第4章 第24讲 第2课时 三角函数的周期性、奇偶性与对称性(Word练习)-【金版新学案】2027年高考数学高三总复习大一轮复习（广东专版）

**基本信息** 以题载法系统覆盖三角函数性质，通过公式转化与逻辑推理实现性质判断、参数求解及综合应用，突出数学思维与语言表达。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础判断|8题|奇偶性周期判断、对称中心求解|从定义出发，经公式化简（二倍角、诱导公式）推导性质| |综合应用|2题|正切函数性质、开放题解析式|结合周期公式与对称条件，构建性质应用逻辑链| |能力提升|5题|参数范围、最值与零点|融合单调性与对称性，通过符号运算深化性质综合理解|

课时分层测评36　三角函数的周期性、奇偶性与对称性 (时间：60分钟　满分：85分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8题，每小题5分，共40分) 1.已知f(x)＝sin2(x＋)－，则f(x)是(　　) A.奇函数且最小正周期为π B.偶函数且最小正周期为π C.奇函数且最小正周期为2π D.偶函数且最小正周期为2π 答案：A 解析：f(x)＝sin2(x＋)－＝－＝sin 2x，故f(x)为奇函数，且最小正周期T＝＝π.故选A. 2.已知函数f(x)＝cos［ω(x－)＋］(ω＞0)的图象关于原点中心对称，则ω的最小值为(　　) A. B. C. D. 答案：B 解析：函数f(x)＝cos［ω(x－)＋］的图象关于坐标原点中心对称，则－ω＋＝kπ＋(k∈Z)，解得ω＝－3k－.又ω＞0，则当k＝－1时，ω取得最小值.故选B. 3.已知函数f(x)＝tan(2x－)，则(　　) A.f(x)是奇函数 B.f(x)在区间(0，)上单调递减 C.(，0)为其图象的一个对称中心 D.f(x)的最小正周期为π 答案：C 解析：函数y＝tan(2x－)是非奇非偶函数，故A错误；在区间(0，)上单调递增，故B错误；最小正周期为，故D错误；因为当x＝时，tan(2×－)＝0，所以(，0)为其图象的一个对称中心，故C正确.故选C. 4.(2025·山东齐鲁名校大联考)已知函数f＝sin(ω＞0)在区间内无零点，其图象关于直线x＝对称，则f＝(　　) A. B.－ C. D.－ 答案：C 解析：当x∈时，ωx＋∈.由f内无零点，得＜ωπ＋≤π，解得0＜ω≤.由f的图象关于直线x＝对称，得＋＝kπ＋，k∈Z，解得ω＝k＋，k∈Z，所以当k＝0时，ω＝，满足0＜ω≤，从而f＝sin，所以f＝sin(×＋)＝sin＝.故选C. 5.(多选)(2025·广东深圳二模)已知函数f(x)＝2sincos，则(　　) A.f(x)的最大值为1 B.f(x)的最小正周期为π C.f(x)在上单调递增 D.f(x)的图象关于x＝对称 答案：AB 解析：f(x)＝2sincos＝sin 2(x＋)＝sin＝cos 2x，所以f(x)max＝1，故A正确；最小正周期T＝＝π，故B正确；x∈时，t＝2x∈，因为y＝cos t在单调递减，所以f(x)在上单调递减，故C错误；f()＝cos＝0，x＝不是函数f(x)的对称轴，故D错误.故选AB. 【教师备选】　(多选)已知函数f＝sin 2x＋sin，则(　　) A.函数f是奇函数 B.函数f是偶函数 C.f的最大值为 D.f在区间上单调递减 答案：BD 解析：f＝sin 2x＋sin＝sin 2x＋(－sin 2x＋cos 2x)＝sin 2x＋cos 2x＝sin(2x＋).对于A，g＝f＝sin［2(x－)＋］＝sin.因为g＝sin(－2x－)＝－sin≠－g，故A错误；对于B，y＝f＝sin＝sin(2x＋)＝cos 2x是偶函数，故B正确；对于C，由f＝sin，知其最大值为1，故C错误；对于D，＜x＜，则＜2x＋＜，由正弦函数的单调性知，函数f＝sin上单调递减，故D正确.故选BD. 6.(多选)(2024·新课标Ⅱ卷)对于函数f(x)＝sin 2x和g(x)＝sin(2x－)，下列说法中正确的有(　　) A.f(x)与g(x)有相同的零点 B.f(x)与g(x)有相同的最大值 C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期 D.f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴 答案：BC 解析：对于A，令f(x)＝0，则x＝，k∈Z，又g≠0，故A错误；对于B，f(x)与g(x)的最大值都为1，故B正确；对于C，f(x)与g(x)的最小正周期都为π，故C正确；对于D，f(x)图象的对称轴方程为2x＝＋kπ，k∈Z，即x＝＋，k∈Z，g(x)图象的对称轴方程为2x－＝＋kπ，k∈Z，即x＝＋，k∈Z，故f(x)与g(x)的图象的对称轴不相同，故D错误.故选BC. 7.(开放题)若函数f(x)(f(x)的值不恒为常数)满足以下两个条件：①f(x)为偶函数；②对于任意的x∈R，都有f(－x)＝f(＋x).则其解析式可以是f(x)＝　　　　　　.(写出一个满足条件的解析式即可) 答案：cos 3x(答案不唯一) 解析：因为对于任意的x∈R，都有f(－x)＝f(＋x)，所以函数的图象关于直线x＝对称.又函数为偶函数，所以函数的解析式可以为f(x)＝cos 3x. 8.若函数f(x)＝(ω＞0)的最小正周期为π，则f＝　　　　　　. 答案： 解析：由题设及周期公式得T＝＝π，所以ω＝1，即f(x)＝，所以f＝＝. 9.(10分)设函数f(x)＝tan(ωx＋φ)(ω＞0，0＜φ＜)，已知函数y＝f(x)的图象与x轴相邻两个交点的距离为，且图象关于点M对称. (1)求函数f(x)的解析式； (2)求函数f(x)的单调区间； (3)求不等式－1≤f(x)≤的解集. 解：(1)由题意知，函数f(x)的最小正周期T＝，即＝.因为ω＞0，所以ω＝2， 所以f(x)＝tan(2x＋φ). 因为函数y＝f(x)的图象关于点M对称，所以2×＋φ＝，k∈Z，即φ＝＋，k∈Z. 又0＜φ＜，所以φ＝，所以f(x)＝tan. (2)令－＋kπ＜2x＋＜＋kπ，k∈Z，得－＋＜x＜＋，k∈Z， 所以函数f(x)的单调递增区间是(－＋，＋)，k∈Z，无单调递减区间. (3)由(1)知，f(x)＝tan. 由－1≤tan≤，得－＋kπ≤2x＋≤＋kπ，k∈Z，即－＋≤x≤＋，k∈Z. 所以不等式－1≤f(x)≤. (10、11题，每小题5分，共10分) 10.(2025·山东烟台二模)已知函数f(x)＝sin(ωx－)(ω＞0)在(－，)上单调递增，且其图象关于点(，0)对称，则f()＝(　　) A.－ B. － C. D. 答案：C 解析：由函数f(x)＝sin(ωx－)(ω＞0)在(－，)上单调递增，得≥2［－(－)］＝π，解得0＜ω≤2.由f(x)的图象关于点(，0)对称，得ω－＝kπ，k∈N，解得ω＝3k＋，k∈N，于是k＝0，ω＝，f(x)＝sin(x－)，所以f()＝sin(×－)＝sin＝.故选C. 11.(2025·江苏海安、宿迁测试)已知函数f＝cos x＋，若存在x1，x2∈，使得ff＝－1，则x1－x2的最大值为　　　　. 答案： 解析：f＝cos x＋＝sin xcos x－cos2x＋＝sin 2x－cos 2x＝sin(2x－)，所以f∈.要使ff＝－1，则f＝1且f＝－1或f＝－1且f＝1.因为x1，x2∈，所以2x1－∈，2x2－∈［－2π－，4π－］，结合正弦函数图象可知，要使x1－x2取得最大值， 则f＝－1且2x1－＝，解得x1＝，f＝1且2x2－＝－，解得x2＝－，所以x1－x2＝－＝. 12.(15分)(开放题)已知函数f(x)＝asin－2cos2(x＋)(a＞0)，且满足　　　　. 从①f(x)的最大值为1；②f(x)的图象与直线y＝－3的两个相邻交点的距离等于π；③f(x)的图象过点这三个条件中选择一个，补充在上面问题中并作答. (1)求函数f(x)的解析式及最小正周期； (2)若关于x的方程f(x)＝1在区间[0，m]上有两个不同的解，求实数m的取值范围. 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 解：(1)函数f(x)＝asin－2cos2 ＝asin－cos－1 ＝asin－cos－1 ＝asin＋sin－1 ＝(a＋1)sin－1. 若选择条件①f(x)的最大值为1，则a＋1＝2，解得a＝1，所以f(x)＝2sin－1， 则函数f(x)的最小正周期T＝＝π. 若选择条件②f(x)的图象与直线y＝－3的两个相邻交点的距离等于π，且f(x)的最小正周期T＝＝π，所以－(a＋1)－1＝－3，解得a＝1， 所以f(x)＝2sin－1，则函数f(x)的最小正周期T＝＝π. 若选择条件③f(x)的图象过点， 则f＝(a＋1)sin －1＝0，解得a＝1. 所以f(x)＝2sin－1，则函数f(x)的最小正周期T＝＝π. (2)令f(x)＝1，得sin＝1， 所以2x－＝＋2kπ，k∈Z，即x＝＋kπ，k∈Z. 若关于x的方程f(x)＝1在区间[0，m]上有两个不同的解，则x＝或x＝， 所以实数m的取值范围是. (每小题5分，共10分) 13.(多选)(2025·北京石景山二模)关于函数f(x)＝sin 2x＋，下列说法正确的是(　　) A.f(x)的最小值为2 B.f(x＋)是奇函数 C.f(x)的图象关于直线x＝对称 D.f(x)在(0，)上单调递减 答案：BCD 解析：对于A，当sin 2x∈(－1，0)时，f的值为负数，故A错误；对于B，f＝sin［2(x＋)］＋＝sin＋＝－，所以f为奇函数，故B正确；对于C，f＝sin＋＝sin＋＝sin 2x＋＝f，所以f(x)的图象关于直线x＝对称，故C正确；对于D，0＜x＜，0＜2x＜，所以y＝sin 2x在区间上递增.令t＝sin 2x∈，g＝t＋.令0＜t1＜t2＜1，g－g＝t1＋－t2－＝，其中t1－t2＜0，t1t2－1＜0，t1t2＞0，所以g－g＞0，g＞g，所以g上递减，根据复合函数单调性同增异减可知f(x)＝sin 2x＋在(0，)上单调递减，故D正确.故选BCD. 14.(多选)下列关于函数f(x)＝sin ｜x｜＋｜sin x｜的结论，正确的是(　　) A.f(x)是偶函数 B.f(x)在区间(，π)单调递增 C.f(x)在[－π，π]有4个零点 D.f(x)的最大值为2 答案：AD 解析：对于A，因为f(－x)＝sin ｜－x｜＋｜sin(－x)｜＝sin ｜x｜＋｜sin x｜＝f(x)，所以f(x)为偶函数，故A正确；对于B，当＜x＜π时，f(x)＝sin x＋sin x＝2sin x，所以f(x)在(，π)上单调递减，故B错误；对于C，当x∈[－π，π]时，f(x)＝sin ｜x｜＋｜sin x｜＝2｜sin x｜，其图象如图所示，此时f(x)有3个零点，故C错误；对于D，因为y＝sin ｜x｜与y＝｜sin x｜的最大值都为1且可以同时取到，所以f(x)的最大值为2，故D正确.故选AD. 学科网（北京）股份有限公司 $