培优专题01 全等三角形的判定与性质3考点23题型（专项训练）数学新教材人教版八年级上册

**基本信息** 以“性质-判定-应用”为逻辑主线，通过分级题型（基础-高频-难点）系统覆盖全等三角形核心考点，融合经典模型与动态问题，培养推理能力与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |全等性质|5题型（含动点问题）|网格角度转化、面积代换法|从图形全等概念到性质应用，构建“对应关系→量的计算”链条| |全等判定|15题型（含5种判定及3大模型）|倍长中线构造法、旋转全等转化、垂线模型应用|判定定理（SAS/ASA等）与性质综合，结合模型提升解题策略| |尺规作图|3题型|作角/平行线/三角形的规范步骤|衔接判定定理，强化几何作图的逻辑依据|

培优专题01 全等三角形的判定与性质 常考题型·精准突破 考点一 全等三角形及其性质 题型1 图形的全等问题（重） 题型2 利用全等图形求正方形网格中角度之和 题型3 利用全等三角形的性质求线段长（高频） 题型4 利用全等三角形的性质求面积（高频） 题型5 全等三角形中的动点问题（难） 考点二 全等三角形的判定 题型1 用SAS证明三角形全等 题型2 全等的性质与SAS综合（高频） 题型3 用ASA证明三角形全等 题型4 全等的性质与ASA综合（高频） 题型5 用AAS证明三角形全等（重） 题型6 全等的性质与AAS综合（高频） 题型7 用SSS证明三角形全等 题型8 全等的性质与SSS综合（高频） 题型9 用HL证明三角形全等 题型10 全等的性质与HL 综合（高频） 题型11 添加条件使三角形全等（重） 题型12 全等的经典模型——倍长中线（难） 题型13 全等的经典模型——旋转（难） 题型14 全等的经典模型——垂线（难） 题型15 全等三角形综合问题（难） 考点三 尺规作图 题型1 尺规作角（重） 题型2 尺规作平行线（重） 题型3 尺规作三角形（重） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 全等三角形及其性质 ◆题型1 图形的全等问题 1．（25-26七年级下·全国·期中）如图所示的是两个全等的五边形，，，点B与点H、点D与点J分别是对应顶点，指出两图中其他的对应顶点、对应边和对应角，并说出图中a、b、c、d、e、各字母所表示的值． 2．（2024·山西·模拟预测）如图，边长为的正方形纸片被分成全等的四部分（图），阴影四边形的最短边为，将其重新拼接得到新的正方形（图），则如图小正方形的面积为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）下列说法正确的是____________（填写语句的序号）： ①形状相同的图形是全等图形；      ②边长相等的等边三角形是全等图形； ③面积相等的三角形是全等三角形；  ④平移前后的两个图形一定是全等形； ⑤全等图形的对应边和对应角都相等． ◆题型2 利用全等图形求正方形网格中角度之和 4．（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，在的方格纸中_____． 5．（25-26八年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，在正方形网格中， _____________． 6．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）在如图所示的3×3正方形网格中， __________度． ◆题型3 利用全等三角形的性质求线段长 7．（25-26七年级下·河南驻马店·期末）若，是等腰三角形，且它的周长是，，则必有一条边等于（     ） A． B．或 C． D．或 8．（25-26七年级下·四川乐山·期末）如图，，点为延长线上一点，连接，若的周长为12，，则线段的长为（     ） A．4 B．8 C．12 D．16 9．（25-26八年级上·河南安阳·期末）如图，已知，且点，，，在同一条直线上． (1)连接．若，，求的度数； (2)若，求长度的取值范围． ◆题型4 利用全等三角形的性质求面积 10．（24-25七年级下·山东济南·期中）如图，在中，，已知，点落在边上，是线段上一点，若的面积比的面积大25，点到线段和线段的距离之和为__________． 11．（24-25八年级上·广东广州·期末）如图，在中，点、分别在边、上，连接、交于点，且． (1)求证：是等腰直角三角形； (2)若，，求四边形的面积． 12．（24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段检测）已知，且B、C、D三点共线，，连接．    (1)一般说来，全等三角形可以通过轴对称、平移、旋转得到．请填空：绕点B逆时针旋转_______度，再向右平移_______（填“”、 “”或“”）的距离，可得； (2)若，周长为22， ①求线段的长， ②并直接写出四边形的面积_______． ◆题型5 全等三角形中的动点问题 13．（25-26八年级上·四川绵阳·阶段检测）如图，，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动，速度为V，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为，若存在某一时刻使与全等，则V为（   ） A．或 B． C．或 D．或 14．（25-26八年级上·湖南衡阳·期中）如图，在中，，，，点从点出发，沿折线以每秒2个单位长度的速度向点运动，点从点出发沿折线以每秒3个单位长度的速度向终点运动，、两点同时出发，且一个点到达终点，则另一个也停止运动．分别过、两点作于点，于点，当与全等时，的值为________． 15．（25-26八年级上·福建龙岩·期中）如图，中，，，，直线l经过点C且与边相交．动点P从点A出发沿路径向终点B运动；动点Q从点B出发沿路径向终点A运动．点P和点Q的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点P到达终点B时计时结束．在某时刻分别过点P和点Q作于点E，于点F．设运动时间为t秒，解答下列问题： (1)用含t的式子表示______，______； (2)探究t取何值时，与全等？ 考点二 全等三角形的判定 ◆题型1 用SAS证明三角形全等 16．（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图，一个池塘两端A，B处各有一棵大树，由于水面阻隔无法利用现有皮尺直接测量A，B间的距离，为此，小思和小维两位同学设计了如下测量方案：①在池塘一侧选定点O，②连接，，并分别延长到点，，使，，③连接，测量的长度即为、间的距离．这种测量方法的原理是（     ） A． B． C． D． 17．（24-25八年级下·贵州铜仁·期末）如图，四边形中，于，于，要使，应补充的条件是____________（填一个即可）． 18．（25-26七年级下·江西吉安·阶段检测）如图， ， ， ， ， 相交于点 ，连接 ． (1)求证： ； (2)求 的度数． ◆题型2 全等的性质与SAS综合 19．（25-26七年级下·河南平顶山·期末）如图所示，在中，为上一点，为中点，连接并延长至点，使得，连接． (1)你认为与相等吗？并说明理由； (2)若，，，求的长． 20．（25-26七年级下·上海虹口·期末）如图，已知为线段上一点，在中，，在中，且，连接、，分别交、于点、，交于点． (1)求证：； (2)如果，求的度数． 21．（25-26七年级下·辽宁·期中）如图，在中，于点D，E为边上一点，连接交于点F，且，． (1)求证： (2)写出线段与线段的数量关系和位置关系，并证明． ◆题型3 用ASA证明三角形全等 22．（25-26八年级上·河南洛阳·期中）某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师的带领下不用涉水过河就测得河的宽度，他们是这样做的：①在河流的一条岸边B点，选对岸正对的一棵树A；②沿河岸直走有一棵树C，继续前行到达D处；③从D处沿河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的E处停止行走；④测得的长为那么，河的宽度是（   ） A． B． C． D． 23．（25-26八年级上·北京·期中）如图，在中，，，的平分线交边于，且，若，则_____． 24．（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，点、在上，，，，交于点，且． (1)与相等吗？请说明理由． (2)若，，求的度数． ◆题型4 全等的性质与ASA综合 25．（2026·安徽合肥·二模）如图，在中，是边上的中线，是的中点，连接并延长交于点，已知，则的长为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 26．（25-26八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，在中，平分，过点作，垂足为，连接．若，，的面积为，则的面积为________． 27．（25-26七年级下·重庆·期末）如图，在中，点在上，连接，点，在线段上，连接，，满足，． (1)求证：； (2)若，，，请求出的度数． ◆题型5 用AAS证明三角形全等 28．（25-26八年级上·全国·期中）如图，是一段斜坡，是水平线，欢欢为了测斜坡上一点C的竖直高度，他在点C处立上一根竹竿，竹竿垂直于斜坡，在竿顶点D处垂下一根绳子，与斜坡的交点是E．当时，测得，则的长为（   ） A． B． C． D． 29．（25-26九年级上·广西柳州·期中）如图，，于点，、、三点在同一直线上，连结，，则的面积为_____． 30．（25-26七年级下·广东茂名·期末）如图，在中，，，点D为直线上方一点，且，， (1)求证： (2)若，，求的长． ◆题型6 全等的性质与AAS综合 31．（25-26八年级上·河南信阳·期末）在和中，点A，C，D在同一条直线上，．若，则DE的长为（   ） A．8 B．7 C．3 D．4 32．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，是的中点，分别过点，作的垂线，垂足为，．若，，则的面积是______． 33．（25-26七年级下·湖南长沙·期末）如图，是 的中线，交的延长线于点，于点，是 上一点，连接 ． (1)证明：． (2)若，，求 的长． ◆题型7 用SSS证明三角形全等 34．（25-26九年级下·福建南平·阶段检测）已知，如图，，，， 求证：． 35．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）【问题背景】 如图，在和中，点、、在一条直线上，为的中线，点是边上一点，连接，点是线段的中点．已知，． 【问题探究】 (1)如图1，与全等吗？请说明理由； 【问题解决】 (2)如图2，过点作于点，若，，，，求的长度．（用含、的式子表示） 36．（25-26八年级上·广东广州·阶段检测）如图，，． (1)求证：； (2)求证：． ◆题型8 全等的性质与SSS综合 37．（25-26八年级上·福建南平·期中）如图，在中，点在上，点在上，连接和，若，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 38．（25-26八年级上·陕西渭南·阶段检测）如图，在和中，连接，若，，，，，则的度数为_______°． 39．（25-26八年级上·浙江湖州·阶段检测）已知． (1)求证：； (2)，求的度数． ◆题型9 用HL证明三角形全等 40．（25-26八年级下·陕西汉中·期中）如图，点、、、在同一条直线上，点、在线段的上方，连接、、、，且，，若要用“”直接证明≌，则可以添加条件是________（只写一个）． 41．（25-26八年级上·广东广州·期中）已知，，，垂足为点A，射线，垂足为点B． (1)如图1，若点E在线段上，点D在射线上，，请你添加一个条件：______，使得，判定全等的依据是：______； (2)在（1）的条件下，证明你的结论； (3)若点E从A点出发以的速度沿射线运动，点D在射线上，随着E点运动而运动，始终保持．若点E的运动时间为t秒，则当以点B、D、E组成的三角形与全等时，求t的值． 42．（25-26八年级上·江苏南通·期中）如图，是等腰直角三角形，，点E是边上一点，过点B作于点D，交延长线于点F． (1)求证； (2)连接，求的度数； (3)若，求的值． ◆题型10 全等的性质与HL 综合 43．（25-26八年级下·陕西渭南·阶段检测）如图，是的中线，，垂足为E，，交的延长线于点F，G是延长线上一点，连接． (1)求证：； (2)若求的长． 44．（25-26八年级上·河南驻马店·期末）如图，四边形中，于点F，交于点E，连接，平分． (1)求证：； (2)若，求的长． 45．（25-26八年级上·安徽安庆·阶段检测），点，，，在同一条直线上，，过点，分别作，，，连接，与交于点． (1)求证：是的中点． (2)若将沿移动到如图所示的位置，其余条件不变，则（1）中结论是否仍然成立请说明理由． ◆题型11 添加条件使三角形全等 46．（25-26七年级下·广东佛山·期末）如图所示，已知，，要想使，还需要再添加一个条件，那么在①，②，③中可以选择的是_________．（填写序号） 47．（25-26七年级下·宁夏银川·期末）已知：如图，点在上，． 请从①；②；③这三个选项中，选择一个作为条件，使得，并说明理由． 解：选择条件是___________．理由是： 48．（2026·陕西榆林·三模）如图，在和中，点在边上，点在边上，若，，请你从以下三个选项：①；②；③中选择一个合适的选项作为补充条件，使得． (1)你选择的补充条件是__________（填序号）； (2)根据你选择的补充条件，写出的证明过程． ◆题型12 全等的经典模型——倍长中线 49．（25-26七年级下·山东枣庄·期末）【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图①，中，若，，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使，连接BE．请根据小明的方法思考： (1)由已知和作图能得到，依据是___________． A．    B．    C．    D． (2)由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是___________； 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 【灵活运用】 (3)如图②，是的中线，交于E，交于F，．若，，求线段的长． 50．（25-26七年级下·江西吉安·期末）阅读以下材料，完成以下两个问题． 【阅读材料】已知：如图，（）中，D、E在上，且，过D作交于点F，．求证：平分． 结合此题，，点E是的中点，考虑倍长，并且要考虑连接哪两点，目的是证明全等，从而转移边和角．有两种考虑方法：①考虑倍长，如图（1）所示；②考虑倍长，如图（2）所示 (1)请选择方法①或方法②，完成阅读材料中的证明． (2)根据上述材料，完成下列问题： 已知，如图3，在中，是边上的中线，分别以，为直角边向外作等腰直角三角形，，，，证明：； (3)与面积之间的关系，并说明理由． 51．（25-26七年级下·吉林长春·期中）【提出问题】 数学课上老师提出如下问题：如图①，在中， 是 边上的中线，，，若 边的长为整数，求 边的长．小张同学在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长 至点 ，使，连接，能得到，所以，进而利用三角形的任意两边之和大于第三边解决问题． 【思考发现】 (1)如图①，的理由是　　　　； A．                B．               C．                D． (2)根据小明的方法思考，可得 的长可能为　　　　；（写出一个即可） 【类比迁移】 (3)如图②， 是的中线，交 于点 ，交 于点 ，． 求证：． 以下是部分证明过程： 证明：如图③，延长 至点 ，使，连结． ⋯⋯ 请完成上述证明过程． 【学以致用】 (4)如图④，在和中，， ， ，连结 、，取 的中点 ，连结．若，则　　　　． ◆题型13 全等的经典模型——旋转 52．（24-25八年级上·甘肃临夏·期末）综合与实践 数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地． 【发现问题】 （1）如图1，在和中，，，，连接，，延长交于点D．则与的数量关系为：______． 【类比探究】 （2）如图2，在和中，，，，连接，，延长，交于点D．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由． 53．（24-25八年级上·广西南宁·期中）【问题初探】 和是两个都含有角的大小不同的直角三角板． （1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，、、在同一直线上，，，，．依据的是判定定理_________． A．    B．    C．    D． 【类比探究】 （2）当三角板保持不动时，将三角板绕点顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图（3），在四边形中，，，，连接，，，到直线的距离为7，请求出的面积．      54．（25-26七年级下·四川成都·期末）在中，，． (1)点是内部一点，且． ①如图1，求证：； ②如图2，当，，三点共线时，连接，若，，求的面积； (2)如图3，点是外一点，且，若的面积为8，求的长． ◆题型14 全等的经典模型——垂线 55．（25-26八年级上·内蒙古通辽·期中）【基础回顾】 （1）如图1，在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，．求证：； 【变式探究】 （2）如图2，在中，，直线经过点，点，分别在直线上，如果，求证：； 【拓展应用】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边，为一边向外作和，其中，，，是边上的高．延长交于点，设的面积为，的面积为，猜想，大小关系，并说明理由． 56．（25-26八年级上·云南昭通·阶段检测）阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． (1)问题解决： 如图1，在等腰直角中，，过点作直线于点，于点，则与的数量关系是___________； (2)问题探究： 如图2，在等腰直角中，，过点作直线于点，于点，求的长； (3)拓展延伸：如图3在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，，求点坐标． 57．（24-25七年级下·河南郑州·期中）【材料阅读】小芳在学习完全等三角形后，她尝试用三种不同方式摆放一副三角板．如图：在中，，；在中，，，并提出了相应的问题． 【发现】如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点摆放在线段上时，过点作，垂足为，过点作，垂足为． (1)图1中，，，求的长．请补充小芳的过程． ， ， ∵，， ，， ， ， …… （补充小芳的过程） (2)【类比】如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，过点作，垂足为，猜想，，之间的数量关系，并说明理由． (3)【拓展】如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，若，，连接，请直接写出的面积． ◆题型15 全等三角形综合问题 58．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）根据图形解决以下问题 (1)如图1，在等腰直角中，，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，求证：； (2)在等腰直角中，，，点D是直线上一动点，分别过点作直线的垂线，垂足分别为点； ①如图2，点D在线段上，与是否全等？请说明理由； ②如图3，点D在线段延长线上，若，，请直接写出线段的长． 59．（25-26七年级下·北京·期末）如图，在中，，点在边上，连接，点是边上一点，且，连接交于点．延长到，使得，连接，是的中线． (1)依题意补全图形； (2)若，． ①证明：； ②用等式表示与的数量关系，并证明． 60．（25-26七年级下·福建三明·期末）如图，中，，，为边上的点（不与两端点、重合），过点作的延长线于点，交的延长线于点． (1)试说明：． (2)若，，点从点出发，沿射线以每秒个单位长度的速度运动，设点的运动时间为秒，求为何值时，的面积为． (3)在（2）的条件下，点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向点运动，，两点同时出发，当点到达点时，，两点同时停止运动．点是射线上的一点，若，问是否存在值，使得以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等？若存在，请求出符合条件的值；若不存在，请说明理由． 考点三 尺规作图 ◆题型1 尺规作角 61．（25-26六年级下·山东青岛·期末）用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：如图，中，．求作：在的内部作射线，使． 62．（25-26七年级下·河南郑州·期末）如图，在中，点在上，点在上，且，，请完成以下问题： (1)尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规在边上确定一点，使得．（不写作法，只保留作图痕迹） (2)求的度数． 63．（25-26七年级下·上海杨浦·期中）如图，中，，，点是线段上一点，按要求完成问题． (1)过点作交于点，连接； (2)点到的距离是______的长度； (3)______，如果设，那么______．（用含的代数式表示） ◆题型2 尺规作平行线 64．（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，已知点为边上中点，点为边上一点，连接． (1)尺规作图：过点作交延长线于点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若，，请求出的长度． 65．（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图，中，点是线段上的一点，点为延长线上一点，，． (1)请用尺规过点作直线，使，交于点（保留作图痕迹，不写作法）； (2)请在图中找出一对全等三角形，并说明理由． 66．（25-26七年级下·广东佛山·期中）如图，在中，，点在上． (1)求作线段，使得，且交于点（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，连接，若，求的度数． ◆题型3 尺规作三角形 67．（25-26七年级下·山东青岛·期末）已知：如图，，点在边上．请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．求作：，使，并满足点在的延长线上，． 68．（25-26七年级下·广东揭阳·阶段检测）【课本回顾】你还记得怎样用尺规作一个角等于已知角吗？你能说明其中的道理吗？小明回顾了作图过程，并进行了如下思考： 如图1，由尺规作图可知，，__________， 所以（__________），（填全等判定依据） (1)完成上述小明思考过程中的填空； (2)【操作应用】 如图2，已知线段和，请用尺规作一个，使；（保留作图痕迹，标明字母，不写作法） 69．（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图1，中，点，分别在边、边上．数学学习小组围绕“全等三角形的对应线段相等”展开探究活动． (1)【课本再现】如图2，，请用尺规在中画出与中线段相对应的线段，并说明． (2)【深入探究】小组同学探究得到边上存在点，，连接，使得且．请从下列两个不同的作法中选择一种，根据作图步骤补充说理过程． 作图步骤 示意图 说理过程 方法一 ①过点作交于点； ②在上截取； ③连接． 即为所求作的线段． 已知：如图，，； 求证：且． 证明：连接…… 方法二 ①过点作交于点； ②在上截取，在上截取； ③连接． 即为所求作的线段． 已知：如图，，，； 求证：且． 证明：…… (3)【创新突破】如图3，请用尺规在边上作出点和，连接，使得，且．保留作图痕迹，并简要说明作图步骤． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，已知，且，延长交于点F，则的度数是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·湖南岳阳·期末）如图，中，厘米，厘米，点为的中点．如果点在线段上以2厘米/秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．若点的运动速度为厘米/秒，则当与全等时，的值为（ ） A．或 B．或2 C．或2 D．或 3．（25-26九年级上·安徽马鞍山·期末）如图，已知的延长线交于点F，且经过点E，若，，则的角度为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·河南信阳·阶段检测）如图，，，再添加一个条件，使得，所添加的条件不正确的是（   ）． A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·广东深圳·期末）同学们为了测量教学楼的高度，进行了如下操作：如图，在教学楼前竖直放置一根高为3米的标杆，测得标杆底部点与教学楼底部点之间的距离为18米．在教学楼与标杆之间的地面上选取一点，测得点到教学楼底部点的距离为3米，从点观察标杆顶与楼顶时，，且点在同一水平线上．根据以上数据计算出教学楼的高度是（     ）米． A．15 B．13 C．12 D．18 6．（25-26七年级下·广东揭阳·阶段检测）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，，爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（25-26七年级下·内蒙古包头·期末）如图，点，，，在同一条直线上，，．如果要使，需要添加的一个条件是__________． 8．（25-26七年级下·四川达州·期末）如图，在中，，，，P，Q两点分别在和的垂线上移动，，则当________时，才能使和全等． 9．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，是的中点，分别过点，作的垂线，垂足为，．若，，则的面积是______． 10．（25-26七年级下·北京·期末）如图，在中，，的角平分线，交于点，过点作交于点，交的延长线于点．则的度数为________；若，且，则________． 11．（2022·吉林长春·模拟预测）一天课间，顽皮的小明同学拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心将三角板掉到两根柱子之间，如图所示，这一幕恰巧被数学老师看见了，于是有了下面这道题：如果每块砖的厚度，则的长为_____． 12．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，，点是边上的一点，过点作交的延长线于点，延长至点，使得，连接交于点，若，，则的面积为______． 13．（25-26七年级下·广东梅州·期末）如图，在中，是上的一点，，，，动点从点出发向点运动，速度为1，同时动点从点出发向点匀速运动，连接、，在运动过程中，存在某一时刻使与全等，则点的运动速度为________． 14．（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图，中，，平分交于，点在线段上，满足，若，，则的长为______． 15．（25-26七年级下·山东济南·期末）如图，中，于点，，过点作，，连接交于点，若，，则____________． 三、解答题 16．（25-26八年级下·河南驻马店·阶段检测）如图，在四边形中，，平分交于点E，连接，且，求证：． 17．（25-26七年级下·河北承德·阶段检测）如图，D为外部一点，连接，，已知， (1)尺规作图：在内求作一点M，使；（提示：以点A为圆心，为半径画弧；再以点C为圆心，为半径画弧，两弧交于点M，连接） (2)①通过作图可以得到：______，______； ②判定的依据是______（从、、或中选填）； (3)求． 18．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）已知，，平分交于点D (1)如图1，过点D作于点E，说明：； (2)如图2，在（1）的条件下，延长交的延长线于点F，说明：； (3)如图3，点H为上一点，连接，，，求的长 19．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在四边形中，点E在边上，，且平分，F是四边形外一点，连接，． (1)和全等吗？请说明理由； (2)若，，，求的度数． 20．（25-26七年级下·四川达州·期末）如图1，在中，，，直线l经过点C，过A作，垂足为D，过B作，垂足为E． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)如图2，延长至，连接，过点作，且，连接交直线l于点H，若，，求的长． 21．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）数学课上，老师让同学们准备等腰三角形纸片进行操作活动，探究有关线段之间的关系．已知：在中，． 【初步探究】 (1)如图1，若，点，，在直线上，，则与有怎样的数量关系？请直接写出结论； (2)【变式训练】 如图2，若，点，，在直线上，，试判断线段、和的数量关系，并说明理由． (3)【拓展应用】 如图3，若，，，是中点，点在线段上以的速度由点到点运动，同时点在线段上由点到点运动，它们运动的时间为，当点的运动速度为多少时，能使与以，，三点为顶点所构成的三角形全等．（直接写出结果） 22．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）根据图形解决以下问题 (1)如图1，在等腰直角中，，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，求证：； (2)在等腰直角中，，，点D是直线上一动点，分别过点作直线的垂线，垂足分别为点； ①如图2，点D在线段上，与是否全等？请说明理由； ②如图3，点D在线段延长线上，若，，请直接写出线段的长． 23．（25-26七年级下·广东清远·期末）综合探究 【初步探索】 (1)如图1，在四边形中，，，，分别是，上的点，且，探究图1中，，之间的数量关系．小颖同学探究此问题的方法是：延长到点，使．再连接，先说明，再说明，可得出结论，他的结论应是________． 【灵活运用】 (2)如图2，若在四边形中，，，，分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立？请说明理由． 【拓展延伸】 (3)已知在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，如图3所示，仍然满足，若，求的度数． 24．（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，在四边形中，，，，是边上一点，是的延长线上一点，且． (1)求证：； (2)若点在边上，且，试猜想，，之间的数量关系，并说明理由； (3)若将题中条件“，”改为“，，点在边上”，则当满足什么条件时，（2）中结论仍然成立？（只写结果即可） 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优专题01 全等三角形的判定与性质 常考题型·精准突破 考点一 全等三角形及其性质 题型1 图形的全等问题（重） 题型2 利用全等图形求正方形网格中角度之和 题型3 利用全等三角形的性质求线段长（高频） 题型4 利用全等三角形的性质求面积（高频） 题型5 全等三角形中的动点问题（难） 考点二 全等三角形的判定 题型1 用SAS证明三角形全等 题型2 全等的性质与SAS综合（高频） 题型3 用ASA证明三角形全等 题型4 全等的性质与ASA综合（高频） 题型5 用AAS证明三角形全等（重） 题型6 全等的性质与AAS综合（高频） 题型7 用SSS证明三角形全等 题型8 全等的性质与SSS综合（高频） 题型9 用HL证明三角形全等 题型10 全等的性质与HL 综合（高频） 题型11 添加条件使三角形全等（重） 题型12 全等的经典模型——倍长中线（难） 题型13 全等的经典模型——旋转（难） 题型14 全等的经典模型——垂线（难） 题型15 全等三角形综合问题（难） 考点三 尺规作图 题型1 尺规作角（重） 题型2 尺规作平行线（重） 题型3 尺规作三角形（重） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 全等三角形及其性质 ◆题型1 图形的全等问题 1．（25-26七年级下·全国·期中）如图所示的是两个全等的五边形，，，点B与点H、点D与点J分别是对应顶点，指出两图中其他的对应顶点、对应边和对应角，并说出图中a、b、c、d、e、各字母所表示的值． 【答案】点A与点G、点C与点I、点E与点F分别是对应顶点， 边和边、边和边、边和边、边和边、边和边分别为对应边，和、和、和、和、和分别为对应角， 【分析】根据全等图形的性质解答即可． 【详解】解：∵五边形和五边形为两个全等的五边形，点B与点H、点D与点J， ∴点B与点H、点D与点J、点A与点G、点C与点I、点E与点F分别是对应顶点， 边和边、边和边、边和边、边和边、边和边分别为对应边，和、和、和、和、和分别为对应角， ∵，， ∴． 2．（2024·山西·模拟预测）如图，边长为的正方形纸片被分成全等的四部分（图），阴影四边形的最短边为，将其重新拼接得到新的正方形（图），则如图小正方形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等图形的性质，一元一次方程，设中间小正方形的边长为，由题意可得，然后解方程即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，设中间小正方形的边长为， 由题意可得：， ∴， ∴中间小正方形的面积为， 故选：． 3．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）下列说法正确的是____________（填写语句的序号）： ①形状相同的图形是全等图形；      ②边长相等的等边三角形是全等图形； ③面积相等的三角形是全等三角形；  ④平移前后的两个图形一定是全等形； ⑤全等图形的对应边和对应角都相等． 【答案】②④⑤ 【分析】本题主要考查了全等形的定义与性质，掌握完全重合的两个图形是全等形成为解题的关键． 根据全等图形的定义和性质逐个判断即可． 【详解】解：①形状相同，大小相等的图形是全等形，错误；②边长相等的等边三角形是全等图形，正确；③面积相等的三角形是全等三角形，错误；④平移前后的两个图形一定是全等形，正确；⑤全等图形的对应边和对应角都相等，正确． 所以，正确的说法有②④⑤． 故答案为：②④⑤． ◆题型2 利用全等图形求正方形网格中角度之和 4．（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，在的方格纸中_____． 【答案】 【分析】取格点、、、、，容易证明，则，结合可得，． 【详解】解：如图， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 5．（25-26八年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，在正方形网格中， _____________． 【答案】 【分析】本题主要考查了等边对等角，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，可证明得到，则可推出，同理可得；再由，得到，据此可得答案． 【详解】解：由网格的特点可得， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理可得； ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）在如图所示的3×3正方形网格中， __________度． 【答案】 【分析】证明，得出,根据网格的特点可知，即可求解． 【详解】解：如图， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理可得， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 即， 根据网格的特点可知， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质，根据网格的特点求得是解题的关键． ◆题型3 利用全等三角形的性质求线段长 7．（25-26七年级下·河南驻马店·期末）若，是等腰三角形，且它的周长是，，则必有一条边等于（     ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【分析】本题需分情况讨论为等腰三角形的腰或底，结合三角形三边关系舍去不能构成三角形的情况，再利用全等三角形对应边相等得到结论． 【详解】解：∵是等腰三角形，周长为，，分两种情况讨论： 情况1：若为腰，则另一腰长为，底边长为， ∵，不满足三角形三边关系， ∴此情况不成立，舍去； 情况2：若为底，则两腰长相等， ∴腰长为，此时三边长为，，，满足三角形三边关系， ∵， ∴的边长与对应相等， ∴必有一条边等于或， 综上，必有一条边等于或，没有一条边等于， 故选项A符合题意． 8．（25-26七年级下·四川乐山·期末）如图，，点为延长线上一点，连接，若的周长为12，，则线段的长为（     ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【分析】根据全等三角形的性质得出，再根据三角形周长公式求出的值，最后利用线段的和差关系求出的长 【详解】解： 的周长为， 点为延长线上一点 ． 9．（25-26八年级上·河南安阳·期末）如图，已知，且点，，，在同一条直线上． (1)连接．若，，求的度数； (2)若，求长度的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形三边关系，三角形内角和定理，关键是掌握全等三角形的对应边和对应角相等． （1）由互补的定义得，由三角形内角和定理得到，再根据全等三角形的性质得； （2）由全等三角形的性质推出，由三角形三边关系定理得到． 【详解】（1）解：点在同一条直线上，与互为补角， ， 在中，得， 由，得； （2）解：， ． ， ， ． ◆题型4 利用全等三角形的性质求面积 10．（24-25七年级下·山东济南·期中）如图，在中，，已知，点落在边上，是线段上一点，若的面积比的面积大25，点到线段和线段的距离之和为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形面积计算，根据全等三角形的性质得到，再根据图形面积之间的关系可得，设点P到线段和线段的距离分别为，连接，根据三角形面积计算公式可得，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵的面积比的面积大25， ∴， 设点P到线段和线段的距离分别为，连接， ∵， ∴， ∴， ∴点到线段和线段的距离之和为， 故答案为：． 11．（24-25八年级上·广东广州·期末）如图，在中，点、分别在边、上，连接、交于点，且． (1)求证：是等腰直角三角形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1) 证明：， ，， ， ， 是等腰直角三角形； (2)6 【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质可知，，结合，即可证明； （2）根据题意可知，再由全等三角形的性质可得到，最后由四边形的面积即可求得答案． 【详解】（1）略 （2）解：，， ， ， ， 四边形的面积． 12．（24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段检测）已知，且B、C、D三点共线，，连接．    (1)一般说来，全等三角形可以通过轴对称、平移、旋转得到．请填空：绕点B逆时针旋转_______度，再向右平移_______（填“”、 “”或“”）的距离，可得； (2)若，周长为22， ①求线段的长， ②并直接写出四边形的面积_______． 【答案】(1)90， (2)①；② 【分析】（1）根据旋转以及平移的性质即可作答； （2）①根据平移的性质得出，可得，即可作答； ②先得出是等腰直角三角形，再根据全等三角形的性质得出，最后根据四边形的面积代入计算即可． 【详解】（1）解：如图，   绕点B逆时针旋转度，再向右平移的距离，可得， 故答案为：，． （2）解：①∵，周长为22， ∴， ∵， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵， ∴，，， ∴， ∴． ∴是等腰直角三角形， ∵，， ∴， 即 ∴， ∴四边形的面积 ， 【点睛】本题主要考查了旋转和平移的性质，全等三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，以及完全平方公式的应用等知识，掌握这些性质是解题的关键． ◆题型5 全等三角形中的动点问题 13．（25-26八年级上·四川绵阳·阶段检测）如图，，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动，速度为V，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为，若存在某一时刻使与全等，则V为（   ） A．或 B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了动点问题（一元一次方程的应用），全等三角形的性质等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 分、两种情形，分别求出速度为V． 【详解】解：设点Q的运动速度为， 由题意得：，，， ∵， ∴当时，，， 即：，， 解得：，， 所以点Q的运动速度为； 当时，，， ∴， 解得：， ∴， 解得：， 所以点Q的运动速度为， 综上，点Q的运动速度为或， 故选：D． 14．（25-26八年级上·湖南衡阳·期中）如图，在中，，，，点从点出发，沿折线以每秒2个单位长度的速度向点运动，点从点出发沿折线以每秒3个单位长度的速度向终点运动，、两点同时出发，且一个点到达终点，则另一个也停止运动．分别过、两点作于点，于点，当与全等时，的值为________． 【答案】3或 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，根据题意可分三种情况，点P在线段上，点Q在线段上，点P和点Q相遇和点P在线段，点Q在线段上，根据全等三角形的性质可得，据此建立方程求解即可． 【详解】解：当点P在线段上，点Q在线段上时， 由题意得，， ∴； ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴当与全等时，只存在这种情况， ∴， ∴， 解得； 当点P和点Q相遇时，也满足与全等 ∵， ∴点P和点Q在线段上相遇， ∵此时满足， ∴， 解得； 当点P在线段，点Q在线段上时， 同理可得，则， 解得（舍去）； 综上所述，或， 故答案为：3或． 15．（25-26八年级上·福建龙岩·期中）如图，中，，，，直线l经过点C且与边相交．动点P从点A出发沿路径向终点B运动；动点Q从点B出发沿路径向终点A运动．点P和点Q的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点P到达终点B时计时结束．在某时刻分别过点P和点Q作于点E，于点F．设运动时间为t秒，解答下列问题： (1)用含t的式子表示______，______； (2)探究t取何值时，与全等？ 【答案】(1)， (2)当秒或秒或12秒时，与全等 【分析】该题主要考查了全等三角形的性质，解答的关键是运用分类讨论思想解答； （1）根据题意的运动方式，列代数式即可；             （2）分为，，三种情况分别解答即可 【详解】（1）当动点P在上时；当动点Q在上时，，， 当动点P在上时；当动点Q在上时，，， 综上，，； （2）①如图1，Q在上，点P在上时，作，， ∵， ∴， ∴， 当时， 则， 即， 解得：；                             ②如图2，当点P与点Q重合时， 当， 则， ∴． 解得：；                             ③如图3，当点Q与A重合时， ， ∴， 当， 则， 即， 解得：；                         当综上所述：当秒或秒或12秒时，与全等． 考点二 全等三角形的判定 ◆题型1 用SAS证明三角形全等 16．（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图，一个池塘两端A，B处各有一棵大树，由于水面阻隔无法利用现有皮尺直接测量A，B间的距离，为此，小思和小维两位同学设计了如下测量方案：①在池塘一侧选定点O，②连接，，并分别延长到点，，使，，③连接，测量的长度即为、间的距离．这种测量方法的原理是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，，又， ∴． 17．（24-25八年级下·贵州铜仁·期末）如图，四边形中，于，于，要使，应补充的条件是____________（填一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据已知条件得到，再根据全等三角形的判定添加合适的条件即可． 【详解】解：∵于，于， ∴， ∴都是直角三角形， 当时， 又∵， ∴， 故要使，应补充的条件是（答案不唯一）． 18．（25-26七年级下·江西吉安·阶段检测）如图， ， ， ， ， 相交于点 ，连接 ． (1)求证： ； (2)求 的度数． 【答案】(1)证明：∵ ， ． 在 和 中， ， ∴． (2) 【分析】（1）由 ， ， ，利用 ，即可判定 ； （2）由 ，可得 ，继而求得 ，则可求得 的度数． 【详解】（1）略 （2）解：设 与 交于点 ， ∵ ， ∴ ， ∵， ∴ ， ． ◆题型2 全等的性质与SAS综合 19．（25-26七年级下·河南平顶山·期末）如图所示，在中，为上一点，为中点，连接并延长至点，使得，连接． (1)你认为与相等吗？并说明理由； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)，理由如下： 因为点为中点， 所以． 在和中， ， 所以， 所以； (2) 【分析】（1）根据全等三角形的判定与性质，进行解答即可； （2）根据全等三角形的判定与性质、垂直的定义，进行解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可知，， 所以， 所以． 因为是的中点，， 所以， ． 又因为， 所以， 所以． 20．（25-26七年级下·上海虹口·期末）如图，已知为线段上一点，在中，，在中，且，连接、，分别交、于点、，交于点． (1)求证：； (2)如果，求的度数． 【答案】(1)证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴； (2) 【分析】（1）根据全等三角形的判定定理证明； （2）根据全等三角形的性质和三角形的外角计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 21．（25-26七年级下·辽宁·期中）如图，在中，于点D，E为边上一点，连接交于点F，且，． (1)求证： (2)写出线段与线段的数量关系和位置关系，并证明． 【答案】(1)证明：于点D， ， 在与中， ， ； (2)解：且，证明如下： ， ，； ， ， ， ． 【分析】（1）利用垂直的定义推出，再根据证明，即可解题； （2）利用全等三角形性质，以及三角形内角和定理分析推理，即可证明线段与线段的数量关系和位置关系． 【详解】（1）略 （2）略 ◆题型3 用ASA证明三角形全等 22．（25-26八年级上·河南洛阳·期中）某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师的带领下不用涉水过河就测得河的宽度，他们是这样做的：①在河流的一条岸边B点，选对岸正对的一棵树A；②沿河岸直走有一棵树C，继续前行到达D处；③从D处沿河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的E处停止行走；④测得的长为那么，河的宽度是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的应用，将题目中的实际问题转化为数学问题，是本题求解的关键． 首先根据已知条件，证明和全等，得到，进而得到答案． 【详解】解：由题意知，，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴河的宽度是米． 故选：B． 23．（25-26八年级上·北京·期中）如图，在中，，，的平分线交边于，且，若，则_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了直角三角形的两个锐角互余的性质以及全等三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握以上知识点并能正确添加辅助线是解决此题的关键．延长交于点F，由且平分，证得，可得，再根据，，，证得，进一步证明，则可得，从而得到． 【详解】解：如图，延长交于点F， 且平分， ，， ， ， ， ，，， ， 在和中 ， ， ， ， 故答案为：3． 24．（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，点、在上，，，，交于点，且． (1)与相等吗？请说明理由． (2)若，，求的度数． 【答案】(1) 解：与相等，理由如下： ∵， ∴，即 ∵， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）证明即可； （2）先根据全等三角形的性质得到，再由三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵ ∴ ∵ ∴ ◆题型4 全等的性质与ASA综合 25．（2026·安徽合肥·二模）如图，在中，是边上的中线，是的中点，连接并延长交于点，已知，则的长为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】取的中点，连接，利用三角形中位线定理得到且，再证明，得到，从而求出的长，即可得到的长． 【详解】解：如图，取的中点，连接， ∵是边上的中线， ∴为中点， ∵为中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 26．（25-26八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，在中，平分，过点作，垂足为，连接．若，，的面积为，则的面积为________． 【答案】 【分析】延长交于点，证明，得到，，，利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：延长交于点， 平分，且， ，， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ∵， ∴． 27．（25-26七年级下·重庆·期末）如图，在中，点在上，连接，点，在线段上，连接，，满足，． (1)求证：； (2)若，，，请求出的度数． 【答案】(1)证明：， ， ， ， ， ， 在和中， ， ； (2) 【分析】（1）证明即可证得结论； （2）先根据全等三角形的对应角性质，结合已知求得，，则，然后根据三角形的内角和定理求得，最后利用三角形的外角性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解： ，， ． ◆题型5 用AAS证明三角形全等 28．（25-26八年级上·全国·期中）如图，是一段斜坡，是水平线，欢欢为了测斜坡上一点C的竖直高度，他在点C处立上一根竹竿，竹竿垂直于斜坡，在竿顶点D处垂下一根绳子，与斜坡的交点是E．当时，测得，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，得，，得到，于是得到，再证明，得到，解答即可． 本题考查了三角形全等的判定和性质，深刻理解垂下的意义，得到平行线成为解题的关键性突破口． 【详解】解：根据题意，得，， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 29．（25-26九年级上·广西柳州·期中）如图，，于点，、、三点在同一直线上，连结，，则的面积为_____． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是根据等腰三角形三线合一的性质作垂线．过点作交于点，过点作交于点，根据等腰三角形三线合一的性质得出，根据直角三角形两个锐角互余和等角的余角相等得出，根据全等三角形的判断和性质得出，即可求解． 【详解】解：过点作交于点，过点作交于点，如图： ∵，，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故的面积为． 故答案为：． 30．（25-26七年级下·广东茂名·期末）如图，在中，，，点D为直线上方一点，且，， (1)求证： (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：，，， ， ，， ， 在和中， ， ； (2) 【分析】（1）由题意易得，则有，然后根据全等三角形的判定定理可进行求证； （2）由（1）可知，，然后问题可求解． 【详解】（1）略 （2）解：， ，， ． ◆题型6 全等的性质与AAS综合 31．（25-26八年级上·河南信阳·期末）在和中，点A，C，D在同一条直线上，．若，则DE的长为（   ） A．8 B．7 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明即可解答，熟知一线三等角模型是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故选：D． 32．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，是的中点，分别过点，作的垂线，垂足为，．若，，则的面积是______． 【答案】 【分析】利用证明三角形的全等，得到，，，根据等面积法，即可求解的面积． 【详解】解：∵是的中点， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴． 33．（25-26七年级下·湖南长沙·期末）如图，是 的中线，交的延长线于点，于点，是 上一点，连接 ． (1)证明：． (2)若，，求 的长． 【答案】(1)证明：∵是 的中线， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴． (2) 【分析】（1）证明，对应边相等即可得到． （2）证明，则，即，则题目可解． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ◆题型7 用SSS证明三角形全等 34．（25-26九年级下·福建南平·阶段检测）已知，如图，，，， 求证：． 【答案】 证明：∵， ∴，即， 在 和中， ∴ ∴． 【分析】先由“”判定，即可证明． 【详解】略 35．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）【问题背景】 如图，在和中，点、、在一条直线上，为的中线，点是边上一点，连接，点是线段的中点．已知，． 【问题探究】 (1)如图1，与全等吗？请说明理由； 【问题解决】 (2)如图2，过点作于点，若，，，，求的长度．（用含、的式子表示） 【答案】(1)全等，理由如下： ∵是的中线， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， ， ∴， ∴， ， 在和中， ， ∴． (2) 【分析】（1）利用即可证明结论； （2）证明是直角三角形，由是的中线，可得，进而可得的长． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， 即， ∴． 36．（25-26八年级上·广东广州·阶段检测）如图，，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质． （1）利用即可证明； （2）由，得，利用证明即可得到． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． ◆题型8 全等的性质与SSS综合 37．（25-26八年级上·福建南平·期中）如图，在中，点在上，点在上，连接和，若，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，适当选择全等三角形的判定定理证明是解题的关键．根据，推出，由外角性质求得，再根据“”证明，得即可． 【详解】解：∵， ， ∴， 在和中，， ， ． 故选：C． 38．（25-26八年级上·陕西渭南·阶段检测）如图，在和中，连接，若，，，，，则的度数为_______°． 【答案】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，根据证明，可得，由三角形内角和定理得，可得，结合，从而可得结论． 【详解】解：在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 39．（25-26八年级上·浙江湖州·阶段检测）已知． (1)求证：； (2)，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用定理证明两三角形全等即可； （2）根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， 在与中， ， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∴． ◆题型9 用HL证明三角形全等 40．（25-26八年级下·陕西汉中·期中）如图，点、、、在同一条直线上，点、在线段的上方，连接、、、，且，，若要用“”直接证明≌，则可以添加条件是________（只写一个）． 【答案】或（写一个即可） 【分析】先证明，结合，再进一步求解即可． 【详解】解：∵， ∴，即， 添加：，而， 在和中， ， ∴， 添加：，而， 在和中， ， ∴． 41．（25-26八年级上·广东广州·期中）已知，，，垂足为点A，射线，垂足为点B． (1)如图1，若点E在线段上，点D在射线上，，请你添加一个条件：______，使得，判定全等的依据是：______； (2)在（1）的条件下，证明你的结论； (3)若点E从A点出发以的速度沿射线运动，点D在射线上，随着E点运动而运动，始终保持．若点E的运动时间为t秒，则当以点B、D、E组成的三角形与全等时，求t的值． 【答案】(1)，． (2)见解析 (3)3或7或10． 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定和性质，三角形的内角和，掌握知识点是解题的关键． （1）根据证明，即可解答； （2）先证明，推导出，，得到，根据证明，即可解答； （3）分情况，当E在线段上，或当E在线段延长线上，由即可求解． 【详解】（1）解：添加一个条件：，使得，判定全等的依据是：． 故答案为：，(答案不唯一)． （2）证明：∵，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）∵，， ∴， ∵， 当E在线段上时， 若， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 若， ∴， ∴， ∴（舍去）， 当E在线段延长线上时， 若， ∴， ∵， ∴， 若， ∴， ∵， ∴， ∴当或7或10秒时，与全等． 答：t的值为3或7或10． 42．（25-26八年级上·江苏南通·期中）如图，是等腰直角三角形，，点E是边上一点，过点B作于点D，交延长线于点F． (1)求证； (2)连接，求的度数； (3)若，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形外角的性质， 对于（1），直接根据“角边角”证明； 对于（2），在上取点G，使，作，先根据“角角边”证明，再根据“斜边直角边”证明，即可得出答案； 对于（3），在上取一点I，使，先证明，可得，进而得出，再根据三角形外角的性质得，再直角三角形的两个锐角互余得，则此题可解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图所示，在上取点G，使，过点C作， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴； （3）解：如图所示，在上取一点I，使， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵是的外角， ∴， ∴， 解得． 在中，， ∴， 即． ◆题型10 全等的性质与HL 综合 43．（25-26八年级下·陕西渭南·阶段检测）如图，是的中线，，垂足为E，，交的延长线于点F，G是延长线上一点，连接． (1)求证：； (2)若求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)4 【分析】（1）根据中点定义得，再根据“角角边”证明，可得答案； （2）先根据全等三角形的性质得，再根据“斜边直角边”证明，可得，进而得出，然后根据可得答案． 【详解】（1）证明：∵是的中线， ∴． ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴． ∵ ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 44．（25-26八年级上·河南驻马店·期末）如图，四边形中，于点F，交于点E，连接，平分． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1) 证明：∵ ∴ ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ∴ (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据证出即可； （2）证明，由全等三角形的性质可得出，由得到，利用解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵ ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 45．（25-26八年级上·安徽安庆·阶段检测），点，，，在同一条直线上，，过点，分别作，，，连接，与交于点． (1)求证：是的中点． (2)若将沿移动到如图所示的位置，其余条件不变，则（1）中结论是否仍然成立请说明理由． 【答案】(1) 证明：， 即 在和中， 在和中， ，即是的中点； (2) 解：成立，理由如下： ， ，即 ， 在和中， 在和中， ，即是的中点． 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、垂线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据垂线的性质得到，进而得到，证得，根据全等三角形的性质得到，再证得，根据全等三角形的性质得到，从而得到结论； （2）根据，结合，得到，同（1）可证是的中点． 【详解】（1）略 （2）略 ◆题型11 添加条件使三角形全等 46．（25-26七年级下·广东佛山·期末）如图所示，已知，，要想使，还需要再添加一个条件，那么在①，②，③中可以选择的是_________．（填写序号） 【答案】①③ 【分析】由结合等式的性质可得，再利用全等三角形的判定定理分别进行分析即可． 【详解】解：， ． 即． ①加上条件可利用定理证明； ②加上不能证明； ③加上可利用证明； 综上，可以选择的是①③． 47．（25-26七年级下·宁夏银川·期末）已知：如图，点在上，． 请从①；②；③这三个选项中，选择一个作为条件，使得，并说明理由． 解：选择条件是___________．理由是： 【答案】②， 理由：∵， ∴， ∵, ∴, 在和中 ∴； ③， 理由：∵， ∴， ∵， ∴， ∵, ∴, 在和中 ∴． 【分析】根据全等三角形的判定方法结合平行线的性质逐一判断证明即可． 【详解】选①或②，理由略． 若选①，满足的是边边角，不能判定两个三角形全等． 48．（2026·陕西榆林·三模）如图，在和中，点在边上，点在边上，若，，请你从以下三个选项：①；②；③中选择一个合适的选项作为补充条件，使得． (1)你选择的补充条件是__________（填序号）； (2)根据你选择的补充条件，写出的证明过程． 【答案】(1)①（或②） (2)选①，证明如下： 在和中， ， ∴． 选②，证明如下： 在和中， ， ∴． 【分析】（1）根据三角形全等的判定定理进行求解即可； （2）若选择①，则根据“”判定三角形全等；若选择②，则根据“”判定三角形全等． 【详解】（1）略 （2）略 ◆题型12 全等的经典模型——倍长中线 49．（25-26七年级下·山东枣庄·期末）【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图①，中，若，，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使，连接BE．请根据小明的方法思考： (1)由已知和作图能得到，依据是___________． A．    B．    C．    D． (2)由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是___________； 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 【灵活运用】 (3)如图②，是的中线，交于E，交于F，．若，，求线段的长． 【答案】(1)B (2) (3) 【分析】（1）由全等三角形的判定定理解答即可； （2）根据三角形的三边关系计算； （3）延长到M，使，连接，由证得，根据全等三角形的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵，即， ∴， ∵， ∴； （3）解：延长到M，使，连接，如图2所示： ∵，， ∴， ∵是的中线， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 50．（25-26七年级下·江西吉安·期末）阅读以下材料，完成以下两个问题． 【阅读材料】已知：如图，（）中，D、E在上，且，过D作交于点F，．求证：平分． 结合此题，，点E是的中点，考虑倍长，并且要考虑连接哪两点，目的是证明全等，从而转移边和角．有两种考虑方法：①考虑倍长，如图（1）所示；②考虑倍长，如图（2）所示 (1)请选择方法①或方法②，完成阅读材料中的证明． (2)根据上述材料，完成下列问题： 已知，如图3，在中，是边上的中线，分别以，为直角边向外作等腰直角三角形，，，，证明：； (3)与面积之间的关系，并说明理由． 【答案】(1)方法①∶证明：如图，延长至点，使，连接， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 平分； 方法②：证明：如图，延长至点，使，连接， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 平分； (2)如图，延长至点，使，连接， 是边上的中线， ， 在和中， ， ， ，， ∴， ∴， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ∴， 设与交于点H， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即． (3)与面积相等，理由如下； 由（2）可知， ∴， ∵，， ∴， 由（2）可知， ∴， ∴． 【分析】（1）方法①：延长至点，使，连接，证明，得到，，再根据等边对等角的性质和平行线的性质，得出，即可证明；方法②：延长至点，使，连接，证明，得到，，再根据等边对等角的性质和平行线的性质，得出，即可证明； （2）延长至点，使，连接，证明，得到，，进而推出，，再证明，即可得出，设与交于点H，由，即可得出，等量代换可得出，由三角形内角和定理即可得出． 【详解】（1）证明：略； （2）证明：略； （3）解：略； 51．（25-26七年级下·吉林长春·期中）【提出问题】 数学课上老师提出如下问题：如图①，在中， 是 边上的中线，，，若 边的长为整数，求 边的长．小张同学在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长 至点 ，使，连接，能得到，所以，进而利用三角形的任意两边之和大于第三边解决问题． 【思考发现】 (1)如图①，的理由是　　　　； A．                B．               C．                D． (2)根据小明的方法思考，可得 的长可能为　　　　；（写出一个即可） 【类比迁移】 (3)如图②， 是的中线，交 于点 ，交 于点 ，． 求证：． 以下是部分证明过程： 证明：如图③，延长 至点 ，使，连结． ⋯⋯ 请完成上述证明过程． 【学以致用】 (4)如图④，在和中，， ， ，连结 、，取 的中点 ，连结．若，则　　　　． 【答案】(1)B (2)2（或3，4，5，6之一） (3)证明：如图③，延长 至点 ，使，连接． 同（1），可证， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ∴． (4)4 【分析】（1）由题意知，，，可得； （2）由得，在中，根据三角形三边关系可得，进而即可求解； （3）倍长 至E，连 ，同（1）可证， 得出，结合，可得，由等边对等角可得，等量代换后可得，根据等角对等边即可得出结论； （4）倍长 至G，连，同（1），可证，进而证明，可得. 【详解】（1）解：在和中， ， ， 故选：B； （2）解： ， ， 在中，，，，， ∴， 即， ∵ 为整数，， ∴ 的长可以为 2，3，4，5，6 中之一. （3）略 （4）解：如图，延长至点 ，使，连， ∴， 同（1），可证， ∴. ∵ ， ∴， ∵， ∴. 在 中，， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，三角形三边关系的应用，中线的性质，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握倍长中线的辅助线作法是解题的关键． ◆题型13 全等的经典模型——旋转 52．（24-25八年级上·甘肃临夏·期末）综合与实践 数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地． 【发现问题】 （1）如图1，在和中，，，，连接，，延长交于点D．则与的数量关系为：______． 【类比探究】 （2）如图2，在和中，，，，连接，，延长，交于点D．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由． 【答案】（1）；（2），，见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，等腰三角形的性质，三角形的外角． （1）证明，即可得到； （2）根据等腰三角形的性质，证明即可得出结论． 【详解】解：（1）∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：． （2），， 理由如下：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴． 53．（24-25八年级上·广西南宁·期中）【问题初探】 和是两个都含有角的大小不同的直角三角板． （1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，、、在同一直线上，，，，．依据的是判定定理_________． A．    B．    C．    D． 【类比探究】 （2）当三角板保持不动时，将三角板绕点顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图（3），在四边形中，，，，连接，，，到直线的距离为7，请求出的面积．      【答案】（1）B；（2），；（3） 【分析】此题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质． （1）由条件可以看出是两边及夹角对应相等的两个三角形全等，据此求解即可； （2）先证明得到，，再延长与交于点O，证明即可得到； （3）过A作交延长线于M，作交于N，可证得，可得，再由求出和的长即可． 【详解】解：（1），，， ．依据的是判定定理， 故选：B； （2），，理由如下： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 延长与交于点O，如图2， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）过A作交延长线于M，作交于N，如图3， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵A到直线的距离为7， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴． 54．（25-26七年级下·四川成都·期末）在中，，． (1)点是内部一点，且． ①如图1，求证：； ②如图2，当，，三点共线时，连接，若，，求的面积； (2)如图3，点是外一点，且，若的面积为8，求的长． 【答案】(1)①证明：，， ， ，， . ，， ． ②30 (2)4 【分析】（1）①利用直角的性质，通过等量代换求出，结合已知条件，利用即可证明．②利用等腰直角三角形的性质和全等三角形的性质推出和相应的度数，和相应的长度，以及，根据直角三角形的面积公式即可求出的面积． （2）利用旋转的性质和已知条件，证明三点共线、以及，根据面积法即可求出的长度． 【详解】（1）①证明：略． ②解：，， ， ， 由①可得，， ， 为直角三角形， ，， ． ， ． （2）解：将绕点逆时针旋转使和重合，得到，如图所示， ，，，， 为等腰直角三角形， ， ， ， 在线段的延长线上， ， ， ． ，， ， ． 【点睛】本题考查了三角形全等，旋转的性质，等腰直角三角形的性质与判定，解题的关键在于判断三点共线，巧妙将边上的高转化为． ◆题型14 全等的经典模型——垂线 55．（25-26八年级上·内蒙古通辽·期中）【基础回顾】 （1）如图1，在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，．求证：； 【变式探究】 （2）如图2，在中，，直线经过点，点，分别在直线上，如果，求证：； 【拓展应用】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边，为一边向外作和，其中，，，是边上的高．延长交于点，设的面积为，的面积为，猜想，大小关系，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）见解析；（3），理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握一线三等角全等模型是解题的关键． （1）利用证明即可； （2）证明得到，，则； （3）过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，先证明得到．同理可证明：得到．则，即可得到，，． 【详解】（1）证明：∵直线l，直线l， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴． 在和中， ， ； （2）证明：∵是的外角， ∴． ∴． ∵， ∴． 在和中， ， ∴． ∴，． ∴； （3），大小关系是： 理由如下： 过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，如图所示： ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 在和中， ， ∴． ∴． 同理可证明：． ∴． ∴． ∵，， ∴． 56．（25-26八年级上·云南昭通·阶段检测）阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． (1)问题解决： 如图1，在等腰直角中，，过点作直线于点，于点，则与的数量关系是___________； (2)问题探究： 如图2，在等腰直角中，，过点作直线于点，于点，求的长； (3)拓展延伸：如图3在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，，求点坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）通过“一线三垂直”模型，证明，得． （2）同理证，得，再通过计算的长度． （3）作平行于坐标轴的辅助线构造“一线三垂直”模型，证，结合A、C的坐标差得到线段长度，即可计算B点坐标． 【详解】（1）解：∵是等腰直角三角形，，， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． （2）解：， ， ， ， 在与中， ， ， ， 又， ； （3）解：如图3过点作轴，过点作轴， 过点作轴，分别与交于点， 轴，轴，轴， ， 又， ， ， 在与中， ， ， ， ， ， ， 点坐标为． 【点睛】考查 “一线三垂直”模型、全等三角形的判定（AAS）、等腰直角三角形的性质、平面直角坐标系中点的坐标计算．解题关键识别“一线三垂直”模型，准确找到全等三角形的对应边、对应角；坐标系中利用垂直辅助线将点的坐标差转化为线段长度． 57．（24-25七年级下·河南郑州·期中）【材料阅读】小芳在学习完全等三角形后，她尝试用三种不同方式摆放一副三角板．如图：在中，，；在中，，，并提出了相应的问题． 【发现】如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点摆放在线段上时，过点作，垂足为，过点作，垂足为． (1)图1中，，，求的长．请补充小芳的过程． ， ， ∵，， ，， ， ， …… （补充小芳的过程） (2)【类比】如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，过点作，垂足为，猜想，，之间的数量关系，并说明理由． (3)【拓展】如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，若，，连接，请直接写出的面积． 【答案】(1) ∵，，， ∴； ， ∵，， ∴； (2) ．理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ； (3)21 【分析】本题综合考查了全等三角形的判定与性质，熟记相关定理内容进行几何推理是解题关键． （1）根据两个三角形全等的判定定理得到，利用两个三角形全等的性质，得到，，即可得到； （2）根据两个三角形全等的判定定理，得到，利用两个三角形全等的性质，得到，，由图中，即可得到三者的数量关系； （3）延长，过点作于，如图所示，由两个三角形全等的判定定理得到，从而，，则可求得，延长，过点作于，如图所示，由平行线间的平行线段相等可得，代入面积公式得，即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ∵，， ，， ， ， （2）略 （3）解：延长，过点作于，如图所示： ，， ， ，， ∴， ，， ， 延长，过点作于，如图所示： ， ， ， ， 由平行线间的平行线段相等可得， ． 故答案为：21． ◆题型15 全等三角形综合问题 58．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）根据图形解决以下问题 (1)如图1，在等腰直角中，，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，求证：； (2)在等腰直角中，，，点D是直线上一动点，分别过点作直线的垂线，垂足分别为点； ①如图2，点D在线段上，与是否全等？请说明理由； ②如图3，点D在线段延长线上，若，，请直接写出线段的长． 【答案】(1)证明：∵，， ∴， 又， ∴， 在和中，， ∴． (2)①； 理由：∵，， ∴， 又， ∴， 在和中，， ∴． ②4 【分析】（1）利用同角的余角相等证得，证明即可； （2）①利用同角的余角相等证得，根据证明；②利用同角的余角相等证得，根据证明，再利用等量代换即可． 【详解】（1）解：略 （2）解：①略 ②∵，， ∴， 又， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴． 59．（25-26七年级下·北京·期末）如图，在中，，点在边上，连接，点是边上一点，且，连接交于点．延长到，使得，连接，是的中线． (1)依题意补全图形； (2)若，． ①证明：； ②用等式表示与的数量关系，并证明． 【答案】(1)补全图形如下： (2)①证明：， ． ， ， ， ， ．                                                                          在和中， ， ， ；                                     ②关系：；                                         证明：延长到，使得，连接， 是的中线， ． 在和中， ， ， ，， ， ． ， ， ， ． 在和中， ， ， ． 【分析】（1）按照题意进行画图即可； （2）①证明，根据全等三角形的性质即可求解； ②延长到，使得，连接，证明，通过平行线的性质以及角度的和差关系可知，进而证明即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 60．（25-26七年级下·福建三明·期末）如图，中，，，为边上的点（不与两端点、重合），过点作的延长线于点，交的延长线于点． (1)试说明：． (2)若，，点从点出发，沿射线以每秒个单位长度的速度运动，设点的运动时间为秒，求为何值时，的面积为． (3)在（2）的条件下，点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向点运动，，两点同时出发，当点到达点时，，两点同时停止运动．点是射线上的一点，若，问是否存在值，使得以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等？若存在，请求出符合条件的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明：， ， ，     ， ， ，     ， 又，， ； (2)或 (3)存在，当或秒时，与全等 【分析】（1）根据题意先推出，再由，，即可证明； （2）根据题意，分两种情况讨论：当点在线段上时；当点在射线上时，综合两种情况即可得到的面积为时，的值； （3）根据题意，分为两种情况讨论：当点在线段上时；当点在的延长线上时，根据全等可反推出时，然后列方程求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图1，由（1）知， ，      当点在线段上时，， ，解得； 当点在射线上时，， ，解得； 综上所述，当或秒时，； （3）解：存在． 由（1）知， ， ，即， 如图2，当点在线段上时， ，且， 当时，， 此时，， ，解得， 如图3，当点在的延长线上时， ，且， 当时，， 此时，， ，解得， 综上所述，当或秒时，与全等． 考点三 尺规作图 ◆题型1 尺规作角 61．（25-26六年级下·山东青岛·期末）用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：如图，中，．求作：在的内部作射线，使． 【答案】解：所求图形，如图所示． 【分析】根据作一个角等于已知角的尺规作图方法作图即可． 【详解】略 62．（25-26七年级下·河南郑州·期末）如图，在中，点在上，点在上，且，，请完成以下问题： (1)尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规在边上确定一点，使得．（不写作法，只保留作图痕迹） (2)求的度数． 【答案】(1)如图，即为所求， (2) 【分析】（1）用尺规作图作，交于即可； （2）由得，由得，等量代换得． 【详解】（1）解：如图，作，交于， ， （2）解：， ， ， ， ， ， ． 63．（25-26七年级下·上海杨浦·期中）如图，中，，，点是线段上一点，按要求完成问题． (1)过点作交于点，连接； (2)点到的距离是______的长度； (3)______，如果设，那么______．（用含的代数式表示） 【答案】(1) (2) (3)56， 【分析】（1）根据作一个角等于已知角的作图方法进行作图即可； （2）根据点到直线的距离的定义可得答案； （3）由平行线的性质得，由题意得，则可得． 【详解】（1）解：如图，在的下方作，交于点，连接， 则即为所求，作图略； （2）由题意得，点到的距离是的长度； （3）， ， ，， ， ． ◆题型2 尺规作平行线 64．（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，已知点为边上中点，点为边上一点，连接． (1)尺规作图：过点作交延长线于点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若，，请求出的长度． 【答案】(1)如图，即为所求； (2)8 【分析】（1）作即可； （2）由作图可知，证明，得到即可． 【详解】（1）略； （2）解：由作图可知， ，， ， 点为边上中点， ， ， ， ∵， ， ， 即的长度为8． 65．（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图，中，点是线段上的一点，点为延长线上一点，，． (1)请用尺规过点作直线，使，交于点（保留作图痕迹，不写作法）； (2)请在图中找出一对全等三角形，并说明理由． 【答案】(1)所作图形如图所示： (2)，理由如下： 因为， 所以，即：， 因为， 所以， 因为， 所以， 在和中， ， 所以 【分析】（1）按尺规作图作与相等的角，进而问题可求解； （2）由题意易得，，，然后根据全等三角形的判定定理可进行求解． 【详解】（1）略 （2）略 66．（25-26七年级下·广东佛山·期中）如图，在中，，点在上． (1)求作线段，使得，且交于点（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，连接，若，求的度数． 【答案】(1)如图，线段即为所作， (2)． 【分析】（1）利用基本作图作交于点E即可； （2）利用平行线的性质求得，推出，据此求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ◆题型3 尺规作三角形 67．（25-26七年级下·山东青岛·期末）已知：如图，，点在边上．请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．求作：，使，并满足点在的延长线上，． 【答案】即为所求， 【分析】先作，再分别截取线段，使得，，则即为所求． 【详解】略． 68．（25-26七年级下·广东揭阳·阶段检测）【课本回顾】你还记得怎样用尺规作一个角等于已知角吗？你能说明其中的道理吗？小明回顾了作图过程，并进行了如下思考： 如图1，由尺规作图可知，，__________， 所以（__________），（填全等判定依据） (1)完成上述小明思考过程中的填空； (2)【操作应用】 如图2，已知线段和，请用尺规作一个，使；（保留作图痕迹，标明字母，不写作法） 【答案】(1)， (2)解：如图，即为所求 【分析】（1）结合全等三角形的判定定理填空即可； （2）先根据作一个角等于已知角的方法作，以点C为圆心，线段a的长为半径画弧，交射线于点B，再以点C为圆心，线段a的长为半径画弧，交射线于点D，以点D为圆心，线段a的长为半径画弧，交射线于点A，连接即可． 【详解】（1）略 （2）略 69．（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图1，中，点，分别在边、边上．数学学习小组围绕“全等三角形的对应线段相等”展开探究活动． (1)【课本再现】如图2，，请用尺规在中画出与中线段相对应的线段，并说明． (2)【深入探究】小组同学探究得到边上存在点，，连接，使得且．请从下列两个不同的作法中选择一种，根据作图步骤补充说理过程． 作图步骤 示意图 说理过程 方法一 ①过点作交于点； ②在上截取； ③连接． 即为所求作的线段． 已知：如图，，； 求证：且． 证明：连接…… 方法二 ①过点作交于点； ②在上截取，在上截取； ③连接． 即为所求作的线段． 已知：如图，，，； 求证：且． 证明：…… (3)【创新突破】如图3，请用尺规在边上作出点和，连接，使得，且．保留作图痕迹，并简要说明作图步骤． 【答案】(1)如图，线段即为所求作， 理由如下： ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴； (2)方法一：已知：如图，，； 求证：且． 证明：连接， ∵， ∴， 又∵，， ∴ ∴，， ∴； 方法二：已知：如图，，，； 求证：且． 证明：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴ (3)如图，线段即为所求作， 延长，截取，交的延长线于点，截取，交的延长线于点， 点为上一点，连接， 以点为圆心，以为半径作弧，以点为圆心，以为半径作弧，两弧相交于点， 连接并延长交与点， 截取，连接，即为所求作， 理由如下： ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 连接， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴ 【分析】（1）在，上分别截取，，连接，即为所求作； （2）通过证明三角形全等，找到对应边和对应角相等，进一步得到两直线平行； （3）延长，截取，作，得到，与交点为点，在上截取，连接，可证得，则得到，． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，已知，且，延长交于点F，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，得到，，再进一步求解即可． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， ∴． 2．（25-26八年级上·湖南岳阳·期末）如图，中，厘米，厘米，点为的中点．如果点在线段上以2厘米/秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．若点的运动速度为厘米/秒，则当与全等时，的值为（ ） A．或 B．或2 C．或2 D．或 【答案】C 【分析】此题考查了全等三角形的性质．熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 分两种情况讨论：①，②，继而可解． 【详解】解：设两点所用的时间为，则，，， 中，厘米，点为的中点， 厘米， 若，则，， 则，解得； 若，则 则， 解得， 的值为：或2； 故选：C． 3．（25-26九年级上·安徽马鞍山·期末）如图，已知的延长线交于点F，且经过点E，若，，则的角度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据邻补角定义求得的度数，再根据全等三角形的性质求解的度数，然后根据三角形外角的性质可得出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 4．（25-26八年级上·河南信阳·阶段检测）如图，，，再添加一个条件，使得，所添加的条件不正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】已知，，对照全等三角形判定定理逐一判断条件能不能证明；两边及其中一边的对角相等不能判定三角形全等． 【详解】解：已知：，， 选项A：，，，属于两边和其中一边的对角对应相等，不能判定，故此选项错误． 选项B：， ， 在和中， ， ，故此选项正确． 选项C：和都是直角三角形， 在和中， ， ，故此选项正确． 选项D：在和中， ， ，故此选项正确． 5．（25-26七年级下·广东深圳·期末）同学们为了测量教学楼的高度，进行了如下操作：如图，在教学楼前竖直放置一根高为3米的标杆，测得标杆底部点与教学楼底部点之间的距离为18米．在教学楼与标杆之间的地面上选取一点，测得点到教学楼底部点的距离为3米，从点观察标杆顶与楼顶时，，且点在同一水平线上．根据以上数据计算出教学楼的高度是（     ）米． A．15 B．13 C．12 D．18 【答案】A 【分析】根据题意可得 ，利用同角的余角相等证明 ，从而证得 ，利用全等三角形性质即可得出 ． 【详解】解：由题意可知 ，， ． ， ． 又 ， ． 又∵ ． ． ，， ∴， ∴ ． 即教学楼的高度是 15 米． 6．（25-26七年级下·广东揭阳·阶段检测）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，，爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先证明，根据全等三角形的性质可得，再求出的长，然后根据求解即可得． 【详解】解：由题意可知，， ，与底面垂直，B处距地面高， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 即爸爸在处接住小丽时，小丽距离地面的高度是． 二、填空题 7．（25-26七年级下·内蒙古包头·期末）如图，点，，，在同一条直线上，，．如果要使，需要添加的一个条件是__________． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：∵， ∴，即， ∵， 若添加， ∴； 若添加， ∴； 若添加，则， ∴． 8．（25-26七年级下·四川达州·期末）如图，在中，，，，P，Q两点分别在和的垂线上移动，，则当________时，才能使和全等． 【答案】3或6 【分析】先得出是直角三角形，再根据定理分两种情况解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴是直角三角形， ∵， ∴①当时，则，符合题意； ②当时，则，符合题意； 综上，当或时，才能使和全等． 9．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，是的中点，分别过点，作的垂线，垂足为，．若，，则的面积是______． 【答案】 【分析】利用证明三角形的全等，得到，，，根据等面积法，即可求解的面积． 【详解】解：∵是的中点， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴． 10．（25-26七年级下·北京·期末）如图，在中，，的角平分线，交于点，过点作交于点，交的延长线于点．则的度数为________；若，且，则________． 【答案】 【分析】①根据角平分线的定义以及三角形的内角和即可求解；②延长，过点作交延长线与点,证明，根据线段的比例关系可知，根据面积构造方程即可知的长度，进而即可求解． 【详解】解：①∵是的平分线， ∴ ∵ ∴ ∴， ∴， ②延长，过点作交延长线与点, ∵, ∴, ∵， ∴ ∴ 在和中， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴, ∴, 解得：, ∴． 11．（2022·吉林长春·模拟预测）一天课间，顽皮的小明同学拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心将三角板掉到两根柱子之间，如图所示，这一幕恰巧被数学老师看见了，于是有了下面这道题：如果每块砖的厚度，则的长为_____． 【答案】49 【分析】先根据“”证明，可得，，然后根据可得答案． 【详解】解：由题意得，，，， ， ， ， ， ， ， ，， ． 12．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，，点是边上的一点，过点作交的延长线于点，延长至点，使得，连接交于点，若，，则的面积为______． 【答案】 【分析】过点作于，根据直角三角形两锐角互余的性质得出，进而证明，得出，，，根据得出，进而证明，得出，进而得出，根据三角形面积公式即可得出答案． 【详解】解：如图，过点作于， ∵，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 13．（25-26七年级下·广东梅州·期末）如图，在中，是上的一点，，，，动点从点出发向点运动，速度为1，同时动点从点出发向点匀速运动，连接、，在运动过程中，存在某一时刻使与全等，则点的运动速度为________． 【答案】或 【分析】利用全等三角形的性质，设运动时间为，点的运动速度为，则有， ，分两种情况和，分别计算出点的运动速度． 【详解】解：设运动时间为，点的运动速度为， 则， ∴， ∵，当时，，， ∴，， ∴，， ∴点的运动速度为， 当时，，， ∴，， 解得， ∴点的运动速度为， 综上，点的运动速度为或． 14．（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图，中，，平分交于，点在线段上，满足，若，，则的长为______． 【答案】14 【分析】延长到M，作于H．首先证明，推出，再证明，得到，然后问题可求解． 【详解】解：延长到M，作于点，则，如图所示： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴ ∴， ∵， ∴． 15．（25-26七年级下·山东济南·期末）如图，中，于点，，过点作，，连接交于点，若，，则____________． 【答案】4 【分析】在上取一点E，使得，连接，由题意易得，则有，，然后可得，则有，进而问题可求解． 【详解】解：在上取一点E，使得，连接，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 三、解答题 16．（25-26八年级下·河南驻马店·阶段检测）如图，在四边形中，，平分交于点E，连接，且，求证：． 【答案】证明：在上截取，连接． ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ． 【分析】采用截长法，在AB上截取，连接；先利用角平分线条件证明，推导出对应角相等；再结合平行线、垂直的条件推导角的等量关系，证明，得到；最后通过线段和差等量代换证出． 【详解】略 17．（25-26七年级下·河北承德·阶段检测）如图，D为外部一点，连接，，已知， (1)尺规作图：在内求作一点M，使；（提示：以点A为圆心，为半径画弧；再以点C为圆心，为半径画弧，两弧交于点M，连接） (2)①通过作图可以得到：______，______； ②判定的依据是______（从、、或中选填）； (3)求． 【答案】(1) (2)①；；② (3) 【分析】（1）根据提示作图即可； （2）①根据题意可得答案；②结合全等三角形的判定可得答案． （3）结合全等三角形的判定可得，在中，，在中，，则可得． 【详解】（1）略； （2）解：①通过作图可以得到：． ②结合作图得， ∵ ∴判定的依据是； （3）解：在中，， 在中，． ∵， ∴． ∴ ． 18．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）已知，，平分交于点D (1)如图1，过点D作于点E，说明：； (2)如图2，在（1）的条件下，延长交的延长线于点F，说明：； (3)如图3，点H为上一点，连接，，，求的长 【答案】(1)解：∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴； (2)解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； (3)5 【分析】（1）利用证明即可； （2）证明，即可得出结果； （3）作于点，由全等得到，由（1）可知，进而得到，根据线段的和差关系得到，即可得出结果. 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：作于点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∴， ∴， ∴. 19．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在四边形中，点E在边上，，且平分，F是四边形外一点，连接，． (1)和全等吗？请说明理由； (2)若，，，求的度数． 【答案】(1)解：，理由如下： ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴． (2) 【分析】（1）先得出，再根据定理即可得证； （2）先得出，，再得出，然后根据三角形的外角性质求解即可． 【详解】（1）略． （2）解：由（1）已得：， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴． 20．（25-26七年级下·四川达州·期末）如图1，在中，，，直线l经过点C，过A作，垂足为D，过B作，垂足为E． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)如图2，延长至，连接，过点作，且，连接交直线l于点H，若，，求的长． 【答案】(1)证明：直线经过点，，垂足为，，垂足为， ， ， ， 在和中， ， ； (2)8 (3)8 【分析】（1）由，，得，因为，所以，而，即可根据证明； （2）由全等三角形的性质得，因为，所以； （3）作于点，则，由，推导出，而，可证明，得，，则，再证明，得，由，求得，则，即可求得． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得， ，， ， ， 的长是． （3）解：如图，作于点，则， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，， ， ，， ， 线段的长为． 21．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）数学课上，老师让同学们准备等腰三角形纸片进行操作活动，探究有关线段之间的关系．已知：在中，． 【初步探究】 (1)如图1，若，点，，在直线上，，则与有怎样的数量关系？请直接写出结论； (2)【变式训练】 如图2，若，点，，在直线上，，试判断线段、和的数量关系，并说明理由． (3)【拓展应用】 如图3，若，，，是中点，点在线段上以的速度由点到点运动，同时点在线段上由点到点运动，它们运动的时间为，当点的运动速度为多少时，能使与以，，三点为顶点所构成的三角形全等．（直接写出结果） 【答案】(1) (2)，理由：∵点、、在直线上， ∴， 由三角形内角和定理知，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (3)或 【分析】（1）利用平角的定义和三角形内角和定理得，再利用证明，得； （2）同（1）可证明，得，可得答案； （3）过点A作于F，可证明，得到；再分和两种情况，利用全等三角形的性质讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）略 （3）解：如图所示，过点A作于F， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵E是中点， ∴； 当时，则， ∴， ∴； 当时，则， ∴， ∴， ∴； 综上所述，点Q的运动速度为或． 22．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）根据图形解决以下问题 (1)如图1，在等腰直角中，，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，求证：； (2)在等腰直角中，，，点D是直线上一动点，分别过点作直线的垂线，垂足分别为点； ①如图2，点D在线段上，与是否全等？请说明理由； ②如图3，点D在线段延长线上，若，，请直接写出线段的长． 【答案】(1)证明：∵，， ∴， 又， ∴， 在和中，， ∴． (2)①； 理由：∵，， ∴， 又， ∴， 在和中，， ∴． ②4 【分析】（1）利用同角的余角相等证得，证明即可； （2）①利用同角的余角相等证得，根据证明；②利用同角的余角相等证得，根据证明，再利用等量代换即可． 【详解】（1）解：略 （2）解：①略 ②∵，， ∴， 又， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴． 23．（25-26七年级下·广东清远·期末）综合探究 【初步探索】 (1)如图1，在四边形中，，，，分别是，上的点，且，探究图1中，，之间的数量关系．小颖同学探究此问题的方法是：延长到点，使．再连接，先说明，再说明，可得出结论，他的结论应是________． 【灵活运用】 (2)如图2，若在四边形中，，，，分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立？请说明理由． 【拓展延伸】 (3)已知在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，如图3所示，仍然满足，若，求的度数． 【答案】(1) (2)仍然成立，理由如下： 延长到点，使得，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）根据题意可进行求解； （2）延长到点，使得，由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求解； （3）在的延长线上取一点，使得，连接，由题意易得，则有，，然后可得，进而可得，最后问题可求解． 【详解】（1）解：延长到点，使．再连接，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）略 （3）解：在的延长线上取一点，使得，连接，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 24．（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，在四边形中，，，，是边上一点，是的延长线上一点，且． (1)求证：； (2)若点在边上，且，试猜想，，之间的数量关系，并说明理由； (3)若将题中条件“，”改为“，，点在边上”，则当满足什么条件时，（2）中结论仍然成立？（只写结果即可） 【答案】(1)证明：，，， ， 又， ， 在和中， ， ， ； (2)解：猜想、、之间的数量关系为：． 证明：，， ∴， 由（1），可得， ， ， 即， ， 在和中， ， ， 又，， ； (3)当时，仍然成立． 【分析】本题综合考查了全等三角形的性质和判定． （1）首先判断出，然后根据全等三角形判定的方法，判断出，即可判断出； （2）猜想、、之间的数量关系为：．首先证明，据此推得，所以，最后根据，判断出即可． （3）当时，仍然成立，依照（2）的证明过程即可解答． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：当时，仍然成立， 证明：，， ∴， 由（1），可得， ， ， 即， ， 在和中， ， ， ， 又，， ； ∴当时，仍然成立． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $