1.6 相似三角形的应用-【探究在线】2026-2027学年九年级上册数学高效课堂导学案（湘教版·新教材）

©1.6相似： 1 基础在线》知识要点分类练 知识点利用三角形相似解决有关实际问题 1.如图，为估算某河的宽度，在河对岸选定一个目 标点A,在近岸取点B,C,D,使得AB⊥BC,CD ⊥BC,点E在BC上，并且点A,E,D在同一 条直线上.若测得BE=20m,CE=10m,CD =20m,则河的宽度AB等于 A.60m B.40m C.30m D.20m A 第1题图 第2题图 2.《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上 部分深度的方法.如图，在井口A处立一根垂 直于井口的木杆AB,从木杆的顶端B处观察 井水水岸D处，视线BD与井口的直径AC交 于点E,如果测得AB=1米，AC=1.6米， AE=0.4米，那么CD的长为 A.2米 B.3米 c.2米 D.号米 3.(中考·杭州)某项目学习小 组为了测量直立在水平地面 上的旗杆AB的高度，把标 杆DE直立在同一水平地面 上（如图）.同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光 下的影长分别是BC=8.72m,EF=2.18m. 已知点B,C,E,F在同一直线上，AB⊥BC, DE L EF,DE=2.47m,则AB= m. 29探究在线九年级数学（上）·灯 三角形的应用 4.如图是用杠杆撬石头的示意图，C是支点，当 用力压杠杆的A端时，杠杆绕C点转动，另一 端点B向上翘起，石头就被撬动.现有一块石 头，要使其滚动，杠杆的B端必须向上翘起 10cm,已知杠杆的动力臂AC与阻力臂BC 之比为6：1，要使这块石头滚动，至少要将杠 杆的A端向下压 cm 第4题图 第5题图 5.已知有两堵墙AB,CD,AB墙高2米，两墙之间 的距离BC为8米，小明将一架木梯放在距B点 3米的E处靠向墙AB时，木梯有很多露出墙外 将木梯绕点E旋转90°靠向墙CD时，木梯刚好 达到墙的顶端，则墙CD的高为 米 6.某校九年级在一次研学活动中，数学研学小组 为了估计澧水河某段水域的宽度，在河的对岸 选定一个目标点A,在近岸分别取点B,D,E, C,使点A,B,D在一条直线上，且AD⊥DE, 点A,C,E也在一条直线上，且DE∥BC.经测 量BC=25米，BD=12米，DE=35米，求河 AB的宽度. B 2能力在线》 方法规律综合练 7.图①是装了液体的高脚杯示意图（数据如图）， 用去一部分液体后如图②所示，此时液面AB 6 cm 15 cm 11cm ↓水平线 图① 图② A.1 cm B.2 cm C.3 cm D.4 cm 8.(教材P40习题T3变式)如图，一条河的两岸 有一段是平行的，在河的南岸边每隔5米有一 棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆.小丽 站在离南岸边15米的点P处看北岸，发现北 岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮 住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽 为 米 A于北岸于B 00000D 八、南岸 DG 第8题图 第9题图 9.如图，某水平地面上建筑物的高度为AB,在点 D和点F处分别竖立高是2米的标杆CD和 EF,两标杆相隔52米并且建筑物AB、标杆 CD和EF在同一竖直平面内.从标杆CD后 退2米到点G处，在G处测得建筑物顶端A、 标杆顶端C在同一直线上；从标杆FE后退 4米到点H处，在H处测得建筑物顶端A和 标杆顶端E在同一直线上，则建筑物的高是 米. 10.(教材P39练习T2变式)某数学兴趣小组在 测量学校旗杆的高度时，让一名同学直立在 点F处，手拿一块直角三角板CDE,保持斜边 CE与地面BF平行，延长CE交AB于点G, 如图，并沿着射线CD的方向观察，刚好看到 旗杆的顶端A点，已知该同学的身高CF为 1.6m,点F到旗杆底端的距离BF为12m, CE=50cm,CD=40cm,求旗杆AB的高度. D ③拓展在线》 培优拔尖提升练。 11.如图①，长、宽均为3，高为8的长方体容器，放 置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6，绕 底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容 器口边缘，图②是此时的示意图，则图②中水 面高度为 () 容器口边缘 水面高度 图① 图② B.32 5 C.1234 D.2034 17 17 第1章30.AP,DQ分别是△ABC和△DEF的对应中线， .AB=8,.AD=2 .AP:DQ=2:1..AP=2,∴.DQ=1. 能力在线 (2:△ADEAABC,∴-()=(H)'=G 7.B8.C9.C S△ADE=1,.S△ABc=16, 10..AD:DB=4:3,.AD:AB=4:7 四边形BFED是平行四边形，∴.EF∥AB, .DE∥BC,·△ABC∽△ADE. :CF,EG分别是△ABC与△ADE的中线，AP=EC. △EFCn△ABCS-()广=器 AB CF S△ABC SAEFC=9, 青=悬CF=7 4 ,.平行四边形BFED的面积为16一9一1=6. 拓展在线 即CF的长为7cm. 14.B 11.设正方形DEFG的边长为xcm, 则AM=AH-HM=(8-x)cm, 微专题3相似三角形的性质与判定 DE∥BC,∴△ADEn△ABC 1.√32.A3.45 .AM-DE A7Be,即8=之 4.(1)证明：，∠ACB=∠FCE=90°，∠CAB=∠CFE, 8 2,解得x=4.8. .△CABp△CFE, 答：正方形DEFG的边长为4,8cm. 拓展在线 器器器瓷∠B=∠cBr 12.(1),CD是Rt△ABC斜边上的高 :∠ACB-∠ACE=∠FCE-∠ACE, ∠A+∠B=90°，∠A+∠ACD=90°，∠ADC=∠CDB. ,∴·∠ACF=∠BCE ∴.∠B=∠ACD.△ACD∽△CBD. ∴.△BCE∽△ACF,∴.∠B=∠CAF, 又DF⊥BC,DE⊥AC, DF BC .∠CEF=∠CAF. DE CA (2).∠ACB=90°，AC=20,BC=15, 又C=6,Ac=8E-器=g=是 ∴.由勾股定理，得AB=√AC+BC=√202+15=25. .AE=7,.BE=AB-AE=25-7=18, (2)由1)可知DE=3 bE=主，设DF=3x,则DE=4z :△BCE△ACF,ACAF, BC BE ∴.SAACD= AC,DE=合×8X4z=16z, 1 ∴贵=A是AF=2M 2BC,DF=号×6X3x=9z 5.(1)证明：，四边形ABCD是正方形， ∴.∠CDH=90°=∠ADE,AD=CD. 又：SaMc= 2AC·BC=号×8X6=24, 又.AE=CH,∴.Rt△ADE≌Rt△CDH(HL) (2).'△ADE≌△CDH,.∠FAH=∠DCH, 又：∠AHF=∠CHD,∴.△FAHp△DCH, 16x+9x=24,解得x=. Sam=DE.DF=4红·3x=12x=12×(2)°- 语鼎鼎票 ∠FHD=∠AHC,.△FHD∽△AHC, 6912 ∴.∠DFH=∠HAC. 625 四边形ABCD为正方形，AC为对角线， 第2课时 相似三角形的性质定理2 ∴·∠HAC=45°，∴.∠DFH=45°，即∠DFC=45° 6.B7.B 基础在线 8.(1)证明：AG⊥BC,AF⊥DE,∴∠AFD=∠AGC=90° 1.D2.253.8cm ∠DAF=∠GAC..∠ADE=∠C 4.AB∥CD,∴.△ODC∽△OBA S△oc:S△oA=1:4,∴.OC:OA=1:2. 又：∠EAD=∠BAC.∴△ADE△ACB. :△ODC与△AOD在AC边上的高相等， (2).△ADEc∽△ACB,且AE=6,AB=10. 1 .:4P AE 9.由题意，得∠BDF=∠BAE=90° 5.C6.2 .BE平分∠ABC,∴.∠DBF=∠ABE. 7.在□ABCD中，AD∥BC,.△AOD∽△EOB, 又.∠BAF+∠DAC=∠DAC+∠BCE=90°， :点E为BC的中点，BE=令BC=7AD, ∠BAF=∠BCE.·△ABFO△CBE,BS-BA BE BC ,C△oE:C△AoD=BE:AD=1:2, 10..AD⊥BC,DE LAB,./ADB=∠AED=90° C△AoD=12,.CAoE=6, 又：∠BAD=∠DAE,.△ABD∽△ADE 即△BOE的周长为6cm. 8.D ÷語是用AD=AE·AB 能力在线 同理，可得AD=AF·AC. 9.B10.5 11.3 .AE·AB=AF·AC. 12.,四边形ABCD为平行四边形， 1.6相似三角形的应用 ∴.AD∥BC,AB∥CD. 基础在线 ∴·∠DAE=∠AEB,∠BAE=∠F. 1.B2.B3.9.884.605.7.5 ,AE平分∠BAD,.∠BAE=∠DAE ∴.∠BAE=∠AEB,∠DAE=∠F. 6.BC∥DE,△ABCn△ADE,DE-AD BC AB ..AB=BE=10,DF=AD=15,CF=5 又BC=25,BD=12,DE=35, ,BG⊥AE,且BG=8,根据等腰三角形“三线合一”，得 ÷器-A亚解得AB=30, AB AG=EG=6, ∴.AE=12,△ABE的周长为AB+BE+AE=32. 答：河的宽度AB为30米。 .AB∥CD,.△ABE∽△FCE, 能力在线 且相似比为AB:FC=10:5=2:1 7.C8.22.59.54 10.由题意可知，BF=CG=12m, .△CEF的周长为2×32=16. 在Rt△CDE中，CE=50cm,CD=40cm, 13.(1),四边形BFED是平行四边形， .DE∥BF,.DE∥BC, DE=V50-40=30(em）,∴D5=30-3 CD=404 AADE△ABc0-是=÷ .∠CDE=∠CGA=90°，∠DCE=∠GCA, 一探究在线·九 ACDEACGA-器-=是 (2)(-2,-6)4 7.(4,8)或(-4，-8) .CG=12m,.GA=9m,∴.AB=9+1.6=10.6(m). 能力在线 答：旗杆AB的高度是10.6m. 8.A9.D10.(2,2√3) 拓展在线 11.(1)如图，△DEF与△D'EF'为所求作的图形. 11.A 1.7位似 第1课时位似图形的定义、性质及画法 基础在线 1.D 61 2.题图①和③中的两个图形都是位似图形，位似中心分别是 题图①中的点P和题图③中的点O;题图②中的两个图形 不是位似图形. 3.B4.C5.A6.D 7.如图即为所作， (2)(2a,2b)或(-2a,-2b) 拓展在线 12.(1)如图所示. (2)mC(3)n2S 能力在线 8.D9.D 10.(1)(2)如图. 阶段测评2(1.5~1.7) 1B2.D3.A4.D5.D6.A7.3cm8. 9.32cm10.(2,1)或(0，-1)11.7.512.(2,3) 13.(1)如图，△A'B'C即为所求作的三角形. (3) 4 11.由△DE0与△AB0相似，得D-E OA OB 由△OEF与△OBC相似，得8-85，所以8R-8, OF 即OD·OC=OF·OA. 拓展在线 12.(1)△ABC与△FGC是位似图形，位似中心是点C. 在矩形ABCD中，AD∥BC, ·∠DAF=∠ECF,∠ADF=∠CEF, (2)由(I)可得△ABC∽△AB'C,且相似比为号， 六△AFD∽△CFE,:CE-CE AF AD 2 又AD=BC,票 14.设树在第一级台阶上面的部分高为 ∠ABC=90°，OE⊥BC,.OE∥AB x米，如图，则0.4=4.4千0.2解得 ·CF1 又0A=0CcB=合Bc器=安器=3 x=11.5. .4.4. .树高为11.5十0.3=11.8（米）. 即△ABC与△FGC的位似比为3. 15.(1)过点A作AH⊥BC于点H, (2)CI:BC=1:4. AB=AC=50 cm, 第2课时平面直角坐标系中的位似 .BH= 2 BC=30 cm, 基础在线 1.B2.B3.(W2W2) 4.4:1 ∴.AH=√502-302=40(cm), 5.(1)如图，四边形A'B'CD'即为所作. ∴5aAx=号X60X40=1200(cm). D (2)过点B作BM⊥AC交FG于点N,交AC于点M, 则SAaC=2AC·BM=1200, AC=50cm,∴.BM=48cm, 四边形DEFG是正方形，.FG∥DE, .BN⊥FG,△BFG∽△BAC (2)(-3,3)(-4,1)(-2,0)(-1,2) 6.(1)如图，△AB'C即为所求作. FG_BN' 8-别照-4869，rG-1200 48 49 cm, 正方形DEFG的边长为200。 cm. 49 单元综合复习（一）图形的相似 热门考点突破 1.D2.D3.B4.C5.1.26.17.2 8.(4,2)或(-4，-2)9.B 10.∠ADE=∠B(答案不唯-）11.号 年级数学（上）·XJ一 15