第01讲 命题与量词讲义(思维导图+知识要点+解题策略+题型归纳)-2027届高考数学一轮复习逻辑用语专题（全国通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦命题与量词核心考点，涵盖命题概念、真假判断、全称/存在量词命题及其否定、含参问题等高频内容，按“基础概念-逻辑推理-综合应用”架构知识，通过考情分析、知识梳理、策略指导、分层题型及巩固提升环节，帮助学生突破否定混淆、参数转化等难点，体现复习系统性与针对性。 讲义融合数学思维与数学语言素养，创新“题型分层+陷阱剖析”策略，如用“量词变、结论否”口诀突破命题否定，将含参问题转化为函数最值培养逻辑推理。设基础与拔高考法训练，配合即时反馈，确保高效提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

第01讲 命题与量词 目 录 思维导图 2 考情分析 2 学习目标 3 知识要点 3 解题策略 7 题型归纳 9 题型01：有关命题的概念 9 题型02：命题真假的判断 11 题型03：根据命题的真假求参数（范围） 17 题型04：全称（存在）量词命题的判断 18 题型05：全称（存在）量词命题的真假判断 22 一：全称命题及其真假的判断 22 二：存在量词（特称）命题及其真假的判断 24 三：全称量词，存在量词（特称）命题及其真假的判断 25 题型06：根据全称量词命题、存在量词命题的真假求参数 31 题型07：含有全称量词存在量词命题的否定 40 一：全称命题的否定及其真假的判断 40 二．存在性命题的否定及其真假的判断 42 三．全称存在量词的否定 45 题型08：根据命题否定的真假求参数 47 题型09：全称量词命题、存在量词命题的应用 51 巩固提升 52 一、考查定位 属于高中数学常用逻辑用语基础内容。新高考中极少单独出大题，以选择题、填空题小题形式考查，分值5分；常常和集合、函数、不等式综合命题。 既是简易逻辑的入门知识点，也是充分必要条件、全称特称命题否定的基础工具。 二、核心命题方向 1. 命题真假判断：能判断陈述句是否为命题、辨别真命题与假命题；识别祈使句、疑问句、感叹句不是命题。 2. 全称量词与存在量词（高频） ①识别全称命题与特称命题 ②写出全称/特称命题的否定（最热考点）。 3. 结合函数、不等式综合 给出含参全称/存在性命题恒成立、能成立问题，转化为函数最值求解（拔高考法）。 三、典型易错陷阱 1. 混淆命题的否定和否命题（基础高频错误）； 2. 全称命题否定写成全称命题，没有改为存在量词； 3. 含有多个变量命题否定逻辑出错； 4. “恒成立”与“能成立”混淆，转化函数最值时搞反不等关系。 四、命题趋势 1. 单纯概念辨析题逐年减少，更多融合函数、导数、不等式，以恒成立、存在性求参数范围作为综合题型； 2. 题型灵活：选择单选、多选均可能出现；多选容易设置逻辑陷阱拉开分差； 3. 作为工具知识渗透：后续充分必要条件、逻辑推理类题目都会依托本节概念。 五、难易度定位 基础概念题难度偏低，属于必须拿分题型；一旦结合恒成立、能成立求参数，上升中档难度，是高一、高三复习重点。 1. 准确理解命题的定义，能够清晰判断给定的语句是否为命题，明确命题与非命题语句的区别特征，比如命题必须是能判断真假的陈述句，像祈使句、疑问句等就不是命题。全面认识全称量词和存在量词的含义，熟练掌握“任意”“所有”“每一个”等全称量词 以及“存在”“有”“至少有一个”等存在量词，并能精准区分它们在数学表达和实际问题中的应用场景。 2. 熟练学会用量词符号（全称量词“∀”、存在量词“∃” ）准确表示全称量词命题和存在量词命题，将文字语言描述的数学命题转化为简洁的符号语言，例如把“所有自然数都大于等于0”表示为“∀x∈N，x≥0 ” 。掌握判断全称量词命题和存在量词命题真假的有效方法，对于全称量词命题，要证明其为真需对限定集合中每个元素验证性质成立，证假则只需举一个反例；对于存在量词命题，证真只要在限定集合中找到一个元素使性质成立，证假则要说明集合中每一个元素都不满足性质 ，并能运用这些方法判断各种不同类型命题的真假。 3.通过对命题与量词的学习，培养数学抽象思维，能够从具体的数学情境和问题中，抽象出命题和量词的概念及相关性质 。锻炼逻辑推理思维，在判断命题真假以及分析全称量词命题和存在量词命题关系的过程中，提升逻辑推理能力，例如在证明或证伪一个命题时，能进行有条理的思考和严谨的论证。 4.认识到全称量词命题和存在量词命题在刻画现实问题和数学问题中的重要作用，学会运用这些知识解决数学内部如函数、几何等领域的问题，比如判断函数性质相关的命题真假 。尝试运用命题与量词的知识去分析和解决一些简单的实际生活问题，将数学知识与生活实际建立联系，提升知识的应用能力 ，如在统计、概率等实际场景中判断相关陈述的真假。 知识点一：命题的概念 1.命题定义和真假 一般地，在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述语句称为命题．其中，判断为真的语句称为真命题，判断为假的语句称为假命题． 一个命题，一般可以用一个小写英文字母表示，如，，，…． 命题的定义：命题是判断一件事情的语句，也就是“一句可以直接判断对错的话” 命题的结构：命题由条件和结论组成，标准写法是如果“条件”，那么“结论”。 命题的真假：结论为正确的命题叫真命题，结论错误的命题为假命题。 (1)常见的命题： ①对顶角相等 ②两直线平行，内错角相等 ③爸爸的年龄比儿子大 ④地球是方的 ⑤如果一个函数是正比例函数，那么它也是一次函数 ⑥等腰三角形底角相等 ⑦数学比英语难 ⑧正方形比圆面积大 (2)关于命题的拓展: ①命题通常是陈述句，包括肯定句和否定句 ②祈使句、疑问句、反问句一般不是命题。 ③判定真命题，除了公认的事实外，还要严格的推理证明。 ④判定假命题，只需要举出一个反例即可。 2.判断命题真假的方法 (1)对于一般的命题，可根据我们已学过的定义、定理、公理等判断其真假．　　 (2)将一个命题改写成“若p，则q”的形式后，判断此命题真假的一般方法如下． ①若通过逻辑推理可以由p得到q，则可确定命题“若p，则q”为真；而要确定命题“若p，则q”为假，则只需举出一个反例． ②从集合的观点，我们建立集合A，B与p，q之间的一种特殊联系：设集合A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，就是说，A是能使p成立的对象x所构成的集合，B是能使q成立的对象x所构成的集合，此时，命题“若p，则q”为真(意思就是“使p成立的对象也能使q成立”)，即A⊆B. 知识点二：量词 1.全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词． 2.存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词． 3.常见量词： 量词名称 常见量词 符号表示 全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个、任给等 ∀ 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等 ∃ 4.全称量词与全称量词命题 （1）全称量词 一般地，“任意”“所有”“每一个”在陈述句中表示所述事物的全体，称为全称量词，用符号“”表示． 【注意】 （1）全称量词的数量可能是有限的，也可能是无限的，由有题目而定； （2）常见的全称量词还有“一切”、“任给”等，相应的词语是“都”． （2）全称量词命题 含有全称量词的命题，称为全称量词命题．对集合M中的任意一个x，成立（M表示变量x的取值范围），符号表示为：对． 【注意】 （1）从集合的观点看，全称量词命题是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题； （2）一个全称量词命题可以包含多个变量； （3）有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补出来。 如：命题“平行四边形对角线互相平行”理解为“所有平行四边形对角线都互相平行”。 5.存在量词与存在量词命题（特称命题） （1）存在量词 “存在”“有”“至少有一个”在陈述句中表示所述事物的个体或部分，称为存在量词，用符号“”表示． 【注意】常见的存在量词还有“有些”、“有一个”、“对某些”、“有的”等； （2）存在量词命题 含有存在量词的命题，称为存在量词命题．存在集合M中的元素x，成立（M表示变量x的取值范围），简记为：对． 【注意】 （1）从集合的观点看，存在量词命题是陈述某集合中有一些元素具有某种性质的命题； （2）一个存在量词命题可以包含多个变量； （3）有些命题虽然没有写出存在量词， 但其意义具备“存在”、“有一个”等特征的命题都是存在量词命题 全称量词 存在量词 量词 所有的、任意一个 存在一个、至少有一个 符号 ∀ ∃ 命题 含有全称量词的命题是全称量词命题 含有存在量词的命题是存在量词命题 命题形式 “对M中任意一个x，p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)” “存在M中的元素x，p(x)成立”，可用符号简记为“∃x∈M，p(x)” 知识点三：含有一个量词的命题的否定 1.全称量词命题的否定为，. 2.存在量词命题的否定为. p p 结论 全称量词命题∀x∈M，p(x) ∃x∈M，p(x) 全称量词命题的否定是存在量词命题 存在量词命题∃x∈M，p(x) ∀x∈M，p(x) 存在量词命题的否定是全称量词命题 知识点四：常用结论 1．从集合与集合之间的关系上看：设. （1）若，则是的充分条件()，是的必要条件；若，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件，即且； 注：关于数集间的充分必要条件满足：“小大”. （2）若，则是的必要条件，是的充分条件； （3）若，则与互为充要条件. 2.常见的一些词语和它的否定词如下表 正面词语 等于（＝） 大于（＞） 小于（＜） 是 都是 否定 不等式（≠） 不大于（≤） 不小于（≥） 不是 不都是 正面词语 至多有一个 至少有一个 任意 所有 至多有n个 否定 至少有两个 一个都没有 某个 某些 至少有n+1个 或者 原结论 否定形式 原结论 否定形式 是 不是 至少有一个 没有 都是 不都是 至多有一个 至少有二个 大于 小于或等于 至少有个 至多有-1个 小于 大于或等于 至多有个 至少有+1个 对所有的成立 存在不成立 或 非且非 对任何的不成立 存在成立 且 非或非 (1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合中的每一个元素证明其成立，要判断全称量词命题为假命题，只要能举出集合中的一个，使得其不成立即可，这就是通常所说的举一个反例. (2)要判断一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合中能找到一个使之成立即可，否则这个存在量词命题就是假命题. 1、命题概念的理解 (1)有一类陈述句在数学或其他科学技术中经常出现，但目前不能确定这些语句的真假，随着时间的推移，总能确定它们的真假，这一类语句仍然是命题． (2)命题的真假是确定的，一个命题要么为真，要么为假，不能无法判断． (3)数学中的定义、公理、定理、公式等都是真命题． (4)数学中要判定一个命题为真命题，需要经过严格的数学证明；要判定一个命题为假命题，只需要举出一个反例即可． 2、判断一个语句是否是命题的方法 判断一个语句是不是命题，要根据命题的定义进行判断，关键看它是否同时具备“是陈述句”和“可以判断真假” 这两个条件，一般地，祈使句、感叹句等都不是命题． 3、判断命题真假的策略 （1）要判断一个命题是真命题，一般要有严格的证明或有事实依据，比如根据已学过的定义、公理、定理证明或根据已知的正确结论推证． （2）要判断一个命题是假命题，只要举出一个反例即可． 4、全称量词命题与存在量词命题的区别 (1)全称量词命题中的全称量词表明给定范围内所有对象都具有某一性质，无一例外，强调“整体、全部”． (2)存在量词命题中的存在量词则表明给定范围内的对象有例外，强调“个别、部分”． 5、全称量词命题或存在量词命题的判断 判断一个命题是否为全称量词命题或存在量词命题，就是判断这个命题中是否含有全称量词或存在量词，有些命题的量词可能隐含在命题之中，这时要根据命题含义判断形式． 注：判断含量词的命题的真假时，一定要注意特殊情况，如特殊值、特殊点，特别是问题中涉及的临界点．若找不到特例，则需根据相关数学知识进行简单推理． 6、全称量词命题与存在量词命题的真假的判断 (1)要判定全称量词命题是真命题，需要判断所有的情况都成立；如果有一种情况不成立，那么这个全称量词命题就是假命题． (2)要判定存在量词命题是真命题，只需找到一种情况成立即可；如果找不到使命题成立的特例，那么这个存在量词命题是假命题． 7、全称量词命题、存在量词命题的求参问题 (1)全称量词命题的常见题型是“恒成立”问题，这是一类综合性强，且有一定难度的问题，解决有关“恒成立”的问题时，若能分离参数，则尽量利用分离参数法求解． (2)存在量词命题的常见题型是用适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表述的．解答这类问题时，一般要先对结论做出肯定存在的假设，然后从此肯定的假设出发，结合已知条件进行推理论证．若推出合理的结论，则存在性也随之解决；若导致矛盾，则可否定存在性 8、含有一个量词的命题的否定 全称量词命题的否定是一个存在量词命题，存在量词命题的否定是一个全称量词命题，因此在书写他们的否定时，相应的全称量词变为存在量词，存在量词变为全称量词，同时否定结论． 注：（1）全称量词命题的否定： 一般地，全称量词命题“”的否定是存在量词命题： ． （2）存在量词命题的否定： 一般地，存在量词命题“ ”的否定是全称量词命题： ． （3）命题与命题的否定的真假判断： 一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假． 即：如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定是假命题，反之亦然． 题型01： 有关命题的概念 【典型例题1】以下语句：①；②；③；④，其中命题的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据命题的定义进行判断. 【详解】①是命题，且是假命题；②、③不能判断真假，不是命题；④不是陈述句，不是命题． 故选：B 【典型例题2】【多选】下列语句是命题的是（ ） A．3是15的约数 B．x2+2x+1≥0 C．4不小于2 D．你准备考北京大学吗? 【答案】ABC 【解析】对于A，3能整除15，为真，所以A是命题； 对于B，，为真，所以B是命题； 对于C，，所以“4不小于2”为真，所以C是命题； 对于D，“你准备考北京大学吗?”是疑问句不是陈述句，且无法判断真假，所以D不是命题. 故选：ABC. 【典型例题3】下列语句:①是无限循环小数；②；③当时，；④请把门关上．其中不是命题的是 ． 【答案】②④ 【解析】①是陈述句，且能判断真假，故①是命题； ②语句中含有变量，没有给赋值前，无法判断语句的真假，故不是命题； ③是陈述句，且能判断真假，故③是命题； ④是祈使句，故④不是命题. 故答案为：②④ 【变式训练1-1】下列语句是命题的是（ ） A．2026是一个大数 B．若两直线平行，则这两条直线没有公共点 C．是一次函数吗 D． 【答案】B 【解析】对于A，“是一个大数”无法判断真假，不是命题，A错误； 对于B，“若两直线平行，则这两条直线没有公共点”是可以判断真假的陈述句， 是命题，B正确； 对于C，“是一次函数吗”不是陈述句，不是命题，C错误； 对于D，“”无法判断真假，不是命题，D错误.故选：B. 【变式训练1-2】下列语句中：①；②；③有一个根为0；④高二年级的学生；⑤今天天气好热！⑥有最小的质数吗？其中是命题的是（    ） A．①②③ B．①④⑤ C．②③⑥ D．①③ 【答案】D 【分析】根据命题的定义即可求解. 【详解】命题是能判断真假的陈述句， 由于⑤⑥不是陈述句，故不是命题， ②④无法判断真假，故不是命题， ①③可以判断真假且是陈述句，故是命题， 故选：D 【变式训练1-3】下面有三个命题：①若不属于，则属于；②若，则的最小值为；③的解可表示为．其中真命题的个数为（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A【解析】①假命题，如a=；②假命题，集合N中最小的数是0，如a,b=1；③假命题，{1,1}与集合元素的互异性矛盾． 【变式训练1-4】（多选）下列句子中是命题的是（    ） A．三边对应相等的两个三角形全等 B．如果，则 C．对于任意数，不能被3整除 D．八月的桂花真香啊 E． 【答案】ABC 【解析】下列句子中是命题的是（    ） 对于A，三边对应相等的两个三角形全等，是命题； 对于B，如果，则，是命题； 对于C，对于任意数，不能被3整除，能判断真假，是命题； 对于D，八月的桂花真香啊，不能判断真假，所以不是命题； 对于E，，不能判断真假，所以不是命题，故选：ABC. 题型02：命题真假的判断 【典型例题1】下列语句中，为真命题的是（ ） A．直角的补角是直角 B．同旁内角互补 C．过直线外一点作直线于点 D．两个锐角的和是钝角 【答案】A 【解析】对选项A，直角的补角是直角，所以A为真命题； 对选项B，缺少两直线平行条件，结论不成立. 如三角形内任意两内角都是同旁内角，但两角和必小于，所以B为假命题； 对选项C ，是祈使句，不是陈述句.所以不是命题； 对选项D， 与的和为锐角，所以D为假命题．故选：A. 【典型例题2】（多选）下列命题是真命题的是（    ） A．所有平行四边形的对角线互相平分 B．若是无理数，则一定是有理数 C．若，则关于的方程有两个负根 D．两个相似三角形的周长之比等于它们对应的边长之比 【答案】AD 【解析】对于A，所有平行四边形的对角线互相平分，所以A正确； 对于B，当时，是无理数，所以B错误； 对于C，由关于的方程有两个负根，得解得，所以C错误． 对于D，两个相似三角形的周长之比等于它们对应的边长之比，所以D正确．故选：AD 【典型例题3】下列命题:①相等的角是对顶角；②若，则；③若，则.其中假命题的个数是 . 【答案】3 【分析】根据对顶角的定义，实数的运算性质，以及集合间的运算与包含关系，逐项判定，即可求解. 【详解】对于①中，相等的角不一定是对顶角，所以①不正确； 对于②中，例如，满足，此时，所以②不正确； 对于③中，由，可得，所以③不正确， 所以假命题的个数为3个. 故答案为：3. 【典型例题4】判断下列命题的真假： (1)一个实数不是质数就是合数； (2)若或，则； (3)正方形既是矩形又是菱形； (4)若，则 【答案】(1)假命题(2)真命题(3)真命题(4)真命题 【分析】（1）举反例说明即可； （2）通过方程的根分析即可； （3）利用正方形的性质说明即可 （4）利用集合间的运算性质说明即可. 【详解】（1）1既不是质数也不是合数，故该命题为假命题. （2）当或时，代入中结果为0，故该命题为真命题； （3）正方形具有矩形和菱形的所有性质，故它既是矩形又是菱形， 故该命题为真命题； （4）由，故集合为集合的子集即， 故改命题为真命题； 【典型例题5】将下列命题改写为“若p，则q”的形式，并判断真假． (1)当a＞b时，有ac2＞bc2； (2)实数的平方是非负实数； (3)能被6整除的数既能被3整除也能被2整除． 【答案】(1)若a＞b，则ac2＞bc2，是假命题 (2)若一个数是实数，则它的平方是非负实数，是真命题 (3)若一个数能被6整除，则它既能被3整除也能被2整除，是真命题 【分析】（1）可以举反例证明； （2）实数的平方必为非负数； （3）由，即可判断. 【详解】（1）若a＞b，则ac2＞bc2，当，则该命题不成立，故为假命题； （2）若，则，该命题为真命题； （3）若一个数能被6整除，则它既能被3整除也能被2整除， 若一个数能被6整除，即6为该数的一个因数，由， 则也为该数的因数，故该命题正确. 【变式训练2-1】下列命题中真命题有（　　） ①是一元二次方程； ②函数的图象与x轴有一个交点； ③互相包含的两个集合相等； ④空集是任何集合的真子集． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】对于①，举反例即可判断；对于②，令，求解即可判断；对于③，根据包含关系即可判断；对于④，根据空集不是本身的真子集即可判断. 【详解】①中，当时，是一元一次方程，①错误； ②中，令，则，所以函数的图象与x轴有一个交点，②正确； ③中，互相包含的两个集合相等，③正确； ④中，空集不是本身的真子集，④错误． 故选：B 【变式训练2-2】下列命题： ①矩形既是平行四边形又是圆的内接四边形; ②菱形是圆的内接四边形且是圆的外切四边形; ③方程的判别式大于0; ④周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等; ⑤集合 是集合A的子集，且是的子集． 其中真命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据矩形以及菱形的性质即可判断①②，根据一元二次方程的判别式即可判断③，根据三角形全等的判断即可判断④，根据集合的关系即可判断⑤. 【详解】对于①，矩形是平行四边形，同时矩形有外接圆，故正确; 对于②，菱形不一定有外接圆，故错误， 对于③，方程的判别式为，故正确， 对于④，周长或者面积相等的三角形不一定全等，故错误， 对于⑤，,故正确; 故选：C． 【变式训练2-3】下列命题： ①矩形既是平行四边形又是圆的内接四边形; ②菱形是圆的内接四边形且是圆的外切四边形; ③方程的判别式大于0; ④周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等; ⑤集合 是集合A的子集，且是的子集． 其中真命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据矩形以及菱形的性质即可判断①②，根据一元二次方程的判别式即可判断③，根据三角形全等的判断即可判断④，根据集合的关系即可判断⑤. 【详解】对于①，矩形是平行四边形，同时矩形有外接圆，故正确; 对于②，菱形不一定有外接圆，故错误， 对于③，方程的判别式为，故正确， 对于④，周长或者面积相等的三角形不一定全等，故错误， 对于⑤，,故正确; 故选：C． 【变式训练2-4】下列命题中真命题有（　　） ①是一元二次方程； ②函数的图象与x轴有一个交点； ③互相包含的两个集合相等； ④空集是任何集合的真子集． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】对于①，举反例即可判断；对于②，令，求解即可判断；对于③，根据包含关系即可判断；对于④，根据空集不是本身的真子集即可判断. 【详解】①中，当时，是一元一次方程，①错误； ②中，令，则，所以函数的图象与x轴有一个交点，②正确； ③中，互相包含的两个集合相等，③正确； ④中，空集不是本身的真子集，④错误． 故选：B 【变式训练2-5】下列命题为假命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【解析】对选项A：若，则，正确； 对选项B：若，则，正确； 对选项C：若，则，正确； 对选项D：当时，恒成立，不能得到，错误；故选：D 【变式训练2-6】判断下列命题的真假，如果是假命题，请举出一个反例？ （1）若a2>b2,则a>b （2）同位角相等，两直线平行。 （3）一个角的余角小于这个角。 解析 （1）假命题。反例：a=−3,b=0（2）真命题。 （3）假命题。反例：∠A=20°，∠A的余角为70° 【变式训练2-7】判断命题“已知，若是奇数，则是奇数”是真命题还是假命题？___________. 【答案】真命题【详解】若为奇数，可设，则， 此时为奇数，合乎题意； 若为偶数，可设，则，此时为偶数，不合乎题意. 综上所述，已知，若是奇数，则是奇数，原命题为真命题.故答案为：真命题. 【变式训练2-8】已知实数，命题“若，则或”是________命题.（判断真假）(逆否) 【答案】真【详解】命题“若，则或”的逆否命题为“若且，则”， 明显命题“若且，则”为真命题，则其逆否命题也为真命题.故答案为：真. 【变式训练2-9】将下列命题改写为“若p，则q”的形式，并判断真假． (1)当a＞b时，有ac2＞bc2； (2)实数的平方是非负实数； (3)能被6整除的数既能被3整除也能被2整除． 【答案】(1)若a＞b，则ac2＞bc2，是假命题 (2)若一个数是实数，则它的平方是非负实数，是真命题 (3)若一个数能被6整除，则它既能被3整除也能被2整除，是真命题 【分析】（1）可以举反例证明； （2）实数的平方必为非负数； （3）由，即可判断. 【详解】（1）若a＞b，则ac2＞bc2，当，则该命题不成立，故为假命题； （2）若，则，该命题为真命题； （3）若一个数能被6整除，则它既能被3整除也能被2整除， 若一个数能被6整除，即6为该数的一个因数，由， 则也为该数的因数，故该命题正确. 【变式训练2-10】把下列命题改写成“若，则”的形式，并判断真假． (1)当时，无实根； (2)一个整数的个位数是0，这个数一定能被5整除也能被2整除． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）（2）首先利用命题的形式进行转换，进一步判定结果； 【详解】（1）当时，无实根，改为：若，则无实根． 由于，．故该命题为真命题． （2）一个整数的个位数是0，这个数一定能被5整除也能被2整除，改为：若一个整数的个位数是0，则这个数一定能被5整除，也能被2整除， 易知此命题为真命题． 【变式训练2-11】把下列命题改写成“若，则”的形式，并判断真假． (1)当时，无实根； (2)一个整数的个位数是0，这个数一定能被5整除也能被2整除． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）（2）首先利用命题的形式进行转换，进一步判定结果； 【详解】（1）当时，无实根，改为：若，则无实根． 由于，．故该命题为真命题． （2）一个整数的个位数是0，这个数一定能被5整除也能被2整除，改为：若一个整数的个位数是0，则这个数一定能被5整除，也能被2整除， 易知此命题为真命题． 题型03：根据命题的真假求参数（范围） 【典型例题】（多选）给出命题“方程有实数根”，则使该命题为真命题的a的一个值可以是（　　） A．4 B．2 C．0 D． 【答案】ABD 【分析】根据根的判别式求出的范围，在选项中选出符合条件的值即可. 【详解】因为方程有实数根，所以，解得或， 故当，，时符合条件. 故选：ABD. 【变式训练3-1】若命题甲“”和命题乙“或”中有且仅有一个是真命题，则实数x的取值范围是 . 【答案】 【分析】分甲命题为真乙命题为假和甲命题为假乙命题为真分类求解，最后再求并集即可. 【详解】若甲命题为真乙命题为假，则，可得，即； 若甲命题为假乙命题为真，则，可得或，即； 综上所述，实数x的取值范围是. 故答案为： 【变式训练3-2】若命题“方程ax2＋bx＋1＝0有实数解”为真命题，则a，b满足的条件是 ． 【答案】或 【分析】分和两种情况，然后根据一元一次方程、一元二次方程有根的条件求解即可． 【详解】①当时，方程为，只有当时，方程才有实数解； ②当时，方程为一元二次方程，方程有实数解的条件为． 综上可得当或时，方程有实数解． 故答案为：或 题型04：全称（存在）量词命题的判断 【典型例题1】下列语句不是存在量词命题的是　(　　) A．有的无理数的平方是有理数 B．有的无理数的平方不是有理数 C．对于任意x∈Z,2x＋1是奇数 D．存在x∈R,2x＋1是奇数 答案　C 解析　因为“有的”“存在”为存在量词，“任意”为全称量词，所以选项A，B，D均为存在量词命题，选项C为全称量词命题． 【典型例题2】（多选）下列语句是存在量词命题的是（    ） A．有的无理数的平方是有理数 B．有的无理数的平方不是有理数 C．对于任意是奇数 D．存在是奇数 【答案】ABD 【分析】根据存在量词和全称量词即可 【详解】因为“有的”“存在”为存在量词，“任意”为全称量词，所以选项A、B、D均为存在量词命题，选项C为全称量词命题． 故选：ABD 【典型例题3】（多选）下列命题中是存在量词命题的是（    ） A．有些自然数是13的约数 B．正方形是菱形 C．能被6整除的数也能被3整除 D．存在，使得 【答案】AD 【解析】对选项A，有些自然数是13的约数，“有些”是存在量词，故A正确. 对选项B，正方形是菱形表示：所有正方形是菱形，是全称命题，故B错误. 对选项C，能被6整除的数也能被3整除表示： 一切能被6整除的数也能被3整除，是全称命题，故C错误. 对选项D，存在，使得，“存在”是存在量词，故D正确.故选：AD 【典型例题4】判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题. (1)凸多边形的外角和等于； (2)矩形的对角线不相等； (3)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直； (4)有些实数a，b能使； (5)方程有整数解. 【答案】(1)全称量词命题(2)全称量词命题(3)全称量词命题(4)存在量词命题(5)存在量词命题 【分析】由已知结合全称量词命题及存在量词命题的定义分别检验各命题． 【详解】（1）命题可以改写为：所有的凸多边形的外角和等于，故为全称量词命题． （2）命题可以改写为：所有矩形的对角线不相等，故为全称量词命题． （3）若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称量词命题 （4）含存在量词“有些”，故为存在量词命题． （5）命题可以改写为：存在一对整数x，y，使成立．故为存在量词命题． 【变式训练4-1】给出下列几个命题： ①至少有一个x，使x2＋2x＋1＝0成立； ②对任意的x，都有x2＋2x＋1＝0成立； ③对任意的x，都有x2＋2x＋1＝0不成立； ④存在x，使x2＋2x＋1＝0成立． 其中是全称量词命题的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．0 答案　B 解析　因为“至少有一个”、“存在”是存在量词，“任意的”为全称量词，所以①④为存在量词命题，②③为全称量词命题，所以全称量词命题的个数为2. 【变式训练4-2】下列命题是全称量词命题的是（    ） A．有些实数是无理数 B．至少有一个整数，使得是质数 C．每个三角形的内角和都是 D．，使得 【答案】C 【解析】对于A，可将命题改写为：，使得为无理数，则命题为存在命题，A错误； 对于B，可将命题改写为：，使得为质数，则命题为存在命题，B错误； 对于C，可将命题改写为：中，，则命题为全称命题，C正确； 对于D，命题包含存在量词，则其为存在命题，D错误.故选：C 【变式训练4-3】已知命题：①任何实数的平方都是非负数；②有些三角形的三个内角都是锐角；③每一个实数都有相反数；④所有数与0相乘，都等于0.其中，其中含存在量词的命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】①任何实数的平方都是非负数，含全称量词“任何”，不符； ②有些三角形的三个内角都是锐角，含存在量词“有些”，符合； ③每一个实数都有相反数，含全称量词“每一个”，不符； ④所有数与0相乘，都等于0，含全称量词“所有”，不符；故选：A 【变式训练4-4】下列命题中全称量词命题的个数为(　　) ①平行四边形的对角线互相平分； ②梯形有两边平行； ③存在一个菱形，它的四条边不相等． A．0 B．1 C．2 D．3 答案　C 解析　①②是全称量词命题，③是存在量词命题． 【变式训练4-5】下列命题中，不是全称量词命题的是（    ） A．任何一个实数乘以0都等于0 B．自然数都是正整数 C．实数都可以写成小数形式 D．一定存在没有最大值的二次函数 【答案】D 【解析】A选项中，“任何”是全称量词，它是全称量词命题； B选项中，意思是所有的自然数都是正整数，它是全称量词命题； C选项中，“都”是全称量词，它是全称量词命题； D选项中，“存在”是存在量词，它是存在量词命题.故选：D. 【变式训练4-6】下列命题中，含有存在量词的是（ ） A．存在一个平行四边形是矩形 B．所有正方形都是平行四边形 C．一切三角形的内角和都等于 D．任意两个等边三角形都相似 【答案】A 【解析】A选项，存在一个平行四边形是矩形含有存在量词； BCD选项，含有全称量词，不含存在量词.故选：A. 【变式训练4-7】给出下列命题：①正方形的四条边相等；②至少有一个正整数是偶数；③正数的平方根不等于0；④有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形．其中是全称量词命题的是 ，是存在量词命题的是 （填序号）. 【答案】 ①③④ ② 【分析】根据全称命题与存在性命题的概念，逐项判定，即可求解. 【详解】根据全称命题与存在性命题的定义，可得： ①中，正方形的四条边相等为全称命题； ②中，至少有一个正整数是偶数为存在性命题； ③中，正数的平方根不等于0为全称命题； ④中，有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形为全称命题， 其中是全称量词命题的是①③④，是存在量词命题的是②. 故答案为：①③④；②. 【变式训练4-8】下列结论中正确的个数是（    ） ①命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题； ②命题“，”是全称量词命题； ③命题“，”是真命题； ④命题“有一个偶数是素数”是真命题. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】①命题是全称量词命题；②命题是全称量词命题；③④，通过举例得到命题是真命题. 【详解】①命题“所有的四边形都是矩形”是全称量词命题，不是存在量词命题，所以该命题是假命题； ②命题“，”是全称量词命题，所以该命题是真命题； ③命题，，如，所以该命题是真命题； ④命题“有一个偶数是素数”是真命题，如2，所以该命题是真命题. 故选：D 【变式训练4-9】下列命题是存在量词命题的是（    ） A．一次函数的图象都是上升的或下降的 B．对任意x∈R，x2＋x＋1<0 C．存在实数大于或者等于3 D．菱形的对角线互相垂直 【答案】C 【解析】选项A，B，D中的命题都是全称量词命题，选项C中的命题是存在量词命题．故选：C 【变式训练4-10】下列命题: (1)今天有人请假. (2)中国所有的江河都流入太平洋. (3)中国公民都有受教育的权利. (4)每一个中学生都要接受爱国主义教育. (5)有人既能写小说,也能搞发明创造. (6)任何一个数除0都等于0. 其中是全称量词命题的个数是 (　　) A.1 B.2 C.3 D.不少于4个 答案 D 解析 (2)(3)(4)(6)都含有全称量词. 【变式训练4-11】指出下列命题中的全称量词或存在量词，并用量词符号“”或“”表示下列命题． (1)所有实数都能使成立； (2)对所有实数，，方程恰有一个解； (3)存在整数，，使得成立； (4)存在实数，使得与的倒数之和等于1． 【答案】(1)“所有”是全称量词；， (2)“所有”是全称量词；，，方程恰有一个解 (3)“存在”是存在量词；，， (4)“存在”是存在量词；， 【分析】利用全称量词，存在量词的定义与全称命题与特称命题的定义求解即可 （1）“所有”是全称量词；，； （2）“所有”是全称量词；，，方程恰有一个解； （3）“存在”是存在量词；，，； （4）“存在”是存在量词；，． 题型05：全称（存在）量词命题的真假判断 一：全称命题及其真假的判断 【典型例题】判断下列命题是不是全称量词命题，如果是，指出其中的全称量词： (1)每一个多边形的外角和都是； (2)所有的素数都是奇数； (3)对任意的无理数x，也是无理数； (4)，x都有平方根； (5)，有． 【答案】(1)是，“每一个”(2)是，“所有”(3)是，“任意”(4)是，“”(5)是，“” 【分析】根据全称量词命题的判断即可. 【详解】（1）命题中含有全称量词“每一个”，故是全称量词命题． （2）命题中含有存在量词“所有”，是全称量词命题． （3）命题中含有全称量词“任意”，是全称量词命题． （4）命题中含有全称量词“”，是全称量词命题． （5）命题中含有全称量词“”，是全称量词命题． 【变式训练5-1-1】下列命题是全称量词命题，且是真命题的是（    ） A．所有的素数都是奇数 B．， C．有一个实数，使 D．有些平行四边形是菱形 【答案】B 【分析】根据全称量词命题的定义即可知选项CD不合题意，再判断出命题真假即可得出结论. 【详解】对于A，“所有的素数都是奇数”是全称量词命题，但是假命题， 例如2是素数，但2是偶数，所以A错误； 对于B，易知“，”是全称量词命题， 且由可得，所以是真命题，即B正确； 对于C，“有一个实数，使”是存在量词命题，不合题意； 对于D，“有些平行四边形是菱形”是存在量词命题，不合题意； 故选：B 【变式训练5-1-2】（多选）下列命题是全称量词命题的是（    ） A．， B．存在一个菱形是正方形 C．每个命题都可以判断真假 D．所有等边三角形的三条高都相等 【答案】ACD 【分析】根据全称量词及存在性量词的概念求解. 【详解】根据全称量词命题的概念，选项ACD都是全称量词命题，选项B是存在量词命题. 故选：ACD 【变式训练5-1-3】（多选）下列命题中全称量词命题的有（    ） ①平行四边形的对角线互相平分；②梯形有两边平行； ③存在一个菱形，它的四条边不相等；④有些不相似的三角形面积相等. A．① B．② C．③ D．④ 【答案】AB 【分析】根据各命题的描述，结合全称、特称命题的特征词判断是否为全称量词命题. 【详解】①可改写为任意平行四边形的对角线互相平分，是全称命题； ②可改写为任意梯形有两边平行，是全称命题； ③④含“存在”、“有些”表示特称命题的特征词，是特称命题. 故选：AB 二：存在量词（特称）命题及其真假的判断 【典型例题】下列命题中的假命题是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用全称量词命题与存在量词命题真假性的判断即可得解. 【详解】对于A，当时，，为真命题，故A错误； 对于B，因为，所以，则，为真命题，故B错误； 对于C，当时，，为假命题，故C正确； 对于D，由，得，为真命题，故D错误. 故选：C. 【变式训练5-2-1】下列命题中是全称量词命题且真命题的是（    ） A．所有的素数都是奇数 B．有些梯形是等腰梯形 C．平行四边形的对角线互相平分 D．， 【答案】C 【分析】根据全称量词命题和存在量词命题的概念，以及真假判定方法，逐项判定，即可求解. 【详解】A中，因为是素数，不是奇数，命题所有的素数都是奇数是全称量词命题且是假命题； B中，该命题是存在量词命题且是真命题； C中，根据平行四边形的性质，可得该命题是全称量词命题且是真命题； D中，该命题是存在量词命题且是假命题. 故选：C. 【变式训练5-2-2】（多选）下列命题中正确的是（ ） A．， B．至少有一个整数，它既不是合数也不是质数 C．是无理数，是无理数 D．存在，使得 【答案】ABC 【分析】利用存在量词命题、全称量词命题的真假判断方法逐项判断即得. 【详解】对于A，，，如，A正确； 对于B，至少有一个整数，它既不是合数也不是质数，例如数1满足条件，B正确； 对于C，是无理数，是无理数，如，C正确； 对于D，恒成立，即不存在，使得成立，D错误. 故选：ABC 【变式训练5-2-3】，使是存在量词命题，且是真命题.( )（填正确或错误） 【答案】错误 【分析】由存在量词定义及恒成立，即可判断. 【详解】由已知，原命题为存在量词命题，但恒成立，故为假命题. 故答案为：错误 三：全称量词，存在量词（特称）命题及其真假的判断 【典型例题1】下列命题中，是全称量词命题，且为真命题的是（    ） A． B．菱形的两条对角线相等 C． D．一次函数的图象是直线 【答案】D 【分析】根据全称量词命题的特征,以及真命题即可结合选项求解. 【详解】对于A，为全称量词命题，但是，故是假命题，故A错误， 对于B，是全称量词命题，但是菱形的对角线不一定相等，故B错误， 对于C,是存在量词命题,故C错误， 对于D,既是全称量词命题也是真命题,故D正确， 故选：D 【典型例题2】下列命题中是真命题的是 (　　) A.∃x∈R,x2+1<0 B.∃x∈Z,3x+1是整数 C.∀x∈R,|x|>3 D.∀x∈Q,x2∈Z 答案 选B. A是假命题.因为∀x∈R,x2+1≥1; B是真命题.当x=1时,3x+1=4是整数; C是假命题.如x=2,|x|<3; D是假命题.如x=,x2∉Z. 【典型例题3】（多选）在下列命题中，真命题有（ ） A． B．是有理数 C．，使 D．， 【答案】BC 【解析】对于A，，，A是假命题； 对于B，因为有理数的四则运算（除数不为0）结果仍为有理数， 因此一定是有理数，B是真命题； 对于C，时，成立，C是真命题； 对于D，当时，，D是假命题．故选：BC 【典型例题4】判断下列全称（存在量词）命题的真假： (1)，； (2)有些偶数能被整除； (3)所有的对角线互相垂直的四边形是菱形； (4)有些三角形是锐角三角形. 【答案】(1)假命题；(2)真命题；(3)假命题；(4)真命题 【解析】（1）由题知，为全称量词命题，当时，，故此命题为假命题. （2）由有些偶数能被整除为存在量词命题，如为偶数也能被整除，故此命题为真命题. （3）所有的对角线互相垂直的四边形是菱形为全称量词命题， 但存在四边形边长不相等但对角线垂直的四边形，故此命题为假命题. （4）有些三角形是锐角三角形为存在量词命题， 三角形分为锐角三角形，钝角三角形，直角三角形，故此命题为真命题. 【变式训练5-3-1】下列命题的否定是真命题的是（    ） A． B．菱形都是平行四边形 C．，一元二次方程没有实数根 D．平面四边形，其内角和等于360° 【答案】C 【分析】对A，特称命题的否定为全称命题，由，计算即可判断真假；对B，全称命题的否定为特称命题，再由菱形与平行四边形的关系即可判断真假；对C，全称命题的否定为特称命题，再由判别式的符号即可判断真假；对D，由四边形的内角和计算即可判断原命题为真，特称命题的否定为全称命题为假命题． 【详解】对于A，，，其否定为：，， 由时，，则原命题为真命题，其否定为假命题，故A不正确； 对于B，每个菱形都是平行四边形，其否定为：存在一个菱形不是平行四边形， 原命题为真命题，其否定为假命题，故B不正确； 对于C，，一元二次方程没有实根， 其否定为：，一元二次方程有实根， 由，可得原命题为假命题，命题的否定为真命题，故C正确； 对于D，平面四边形，其内角和等于360°为真命题，命题的否定为假命题，故D不正确； 故选：C. 【变式训练5-3-2】命题，一元二次方程有实根，则对命题的真假判断和正确的为（    ） A．真命题，，一元二次方程无实根 B．假命题，，一元二次方程无实根 C．真命题，，一元二次方程有实根 D．假命题，，一元二次方程有实根 【答案】A 【分析】利用判别式判断根的情况，进而判断命题真假，并写出否命题即可. 【详解】在一元二次方程中恒成立，故对任意，方程都有实根， 故命题为真命题，，一元二次方程无实根. 故选：A 【变式训练5-3-4】下列命题中是真命题的为（ ） A．，使 B．， C．， D．，使 【答案】B 【分析】对于A，通过解不等式判断，对于B，由一个数的平方非负判断，对于C，举例判断，对于D，解方程判断. 【详解】对于A，由，得，所以不存在自然数使成立，所以A错误， 对于B，因为时，，所以，所以B正确， 对于C，当时，，所以C错误， 对于D，由，得，所以D错误， 故选：B 【变式训练5-3-5】下列命题中，是全称量词命题，且为真命题的是（    ） A． B．菱形的两条对角线相等 C． D．一次函数的图象是直线 【答案】D 【分析】根据全称量词命题的特征,以及真命题即可结合选项求解. 【详解】对于A，为全称量词命题，但是，故是假命题，故A错误， 对于B，是全称量词命题，但是菱形的对角线不一定相等，故B错误， 对于C,是存在量词命题,故C错误， 对于D,既是全称量词命题也是真命题,故D正确， 故选：D 【变式训练5-3-6】（多选）下列命题中，是全称量词命题且是真命题的是（    ） A．任何一个实数乘以0都等于0 B．自然数都是正整数 C．实数都可以写成小数形式 D．一定存在没有最大值的二次函数 【答案】AC 【分析】逐项判断各个命题是否为全称命题，是否为真命题. 【详解】A选项中，“任何”是全称量词，它是全称量词命题，且为真命题； B选项中，“都”是全称量词，它是全称量词命题，由于0是自然数，不是正整数，故该命题是假命题； C选项中，“都”是全称量词，它是全称量词命题，且为真命题； D选项中，“存在”是存在量词，它是存在量词命题． 故选：AC． 【变式训练5-3-7】（多选）下列命题是真命题的有（    ） A． B．所有的正方形都是矩形 C． D．至少有一个实数x，使 【答案】ABD 【解析】对于A，，，正确； 对于B，所有的正方形都是矩形，正确； 对于C，，，错误； 对于D，因为，所以，即有两个实数x，使，正确.故选：ABD 【变式训练5-3-8】（多选）下列命题中为真命题的有（    ） A．所有的素数都是奇数. B．的个位数字不等于2. C．两个三角形相似的一个充要条件为三边成比例. D．存在一个无理数，它的立方是有理数. 【答案】BCD 【解析】对于A：2也是素数，但2不是奇数，所以A错误； 对于B：，则的末位数只能是0，1，4，5，6，9，所以B正确； 对于C：“两个三角形相似”，则三边成比例，“若三角形的三边成比例”， 则这两个三角形是相似三角形，所以C正确； 对于D：当时，为无理数，则为有理数， 所以存在一个无理数，他的立方是有理数，所以D正确，故选：BCD 【变式训练5-3-9】（多选）下列命题正确的是（ ） A．， B．， C．，是有理数 D．， 【答案】AD 【解析】对于A，当时，，A正确； 对于B，若，则，B错误； 对于C，若，则依然为无理数，C错误； 对于D，当，即，时，成立，D正确.故选：AD. 【变式训练5-3-10】（多选）下列命题中，是全称量词命题且是真命题的是（    ） A．任何一个实数乘以0都等于0 B．自然数都是正整数 C．实数都可以写成小数形式 D．一定存在没有最大值的二次函数 【答案】AC 【分析】逐项判断各个命题是否为全称命题，是否为真命题. 【详解】A选项中，“任何”是全称量词，它是全称量词命题，且为真命题； B选项中，“都”是全称量词，它是全称量词命题，由于0是自然数，不是正整数，故该命题是假命题； C选项中，“都”是全称量词，它是全称量词命题，且为真命题； D选项中，“存在”是存在量词，它是存在量词命题． 故选：AC． 【变式训练5-3-11】（多选）下列三个命题中，真命题的个数是 个 ①，②，③为方程的根 【答案】2 【解析】对于①，因为，故①正确； 对于②，当时，，故②错误， 对于③，是方程的根，且，故③正确， 所以真命题的个数是2个， 故答案为：2 得，故不正确；故选：D. 【变式训练5-3-12】（多选）判断下列命题的真假 (1)梯形的对角线相等； (2)有些菱形是正方形； (3)至少有一个整数n，n2＋1是4的倍数． 答案 (1)假：省略了全称量词，如直角梯形的对角线不相等． (2)真：正方形是菱形的特例． (3)假：不存在n，使n2＋1是4的倍数． 【变式训练5-3-13】（多选）判断下列命题的真假． (1)∃x∈Z，x3<1； (2)存在一个四边形不是平行四边形； (3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P； (4)∀x∈N，x2>0. 解　(1)因为－1∈Z，且(－1)3＝－1<1， 所以“∃x∈Z，x3<1”是真命题． (2)真命题，如梯形． (3)由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，它是真命题． (4)因为0∈N,02＝0，所以命题“∀x∈N，x2>0”是假命题． 【变式训练5-3-14】（多选）下列命题:①偶数都可以被2整除;②角平分线上的任一点到这个角的两边的距离相等;③任何一个实数乘以0都等于0;④有的实数是无限不循环小数;⑤有的菱形是正方形;⑥存在三角形其内角和大于180°. 既是全称量词命题又是真命题的是________,既是存在量词命题又是真命题的是________(填上所有满足要求的序号).  答案:①②③　④⑤ 解析 ①是全称量词命题,是真命题;②是全称量词命题,是真命题;③是全称量词命题,是真命题;④含存在量词“有的”,是存在量词命题,是真命题;⑤是存在量词命题,是真命题;⑥是存在量词命题,是假命题,因为任意三角形内角和为180°. 【变式训练5-3-15】（多选）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假. (1)至少有一个整数，它既能被11整除，又能被9整除; (2)线段的长度都能用正有理数表示; (3)，. 【答案】(1)存在量词命题，真命题 (2)全称量词命题，假命题 (3)存在量词命题，真命题 【分析】含有全称量词的命题为全称题词命题，含有存在量词的命题为存在量词命题，并举例判断命题的真假. 【详解】（1）含有量词“至少”，故它是存在量词命题，99既能被11整除，又能被9整除，故此命题为真命题. （2）“线段的长度都能用正有理数表示”为全称量词命题，它是假命题，如线段的长度也可以是. （3）“，.”含有存在量词，故它是存在量词命题，当时命题成立，故此命题为真命题. 题型06：根据全称量词命题、存在量词命题的真假求参数 【典型例题1】已知为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二次方程判别式与存在量词命题的真假性即可得解. 【详解】因为为真命题， 所以，解得. 故选：A. 【典型例题2】若命题“”为真命题，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据全称命题的定义和性质结合不等式进行求解即可. 【详解】命题“”为真命题， 则有判别式，解得. 故答案为：. 【典型例题3】已知集合，，且.若命题p：“，”是真命题，求m的取值范围； 【答案】 【分析】首先判断出，对列不等式计算求解可得的取值范围. 【详解】由于命题：“，”是真命题， 所以， ，则 解得 综上的取值范围是. 【典型例题4】已知集合，，且. (1)若命题p：“，”是真命题，求m的取值范围； (2)若命题q：“，”是真命题，求m的取值范围． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据命题p为真命题，得到，从而得到不等式组，求出m的取值范围； （2）根据命题q为真命题，得到，从而得到不等式组，求出m的取值范围. 【详解】（1）命题p：“，”是真命题，故， 所以，解得， 故m的取值范围是. （2）由于命题q为真命题，则， 因为，所以，所以, 当时，一定有， 要想满足，则要满足，解得， 故时，， 故m的取值范围为. 【典型例题5】已知命题p：方程有两个不等的负实根，命题q：方程无实根．若命题p，q一个为真命题，一个为假命题时，求实数m的取值范围． 【答案】 【解析】由命题方程有两个不等的负实根，可得，解得； 命题方程无实根， 可得，解得， 当p真q假时，可得，解得； 当p假q真时，可得，解得， 综上可得，实数的取值范围. 【变式训练6-1】若命题“，”是假命题，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】写出命题的否定，该命题为真命题，根据二次不等式恒成立得出，求解即可得出答案. 【详解】命题“，”的否定为：“，”， 该命题为真命题. 所以，应有，所以. 故选：A. 【变式训练6-2】若命题“，”为真命题，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用分离参数法求解，把参数分离出来求解的最大值即可. 【详解】由已知，，则 ，即， 所以的取值范围是. 故选：C. 【变式训练6-3】已知命题：∃，；命题：∀，.若、都为假命题，则实数的取值范围是(　　) A．[1，＋∞) B．(－∞，－1] C．(－∞，－2] D．[－1,1] 【答案】A 【详解】p，q都是假命题．由p：∃，为假命题， 得∀，，∴. 由q：∀，为假，得∃， ∴，得或. ∴.故选A. 【变式训练6-4】若命题“，”是假命题，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】写出命题的否定，该命题为真命题，根据二次不等式恒成立得出，求解即可得出答案. 【详解】命题“，”的否定为：“，”， 该命题为真命题. 所以，应有，所以.故选：A. 【变式训练6-5】已知命题：∃，；命题：∀，.若、都为假命题，则实数的取值范围是(　　) A．[1，＋∞) B．(－∞，－1] C．(－∞，－2] D．[－1,1] 【答案】A 【详解】p，q都是假命题．由p：∃，为假命题， 得∀，，∴. 由q：∀，为假，得∃， ∴，得或.∴.故选A. 【变式训练6-6】若命题“，使得”是真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可知=“，使得”成立，即方程有实数解， 所以.故选：D 【变式训练6-7】若命题“，”为真命题，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用分离参数法求解，把参数分离出来求解的最大值即可. 【详解】由已知，，则 ，即， 所以的取值范围是.故选：C. 【变式训练6-8】已知命题”的否定为真命题，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】问题等价于有解，即或，解得答案. 【详解】已知问题等价于有解，即或，解得.故答案为： 【变式训练6-9】已知命题，命题，若命题p和都是真命题，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先根据命题的真假求出的范围，取交集可得答案. 【详解】当为真时，； 当为真时，，即； 因为命题p和都是真命题，所以且或. 故答案为：. 【变式训练6-10】若“，”是假命题，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】求出方程的解，即可判断. 【详解】由，解得或， 又“，”是假命题，所以. 故答案为： 【变式训练6-11】“”是真命题，则m的范围是 【答案】 【解析】对于命题：对任意，不等式恒成立， 而，有， ∴，∴命题为真时，实数m的取值范围是. 故答案为: 【变式训练6-12】若命题“”为真命题，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据全称命题的定义和性质结合不等式进行求解即可. 【详解】命题“”为真命题， 则有判别式，解得. 故答案为：. 【变式训练6-13】设全集，集合，集合，其中.若命题“”是真命题，求的取值范围. 【答案】 【分析】由题意可得，进而建立不等式组解得答案. 【详解】因为是真命题，所以, 即，解得故的取值范围为. 【变式训练6-14】已知集合，，且. (1)若命题p：“，”是真命题，求m的取值范围； (2)若命题q：“，”是真命题，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据命题p为真命题，得到，从而得到不等式组，求出m的取值范围； （2）根据命题q为真命题，得到，从而得到不等式组，求出m的取值范围. 【详解】（1）命题p：“，”是真命题，故， 所以，解得， 故m的取值范围是. （2）由于命题q为真命题，则， 因为，所以，所以, 当时，一定有， 要想满足，则要满足，解得， 故时，， 故m的取值范围为. 【变式训练6-15】（1）“，使得方程有两个不同的实数解”是真命题，求集合A. （2）若命题“， ”为真命题，求实数a的最小值. 【答案】（1）且；（2） 【分析】（1）讨论二次项系数是否为0，并结合判别式大于0求解； （2）分离参数即可求解. 【详解】（1）方程有两个不同的实数解， 则当为唯一解，不合题意舍去； 所以且，解得且， 故集合且 （2）命题“， ”为真命题， 则对恒成立，即， 故实数a的最小值为2. 【变式训练6-16】已知集合，，且． (1)若是真命题，求实数的取值范围； (2)若是真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意可得，即可得到不等式组，解得即可； （2）由求出的取值范围，依题意可得，求出时参数的取范围，即可得解. 【详解】（1）由于是真命题，所以． 而，所以，解得，故的取值范围为． （2）因为，所以，解得． 由为真命题，得， 当时，或，解得． 因为，所以当时，； 所以当时，．故的取值范围为． 【变式训练6-17】已知集合，，且.若命题p：“，”是真命题，求m的取值范围； 【答案】 【分析】首先判断出，对列不等式计算求解可得的取值范围. 【详解】由于命题：“，”是真命题， 所以， ，则 解得 综上的取值范围是. 【变式训练6-18】设全集，集合，集合，其中.若命题“”是真命题，求的取值范围. 【答案】 【分析】由题意可得，进而建立不等式组解得答案. 【详解】因为是真命题，所以, 即，解得 故的取值范围为. 【变式训练6-19】是否存在整数m，使得命题“”是真命题？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由. 【答案】存在，，理由见解析 【解析】假设存在整数m，使得命题“”是真命题． 当时，， ，解得． 又m为整数，． 故存在整数，使得命题“”是真命题． 题型07：含有全称量词存在量词命题的否定 一：全称命题的否定及其真假的判断 【典型例题1】写出下列命题的否定，并判定真假． (1)所有的矩形都是平行四边形； (2)有些实数的绝对值是正数； (3)某些平行四边形是菱形. 【答案】见解析. 【解析】分析：首先弄清楚是全称命题还是特称命题，再针对不同的形式从量词和结论两个方面加以否定． (1)存在一个矩形不是平行四边形．假命题． (2)所有实数的绝对值都不是正数．假命题． (3)每一个平行四边形都不是菱形．假命题． 【典型例题2】命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全称命题的否定，可得答案. 【详解】由全称命题的否定知原命题的否定为． 故选：C． 【典型例题3】命题“，是无理数”的否定是（    ） A．，不是无理数 B．，是无理数 C．，不是无理数 D．，是无理数 【答案】A 【解析】命题“，是无理数”为全称量词命题， 该命题的否定为“，不是无理数”.故选：A. 【变式训练7-1-1】命题“分数都是有理数”的否定是（    ） A．所有的分数都是有理数 B．所有的分数都不是有理数 C．存在一个分数不是有理数 D．存在一个分数是有理数 【答案】C 【分析】全称量词命题的否定是存在量词命题，把任意改为存在，把结论否定. 【详解】命题“分数都是有理数”的否定是“存在一个分数不是有理数”.故选：C ”的否定为“”.故选：B. 【变式训练7-1-2】命题的否定为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据全称命题的否定是特称命题，结合命题，直接求解即可. 【详解】命题的否定为：. 故选：A. 【变式训练7-1-3】命题“”的否定为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据全称命题的否定是特称命题得出答案. 【详解】因为全称命题的否定是特称命题， 所以命题“ 【变式训练7-1-4】命题“，有”的否定是（   ） A．，使得 B．，有 C．，使得 D．，有 【答案】C 【解析】因为命题“，有”是全称量词命题， 所以其否定是存在量词命题，即“，使得”.故选：C. 【变式训练7-1-5】命题“，”的否定为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】由全称量词命题的否定是存在量词命题， 可知命题，的否定为，．故选：D 【变式训练7-1-6】已知命题，总有，则为（    ） A．，使得 B．，使得 C．，总有 D．，总有 【答案】B 【分析】据全称命题的否定为特称命题可写出命题p的否定． 【详解】根据全称命题的否定为特称命题可知，则为，使得. 故选：B． 【变式训练7-1-7】命题“”的否定是（    ） A． B． C． D．，有 【答案】B 【解析】易知命题“”的否定是.故选：B 【变式训练7-1-8】命题“，使得”的否定形式是（    ） A．，使得 B．都有 C．，使得 D．，都有 【答案】D 【分析】根据全称命题的否定是特称命题，即可求解. 【详解】“，使得”是全称命题，全称命题的否定是特称命题 故否定形式是，都有.故选：D 二．存在性命题的否定及其真假的判断 【典型例题1】命题“”的否定是 ． 【答案】 【分析】根据特称命题的否定形式求解即可． 【详解】命题“”的否定是：“”． 故答案为：． 【典型例题2】命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】因为命题“，”为存在量词命题， 所以其否定为“，”．故选：B． 【典型例题3】命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】命题“，”的否定， 即把存在变为任意，然后否定结论，即，.故选：D 【变式训练7-2-1】已知命题，则是 . 【答案】. 【分析】对原命题“改写量词，否定结论”即可求得结果. 【详解】命题，故是：. 故答案为：. 【变式训练7-2-2】命题“存在一个四边形，它的两条对角线互相垂直”的否定是（    ） A．存在一个四边形，它的两条对角线不互相垂直 B．任意一个四边形，它的两条对角线互相垂直 C．任意一个四边形，它的两条对角线不互相垂直 D．有些四边形，它们的两条对角线不互相垂直 【答案】C 【分析】根据特称命题的否定分析判断. 【详解】由题意可知：“存在一个四边形，它的两条对角线互相垂直”的否定是“任意一个四边形，它的两条对角线不互相垂直”. 故选：C. 【变式训练7-2-3】命题“”的否定是 . 【答案】 【分析】存在量词命题的否定是全称量词命题. 【详解】命题“”的否定是. 故答案为： 【变式训练7-2-4】命题“”的否定是 【答案】 【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得结果. 【详解】因为特称命题的否定是全称命题， 所以命题“”的否定为“” ， 故答案为：. 【变式训练7-2-5】已知命题：，则是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】命题：为特称量词命题， 则是.故选：B 【变式训练7-2-6】命题“，使得”的否定为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意得：命题：，使得的否定为： ，，故A项正确.故选：A. 【变式训练7-2-7】命题“，”的否定为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据特称命题的否定为全称命题，即可求解. 【详解】由题意得，“，”的否定为，,故选：B 三．全称存在量词的否定 【典型例题1】已知命题p：，；命题q：，，则（    ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】B 【分析】对于两个命题而言，可分别取、，再结合命题及其否定的真假性相反即可得解. 【详解】对于而言，取，则有，故是假命题，是真命题， 对于而言，取，则有，故是真命题，是假命题， 综上，和都是真命题.故选：B. 【典型例题2】若命题：梯形是四边形，则（    ） A．是全称量词命题，且的否定：有些梯形不是四边形 B．是全称量词命题，且的否定：所有的梯形不是四边形 C．是存在量词命题，且的否定：有些梯形不是四边形 D．是存在量词命题，且的否定：所有的梯形不是四边形 【答案】A 【分析】根据全称命题的否定是特称命题得答案. 【详解】是全称量词命题，且的否定：有些梯形不是四边形. 故选：A. 【典型例题3】写出下列命题的否定． (1)若x2＞4，则x＞2. (2)若m≥0，则x2＋x－m＝0有实数根． (3)可以被5整除的整数，末位是0. (4)被8整除的数能被4整除． (5)若一个四边形是正方形，则它的四条边相等． 答案 (1)否定：存在实数x0，虽然满足x＞4，但x0≤2.或者说：存在小于或等于2的数x0，满足x＞4.(原意表达为对任意的实数x，若x2＞4则x＞2) (2)否定：虽然实数m≥0，但存在一个x0，使x＋x0－m＝0无实数根．(原意表达：对任意实数m，若m≥0，则x2＋x－m＝0有实数根．) (3)否定：存在一个可以被5整除的整数，其末位不是0. (4)否定：存在一个数能被8整除，但不能被4整除．(原意表达为所有能被8整除的数都能被4整除) (5)否定：存在一个四边形，虽然它是正方形，但四条边中至少有两条不相等．(原意表达为无论哪个四边形，若它是正方形，则它的四条边中任何两条都相等．) 【变式训练7-3-1】下列命题的否定是真命题的是（    ） A． B．菱形都是平行四边形 C．，一元二次方程没有实数根 D．平面四边形，其内角和等于360° 【答案】C 【分析】对A，特称命题的否定为全称命题，由，计算即可判断真假；对B，全称命题的否定为特称命题，再由菱形与平行四边形的关系即可判断真假；对C，全称命题的否定为特称命题，再由判别式的符号即可判断真假；对D，由四边形的内角和计算即可判断原命题为真，特称命题的否定为全称命题为假命题． 【详解】对于A，，，其否定为：，， 由时，，则原命题为真命题，其否定为假命题，故A不正确； 对于B，每个菱形都是平行四边形，其否定为：存在一个菱形不是平行四边形， 原命题为真命题，其否定为假命题，故B不正确； 对于C，，一元二次方程没有实根， 其否定为：，一元二次方程有实根， 由，可得原命题为假命题，命题的否定为真命题，故C正确； 对于D，平面四边形，其内角和等于360°为真命题，命题的否定为假命题，故D不正确； 故选：C. 【变式训练7-3-2】命题，一元二次方程有实根，则对命题的真假判断和正确的为（    ） A．真命题，，一元二次方程无实根 B．假命题，，一元二次方程无实根 C．真命题，，一元二次方程有实根 D．假命题，，一元二次方程有实根 【答案】A 【分析】利用判别式判断根的情况，进而判断命题真假，并写出否命题即可. 【详解】在一元二次方程中恒成立，故对任意，方程都有实根， 故命题为真命题，，一元二次方程无实根. 故选：A【答案】A 【分析】根据全称命题的否定是特称命题得答案. 【详解】是全称量词命题，且的否定：有些梯形不是四边形.故选：A. 【变式训练7-3-3】写出下列命题的否定，并判断其否定的真假： (1)p：不论m取何实数，方程x2＋mx－1＝0必有实根； (2)p：∀x∈N,2x>0. 解　(1)p：存在一个实数m，使方程x2＋mx－1＝0没有实数根．因为该方程的判别式Δ＝m2＋4>0恒成立，故p为假命题． (2)p：∃x∈N,2x≤0.p为假命题． 【变式训练7-3-4】写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假． (1)有些实数的绝对值是正数； (2)某些平行四边形是菱形； (3)∃x0，y0∈Z，使得x0＋y0＝3. 答案 (1)命题的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，即“所有实数的绝对值都不是正数”．它为假命题． (2)命题的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，即“每一个平行四边形都不是菱形”．由于菱形是平行四边形，因此命题的否定是假命题． (3)命题的否定是“∀x，y∈Z，x＋y≠3”．当x＝0，y＝3时，x＋y＝3，因此命题的否定是假命题． 【变式训练7-3-5】写出下列命题的否定． (1)所有矩形都是平行四边形； (2)每一个素数都是奇数； (3)∀x∈R，x2－2x＋1≥0. 解　(1)存在一个矩形不是平行四边形； (2)存在一个素数不是奇数； (3)∃x∈R，x2－2x＋1<0. 题型08：根据命题否定的真假求参数 【典型例题1】已知为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为为真命题， 所以，解得.故选：A. 【典型例题2】若“”为真命题，“”为假命题，则集合可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】若“”为真命题，则A错误， 又“”为假命题，则“”为真命题，则B,D错误， 则集合可以是.故选：C 【典型例题3】（多选）已知∃x∈R，不等式不成立，则下列关于a的取值不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】转化为成立，利用判别式法求解. 【详解】解：因为∃x∈R，不等式不成立，所以成立， 则，解得.故选：BCD 【典型例题4】若命题甲“”和命题乙“或”中有且仅有一个是真命题，则实数x的取值范围是 . 【答案】 【解析】若甲命题为真乙命题为假，则，可得，即； 若甲命题为假乙命题为真，则，可得或，即； 综上所述，实数x的取值范围是. 故答案为： 【变式训练8-1】已知命题，为假命题，则a可能的取值有（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】ABC 【分析】由题意可得该命题的否定为真，进而讨论与结合二次函数的性质判断即可. 【详解】命题，为假命题，则，. 当时满足题意；当时，有，解得. 综上有 故选：ABC 【变式训练8-2】已知命题p：x∈{x|1<x<3}，x-a≥0，若是真命题，则实数a的取值范围是（    ） A．a<1 B．a>3 C．a≤3 D．a≥3 【答案】D 【分析】根据给定条件写出命题，再由全称量词命题是真命题即可得解. 【详解】因命题p：∃x∈{x|1<x<3}，x-a≥0，则有命题：x∈{x|1<x<3}，x-a<0， 又是真命题，即x∈{x|1<x<3}，a>x恒成立，于是得a≥3， 所以实数a的取值范围是a≥3.故选：D 【变式训练8-3】命题有实数根，若是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】B 【分析】是假命题，则为真命题，即有实数根，分类讨论与时的情况即可. 【详解】当时，即有实数根，解得，故符合要求； 当时，即有，解得且；综上所述，.故选：B. 【变式训练8-4】已知命题”的否定为真命题，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】问题等价于有解，即或，解得答案. 【详解】已知问题等价于有解，即或，解得. 故答案为： 【变式训练8-5】已知命题，命题，若命题p和都是真命题，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先根据命题的真假求出的范围，取交集可得答案. 【详解】当为真时，； 当为真时，，即； 因为命题p和都是真命题，所以且或. 故答案为：. 【变式训练8-6】设命题：方程有两个不相等的实数根；命题：. (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题，一真一假，求实数的取值范围. 【答案】(1)；(2)或. 【解析】（1）若命题为真命题， 则，解得， 所以实数的取值范围为. （2）若命题为真命题，解得， 当真假时，，得； 当假真时，，得； 综上所述，实数的取值范围为或. 题型09：全称量词命题、存在量词命题的应用 【典型例题1】已知命题p:∃x∈{x|1<x<3},x-a≥0;若p是真命题,则实数a的取值范围是 (　　) A.a<1 B.a>3 C.a≤3 D.a≥3 答案 D 解析 p是真命题,所以p是假命题;所以∃x∈{x|1<x<3},x-a≥0无解;所以当1<x<3时,a≤x不成立,所以a≥3. 【典型例题2】对于任意实数x，不等式x2＋4x－1>m恒成立．求实数m的取值范围． 解　令y＝x2＋4x－1，x∈R， 则y＝(x＋2)2－5， 因为∀x∈R，不等式x2＋4x－1>m恒成立， 所以只要m<－5即可． 所以所求m的取值范围是{m|m<－5}． 【变式训练9-1】已知命题p:∃x>0,x+a-1=0,若p为假命题,则a的取值范围是______. 答案 a≥1 解析 因为p为假命题,所以命题p的否定:∀x>0,x+a-1≠0是真命题,所以x≠1-a,所以1-a≤0,所以a≥1. 【变式训练9-2】已知函数y1＝x，y2＝－2x2－m，若对∀x1∈{x|－1≤x≤3}，∃x2∈{x|0≤x≤2}，使得y1≥y2，求实数m的取值范围． 解　因为x1∈{x|－1≤x≤3}，x2∈{x|0≤x≤2}， 所以y1∈{y|0≤y≤9}，y2∈{y|－4－m≤y≤－m}， 又因为对∀x1∈{x|－1≤x≤3}，∃x2∈{x|0≤x≤2}，使得y1≥y2， 即y1的最小值大于等于y2的最小值， 即－4－m≤0， 所以m≥－4. 【变式训练9-3】已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B≠∅. (1)若命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，求m的取值范围； (2)命题q：“∃x∈A，x∈B”是真命题，求m的取值范围． 解　(1)由于命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，所以B⊆A，B≠∅，所以解得2≤m≤3. (2)q为真，则A∩B≠∅，因为B≠∅，所以m≥2.所以解得2≤m≤4. 【变式训练9-4】令p(x)：ax2＋2x＋a＞0，若对任意x∈R，p(x)是真命题，则实数a的取值范围是________． 答案　a＞1解析　∵对任意x∈R，p(x)是真命题．∴对任意x∈R，ax2＋2x＋a＞0恒成立， 当a＝0时，不等式为2x＞0不恒成立，当a≠0时，若不等式恒成立， 则∴a＞1. 【变式训练9-5】若命题“∀x∈R，ax2-ax-2≤0”是真命题，则实数a的取值范围是________． 答案　[－8,0] 解析　当a＝0时，不等式显然成立；当a≠0时，由题意知得-8≤a＜0.综上，-8≤a≤0. 一．单选题 1．下列语句中，命题的个数是　（　　） ①空集是任何集合的真子集；②请起立； ③的绝对值为1；④你是高一的学生吗? A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据命题的概念逐一判断. 【详解】①③是命题；②是祈使句，不是命题；④是疑问句，不是命题.故选：C. 2．以下4个命题： （1）； （2）； （3）； （4）． 其中真命题的个数为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】（1）结合二次函数分析即可； （2）取时验证即可； （3）取时验证即可； （4）解出方程的根验证即可. 【详解】（1）令，由对称轴为， 则， 又，且该二次函数开口朝上，故对， 故正确； （2）因为，所以当时，，故不正确； （3）因为，所以当时，，故不正确； （4）因为，由均为无理数，故不存在，使得，故不正确； 故选：D. 3．下列命题是全称量词命题，且是真命题的是（    ） A．所有的素数都是奇数 B．， C．有一个实数，使 D．有些平行四边形是菱形 【答案】B 【分析】根据全称量词命题的定义即可知选项CD不合题意，再判断出命题真假即可得出结论. 【详解】对于A，“所有的素数都是奇数”是全称量词命题，但是假命题， 例如2是素数，但2是偶数，所以A错误； 对于B，易知“，”是全称量词命题， 且由可得，所以是真命题，即B正确； 对于C，“有一个实数，使”是存在量词命题，不合题意； 对于D，“有些平行四边形是菱形”是存在量词命题，不合题意； 故选：B 4．下列命题中是存在量词命题且该命题的否定是真命题的是（  ） A．有的梯形对角线互相平分 B．三角形都有内切圆 C．， D．， 【答案】A 【分析】判断各选项中命题的类型及其真假，即可得出合适的选项. 【详解】解：对于A，“有的”是存在量词，梯形的对角线不可能互相平分，原命题为假命题， 该命题的否定为真命题，故A符合题意； 对于B，原命题是省略了全称量词的全称量词命题，原命题为真命题，其否定为假命题，B不符合题意； 对于C，原命题是存在量词命题，但它是一个真命题，其否定为假命题，C不符合题意； 对于D，原命题是全称量词命题，取，则，原命题为假命题，其否定为真命题，D不符合题意． 故选：A． 5．下列存在量词命题的否定中真命题的个数是（    ） （1）； （2）至少有一个整数，它既不是合数，又不是质数； （3）. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据命题与命题的否定的关系求解. 【详解】命题的否定为，为假命题； 存在整数1，它既不是合数，又不是质数， 所以命题至少有一个整数，它既不是合数，又不是质数为真命题， 所以它的否定为假命题；为假命题，所以它的否定为真命题； 故选:B. 6．命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题可得出正确选项. 【详解】命题“，”的否定， 即把存在变为任意，然后否定结论，即，.故选：D 7．命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将特称命题否定为全称命题即可. 【详解】命题“”的否定是“”.故选：D 8． “若，则或”的否命题是（    ） A．若，则且 B．若，则且 C．若，则或 D．若，则或 【答案】A 【解析】条件结论都加以否定得否命题， 若，则或”的否命题是：若，则且，故选：A． 9．已知命题：“非空集合的元素都是集合的元素”是假命题，给出下列命题，其中真命题的个数是（    ） ①中的元素都不是的元素；②中有不属于的元素； ③中有的元素；④中的元素不都是的元素. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】根据命题"非空集合的元素都是集合的元素"是假命题，可得不是的子集 对于①，集合虽然不是所有元素都在中，但有可能有属于的元素，因此①是假命题； 对于②，因为不是的子集，所以必定有不属于的元素，故②是真命题； 同理不能确定有没有的元素，故③是假命题； 对于④，由子集的定义可得，既然不是的子集，那么必定有一些不属于的元素， 因此的元素不都是的元素，可得④是真命题.故选：B. 10．设非空集合P，Q满足，则下列命题正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【解析】因为非空集合P，Q满足，所以， 对于AC，由子集的定义知P中任意一个元素都是Q中的元素，即，，故A正确，C错误； 对于BD，由，分类讨论：若P是Q的真子集，则，； 若，则，；故 BD错误．故选：A． 11．能够说明“若，则”是假命题的一组实数的值依次为 . 【答案】（答案不唯一） 【解析】由“若，则”是假命题可得， 存在满足条件，但， 由此可得，故， 若取，，则，故可取. 故答案为：（答案不唯一）. 12．若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据命题的否定为真命题，利用判别式即可求解. 【详解】由于“，”为假命题， 故其否定为“，”为真命题，则，得， 故选：D 13．已知集合，集合，如果命题“，”为假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题命题“，”为真命题，进而分和两种情况讨论求解即可. 【详解】解：因为命题“，”为假命题， 所以，命题“，”为真命题， 因为集合，集合 所以，当时，，此时成立， 当时，由“，”得，解得， 综上，实数的取值范围为 故选：A. 14．已知命题：，是真命题，则的最大值为 . 【答案】5 【解析】由已知，是真命题，即， 又，，于是，所以的最大值为5. 故答案为：5 二、多选题 1．若命题“，”是假命题，则的值可能为（    ） A． B．1 C．3 D．7 【答案】BC 【分析】由题设，使得为真命题，结合一元二次不等式在实数集上恒成立列不等式组求参数范围，注意讨论的情况. 【详解】因为命题“，”是假命题， 所以，使得为真命题， 当时，，当时，恒成立，符合题意， 当时，不恒成立，不符合题意， 当即时，有，解得， 综上，实数的取值范围是，结合选项知的值可能为1,3. 故选：BC 2.已知两个命题：（1）若，则；（2）若四边形为等腰梯形，则这个四边形的对角线相等．则下列说法正确的是（    ） A．命题（2）是全称量词命题 B．命题（1）的否定为：存在 C．命题（2）的否定是：存在四边形不是等腰梯形，这个四边形的对角线不相等 D．命题（1）和（2）被否定后，都是真命题 【答案】AB 【分析】对于A，由全称量词命题的定义即可判断；对于BC，由命题否定的定义即可判断；由命题及其否定的真假性的关系即可得解. 【详解】对于A，若四边形为等腰梯形，则这个四边形的对角线相等．等价于“对于任意一个等腰梯形而言，它的对角线都相等”，故A正确； 对于B，命题（1）的否定为：存在，故B正确； 对于C，命题（2）的否定是：存在四边形是等腰梯形，这个四边形的对角线不相等，故C错误； 对于D，由于命题（2）：“若四边形为等腰梯形，则这个四边形的对角线相等．”是真命题，所以它的否定是假命题，故D错误. 故选：AB. 三、填空题 1.根据下述事实，写出一个含有量词的全称量词真命题或存在量词的真命题： ， ， ， …… 【答案】，. 【分析】观察式子得从开始从小到大连续个奇数相加的和为，从而求解. 【详解】观察式子可知：从开始从小到大连续个奇数相加的和为， 故可得：，； 故答案为：，. 2.若命题为真命题，则m的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用二次函数性质求解可得. 【详解】由题意，不等式有解，即不等式有解， 设，则函数图象开口向上， 要使不等式有解，则函数图象与轴有交点， 则，化简得，解得或． 故答案为： 3.设命题，，若是假命题，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据命题的否定与原命题的关系得出命题是真命题，即可根据命题得出，，再根据基本不等式或对勾函数的性质得出在上的最小值，即可得出答案. 【详解】是假命题， 是真命题， ，， ，， 当时，，当且仅当时，即时，等号成立， ，可取到，，，故答案为：. 四、解答题 1.用数学符号“”“”表示下列命题，并判断命题的真假性． (1)当时，； (2)自然数不都是正整数； (3)至少存在一个实数，使得. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）（2）（3）应用数学语言、描述已知命题，进而判断其真假. 【详解】（1）命题表示为“，”． 因为，所以该命题为真命题． （2）命题表示为“，”． 因为，，所以该命题为真命题． （3）命题表示为“，”． 因为，所以该命题为真命题． 2.已知集合，集合，命题，命题，． (1)若命题为假命题，求实数的取值范围； (2)若命题和命题至少有一个为真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1)(2)或 【分析】（1）先根据为真命题分析出，由此求解出的范围，然后取对应范围在实数集下的补集即为结果； （2）考虑命题均为假命题时的取值范围，然后取对应范围在实数集下的补集即为结果. 【详解】（1）若为真命题，则， 所以，所以， 所以命题为假命题时，的取值范围为. （2）当为假命题时，即“”为真命题， 所以，所以的取值范围为， 所以当均为假命题时的取值范围为， 所以当命题和命题至少有一个为真命题时的取值范围为或. 3.太原市小店区第一中学校开展数学社团合作学习模式，社团内同学甲给社团内同学乙出题如下：若：“，”是假命题，求实数的取值范围.同学乙略微思考，反过来给同学甲出了一道题：若“，”是真命题，求实数的取值范围，你认为两位同学出的题中的的取值范围是否相同，的取值范围是多少? 【答案】相同， 【分析】由于命题“，”的否定是“，”，故可将题目转换为不等式恒成立问题来求参数的取值范围,对参数进行分类讨论即可. 【详解】由题意命题：“，”的否定是命题：“，”， 因此“，”是假命题当且仅当“，”是真命题， 所以两位同学出的题中的的取值范围相同， 现在我们来求满足题意的的取值范围： 若，，分以下两种情形来讨论： 情形一：当时，不等式变为了显然成立，故符合题意； 情形二：当时，若关于的一元二次不等式恒成立， 则当且仅当， 解不等式组得； 综上所述：满足题意的的取值范围为. 4.已知命题，命题． (1)当命题为假命题时，求实数的取值范围； (2)若命题和中有且仅有一个是假命题，求实数的取值范围 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）当命题为假命题时，为真，分、讨论，可得答案； （2）求出命题为假命题、真命题的范围，求出命题为真命题、为假命题的范围，分命题为假命题、为真命题，或命题为假命题、为真命题两种情况可得答案. 【详解】（1）， 当命题为假命题时，为真命题， 所以当时，成立， 当时，可得，解得， 综上所述，； （2）由（1）知， 若命题为假命题，则， 若命题为真命题，则或， 若命题为真命题， 则，解得或， 若命题为假命题，则， 所以命题为假命题、为真命题时，； 命题为假命题、为真命题时，； 所以若命题和中有且仅有一个是假命题，则或. 5.已知命题：方程有两个不等的负实根；命题：方程无实根. (1)若命题为真，求实数的取值范围； (2)若命题，中有且仅有一个为真一个为假，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由二次函数的性质得出命题为真时，实数的取值范围，进而由命题为真求解； （2）由判别式得出为真时，实数的取值范围，再讨论真假或假真，得出实数的取值范围. 【详解】（1）若方程有两个不等的负根，则，解得； 因为命题为真，所以实数的取值范围为. （2）若方程无实根，则，解得. 若真假时，，解得； 若假真时，，解得. 综上，得. 6.已知命题：方程有两个不相等的负实数根，命题：方程无实数根. (1)若均为真命题，求实数的取值范围； (2)若中有一个真命题，一个是假命题，求实数的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）方程有两个不相等的负实数根，则，解得. 方程无实数根，则，解得. 综上有 （2）由（1），当真假时，，解得； 当真假时，，解得； 综上有. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 命题与量词 目 录 思维导图 2 考情分析 2 学习目标 3 知识要点 3 解题策略 7 题型归纳 9 题型01：有关命题的概念 9 题型02：命题真假的判断 9 题型03：根据命题的真假求参数（范围） 12 题型04：全称（存在）量词命题的判断 12 题型05：全称（存在）量词命题的真假判断 14 一：全称命题及其真假的判断 14 二：存在量词（特称）命题及其真假的判断 15 三：全称量词，存在量词（特称）命题及其真假的判断 15 题型06：根据全称量词命题、存在量词命题的真假求参数 18 题型07：含有全称量词存在量词命题的否定 20 一：全称命题的否定及其真假的判断 20 二．存在性命题的否定及其真假的判断 21 三．全称存在量词的否定 22 题型08：根据命题否定的真假求参数 24 题型09：全称量词命题、存在量词命题的应用 25 巩固提升 25 一、考查定位 属于高中数学常用逻辑用语基础内容。新高考中极少单独出大题，以选择题、填空题小题形式考查，分值5分；常常和集合、函数、不等式综合命题。 既是简易逻辑的入门知识点，也是充分必要条件、全称特称命题否定的基础工具。 二、核心命题方向 1. 命题真假判断：能判断陈述句是否为命题、辨别真命题与假命题；识别祈使句、疑问句、感叹句不是命题。 2. 全称量词与存在量词（高频） ①识别全称命题与特称命题 ②写出全称/特称命题的否定（最热考点）。 3. 结合函数、不等式综合 给出含参全称/存在性命题恒成立、能成立问题，转化为函数最值求解（拔高考法）。 三、典型易错陷阱 1. 混淆命题的否定和否命题（基础高频错误）； 2. 全称命题否定写成全称命题，没有改为存在量词； 3. 含有多个变量命题否定逻辑出错； 4. “恒成立”与“能成立”混淆，转化函数最值时搞反不等关系。 四、命题趋势 1. 单纯概念辨析题逐年减少，更多融合函数、导数、不等式，以恒成立、存在性求参数范围作为综合题型； 2. 题型灵活：选择单选、多选均可能出现；多选容易设置逻辑陷阱拉开分差； 3. 作为工具知识渗透：后续充分必要条件、逻辑推理类题目都会依托本节概念。 五、难易度定位 基础概念题难度偏低，属于必须拿分题型；一旦结合恒成立、能成立求参数，上升中档难度，是高一、高三复习重点。 1. 准确理解命题的定义，能够清晰判断给定的语句是否为命题，明确命题与非命题语句的区别特征，比如命题必须是能判断真假的陈述句，像祈使句、疑问句等就不是命题。全面认识全称量词和存在量词的含义，熟练掌握“任意”“所有”“每一个”等全称量词 以及“存在”“有”“至少有一个”等存在量词，并能精准区分它们在数学表达和实际问题中的应用场景。 2. 熟练学会用量词符号（全称量词“∀”、存在量词“∃” ）准确表示全称量词命题和存在量词命题，将文字语言描述的数学命题转化为简洁的符号语言，例如把“所有自然数都大于等于0”表示为“∀x∈N，x≥0 ” 。掌握判断全称量词命题和存在量词命题真假的有效方法，对于全称量词命题，要证明其为真需对限定集合中每个元素验证性质成立，证假则只需举一个反例；对于存在量词命题，证真只要在限定集合中找到一个元素使性质成立，证假则要说明集合中每一个元素都不满足性质 ，并能运用这些方法判断各种不同类型命题的真假。 3.通过对命题与量词的学习，培养数学抽象思维，能够从具体的数学情境和问题中，抽象出命题和量词的概念及相关性质 。锻炼逻辑推理思维，在判断命题真假以及分析全称量词命题和存在量词命题关系的过程中，提升逻辑推理能力，例如在证明或证伪一个命题时，能进行有条理的思考和严谨的论证。 4.认识到全称量词命题和存在量词命题在刻画现实问题和数学问题中的重要作用，学会运用这些知识解决数学内部如函数、几何等领域的问题，比如判断函数性质相关的命题真假 。尝试运用命题与量词的知识去分析和解决一些简单的实际生活问题，将数学知识与生活实际建立联系，提升知识的应用能力 ，如在统计、概率等实际场景中判断相关陈述的真假。 知识点一：命题的概念 1.命题定义和真假 一般地，在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述语句称为命题．其中，判断为真的语句称为真命题，判断为假的语句称为假命题． 一个命题，一般可以用一个小写英文字母表示，如，，，…． 命题的定义：命题是判断一件事情的语句，也就是“一句可以直接判断对错的话” 命题的结构：命题由条件和结论组成，标准写法是如果“条件”，那么“结论”。 命题的真假：结论为正确的命题叫真命题，结论错误的命题为假命题。 (1)常见的命题： ①对顶角相等 ②两直线平行，内错角相等 ③爸爸的年龄比儿子大 ④地球是方的 ⑤如果一个函数是正比例函数，那么它也是一次函数 ⑥等腰三角形底角相等 ⑦数学比英语难 ⑧正方形比圆面积大 (2)关于命题的拓展: ①命题通常是陈述句，包括肯定句和否定句 ②祈使句、疑问句、反问句一般不是命题。 ③判定真命题，除了公认的事实外，还要严格的推理证明。 ④判定假命题，只需要举出一个反例即可。 2.判断命题真假的方法 (1)对于一般的命题，可根据我们已学过的定义、定理、公理等判断其真假．　　 (2)将一个命题改写成“若p，则q”的形式后，判断此命题真假的一般方法如下． ①若通过逻辑推理可以由p得到q，则可确定命题“若p，则q”为真；而要确定命题“若p，则q”为假，则只需举出一个反例． ②从集合的观点，我们建立集合A，B与p，q之间的一种特殊联系：设集合A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，就是说，A是能使p成立的对象x所构成的集合，B是能使q成立的对象x所构成的集合，此时，命题“若p，则q”为真(意思就是“使p成立的对象也能使q成立”)，即A⊆B. 知识点二：量词 1.全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词． 2.存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词． 3.常见量词： 量词名称 常见量词 符号表示 全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个、任给等 ∀ 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等 ∃ 4.全称量词与全称量词命题 （1）全称量词 一般地，“任意”“所有”“每一个”在陈述句中表示所述事物的全体，称为全称量词，用符号“”表示． 【注意】 （1）全称量词的数量可能是有限的，也可能是无限的，由有题目而定； （2）常见的全称量词还有“一切”、“任给”等，相应的词语是“都”． （2）全称量词命题 含有全称量词的命题，称为全称量词命题．对集合M中的任意一个x，成立（M表示变量x的取值范围），符号表示为：对． 【注意】 （1）从集合的观点看，全称量词命题是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题； （2）一个全称量词命题可以包含多个变量； （3）有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补出来。 如：命题“平行四边形对角线互相平行”理解为“所有平行四边形对角线都互相平行”。 5.存在量词与存在量词命题（特称命题） （1）存在量词 “存在”“有”“至少有一个”在陈述句中表示所述事物的个体或部分，称为存在量词，用符号“”表示． 【注意】常见的存在量词还有“有些”、“有一个”、“对某些”、“有的”等； （2）存在量词命题 含有存在量词的命题，称为存在量词命题．存在集合M中的元素x，成立（M表示变量x的取值范围），简记为：对． 【注意】 （1）从集合的观点看，存在量词命题是陈述某集合中有一些元素具有某种性质的命题； （2）一个存在量词命题可以包含多个变量； （3）有些命题虽然没有写出存在量词， 但其意义具备“存在”、“有一个”等特征的命题都是存在量词命题 全称量词 存在量词 量词 所有的、任意一个 存在一个、至少有一个 符号 ∀ ∃ 命题 含有全称量词的命题是全称量词命题 含有存在量词的命题是存在量词命题 命题形式 “对M中任意一个x，p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)” “存在M中的元素x，p(x)成立”，可用符号简记为“∃x∈M，p(x)” 知识点三：含有一个量词的命题的否定 1.全称量词命题的否定为，. 2.存在量词命题的否定为. p p 结论 全称量词命题∀x∈M，p(x) ∃x∈M，p(x) 全称量词命题的否定是存在量词命题 存在量词命题∃x∈M，p(x) ∀x∈M，p(x) 存在量词命题的否定是全称量词命题 知识点四：常用结论 1．从集合与集合之间的关系上看：设. （1）若，则是的充分条件()，是的必要条件；若，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件，即且； 注：关于数集间的充分必要条件满足：“小大”. （2）若，则是的必要条件，是的充分条件； （3）若，则与互为充要条件. 2.常见的一些词语和它的否定词如下表 正面词语 等于（＝） 大于（＞） 小于（＜） 是 都是 否定 不等式（≠） 不大于（≤） 不小于（≥） 不是 不都是 正面词语 至多有一个 至少有一个 任意 所有 至多有n个 否定 至少有两个 一个都没有 某个 某些 至少有n+1个 或者 原结论 否定形式 原结论 否定形式 是 不是 至少有一个 没有 都是 不都是 至多有一个 至少有二个 大于 小于或等于 至少有个 至多有-1个 小于 大于或等于 至多有个 至少有+1个 对所有的成立 存在不成立 或 非且非 对任何的不成立 存在成立 且 非或非 (1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合中的每一个元素证明其成立，要判断全称量词命题为假命题，只要能举出集合中的一个，使得其不成立即可，这就是通常所说的举一个反例. (2)要判断一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合中能找到一个使之成立即可，否则这个存在量词命题就是假命题. 1、命题概念的理解 (1)有一类陈述句在数学或其他科学技术中经常出现，但目前不能确定这些语句的真假，随着时间的推移，总能确定它们的真假，这一类语句仍然是命题． (2)命题的真假是确定的，一个命题要么为真，要么为假，不能无法判断． (3)数学中的定义、公理、定理、公式等都是真命题． (4)数学中要判定一个命题为真命题，需要经过严格的数学证明；要判定一个命题为假命题，只需要举出一个反例即可． 2、判断一个语句是否是命题的方法 判断一个语句是不是命题，要根据命题的定义进行判断，关键看它是否同时具备“是陈述句”和“可以判断真假” 这两个条件，一般地，祈使句、感叹句等都不是命题． 3、判断命题真假的策略 （1）要判断一个命题是真命题，一般要有严格的证明或有事实依据，比如根据已学过的定义、公理、定理证明或根据已知的正确结论推证． （2）要判断一个命题是假命题，只要举出一个反例即可． 4、全称量词命题与存在量词命题的区别 (1)全称量词命题中的全称量词表明给定范围内所有对象都具有某一性质，无一例外，强调“整体、全部”． (2)存在量词命题中的存在量词则表明给定范围内的对象有例外，强调“个别、部分”． 5、全称量词命题或存在量词命题的判断 判断一个命题是否为全称量词命题或存在量词命题，就是判断这个命题中是否含有全称量词或存在量词，有些命题的量词可能隐含在命题之中，这时要根据命题含义判断形式． 注：判断含量词的命题的真假时，一定要注意特殊情况，如特殊值、特殊点，特别是问题中涉及的临界点．若找不到特例，则需根据相关数学知识进行简单推理． 6、全称量词命题与存在量词命题的真假的判断 (1)要判定全称量词命题是真命题，需要判断所有的情况都成立；如果有一种情况不成立，那么这个全称量词命题就是假命题． (2)要判定存在量词命题是真命题，只需找到一种情况成立即可；如果找不到使命题成立的特例，那么这个存在量词命题是假命题． 7、全称量词命题、存在量词命题的求参问题 (1)全称量词命题的常见题型是“恒成立”问题，这是一类综合性强，且有一定难度的问题，解决有关“恒成立”的问题时，若能分离参数，则尽量利用分离参数法求解． (2)存在量词命题的常见题型是用适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表述的．解答这类问题时，一般要先对结论做出肯定存在的假设，然后从此肯定的假设出发，结合已知条件进行推理论证．若推出合理的结论，则存在性也随之解决；若导致矛盾，则可否定存在性 8、含有一个量词的命题的否定 全称量词命题的否定是一个存在量词命题，存在量词命题的否定是一个全称量词命题，因此在书写他们的否定时，相应的全称量词变为存在量词，存在量词变为全称量词，同时否定结论． 注：（1）全称量词命题的否定： 一般地，全称量词命题“”的否定是存在量词命题： ． （2）存在量词命题的否定： 一般地，存在量词命题“ ”的否定是全称量词命题： ． （3）命题与命题的否定的真假判断： 一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假． 即：如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定是假命题，反之亦然． 题型01： 有关命题的概念 【典型例题1】以下语句：①；②；③；④，其中命题的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【典型例题2】【多选】下列语句是命题的是（ ） A．3是15的约数 B．x2+2x+1≥0 C．4不小于2 D．你准备考北京大学吗? 【典型例题3】下列语句:①是无限循环小数；②；③当时，；④请把门关上．其中不是命题的是 ． 【变式训练1-1】下列语句是命题的是（ ） A．2026是一个大数 B．若两直线平行，则这两条直线没有公共点 C．是一次函数吗 D． 【变式训练1-2】下列语句中：①；②；③有一个根为0；④高二年级的学生；⑤今天天气好热！⑥有最小的质数吗？其中是命题的是（    ） A．①②③ B．①④⑤ C．②③⑥ D．①③ 【变式训练1-3】下面有三个命题：①若不属于，则属于；②若，则的最小值为；③的解可表示为．其中真命题的个数为（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式训练1-4】（多选）下列句子中是命题的是（    ） A．三边对应相等的两个三角形全等 B．如果，则 C．对于任意数，不能被3整除 D．八月的桂花真香啊 E． 题型02：命题真假的判断 【典型例题1】下列语句中，为真命题的是（ ） A．直角的补角是直角 B．同旁内角互补 C．过直线外一点作直线于点 D．两个锐角的和是钝角 【典型例题2】（多选）下列命题是真命题的是（    ） A．所有平行四边形的对角线互相平分 B．若是无理数，则一定是有理数 C．若，则关于的方程有两个负根 D．两个相似三角形的周长之比等于它们对应的边长之比 【典型例题3】下列命题:①相等的角是对顶角；②若，则；③若，则.其中假命题的个数是 . 【典型例题4】判断下列命题的真假： (1)一个实数不是质数就是合数； (2)若或，则； (3)正方形既是矩形又是菱形； (4)若，则 【典型例题5】将下列命题改写为“若p，则q”的形式，并判断真假． (1)当a＞b时，有ac2＞bc2； (2)实数的平方是非负实数； (3)能被6整除的数既能被3整除也能被2整除． 【变式训练2-1】下列命题中真命题有（　　） ①是一元二次方程； ②函数的图象与x轴有一个交点； ③互相包含的两个集合相等； ④空集是任何集合的真子集． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练2-2】下列命题： ①矩形既是平行四边形又是圆的内接四边形; ②菱形是圆的内接四边形且是圆的外切四边形; ③方程的判别式大于0; ④周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等; ⑤集合 是集合A的子集，且是的子集． 其中真命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练2-3】下列命题： ①矩形既是平行四边形又是圆的内接四边形; ②菱形是圆的内接四边形且是圆的外切四边形; ③方程的判别式大于0; ④周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等; ⑤集合 是集合A的子集，且是的子集． 其中真命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练2-4】下列命题中真命题有（　　） ①是一元二次方程； ②函数的图象与x轴有一个交点； ③互相包含的两个集合相等； ④空集是任何集合的真子集． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练2-5】下列命题为假命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式训练2-6】判断下列命题的真假，如果是假命题，请举出一个反例？ （1）若a2>b2,则a>b （2）同位角相等，两直线平行。 （3）一个角的余角小于这个角。 【变式训练2-7】判断命题“已知，若是奇数，则是奇数”是真命题还是假命题？___________. 【变式训练2-8】已知实数，命题“若，则或”是________命题.（判断真假）(逆否) 【变式训练2-9】将下列命题改写为“若p，则q”的形式，并判断真假． (1)当a＞b时，有ac2＞bc2； (2)实数的平方是非负实数； (3)能被6整除的数既能被3整除也能被2整除． 【变式训练2-10】把下列命题改写成“若，则”的形式，并判断真假． (1)当时，无实根； (2)一个整数的个位数是0，这个数一定能被5整除也能被2整除． 【变式训练2-11】把下列命题改写成“若，则”的形式，并判断真假． (1)当时，无实根； (2)一个整数的个位数是0，这个数一定能被5整除也能被2整除． 题型03：根据命题的真假求参数（范围） 【典型例题】（多选）给出命题“方程有实数根”，则使该命题为真命题的a的一个值可以是（　　） A．4 B．2 C．0 D． 【变式训练3-1】若命题甲“”和命题乙“或”中有且仅有一个是真命题，则实数x的取值范围是 . 【变式训练3-2】若命题“方程ax2＋bx＋1＝0有实数解”为真命题，则a，b满足的条件是 ． 题型04：全称（存在）量词命题的判断 【典型例题1】下列语句不是存在量词命题的是　(　　) A．有的无理数的平方是有理数 B．有的无理数的平方不是有理数 C．对于任意x∈Z,2x＋1是奇数 D．存在x∈R,2x＋1是奇数 【典型例题2】（多选）下列语句是存在量词命题的是（    ） A．有的无理数的平方是有理数 B．有的无理数的平方不是有理数 C．对于任意是奇数 D．存在是奇数 【典型例题3】（多选）下列命题中是存在量词命题的是（    ） A．有些自然数是13的约数 B．正方形是菱形 C．能被6整除的数也能被3整除 D．存在，使得 【典型例题4】判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题. (1)凸多边形的外角和等于； (2)矩形的对角线不相等； (3)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直； (4)有些实数a，b能使； (5)方程有整数解. 【变式训练4-1】给出下列几个命题： ①至少有一个x，使x2＋2x＋1＝0成立； ②对任意的x，都有x2＋2x＋1＝0成立； ③对任意的x，都有x2＋2x＋1＝0不成立； ④存在x，使x2＋2x＋1＝0成立． 其中是全称量词命题的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．0 【变式训练4-2】下列命题是全称量词命题的是（    ） A．有些实数是无理数 B．至少有一个整数，使得是质数 C．每个三角形的内角和都是 D．，使得 【变式训练4-3】已知命题：①任何实数的平方都是非负数；②有些三角形的三个内角都是锐角；③每一个实数都有相反数；④所有数与0相乘，都等于0.其中，其中含存在量词的命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练4-4】下列命题中全称量词命题的个数为(　　) ①平行四边形的对角线互相平分； ②梯形有两边平行； ③存在一个菱形，它的四条边不相等． A．0 B．1 C．2 D．3 【变式训练4-5】下列命题中，不是全称量词命题的是（    ） A．任何一个实数乘以0都等于0 B．自然数都是正整数 C．实数都可以写成小数形式 D．一定存在没有最大值的二次函数 【变式训练4-6】下列命题中，含有存在量词的是（ ） A．存在一个平行四边形是矩形 B．所有正方形都是平行四边形 C．一切三角形的内角和都等于 D．任意两个等边三角形都相似 【变式训练4-7】给出下列命题：①正方形的四条边相等；②至少有一个正整数是偶数；③正数的平方根不等于0；④有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形．其中是全称量词命题的是 ，是存在量词命题的是 （填序号）. 【变式训练4-8】下列结论中正确的个数是（    ） ①命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题； ②命题“，”是全称量词命题； ③命题“，”是真命题； ④命题“有一个偶数是素数”是真命题. A．0 B．1 C．2 D．3 【变式训练4-9】下列命题是存在量词命题的是（    ） A．一次函数的图象都是上升的或下降的 B．对任意x∈R，x2＋x＋1<0 C．存在实数大于或者等于3 D．菱形的对角线互相垂直 【变式训练4-10】下列命题: (1)今天有人请假. (2)中国所有的江河都流入太平洋. (3)中国公民都有受教育的权利. (4)每一个中学生都要接受爱国主义教育. (5)有人既能写小说,也能搞发明创造. (6)任何一个数除0都等于0. 其中是全称量词命题的个数是 (　　) A.1 B.2 C.3 D.不少于4个 【变式训练4-11】指出下列命题中的全称量词或存在量词，并用量词符号“”或“”表示下列命题． (1)所有实数都能使成立； (2)对所有实数，，方程恰有一个解； (3)存在整数，，使得成立； (4)存在实数，使得与的倒数之和等于1． 题型05：全称（存在）量词命题的真假判断 一：全称命题及其真假的判断 【典型例题】判断下列命题是不是全称量词命题，如果是，指出其中的全称量词： (1)每一个多边形的外角和都是； (2)所有的素数都是奇数； (3)对任意的无理数x，也是无理数； (4)，x都有平方根； (5)，有． 【变式训练5-1-1】下列命题是全称量词命题，且是真命题的是（    ） A．所有的素数都是奇数 B．， C．有一个实数，使 D．有些平行四边形是菱形 【变式训练5-1-2】（多选）下列命题是全称量词命题的是（    ） A．， B．存在一个菱形是正方形 C．每个命题都可以判断真假 D．所有等边三角形的三条高都相等 【变式训练5-1-3】（多选）下列命题中全称量词命题的有（    ） ①平行四边形的对角线互相平分；②梯形有两边平行； ③存在一个菱形，它的四条边不相等；④有些不相似的三角形面积相等. A．① B．② C．③ D．④ 二：存在量词（特称）命题及其真假的判断 【典型例题】下列命题中的假命题是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用全称量词命题与存在量词命题真假性的判断即可得解. 【详解】对于A，当时，，为真命题，故A错误； 对于B，因为，所以，则，为真命题，故B错误； 对于C，当时，，为假命题，故C正确； 对于D，由，得，为真命题，故D错误. 故选：C. 【变式训练5-2-1】下列命题中是全称量词命题且真命题的是（    ） A．所有的素数都是奇数 B．有些梯形是等腰梯形 C．平行四边形的对角线互相平分 D．， 【变式训练5-2-2】（多选）下列命题中正确的是（ ） A．， B．至少有一个整数，它既不是合数也不是质数 C．是无理数，是无理数 D．存在，使得 【变式训练5-2-3】，使是存在量词命题，且是真命题.( )（填正确或错误） 三：全称量词，存在量词（特称）命题及其真假的判断 【典型例题1】下列命题中，是全称量词命题，且为真命题的是（    ） A． B．菱形的两条对角线相等 C． D．一次函数的图象是直线 【典型例题2】下列命题中是真命题的是 (　　) A.∃x∈R,x2+1<0 B.∃x∈Z,3x+1是整数 C.∀x∈R,|x|>3 D.∀x∈Q,x2∈Z 【典型例题3】（多选）在下列命题中，真命题有（ ） A． B．是有理数 C．，使 D．， 【典型例题4】判断下列全称（存在量词）命题的真假： (1)，； (2)有些偶数能被整除； (3)所有的对角线互相垂直的四边形是菱形； (4)有些三角形是锐角三角形. 【变式训练5-3-1】下列命题的否定是真命题的是（    ） A． B．菱形都是平行四边形 C．，一元二次方程没有实数根 D．平面四边形，其内角和等于360° 【变式训练5-3-2】命题，一元二次方程有实根，则对命题的真假判断和正确的为（    ） A．真命题，，一元二次方程无实根 B．假命题，，一元二次方程无实根 C．真命题，，一元二次方程有实根 D．假命题，，一元二次方程有实根 【变式训练5-3-4】下列命题中是真命题的为（ ） A．，使 B．， C．， D．，使 【变式训练5-3-5】下列命题中，是全称量词命题，且为真命题的是（    ） A． B．菱形的两条对角线相等 C． D．一次函数的图象是直线 【变式训练5-3-6】（多选）下列命题中，是全称量词命题且是真命题的是（    ） A．任何一个实数乘以0都等于0 B．自然数都是正整数 C．实数都可以写成小数形式 D．一定存在没有最大值的二次函数 【变式训练5-3-7】（多选）下列命题是真命题的有（    ） A． B．所有的正方形都是矩形 C． D．至少有一个实数x，使 【变式训练5-3-8】（多选）下列命题中为真命题的有（    ） A．所有的素数都是奇数. B．的个位数字不等于2. C．两个三角形相似的一个充要条件为三边成比例. D．存在一个无理数，它的立方是有理数. 【变式训练5-3-9】（多选）下列命题正确的是（ ） A．， B．， C．，是有理数 D．， 【变式训练5-3-10】（多选）下列命题中，是全称量词命题且是真命题的是（    ） A．任何一个实数乘以0都等于0 B．自然数都是正整数 C．实数都可以写成小数形式 D．一定存在没有最大值的二次函数 【变式训练5-3-11】（多选）下列三个命题中，真命题的个数是 个 ①，②，③为方程的根 【变式训练5-3-12】（多选）判断下列命题的真假 (1)梯形的对角线相等； (2)有些菱形是正方形； (3)至少有一个整数n，n2＋1是4的倍数． 【变式训练5-3-13】（多选）判断下列命题的真假． (1)∃x∈Z，x3<1； (2)存在一个四边形不是平行四边形； (3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P； (4)∀x∈N，x2>0. 【变式训练5-3-14】（多选）下列命题:①偶数都可以被2整除;②角平分线上的任一点到这个角的两边的距离相等;③任何一个实数乘以0都等于0;④有的实数是无限不循环小数;⑤有的菱形是正方形;⑥存在三角形其内角和大于180°. 既是全称量词命题又是真命题的是________,既是存在量词命题又是真命题的是________(填上所有满足要求的序号).  【变式训练5-3-15】（多选）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假. (1)至少有一个整数，它既能被11整除，又能被9整除; (2)线段的长度都能用正有理数表示; (3)，. 题型06：根据全称量词命题、存在量词命题的真假求参数 【典型例题1】已知为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典型例题2】若命题“”为真命题，则实数a的取值范围为 . 【典型例题3】已知集合，，且.若命题p：“，”是真命题，求m的取值范围； . 【典型例题4】已知集合，，且. (1)若命题p：“，”是真命题，求m的取值范围； (2)若命题q：“，”是真命题，求m的取值范围． 【典型例题5】已知命题p：方程有两个不等的负实根，命题q：方程无实根．若命题p，q一个为真命题，一个为假命题时，求实数m的取值范围． 【变式训练6-1】若命题“，”是假命题，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练6-2】若命题“，”为真命题，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练6-3】已知命题：∃，；命题：∀，.若、都为假命题，则实数的取值范围是(　　) A．[1，＋∞) B．(－∞，－1] C．(－∞，－2] D．[－1,1] 【变式训练6-4】若命题“，”是假命题，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练6-5】已知命题：∃，；命题：∀，.若、都为假命题，则实数的取值范围是(　　) A．[1，＋∞) B．(－∞，－1] C．(－∞，－2] D．[－1,1] 【变式训练6-6】若命题“，使得”是真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练6-7】若命题“，”为真命题，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练6-8】已知命题”的否定为真命题，则实数的取值范围是 . 【变式训练6-9】已知命题，命题，若命题p和都是真命题，则实数a的取值范围是 ． 【变式训练6-10】若“，”是假命题，则实数的取值范围是 ． 【变式训练6-11】“”是真命题，则m的范围是 【变式训练6-12】若命题“”为真命题，则实数a的取值范围为 . 【变式训练6-13】设全集，集合，集合，其中.若命题“”是真命题，求的取值范围. 【变式训练6-14】已知集合，，且. (1)若命题p：“，”是真命题，求m的取值范围； (2)若命题q：“，”是真命题，求m的取值范围． 【变式训练6-15】（1）“，使得方程有两个不同的实数解”是真命题，求集合A. （2）若命题“， ”为真命题，求实数a的最小值. 【变式训练6-16】已知集合，，且． (1)若是真命题，求实数的取值范围； (2)若是真命题，求实数的取值范围． 【变式训练6-17】已知集合，，且.若命题p：“，”是真命题，求m的取值范围； 【变式训练6-18】设全集，集合，集合，其中.若命题“”是真命题，求的取值范围. 【变式训练6-19】是否存在整数m，使得命题“”是真命题？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由. 题型07：含有全称量词存在量词命题的否定 一：全称命题的否定及其真假的判断 【典型例题1】写出下列命题的否定，并判定真假． (1)所有的矩形都是平行四边形； (2)有些实数的绝对值是正数； (3)某些平行四边形是菱形. 【典型例题2】命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【典型例题3】命题“，是无理数”的否定是（    ） A．，不是无理数 B．，是无理数 C．，不是无理数 D．，是无理数 【变式训练7-1-1】命题“分数都是有理数”的否定是（    ） A．所有的分数都是有理数 B．所有的分数都不是有理数 C．存在一个分数不是有理数 D．存在一个分数是有理数 【变式训练7-1-2】命题的否定为（    ） A． B． C． D． 【变式训练7-1-3】命题“”的否定为（ ） A． B． C． D． 【变式训练7-1-4】命题“，有”的否定是（   ） A．，使得 B．，有 C．，使得 D．，有 【变式训练7-1-5】命题“，”的否定为（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式训练7-1-6】已知命题，总有，则为（    ） A．，使得 B．，使得 C．，总有 D．，总有 【变式训练7-1-7】命题“”的否定是（    ） A． B． C． D．，有 【变式训练7-1-8】命题“，使得”的否定形式是（    ） A．，使得 B．都有 C．，使得 D．，都有 二．存在性命题的否定及其真假的判断 【典型例题1】命题“”的否定是 ． 【典型例题2】命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【典型例题3】命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式训练7-2-1】已知命题，则是 . 【变式训练7-2-2】命题“存在一个四边形，它的两条对角线互相垂直”的否定是（    ） A．存在一个四边形，它的两条对角线不互相垂直 B．任意一个四边形，它的两条对角线互相垂直 C．任意一个四边形，它的两条对角线不互相垂直 D．有些四边形，它们的两条对角线不互相垂直 【变式训练7-2-3】命题“”的否定是 . 【变式训练7-2-4】命题“”的否定是 【变式训练7-2-5】已知命题：，则是（     ） A． B． C． D． 【变式训练7-2-6】命题“，使得”的否定为（    ） A． B． C． D． 【变式训练7-2-7】命题“，”的否定为（    ） A．， B．， C．， D．， 三．全称存在量词的否定 【典型例题1】已知命题p：，；命题q：，，则（    ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 【典型例题2】若命题：梯形是四边形，则（    ） A．是全称量词命题，且的否定：有些梯形不是四边形 B．是全称量词命题，且的否定：所有的梯形不是四边形 C．是存在量词命题，且的否定：有些梯形不是四边形 D．是存在量词命题，且的否定：所有的梯形不是四边形 【典型例题3】写出下列命题的否定． (1)若x2＞4，则x＞2. (2)若m≥0，则x2＋x－m＝0有实数根． (3)可以被5整除的整数，末位是0. (4)被8整除的数能被4整除． (5)若一个四边形是正方形，则它的四条边相等． 【变式训练7-3-1】下列命题的否定是真命题的是（    ） A． B．菱形都是平行四边形 C．，一元二次方程没有实数根 D．平面四边形，其内角和等于360° 【变式训练7-3-2】命题，一元二次方程有实根，则对命题的真假判断和正确的为（    ） A．真命题，，一元二次方程无实根 B．假命题，，一元二次方程无实根 C．真命题，，一元二次方程有实根 D．假命题，，一元二次方程有实根 【变式训练7-3-3】写出下列命题的否定，并判断其否定的真假： (1)p：不论m取何实数，方程x2＋mx－1＝0必有实根； (2)p：∀x∈N,2x>0. 【变式训练7-3-4】写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假． (1)有些实数的绝对值是正数； (2)某些平行四边形是菱形； (3)∃x0，y0∈Z，使得x0＋y0＝3. 【变式训练7-3-5】写出下列命题的否定． (1)所有矩形都是平行四边形； (2)每一个素数都是奇数； (3)∀x∈R，x2－2x＋1≥0. 题型08：根据命题否定的真假求参数 【典型例题1】已知为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典型例题2】若“”为真命题，“”为假命题，则集合可以是（    ） A． B． C． D． 【典型例题3】（多选）已知∃x∈R，不等式不成立，则下列关于a的取值不正确的是（　　） A． B． C． D． 【典型例题4】若命题甲“”和命题乙“或”中有且仅有一个是真命题，则实数x的取值范围是 . 【变式训练8-1】已知命题，为假命题，则a可能的取值有（    ） A． B． C．0 D．1 【变式训练8-2】已知命题p：x∈{x|1<x<3}，x-a≥0，若是真命题，则实数a的取值范围是（    ） A．a<1 B．a>3 C．a≤3 D．a≥3 【变式训练8-3】命题有实数根，若是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．以上都不对 【变式训练8-4】已知命题”的否定为真命题，则实数的取值范围是 . 【变式训练8-5】已知命题，命题，若命题p和都是真命题，则实数a的取值范围是 ． 【变式训练8-6】设命题：方程有两个不相等的实数根；命题：. (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题，一真一假，求实数的取值范围. 题型09：全称量词命题、存在量词命题的应用 【典型例题1】已知命题p:∃x∈{x|1<x<3},x-a≥0;若p是真命题,则实数a的取值范围是 (　　) A.a<1 B.a>3 C.a≤3 D.a≥3 【典型例题2】对于任意实数x，不等式x2＋4x－1>m恒成立．求实数m的取值范围． 【变式训练9-1】已知命题p:∃x>0,x+a-1=0,若p为假命题,则a的取值范围是______. 【变式训练9-2】已知函数y1＝x，y2＝－2x2－m，若对∀x1∈{x|－1≤x≤3}，∃x2∈{x|0≤x≤2}，使得y1≥y2，求实数m的取值范围． 【变式训练9-3】已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B≠∅. (1)若命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，求m的取值范围； (2)命题q：“∃x∈A，x∈B”是真命题，求m的取值范围． 【变式训练9-4】令p(x)：ax2＋2x＋a＞0，若对任意x∈R，p(x)是真命题，则实数a的取值范围是________． 【变式训练9-5】若命题“∀x∈R，ax2-ax-2≤0”是真命题，则实数a的取值范围是________． 一．单选题 1．下列语句中，命题的个数是　（　　） ①空集是任何集合的真子集；②请起立； ③的绝对值为1；④你是高一的学生吗? A．0 B．1 C．2 D．3 2．以下4个命题： （1）； （2）； （3）； （4）． 其中真命题的个数为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 3．下列命题是全称量词命题，且是真命题的是（    ） A．所有的素数都是奇数 B．， C．有一个实数，使 D．有些平行四边形是菱形 4．下列命题中是存在量词命题且该命题的否定是真命题的是（  ） A．有的梯形对角线互相平分 B．三角形都有内切圆 C．， D．， 5．下列存在量词命题的否定中真命题的个数是（    ） （1）； （2）至少有一个整数，它既不是合数，又不是质数； （3）. A．0 B．1 C．2 D．3 6．命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 7．命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 8． “若，则或”的否命题是（    ） A．若，则且 B．若，则且 C．若，则或 D．若，则或 9．已知命题：“非空集合的元素都是集合的元素”是假命题，给出下列命题，其中真命题的个数是（    ） ①中的元素都不是的元素；②中有不属于的元素； ③中有的元素；④中的元素不都是的元素. A．1 B．2 C．3 D．4 10．设非空集合P，Q满足，则下列命题正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 11．能够说明“若，则”是假命题的一组实数的值依次为 . 12．若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 13．已知集合，集合，如果命题“，”为假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 14．已知命题：，是真命题，则的最大值为 . 二、多选题 1．若命题“，”是假命题，则的值可能为（    ） A． B．1 C．3 D．7 2.已知两个命题：（1）若，则；（2）若四边形为等腰梯形，则这个四边形的对角线相等．则下列说法正确的是（    ） A．命题（2）是全称量词命题 B．命题（1）的否定为：存在 C．命题（2）的否定是：存在四边形不是等腰梯形，这个四边形的对角线不相等 D．命题（1）和（2）被否定后，都是真命题 三、填空题 1.根据下述事实，写出一个含有量词的全称量词真命题或存在量词的真命题： ， ， ， …… 2.若命题为真命题，则m的取值范围为 . 3.设命题，，若是假命题，则实数的取值范围是 . 四、解答题 1.用数学符号“”“”表示下列命题，并判断命题的真假性． (1)当时，； (2)自然数不都是正整数； (3)至少存在一个实数，使得. 2.已知集合，集合，命题，命题，． (1)若命题为假命题，求实数的取值范围； (2)若命题和命题至少有一个为真命题，求实数的取值范围． 3.太原市小店区第一中学校开展数学社团合作学习模式，社团内同学甲给社团内同学乙出题如下：若：“，”是假命题，求实数的取值范围.同学乙略微思考，反过来给同学甲出了一道题：若“，”是真命题，求实数的取值范围，你认为两位同学出的题中的的取值范围是否相同，的取值范围是多少? 4.已知命题，命题． (1)当命题为假命题时，求实数的取值范围； (2)若命题和中有且仅有一个是假命题，求实数的取值范围 5.已知命题：方程有两个不等的负实根；命题：方程无实根. (1)若命题为真，求实数的取值范围； (2)若命题，中有且仅有一个为真一个为假，求实数的取值范围. 6.已知命题：方程有两个不相等的负实数根，命题：方程无实数根. (1)若均为真命题，求实数的取值范围； (2)若中有一个真命题，一个是假命题，求实数的取值范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $