1)求； (2)求的最大值. 【题型三】平面向量与实际情景综合 【例7】（2026·湖北襄阳·二模）已知一条河的两岸平行，一艘船从河的岸边处出发，向对岸航行，若船的速度，水流速度，且船实际航行的速度的大小为，则（   ） A． B． C． D． 【例8】（2026·浙江·二模）某无人机在风速为的西风（西风是从西面吹来的风）中，以的航速沿北偏西方向飞行，则当无风时无人机的航速和航向为（    ） A．航速为，方向为北偏西 B．航速为，方向为北偏西 C．航速为，方向为北偏西 D．航速为，方向为北偏西 【例9】（2025·四川成都·模拟预测）如图，无弹性细绳，一端分别固定在A，B处，在同样的细绳的下端吊一重物，要保持此状态，对细绳的耐力性要求最高的是________(三条绳本身质量忽略不计，横线上填或或)．    【变式1】（2025·广东·模拟预测）已知力作用于某一物体，使该物体从移动到，则力对该物体做的功为（    ） A．2 B．4 C．6 D．10 【变式2】（2026·安徽阜阳·二模）如图，无弹性的细绳，的一端分别固定在A，B处，同样的细绳下端系着一个秤盘，且，绳子受力的大小为40 N，受力的大小为30 N，则绳子受力的大小为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（2024·全国·模拟预测）如图，某物体作用于同一点的三个力使物体处于平衡状态，已知，，与的夹角为，则的大小为_________．（牛顿是物理的力学单位） 【解题大招01】基底法——几何背景优先选基底 当题目以三角形、四边形为背景，无明确坐标时，优先选取一组不共线的向量作为基底（如、），将所有未知向量转化为基底的线性组合，再结合数量积运算求解，避免复杂几何推理。 基底选取优先选“共起点、不共线”的向量，简化线性组合运算，核心是“转化统一”。 【例1】在△ABC中，，，，D为BC中点，求的值。 【解题大招02】坐标法——有垂直/对称背景优先建系 当题目存在垂直关系（如直角三角形、矩形）、对称关系（如等腰三角形、圆）时，建立平面直角坐标系，将向量坐标化，把向量运算转化为代数运算（加减、乘除），降低思维难度，避免逻辑错误。 建系时优先让顶点落在坐标轴上，简化坐标计算；坐标法适用于所有向量综合题，是一轮复习必练技巧。 【例2】已知矩形ABCD中，，，E为CD中点，求的值。 【解题大招03】转化法——最值问题转化为函数最值 遇到向量模长、数量积的最值/范围问题，优先利用消去模长，将问题转化为二次函数、三角函数的最值求解，核心是“代数化转化”，避开几何最值的复杂分析。 最值问题优先“平方转化”，转化后优先用二次函数求解（高考高频），若有角度约束，可结合三角函数值域求解。【例3】已知，，与的夹角为，（），求的最小值及此时t的值。 【解题大招04】性质法——巧用垂直/平行性质简化运算 牢记向量垂直、平行的核心性质，直接转化为等式/不等式，跳过复杂运算，快速解题；核心性质： 1. 垂直：（坐标式：）； 2. 平行：（坐标式：）。 垂直、平行是高考基础考点，直接套用性质，避免多余运算，注意平行时需排除零向量（本题无零向量，可直接求解）。 【例4】已知向量，，若，求k的值；若，求k的值。 【解题大招05】几何意义法——快速判断数量积符号/大小 利用向量数量积的几何意义（），快速判断数量积的符号（为锐角正、钝角负、直角0），或估算大小，适用于客观题快速求解/验证。 客观题可优先用几何意义判断符号，节省运算时间，后续可结合坐标法验证，提高正确率。 【例5】在△ABC中，，，则、的符号分别为（ ） A. 正、正 B. 正、负 C. 负、正 D. 负、负 【基础过关】（共8题） 一、单选题 1．（2026·辽宁抚顺·一模）已知向量，满足，，则的最小值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（2025·福建泉州·模拟预测）一条河两岸平行，河的宽度为，一艘船从河岸边的某地出发，向河对岸航行．已知船在静水的速度大小为，且船在航行过程中受水流的影响．当船以路程最短的方式航行到对岸时，所需时间为6分钟，则水流速度的大小为（    ） A． B． C． D． 3．（2023·全国乙卷·高考真题）已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（2025·全国·模拟预测）已知和是平面中两个相互垂直的单位向量，若该平面中的与分别满足，，设，则下列说法中正确的有（    ） A．动点的轨迹是以为半径的圆 B．的最小值是12 C．的最大值是80 D．在方向上投影的最大值是 三、填空题 5．如图，在平面四边形中，，，，.若为线段中点，则______；若为线段（含端点）上的动点，则的最小值为______.    6．（2023·甘肃定西·模拟预测）已知向量，，若向量，且与的夹角为钝角，写出一个满足条件的的坐标为______. 四、解答题 7．（2024·安徽·一模）在中，角的对边分别为，面积为S，且. (1)求B； (2)若，，D为边的中点，求的长. 8．（2024·湖南衡阳·模拟预测）在中，角的对边分别为已知 (1)求角 (2)过作，交线段于D，且，求角. 【拔高选练】（共6题） 一、单选题 1．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）直角中，斜边，，动点满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·江苏镇江·二模）若非零向量与满足，且，则三角形ABC为（    ） A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形 C．底边和腰不相等的等腰三角形 D．等边三角形 二、多选题 3．（2025·广西来宾·模拟预测）已知⊙O的半径为1，直线PA与⊙O相切于点A，直线PB与⊙O交于B，C两点，D为的中点，若，则的可能取值为（   ） A． B． C． D．1 三、填空题 4．（2026·陕西商洛·模拟预测）在等腰直角中，为斜边的中点，点在边上，，则的最小值为______. 5．（2026·四川·模拟预测）在中，角所对的边分别为，且为的中点，则的最大值为__________. 四、解答题 6．（2026·江苏扬州·模拟预测）在中，已知角所对的边分别为，且满足． (1)求； (2)若边上的两条中线相交于点，求的余弦值． 【错题复盘】（共5题） 一、单选题 1．（2026·辽宁盘锦·一模）已知P，Q是双曲线右支上两点，且满足（其中），则最小值为（   ） A． B．2 C．4 D． 2．（2026·广东·模拟预测）已知平面内存在，，，，五个点，且满足，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（2025·安徽黄山·二模）如图，一条河两岸平行，河的宽度，一艘船从河岸边的地出发，向河对岸航行，已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，设和的夹角为，则下列说法正确的为（   ） A．当船的航行时间最短时， B．当船的航行距离最短时， C．当时，船的航行时间为6分钟 D．当时，船的航行距离为 三、填空题 4．（2026·江西赣州·二模）为平面内一点，，则的取值范围是______． 四、解答题 5．（2026·浙江温州·二模）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求B； (2)若，点D在AC上，直线BD上一点P满足，在点C和点D的变化过程中， （ⅰ）求的最小值； （ⅱ）当最小时，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲平面向量的综合应用 （知识清单+3典例精讲+5方法技巧+分层训练） 近3年考查情况 题型 分值 1. 向量与实际情景结合；2. 向量与平面几何结合（三角形、线段背景下数量积运算）；3. 向量坐标运算与数量积综合应用 单选题/解答题 5分/10分 1. 向量垂直、平行的坐标判定；2. 数量积与向量性质辨析（充分必要条件判断）；3. 向量模长的综合运算；4. 向量与基础几何的简单结合 单选题/多选题/填空题/解答题 5分/6分/5分/10分 1. 向量与圆的综合问题；2. 三个向量和的性质及数量积运算；3. 向量几何意义的应用（图形法求解数量积） 单选题/填空题/解答题 5分/5分/10分 【知识点01】平面向量与平面几何综合 利用向量的线性运算、数量积，结合平面几何图形（三角形、四边形、圆）的性质，求解线段长度、夹角、垂直关系、面积等问题；关键是将几何图形中的边、角转化为向量，借助向量运算简化求解。 核心结论： 1. 若，则D为BC中点，为△ABC的中线向量； 2. 若，则AB⊥AC，△ABC为直角三角形； 3. 向量、满足，则O在AB的垂直平分线上。 【例1】在△ABC中，D为BC中点，E为AD中点，若，求λ和μ的值。 解析：利用向量线性运算，将转化为、的线性组合： ∵ D为BC中点，∴ ； ∵ E为AD中点，∴； 又，代入得： ； 故，。 【知识点02】平面向量与三角函数综合 将向量的数量积、模长运算与三角函数的化简、求值、性质结合，常见场景：以向量垂直、平行为条件，转化为三角函数等式，求解角的大小、三角函数值或最值。 利用向量垂直（）、平行（）的条件，建立三角函数关系式，再利用三角恒等变换、三角函数性质求解。 【例2】已知向量，，且，求的值。 解析：由向量垂直条件建立三角等式，逐步求解： 1. ∵ ，∴ ，即； 2. 化简得：，提取公因式： ； 3. 若，则（），此时无意义，舍去； 4. 若，则，解得（）； 5. 计算：，故。 【知识点03】平面向量与最值、范围问题综合 利用向量数量积、模长公式，将最值问题转化为二次函数、三角函数、基本不等式的最值求解，常见场景：求、（t为实数）的最值或取值范围。 1. 坐标法：建立平面直角坐标系，将向量坐标化，转化为代数最值；2. 几何法：利用向量几何意义，结合图形直观求解；3. 转化法：转化为二次函数或三角函数，利用相关性质求解。 【例3】已知，，与的夹角为，若（），求的最小值及此时t的值。 解析：转化为二次函数最值求解，步骤如下： 1. 由模长公式：； 2. 展开得：； 3. 代入已知条件：，，； 4. 整理得：，这是关于t的二次函数，开口向上； 5. 对称轴为，此时取得最小值； 故的最小值为，此时。 【知识点04】平面向量与实际情景综合 将实际中的位移、速度、力等矢量，转化为平面向量，利用向量的线性运算、数量积解决实际问题，常见场景：位移合成、风速与航速合成、力的合成与分解。 明确实际矢量的方向和大小，建立向量模型，借助向量运算求解实际问题中的未知量（如合速度大小、合位移方向等）。 【例4】一艘船以10km/h的速度向正北航行，此时刮起西北风（风向为西北，即指向东南），风速为6km/h，求船的实际航行速度的大小（结果保留根号）。 解析：建立坐标系，将船速、风速转化为向量，求合向量模长： 1. 建立平面直角坐标系，正北为y轴正方向，正东为x轴正方向； 2. 船速向量（正北方向，x分量为0，y分量为10）； 3. 西北风风速向量，方向东南（与x轴正方向夹角），大小6km/h，故： ； 4. 实际航行速度向量； 5. 实际速度大小：； 展开计算：（km/h）。 【题型一】平面向量与平面几何综合 【例1】（2025·山东临沂·三模）在平行四边形中，，，，为边上一点，若，则线段的长为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】利用向量垂直则数量积为0，求出，再平方求向量的模即可. 【详解】设，如图， 因为， 所以, 即，解得， 所以， ， 故选：A 【例2】（多选）（2023·湖北·模拟预测）下列关于平面向量的说法中正确的是（    ） A．已知，点在直线上，且，则的坐标为； B．若是的外接圆圆心，则 C．若，且，则 D．若点是所在平面内一点，且，则是的垂心. 【答案】BD 【分析】对于A，设，由题意可得或，再根据平面向量的坐标表示计算即可；对于B，如图，设为的中点，根据数量积的定义即可得解；对于C，当时，再根据数量积的运算律即可判断；根据数量积的运算律即可判断D. 【详解】对于A，设，则， 因为点在直线上，且， 所以或， 则或， 所以或，解得或， 所以或，故A错误； 对于B，如图，设为的中点，则， 则，故B正确； 对于C，当时，， 满足，则与不一定相等，故C错误； 对于D，因为， 所以，所以， 同理可得， 所以是的垂心，故D正确. 故选：BD. 【例3】（2026·全国·模拟预测）已知的顶点坐标分别为，，，则的角平分线所在的直线方程为________． 【答案】 【分析】设的角平分线的方向向量为，根据，进而得到角平分线的斜率，然后利用点斜式得到所求直线的方程. 【详解】根据题意可知，， 所以可知，可知角平分线的斜率为， 则可知的角平分线所在的直线方程为, 化简可知. 故答案为： 【变式1】（2024·湖南娄底·一模）已知圆内接四边形中，是圆的直径，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量数量积的线性运算，结合圆内接四边形的几何性质，即可得所求. 【详解】 因为，所以，易知， 结合图形，，，则，故. 所以在直角三角形中可得，故. 故选：. 【变式2】（2025·广东广州·二模）在平面四边形中，，若的面积是的面积的2倍，则的长度为______. 【答案】 【分析】如图建立直角坐标系，设AC，BD交点为E，由的面积是的面积的2倍可得E坐标，然后由B，E，D三点共线结合可得B 点坐标，即可得答案. 【详解】如图，以D点为原点，取AC中点为F，以DF所在直线为x轴， 以过D点，垂直于DF直线为y轴，建立直角坐标系. 又 则. 过C，A两点作DB垂线，垂足为G，H，则. 又注意到，则.设，则， 则. 注意到B，E，D三点共线，则，则. 又 则或，又由图可得，则. 则. 故答案为：    【变式3】（2026·河南开封·模拟预测）如图，在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且． (1)求B； (2)若D是边AC的中点，，，求的面积； 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）借助正弦定理将边化为角后，结合两角和的正弦公式与同角三角函数基本关系计算即可得； （2）借助向量模长与数量积的关系计算可得，再利用面积公式计算即可得. 【详解】（1），由正弦定理，得， 又， 则有， 即，又，故， 则，即，又，则； （2）由D是AC的中点，则， 由（1）知， 则， 又，， 则，则， 解得或（负值，舍去）， 则. 【题型二】平面向量与最值、范围问题综合 【例4】（2026·云南曲靖·二模）已知正方形的边长为2，为该正方形内切圆的直径，点P在正方形的边上运动，则的最大值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】取正方形内切圆圆心，再利用向量数量积的运算律列式求解. 【详解】依题意，正方形的内切圆的半径为1，设圆心为O， 则， 当点P为正方形的顶点时，有最大值，所以的最大值为1． 【例5】（2026·湖南怀化·二模）已知圆的圆心为，半径为，，，是圆上的动点，且，则的取值范围为________． 【答案】 【分析】由弦长与半径的关系可知两条半径垂直，利用向量加法的几何意义，将目标表达式转化为从某固定圆上的动点到已知圆上动点的距离，通过分析两圆的位置关系，得到距离的取值范围. 【详解】延长至点，使得，取的中点，连接，,． 是的中点，，所以，所以，，， 在中，，，所以，所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 的最小值为，最大值为，所以的取值范围为． 【例6】（2023·福建福州·模拟预测）在中，角的对边分别是，且. (1)求角； (2)若的中线长为，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理结合三角恒等变换计算即可； （2）利用平面向量知，利用数量积与模关系及基本不等式可得，再根据面积公式求最值即可. 【详解】（1）在中，由正弦定理得：， 而， 所以， 化简得， 因为，所以，， 即，所以， 又因为，所以，即. （2）由是的中线，， 所以， 即，所以，所以， 当且仅当时，等号成立， 所以三角形面积， 即的面积的最大值为. 【变式1】（2026·浙江·二模）如图，已知正三角形的边长为2，以B为圆心的圆与直线相切，若点P是圆B上的动点，则的最大值是（    ）． A． B． C．4 D． 【答案】D 【分析】以A为原点，建立平面直角坐标系，设，求出坐标，由数量积的坐标运算结合余弦函数的性质即可得出答案. 【详解】 如图，以A为原点，AC所在直线为x轴建立平面直角坐标系， 已知正三角形的边长为2，以B为圆心的圆与直线相切， 则，圆B的半径为， 因为点P是圆B上的动点，设， 则， 则， 因为， 所以，当时，取得最大值为. 【变式2】（2026·吉林白山·模拟预测）如图，是边长为2的等边三角形，以为直径作一个半圆，点P为此半圆弧上的一个动点，若，则的最大值为______________. 【答案】 【分析】建立坐标系，写出各点坐标，利用三角函数参数表示点，推导出的表达式，再利用三角函数的性质求最大值. 【详解】取中点（圆心）为原点，在轴上，由△ABC是边长为2的等边三角形，三线合一得，， 因此各点坐标为：，，，， 设（为与轴夹角），由在上半圆，得。 ，，， 由，对应坐标相等得：， 则， 因为，的最大值为， 所以. 【变式3】（2024·河南·模拟预测）的内角的对边分别为，已知是边上一点，. (1)求； (2)求的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再由同角三角函数的商数关系，得解； （2）由，知，将其两边平方后，结合基本不等式，计算可得，再由平面向量数量积的运算法则，得解． 【详解】（1）由正弦定理及知，， 因为，所以， 所以． （2）因为，所以， 又， 所以，整理得， 所以， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 所以， 故的最大值为． 【题型三】平面向量与实际情景综合 【例7】（2026·湖北襄阳·二模）已知一条河的两岸平行，一艘船从河的岸边处出发，向对岸航行，若船的速度，水流速度，且船实际航行的速度的大小为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由平面向量加法的平行四边形法则可知，，求得的坐标，然后利用坐标求模长建立关于的方程，解方程即可得解. 【详解】 设船实际航行的速度为，则， 又，所以，解得（负值舍去），故C正确. 【例8】（2026·浙江·二模）某无人机在风速为的西风（西风是从西面吹来的风）中，以的航速沿北偏西方向飞行，则当无风时无人机的航速和航向为（    ） A．航速为，方向为北偏西 B．航速为，方向为北偏西 C．航速为，方向为北偏西 D．航速为，方向为北偏西 【答案】A 【分析】本题主要考查平面向量的实际应用，结合解直角三角形，表示出无风航速向量，最后求出航速和航向. 【详解】设表示风速，表示有风时无人机的航速，表示无风时无人机的航速，如图所示． 由题，，，   ，故， 又， 所以，在直角中，，则， 故航速为，方向为北偏西． 【例9】（2025·四川成都·模拟预测）如图，无弹性细绳，一端分别固定在A，B处，在同样的细绳的下端吊一重物，要保持此状态，对细绳的耐力性要求最高的是________(三条绳本身质量忽略不计，横线上填或或)．    【答案】 【分析】设三条绳受的力分别为，则，根据向量加法法则和直角三角形三边关系得到，得到答案. 【详解】设三条绳受的力分别为，则， 合力为，， 如图，在平行四边形中， ∵，    ∴， 即，故细绳OA受力最大，即对OA绳的耐力性要求最高． 故答案为： 【变式1】（2025·广东·模拟预测）已知力作用于某一物体，使该物体从移动到，则力对该物体做的功为（    ） A．2 B．4 C．6 D．10 【答案】D 【分析】由力对物体所做的功即为两个向量的数量积求解即可. 【详解】因为，所以力对该物体做的功为. 故选：D. 【变式2】（2026·安徽阜阳·二模）如图，无弹性的细绳，的一端分别固定在A，B处，同样的细绳下端系着一个秤盘，且，绳子受力的大小为40 N，受力的大小为30 N，则绳子受力的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，，三根绳子所受的力分别为，则， 因为的合力，所以， 如图，在平行四边形中，， 因为，所以， 所以绳子受力的大小为. 【变式3】（2024·全国·模拟预测）如图，某物体作用于同一点的三个力使物体处于平衡状态，已知，，与的夹角为，则的大小为_________．（牛顿是物理的力学单位） 【答案】 【分析】根据三力平衡得到，然后通过平方将向量式数量化得到，代入数据即可得到答案. 【详解】由题意知三力平衡得，化简得， 两边同平方得，即， 即，解得. 故答案为：. 【解题大招01】基底法——几何背景优先选基底 当题目以三角形、四边形为背景，无明确坐标时，优先选取一组不共线的向量作为基底（如、），将所有未知向量转化为基底的线性组合，再结合数量积运算求解，避免复杂几何推理。 基底选取优先选“共起点、不共线”的向量，简化线性组合运算，核心是“转化统一”。 【例1】在△ABC中，，，，D为BC中点，求的值。 解析：选取、为基底，分步转化求解： 1. 表示相关向量：D为BC中点，故，； 2. 展开数量积：； 3. 代入已知条件：，， 得。 【解题大招02】坐标法——有垂直/对称背景优先建系 当题目存在垂直关系（如直角三角形、矩形）、对称关系（如等腰三角形、圆）时，建立平面直角坐标系，将向量坐标化，把向量运算转化为代数运算（加减、乘除），降低思维难度，避免逻辑错误。 建系时优先让顶点落在坐标轴上，简化坐标计算；坐标法适用于所有向量综合题，是一轮复习必练技巧。 【例2】已知矩形ABCD中，，，E为CD中点，求的值。 解析：建立坐标系，坐标化向量求解： 1. 以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，建立平面直角坐标系； 2. 确定各点坐标：，，，，E为CD中点，故； 3. 求向量坐标：，； 4. 计算数量积：。 【解题大招03】转化法——最值问题转化为函数最值 遇到向量模长、数量积的最值/范围问题，优先利用消去模长，将问题转化为二次函数、三角函数的最值求解，核心是“代数化转化”，避开几何最值的复杂分析。 最值问题优先“平方转化”，转化后优先用二次函数求解（高考高频），若有角度约束，可结合三角函数值域求解。【例3】已知，，与的夹角为，（），求的最小值及此时t的值。 解析：转化为二次函数最值，步骤如下： 1. 消去模长：； 2. 展开整理：； 3. 代入已知条件：，，， 得； 4. 求二次函数最值：开口向上，对称轴，最小值为， 故的最小值为，此时。 【解题大招04】性质法——巧用垂直/平行性质简化运算 牢记向量垂直、平行的核心性质，直接转化为等式/不等式，跳过复杂运算，快速解题；核心性质： 1. 垂直：（坐标式：）； 2. 平行：（坐标式：）。 垂直、平行是高考基础考点，直接套用性质，避免多余运算，注意平行时需排除零向量（本题无零向量，可直接求解）。 【例4】已知向量，，若，求k的值；若，求k的值。 解析：直接利用垂直、平行性质求解： 1. 垂直情况：，即， 整理得； 2. 平行情况：， 整理得，解得。 【解题大招05】几何意义法——快速判断数量积符号/大小 利用向量数量积的几何意义（），快速判断数量积的符号（为锐角正、钝角负、直角0），或估算大小，适用于客观题快速求解/验证。 客观题可优先用几何意义判断符号，节省运算时间，后续可结合坐标法验证，提高正确率。 【例5】在△ABC中，，，则、的符号分别为（ ） A. 正、正 B. 正、负 C. 负、正 D. 负、负 解析：利用几何意义判断符号： 1. 与的夹角为，（修正：，与夹角为，数量积为0；调整题干：） 修正解析：若，则与夹角为，，故； 与的夹角为，，夹角为，，故，选B。 【基础过关】（共8题） 一、单选题 1．（2026·辽宁抚顺·一模）已知向量，满足，，则的最小值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】利用向量不等式求解. 【详解】由向量不等式可得：， 所以当与方向相反时，最小值为1. 2．（2025·福建泉州·模拟预测）一条河两岸平行，河的宽度为，一艘船从河岸边的某地出发，向河对岸航行．已知船在静水的速度大小为，且船在航行过程中受水流的影响．当船以路程最短的方式航行到对岸时，所需时间为6分钟，则水流速度的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先计算出船的实际速度，用向量表示水流速度，实际船速与船的静水速度的关系，利用向量的数量积的有关运算法则可求水流速度. 【详解】如图： 船的实际过河速度为：.即. 又，即. 所以， 所以， 所以. 即水流速度为：. 故选：B 3．（2023·全国乙卷·高考真题）已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意作出示意图，然后分类讨论，利用平面向量的数量积定义可得，或然后结合三角函数的性质即可确定的最大值. 【详解】如图所示，，则由题意可知:， 由勾股定理可得    当点位于直线异侧时或PB为直径时，设， 则： ，则 当时，有最大值.    当点位于直线同侧时，设， 则： ， ，则 当时，有最大值. 综上可得，的最大值为. 故选：A. 【点睛】本题的核心在于能够正确作出示意图，然后将数量积的问题转化为三角函数求最值的问题，考查了学生对于知识的综合掌握程度和灵活处理问题的能力. 二、多选题 4．（2025·全国·模拟预测）已知和是平面中两个相互垂直的单位向量，若该平面中的与分别满足，，设，则下列说法中正确的有（    ） A．动点的轨迹是以为半径的圆 B．的最小值是12 C．的最大值是80 D．在方向上投影的最大值是 【答案】BCD 【分析】设，利用向量的四则运算和模长公式求出动点轨迹判断ABC，利用投影的几何意义结合图象判断D. 【详解】因为和是平面中两个相互垂直的单位向量，不妨设， 则，， 因为，，所以，， 又，所以此时（为坐标原点）动点的轨迹是以3为半径，为圆心的圆，故A错误， 设，此时（为坐标原点）动点的轨迹是以为半径，为圆心的圆， 所以知，，且与可以同时取得各自的最大值与最小值， 所以，故BC正确， 在方向上投影为，如图易知对于任意，当与圆在第一象限相切时最大， 过作，交直线于，过作交直线于， 此时在方向上投影为， 易知，所以， 又由圆的几何性质可知当与圆相切时，最大，最大值为， 综上在方向上投影的最大值为，故D正确； 故选：BCD 三、填空题 5．如图，在平面四边形中，，，，.若为线段中点，则______；若为线段（含端点）上的动点，则的最小值为______.    【答案】 /5.25 【分析】根据题意，建立平面直角坐标系，求出各点的坐标，结合平面向量的数量积公式和二次函数的性质即可求出. 【详解】因为，，所以为等边三角形， 因为，，所以在和中，，， 则，得，， 因为在中，，则，得，又，所以， 以为原点，以 所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系， ，，，，，， 则； 设，，， 则， 因为，所以时，的最小值为. 故答案为：；.    6．（2023·甘肃定西·模拟预测）已知向量，，若向量，且与的夹角为钝角，写出一个满足条件的的坐标为______. 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据向量的共线和向量乘法的坐标计算公式即可求解. 【详解】设， 因为向量，且与的夹角为钝角， 所以，所以， 不妨令，则，故， 故答案为：（答案不唯一）. 四、解答题 7．（2024·安徽·一模）在中，角的对边分别为，面积为S，且. (1)求B； (2)若，，D为边的中点，求的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角形面积公式及余弦定理计算即可； （2）利用余弦定理先求c，结合平面向量数量积公式及其运算律计算即可. 【详解】（1）由三角形面积公式及条件可知：， 由余弦定理知， 所以， 因为，所以； （2）结合（1）的结论，根据余弦定理有， 所以，易知， 所以， 即. 8．（2024·湖南衡阳·模拟预测）在中，角的对边分别为已知 (1)求角 (2)过作，交线段于D，且，求角. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理边化角，再利用内角和为变换角，最后进行三角恒等变化即可求解； （2）利用，结合定比分点向量公式，用向量法来运算垂直关系，即可解得. 【详解】（1）由正弦定理得：． ∵，∴， ∴ ∴， 又，∴，又为三角形内角，∴． （2） 因为在边上，且，所以． 因为，所以， 即， 所以． 在中，由，，可得. 【拔高选练】（共6题） 一、单选题 1．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）直角中，斜边，，动点满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】以C为坐标中心建立平面直角坐标系，设P坐标为，根据条件建立的关系式求解 【详解】 以C为坐标中心建立平面直角坐标系，设P坐标为， ，，， ， ， ， ， ， 即， 配方得：， 所以在以为圆心以2为半径的圆上， ，， ,其关于x单调递增， 所以取P为圆的最右边的点可取得最大， 此时，代入得. 2．（2026·江苏镇江·二模）若非零向量与满足，且，则三角形ABC为（    ） A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形 C．底边和腰不相等的等腰三角形 D．等边三角形 【答案】D 【分析】由已知可得角的角平分线与垂直，所以是等腰三角形，结合可得角，从而选出正确答案. 【详解】分别是非零向量同向的单位向量， 因为，所以角的角平分线与垂直， 即角的角平分线与边上的高重合，所以，即是等腰三角形. 由，得. 又，所以. 因此，是等边三角形. 二、多选题 3．（2025·广西来宾·模拟预测）已知⊙O的半径为1，直线PA与⊙O相切于点A，直线PB与⊙O交于B，C两点，D为的中点，若，则的可能取值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】AD 【分析】不妨设，，根据图形关系求出点的轨迹方程，利用坐标法计算的取值范围. 【详解】如图，圆的方程为，由于圆的对称性，不妨设， 因，则，则， 因，则点的轨迹为以为直径的圆，且位于圆内部， 中点为，，则以为直径的圆方程为， 设，则，则， 又与的交点坐标为， 则，则， 故AD正确，BC错误. 故选：AD 三、填空题 4．（2026·陕西商洛·模拟预测）在等腰直角中，为斜边的中点，点在边上，，则的最小值为______. 【答案】7 【分析】建立直角坐标系，根据向量数量积及二次函数性质求解即可. 【详解】以为坐标原点，，所在直线分别为，轴， 建立平面直角坐标系，如图所示， 则，，设（）， 则，， 所以. 当时，取得最小值7. 5．（2026·四川·模拟预测）在中，角所对的边分别为，且为的中点，则的最大值为__________. 【答案】 【分析】由正弦定理边化角，结合角A、B的范围，可得角A，根据余弦定理及基本不等式，可得的最大值，根据条件，可得，两边同时求模，化简整理，即可得答案. 【详解】因为，由正弦定理得， 即. 因为，所以，即. 又，所以. 由余弦定理，得， 所以，即，当且仅当时等号成立. 因为为的中点，所以， 所以 ，所以的最大值为. 四、解答题 6．（2026·江苏扬州·模拟预测）在中，已知角所对的边分别为，且满足． (1)求； (2)若边上的两条中线相交于点，求的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由余弦定理化简可得； （2）由题意可知，为向量与的夹角，即与的夹角，分别计算，，，代入向量夹角的计算公式可得. 【详解】（1）由余弦定理知， 化简得，，所以． 又因为，所以． （2）由题意可知，为向量与的夹角，即与的夹角. 是的中点，得， 由是中点，得. 所以. 由，得. 所以， ， . 故． 【错题复盘】（共5题） 一、单选题 1．（2026·辽宁盘锦·一模）已知P，Q是双曲线右支上两点，且满足（其中），则最小值为（   ） A． B．2 C．4 D． 【答案】A 【分析】设，根据向量数量积的坐标运算，将问题转化为关于的二次函数求最值问题，结合题干求解即可. 【详解】设， 由，得， 代入和， 得，在双曲线右支，故. 设二次函数，对称轴为， 所以最小值为 验证可知时，，存在符合条件的在右支， 故最小值为. 2．（2026·广东·模拟预测）已知平面内存在，，，，五个点，且满足，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，根据已知条件求得的表达式，并利用基本不等式求得的最小值，进而求得的最小值. 【详解】设，则，，， 以为原点，为轴正方向建立平面直角坐标系， 则，如图，则：，，，， 所以， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为. 二、多选题 3．（2025·安徽黄山·二模）如图，一条河两岸平行，河的宽度，一艘船从河岸边的地出发，向河对岸航行，已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，设和的夹角为，则下列说法正确的为（   ） A．当船的航行时间最短时， B．当船的航行距离最短时， C．当时，船的航行时间为6分钟 D．当时，船的航行距离为 【答案】AC 【分析】利用向量的加法法则以及数量积的运算律解决速度合成问题，根据船的航行时间（其中船垂直河岸方向的分速度）可计算并判断A,C；根据船的航行距离最短时，合速度方向垂直河岸，可计算并判断B；通过向量的有关运算计算出合成速度，可计算并判断D. 【详解】对于A，将船的速度和水流速度进行合成，船垂直河岸方向的分速度， 河宽，则渡河时间 ， 当，即，取得最小值，所以当船的航行时间最短时，，故A正确； 对于B，当船的航行距离最短时，合速度方向垂直河岸，如图， 则，所以，故B错误； 对于C，当时，船垂直河岸方向的分速度， 船的航行时间，即6分钟，故C正确； 对于D，将船的速度和水流速度进行合成，则， 当时，， 所以， 因为船垂直河岸方向的分速度， 所以船的航行时间， 所以船的航行距离为，故D错误. 故选：AC 三、填空题 4．（2026·江西赣州·二模）为平面内一点，，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】由向量的关系得，进而得为直角三角形，再根据点在以为圆心，为半径的圆上，即可求得答案. 【详解】因为， 所以，， 所以，，， 所以，在中，，，， 由余弦定理得，即， 所以为直角三角形， 因为，所以点在以为圆心，为半径的圆上，如图所示， 所以，即， 所以的取值范围是 四、解答题 5．（2026·浙江温州·二模）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求B； (2)若，点D在AC上，直线BD上一点P满足，在点C和点D的变化过程中， （ⅰ）求的最小值； （ⅱ）当最小时，求的值． 【答案】(1) (2)（i） （ii） 【分析】（1）运用正余弦定理化简等式，得到关于的余弦公式； （2）（ⅰ）建立坐标系，根据题意得到，运算得到点的轨迹方程，限定其坐标的取值范围，得到双变量函数，依次放缩，并注意取等条件. （ⅱ）注意上一问的取等条件，然后求出点的坐标，代入运算即可. 【详解】（1）在中，因为，所以，代入得到， 由正弦定理得， 由余弦定理得， 化简得， 又，， 所以 （2）（i）因为，所以，所以 如图，建立平面直角坐标系 此时， 设， 因为，所以 设， 代入得， 整理得，解得 ，当且仅当取得等号 又因为，当且仅当取得等号， 所以的最小值为 （ii）此时，所以直线， ，所以直线， 联立，解得，所以 1 学科网（北京）股份有限公司 $