第05讲 不等式恒成立.能成立.恰成立讲义（思维导图+知识要点+解题策略+题型归纳）-2027届高考数学一轮复习不等式专题（全国通用）

该高中数学讲义聚焦不等式恒成立、能成立、恰成立问题这一高考高频中档重难点，整合一次函数单调性、二次函数判别式、导数应用等核心考点，按概念辨析、方法策略、题型归纳的逻辑架构展开，通过考点梳理、方法指导（如分离参数、变换主元）、真题训练等环节，帮助学生构建解题框架，突破最值选取、等号取舍等难点。 资料以分类讨论、数形结合等策略为特色，如在导数问题中通过变量分离转化为函数最值求解，培养学生的数学思维与逻辑推理能力。设置从基础题型到综合应用的分层练习，配合“任意找最值、存在看范围”等速记口诀，确保高效复习，提升学生应考能力，为教师把控复习节奏提供系统指导。

第05讲 不等式恒成立·能成立·恰成立问题 目 录 思维导图 2 高考分析 2 学习目标 2 知识要点 2 解题策略 7 题型归纳 7 题型01：一次函数单调性 7 题型02：二次函数判别式 7 题型03：最值法 8 (一)一元二次不等式最值法 8 (二)基本不等式中最值法 8 (三)其它函数不等式中最值法 9 题型04：分离参数法 9 (一)一元二次不等式中分离变量 9 (二)基本不等式中变量分离 10 (三)函数不等式中变量分离 10 题型05：变换主元法 11 题型06：分类讨论法 12 题型07：函数性质法（根据函数的奇偶性、周期性等性质） 12 题型08：数形结合法 12 题型09：消元转化法 13 题型10：不等式能成立问题的处理方法 13 题型11:不等式恰好成立问题 14 题型12：含有两个参数的不等式恒成立问题 14 利用导数研究不等式恒成立与能成立问题 16 题型01：变量分离法解决恒成立问题 16 题型02：分类讨论法解决恒成立问题 16 题型03：分离变量法解决有解问题 17 题型04：等价转化法解决恒成立问题 18 题型05：双变量不等式问题 18 题型06同构法解决不等式能成立问题 19 1. 定位：高考高频中档重难点，选择、填空、导数大题普遍出现，是不等式、函数综合核心题型。 2. 考查方向 恒成立、能成立（存在）、恰成立三类题型辨析；常结合二次函数、导数、分离参数；容易混淆最值选取逻辑。 3. 主要失分点 恒成立与能成立最值搞反；忽略自变量范围；等号取舍错误；分不清“恰成立”与“恒成立”。 1. 准确区分四类表述含义，读懂题干逻辑； 2. 掌握最值转化方法，熟练使用分离参数法； 3. 规范处理区间端点，避开等号陷阱。 知识点一：不等式恒成立问题 新课标下的高考越来越注重对学生的综合素质的考察,恒成立问题便是一个考察学生综合素质的很好途径,它常以函数、方程、不等式和数列等知识点为载体,渗透着换元、化归、分类讨论、数形结合、函数与方程等思想方法,在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用．近几年的数学高考中频频出现恒成立问题,其形式逐渐多样化,但都与函数、导数知识密不可分 解决高考数学中的恒成立问题常用以下几种方法：①函数性质法；②主参换位法；③分离参数法；④数形结合法；⑤消元转化法．等 （一）一次函数——单调性法 对于一次函数，则有： （1）如果； （2）如果. （二）判别式法 若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。 主要有以下几种基本类型： 类型1：设， （1）上恒成立； （2）上恒成立. 类型2：设 （1）当时，如果上恒成立； 当时，如果上恒成立. （2）当时，如果上恒成立； 当时，如果上恒成立 （三）最值法 . 类型1、若函数在区间上存在最小值和最大值，则: ①不等式在区间上恒成立； ②不等式在区间上恒成立； ③不等式在区间上恒成立； ④不等式在区间上恒成立； 类型2、若函数在区间上不存在最大（小）值，且值域为，则： ①不等式（或）在区间上恒成立； ②不等式（或）在区间上恒成立； 此法常用于(1)一元二次不等式中最值法 (2)基本不等式中最值法 (3)函数不等式中最值法 （四）分离参数法 若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端,从而问题转化为求主元函数的最值,进而求出参数范围．利用分离参数法来确定不等式（,为实参数）恒成立中参数的取值范围的基本步骤： （1）将参数与变量分离,即化为（或）恒成立的形式； （2）求在上的最大（或最小）值； （3）解不等式(或) ,得的取值范围． 解题关键（1）参数与变量能分离；（2）函数的最值易求出． 适用题型： (1)一元二次不等式中变量分离 (2)基本不等式中变量分离 (3)函数不等式中变量分离 （五）变换主元法（主参换位——反客为主法） 某些含参不等式恒成立问题,在分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与变量,但函数的最值却难以求出时,可考虑变换思维角度“反客为主”,即把习惯上的主元变与参数变量的“地位”交换一下,变个视角重新审查恒成立问题,往往可避免不必要的分类讨论或使问题降次、简化, （六)分类讨论法 处理含参不等式恒成立的某些问题时，有些时候需要对参数进行讨论。 （七）性质法（根据函数的奇偶性、周期性等性质）: 若函数是奇(偶)函数，则对一切定义域中的 , ， ()恒成立；若函数的周期为，则对一切定义域中的,恒成立。 （八）数形结合法（直观求解法） “数缺形时少直观，形缺数时难入微”，这充分说明了数形结合思想的妙处，在不等式恒成立问题中它同样起着重要作用。我们知道，函数图象和不等式有着密切的联系： （1）函数图象恒在函数图象上方； （2）函数图象恒在函数图象下上方。 （九）消元转化法 例：已知f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且f(1)=1,若,若对于所有的恒成立,求实数t的取值范围． 【解析】本题不等式中有三个变量,因此可以通过消元转化的策略,先消去一个变量,容易证明f(x)是定义在[-1,1]上的增函数,故 f(x)在[-1,1]上的最大值为f(1)=1,则对于所有的恒成立对于所有的恒成立,即对于所有的恒成立,令,只要,． 二：在不等式（能成立）有解的条件下，求参数的取值范围问题 类型1、若函数在区间上存在最小值和最大值，即，则对不等式有解问题有以下结论： ①不等式在区间上有解； ②不等式在区间上有解； ③不等式在区间上有解； ④不等式在区间上有解； 类型2、若函数在区间上不存在最大（小）值，且值域为，则不等式有解问题有以下结论 ①不等式（或）在区间上有解； ②不等式（或）在区间上有解； 三：不等式恰好成立问题 方法一、在上恰成立的解集为； 方法二、若在上恰成立，等价于在上的最小值，若在上恰成立，则等价于在上的最大值. 四：对同时含有“任意”、“存在”等量词的不等式成立条件下，求参数的取值范围问题. 类型1 ①对任意，总存在，使得； ②若存在，对任意，使得； ③对任意，任意，使得； ④若存在，存在，使得. 类型2： 2 ，使得方程成立． ②，使得方程成立 五：含有两个参数的不等式恒成立问题 解决双参数问题一般是先解决一个参数，再处理另一个参数．实质还是通过函数求最值解决． 例、设函数，对任意，都有在恒成立，求实数的取值范围． 方法1：化归最值，； 方法2：变量分离，或； 方法3：变更主元，， 解：方法1:对求导，， 由此可知，在上的最大值为与中的较大者． ，对于任意，得的取值范围是． 通用解题策略 1. 优先分离参数，把参数单独放一侧，转化为函数最值； 2. 无法分离参数：分类讨论+数形结合； 3. 审题标记关键词：任意/存在/恰好； 4. 求出最值后重点检验等号能否取到。 速记口诀 任意看恒成立：大于找最小，小于找最大； 存在看能成立：大于找最大，小于找最小； 恰成立：解集严格等于指定区间。 题型01：一次函数单调性 【典型例题】若不等式对满足的所有都成立,求的范围． 题型02：二次函数判别式 【典型例题1】已知不等式对任意实数恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 【典型例题2】若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围; 【变式训练2-1】“关于的不等式对恒成立”的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-2】已知集合，若中只有一个元素，则实数的值为（ ） A．0 B．0或 C．0或2 D．2 【变式训练2-3】对，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式训练2-4】已知关于的一元二次不等式的解集为R，求m． 【变式训练2-5】已知关于的不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 【变式训练2-6】若时，不等式恒成立，求的取值范围。 题型03：最值法 (一)一元二次不等式最值法 【典型例题】若不等式的解为全体实数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-1-1】 已知命题：为假命题，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式训练3-1-2】 若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式训练3-1-3】命题“，”为真命题的充要条件是________. 【变式训练3-1-4】已知∃x∈R，使得x2﹣2x﹣m＜0是真命题，则实数m的取值范围是______. (二)基本不等式中最值法 【典型例题】若两个正实数满足且不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-2-1】 设，若恒成立，则的最大值为 ； 【变式训练3-2-2】 若关于x的不等式对任意恒成立，则正实数a的取值集合为（ ） A． B． C． D． 【变式训练3-2-3】已知，若对任意正数，不等式恒成立，求实数的最小值. (三)其它函数不等式中最值法 【典型例题1】已知等差数列的前n项和为，且，，若对于任意的，不等式恒成立，则实数x可能为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【典型例题2】已知函数，若对任意恒有，试确定的取值范围。 【变式训练3-3-1】当时，恒成立，求实数的取值范围。 【变式训练3-3-2】已知数列中，，，，若对任意的，，不等式恒成立，则实数的取值范围为 【变式训练3-3-3】已知函数在处取得极值,其中,为常数． （1）试确定,的值； （2）讨论函数的单调区间； （3）若对任意,不等式恒成立,求的取值范围． 题型04：分离参数法 (一)一元二次不等式中分离变量 【典型例题1】若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【典型例题2】若不等式对恒成立，则a的取值范围是____________． 【典型例题3】已知，，且恒成立，则实数的取值范围是 . 【变式训练4-1-1】若不等式对一切恒成立，则的最小值为________． 【变式训练4-1-2】若，不等式恒成立，则实数m的最小值为___. 【变式训练4-1-3】若不等式对于恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． (二)基本不等式中变量分离 【典型例题】若不等式对一切恒成立，则的取值范围是 (　 　)． A. B. C. D. 解析：∵，∴. 要使在时恒成立，则， 由基本不等式得，当且仅当时，等号成立，即. 故，解得或. 【变式训练4-2-1】不等式对所有的正实数,恒成立，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D．1 (三)函数不等式中变量分离 【典型例题1】(多选)已知函数，当时，恒成立，则实数的值可以是( ) A．-1 B．0 C．1 D．3 【变式训练4-3-1】已知函数，对都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-3-2】设函数 （1）当时，若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围； （2）当时，若对于一切实数恒成立，并且存在，使得成立，求的最小值. 【变式训练4-3-3】正数，满足，若不等式对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式训练4-3-4】已知函数,. （1）求函数在上的最小值； （2）对一切,恒成立,求实数的取值范围； （3）探讨函数是否存在零点？若存在,求出函数的零点；若不存在,请说明理由. 【变式训练4-3-5】已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程和函数的极值： （2）若对任意,都有成立,求实数的最小值．[来源:Zxxk.Com] 题型05：变换主元法 【典型例题1】若不等式，当时恒成立，则的取值范围是(　 　) A． B． C． D． 【典型例题2】若不等式对任意恒成立，实数x的取值范围是_____. 【变式训练5-1】对任意，不等式恒成立，求的取值范围。 【变式训练5-2】当时，不等式恒成立，求的取值范围． 【变式训练5-3】已知关于的不等式.若不等式对于恒成立，求实数x的取值范围 【变式训练5-4】已知函数，对任意的，恒成立，则的取值范围为 题型06：分类讨论法 【典型例题1】若不等式对一切都成立，则a的最小值为（       ） A．0 B． C． D． 【典型例题2】若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是______. 【变式训练6-1】已知时，恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练6-2】当m＞0时，求不等式的解集； 题型07：函数性质法（根据函数的奇偶性、周期性等性质） 【典型例题】记函数的定义域为，函数，若不等式对恒成立，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【变式训练7-1】已知函数的定义域为，满足，且当时，，若对任意，都有，则的取值范围是（ D ） A. B. C. D. 【变式训练7-2】已知定义域为的函数是奇函数. （1）求的值； （2）当时，恒成立，求实数的取值范围。 题型08：数形结合法 【典型例题】若对任意,不等式恒成立,则实数的取值范围是（ ） (A) (B) (C) （D） 【变式训练8-1】已知二次函数，若，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练8-2】v已知“，”为假命题，则实数的取值范围是________． 【变式训练8-3】设，当时，恒成立，求实数的取值范围。 题型09：消元转化法 【典型例题】已知f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且f(1)=1,若,若对于所有的恒成立,求实数t的取值范围． 题型10：不等式能成立问题的处理方法 若函数在区间上不存在最大（小）值，且值域为，则不等式有解问题有以下结论 ①不等式（或）在区间上有解； ②不等式（或）在区间上有解； 【典型例题1】若命题“”为真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【典型例题2】已知不等式在实数集上的解集不是空集，求实数的取值范围. 【变式训练10-1】命题“，”为真命题的充要条件是（   ） A． B． C． D． 【变式训练10-2】若，使得成立，则实数取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练10-3】已知函数的定义域为，若存在，满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练10-4】已知函数，，若对于任意，都存在，使得，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【变式训练10-5】已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式训练10-6】已知，，，使成立.则a的取值范围（    ） A． B． C． D． 【变式训练10-7】已知f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,且f(x)＋g(x)＝()x．若存在 x0∈[,1],使得等式af(x0)＋g(2x0)＝0成立,则实数a的取值范围是 ▲ ． 题型11:不等式恰好成立问题 【典型例题1】不等式的解集为，求的值. 【典型例题2】已知当时，的值域是,试求实数的值. 【变式训练11-1】已知当的值域是,试求实数的值． 【变式训练11-2】已知函数的定义域为，根据下列条件分别求实参数的取值范围： （1）； （2）； 题型12：含有两个参数的不等式恒成立问题 解决双参数问题一般是先解决一个参数，再处理另一个参数．实质还是通过函数求最值解决． 对同时含有“任意”、“存在”等量词的不等式成立条件下，求参数的取值范围问题. ①对任意，总存在，使得； ②若存在，对任意，使得； ③对任意，任意，使得； ④若存在，存在，使得. 【典型例题1】设函数，对任意，都有在恒成立，求实数的取值范围． 【典型例题2】函数，若对任意，恒成立，求实数的取值范围。 【变式训练12-1】已知两函数，，对任意，存在，使得，则实数的取值范围为 . 【变式训练12-2】已知函数，，其中． （1）对任意，都有恒成立，求实数的取值范围； （2）对任意，，都有恒成立，求实数的取值范围. 【变式训练12-3】已知,, ⑴若存在,使得,求实数的取值范围； ⑵若存在,使得,求实数的取值范围； ⑶若对任意,恒有,求实数的取值范围； ⑷若对任意,恒有,求实数的取值范围； ⑸若对任意,存在,使得,求实数的取值范围； ⑹若对任意,存在,使得,求实数的取值范围； ⑺若存在,使得,求实数的取值范围； ⑻若存在,使得,求实数的取值范围. 【变式训练12-4】对任意，不等式恒成立，求的取值范围. 【变式训练12-5】不等式有解，求的取值范围. 【变式训练12-6】设 , ,若恒有成立,求实数的取值范围. 利用导数研究不等式恒成立与能成立问题 题型01：变量分离法解决恒成立问题 【典型例题1】已知函数. (1)讨论函数的单调区间并求出极值； (2)若在上恒成立，求实数a的取值范围. 【典型例题2】已知函数. (1)若，求在上的最大值和最小值； (2)若，当时，证明：恒成立； (3)若函数在处的切线与直线垂直，且对，恒成立，求实数的取值范围. 【变式训练1-1】已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数在区间上是减函数，求实数a的取值范围． 【变式训练1-2】已知函数，． (1)当时，求函数的极值； (2)，都有，求实数a的取值范围． 【变式训练1-3】已知函数. (1)讨论的最值； (2)若，且，求的取值范围. 题型02：分类讨论法解决恒成立问题 【典型例题1】已知函数，其中． (1)当时，求函数的极值； (2)若，，求a的取值范围． 【典型例题2】已知函数， (1)求曲线过点的切线方程； (2)若存在，使得对任意，都有成立，求实数的取值范围． 【变式训练2-1】已知函数. (1)若函数有极值，求实数的取值范围； (2)若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 【变式训练2-2】已知函数，为的导函数. (1)若，求证：； (2)若对任意，，求的取值范围. 【变式训练2-3】设函数，． (1)证明：当时，在上单调递减，在上单调递增； (2)当，且时，，求的取值范围． 【变式训练2-4】已知函数. (1)讨论的导函数的单调性； (2)若对任意恒成立，求的取值范围. 题型03：分离变量法解决有解问题 【典型例题1】已知函数． (1)求的极值； (2)设，若关于的不等式在区间内有解，求的取值范围． 【典型例题2】已知函数. (1)讨论的最值； (2)若，且，求的取值范围. 【变式训练3-1】已知函数． (1)若函数的单调递减区间为，求实数a的值． (2)若存在x使得，求实数a的取值范围． 【变式训练3-2】已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)若函数有个零点，求的范围 (3)若函数在处取得极值，且存在，使得成立，求实数的取值范围． 【变式训练3-3】已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若不等式在区间上有解，求实数a的取值范围． 【变式训练3-4】已知函数． (1)若函数仅有1个零点，求实数a的取值范围； (2)已知，，求实数a的取值范围． 题型04：等价转化法解决恒成立问题 【典型例题1】已知函数f(x)＝ax－2lnx． (1)讨论f(x)的单调性； (2)设函数g(x)＝x－2，若存在，使得f(x)≤g(x)，求a的取值范围． 【典型例题2】已知函数，. (1)当时，求函数的极值； (2)若存在，使不等式成立，求实数的取值范围. 【变式训练4-1】知函数， （1）求在区间上的最小值； （2）若（为自然对数的底数）使不等式成立，求实数的取值范围. 【变式训练4-2】已知函数（）， （1）若曲线在点处的切线为，求的值； （2）设函数，若至少存在一个，使得成立，求实数的取值范围. 【变式训练4-3】已知函数(). （1）设函数，求函数的单调区间； （2）若，在上存在一点，使得成立，求的取值范围. 【变式训练4-4】已知函数. （1）若函数在其定义域内为增函数，求的取值范围； （2）在（1）的条件下，设函数，若在上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围. 题型05：双变量不等式问题 【典型例题1】设函数. （1）求函数的极值； （2）若，使得成立，求的取值范围. 【典型例题2】已知函数. （1）若在区间单调递增，求的最小值； （2）若，对，使成立，求的范围. 【变式训练5-1】已知，． （1）讨论函数的单调性； （2）已知存在极值，若对，都，使得不等式成立，求实数的取值范围． 【变式训练5-2】已知函数 (1)若函数f（x）在处取得极值，求m； (2)在（1）的条件下，，使得不等式成立，求a的取值范围. 【变式训练5-3】已知函数 (1)当时，求曲线在点（1，f（1）处曲线的切线方程； (2)求函数的单调区间； (3)设，若对任意，均存在，使得，求a的取值范围. 【变式训练5-4】已知函数，，m，. (1)求的单调区间； (2)当时，若，使成立，求实数a的取值范围. 题型06同构法解决不等式能成立问题 【典型例题1】已知存在实数x，使得不等式成立，则实数t的取值范围是 ． 【典型例题2】若存在实数使得，则的值为 . 【变式训练6-1】若，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练6-2】若存在实数使得，则的值为 . 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 不等式恒成立·能成立·恰成立问题 目 录 思维导图 2 高考分析 2 学习目标 2 知识要点 2 解题策略 7 题型归纳 7 题型01：一次函数单调性 7 题型02：二次函数判别式 7 题型03：最值法 10 (一)一元二次不等式最值法 10 (二)基本不等式中最值法 11 (三)其它函数不等式中最值法 12 题型04：分离参数法 15 (一)一元二次不等式中分离变量 15 (二)基本不等式中变量分离 17 (三)函数不等式中变量分离 19 题型05：变换主元法 22 题型06：分类讨论法 25 题型07：函数性质法（根据函数的奇偶性、周期性等性质） 27 题型08：数形结合法 29 题型09：消元转化法 30 题型10：不等式能成立问题的处理方法 30 题型11:不等式恰好成立问题 35 题型12：含有两个参数的不等式恒成立问题 36 利用导数研究不等式恒成立与能成立问题 40 题型01：变量分离法解决恒成立问题 40 题型02：分类讨论法解决恒成立问题 45 题型03：分离变量法解决有解问题 53 题型04：等价转化法解决恒成立问题 59 题型05：双变量不等式问题 65 题型06同构法解决不等式能成立问题 70 1. 定位：高考高频中档重难点，选择、填空、导数大题普遍出现，是不等式、函数综合核心题型。 2. 考查方向 恒成立、能成立（存在）、恰成立三类题型辨析；常结合二次函数、导数、分离参数；容易混淆最值选取逻辑。 3. 主要失分点 恒成立与能成立最值搞反；忽略自变量范围；等号取舍错误；分不清“恰成立”与“恒成立”。 1. 准确区分四类表述含义，读懂题干逻辑； 2. 掌握最值转化方法，熟练使用分离参数法； 3. 规范处理区间端点，避开等号陷阱。 知识点一：不等式恒成立问题 新课标下的高考越来越注重对学生的综合素质的考察,恒成立问题便是一个考察学生综合素质的很好途径,它常以函数、方程、不等式和数列等知识点为载体,渗透着换元、化归、分类讨论、数形结合、函数与方程等思想方法,在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用．近几年的数学高考中频频出现恒成立问题,其形式逐渐多样化,但都与函数、导数知识密不可分 解决高考数学中的恒成立问题常用以下几种方法：①函数性质法；②主参换位法；③分离参数法；④数形结合法；⑤消元转化法．等 （一）一次函数——单调性法 对于一次函数，则有： （1）如果； （2）如果. （二）判别式法 若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。 主要有以下几种基本类型： 类型1：设， （1）上恒成立； （2）上恒成立. 类型2：设 （1）当时，如果上恒成立； 当时，如果上恒成立. （2）当时，如果上恒成立； 当时，如果上恒成立 （三）最值法 . 类型1、若函数在区间上存在最小值和最大值，则: ①不等式在区间上恒成立； ②不等式在区间上恒成立； ③不等式在区间上恒成立； ④不等式在区间上恒成立； 类型2、若函数在区间上不存在最大（小）值，且值域为，则： ①不等式（或）在区间上恒成立； ②不等式（或）在区间上恒成立； 此法常用于(1)一元二次不等式中最值法 (2)基本不等式中最值法 (3)函数不等式中最值法 （四）分离参数法 若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端,从而问题转化为求主元函数的最值,进而求出参数范围．利用分离参数法来确定不等式（,为实参数）恒成立中参数的取值范围的基本步骤： （1）将参数与变量分离,即化为（或）恒成立的形式； （2）求在上的最大（或最小）值； （3）解不等式(或) ,得的取值范围． 解题关键（1）参数与变量能分离；（2）函数的最值易求出． 适用题型： (1)一元二次不等式中变量分离 (2)基本不等式中变量分离 (3)函数不等式中变量分离 （五）变换主元法（主参换位——反客为主法） 某些含参不等式恒成立问题,在分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与变量,但函数的最值却难以求出时,可考虑变换思维角度“反客为主”,即把习惯上的主元变与参数变量的“地位”交换一下,变个视角重新审查恒成立问题,往往可避免不必要的分类讨论或使问题降次、简化, （六)分类讨论法 处理含参不等式恒成立的某些问题时，有些时候需要对参数进行讨论。 （七）性质法（根据函数的奇偶性、周期性等性质）: 若函数是奇(偶)函数，则对一切定义域中的 , ， ()恒成立；若函数的周期为，则对一切定义域中的,恒成立。 （八）数形结合法（直观求解法） “数缺形时少直观，形缺数时难入微”，这充分说明了数形结合思想的妙处，在不等式恒成立问题中它同样起着重要作用。我们知道，函数图象和不等式有着密切的联系： （1）函数图象恒在函数图象上方； （2）函数图象恒在函数图象下上方。 （九）消元转化法 例：已知f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且f(1)=1,若,若对于所有的恒成立,求实数t的取值范围． 【解析】本题不等式中有三个变量,因此可以通过消元转化的策略,先消去一个变量,容易证明f(x)是定义在[-1,1]上的增函数,故 f(x)在[-1,1]上的最大值为f(1)=1,则对于所有的恒成立对于所有的恒成立,即对于所有的恒成立,令,只要,． 二：在不等式（能成立）有解的条件下，求参数的取值范围问题 类型1、若函数在区间上存在最小值和最大值，即，则对不等式有解问题有以下结论： ①不等式在区间上有解； ②不等式在区间上有解； ③不等式在区间上有解； ④不等式在区间上有解； 类型2、若函数在区间上不存在最大（小）值，且值域为，则不等式有解问题有以下结论 ①不等式（或）在区间上有解； ②不等式（或）在区间上有解； 三：不等式恰好成立问题 方法一、在上恰成立的解集为； 方法二、若在上恰成立，等价于在上的最小值，若在上恰成立，则等价于在上的最大值. 四：对同时含有“任意”、“存在”等量词的不等式成立条件下，求参数的取值范围问题. 类型1 ①对任意，总存在，使得； ②若存在，对任意，使得； ③对任意，任意，使得； ④若存在，存在，使得. 类型2： 2 ，使得方程成立． ②，使得方程成立 五：含有两个参数的不等式恒成立问题 解决双参数问题一般是先解决一个参数，再处理另一个参数．实质还是通过函数求最值解决． 例、设函数，对任意，都有在恒成立，求实数的取值范围． 方法1：化归最值，； 方法2：变量分离，或； 方法3：变更主元，， 解：方法1:对求导，， 由此可知，在上的最大值为与中的较大者． ，对于任意，得的取值范围是． 通用解题策略 1. 优先分离参数，把参数单独放一侧，转化为函数最值； 2. 无法分离参数：分类讨论+数形结合； 3. 审题标记关键词：任意/存在/恰好； 4. 求出最值后重点检验等号能否取到。 速记口诀 任意看恒成立：大于找最小，小于找最大； 存在看能成立：大于找最大，小于找最小； 恰成立：解集严格等于指定区间。 题型01：一次函数单调性 【典型例题】若不等式对满足的所有都成立,求的范围． 【分析】我们可以用改变主元的办法,将视为主变元,即将元不等式化为： 来求解． 【解析】我们可以用改变主元的办法,将视为主变元,即将元不等式化为：,令,则时,恒成立,∴只需,即,解这个不等式组得的范围是． 【点评】有些问题,如果采取反客为主（即改变主元）的策略,可产生意想不到的效果． 题型02：二次函数判别式 【典型例题1】已知不等式对任意实数恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】分和，结合二次函数的图象分析得解. 【详解】① 若,则恒成立，满足题意； ② ,则， , ∴. 综上所述. 故选：D 【典型例题2】若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围; 【详解】由题意，不等式对于一切实数x恒成立， 等价于对于一切实数x恒成立， 所以，解得， 故实数a的取值范围为； 【变式训练2-1】“关于的不等式对恒成立”的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用充分条件、必要条件的判断即可求得结果. 【详解】由“关于的不等式对恒成立”，可得， 解得，则“”的一个充分不必要条件是. 故选：C. 【变式训练2-2】已知集合，若中只有一个元素，则实数的值为（ ） A．0 B．0或 C．0或2 D．2 【答案】C 【分析】 根据题意转化为抛物线与轴只有一个交点，只需即可求解. 【详解】 若中只有一个元素，则只有一个实数满足， 即抛物线与轴只有一个交点， ∴，∴或2. 故选：C 【变式训练2-3】对，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 首先根据不等式恒成立，对二次项系数是否为零进行讨论，结合图形的特征，列出式子求得结果. 【详解】 对，不等式恒成立， 当时，则有恒成立； 当，且， 解得.实数的取值范围是. 故选：B. 【变式训练2-4】已知关于的一元二次不等式的解集为R，求m． 【答案】 【分析】根据一元二次不等式的解法求出. 【详解】关于一元二次不等式的解集为R， ，即，解得 故. 【变式训练2-5】已知关于的不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 解：当时，原不等式化为显然成立； 当时，则需要满足条件：； 综上，实数的取值范围是. 【变式训练2-6】若时，不等式恒成立，求的取值范围。 解：设，则问题转化为当时，的最小值非负。 当即：时，，又所以不存在； 当即：时， ，又， 当 即：时，，又 综上所得： 说明：在给出的不等式中，如果两变量不能通过恒等变形分别置于不等式的两边，则可利用分类讨论的思想来解决。 题型03：最值法 (一)一元二次不等式最值法 【典型例题】若不等式的解为全体实数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【分析】分类讨论与两种情况，结合二次不等式恒成立问题的解决方法即可得解. 【详解】当时，不等式可化为，显然不合题意； 当时，因为的解为全体实数， 所以，解得； 综上：. 故选：C. 【变式训练3-1-1】 已知命题：为假命题，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【分析】根据含有一个量词的命题的否定，可知命题：为真命题，讨论a是否为0，结合时，解不等式，即可求得答案. 【详解】由题意知命题：为假命题， 则命题：为真命题， 故当时，，即为，符合题意； 当时，需满足，解得， 综合可得实数的取值范围是，故选：D 【变式训练3-1-2】 若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 略解：关于的不等式在上恒成立， 等价于 当时，成立， 当时，，即 因为恒成立，所以 【变式训练3-1-3】命题“，”为真命题的充要条件是________. 【答案】 【分析】原命题等价于使，求在上的最大值即可. 【详解】原命题可写为“，”， 当时，随增大而增大，则时，取最大值为3，所以. 故答案为： 【变式训练3-1-4】已知∃x∈R，使得x2﹣2x﹣m＜0是真命题，则实数m的取值范围是______. 【答案】（﹣1，+∞） 【分析】由已知可得m＞x2﹣2x在R上有解，只需m＞（x2﹣2x）min，再根据二次函数的性质求出最小值，由此即可求解. 【详解】解：因为∃x∈R，使得x2﹣2x﹣m＜0是真命题， 即m＞x2﹣2x在R上有解，只需m＞（x2﹣2x）min， 又函数x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1≥﹣1， 所以m＞﹣1，即实数m的范围为（﹣1，+∞）， 故答案为：（﹣1，+∞）. (二)基本不等式中最值法 【典型例题】若两个正实数满足且不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【分析】应用基本不等式“1”的代换求左侧最小值，根据不等式恒成立及一元二次不等式的解法求参数m的范围. 【详解】由题设， 当且仅当时取等号， 又恒成立，即. 故选：A 【变式训练3-2-1】 设，若恒成立，则的最大值为 ； 【解析】由题可知的最大值即为的最小值。 又，取等号的条件当且仅当，即。故。 【变式训练3-2-2】 若关于x的不等式对任意恒成立，则正实数a的取值集合为（ ） A． B． C． D． 【分析】由题意可得对任意恒成立，由基本不等式可得最小值，再由一元二次不等式的解法，可得的取值集合. 【详解】由题意可得对任意恒成立， 由，可得， 当且仅当，即时，取得等号， 则，解得. 故选：C. 【变式训练3-2-3】已知，若对任意正数，不等式恒成立，求实数的最小值. 略解：，不等式恒成立等价于恒成立，又，， ，解得（舍去）或 所以实数的最小值为 (三)其它函数不等式中最值法 【典型例题1】已知等差数列的前n项和为，且，，若对于任意的，不等式恒成立，则实数x可能为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【分析】由与的关系且为等差数列，求出，由，得，构造函数，由在时恒成立，求实数x的取值范围. 【详解】因为，时，， 时，， 所以，，， 因为为等差数列，所以，， 从而，， 所以，即， 则当时，恒成立， ，解得或， 只有选项A符合题意，故选：A 评注：是的二次函数 【典型例题2】已知函数，若对任意恒有，试确定的取值范围。 解：根据题意得：在上恒成立， 即：在上恒成立， 设，则 当时， 所以. 说明：在给出的不等式中，如果能通过恒等变形分离出参数，即：若恒成立，只须求出，则；若恒成立，只须求出，则，转化为函数求最值。 变式：已知时，不等式恒成立，求的取值范围。 解：令， 所以原不等式可化为：， 要使上式在上恒成立，只须求出在上的最小值即可。 说明：在给出的不等式中，如果通过恒等变形不能直接解出参数，则可将两变量分别置于不等式的两边，即：若恒成立，只须求出，则，然后解不等式求出参数的取值范围；若恒成立，只须求出，则，然后解不等式求出参数的取值范围，问题还是转化为函数求最值。 【变式训练3-3-1】当时，恒成立，求实数的取值范围。 解：因为 当时，，则问题转化为，所以； 当时，，则问题转化为，所以. 综上所得：. 说明：在给出的不等式中，若能解出已知取值范围的变量，就可利用集合与集合之间的包含关系来求解，即：，则且，不等式的解即为实数的取值范围。 变11：若不等式在内恒成立，求实数的取值范围。 解：由题意知：在内恒成立，在同一坐标系内，分别作出函数和 观察两函数图象，当时， 当时，函数的图象显然在函数图象的下方，所以不成立； 当时，由图可知，的图象必须过点或在这个点的上方，则， 综上得： 说明：数形结合法是先将不等式两端的式子分别看作两个函数，且正确作出两个函数的图象，然后通过观察两图象（特别是交点时）的位置关系，列出关于参数的不等式。 【变式训练3-3-2】已知数列中，，，，若对任意的，，不等式恒成立，则实数的取值范围为 解：由得，， 两边同时除以得， 因为对任意的，，不等式恒成立， 所以对任意的，，不等式恒成立， 所以对任意的，，不等式恒成立， 所以对任意的，不等式恒成立， 即对任意的，不等式恒成立， 设，则有，，或 评注：是的一次函数 【变式训练3-3-3】已知函数在处取得极值,其中,为常数． （1）试确定,的值； （2）讨论函数的单调区间； （3）若对任意,不等式恒成立,求的取值范围． 【分析】恒成立,即 ,要解决此题关键是求 ,． 【解析】（1）（2）略． （3）由（2）知,在处取得极小值,此极小值也是最小值．要使恒成立,只需．即,从而． 解得或,的取值范围为． 题型04：分离参数法 (一)一元二次不等式中分离变量 【典型例题1】若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【分析】根据题意分析可得原题意等价于对任意的，不等式恒成立，结合基本不等式运算求解. 【详解】因为，且，整理得， 所以原题意等价于对任意的，不等式恒成立， 又因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以. 故选：A. 【典型例题2】若不等式对恒成立，则a的取值范围是____________． 【答案】 【分析】通过参数分离等价转化不等式，再求二次函数在给定区间的最值，即可求出a的取值范围． 【详解】由不等式对恒成立， 可转化为对恒成立，即， 而， 当时，有最大值，所以， 故答案为：． 【典型例题3】已知，，且恒成立，则实数的取值范围是 . 提示：由，可得， 由变形得恒成立 进而用单调性可得， 【变式训练4-1-1】若不等式对一切恒成立，则的最小值为________． 【答案】－4 【分析】通过分离常量，将恒成立问题转化成求最值，再利用基本不等式即可求出结果. 【详解】∵当时，恒成立， ∴恒成立， 又当时，，当且仅当x＝2时取等号． ∴， ∴，故a的最小值为－4. 故答案为：. 【变式训练4-1-2】若，不等式恒成立，则实数m的最小值为___. 【答案】/ 【分析】构造新函数，利用二次函数的性质求得最大值，进而求得实数m的最小值. 【详解】时，不等式恒成立，即恒成立， 令 时，，则， 则，则， 故实数m的最小值为 故答案为： 【变式训练4-1-3】若不等式对于恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】原不等式可化为，设.只需求出在时的最小值，即可得出答案. 【详解】原不等式可化为， 设， 则， 当且仅当，且，即时，函数有最小值为2. 因为恒成立，所以. 故选：C. (二)基本不等式中变量分离 【典型例题】若不等式对一切恒成立，则的取值范围是 (　 　)． A. B. C. D. 解析：∵，∴. 要使在时恒成立，则， 由基本不等式得，当且仅当时，等号成立，即. 故，解得或. 【变式训练4-2-1】不等式对所有的正实数,恒成立，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D．1 【分析】由题意可得，令，则有，，结合基本不等式求得，于是有，从而得答案. 解：因为,为正数，所以， 所以，则有， 令，则， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以，， 又，所以，即， 所以的最小值为1， 所以，即的最大值为1. 故选：D. 【点睛】方法点睛：对于恒成立问题，常采用参变分离法，只需求出分离后的函数(代数式)的最值即可得解. (三)函数不等式中变量分离 【典型例题1】(多选)已知函数，当时，恒成立，则实数的值可以是( ) A． B．0 C．1 D．3 解析　∵， ①当时，； ②当时，， 当时，，， ∴，综上，. 【变式训练4-3-1】已知函数，对都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【分析】根据不等式恒成立，分离参数，可得，对恒成立，构造函数，结合函数的单调性求得其最小值，即可求得答案. 【详解】由题意知函数，对都有成立， 即对恒成立， 即，对恒成立， 设，由于在上单调递减，在上单调递增， 则，则，当且仅当时等号成立， 故，即实数的取值范围为， 故选：A 【变式训练4-3-2】设函数 （1）当时，若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围； （2）当时，若对于一切实数恒成立，并且存在，使得成立，求的最小值. 解：（1）当时，， 对任意，都有恒成立等价于恒成立 （2）根据题意有，即 【变式训练4-3-3】正数，满足，若不等式对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 先利用基本不等式求得的最小值，再把问题转化为恒成立的类型，最后求解的最大值即可. 【详解】 因为，所以，且，为正数， 所以， 当且仅当，即，时，取等号，所以， 若不等式对任意实数x恒成立， 则对任意实数x恒成立， 即对任意实数x恒成立， 因为， 所以， 故选：A. 【变式训练4-3-4】已知函数,. （1）求函数在上的最小值； （2）对一切,恒成立,求实数的取值范围； （3）探讨函数是否存在零点？若存在,求出函数的零点；若不存在,请说明理由. 【分析】(1)求函数的层数可得,并由导数的符号判断函数的单调性可得函数在区间上的最小值为,分别讨论当与时函数在区间上的单调性与最小值即可；（2）对一切,恒成立,构造函数,求函数的最小值即可；(3) ,由（Ⅰ）知当且仅当时,的最小值是,构造函数,求其导数,研究函数的单调性与最值可知,且两个函数取得最大值点与最小值点时不相等,所以有,即两个函数无公共点,即函数无零点. 【解析】（Ⅰ）, 由得,,由得, 函数在上单调递减,在上单调递增. 当时,； 当时,在上单调递增,, （Ⅲ）令,得,即, 当（Ⅰ）知当且仅当时,的最小值是, 设,则,易知在上单调递增,在上单调递减, 当且仅当时,取最大值,且, 对都有,即恒成立, 故函数无零点. 【变式训练4-3-5】已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程和函数的极值： （2）若对任意,都有成立,求实数的最小值．[来源:Zxxk.Com] 【答案】（1）切线方程为,函数在时,取得极小值（2）1 【解析】（1）因为,所以, 因为,所以曲线在处的切线方程为． 由解得,则及的变化情况如下： 2 0 递减 极小值 递增 所以函数在时,取得极小值． 题型05：变换主元法 【典型例题1】若不等式，当时恒成立，则的取值范围是(　 　) A． B． C． D． 解析：不等式 可化为， 由已知可得， 令， 可得,解得或. 【典型例题2】若不等式对任意恒成立，实数x的取值范围是_____. 【答案】 【分析】把题意转化为，设，由一次函数的单调性列不等式组，即可求解. 【详解】可转化为. 设，则是关于m的一次型函数. 要使恒成立，只需， 解得. 故答案为： 【变式训练5-1】对任意，不等式恒成立，求的取值范围。 分析：题中的不等式是关于的一元二次不等式，但若把看成主元，则问题可转化为一次不等式在上恒成立的问题。 解：令，则原问题转化为恒成立（）。 当时，可得，不合题意。 当时，应有解之得。 故的取值范围为。 注：一般地，一次函数在上恒有的充要条件为。 【变式训练5-2】当时，不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】． 【解析】 【分析】 令，，依题意，即可得到不等式组，解得即可； 【详解】 解：由题意不等式对恒成立， 可设，， 则是关于的一次函数，要使题意成立只需，即，解，即得，解，即得，所以原不等式的解集为，所以的取值范围是． 【变式训练5-3】已知关于的不等式.若不等式对于恒成立，求实数x的取值范围 【答案】 【分析】由不等式对于恒成立，转化为当时，恒成立，则满足，求解对应不等式组即可得出答案. 【详解】由题知， 设， 当时，恒成立. 当且仅当，即， 解得且， 或且， 则. 所以的取值范围是. 【变式训练5-4】已知函数，对任意的，恒成立，则的取值范围为 解：函数的定义域为，且， 所以为奇函数 由得 又，在上是增函数 由得， ，令 因对任意的，恒成立 即对任意的，恒成立 ，， 说明:给定一次函数,若在内恒有，则根据函数的图象（直线）可得上述结论等价于： ⅰ）或ⅱ）亦可合并定成 同理，若在内恒有，则有 n m o x y n m o x y 题型06：分类讨论法 【典型例题1】若不等式对一切都成立，则a的最小值为（       ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 根据二次函数的性质，根据对称轴的位置分类讨论可得.. 【详解】 记， 要使不等式对一切都成立，则： 或或 解得或或，即. 故选：D 【典型例题2】若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】 分和两种情况，结合二次函数的图像与性质，求解即可. 【详解】 当时，不等式为，满足题意； 当，需满足，解得， 综上可得，的取值范围为， 故答案为：. 【变式训练6-1】已知时，恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解出不等式可得集合A，由，计算可得范围. 【详解】设的解集为A， 因为时，恒成立，所以， 由得，即， 当，解得，即，可得； 当，解得，即，不合题意； 当，解集为，不合题意； 综上所述：实数a的取值范围是. 故选：C. 【变式训练6-2】当m＞0时，求不等式的解集； 【详解】因为， 所以， 所以， 又， 所以， 当，即时：不等式的解集为：或； 当，即时：不等式的解集为：； 当，即时：不等式的解集为：或； 综上所述：当时：不等式的解集为：或； 当时：不等式的解集为：； 当时：不等式的解集为：或； 题型07：函数性质法（根据函数的奇偶性、周期性等性质） 【典型例题】记函数的定义域为，函数，若不等式对恒成立，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据函数解析式，先求出；令，根据函数奇偶性的定义，判定是奇函数；根据导数的方法判定是增函数；化所求不等式为，进而可求出结果. 【详解】 由解得，即， 令， 则， 则是R上的奇函数； 又显然恒成立， 所以是增函数； 由得， 即，即， 由是R上的奇函数且为增的函数， 所以得：. 所以， 当时，.所以. 故选：A. 【变式训练7-1】已知函数的定义域为，满足，且当时，，若对任意，都有，则的取值范围是（ D ） A. B. C. D. 解：当时，在上递减，在上递增，所以 因为，当图象向右平移2个单位时，最小值变为原来的2倍，最小值不断变小，当图象向左平移2个单位时，最小值变为原来的，最小值不断变大。 当时，； 当时，； 所以要对任意，都有， 上递减，在上递增，所以当最大时，， 且，解得 故的取值范围是 【变式训练7-2】已知定义域为的函数是奇函数. （1）求的值； （2）当时，恒成立，求实数的取值范围。 略解：（1）由及得 （2）由（1）得，并易证在上是减函数。 由得对恒成立 于是时，恒成立 设，进而得， 题型08：数形结合法 【典型例题】若对任意,不等式恒成立,则实数的取值范围是（ ） (A) (B) (C) （D） 【解析】对,不等式恒成立,则由一次函数性质及图像知,即． 【变式训练8-1】已知二次函数，若，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合二次函数的图象列不等式，解不等式即可. 【详解】根据题意可得，解得. 故选：D. 【变式训练8-2】v已知“，”为假命题，则实数的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据命题与命题的否定的真假性相反，可得“，”为真命题，再利用二次函数的图象特征即可求解. 【详解】由“，”为假命题， 可知“，”为真命题， 设，则有在上恒成立，则须满足： ，解得：， 故答案为：. 【变式训练8-3】设，当时，恒成立，求实数的取值范围。 解：设，则当时，恒成立 当时，显然成立；O x yx -1 当时，如图，恒成立的充要条件为： 解得。 综上可得实数的取值范围为。 题型09：消元转化法 【典型例题】已知f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且f(1)=1,若,若对于所有的恒成立,求实数t的取值范围． 【解析】本题不等式中有三个变量,因此可以通过消元转化的策略,先消去一个变量,容易证明f(x)是定义在[-1,1]上的增函数,故 f(x)在[-1,1]上的最大值为f(1)=1,则对于所有的恒成立对于所有的恒成立,即对于所有的恒成立,令,只要,． 【点评】对于含有两个以上变量的不等式恒成立问题,可以根据题意依次进行消元转化,从而转化为只含有两变量的不等式问题,使问题得到解决． 上述例子剖析了近几年数学高考中恒成立问题的题型及解法,值得一提的是,各种类型各种方法并不是完全孤立的,虽然方法表现的不同,但其实质却都与求函数的最值是等价的,这也正体现了数学中的“统一美”． 题型10：不等式能成立问题的处理方法 若函数在区间上不存在最大（小）值，且值域为，则不等式有解问题有以下结论 ①不等式（或）在区间上有解； ②不等式（或）在区间上有解； 【典型例题1】若命题“”为真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【分析】由题意可得不等式在R上有解，结合计算即可求解. 【详解】由题意可知，不等式在R上有解， ∴，解得， ∴实数m的取值范围是. 故选：A. 【典型例题2】已知不等式在实数集上的解集不是空集，求实数的取值范围. 解：由绝对值的几何意义知道，因为不等式在实数集上的解集不是空集，所以. 答案：. 变式：若关于的不等式的解集不是空集，求实数的取值范围. 解：设.则关于的不等式的解集不是空集在上能成立,即解得. 答案：. 设，若存在，使得成立，求所有满足条件的实数的取值范围. 解：由题知（当且仅当 即时取=）.因为存在，使得成立，所以. 答案：. 【变式训练10-1】命题“，”为真命题的充要条件是（   ） A． B． C． D． 【分析】把特称命题为真命题转化为对有解，分离参数，求解函数最值即可求解. 【详解】因为命题“，”为真命题，所以对有解， 即对有解，所以， 又函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，取得最小值为， 所以，即，故命题“，”为真命题的充要条件是. 故选：A 【变式训练10-2】若，使得成立，则实数取值范围是（    ） A． B． C． D． 【分析】由题意可得，使得成立，令，分类讨论，和，求得的最值即可得出答案. 【详解】若，使得成立， 则，即， 当时，成立， 当时，令，在上单调递增， 即，则，解得：， 因为，所以， 当时，令，在上单调递减， 即，则，解得：， 因为，所以， 综上：实数取值范围是. 故选：B. 【变式训练10-3】已知函数的定义域为，若存在，满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【分析】由已知结合函数的单调性可求的最大值与最小值，然后结合存在性问题与最值关系的转化即可求解. 【详解】令，且在单调递减，所以的最小值为， 可得，且， 所以在上单调递增，所以 因为存在，满足，则， 所以 解得：，故选：D. 【变式训练10-4】已知函数，，若对于任意，都存在，使得，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 解：由得,， 令，解得，则， 而，， 因为,当时，，， ，， 任意，都存在，使得， 所以的值域是的值域的子集，即， ，解得 【变式训练10-5】已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【分析】问题化为在上的最大值大于等于在上的最大值，利用对勾函数、指数函数单调性求区间最值，即可求参数范围. 【详解】由题设，只需在上的最大值大于等于在上的最大值即可， 对于在上递减，故； 对于，在上递增，故； 所以. 故选：C 【变式训练10-6】已知，，，使成立.则a的取值范围（    ） A． B． C． D． 【分析】将问题化为在上成立，利用指对数的单调性求对应最值，再求解不等式解集即可. 【详解】由题设，使成立， 所以在上成立， 对于，有， 对于，有， 所以，即，可得. 故选：B 【变式训练10-7】已知f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,且f(x)＋g(x)＝()x．若存在 x0∈[,1],使得等式af(x0)＋g(2x0)＝0成立,则实数a的取值范围是 ▲ ． 【答案】[2,] 则,时,, 设,则,而,易知在是递减,在上递增, 因此,,所以,即． 【点评】解题时需由奇偶性定义求出函数的解析式,存在x0∈[,1],使得等式af(x0)＋g(2x0)＝0成立,其中等式可转化为,这样求的取值范围就转化为求函数的值域．当然在求函数值域时还用到换元法和的单调性,问题进一步进行了转化． 题型11:不等式恰好成立问题 【典型例题1】不等式的解集为，求的值. 解：由题知道. 答案：6. 【典型例题2】已知当时，的值域是,试求实数的值. 解：是一个恰成立问题,这相当于的解集是. 当时,由于时, ,与其值域是矛盾； 当时, 是上的增函数,所以的最小值为,令,即. 【变式训练11-1】已知当的值域是,试求实数的值． 【解析】是一个恰成立问题,这相当于的解集是． 当时,由于时,,,与其值域是矛盾, 当时, 是上的增函数,∴, 的最小值为, ,令 【变式训练11-2】已知函数的定义域为，根据下列条件分别求实参数的取值范围： （1）； （2）； 解：（1）的定义域为关于的不等式的解集为 ，∴ 。 （2）的定义域为关于的不等式的解集为 或 或，∴ 题型12：含有两个参数的不等式恒成立问题 解决双参数问题一般是先解决一个参数，再处理另一个参数．实质还是通过函数求最值解决． 对同时含有“任意”、“存在”等量词的不等式成立条件下，求参数的取值范围问题. ①对任意，总存在，使得； ②若存在，对任意，使得； ③对任意，任意，使得； ④若存在，存在，使得. 【典型例题1】设函数，对任意，都有在恒成立，求实数的取值范围． 方法1：化归最值，； 方法2：变量分离，或； 方法3：变更主元，， 解：方法1:对求导，， 由此可知，在上的最大值为与中的较大者． ，对于任意，得的取值范围是． 【典型例题2】函数，若对任意，恒成立，求实数的取值范围。 解：若对任意，恒成立，即对，恒成立， 考虑到不等式的分母，只需在时恒成立而得 而抛物线在的最小值得. 【变式训练12-1】已知两函数，，对任意，存在，使得，则实数的取值范围为 . 解：对任意，存在，使得等价于在上的最小值不大于在上的最小值0，既，∴. 答案：. 【变式训练12-2】已知函数，，其中． （1）对任意，都有恒成立，求实数的取值范围； （2）对任意，，都有恒成立，求实数的取值范围. 解：（1）由题知道对任意，都有恒成立等价于对任意，不等式 恒成立，又（当且仅当即时取=），所以. （2）由题知道对任意，，都有恒成立等价于. 因为在单调递增，所以； 在单调递增，所以，所以. 【变式训练12-3】已知,, ⑴若存在,使得,求实数的取值范围； ⑵若存在,使得,求实数的取值范围； ⑶若对任意,恒有,求实数的取值范围； ⑷若对任意,恒有,求实数的取值范围； ⑸若对任意,存在,使得,求实数的取值范围； ⑹若对任意,存在,使得,求实数的取值范围； ⑺若存在,使得,求实数的取值范围； ⑻若存在,使得,求实数的取值范围. ⑵解析：据题意：若存在,使得,即有解,故h(x)>,由⑴知h（x）=,于是得<. 点评：在求不等式中的参数范围过程中,当不等式中的参数（或关于参数的式子）能够与其它变量完全分离出来并且分离后不等式其中一边的函数的最值或值域可求时,常用分离参数法.另外要注意方程有解与不等式有解的区别,方程有解常通过分离参数法转化为求函数值域问题,而不等式有解常通过分离参数法转化为求函数最值问题. ⑶解析：对任意,恒有,即时恒成立,即,由⑵可知0. 点评：比较⑵、 ⑶可知不等式恒成立和有解是有明显区别的,切不可混为一团.另外还要注意解决此类问题时参数能否取到端点值.以下充要条件应细心思考,甄别差异： ①若值域为,则不等式恒成立；不等式有解； ②若值域为,则不等式恒成立；若值域为则不等式恒成立. ⑷解析：由题中条件可得的值域的值域,若对任意,恒有,即,即,所以. 点评：⑶与 ⑷虽然都是不等式恒成立问题,但却有很大的区别, ⑶中不等式的左右两端函数的自变量相同,而⑷中不等式的左右两端函数的自变量不同,的取值在[0,2]上具有任意性.⑸解析：对任意,若存在,使得,即,由⑷可知即,所以. 点评：设的最大值为,对任意,的条件,于是问题转化为存在,使得,因此只需的最小值大于即. 点评：因为对值域内的任一元素在定义域内必存在自变量与其对应,所以对任意,若存在,使得的充要条件是在的值域内,因此,的值域是的值域的子集. ⑺解析：若存在,使得,则,即4, 所以.学科@网 点评：请将 ⑷、⑸、⑺仔细对比,体味任意与存在的区别. ⑻解析：若存在使得,则,∴,∴实数的取值围是 【变式训练12-4】对任意，不等式恒成立，求的取值范围. 解： 令，则原问题转化为恒成立（）. 当时，可得，不合题意. 当时，应有解之得. 故的取值范围为. 【变式训练12-5】不等式有解，求的取值范围. 解：不等式有解有解有解，所以. 【变式训练12-6】设 , ,若恒有成立,求实数的取值范围. 解：在同一直角坐标系中作出及的图象 如图所示，的图象是半圆 ，的图象是平行的直线系. 要使恒成立，则圆心到直线的距离. 满足，解得（舍去). 利用导数研究不等式恒成立与能成立问题 题型01：变量分离法解决恒成立问题 【典型例题1】已知函数. (1)讨论函数的单调区间并求出极值； (2)若在上恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1)答案见解析； (2). 【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，分、两种情况讨论，分别求出函数的单调区间及极值. （2）变形给定不等式，分离参数并构造函数，再求出函数的最大值即可得解. 【详解】（1）函数的定义域为，求导得， 当时，恒成立，函数在上单调递增，无极值； 当时，由，得；由，得， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 在处取得极小值，无极大值， 所以当时，的单调递增区间是，无单调递减区间，无极值； 当时，的单调递增区间是，单调递减区间是，极小值为，无极大值． （2）不等式， 令，依题意，在上恒成立， 求导得，令，求导得， 函数，即在上单调递减，， 因此函数在上单调递减，，则，解得， 所以实数a的取值范围是. 【典型例题2】已知函数. (1)若，求在上的最大值和最小值； (2)若，当时，证明：恒成立； (3)若函数在处的切线与直线垂直，且对，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)最大值是，最小值是 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用导数研究函数的单调性，进而求最值即可； （2）构造函数，然后利用导数研究函数的单调性，进而求最值即可证明； （3）根据题意，先求参数，进而用分离参数的方法解决恒成立问题即可. 【详解】（1）当时，，， 令可得，故当时，在单调递减； 当时，在单调递增； 故递减区间为，递增区间为 函数的极小值是唯一的极小值，无极大值. 又， 在上的最大值是，最小值是 （2）因为，所以令， . 当时，，则在上单调递增， 所以当时，，所以恒成立. （3）因为函数的图象在处的切线与直线垂直， 所以，即，解得 所以. 因为对，恒成立， 所以对，恒成立. 令，则 令，解得；令，解得， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以，则，解得：. 所以实数的取值范围为 【变式训练1-2】已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数在区间上是减函数，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求导得到切线斜率，进而求出直线即可；（2）求导，再参变分离，构造函数，转化为最值问题即可. 【详解】（1）当时，， 且， 又， 所以曲线在点处的切线方程为． （2）因为函数在区间上是减函数， 所以在区间上恒成立． 当且仅当在上恒成立， 则在上恒成立， 令，， 显然在区间上单调递减，在区间上单调递增， 则，得， 实数的取值范围为 【变式训练1-1】已知函数，． (1)当时，求函数的极值； (2)，都有，求实数a的取值范围． 【答案】(1)极小值0；无极大值． (2)． 【分析】（1）对求导，构建新函数，对求导，可判断单调性，根据题意知，可判断符号，即可确定单调性及极值点； （2）设新的函数，可转化为恒成立，即小于最小值，在构新的函数，，对求导，即可判断单调性，以及最小值点，即可求解. 【详解】（1）当时， 定义域为． ，． 令．则． 所以在上单调递增． 又因． 可知当时，；时，． 得时取极小值； 无极大值． （2）根据题意知当时，都有， ， 令，显然在上单调递增．则， 所以， 令， ， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 可得，所以， 即a的取值范围． 【变式训练1-3】已知函数. (1)讨论的最值； (2)若，且，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）利用导数分类讨论分析函数的单调性，求解最值即可； （2）当时，恒成立，分离参数，构造函数，利用导数分析函数的单调性求出最大值，即可得解. 【详解】（1）由题意得的定义域为， 当时，， 所以在区间内单调递减，无最大值，无最小值； 当时，令，得， 当时，单调递减， 当时，单调递增. 故当时，取得最小值，且最小值为，无最大值. 综上，当时，无最大值，无最小值； 当时，的最小值为，无最大值. （2）当时，由， 得， 整理得， 即. 令， 则 ， 由（1）知，当时，的最 小值为， 即恒成立， 所以当时，单调递增； 当时，单调递减. 故当时，取得最大值，即， 故的取值范围为. 【变式训练1-4】已知函数为偶函数． (1)求a的值及函数f（x）的值域； (2)设，若，都有恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先根据函数是偶函数求出参数，再结合基本不等式求出值域； （2）先应用不等式恒成立化简不等式，再设新参数结合（1）的范围求出自变量范围，再应用导数求出最值即可求参. 【详解】（1）∵f（x）为偶函数，， ，， 即对恒成立，． （当且仅当时取等） 故值域为． （2），令，则． 对恒成立，即对恒成立． ，故原式子又等价于对恒成立． 令，则，则h（t）在上单调递增． 故，．故m的取值范围为． 题型02：分类讨论法解决恒成立问题 【典型例题1】已知函数，其中． (1)当时，求函数的极值； (2)若，，求a的取值范围． 【答案】(1)极小值为，极大值为 (2) 【分析】（1）利用导数判断出单调性可得答案； （2）求出，分、、讨论，利用的单调性可得答案. 【详解】（1）当时，， 则， 令，解得或． 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减． 函数的极小值为，极大值为； （2）， ①若，即时，，函数单调递减， ，不符合题意． ②若，令函数，则的图象开口向下， 且与x轴有两个交点，令，则，， 注意到且，， 不可能是函数的极大值． ，即． 当，即时， 若，则，函数单调递减； 若，则，函数单调递增． ，符合题意． 当，即时， 若，则，函数单调递减； 若，则，函数单调递增； 若，则，函数单调递减； 又，故只需即可，解得，∴， 综上，a的取值范围为． 【点睛】方法点睛：（1）求函数的极值点个数时，可求导讨论函数的单调性，再判断极值点和极值情况；（2）对于形式较复杂的函数不等式恒成立问题可考虑采用主元变换法，将参数看成未知数，将看成参数求导分析. 【典型例题2】已知函数， (1)求曲线过点的切线方程； (2)若存在，使得对任意，都有成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出切点，借助导数的几何意义计算即可得； （2）由题意可得当时，，再借助导数计算出在上的最大值后，分及讨论函数的最大值即可得. 【详解】（1），设切点为，则有， 即有，则有，解得， 则，，即， 整理得； （2）由题意可得，当时，， 令，，， 则当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 故； 由，， 则， ①当时，有，令，则， 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 此时， 则有，解得，即； ②当时，令，有，， 若，即时，恒成立，则在上单调递增， 此时无最大值，且时，，故舍去； 若，即时，当时，， 当时，，故在上单调递增， 在上单调递减，此时无最大值，故舍去； 若，即时，当时，， 当时，，故在上单调递增， 在上单调递减，此时无最大值，同理舍去； 综上所述，. 【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于借助题意得到当时，，从而可分别计算在上的最大值与函数在上的最大值. 【变式训练2-1】已知函数. (1)若函数有极值，求实数的取值范围； (2)若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）先对函数求导，分类讨论研究函数的单调性，结合函数单调性与极值的关系即可求解. （2）由已知变形为恒成立，构造函数，分类讨论研究函数的单调性，利用最值列不等式求解即可. 【详解】（1）依题意，，令，得， 因为，所以当时，在上单调递减； 当时，，故在上单调递增； 当时，有变号零点，此时函数存在极值； 综上. （2）依题意，由， 得，即， 设， 则， 设，则， 当时，单调递增； 所以在上，，且， 当，即时，在上单调递减， 则，不符合题意，舍去， 当，即时， （i）若，即， ，使得，当时，在内单调递减，，不符合题意，舍去， （ii）若，即恒成立， 在上单调递增，则，符合题意. 综上，实数的取值范围为. 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： （1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； （2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． （3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别. 【变式训练2-2】已知函数，为的导函数. (1)若，求证：； (2)若对任意，，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由可求得，再根据基本不等式即可得出证明； （2）对函数求导并对参数进行分类讨论得出在上的单调性，得出其在上的最小值解不等式即可求得的取值范围. 【详解】（1）因为，所以， 此时，所以，， 所以， 当且仅当时，等号成立； 即 （2）易知, ①因为，若或，则，，所以在上单调递增， 所以，所以或； ②若，则由，得，列表： 0 所以，所以； ③若，则，，所以在上递减， 所以，此时无解； 综上，的取值范围. 【变式训练2-3】设函数，． (1)证明：当时，在上单调递减，在上单调递增； (2)当，且时，，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）求出导函数后，分及讨论其导函数的正负即可得； （2）由题意可得，构造函数，求出其导函数后，分，及进行讨论，得出的单调性后结合其最值点计算即可得解. 【详解】（1）当时，，， 若，当时，，， 当时，，， 若，当时，，， 当时，，． 所以，在上单调递减，在上单调递增． （2）当，且时，， 由，得， 即，变形为， 令，则， 整理得， （ⅰ）若，即，则当时，，所以在单调递增， 故当时，，不合题意； （ⅱ）若，即，则当时，； 故当时，； 所以在，单调递减；在单调递增， 由于，为极大值， 所以，当且仅当，即， 所以当时，； （ⅲ）若，即，则， 由于，故由（ⅱ）可得， 故当时，； 综上，的取值范围是． 【点睛】关键点点睛：第二问的关键点在于构造函数后，求出其导函数，从而针对与及的大小关系进行讨论. 【变式训练2-4】已知函数. (1)讨论的导函数的单调性； (2)若对任意恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析； (2). 【分析】（1）先求出的导函数，然后利用导数分类讨论分析函数的单调性即可； （2）对任意恒成立，求参数的取值范围问题，转化为利用导数分类讨论求解函数的最小值，判断最小值是否大于零即可. 【详解】（1）由题可知. 设，则. ①当时，在上恒成立， 所以在上单调递增. ②当时，令，得，令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增. 综上所述，当时，是上的增函数， 当时，在上是减函数，在上是增函数. （2）①当时，在上单调递增，， 则在上单调递增，故成立； ②当时，，所以在上单调递增，， 则单调递增，故成立； ③当时，当时，在上单调递减， 又，所以在上单调递减，则不成立. 综上，的取值范围为. 题型03：分离变量法解决有解问题 【典型例题1】已知函数． (1)求的极值； (2)设，若关于的不等式在区间内有解，求的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2)． 【分析】（1）利用导数分类讨论函数的单调区间，可求极值； （2）问题等价于在区间内有解，令，利用导数求函数最小值即可得的取值范围. 【详解】（1），令，得． 当时，由，得，由，得， 故在区间内单调递减，在区间内单调递增， 所以在处取得极小值，且极小值为，无极大值； 当时，由，得，由，得， 故在区间内单调递增，在区间内单调递减， 所以在处取得极大值，且极大值为，无极小值． 综上，当时，的极小值为，无极大值； 当时，的极大值为，无极小值． （2）时，等价于，则在区间内有解． 令，则， 令，则在上单调递增，有， 所以在区间内单调递增，即， 所以在区间内恒成立， 所以在区间内单调递增，即，即， 故的取值范围是． 【典型例题2】已知函数. (1)讨论的最值； (2)若，且，求的取值范围. 【答案】(1)最小值为，无最大值. (2). 【分析】（1）求得，结合导数的符号，求得函数的单调区间，进而求得其最值； （2）把不等式转化为，令，利用导数求得函数的单调性与最值，进而求得的取值范围. 【详解】（1）.解：因为的定义域为，可得. 当时，令，可得； 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故当时，取得极小值，也是最小值，且最小值为，无最大值. （2）解：当时，由，可得， 整理得，即， 令， 则， 由（1）知，当时，的最小值为，即恒成立， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 故当时，取得最大值，即， 故的取值范围为. 【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： 1、合理转化，根据题意转化为两个函数的最值之间的比较，列出不等式关系式求解； 2、构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 3、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 4、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 【变式训练3-1】已知函数． (1)若函数的单调递减区间为，求实数a的值． (2)若存在x使得，求实数a的取值范围． 【答案】(1)3； (2). 【分析】（1）求出函数的导数，由是的解集，进而求出a的值. （2）变形给定不等式，分离参数并构造函数，利用导数求出函数的最小值既得. 【详解】（1）函数，求导得， 由函数的单调递减区间为，得是的解集， 于是是方程的二根，则，解得， 而当时，，由，得，符合题意， 所以实数a的值是3. （2）不等式，依题意，存在正数，使得， 令，求导得， 显然函数在上单调递增，而， 则当时，，即，当时，，即， 因此函数在上单调递减，在上单调递增，，则， 所以实数a的取值范围. 【变式训练3-2】已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)若函数有个零点，求的范围 (3)若函数在处取得极值，且存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) (3) 【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，再分和两种情况讨论，分别求出函数的单调区间； （2）令，即，令，，依题意直线与的图象有两个交点，利用导数说明函数的单调性，即可得到函数图象，数形结合求出参数的取值范围； （3）参变分离可得存在，使得成立，令，，利用导数求出函数的最小值，即可求出的取值范围. 【详解】（1）函数的定义域为， 又． 当时，则恒成立，在上单调递减； 当时，由，解得，由，解得． 在上单调递增，在上单调递减； 综上可得，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）令，即，因为， 所以， 因为函数有个零点，所以在有两根， 令，， 也即直线与的图象有两个交点， 又， 当时，故在上单调递增； 当时，故在上单调递减. 又当时，，，， 则的图象如下所示： 数形结合可得，故的取值范围为； （3）在处取得极值， 由（1）得，， ，即，解得， 则，令，；令， 所以函数在单调递减，在单调递增，在处取极小值. ． 存在，使得成立， 即存在，使得成立， 则，， 令，， 则，所以当时，当时． 所以在上单调递增，在上单调递减． ， 故，故的取值范围为． 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 【变式训练3-3】已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若不等式在区间上有解，求实数a的取值范围． 【答案】(1)答案见解析； (2)． 【分析】（1）求出，分类讨论确定和的解得单调性； （2）用分离参数法转化问题为不等式在区间上有解，引入函数，求出的最小值即可得． 【详解】（1）由题意知函数的定义域为， 而， 当时，恒成立，函数在上单调递增； 当时，由，得， 由，得， 所以在上单调递减，在上单调递增． 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增． （2）因为不等式在区间上有解， 所以在区间上有解，此时， 即在区间上有解， 令，则． 令，则， 所以函数在上单调递增，所以． 当时；当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以， 综上可知，实数a的取值范围是． 【变式训练3-4】已知函数． (1)若函数仅有1个零点，求实数a的取值范围； (2)已知，，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先得到不是方程的根，参变分离得到，构造，求导得到函数单调性，画出函数图象，数形结合得到答案； （2）转化为在上有解，构造，，求导得到函数单调性，得到，求出答案． 【详解】（1）令，得， 显然不是方程的根， 故，， 令，则， 所以当或时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 作出函数的大致图象如下所示，观察可知，， 故实数a的取值范围为． . （2）由题意，不等式在上有解，显然不是该不等式的解， 所以不等式在上有解， 设，，则． 设，，则． 所以在单调递减，， 所以，所以在上单调递增， 所以， 所以实数的取值范围为． 【点睛】方法点睛：分离参数法基本步骤为： 第一步：首先对待含参的不等式问题在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式， 第二步：先求出含变量一边的式子的最值，通常使用导函数或基本不等式进行求解. 第三步：由此推出参数的取值范围即可得到结论. 题型04：等价转化法解决恒成立问题 【典型例题1】已知函数f(x)＝ax－2lnx． (1)讨论f(x)的单调性； (2)设函数g(x)＝x－2，若存在，使得f(x)≤g(x)，求a的取值范围． 【答案】(1)答案见解析； (2). 【分析】（1）根据实数a的正负性，结合导数的性质分类讨论求解即可； （2）利用常变量分离法，通过构造函数，利用导数的性质进行求解即可. 【详解】（1） 当a≤0时，在(0，＋∞)上恒成立； 当a＞0时，令得；令得； 综上：a≤0时f(x)在(0，＋∞)上单调递减； a＞0时，f(x)在上单调递减，在上单调递增； （2）由题意知 ax－2lnx≤x－2 在(0，＋∞)上有解 则ax≤x－2＋2lnx，． 令， x g'(x) ＋ 0 － g(x) ↗ 极大值 ↘ 所以，因此有 所以a的取值范围为： 【点睛】关键点睛：运用常变量分离法利用导数的性质是解题的关键. 【典型例题2】已知函数，. (1)当时，求函数的极值； (2)若存在，使不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)函数在上递增，在上递减，极大值为，无极小值 (2) 【分析】（1）求出函数的导函数，再根据导数的符号求得单调区间，再根据极值的定义即可得解； （2）若存在，使不等式成立，问题转化为，令，，利用导数求出函数的最大值即可得出答案. 【详解】（1）解：当时，， 则， 当时，，当时，， 所以函数在上递增，在上递减， 所以函数的极大值为，无极小值； （2）解：若存在，使不等式成立， 则，即， 则问题转化为， 令，， ， 当时，，当时，， 所以函数在递增，在上递减， 所以， 所以. 【变式训练4-1】知函数， （1）求在区间上的最小值； （2）若（为自然对数的底数）使不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）分、两种情况讨论，利用导数分析函数在上的单调性，由此可求得函数在区间上的最小值； （2）分析可知，存在使得，利用导数求出函数在区间上的最大值，由此可求得实数的取值范围. 【详解】（1），，令， ①当时，即时，列表如下： 减 极小值 增 此时，函数在处取得极小值，亦即最小值，即； ②当时，不等式在区间上恒成立， 此时，函数在区间上单调递增， 则函数在处取得最小值，即. 综上所述，函数在上的最小值为； （2）问题等价于：，能成立， 令，其中，则， 令，则，列表如下： 减 极小值 增 此时，函数在处取得极小值，亦即最小值，即， 因为，， 因为，所以，, 因此，即实数的取值范围是. 【变式训练4-2】已知函数（）， （1）若曲线在点处的切线为，求的值； （2）设函数，若至少存在一个，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）求函数的导数和定义域，结合函数的切线方程建立方程关系进行求解， （2）利用参数分离法将不等式进行转化，构造函数求出函数的导数，利用导数进行求解即可． 【详解】解：（1）的定义域为，， ∴，， 解得，，∴. （2）若至少存在一个，使得，∴， 当时，，∴有解，令， ∴，， ∴在上单调递减，， ∴，即. 【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 【变式训练4-3】已知函数(). （1）设函数，求函数的单调区间； （2）若，在上存在一点，使得成立，求的取值范围. 【答案】（1）当时，在上单调递减，在上单调递增，当时，在上单调递增；（2）或. 【解析】（1）先求导函数，再根据与大小分类讨论，结合导函数符号确定单调区间； （2）先转化为，再根据（1）单调性确定最小值，最后解对应不等式得结果. 【详解】（1），定义域为， ， ①当，即时，令，∵，∴； 令，∵，∴， ②当，即时，恒成立， 综上：当时，在上单调递减，在上单调递增， 当时，在上单调递增； （2）由题意可知在上存在一点，使得成立， 即在上存在一点，使得， 即函数在上的最小值，由第（1）问可知： ①当，即时，在上单调递减， ∴，∴，又∵，∴， ②当，即时，在上单调递增， ∴，， ③当，即时，∴， ∵，，，此时不存在使成立， 综上可得所求的范围是：或. 【点睛】本题考查利用导数求函数单调区间、利用导数研究不等式能成立问题，考查综合分析求解能力，属中档题. 【变式训练4-4】已知函数. （1）若函数在其定义域内为增函数，求的取值范围； （2）在（1）的条件下，设函数，若在上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）先求导函数，要使在定义域（0，+∞）内是增函数，只需在内恒成立，然后将分离，利用基本不等式可求出的取值范围； （2）根据g（x）在[1，e]上的单调性求出其值域，然后根据（1）可求出的最大值，要使在[1，e]上至少存在一点，使得成立，只需，x∈[1，e]，然后建立不等式，解之即可求出的取值范围． 【详解】解：（Ⅰ）． 要使在定义域内是增函数，只需在内恒成立． 即：得：恒成立． 由于，∴，∴ ∴在内为增函数，实数的取值范围是 ． （Ⅱ）∵在上是减函数 ∴时，，时，，即 令 当时，由（Ⅰ）知在上是增函数， 又在上是减函数，故只需， 而，，即 解得 ∴实数的取值范围是． 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值，同时考查了转化的思想． 题型05：双变量不等式问题 【典型例题1】设函数. （1）求函数的极值； （2）若，使得成立，求的取值范围. 【答案】（1）极大值为，极小值为0；（2）. 【分析】（1），令，解得，2．列表如下，即可得出极值． （2）、，使得成立，．由（1）可得：．再利用导数研究函数的单调性即可得出极小值即最小值． 【详解】解：（1）由得，令得或. 当变化时， 与的变化情况如下表： 0 2 0 0 递减 极小值0 递增 极大值 递减 故函数的极大值为，极小值为0. （2） ，使得，等价于当时，， 由得， 当时， ， 递减，当时， ， 递增， 所以当时， . 由（1）知，解得. 故的取值范围是. 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 【典型例题2】已知函数. （1）若在区间单调递增，求的最小值； （2）若，对，使成立，求的范围. 【答案】（1）3；（2）. 【分析】（1）将所求转化为在，恒成立，再通过分离参数的方法求解； （2）将“，使成立”转化成“”， ，再进一步利用函数单调性分别求最大值． 【详解】解：（1）由在恒成立 得： ，而在单调递减， 从而，∴∴ （2）对，使∴ 在单调递增 ∴ 在上单调递减，则 ∴则 【点睛】本题都需要将原题意转化成我们更为熟悉的知识，从而进一步给出解答．第一问中，学生往往容易忽视中的等号，从而造成错误；在第二问中，对于“”“ ”的理解至关重要，需要我们更多的理解，才能够准确的转化题意，进行进一步解答． 【变式训练5-1】已知，． （1）讨论函数的单调性； （2）已知存在极值，若对，都，使得不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）答案见解析；（2）． 【解析】（1）根据的正负可确定的单调性； （2）根据（1）的结论可知，结合分离变量的方式将问题转化为在有解，设，利用导数求得在上的最大值，由此可得结果. 【详解】（1），， 由题意，， 若，则；若，则； 在上单调递减，在上单调递增； （2）由（1）知：若存在极值，则，且， 故原题转化为：，使得成立， 即在有解， 则在有解， 令，， 则， 在上单调递增，，， 即实数的取值范围为. 【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到利用导数讨论含参数函数的单调性、能成立与恒成立的综合应用问题；解决恒、能成立问题的关键是能够将问题转化为函数最值的求解问题，属于常考题型. 【变式训练5-2】已知函数 (1)若函数f（x）在处取得极值，求m； (2)在（1）的条件下，，使得不等式成立，求a的取值范围. 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）首先对函数求导，利用有有极值，可求得m. （2）根据题意，可以得到，将代入不等式中，然后将分离出来，求新函数的最小值即可. 【详解】（1），在处取得极值， 则. ，当， 所以f（x）的减区间为 ，增区间为符合题意. （2）由（1）知，函数 ，使得不等式成立 等价于不等式在时有解 即不等式在时有解... 设 时， 而所以恒成立 即F（x）在[0，]上是增函数，则 因此a的取值范围是 【变式训练5-3】已知函数 (1)当时，求曲线在点（1，f（1）处曲线的切线方程； (2)求函数的单调区间； (3)设，若对任意，均存在，使得，求a的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析； (3). 【分析】（1）求导，利用导函数的几何意义求出切线斜率，进而得到切线方程； （2）求定义域，求导，分与，求解函数的单调区间； （3）将问题转化为，配方求出，在第二问基础上，求出不合题意，当时，，列出不等式，求出a的取值范围. 【详解】（1）时，，， 故，， 故切线方程是：，整理得：. （2）的定义域为， 求导函数可得 当时，由于，故，，所以的单调递增区间为； 当时，由，得 在区间上，；在区间上，， 所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为， 综上：当时，的单调递增区间为； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. （3）由已知转化为 ，， ， 由知，当时，在上单调递增，值域为R，故不符合题意． 或者举出反例：存在，故不符合题意． 当时，在上单调递增，在上单调递减， 故的极大值即为最大值，， 所以，所以， 解得：， 所以a的取值范围为. 【点睛】函数不等式恒成立问题，要进行适当转化，本题第三问的关键在于转化为，从而利用导函数求解最大值即可. 【变式训练5-4】已知函数，，m，. (1)求的单调区间； (2)当时，若，使成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1)的单调递增区间为，单调递减区间为 (2) 【分析】（1）取出，分别解不等式即可得出函数的单调区间； （2）当时，先求出，将问题转化为使成立，设，利用导数求出其最小值即可得出答案. 【详解】（1）由，则 由，解得，，解得 所以当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增. 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为 （2）当时，函数在上单调递增，在上单调递减 所以函数在上单调递增. 在上单调递减， 又，，所以 ，使成立，即 即使成立 即在上有解 设，则 所以当时，，单调递减. 当时，，单调递增. 所以 要使得在上有解，则 题型06同构法解决不等式能成立问题 【典型例题1】已知存在实数x，使得不等式成立，则实数t的取值范围是 ． 【答案】 【分析】将原式变形为，构造函数，根据函数单调性，进一步将不等式转化有解，继而转化为最值求解即可. 【详解】由已知，对于两边同时除以得 ， 变形得， 设，明显其在上单调递增， 所以由得， 即， 所以原问题转化为存在实数x，使得不等式成立， 又， 所以，解得， 故答案为： 【典型例题2】若存在实数使得，则的值为 . 【答案】 【分析】构造函数，利用其单调性及最值计算即可. 【详解】不等式， 令，则， 当时，，当时，， 即在上单调递增，在上单调递减， 所以， 故， 又由题意知存在实数使得成立， 故时满足题意， 所以. 故答案为：. 【变式训练6-1】若，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由分离常数可得，设，根据的性质，结合函数与方程的关系即可求解. 【详解】由，得， 设，则， 设，则， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以， 又，所以实数的取值范围是. 故选：A 【变式训练6-2】若存在实数使得，则的值为 . 【答案】/ 【分析】由已知得，令，利用导数可得，再根据等号成立的条件可得答案. 【详解】由已知得， 令，则，当时，，单调递增， 当时， ，单调递减，所以， 可得，所以， 即， 当且仅当即等号成立， 此时的值为. 故答案为：. 2 学科网（北京）股份有限公司 $