第二十四讲 函数与三角函数模型的应用 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦三角函数图像变换、解析式求解及零点、单调性等核心考点，按知识内在逻辑系统梳理必掌握知识点，通过考点分析、方法指导、真题讲解分层练习等环节，帮助学生突破图像参数确定等难点，体现复习的系统性和针对性。 资料以“数学眼光”观察图像特征，“数学思维”推理参数关系，创新设计图像变换步骤拆解、“三定法”求解析式等教学活动，配合分层练习即时反馈，确保高效突破考点，提升学生建模与解题能力，为教师把控复习节奏提供精准指导。

2027届高三数学一轮复习 第二十四讲 函数与三角函数模型的应用 【学习目标】1. 会由的图象得的图象； 2. 会将实际问题抽象为数学问题，会根据三角函数的图象求解析式. 【学习重点】利用三角函数的图象变换解决相关问题． 【学习难点】根据图象确定中的；将实际问题抽象为数学问题. 必掌握知识点 1、在区间内没有零点 同理，在区间内没有零点 2、在区间内有个零点 同理在区间内有个零点 3、在区间内有个零点 同理在区间内有个零点 4、已知一条对称轴和一个对称中心，由于对称轴和对称中心的水平距离为，则． 5、已知单调区间，则. 必考题型全归纳 题型一、三角函数图像平移、伸缩综合变换 1．（【全国百强校】吉林省长春市长春外国语学校2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题）将函数的图象上所有点向左平移个单位，再将所得的图象的所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象对应的解析式是 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将函数的图象先向左平移个单位，写出得到的表达式，再将所得的图象的所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），写出对应的表达式，即可得到答案． 【详解】由题意，将函数的图象上所有点向左平移个单位，得到， 将得到的图象的所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到. 故答案为A. 【点睛】本题考查了三角函数图象的平移与变换，属于基础题． 2．（北京市海淀区2021届高三年级基础练习数学试题）将函数的图象沿轴向左平移个单位后得到的图象关于原点对称，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出平移后的函数解析式，根据已知条件可得出关于的等式，结合的取值范围可求得的值. 【详解】将函数的图象沿轴向左平移个单位后得到的图象对应的函数解析式为，由题意可知，函数为奇函数，则，所以，，，因此，.故选：B. 3．（2021届高中毕业班考前定位联合考试理科数学试题）将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数在上的值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图像平移化简得，若使在上的值域为，因为当时，，只需即可求得参数的取值范围. 【详解】由题意可得， 在上的值域为时，， 当时，，而当时，， ，．故选：C. 【点睛】方法点睛：把化简后的三角函数当做一个整体，与函数作对应，求得参数取值范围. 题型二、由图像求解析式 4．（天津市蓟州区第一中学2025-2026学年高三上学期第一次学情调研数学试题）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的个数是（  ） ① ② 函数的图象关于点对称 ③ 函数在区间上单调递减 ④ 将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，若函数在区间上有且仅有两个零点和两个极值点，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据图象，求出，即可判断①的正误，再利用三角函数的图象及性质对②③④逐一分析判断即可求解. 【详解】由题图得，所以，故①正确； 则， 由，得，解得， 又，所以，故， 因为， 所以函数的图象关于点对称，故②正确； 令，解得， 故函数的单调递减区间为， 令，得到的一个减区间为，又 则函数在区间上先单调递减再单调递增，故③错误； 因为， 所以．由，得， 若函数在区间上有且仅有两个零点和两个极值点， 则，解得，故④错误．故选：B. 5．（[新教材精创]7.4三角函数应用练习-苏教版高中数学必修第一册）如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数关系式y＝3sin＋k，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为（    ） A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】由图中最小值求出，从而可得最大值． 【详解】由题干图易得ymin＝k－3＝2，则k＝5. ∴ymax＝k＋3＝8. 故选：C 【点睛】本题考查（）的性质，的最大值为，最小值为． 6（多选）．（原创检测3）已知函数的部分图象如图所示，则（　　） A． B．图象在点处的切线方程为 C．直线与图象的所有交点的横坐标之和为 D．将函数的图象向左平移个单位长度后可得的图象 【答案】BCD 【分析】根据中，的几何意义，求得的解析式，再结合余弦函数的图象与性质及导数得出切线方程，逐项分析即可． 【详解】由题图可得，即，又， 即，可得， 又，且，即，即，可得． 对于A，令，则，所以直线是函数图象的对称轴，直线不是函数图象的对称轴，故A不正确； 对于B，，则的图象在点处的切线方程为，故B正确； 对于C，令，则，因为，所以， 所以或或，解得或或，所有交点的横坐标之和为，故C正确； 对于D，将函数的图象向左平移个单位长度后可得的图象，故D正确． 故选：BCD． 题型三、由三角函数单调性求参数范围 7．（陕西省宝鸡市千阳中学2021届高三下学期第二次适应性训练理科数学试题）函数在上单调递减，则的最大值是（    ） A．1 B． C． D．4 【答案】C 【分析】根据题意得，即，再根据，的单调递减区间为得，解得，进而得当时，即可得答案. 【详解】因为函数在上单调递减， 所以，所以. 所以 因为的单调递减区间为， 所以，解得， 由于，故. 所以当时，得的最大区间：.故的最大值是.故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查余弦函数的单调性求参数值，考查运算求解能力，化归转化思想，是中档题.本题解题的关键在于根据题意得，进而，再利用整体换元思想解不等式组得，进而求解. 8．（河南汝州市第二高级中学等校2026届高考考前自测数学试题）已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A．， B．在区间上单调递增 C．将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象 D．直线与的图象的所有交点的横坐标之和小于3 【答案】BCD 【分析】A.由图像求出解析式，可知A错误；B．求出函数的单调递增区间，当时，恰好是该区间；C．利用诱导公式化简函数；D．求出所有交点的横坐标，再作和与3判断大小. 【详解】由图像最大值为，最小值为，且，得, 由图像得，所以，因此, 将点代入，得 ，解得， 所以 ， 选项 A：，A 错误； 选项 B：由, 得, 当时，递增区间为, B 正确; 选项 C：将的图像向右平移个单位长度后得到的图像, C 正确; 选项 D：解方程，即，得, 解得,即或, 因为，所以的解为，， 所有交点横坐标之和为：，D 正确. 9．（湖南省岳阳市2024届高三教学质量监测（三）数学试题）已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B．的单调递减区间为 C．的图象可由函数的图象向右平移个单位得到 D．满足条件的最小正整数为2 【答案】ABD 【分析】观察函数图象，确定函数的周期，由此可求，判断A，再结合时，函数取最大值，列方程求，根据正弦函数的单调性求的单调递减区间，判断B，根据函数图象变换结论，判断C，先求，化简不等式可得范围，解不等式确定的范围，判断D. 【详解】设函数的周期为， 观察函数图象可得，，所以，又，所以，A正确， 因为时，函数取最大值，，所以，，所以，故， 由，可得， 所以函数的单调递减区间为，B正确， 函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，C错误， 因为，所以， ，所以可化为，所以或， 由可得，，所以， 即， 取可得，取可得， 由可得，，所以， 即，取可得， 所以满足条件的最小正整数为2，D正确， 故选：ABD. 10．（2025届河南省开封市等三地高三二模数学试题）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在时间（单位：）时相对于平衡位置的高度（单位：）由关系式确定，则下列说法正确的是（    ） A．小球在开始振动（即）时在平衡位置上方处 B．每秒钟小球能往复振动次 C．函数的图象关于直线对称 D．小球从到时运动的路程是 【答案】ACD 【分析】由可判断A；求得周期可求频率判断B；利用可判断C；求得，可判断D. 【详解】当时，，故A正确； 小球往复振动的周期为，所以每秒钟小球能往复振动次，故B错误； 因为，所以函数的图象关于直线对称，故C正确； 由，又， ， 所以小球从到时运动的路程是，故D正确. 故选：ACD. 题型四、三角函数对称性（对称轴、对称中心）判断 11．（华大新高考联盟2018届高三上学期11月教学质量测评数学（理）试卷）将函数图象上所有的点向右平移个单位长度后得到函数的图象,则函数具有的性质是（  ） A．图象的对称轴为 B．在上单调递减,且为偶函数 C．在上单调递增,且为奇函数 D．图象的中心对称点是 【答案】C 【详解】由题意，因为图象有无数条对称轴，故A不正确；因为图象有无数个对称中心，故D不正确；因为函数是奇函数，故B不正确，C正确. 12．（2022年全国高考甲卷数学（文）试题）将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由平移求出曲线的解析式，再结合对称性得，即可求出的最小值. 【详解】由题意知：曲线为，又关于轴对称，则，解得，又，故当时，的最小值为.故选：C. 巩固提高： 1．（第二部分提升小卷第四周提升小卷13）已知函数的部分图象如图所示，且函数的图象上相邻两零点的距离为，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用三角函数的图象，可求得函数解析式，再结合诱导公式判断即可. 【详解】因为，所以，解得，即， 由图象可知过点，， 则，得，，又，则， 又，则，则，故A正确，B错误； 又，故C正确； 而，故D错误． 故选：AC. 2．（广东省湛江第一中学2023-2024学年高一下学期第二次大考数学试题）已知函数的部分图象如图所示，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用图象的特征求出各参数即可求解. 【详解】由图象可知：，周期，故． 由，解得， 故函数，选项A正确； 选项B，，B错误； 选项C，，C正确； 选项D，，D错误． 故选：AC． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三数学一轮复习 第二十四讲 函数与三角函数模型的应用 【学习目标】1. 会由的图象得的图象； 2. 会将实际问题抽象为数学问题，会根据三角函数的图象求解析式. 【学习重点】利用三角函数的图象变换解决相关问题． 【学习难点】根据图象确定中的；将实际问题抽象为数学问题. 必掌握知识点 1、在区间内没有零点 同理，在区间内没有零点 2、在区间内有个零点 同理在区间内有个零点 3、在区间内有个零点 同理在区间内有个零点 4、已知一条对称轴和一个对称中心，由于对称轴和对称中心的水平距离为，则． 5、已知单调区间，则. 必考题型全归纳 题型一、三角函数图像平移、伸缩综合变换 1．（【全国百强校】吉林省长春市长春外国语学校2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题）将函数的图象上所有点向左平移个单位，再将所得的图象的所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象对应的解析式是 A． B． C． D． 2．（北京市海淀区2021届高三年级基础练习数学试题）将函数的图象沿轴向左平移个单位后得到的图象关于原点对称，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（2021届高中毕业班考前定位联合考试理科数学试题）将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数在上的值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型二、由图像求解析式 4．（天津市蓟州区第一中学2025-2026学年高三上学期第一次学情调研数学试题）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的个数是（  ） ① ② 函数的图象关于点对称 ③ 函数在区间上单调递减 ④ 将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，若函数在区间上有且仅有两个零点和两个极值点，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（苏教版高中数学必修第一册）如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数关系式y＝3sin＋k，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为（    ） A．5 B．6 C．8 D．10 6（多选）．（原创检测3）已知函数的部分图象如图所示，则（　　） A． B．图象在点处的切线方程为 C．直线与图象的所有交点的横坐标之和为 D．将函数的图象向左平移个单位长度后可得的图象 题型三、由三角函数单调性求参数范围 7．（陕西省宝鸡市千阳中学2021届高三下学期第二次适应性训练理科数学试题）函数在上单调递减，则的最大值是（    ） A．1 B． C． D．4 8．（河南汝州市第二高级中学等校2026届高考考前自测数学试题）已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A．， B．在区间上单调递增 C．将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象 D．直线与的图象的所有交点的横坐标之和小于3 9．（湖南省岳阳市2024届高三教学质量监测（三）数学试题）已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B．的单调递减区间为 C．的图象可由函数的图象向右平移个单位得到 D．满足条件的最小正整数为2 10．（2025届河南省开封市等三地高三二模数学试题）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在时间（单位：）时相对于平衡位置的高度（单位：）由关系式确定，则下列说法正确的是（    ） A．小球在开始振动（即）时在平衡位置上方处 B．每秒钟小球能往复振动次 C．函数的图象关于直线对称 D．小球从到时运动的路程是 题型四、三角函数对称性（对称轴、对称中心）判断 11．（华大新高考联盟2018届高三上学期11月教学质量测评数学（理）试卷）将函数图象上所有的点向右平移个单位长度后得到函数的图象,则函数具有的性质是（  ） A．图象的对称轴为 B．在上单调递减,且为偶函数 C．在上单调递增,且为奇函数 D．图象的中心对称点是 12．（2022年全国高考甲卷数学（文）试题）将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 巩固提高： 1．（第二部分提升小卷第四周提升小卷13）已知函数的部分图象如图所示，且函数的图象上相邻两零点的距离为，则（    ）    A． B． C． D． 2．（广东省湛江第一中学2023-2024学年高一下学期第二次大考数学试题）已知函数的部分图象如图所示，则（    ）    A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 1 学科网（北京）股份有限公司 $