1.6 相似三角形的应用 课堂基础训练 2026-2027学年湘教版数学九年级上册

**基本信息** 以相似三角形性质应用为核心，整合无人机航拍、《墨经》小孔成像等真实情境，设置选择、填空、解答梯度题型，强化数学建模与实际应用能力。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|7|相似三角形性质及应用|融入无人机测绘、杠杆原理等科技情境，考查相似比直接应用| |填空题|6|相似三角形性质及应用|结合《孙子算经》古题、小孔成像实验，体现文化传承与科学原理| |解答题|7|相似三角形性质及应用|设计测量旗杆、路灯影长等实践任务，培养几何直观与模型意识|

相似三角形的应用举例（基础训练） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．无人机进行空中航拍测绘作业时，其相机镜头的成像过程可简化为一组相似三角形模型．如图所示，地面上的目标线段在相机传感器上的成像为线段，．目标线段的长度为，的长度为，若此时该相机镜头距离成像传感器的距离为，则无人机镜头距地面的垂直高度为（     ） A． B． C． D． 2．如图1，舂臼（）是利用了杠杆原理给谷物种子进行脱壳的一种传统工具，图2是该舂臼的侧面简易示意图，点O是支点，点O到地面的距离，且，则点A到地面的距离是（    ） A． B． C． D． 3．无人机进行空中航拍测绘作业时，其相机镜头的成像过程可简化为一组相似三角形模型．如图所示，地面上的目标线段在相机传感器上的成像为线段，．无人机镜头距地面的垂直高度为，的长度为，若此时该相机镜头距离成像传感器的距离为，则目标线段的长度为（   ） A． B． C． D． 4．如图1，皮影戏利用灯光将皮影投射到幕布上形成影像．如图2，灯光可看作点光源O，皮影经照射在幕布上形成影像．嘉淇测出O到，的距离以及的长度，就能求出的长度，其依据是（    ） A．等腰三角形三线合一 B．相似三角形对应边的比等于相似比 C．全等三角形的对应边相等 D．平行线间的距离处处相等 5．铁路道口的栏杆如图所示，m，m，要使栏杆右端从栏杆水平位置上升的垂直距离为4m，则栏杆左端应下降的垂直距离为（    ） A．2m B．1.5m C．1m D．0.5m 6．约在两千五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰的高度是，则蜡烛火焰倒立的像的高度是（   ） A． B． C． D． 7．如图，为凸透镜，其厚度忽略不计，O为凸透镜的光心，E为凸透镜的焦点，在凸透镜左侧的主光轴上垂直放置一支蜡烛，透过凸透镜后成的像为．平行于主光轴的光线，通过凸透镜折射后经过焦点，并与光线会聚于点C．若物距，像距，则凸透镜的焦距的长为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 8．《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其中记载着这样一道题：今有树，不知其高，去树五十步，立表高五尺，人却退七步，望表末，与树末参直，人目高四尺，问树高几何？大致意思是：如图，为求树高，在距离树50步的地方，竖立一根5尺长标杆，再向后退7步，此时眼睛、标杆顶端、树顶端在一条直线上，眼睛离地面的高为4尺，则树高为_______尺． 9．小明和小强在同一时刻并排站立在阳光下，测得小明的身高为1.8米，其影长为2米，小强的身高为1.6米，则小强的影长为________米． 10．阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物，这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是____________． 11．如图，、两地被假山阻隔，为测量、两地的距离，在地面上选一点，连接、，分别在、上取点、，使得，量得的长为 ，则两地的距离为________． 12．如图，为测量某棵树的高度，小明用长为竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿顶端影子与树的顶端影子恰好落在地面同一点．此时竹竿与这一点相距，与树相距，则树的高度为____米． 13．物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法．如图，小强自制了一个小孔成像装置，其中蜡烛（竖直放置），经小孔所成的像，蜡烛距离纸筒的距离为，则纸筒的长度为___________． 三、解答题 14．某数学课外小组运用数学知识测量直立在操场上旗杆的高度，并制作了如下实践报告： 实践主题 测量旗杆的高度 示意图 测量过程 一位同学站在操场的点B处，另一位同学在点D处放置了一根标杆，在B和D之间找到一个合适的位置O，并在O处平放一面小镜子，点B处的同学恰好看到在镜子里点C和点E重合（图中各点在同一平面）． 测量数据 ，，，点B处同学的眼睛离地面的高度．，，均与水平地面垂直． 请你根据以上实践报告，求出旗杆的高度． 15．如图，路灯（P点）距地面米，身高米的小明从距路灯的底部（O点）20米的A点，沿所在直线行走14米到B点时． (1)求小明在A点处的影子的长度； (2)当小明从A点走到B点，影子是变长了还是缩短了？并求出变长或变短了多少米？ 16．如图，小明站在离路灯处（即），这时测得他的影长为（即），已知小明的身高为（即），求路灯的高度． 17．如图，为了测量山脚、之间的距离，选定一点，量得步，步，在的延长线上取点，使步，在的延长线上取点，使步，量得步．你知道、之间相距多少步吗？ 18．学校“数学建模小分队”为了测量校园里水平地面上一棵树的高度，做了如下的探索：根据《物理》中光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如下图所示的测量方案：①把一面很小的镜子放在离树底B距离米的点E处；②沿着直线后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A；③用皮尺量得米；④观察者目高米，则树（）的高度约为多少米（精确到米）． 19．周末王老师给学生们布置了一项实践作业：应用学过的数学知识实地测量崇法寺塔的高度．下面是他们的部分测量方案及测量数据． 背景素材 崇法寺塔，位于河南省商丘市，因建于崇法寺内，故名崇法寺塔．塔檐是由莲花瓣石叠砌而成，平座用斗拱承托，显得层层叠叠，极富装饰性．挑檐角配以石雕龙头，口衔风铎，微风吹动，叮咚作响． 测量工具 标杆，皮尺 测量方案 选一同学作为观测者，在观测者与崇法寺塔之间的地面直立一根标杆．观测者调整自己的位置，使崇法寺塔的顶端、标杆的顶端与自己的眼睛恰好在一条直线上．另一同学分别测出观测者的脚到崇法寺塔底端的距离，观测者的脚到标杆底端的距离，标杆的高． 测量示意图 测量数据 线段表示崇法寺塔，标杆，观测者的眼睛到地面的距离，观测者的脚到崇法寺塔底端的距离，观测者的脚到标杆底端的距离． 方案评价 根据以上信息，解决下列问题． (1)过点作于，交于，则得出四边形是矩形的直接依据是__________；（填序号） ①对角线相等的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形； ③有一个角是直角的平行四边形是矩形． (2)帮该小组求出崇法寺塔的高度； (3)写出一条你在活动中的收获或反思． 20．小美和小丽利用学过的数学知识测量家门口一盏路灯的高度，如图，当小丽站在D处时，她的影子为，小美测量出，当小丽移动至点F时，她的影子为，小美测量出．已知，点B、D、M、F、N在同一水平直线上，图中所有的点都在同一平面内，请你求出路灯的高度． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《相似三角形的应用举例（基础训练）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 B D C B C D C 1．B 【分析】根据相似三角形的性质：相似三角形对应高的比等于相似比即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴，即， ∴（米）． 2．D 【分析】过点A作垂直地面于点H，证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图，过点A作垂直地面于点H，则， ∴， ∴， ， 由题意地面知， ，即， ． 3．C 【详解】解：， ， ． 4．B 【分析】根据题意可得，利用相似三角形对应边的比等于相似比即可得出的长度． 【详解】设O到，的距离分别为， 由题意可得，， ∴， ∴依据是相似三角形对应边的比等于相似比． 5．C 【分析】利用相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：由题可知,, ∴, ∴, ∴, 解得． 6．D 【分析】直接利用相似三角形的对应边成比例解答即可． 【详解】解：设蜡烛火焰倒立的像的高度是， 由相似三角形性质得到：． 解得，经检验，符合题意； 即蜡烛火焰倒立的像的高度是． 7．C 【分析】先得出，再得出，则，进而可得，然后得出，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：由题意得：，，， ∴四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴． 8． 【分析】将实际问题转化为几何模型，利用相似三角形对应边成比例的性质列方程求解即可． 【详解】解：如图，过作，分别交标杆、树于点， 设树高为尺，由题意可知（尺），步，（步），尺， ∵标杆、大树均与地面垂直， ∴， ∴， ∴， 解得． 9．/ 【分析】同一时刻阳光下的平行投影中，物体高度与影长成比例，据此设未知数列方程求解即可． 【详解】解：设小强的影长为米，根据题意得 解得 经检验是原方程的解. ∴小强的影长为米． 10．36 【分析】首先根据题意证明，然后根据相似三角形的对应边成比例求得的长度． 【详解】解：由图可知，，且， ∴， ∴， ∵，，， ∴，即， 解得． 11． 【分析】根据已知证明，进而根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ 又∵， ∴ ∴ ∵的长为 ， ∴两地的距离为 12．6 【分析】如图，先证明，再利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图： 由题意知：，， ∴， ∴， ∴，即， ∴树的高度． 13． 【分析】本题考查了相似三角形的应用．设纸筒的长度为，根据光学原理，得到，得到，继而得到，即可求解． 【详解】解：设纸筒的长度为，根据光学原理，得到， ∴， ∴，即， 解得． 即纸筒的长度为， 故答案为：． 14．旗杆的高度为12米． 【分析】先证明，由此求得，进而求得；再证明，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：旗杆的高度为12米． 15．(1)5米 (2)缩短了，缩短了米 【分析】（1）先证明，即可列方程求解； （2）先求得米，再证明，即可列方程求解． 【详解】（1）解：，， ， ， ， ， ， 解得（米）； （2）解：米，米， （米）， ，， ， ， ， ， ， 解得（米）， 所以当小明从A点走到B点，影子缩短了，缩短了（米）． 16． 【分析】先求出的长，再证出即可． 【详解】解：∵，， ∴， 由题意得：，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 答：路灯的高度为． 17．136步 【分析】先计算两组对应边的比值，结合对顶角相等证明，再利用相似三角形对应边成比例求出长度． 【详解】解：已知，，，， ， ， 与是对顶角， ， 两边对应成比例且夹角相等，故， ， 已知步，代入得：， 之间相距136步． 18．米 【分析】证明，得出，即，求出结果即可． 【详解】解：∵，， ∴， ， ， ， 米，米，米， ， （米）． 答：树的高度约为米． 19．(1)② (2)米 (3)测量数据不准确，在测量过程中为了避免误差太大，可以多次测量，取平均值作为最后的测量结果(答案不唯一) 【分析】（1）根据有三个角是直角的四边形是矩形判断即可； （2）证明，根据相似三角形的性质列比例式求解即可． （3）言之有理即可． 【详解】（1）解：由题意，， ， ， 四边形是矩形． 得出四边形是矩形的直接依据是有三个角是直角的四边形是矩形． （2）解：如图， 四边形是矩形， ，，， ， ， ， ， ， 米， 米． 崇法寺塔的高度为米． （3）解：测量数据不准确，在测量过程中为了避免误差太大，可以多次测量，取平均值作为最后的测量结果(答案不唯一)． 20．路灯的高度为． 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质．证明，可得，再由，可得，可求出的长，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴ 解得：， 答：路灯的高度为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $