第28讲 三角函数的周期性、奇偶性、对称性 课时作业-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 分层设计清晰，A组基础保分练（9题）与B组能力提升练（2题）梯度衔接，通过概念辨析、性质应用到综合探究，构建三角函数从基础到进阶的巩固路径，培养数学抽象与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组|三角函数奇偶性、周期、对称轴等单一性质|含模拟题情境，多选（如第5-6题）辨析概念，解答题（第9题）整合恒等变换与单调区间| |B组|函数性质综合应用、复杂函数周期计算|含参数讨论（第10题ω<0）和分式函数周期分析（第11题），提升逻辑推理与运算能力|

[A组　基础保分练] 1.(2026·浙江嘉兴模拟)已知函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0)是奇函数,则φ的值可以是 (　　) A.0　　　　　　　　　 B. C. D.π 答案:C 解析:由f(x)为奇函数,可得φ=+kπ,k∈Z, 当k=0时,φ=. 2.(2026·陕西商洛模拟)曲线y=sin(2πx-)的一条对称轴方程为 (　　) A.x= B.x= C.x= D.x= 答案:B 解析:由2πx-=+kπ(k∈Z),得x=+(k∈Z),当k=0时,x=. 3.函数f(x)=cos x+2cosx的一个周期为 (　　) A.π B.2π C.3π D.4π 答案:D 解析:易知y=cos x,y=2cosx的最小正周期分别为2π,4π,则2π,4π 的公倍数4π 是f(x)的一个周期. 4.已知函数f(x)=cos(x-)-ktan(x+π)+2(k∈R).若f()=-1,则f(-)= (　　) A.5 B.3 C.1 D.0 答案:A 解析:设g(x)=cos(x-)-ktan(x+π)=sin x-ktan x. 因为g(-x)=-sin x+ktan x=-g(x), 所以函数g(x)是奇函数, f()=-1⇒g()+2=-1⇒g()=-3, 因此f(-)=g(-)+2=-g()+2=3+2=5. 5.(多选)(2026·江西景德镇模拟)若f(x)=sin(2x+),则 (　　) A.初相为 B.f(x)的最小正周期为π C.f(x)在[-,]上单调递增 D.f(x-)为奇函数 答案:ABD 解析:对于函数f(x)=sin(2x+),初相为,A正确; 最小正周期为T==π,B正确; 当x∈[-,]时,2x+∈[,], 由于y=sin x在[,]上单调递减,故f(x)在[-,]上单调递减,C错误; f(x-)=sin[2(x-)+]=sin 2x,x∈R,该函数为奇函数,D正确. 6.(多选)(2026·四川成都模拟)已知函数f(x)=sin(2x-),则 (　　) A.f(x)的最小正周期为π B.f(x)的图象关于直线x=对称 C.f(x)在(,)上单调递减 D.f(x)在(0,π)上有2个零点 答案:ACD 解析:对于A,函数f(x)的最小正周期为=π,A正确; 对于B,因为f()=sin(2×-)=0≠±1,所以f(x)的图象不关于直线x=对称,B错误; 对于C,当x∈(,)时,2x-∈(,),因为y=sin x在(,)上单调递减, 所以f(x)在(,)上单调递减,C正确; 对于D,当x∈(0,π)时,2x-∈(-,),由f(x)=0,得2x-=0或2x-=π, 解得x=或x=,即f(x)在(0,π)上有2个零点,D正确. 7.(2026·河北保定模拟)若函数f(x)=tan 2x的最小正周期为T,且f(x)的图象关于点(m,0)(0<m<T)对称,则m=　　　　.  答案: 解析:T=,由0<m<T,得0<2m<π,则2m=,即m=. 8.写出一个同时满足下列两个条件的函数f(x)=　　　　　.  ①∀x∈R,f(x+)=f(x); ②∀x∈R,f(x)≤f()恒成立. 答案:-cos 4x(答案不唯一) 解析:由∀x∈R,f(x+)=f(x)可知,函数的一个周期为, 由∀x∈R,f(x)≤f()恒成立可知,函数在x=处取到最大值, 则f(x)=-cos 4x满足题意, 一方面根据余弦函数的周期公式,T==,满足∀x∈R,f(x+)=f(x), 另一方面,f()=-cos π=1=f(x)max,满足∀x∈R,f(x)≤f()恒成立. 9.已知函数f(x)=sin ωx·cos ωx-sin2ωx(ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值和函数f(x)的单调递增区间; (2)求函数f(x)图象的对称轴方程和对称中心坐标. 解:(1)f(x)=sin 2ωx+=sin(2ωx+)-. 因为f(x)的最小正周期为π,所以π=,解得ω=1,所以f(x)=sin(2x+)-, 令-+2kπ<2x+<+2kπ,k∈Z,解得-+kπ<x<+kπ,k∈Z, 所以f(x)的单调递增区间为(-+kπ,+kπ),k∈Z. (2)令2x+=+kπ,k∈Z,解得x=+,k∈Z,所以对称轴方程为x=+,k∈Z; 令2x+=kπ,k∈Z,解得x=-+,k∈Z,所以对称中心为(-+,-),k∈Z. [B组　能力提升练] 10.已知函数f(x)=2cos2ωx+sin 2ωx-1(ω<0)的最小正周期为π,则 (　　) A.其图象关于点(,0)对称 B.函数f(x)在[1,2]上单调递增 C.函数f(x)在(0,1)上单调 D.其图象关于直线x=对称 答案:C 解析:由题意, 在f(x)=2cos2ωx+sin 2ωx-1中,ω<0, f(x)=cos 2ωx+sin 2ωx=2sin(2ωx+), ∵最小正周期为π, ∴T=π,ω=-=-1,f(x)=2sin(-2x+)=-2sin(2x-), A项,当x=时,f()=-2sin(2×-)=-2≠0,故A错误; B项,当2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z),即kπ-≤x≤kπ+(k∈Z)时函数单调递减,当kπ+≤x≤kπ+(k∈Z)时单调递增, ∴函数在[1,]上单调递减,在[,2]上单调递增,故B错误; C项,函数在(0,)上单调递减,故在区间(0,1)上单调,故C正确; D项,函数的对称轴为2x-=kπ+(k∈Z),即x=kπ+(k∈Z), ∴x=不是函数的对称轴,故D错误. 11.(2026·福建福州模拟)已知函数f(x)=的最小正周期为M,g(x)=的最小正周期为N,则下列说法正确的是 (　　) A.M=2N B.M=N C.M>2N D.M<2N 答案:A 解析:由函数f(x)====, 满足x≠+kπ,k∈Z且tan x≠±1, 所以函数f(x)的定义域为{x|x≠+kπ且x≠±+kπ,k∈Z}, 结合余弦型函数的周期性,可得函数f(x)的最小正周期为M==π. 又由函数g(x)==tan 2x,其定义域为{x|x≠+kπ且x≠±+kπ,k∈Z}, 由正切函数的周期性,可得函数g(x)的最小正周期为N=. 综上可得,M=2N成立. 学科网（北京）股份有限公司 $ [A组　基础保分练] 1.(2026·浙江嘉兴模拟)已知函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0)是奇函数,则φ的值可以是 (　　) A.0　　　　　　　　　 B. C. D.π 2.(2026·陕西商洛模拟)曲线y=sin(2πx-)的一条对称轴方程为 (　　) A.x= B.x= C.x= D.x= 3.函数f(x)=cos x+2cosx的一个周期为 (　　) A.π B.2π C.3π D.4π 4.已知函数f(x)=cos(x-)-ktan(x+π)+2(k∈R).若f()=-1,则f(-)= (　　) A.5 B.3 C.1 D.0 5.(多选)(2026·江西景德镇模拟)若f(x)=sin(2x+),则 (　　) A.初相为 B.f(x)的最小正周期为π C.f(x)在[-,]上单调递增 D.f(x-)为奇函数 6.(多选)(2026·四川成都模拟)已知函数f(x)=sin(2x-),则 (　　) A.f(x)的最小正周期为π B.f(x)的图象关于直线x=对称 C.f(x)在(,)上单调递减 D.f(x)在(0,π)上有2个零点 7.(2026·河北保定模拟)若函数f(x)=tan 2x的最小正周期为T,且f(x)的图象关于点(m,0)(0<m<T)对称,则m=　　　　.  8.写出一个同时满足下列两个条件的函数f(x)=　　　　　.  ①∀x∈R,f(x+)=f(x); ②∀x∈R,f(x)≤f()恒成立. 9.已知函数f(x)=sin ωx·cos ωx-sin2ωx(ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值和函数f(x)的单调递增区间; (2)求函数f(x)图象的对称轴方程和对称中心坐标. [B组　能力提升练] 10.已知函数f(x)=2cos2ωx+sin 2ωx-1(ω<0)的最小正周期为π,则 (　　) A.其图象关于点(,0)对称 B.函数f(x)在[1,2]上单调递增 C.函数f(x)在(0,1)上单调 D.其图象关于直线x=对称 11.(2026·福建福州模拟)已知函数f(x)=的最小正周期为M,g(x)=的最小正周期为N,则下列说法正确的是 (　　) A.M=2N B.M=N C.M>2N D.M<2N 学科网（北京）股份有限公司 $