专题03 二次函数（期中真题汇编，江苏专用）九年级数学上学期

**基本信息** 聚焦二次函数核心考点，精选江苏多地期中试题，覆盖图象性质、方程应用及实际问题，梯度设计适配期中复习 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择|15题|含y=ax²等三种形式图象性质、方程根的范围|结合坐标变换考顶点平移（如苏州吴中区题）| |填空|18题|含翻折对称、最值比较|设计开放结论（如淮安题比较函数值大小）| |解答|15题|含动态几何（矩形折叠）、实际建模（机器人跳跃、拱桥水位）|综合题融合几何最值与函数应用（如苏州题求P点到直线距离最大值）|

专题03 二次函数 5大高频考点概览 考点01 二次函数y=ax²的图象和性质 考点02 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 考点03 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 考点04 二次函数与一元二次方程 考点05 实际问题与二次函数 考点01 二次函数y=ax²的图象和性质 1．（25-26学年九上·江苏南通·期中）已知二次函数，当时，随增大而增大，则实数的取值范围是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了二次函数的性质，当二次项系数大于零时，抛物线开口向上，在对称轴右侧函数递增；由题意，需要二次项系数，解不等式即可． 【详解】 解：∵二次函数的对称轴为轴，且当时，随增大而增大， ∴函数图像开口向上， ∴二次项系数， 故选：A． 考点02 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 1．（25-26学年九上·江苏淮安·期中）二次函数的顶点坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据二次函数的性质直接求解． 【详解】 解：∵二次函数， ∴该函数图象的顶点坐标为， 故选：B． 【点睛】 本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 2．（25-26学年九上·江苏期中学·期中）抛物线有（     ） A. 最小值3 B. 最大值3 C. 最大值 D. 最小值 【答案】B 【分析】 本题考查了二次函数的性质；根据二次函数顶点式知，当二次项系数为负时，函数有最大值，据此即可求解． 【详解】 解：对于， 二次项系数为负，从而函数有最大值3； 故选：B． 3．（25-26学年九上·江苏苏州·期中）二次函数图象的顶点坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了二次函数的性质，二次函数的顶点坐标为，据此可得答案． 【详解】 解：二次函数图象的顶点坐标是， 故选：B． 4．（25-26学年九上·江苏南通·期中）将抛物线向上平移3个单位，所得抛物线的表达式是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了二次函数图象的平移，根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】 解：将抛物线向上平移3个单位，所得抛物线的表达式是． 故选：D． 5．（25-26学年九上·江苏南通·期中）抛物线的顶点坐标是（ ） A. （﹣1，2） B. （﹣1，﹣2） C. （1，﹣2） D. （1，2） 【答案】D 【分析】 根据顶点式，顶点坐标是（h，k），即可求解. 【详解】 ∵顶点式，顶点坐标是（h，k）， ∴抛物线的顶点坐标是（1，2）． 故选：D． 6．（25-26学年九上·江苏苏州吴中区·期中）将函数的图像向下平移2个单位后，得到的新函数的解析式为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数图像的平移，平移法则是：左加右减，上加下减；据此法则即可求解． 【详解】 解：∵函数的图像向下平移2个单位， ∴平移后的新函数的解析式为； 故答案为：． 7．（25-26学年九上·江苏淮安·期中）把抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到的新抛物线的解析式为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查二次函数图象平移规律，解决本题的关键是要熟练掌握二次函数平移规律．根据二次函数平移规律：上加下减，左加右减，进行求解即可． 【详解】 解：∵将抛物线向左平移2个单位长度， ∴， ∵向上平移5个单位长度， ∴， 故答案为：． 8．（25-26学年九上·江苏期中学·期中）已知和是抛物线上的两点，则和的大小关系是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了二次函数性质．根据抛物线的开口向下，对称轴为直线，得到当时，y随x的增大而减少，根据和，得到． 【详解】 解：∵抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减少， ∵和在抛物线上，且， ∴． 故答案为：． 9．（25-26学年九上·江苏苏州·期中）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象沿轴翻折，所得抛物线相应的函数表达式为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 此题主要考查二次函数图象与几何变换，正解掌握平移规律是解题的关键． 将二次函数图象沿x轴翻折，相当于对每个点进行坐标变换，即点变为，因此新函数表达式可通过将原函数中的y替换为并求解得到． 【详解】 ∵将二次函数的图象沿轴翻折， ∴ ∴所得抛物线相应的函数表达式为． 故答案为：． 10．（25-26学年九上·江苏南京鼓楼区·期中）二次函数y=x2+1的图象的顶点坐标是　　　　　． 【答案】（0，1） 【分析】 根据顶点式解析式写出顶点坐标即可． 【详解】 二次函数y=x2+1的图象的顶点坐标是（0，1）， 故答案为：（0，1）． 11．（25-26学年九上·江苏期中学·期中）已知一个二次函数的图象形状和开口方向与 相同，且顶点坐标为，则这个二次函数的表达式为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了求二次函数解析式，二次函数的图象与性质，熟练掌握形状和开口方向相同的二次函数二次项系数相等是解题的关键． 根据二次函数的顶点坐标可设二次函数的解析式为，再根据图象的形状和开口方向与相同，可得a的值，即可解答． 【详解】 解：∵该二次函数的顶点坐标为， ∴可设二次函数的解析式为， 又∵图象的形状和开口方向与抛物线相同， ∴， ∴这个二次函数的解析式为． 故答案为：． 考点03 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 1．（25-26学年九上·江苏期中学·期中）二次函数 的图象如图所示，对于下列说法：①，②，③，其中正确的个数有（       ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【分析】 本题考查了二次函数图象的性质与解析式的系数的关系．关键是熟悉各项系数与抛物线的各性质的联系． ① 由开口方向及对称轴的位置可判断b的符号，根据抛物线与y轴的交点位置可判断c的符号；② 由抛物线与x轴的交点个数可判断的符号；③ 观察当时，对应的函数值，可判断的符号． 【详解】 解：① ∵抛物线开口向上，与y轴交于负半轴， ∴，，对称轴， ∴， 故，正确； ② ∵抛物线与x轴有两个交点，∴，正确． ③ 当时，函数值，即，正确； 正确的有3个， 故选：D． 2．（25-26学年九上·江苏南京鼓楼区·期中）若二次函数的图象经过点，则下列选项中，对应的的值最大的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了二次函数的解析式，二次函数的图象性质．由于二次函数图象经过点和，可设交点式，再代入点表达a的值，然后计算各选项中a的值并比较大小，即可作答． 【详解】 解：∵图象经过和， ∴设二次函数为 ， ∵图象经过点， ∴， ∴， 当，则， 当，， 当，， 当，， ∵， 故a的值最大为， 故选：B． 3．（25-26学年九上·江苏南通·期中）二次函数的自变量x与函数y的部分对应值如下表： x … 1 2 … y … c 0 m … 给出下面三个结论： ①；②；③关于x的方程的两个根分别为，．上述结论中，所有正确结论的序号是（       ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】C 【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的开口方向，对称轴，与x轴的交点，与y轴的交点，逐一判断各结论，即可得到结果． 【详解】 解：， ∵， ∴二次函数图象与y轴正半轴相交， ∵当时，；当时，， ∴二次函数的对称轴为， ∵二次函数图象过点， ∴函数的大致图象为： ∴二次函数图象开口向下， ∴， 故结论① 错误，不符合题意； ∵二次函数图象过点，开口向下， ∴当时，， ∴， 故结论② 正确，符合题意； ∵二次函数的对称轴为，函数图象过点， ∴二次函数过x轴的另一个交点为， ∴的两个根分别为， 故结论③ 正确，符合题意， ∴正确的结论为② ③ ， 故选：C． 4．（25-26学年九上·江苏苏州·期中）已知点在二次函数（其中为常数，且）的图象上，则的大小关系为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键． 要解决本题，首先求出二次函数（）的对称轴为．因为，所以抛物线开口向上，在对称轴左侧随增大而减小，右侧随增大而增大．然后分别计算点、、到对称轴的距离，距离越远，函数值越大．点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为．距离大小为，所以 【详解】 解：∵ 二次函数 的对称轴为 ， 且 ，开口向上， ∴ 点离对称轴越远，函数值越大． 点 到对称轴的距离为， 点 到对称轴的距离为 ， 点 到对称轴的距离为 ． ∵ ， ∴ ． 故选B． 5．（25-26学年九上·江苏苏州·期中）二次函数（其中为常数，且）的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④（为实数）．其中，正确的个数为（       ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【分析】 ①抛物线与x轴有两个交点可得，即可判断① ；②由对称轴得到，然后结合即可判断② ；③由时对应的函数值，可得出，由时对应的函数值，即可判断③ ；④由对称轴为直线，即时，有最大值即可判断④ ． 【详解】 解：∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，①正确； ∵抛物线开口向下， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴，则，即， ∴，②正确； 由图象得，当时，，即，当，，即， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴， ∴，③正确； 由图象时，y取得最大值，即， ∴（m为实数），④正确． 综上所述，正确的个数为4． 故选：D． 【点睛】 本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数决定抛物线的开口方向和大小．当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时，对称轴在轴左；当与异号时，对称轴在轴右．常数项决定抛物线与轴交点：抛物线与轴交于．抛物线与轴交点个数由判别式确定：时，抛物线与轴有2个交点；时，抛物线与轴有1个交点；时，抛物线与轴没有交点． 6．（25-26学年九上·江苏苏州吴中区·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为点，且与轴的正半轴交于点，点是该抛物线对称轴上的一点，则的最小值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 连接、，，作，，先证明为等边三角形，接着利用，得到，利用抛物线的对称性得到，所以，根据两点之间线段最短得到当、、共线时，的值最小，最小值为的长，然后计算出的长即可． 【详解】 解：连接、，，作于，于，如图，当时，，解得，，则， ， 则， ， ， 为等边三角形， ， ． 垂直平分， ， ． 当、、共线时，的值最小，最小值为的长， 在Rt△ABC中，， 即， 的最小值为． 故选：B． 【点睛】 这是一道关于二次函数的综合问题，考查了二次函数的图象和性质，等边三角形的性质和判定，直角三角形的性质，根据轴对称求线段和最小等，根据轴对称确定线段和的最小值是解题的关键． 7．（25-26学年九上·江苏期中学·期中）已知二次函数． （1）在坐标系中画出此抛物线的大致图象： x … 0 1 2 … … 4 … （2）该抛物线可由抛物线向______平移______个单位得到； （3）当时，的取值范围是__________________________________． 【答案】（1）解：此抛物线的大致图像如下：      （2）向上平移个单位     （3）或      【分析】 本题考查了二次函数的图像与性质、二次函数的最值以及平移： （1）将表格中的各依次代入，求出对应，依次描点作图即可得到的图像； （2）根据二次函数图象平移规律，“上加下减，左加右减”即可； （3）分别解出不等式和的解，综合两个解即可． (1) 小问详解： 时，， 时，， 时，， 时，． (2) 小问详解： 抛物线是在的基础上，在值上加了，所以是向上平移个单位． (3) 小问详解： 二次函数， 当时，， 即且， 当时，解得， 当时，解得或， 或， 当时，的取值范围是或． 8．（25-26学年九上·江苏南京鼓楼区·期中）已知二次函数中，函数值与自变量的部分对应值如下表： 0 1 2 3 4 10 5 2 1 2 5 若点都在该函数的图象上，则　　　　　　　　　　．（填“>”，“<”或“=”号） 【答案】> 【分析】 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，根据表格数据，确定二次函数的解析式，进而计算点A和点B的函数值，比较大小，即可作答． 【详解】 解：由表可知，当时，，代入，得； 当时，，代入，得，解得； 故二次函数为， ∵点都在该函数的图象上， 则， ∵， ∴， 故答案为：>． 9．（25-26学年九上·江苏南通·期中）二次函数的图象过点，，，其中，为常数，则的值为　　　　　　　；的最大值为　　　　　　　． 【答案】①     ② 【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质，利用点和点的纵坐标相同，得出对称轴为直线，从而求出；再代入点和点的坐标，表示出和关于的表达式，进而得到的表达式，根据求最大值，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键． 【详解】 解：∵二次函数的图象过点，， ∴二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， 将，代入二次函数的解析式可得：，， ∴，， ∴， ∵，对称轴为直线， ∴当时，的值随着的增大而减小， ∴当时，的值最大为， 故答案为：，． 10．（25-26学年九上·江苏淮安·期中）已知过点，，三点，对称轴是直线，关于的方程有两个相等的实数根． （1）求抛物线的解析式． （2）若，试比较与的大小． 【答案】（1）；（2） 【分析】 （1）根据抛物线的轴对称性，得到抛物线与x轴的另一个交点，再利用交点式得到抛物线的解析式，进而即可求解； （2）作差，结合，即可得到结论． 【详解】 解：∵抛物线的对称轴是直线，过点， ∴抛物线过点， ∴设抛物线的解析式为， ∵已知关于的方程有两个相等的实数根， ∴方程，即方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴； （2） ∵， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】 本题主要考查二次函数的图像和性质，掌握二次函数图像的轴对称性以及作差比较大小，是解题的关键． 11．（25-26学年九上·江苏淮安·期中）如图，已知抛物线． （1）过点作轴的平行线交抛物线于两点，求的长； （2）当时，直接写出的取值范围：___________． 【答案】（1）     （2）或      【分析】 本题考查了二次函数的性质以及直线与抛物线的交点，关键是的长． （1）把代入解析式，解方程求出x的值，再求即可； （2）由（1）和图象可以得出自变量的取值范围． (1) 小问详解： 解：把点的纵坐标，代入得： ， 解得：或， 则长为； (2) 小问详解： 解：由（1）和图象知：当时，x的取值范围是或， 故答案为：或． 12．（25-26学年九上·江苏苏州·期中）将二次函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移个单位； （1）若，则所得二次函数图象的函数表达式为___________； （2）若平移后所得二次函数的图象经过点，求平移后所得抛物线的函数表达式． 【答案】（1）     （2）      【分析】 此题考查了二次函数的平移，解题的关键是掌握二次函数的平移规律． （1）根据平移规律求解即可； （2）首先根据平移规律得到，然后将代入求解即可． (1) 小问详解： 解：若， ∴将二次函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移3个单位， ∴所得二次函数图象的函数表达式为； (2) 小问详解： 解：∵将二次函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移个单位 ∴所得二次函数图象的函数表达式为 ∵平移后所得二次函数的图象经过点， ∴ ∴ ∴平移后所得抛物线的函数表达式为． 13．（25-26学年九上·江苏苏州·期中）如图，已知一次函数的图象与二次函数的图象交于，两点，该二次函数图象的顶点为，连接． （1）求点的坐标； （2）求的面积． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用配方法将二次函数化为顶点式，从而直接得出顶点的坐标； （2）联立一次函数与二次函数的解析式，求解方程组得到，两点坐标，再通过找辅助线将三角形面积拆分，进而计算出的面积． (1) 小问详解： 解：二次函数的顶点坐标公式为， 在二次函数中，，，， 故， ， 点的坐标为． (2) 小问详解： 解：联立两个函数表达式得： ， 即， 整理得：， 解得：，， 将，代入函数， 得，， ，． 设函数为，图像与轴交于点， 将点，代入函数得 ， 解得： ， ， 令， ， 解得：， ， ， ， 即． 【点睛】 本题考查了一次函数与二次函数的综合应用，涉及顶点式求二次函数顶点坐标、联立方程求交点坐标以及三角形面积的计算，熟练掌握函数图象的交点求法和三角形面积的拆分计算是解答本题的关键． 14．（25-26学年九上·江苏苏州吴中区·期中）如图，已知二次函数的图象交x轴于A，B两点（A在B左边），交y轴于C点，点P是直线上方抛物线上一动点（不与A，C重合），则P点到直线距离的最大值是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题是二次函数的综合题，求最大值的问题．作于点H，作轴于点N，交于点M，先求得直线的解析式为，当取最大值时，P点到直线的距离有最大值，设，．用表示的长，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】 解：令，则， 解得或， 令，则， ∴，，，， ∵， ∴， 作于点H，作轴于点N，交于点M， 设直线的解析式为， 将代入得，，解得， ∴直线的解析式为， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 当取最大值时，P点到直线的距离有最大值， 设，． ∴． ∴． ∵， ∴当时，． ∴． 故答案为：． 15．（25-26学年九上·江苏无锡经开区·期中）如图1，在矩形中，点E，F分别在边，上，将矩形沿EF折叠，使点B的对应点H落在边上，点A的对应点为点G，交于点P． （1）求证：； （2）如图2，连接，当为的中点，，时，求的长； （3）若，．当最大时，直接写出的长． 【答案】（1） 证明：如图， ∵四边形是矩形， ， ， ∵将四边形沿翻折，使的对称点落在上， ， ， ， ， ， ∴．     （2）     （3）      【分析】 （1）如图，根据四边形是矩形，得出，从而得，根据折叠的性质可得，则，等量代换得出，证明，得出，即可证明． （2）根据四边形是矩形，得出，根据为中点，得出，在中，勾股定理求出，由折叠的性质可得，，设，则，在中，根据勾股定理列方程得出，求出，即可得出，，根据，得出，求出，，如图，连接，延长交于一点，根据折叠得出，则，证明，得出，求出，证明，得出，即可求解． （3）设，，则，，根据，列出方程整理得，求出当时，y最大，最大值为2，从而求出，即可解答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵ 四边形是矩形， ， ∵为中点， ， 在中，   ， 由折叠的性质可得，， 设， ， 在中，， 即，解得：， ， ， ∵， ， ， ， ， 如图，连接，延长交于一点， ∵将四边形沿翻折，使的对称点落在上， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：． (3) 小问详解： 解：设，， 则，， ∵， ， ， 整理得， 则， ， 令，则， 故当时，最大，此时， 即当时，y最大，即最大，最大值为， ∴， ∴． 【点睛】 本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、二次函数的最值，相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． 16．（25-26学年九上·江苏淮安·期中）平面直角坐标系中有线段，已知，，若抛物线与线段只有一个交点，若的取值范围为　　　　　　　　． 【答案】或 【分析】 本题考查了二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数性质． 由题意，可知点、在直线上，求出时，的值，根据抛物线与线段只有一个交点，即可求出的取值范围． 【详解】 解：∵，， ∴点、在直线上，且， 当时，， 解得或， ∵地物线与线段只有一个交点， ∴或， ∴或 故答案为：或． 17．（25-26学年九上·江苏期中学·期中）定义：若抛物线与直线有两个交点，则称抛物线为直线的“双幸运曲线”，其交点为该直线的“幸运点”． （1）已知直线解析式为，下列抛物线为该直线的“双幸运曲线”的是______；（填序号） （2）如图1，已知直线，抛物线为直线l的“双幸运曲线”，“幸运点”分别为A、B． ①在x轴上找一点E，使周长最小，请直接写出此时点E的坐标______； ②在直线l上方的抛物线上是否存在点P使面积最大，若存在，请求出面积的最大值和点P坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）②     （2）①；②，的最大值为      【分析】 本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）根据“双幸运曲线”的定义及一元二次方程根的判别式可进行求解； （2）① 由题意易得，则有，的周长，要使的周长最小，即为的值最小，然后根据轴对称的性质可进行求解； ② 过点P作轴，交直线于点H，由题意可设，则有，然后根据铅垂法可进行求解． (1) 小问详解： 解：由题意得： ① 联立得： ，则有， 由于，方程无解， 所以一次函数与二次函数没有交点； ② 联立得： ，则有， 由于，方程有两个不相等的实数根， 所以一次函数与二次函数有两个交点，满足“双幸运曲线”的定义； ③ 联立得： ，则有， 由于，方程有两个相等的实数根， 所以一次函数与二次函数有一个交点，不满足“双幸运曲线”的定义； 故答案为：② ； (2) 小问详解： 解：① 由题意可联立 ， 解得： 或 ， ∴， ∴， ∴的周长， 如图，过点B作关于x轴的对称点C，则，连接，与x轴交于点E，根据轴对称的性质可知， 所以的周长最小值即为的最小值，则当点A、E、C三点共线时，的值最小，即为的长，图中点E满足题意， 设直线的解析式为，则有： ， 解得： ， ∴直线的解析式为， 令时，则有， 解得：， ∴； 故答案为； ② 过点P作轴，交直线于点H，如图所示： ∴， 由题意可设，则有， ∴， ∴， ∴当时，的面积最大，最大值为， 此时点P的坐标为． 18．（25-26学年九上·江苏苏州·期中）二次函数（其中为常数，且）的图象过点，（其中为常数）．则关于的方程的方程的解为　　　　　　　　　　　． 【答案】或 【分析】 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的对称轴为，熟练掌握待定系数法和二次函数对称轴方程是本题求解的关键． 根据，两点纵坐标相同，可得到对称轴为，考虑为二次函数上的点，故为方程的一个根，根据对称性，得到关于的对称点，得到方程的第二个解，从而得到方程的解． 【详解】 解：∵ 二次函数图像经过，两点纵坐标相同， ∴二次函数图像对称轴为， ∵为二次函数上的点， 故为方程的一个根， 根据对称性得到在二次函数上关于的对称点为， 故图象亦经过点， 故为方程的第二个根， 关于的方程的方程的解为或， 故答案为：或． 19．（25-26学年九上·江苏苏州·期中）如图1，在矩形中，点是边的中点，点是边上的一个动点，连接，作，交于点，设．图2是点从点运动到点的过程中，关于的函数图象．当时，的值最大，最大值是，则的值是　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查二次函数的性质和矩形的性质，以及相似三角形的判定和性质，解题的关键是数形结合思想的应用．根据抛物线与y轴交点得，结合矩形的性质进一步证明，由得，设，，结合，即，化解得，利用二次函数的性质的对称轴求得m，即可求得最大值a． 【详解】 解：∵抛物线与y轴交点为，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， 设，， 则，即， 化解得，， ∴，解得， 则， 故答案为：． 20．（25-26学年九上·江苏苏州·期中）如图，二次函数（其中为常数，且）的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，且点的坐标为，点的坐标为．点是轴上方抛物线上的一点，连接．点是轴上的点，连接． （1）求该抛物线的表达式； （2）①若，求点的坐标； ②若，则点的坐标为___________． 【答案】（1）     （2）①；②，．      【分析】 （1）利用待定系数法求解即可； （2）①如图所示，过点M作轴于点N，证明出，得到，设，表示出，，代数求出，进而求解即可； ②如图所示，过D点作垂线交延长线于H点．过H点作y轴垂线交于P点，证明出，得到，求出点坐标为，然后求出得解析式为，和抛物线联立求出，同理求得． (1) 小问详解： ∵过点， ∴ ，解得 ∴则该抛物线的表达式为； (2) 小问详解： ①如图所示，过点M作轴于点N， ∵， ∴ ∴ 设 ∴， ∴， 解得 ∴点M的坐标为； ②如图所示，过D点作垂线交延长线于H点．过H点作y轴垂线交于P点 由题可知，， ∵，且， ∴ ∴ ∵，故， 因， ∴ ∴， ∴得， 故点坐标为 设得解析式为， 把H点，B点代入联立可得 ， 解得 ∴得解析式为， 将直线与抛物线的交点，联立可得 或（舍） 把代入抛物线，得 ∴ 点关于点C的对称点坐标为 则直线为， 将直线与抛物线的交点，联立可得 ， 故 综上所述：点的坐标为，． 【点睛】 本题考查二次函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，一次函数的图像和性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 21．（25-26学年九上·江苏苏州吴中区·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x﹣3的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点B关于x轴的对称点是C，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A和点C． （1）求二次函数的表达式； （2）如图1，平移线段AC，点A的对应点D落在二次函数在第四象限的图象上，点C的对应点E落在直线AB上，求此时点D的坐标； （3）如图2，在（2）的条件下，连接CD，交CD轴于点M，点P为直线AC上方抛物线上一动点，过点P作PF⊥AC，垂足为点F，连接PC，是否存在点P，使得以点P，C，F为顶点的三角形与△COM相似？若存在，求点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）D（4，﹣5）；（3）或 【分析】 （1）由一次函数的解析式求出A、B两点坐标，再根据A、C两点坐标求出b、c即可确定二次函数解析式； （2）由平移的性质设E（m，m﹣3），则D（m+3，m﹣6），代入抛物线的解析式则可求出点D的坐标； （3）分两种情况讨论：① △COM∽△PFC，② △COM∽△CFP，可求得点P的横坐标． 【详解】 解：∵一次函数y＝x﹣3的图象与x轴、y轴分别交于点A、B两点， ∴A（3，0），B（0，﹣3）， ∵点B关于x轴的对称点是C， ∴C（0，3）， ∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A、点C， ∴ ， ∴b＝2，c＝3， ∴二次函数的解析式为：y＝﹣x2+2x+3． （2）∵A（3，0），C（0，3），平移线段AC，点A的对应为点D，点C的对应点为E， 设E（m，m﹣3），则D（m+3，m﹣6）， ∵D落在二次函数在第四象限的图象上， ∴﹣（m+3）2+2（m+3）+3＝m﹣6， m1＝1，m2＝﹣6（舍去）， ∴D（4，﹣5）， （3）∵C（0，3），D（4，﹣5）， ∴ ， 解得 ， ∴直线CD的解析式为y＝﹣2x+3， 令y＝0，则x＝， ∴M（，0）， ∵一次函数y＝x﹣3的图象与x轴交于A（3，0），C （0，3）， ∴AO＝3，OC＝3， ∴∠OAC＝45°， 过点P作PF⊥AC，点P作PN⊥OA交AC于点E，连PC， ∴△PEF和△AEN都是等腰直角三角形， 设P（m，﹣m2+2m+3），E（m，﹣m+3）， ∴PE＝PN﹣EN＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m， ∴EN＝﹣m+3，AE＝，FE＝， ∴CF＝AC﹣AE﹣EF＝， ①当△COM∽△PFC，， ∴， 解得m1＝0，舍去，， ②当△COM∽△CFP时，， ∴， 解得m1＝0（舍去），， 综合可得P点的横坐标为或． 【点睛】 本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数与坐标轴的交点坐标、待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的判定与性质，难度中等．分类讨论思想的应用是解答（3）问的. 22．（25-26学年九上·江苏南通·期中）已知抛物线经过点 （1）求该抛物线的对称轴； （2）若，且对于该抛物线上的两点，，当，时，均满足，求的取值范围； （3）点和分别在抛物线和上（，都不与原点重合）．当时，若是一个与无关的定值，求与的值． 【答案】（1）     （2）     （3），      【分析】 （1）将代入二次函数的解析式得出，再由二次函数的对称轴公式计算即可得解； （2）当时，，从而可得抛物线的解析式为，进而得出抛物线的开口向下，对称轴为直线，再结合抛物线的对称性以及题意可得，，求解即可； （3）由题意可得，，结合，得出，由（1）可2，从而得出，整理可得，由题意可得，，从而得出，整理可得，再由是一个与无关的定值，得出，求出的值即可得解． (1) 小问详解： 解：∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴对称轴为直线； (2) 小问详解： 解：当时，， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∵对于该抛物线上的两点，，且当，时，均满足， ∴，， 解得：， 故的取值范围为：； (3) 小问详解： 解：∵点和分别在抛物线和上（，都不与原点重合）， ∴，， ∵， ∴， 由（1）可得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，都不与原点重合， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵是一个与无关的定值， ∴， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查了二次函数的图象与性质，因式分解的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 考点04 二次函数与一元二次方程 1．（25-26学年九上·江苏期中学·期中）已知二次函数中部分x和y的值如下表所示： x y 0.25 0.56 0.89 则方程的一个较大的根的范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了二次函数的性质、图象法确定一元二次方程的近似根等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． 先求得对称轴为直线，再根据表格数据得的较小的根的范围为，最后根据二次函数图象的对称性即可解答． 【详解】 解：依题意，函数的对称轴为直线， 由表格数据可得： 当时，；当时，； ∴的较小的根的范围为， ∵函数的对称轴为直线， 则， ∴的较大的根的范围是． 故选：C． 2．（25-26学年九上·江苏南京鼓楼区·期中）若二次函数的图象与轴有两个公共点，则的值可以是（     ） A.  B.  C. 0 D. 2 【答案】D 【分析】 此题考查了二次函数图象与x轴的交点问题．二次函数图象与x轴有两个公共点，等价于对应方程有两个不相等的实数根，据此即可求出答案． 【详解】 解：对于函数 ，令 得方程： 即 ∵二次函数的图象与轴有两个公共点， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， 观察选项，只有D选项满足． 故选：D． 3．（25-26学年九上·江苏苏州吴中区·期中）二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（     ） A. 且 B. 且 C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查二次函数与x轴的交点问题．二次函数与x轴有交点等价于判别式，且二次项系数，据此求解即可． 【详解】 解：∵ 二次函数的图象与x轴有交点， ∴且， ∴且， 解得且， 故选：A． 4．（25-26学年九上·江苏常州溧阳·期中）根据下列表格的对应值： x 0.016 0.045 0.074 判断方程一个解的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了一元二次方程的解的估算，掌握一元二次方程的解是方程左右两边相等是解题关键．根据表格数据，当时，函数值为负；当时，函数值为正，说明方程的解在和之间． 【详解】 解：由表格可知，当时，；当时，， 则方程的一个解的取值范围是， 故选：B． 5．（25-26学年九上·江苏镇江扬中·期中）根据表中的对应值，判断方程一个解x的取值范围是（　　） x 11.2 11.3 11.4 11.5 11.6 0.96 2.25 3.56 A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了估算一元二次方程的解的范围，正确理解题意、掌握求解的方法是关键． 通过观察代数式值在相邻x值之间的符号变化，确定方程解的区间． 【详解】 解：对于方程，当代数式值由负变正时，方程在该区间内必有一个解， 根据表格数据：当时， （负数）； 当时， （正数）， 由于代数式值在到之间由负变正，因此方程的解位于区间， 故选：B． 6．（25-26学年九上·江苏苏州·期中）二次函数的图象，与y轴的交点坐标为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了二次函数图象与坐标轴的交点问题，理解函数图像与解析式的关系是解题的关键． 把代入函数解析式得到纵坐标，即可解答． 【详解】 解：当时，， ∴二次函数的图象与轴的交点坐标为． 故答案为：． 7．（25-26学年九上·江苏南通·期中）如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式及抛物线顶点的坐标； （2）根据图象，请直接写出当抛物线对应函数值大于0时自变量的取值范围． 【答案】（1），；     （2）．      【分析】 本题主要考查了二次函数的解析式求解与函数图象的应用，熟练掌握二次函数的交点式、顶点式以及利用函数图象确定函数值正负对应的自变量范围是解题的关键． （1）已知抛物线与轴的两个交点，设交点式解析式，代入轴交点坐标求出参数，进而将解析式化为顶点式求顶点坐标． （2）观察抛物线图象在轴上方部分对应的取值范围． (1) 小问详解： 解：抛物线与轴交于，， 设抛物线解析式为， 抛物线与轴交于E， ， 解得， 抛物线解析式为，展开得， 化为顶点式：， 顶点的坐标为； (2) 小问详解： 解：抛物线与轴交于，，观察图象可知，抛物线在轴上方时，对应的取值范围是， 当抛物线对应函数值大于时自变量的取值范围是． 8．（25-26学年九上·江苏南通·期中）二次函数的图象总是在轴的上方，则的取值范围为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数图象始终在x轴上方，需满足开口向上且判别式小于零，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】 解：∵二次函数的图象总是在轴的上方， ∴，即， 解得：， 故答案为：． 9．（25-26学年九上·江苏淮安·期中）如图，抛物线与轴交于点，则下列结论中正确的是　　　　　　．（填序号）    ①；       ②；       ③；       ④． 【答案】② ④ 【分析】 本题考查了二次函数的图象，二次函数与一元二次方程的关系．熟练掌握二次函数的图象，二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． 由图象可知，，可判断① 的正误；当时，，可判断② 的正误；由函数图象与轴有两个交点，则有两个不相等的实数根，即，可判断③ 的正误；将代入得，，可判断④ 的正误． 【详解】 解：由图象可知，，① 错误，故不符合要求； 当时，，② 正确，故符合要求； 函数图象与轴有两个交点， ∴有两个不相等的实数根，即，③ 错误，故不符合要求； 将代入得，，④ 正确，故符合要求； 故答案为：② ④ ． 10．（25-26学年九上·江苏期中学·期中）若抛物线与x轴没有交点，则k的取值范围　　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查抛物线与轴的交点问题，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系． 抛物线与轴没有交点，则，进而求解． 【详解】 若抛物线与轴没有交点， 则， 解得． 故答案为：． 11．（25-26学年九上·江苏南京鼓楼区·期中）已知二次函数的图象过点，它的顶点坐标为． （1）求该二次函数的表达式． （2）设该二次函数的图象与轴交于点B，C（在的左侧），则是什么特殊的三角形？说明理由． 【答案】（1）     （2）等腰三角形      【分析】 本题考查了二次函数的表达式求解以及等腰三角形的判定，解题的关键是熟练掌握二次函数的顶点式以及等腰三角形的判定方法． （1）利用二次函数的顶点式求解表达式； （2）求出与x轴交点坐标，再根据线段长度关系判定三角形类型． (1) 小问详解： 解：二次函数的顶点坐标为， 设二次函数的顶点式为． 又函数图象过点，将代入顶点式可得： 解得： 该二次函数的表达式为； (2) 小问详解： 解：（2）令，则 解得， 点的坐标为，点的坐标为， 已知点，根据两点间距离公式可得： ， ， ， 是等腰三角形． 12．（25-26学年九上·江苏南京鼓楼区·期中）已知二次函数（为常数）． （1）若二次函数有最小值，求． （2）已知点，，连接．若该二次函数图象与线段有2个公共点，结合函数的图象，直接写出对应的的取值范围． 【答案】（1）4或     （2）      【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是： （1）把原函数解析式转化为顶点式，然后根据二次函数有最小值，构建关于m的方程求解即可； （2）根据二次函数的开口向上，且二次函数图象与线段有2个公共点，得出当、时，函数值，以及顶点的纵坐标，对称轴，然后解不等式组即可． (1) 小问详解： 解： ， ∴当时，有最小值为， ∵二次函数有最小值， ∴， 解得或； (2) 小问详解： 解：∵二次函数图象与线段有2个公共点，，， ∴ ， 解得． 13．（25-26学年九上·江苏苏州吴中区·期中）已知抛物线． （1）求证：不论m取何值时，抛物线必与x轴相交于两点； （2）若抛物线与x轴的一个交点为，试求m的值与另一个交点的坐标． 【答案】（1） 证明：， 故此抛物线与x轴有两个交点；     （2），抛物线与x轴另一交点为      【分析】 本题考查的是抛物线和x轴的交点问题． （1）证明，即可求解； （2）将代入抛物线表达式，进而求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：将代入得，， ∴抛物线解析式为， 令得到， 解得：， ∴抛物线与x轴另一交点为． 14．（25-26学年九上·江苏南京鼓楼区·期中）已知a，k为常数，若关于的不等式的解集是，则不等式的解集为　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查二次函数与不等式，由已知不等式解集可确定对应二次函数的根，从而求出常数关系且，代入第二个不等式并求解． 【详解】 解：不等式的解集为， 则二次函数的根为和， ∴当时，，即， ∴，解得； ∵的解集为， ∴抛物线的开口向上， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴ 或 解得：无解或； 故答案为：． 15．（25-26学年九上·江苏苏州吴中区·期中）【定义与性质】 如图，记二次函数和的图象分别为抛物线C和． 定义：若抛物线的顶点在抛物线C上，则称是C的伴随抛物线． 性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线； ②若是C的伴随抛物线，则C也是的伴随抛物线，即C的顶点在上． 【理解与运用】 （1）若二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线，则______，______． 【思考与探究】 （2）设函数的图象为抛物线． ①若函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线，求d，e的值； ②若抛物线与x轴有两个不同的交点，，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）2；；（2）①；②或 【分析】 题目主要考查二次函数的综合应用及新定义理解，熟练掌握二次函数的性质结合图象求解是解题关键． （1）根据题意确定点在的伴随抛物线上，代入求解即可； （2）①根据题意确定顶点坐标为：，然后代入解析式得出，即可求解； ② 根据题意得出顶点坐标在图像上滑动，然后分情况分析即可得出结果． 【详解】 解：（1）二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线， ∴点在的伴随抛物线上， 代入得：，， 解得：，， 故答案为：2；； （2）①， ∴顶点坐标为：， ∵函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线， ∴， 整理得：， ∴； ② ∵与x轴有两个不同的交点，， 由①得：函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线， ∴顶点坐标在图像上滑动， 顶点为， 当时， 解得：或， 抛物线与x轴交两个点， 当顶点在下方时，抛物线有两个交点，， ∵若是的伴随抛物线，则也是的伴随抛物线，即C的顶点在上． ∴在 上， 当顶点在下方时，； 综上可得：或． 考点05 实际问题与二次函数 1．（25-26学年九上·江苏淮安·期中）一小球从20米的高处落下，小球离地面的高度和下落时间大致有如下关系：，那么小球落到地面需要经过的时间为（       ） A. 1秒 B. 2秒 C. 3秒 D. 4秒 【答案】B 【分析】 本题考查了二次函数的应用，令，解出即可作答． 【详解】 令，可得：， 解得：， 那么小球落到地面需要经过的时间为， 故选：B． 2．（25-26学年九上·江苏南通·期中）如图，某校劳动实践基地用总长为的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为x（单位：m），与墙平行的一边长为y（单位：m），面积为S（单位：）． （1）直接写出y与x，S与x之间的函数解析式（不要求写x的取值范围）； （2）当x的值是多少时，矩形实验田的面积S最大？最大面积是多少？ 【答案】（1），     （2）当时，有最大值      【分析】 本题考查了矩形的性质，二次函数的实际应用，计算的取值范围是解题的关键． （1）根据，求出与的函数解析式，根据矩形面积公式求出与的函数解析式； （2）将与的函数配成顶点式，先求出的取值范围，再根据二次函数的性质求出的最大值． (1) 小问详解： 解：由题意得：， ， ， ； (2) 小问详解： 解：， ， ， ， ， ∵，对称轴为直线， 当时，有最大值． 3．（25-26学年九上·江苏淮安·期中）在九年级学生即将毕业之际，某商店购进了一批成本为4元/本的毕业纪念册．当每本纪念册售价为10元时，平均每周能售出40本，为了扩大销售量，减少库存，商店决定降价促销，调查发现，如果每本纪念册每降价1元，那么该商店平均每周可多售出20本，商家要想获得最大利润，每本纪念册应该降价多少元？最大利润是多少元？ 【答案】每本纪念册应该降价元，最大利润是元 【分析】 本题主要考查了二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的性质以及根据题意列出函数关系式是解题的关键． 通过设每本纪念册降价元，分别表示出每本的利润和每周的销售量，再根据“总利润 = 每本利润×销售量”列出二次函数关系式，最后利用二次函数的性质求出最大利润及对应的降价金额． 【详解】 解：设每本纪念册降价元，每周的利润为元．则每本的利润为元，每周的销售量为本． ， 因为二次项系数， 所以该函数图象开口向下， 当时，有最大值． 答：每本纪念册应该降价元，最大利润是元． 4．（25-26学年九上·江苏苏州·期中）某汽车出租公司每辆汽车月租费为3000元时，100辆汽车可以全部租出．若每辆汽车的月租费每增加50元，则将少租出1辆汽车．已知每辆租出的汽车需支付月维护费200元． （1）若每月租出90辆汽车时，该出租公司的月收益是多少？ （2）每月租出多少辆汽车时，该出租公司的月收益最大？最大月收益是多少？ 【答案】（1）297000元     （2）78辆，304200元      【分析】 此题考查了二次函数的应用，有理数的混合运算的实际应用， （1）首先求出每辆车的月租费，然后求出月收益即可； （2）设每月租出辆汽车时收益为，根据题意表示出y，然后根据二次函数的性质求解即可． (1) 小问详解： 解：由题意可知，当租出90辆汽车时，每辆车的月租费为（元） 月收益为：元； (2) 小问详解： 解：设每月租出辆汽车时收益为 则 ∵， ∴当时，， ∴当每月租出78辆汽车时，收益最大，为304200元． 5．（25-26学年九上·江苏苏州·期中）综合与实践 九年级机器人社团围绕“跳跃机器人”开展主题学习活动．现有甲，乙两款跳跃机器人，他们起跳后的运动路线均可看作抛物线．甲，乙分别从水平地面起跳，甲的运动路线的最高点距离地面，起跳点与落地点之间的距离为；乙的运动路线的最高点距离地面，起跳点与落地点之间的距离为． 【数学建模】 如图1，甲的起跳点为，落地点为，将甲的运动路线抽象为抛物线，其顶点为；乙的起跳点也为，落地点为，将乙的运动路线抽象为抛物线，其顶点为，两机器人的运动路线在同一竖直平面内．以为原点，所在直线为轴，过点与所在水平地面垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式； 【问题解决】 （2）如图2，水平地面上有个障碍物，其纵切面为矩形，，点在边左侧，甲，乙分别从点处起跳．机器人越过障碍物时，与障碍物表面的点在竖直方向上的距离不少于2cm才能安全通过．（障碍物的纵切面与两机器人的运动路线在同一竖直平面内） ①若，甲款机器人___________安全越过该障碍物；（横线上填“能”或“不能”）； ②若要使甲，乙两款机器人都能安全跃过该障碍物，设，则的取值范围为（结果保留根号）． 【答案】（1）；； （2）① 能； ② 【分析】 本题考查了二次函数的实际应用，包括抛物线表达式的求解以及利用二次函数解决障碍物越过问题，熟练掌握二次函数的顶点式、图象性质及不等式求解是解答本题的关键． （1）利用抛物线的顶点式，结合起跳点和落地点的坐标，求出抛物线的函数表达式； （2）① 分别将障碍物左端和右端的横坐标代入甲的抛物线表达式，计算出纵坐标，与障碍物高度比较竖直距离，判断是否能安全跃过； ② 分别将障碍物左端和右端的横坐标代入甲、乙的抛物线表达式，列出不等式，求解出的取值范围． 【详解】 解：（1）对于抛物线： 起跳点，落地点，顶点， 设， 代入点得， 则， 展开得：； 对于抛物线： 起跳点，落地点，顶点， 设， 代入点得， 则， 展开得：． （2）①，，， 分别将，代入得： ， ， 甲款机器人能安全跃过该障碍物． ② 甲款机器人：令， 则， 解得：，， 即 ， 解得：； 乙款机器人：令， 则， 解得：，， 即 ， 解得：， 综上所述，的取值范围为． 6．（25-26学年九上·江苏南京鼓楼区·期中）图中是抛物线形拱桥．某日，水文站观测到河水匀速上涨，记录两次数据如下： 时刻 水面宽 水位变化 6:00 / 18:00 上涨（相比6:00的水位） （1）建立适当的平面直角坐标系并求出抛物线的函数表达式． （2）当日时刻多少时，水面将经过拱顶？ （3）设自当日6:00开始至水面经过拱顶，当水位上涨时，水面宽为． ①___________的二次函数．（填“是”或“不是”） ②画出随变化而变化的大致图象，标出必要的数据． 【答案】（1）      （2）22时     （3）① 不是； ② 图象如下图： 时，；时，， ∴图象是从到的递减曲线，形状类似开口向左的抛物线的一部分． 【分析】 本题考查二次函数的应用，能够求出二次函数解析式是解题关键； （1）如图，可以所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系，然后再利用待定系数法求解析式即可； （2）先求出时，，再利用水流的速度求解即可； （3）① 求出关于的表达式，即可判断是否为二次函数；② 描点画图即可． (1) 小问详解： 解：∵抛物线拱桥， ∴两点关于抛物线的对称轴对称，两点也关于抛物线的对称轴对称， ∴如图，可以所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系， 此时，，，，设抛物线的函数表达式为：， 代入，得到 ，解得 ， ∴抛物线的函数表达式为：， (2) 小问详解： 解：当时，，此时水面将经过拱顶， ∵上涨用了12小时， ∴每小时上涨， ，， ∴当日时刻22时，水面将经过拱顶； (3) 小问详解： 解：当时，，变形得到， ∴水面宽度，即， ∴，， ① 故不是的二次函数， ② 略 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 二次函数 5大高频考点概览 考点01 二次函数y=ax²的图象和性质 考点02 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 考点03 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 考点04 二次函数与一元二次方程 考点05 实际问题与二次函数 考点01 二次函数y=ax²的图象和性质 1．（25-26学年九上·江苏南通·期中）已知二次函数，当时，随增大而增大，则实数的取值范围是（　　） A.  B.  C.  D.  考点02 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 1．（25-26学年九上·江苏淮安·期中）二次函数的顶点坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·江苏期中学·期中）抛物线有（     ） A. 最小值3 B. 最大值3 C. 最大值 D. 最小值 3．（25-26学年九上·江苏苏州·期中）二次函数图象的顶点坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·江苏南通·期中）将抛物线向上平移3个单位，所得抛物线的表达式是（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·江苏南通·期中）抛物线的顶点坐标是（ ） A. （﹣1，2） B. （﹣1，﹣2） C. （1，﹣2） D. （1，2） 6．（25-26学年九上·江苏苏州吴中区·期中）将函数的图像向下平移2个单位后，得到的新函数的解析式为　　　　　　． 7．（25-26学年九上·江苏淮安·期中）把抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到的新抛物线的解析式为　　　　　　　　． 8．（25-26学年九上·江苏期中学·期中）已知和是抛物线上的两点，则和的大小关系是　　　　　　． 9．（25-26学年九上·江苏苏州·期中）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象沿轴翻折，所得抛物线相应的函数表达式为　　　　　　　　　　　． 10．（25-26学年九上·江苏南京鼓楼区·期中）二次函数y=x2+1的图象的顶点坐标是　　　　　． 11．（25-26学年九上·江苏期中学·期中）已知一个二次函数的图象形状和开口方向与 相同，且顶点坐标为，则这个二次函数的表达式为　　　　　　． 考点03 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 1．（25-26学年九上·江苏期中学·期中）二次函数 的图象如图所示，对于下列说法：①，②，③，其中正确的个数有（       ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2．（25-26学年九上·江苏南京鼓楼区·期中）若二次函数的图象经过点，则下列选项中，对应的的值最大的是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·江苏南通·期中）二次函数的自变量x与函数y的部分对应值如下表： x … 1 2 … y … c 0 m … 给出下面三个结论： ①；②；③关于x的方程的两个根分别为，．上述结论中，所有正确结论的序号是（       ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 4．（25-26学年九上·江苏苏州·期中）已知点在二次函数（其中为常数，且）的图象上，则的大小关系为（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·江苏苏州·期中）二次函数（其中为常数，且）的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④（为实数）．其中，正确的个数为（       ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6．（25-26学年九上·江苏苏州吴中区·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为点，且与轴的正半轴交于点，点是该抛物线对称轴上的一点，则的最小值为（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·江苏期中学·期中）已知二次函数． （1）在坐标系中画出此抛物线的大致图象： x … 0 1 2 … … 4 … （2）该抛物线可由抛物线向______平移______个单位得到； （3）当时，的取值范围是__________________________________． 8．（25-26学年九上·江苏南京鼓楼区·期中）已知二次函数中，函数值与自变量的部分对应值如下表： 0 1 2 3 4 10 5 2 1 2 5 若点都在该函数的图象上，则　　　　　　　　　　．（填“>”，“<”或“=”号） 9．（25-26学年九上·江苏南通·期中）二次函数的图象过点，，，其中，为常数，则的值为　　　　　　　；的最大值为　　　　　　　． 10．（25-26学年九上·江苏淮安·期中）已知过点，，三点，对称轴是直线，关于的方程有两个相等的实数根． （1）求抛物线的解析式． （2）若，试比较与的大小． 11．（25-26学年九上·江苏淮安·期中）如图，已知抛物线． （1）过点作轴的平行线交抛物线于两点，求的长； （2）当时，直接写出的取值范围：___________． 12．（25-26学年九上·江苏苏州·期中）将二次函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移个单位； （1）若，则所得二次函数图象的函数表达式为___________； （2）若平移后所得二次函数的图象经过点，求平移后所得抛物线的函数表达式． 13．（25-26学年九上·江苏苏州·期中）如图，已知一次函数的图象与二次函数的图象交于，两点，该二次函数图象的顶点为，连接． （1）求点的坐标； （2）求的面积． 14．（25-26学年九上·江苏苏州吴中区·期中）如图，已知二次函数的图象交x轴于A，B两点（A在B左边），交y轴于C点，点P是直线上方抛物线上一动点（不与A，C重合），则P点到直线距离的最大值是　　　　　　． 15．（25-26学年九上·江苏无锡经开区·期中）如图1，在矩形中，点E，F分别在边，上，将矩形沿EF折叠，使点B的对应点H落在边上，点A的对应点为点G，交于点P． （1）求证：； （2）如图2，连接，当为的中点，，时，求的长； （3）若，．当最大时，直接写出的长． 16．（25-26学年九上·江苏淮安·期中）平面直角坐标系中有线段，已知，，若抛物线与线段只有一个交点，若的取值范围为　　　　　　　　． 17．（25-26学年九上·江苏期中学·期中）定义：若抛物线与直线有两个交点，则称抛物线为直线的“双幸运曲线”，其交点为该直线的“幸运点”． （1）已知直线解析式为，下列抛物线为该直线的“双幸运曲线”的是______；（填序号） （2）如图1，已知直线，抛物线为直线l的“双幸运曲线”，“幸运点”分别为A、B． ①在x轴上找一点E，使周长最小，请直接写出此时点E的坐标______； ②在直线l上方的抛物线上是否存在点P使面积最大，若存在，请求出面积的最大值和点P坐标，若不存在，请说明理由． 18．（25-26学年九上·江苏苏州·期中）二次函数（其中为常数，且）的图象过点，（其中为常数）．则关于的方程的方程的解为　　　　　　　　　　　． 19．（25-26学年九上·江苏苏州·期中）如图1，在矩形中，点是边的中点，点是边上的一个动点，连接，作，交于点，设．图2是点从点运动到点的过程中，关于的函数图象．当时，的值最大，最大值是，则的值是　　　　　　　　　　　． 20．（25-26学年九上·江苏苏州·期中）如图，二次函数（其中为常数，且）的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，且点的坐标为，点的坐标为．点是轴上方抛物线上的一点，连接．点是轴上的点，连接． （1）求该抛物线的表达式； （2）①若，求点的坐标； ②若，则点的坐标为___________． 21．（25-26学年九上·江苏苏州吴中区·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x﹣3的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点B关于x轴的对称点是C，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A和点C． （1）求二次函数的表达式； （2）如图1，平移线段AC，点A的对应点D落在二次函数在第四象限的图象上，点C的对应点E落在直线AB上，求此时点D的坐标； （3）如图2，在（2）的条件下，连接CD，交CD轴于点M，点P为直线AC上方抛物线上一动点，过点P作PF⊥AC，垂足为点F，连接PC，是否存在点P，使得以点P，C，F为顶点的三角形与△COM相似？若存在，求点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 22．（25-26学年九上·江苏南通·期中）已知抛物线经过点 （1）求该抛物线的对称轴； （2）若，且对于该抛物线上的两点，，当，时，均满足，求的取值范围； （3）点和分别在抛物线和上（，都不与原点重合）．当时，若是一个与无关的定值，求与的值． 考点04 二次函数与一元二次方程 1．（25-26学年九上·江苏期中学·期中）已知二次函数中部分x和y的值如下表所示： x y 0.25 0.56 0.89 则方程的一个较大的根的范围是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·江苏南京鼓楼区·期中）若二次函数的图象与轴有两个公共点，则的值可以是（     ） A.  B.  C. 0 D. 2 3．（25-26学年九上·江苏苏州吴中区·期中）二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（     ） A. 且 B. 且 C.  D.  4．（25-26学年九上·江苏常州溧阳·期中）根据下列表格的对应值： x 0.016 0.045 0.074 判断方程一个解的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·江苏镇江扬中·期中）根据表中的对应值，判断方程一个解x的取值范围是（　　） x 11.2 11.3 11.4 11.5 11.6 0.96 2.25 3.56 A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·江苏苏州·期中）二次函数的图象，与y轴的交点坐标为　　　　　　． 7．（25-26学年九上·江苏南通·期中）如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式及抛物线顶点的坐标； （2）根据图象，请直接写出当抛物线对应函数值大于0时自变量的取值范围． 8．（25-26学年九上·江苏南通·期中）二次函数的图象总是在轴的上方，则的取值范围为　　　　　　． 9．（25-26学年九上·江苏淮安·期中）如图，抛物线与轴交于点，则下列结论中正确的是　　　　　　．（填序号）    ①；       ②；       ③；       ④． 10．（25-26学年九上·江苏期中学·期中）若抛物线与x轴没有交点，则k的取值范围　　　　　　　　　　　　　　　． 11．（25-26学年九上·江苏南京鼓楼区·期中）已知二次函数的图象过点，它的顶点坐标为． （1）求该二次函数的表达式． （2）设该二次函数的图象与轴交于点B，C（在的左侧），则是什么特殊的三角形？说明理由． 12．（25-26学年九上·江苏南京鼓楼区·期中）已知二次函数（为常数）． （1）若二次函数有最小值，求． （2）已知点，，连接．若该二次函数图象与线段有2个公共点，结合函数的图象，直接写出对应的的取值范围． 13．（25-26学年九上·江苏苏州吴中区·期中）已知抛物线． （1）求证：不论m取何值时，抛物线必与x轴相交于两点； （2）若抛物线与x轴的一个交点为，试求m的值与另一个交点的坐标． 14．（25-26学年九上·江苏南京鼓楼区·期中）已知a，k为常数，若关于的不等式的解集是，则不等式的解集为　　　　　　　　　　． 15．（25-26学年九上·江苏苏州吴中区·期中）【定义与性质】 如图，记二次函数和的图象分别为抛物线C和． 定义：若抛物线的顶点在抛物线C上，则称是C的伴随抛物线． 性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线； ②若是C的伴随抛物线，则C也是的伴随抛物线，即C的顶点在上． 【理解与运用】 （1）若二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线，则______，______． 【思考与探究】 （2）设函数的图象为抛物线． ①若函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线，求d，e的值； ②若抛物线与x轴有两个不同的交点，，请直接写出的取值范围． 考点05 实际问题与二次函数 1．（25-26学年九上·江苏淮安·期中）一小球从20米的高处落下，小球离地面的高度和下落时间大致有如下关系：，那么小球落到地面需要经过的时间为（       ） A. 1秒 B. 2秒 C. 3秒 D. 4秒 2．（25-26学年九上·江苏南通·期中）如图，某校劳动实践基地用总长为的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为x（单位：m），与墙平行的一边长为y（单位：m），面积为S（单位：）． （1）直接写出y与x，S与x之间的函数解析式（不要求写x的取值范围）； （2）当x的值是多少时，矩形实验田的面积S最大？最大面积是多少？ 3．（25-26学年九上·江苏淮安·期中）在九年级学生即将毕业之际，某商店购进了一批成本为4元/本的毕业纪念册．当每本纪念册售价为10元时，平均每周能售出40本，为了扩大销售量，减少库存，商店决定降价促销，调查发现，如果每本纪念册每降价1元，那么该商店平均每周可多售出20本，商家要想获得最大利润，每本纪念册应该降价多少元？最大利润是多少元？ 4．（25-26学年九上·江苏苏州·期中）某汽车出租公司每辆汽车月租费为3000元时，100辆汽车可以全部租出．若每辆汽车的月租费每增加50元，则将少租出1辆汽车．已知每辆租出的汽车需支付月维护费200元． （1）若每月租出90辆汽车时，该出租公司的月收益是多少？ （2）每月租出多少辆汽车时，该出租公司的月收益最大？最大月收益是多少？ 5．（25-26学年九上·江苏苏州·期中）综合与实践 九年级机器人社团围绕“跳跃机器人”开展主题学习活动．现有甲，乙两款跳跃机器人，他们起跳后的运动路线均可看作抛物线．甲，乙分别从水平地面起跳，甲的运动路线的最高点距离地面，起跳点与落地点之间的距离为；乙的运动路线的最高点距离地面，起跳点与落地点之间的距离为． 【数学建模】 如图1，甲的起跳点为，落地点为，将甲的运动路线抽象为抛物线，其顶点为；乙的起跳点也为，落地点为，将乙的运动路线抽象为抛物线，其顶点为，两机器人的运动路线在同一竖直平面内．以为原点，所在直线为轴，过点与所在水平地面垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式； 【问题解决】 （2）如图2，水平地面上有个障碍物，其纵切面为矩形，，点在边左侧，甲，乙分别从点处起跳．机器人越过障碍物时，与障碍物表面的点在竖直方向上的距离不少于2cm才能安全通过．（障碍物的纵切面与两机器人的运动路线在同一竖直平面内） ①若，甲款机器人___________安全越过该障碍物；（横线上填“能”或“不能”）； ②若要使甲，乙两款机器人都能安全跃过该障碍物，设，则的取值范围为（结果保留根号）． 6．（25-26学年九上·江苏南京鼓楼区·期中）图中是抛物线形拱桥．某日，水文站观测到河水匀速上涨，记录两次数据如下： 时刻 水面宽 水位变化 6:00 / 18:00 上涨（相比6:00的水位） （1）建立适当的平面直角坐标系并求出抛物线的函数表达式． （2）当日时刻多少时，水面将经过拱顶？ （3）设自当日6:00开始至水面经过拱顶，当水位上涨时，水面宽为． ①___________的二次函数．（填“是”或“不是”） ②画出随变化而变化的大致图象，标出必要的数据． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 二次函数 考点01 二次函数y=ax²的图象和性质 考点02 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 考点03 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 考点04 二次函数与一元二次方程 考点05 实际问题与二次函数 考点01 二次函数y=ax²的图象和性质 1．A 考点02 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 1．B 2．B 3．B 4．D 5．D 6．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数图像的平移，平移法则是：左加右减，上加下减；据此法则即可求解． 【详解】 解：∵函数的图像向下平移2个单位， ∴平移后的新函数的解析式为； 故答案为：． 7．【答案】 【分析】 本题主要考查二次函数图象平移规律，解决本题的关键是要熟练掌握二次函数平移规律．根据二次函数平移规律：上加下减，左加右减，进行求解即可． 【详解】 解：∵将抛物线向左平移2个单位长度， ∴， ∵向上平移5个单位长度， ∴， 故答案为：． 8．【答案】 【分析】 本题主要考查了二次函数性质．根据抛物线的开口向下，对称轴为直线，得到当时，y随x的增大而减少，根据和，得到． 【详解】 解：∵抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减少， ∵和在抛物线上，且， ∴． 故答案为：． 9．【答案】 【分析】 此题主要考查二次函数图象与几何变换，正解掌握平移规律是解题的关键． 将二次函数图象沿x轴翻折，相当于对每个点进行坐标变换，即点变为，因此新函数表达式可通过将原函数中的y替换为并求解得到． 【详解】 ∵将二次函数的图象沿轴翻折， ∴ ∴所得抛物线相应的函数表达式为． 故答案为：． 10．【答案】（0，1） 【分析】 根据顶点式解析式写出顶点坐标即可． 【详解】 二次函数y=x2+1的图象的顶点坐标是（0，1）， 故答案为：（0，1）． 11．【答案】 【分析】 本题考查了求二次函数解析式，二次函数的图象与性质，熟练掌握形状和开口方向相同的二次函数二次项系数相等是解题的关键． 根据二次函数的顶点坐标可设二次函数的解析式为，再根据图象的形状和开口方向与相同，可得a的值，即可解答． 【详解】 解：∵该二次函数的顶点坐标为， ∴可设二次函数的解析式为， 又∵图象的形状和开口方向与抛物线相同， ∴， ∴这个二次函数的解析式为． 故答案为：． 考点03 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 1．D 2．B 3．C 4．B 5．D 6．B 7．【答案】（1）解：此抛物线的大致图像如下：      （2）向上平移个单位     （3）或      【分析】 本题考查了二次函数的图像与性质、二次函数的最值以及平移： （1）将表格中的各依次代入，求出对应，依次描点作图即可得到的图像； （2）根据二次函数图象平移规律，“上加下减，左加右减”即可； （3）分别解出不等式和的解，综合两个解即可． (1) 小问详解： 时，， 时，， 时，， 时，． (2) 小问详解： 抛物线是在的基础上，在值上加了，所以是向上平移个单位． (3) 小问详解： 二次函数， 当时，， 即且， 当时，解得， 当时，解得或， 或， 当时，的取值范围是或． 8．【答案】> 【分析】 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，根据表格数据，确定二次函数的解析式，进而计算点A和点B的函数值，比较大小，即可作答． 【详解】 解：由表可知，当时，，代入，得； 当时，，代入，得，解得； 故二次函数为， ∵点都在该函数的图象上， 则， ∵， ∴， 故答案为：>． 9．【答案】①     ② 【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质，利用点和点的纵坐标相同，得出对称轴为直线，从而求出；再代入点和点的坐标，表示出和关于的表达式，进而得到的表达式，根据求最大值，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键． 【详解】 解：∵二次函数的图象过点，， ∴二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， 将，代入二次函数的解析式可得：，， ∴，， ∴， ∵，对称轴为直线， ∴当时，的值随着的增大而减小， ∴当时，的值最大为， 故答案为：，． 10．【答案】（1）；（2） 【分析】 （1）根据抛物线的轴对称性，得到抛物线与x轴的另一个交点，再利用交点式得到抛物线的解析式，进而即可求解； （2）作差，结合，即可得到结论． 【详解】 解：∵抛物线的对称轴是直线，过点， ∴抛物线过点， ∴设抛物线的解析式为， ∵已知关于的方程有两个相等的实数根， ∴方程，即方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴； （2） ∵， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】 本题主要考查二次函数的图像和性质，掌握二次函数图像的轴对称性以及作差比较大小，是解题的关键． 11．【答案】（1）     （2）或      【分析】 本题考查了二次函数的性质以及直线与抛物线的交点，关键是的长． （1）把代入解析式，解方程求出x的值，再求即可； （2）由（1）和图象可以得出自变量的取值范围． (1) 小问详解： 解：把点的纵坐标，代入得： ， 解得：或， 则长为； (2) 小问详解： 解：由（1）和图象知：当时，x的取值范围是或， 故答案为：或． 12．【答案】（1）     （2）      【分析】 此题考查了二次函数的平移，解题的关键是掌握二次函数的平移规律． （1）根据平移规律求解即可； （2）首先根据平移规律得到，然后将代入求解即可． (1) 小问详解： 解：若， ∴将二次函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移3个单位， ∴所得二次函数图象的函数表达式为； (2) 小问详解： 解：∵将二次函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移个单位 ∴所得二次函数图象的函数表达式为 ∵平移后所得二次函数的图象经过点， ∴ ∴ ∴平移后所得抛物线的函数表达式为． 13．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用配方法将二次函数化为顶点式，从而直接得出顶点的坐标； （2）联立一次函数与二次函数的解析式，求解方程组得到，两点坐标，再通过找辅助线将三角形面积拆分，进而计算出的面积． (1) 小问详解： 解：二次函数的顶点坐标公式为， 在二次函数中，，，， 故， ， 点的坐标为． (2) 小问详解： 解：联立两个函数表达式得： ， 即， 整理得：， 解得：，， 将，代入函数， 得，， ，． 设函数为，图像与轴交于点， 将点，代入函数得 ， 解得： ， ， 令， ， 解得：， ， ， ， 即． 【点睛】 本题考查了一次函数与二次函数的综合应用，涉及顶点式求二次函数顶点坐标、联立方程求交点坐标以及三角形面积的计算，熟练掌握函数图象的交点求法和三角形面积的拆分计算是解答本题的关键． 14．【答案】 【分析】 本题是二次函数的综合题，求最大值的问题．作于点H，作轴于点N，交于点M，先求得直线的解析式为，当取最大值时，P点到直线的距离有最大值，设，．用表示的长，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】 解：令，则， 解得或， 令，则， ∴，，，， ∵， ∴， 作于点H，作轴于点N，交于点M， 设直线的解析式为， 将代入得，，解得， ∴直线的解析式为， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 当取最大值时，P点到直线的距离有最大值， 设，． ∴． ∴． ∵， ∴当时，． ∴． 故答案为：． 15．【答案】（1） 证明：如图， ∵四边形是矩形， ， ， ∵将四边形沿翻折，使的对称点落在上， ， ， ， ， ， ∴．     （2）     （3）      【分析】 （1）如图，根据四边形是矩形，得出，从而得，根据折叠的性质可得，则，等量代换得出，证明，得出，即可证明． （2）根据四边形是矩形，得出，根据为中点，得出，在中，勾股定理求出，由折叠的性质可得，，设，则，在中，根据勾股定理列方程得出，求出，即可得出，，根据，得出，求出，，如图，连接，延长交于一点，根据折叠得出，则，证明，得出，求出，证明，得出，即可求解． （3）设，，则，，根据，列出方程整理得，求出当时，y最大，最大值为2，从而求出，即可解答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵ 四边形是矩形， ， ∵为中点， ， 在中，   ， 由折叠的性质可得，， 设， ， 在中，， 即，解得：， ， ， ∵， ， ， ， ， 如图，连接，延长交于一点， ∵将四边形沿翻折，使的对称点落在上， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：． (3) 小问详解： 解：设，， 则，， ∵， ， ， 整理得， 则， ， 令，则， 故当时，最大，此时， 即当时，y最大，即最大，最大值为， ∴， ∴． 【点睛】 本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、二次函数的最值，相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． 16．【答案】或 【分析】 本题考查了二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数性质． 由题意，可知点、在直线上，求出时，的值，根据抛物线与线段只有一个交点，即可求出的取值范围． 【详解】 解：∵，， ∴点、在直线上，且， 当时，， 解得或， ∵地物线与线段只有一个交点， ∴或， ∴或 故答案为：或． 17．【答案】（1）②     （2）①；②，的最大值为      【分析】 本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）根据“双幸运曲线”的定义及一元二次方程根的判别式可进行求解； （2）① 由题意易得，则有，的周长，要使的周长最小，即为的值最小，然后根据轴对称的性质可进行求解； ② 过点P作轴，交直线于点H，由题意可设，则有，然后根据铅垂法可进行求解． (1) 小问详解： 解：由题意得： ① 联立得： ，则有， 由于，方程无解， 所以一次函数与二次函数没有交点； ② 联立得： ，则有， 由于，方程有两个不相等的实数根， 所以一次函数与二次函数有两个交点，满足“双幸运曲线”的定义； ③ 联立得： ，则有， 由于，方程有两个相等的实数根， 所以一次函数与二次函数有一个交点，不满足“双幸运曲线”的定义； 故答案为：② ； (2) 小问详解： 解：① 由题意可联立 ， 解得： 或 ， ∴， ∴， ∴的周长， 如图，过点B作关于x轴的对称点C，则，连接，与x轴交于点E，根据轴对称的性质可知， 所以的周长最小值即为的最小值，则当点A、E、C三点共线时，的值最小，即为的长，图中点E满足题意， 设直线的解析式为，则有： ， 解得： ， ∴直线的解析式为， 令时，则有， 解得：， ∴； 故答案为； ② 过点P作轴，交直线于点H，如图所示： ∴， 由题意可设，则有， ∴， ∴， ∴当时，的面积最大，最大值为， 此时点P的坐标为． 18．【答案】或 【分析】 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的对称轴为，熟练掌握待定系数法和二次函数对称轴方程是本题求解的关键． 根据，两点纵坐标相同，可得到对称轴为，考虑为二次函数上的点，故为方程的一个根，根据对称性，得到关于的对称点，得到方程的第二个解，从而得到方程的解． 【详解】 解：∵ 二次函数图像经过，两点纵坐标相同， ∴二次函数图像对称轴为， ∵为二次函数上的点， 故为方程的一个根， 根据对称性得到在二次函数上关于的对称点为， 故图象亦经过点， 故为方程的第二个根， 关于的方程的方程的解为或， 故答案为：或． 19．【答案】 【分析】 本题主要考查二次函数的性质和矩形的性质，以及相似三角形的判定和性质，解题的关键是数形结合思想的应用．根据抛物线与y轴交点得，结合矩形的性质进一步证明，由得，设，，结合，即，化解得，利用二次函数的性质的对称轴求得m，即可求得最大值a． 【详解】 解：∵抛物线与y轴交点为，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， 设，， 则，即， 化解得，， ∴，解得， 则， 故答案为：． 20．【答案】（1）     （2）①；②，．      【分析】 （1）利用待定系数法求解即可； （2）①如图所示，过点M作轴于点N，证明出，得到，设，表示出，，代数求出，进而求解即可； ②如图所示，过D点作垂线交延长线于H点．过H点作y轴垂线交于P点，证明出，得到，求出点坐标为，然后求出得解析式为，和抛物线联立求出，同理求得． (1) 小问详解： ∵过点， ∴ ，解得 ∴则该抛物线的表达式为； (2) 小问详解： ①如图所示，过点M作轴于点N， ∵， ∴ ∴ 设 ∴， ∴， 解得 ∴点M的坐标为； ②如图所示，过D点作垂线交延长线于H点．过H点作y轴垂线交于P点 由题可知，， ∵，且， ∴ ∴ ∵，故， 因， ∴ ∴， ∴得， 故点坐标为 设得解析式为， 把H点，B点代入联立可得 ， 解得 ∴得解析式为， 将直线与抛物线的交点，联立可得 或（舍） 把代入抛物线，得 ∴ 点关于点C的对称点坐标为 则直线为， 将直线与抛物线的交点，联立可得 ， 故 综上所述：点的坐标为，． 【点睛】 本题考查二次函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，一次函数的图像和性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 21．【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）D（4，﹣5）；（3）或 【分析】 （1）由一次函数的解析式求出A、B两点坐标，再根据A、C两点坐标求出b、c即可确定二次函数解析式； （2）由平移的性质设E（m，m﹣3），则D（m+3，m﹣6），代入抛物线的解析式则可求出点D的坐标； （3）分两种情况讨论：① △COM∽△PFC，② △COM∽△CFP，可求得点P的横坐标． 【详解】 解：∵一次函数y＝x﹣3的图象与x轴、y轴分别交于点A、B两点， ∴A（3，0），B（0，﹣3）， ∵点B关于x轴的对称点是C， ∴C（0，3）， ∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A、点C， ∴ ， ∴b＝2，c＝3， ∴二次函数的解析式为：y＝﹣x2+2x+3． （2）∵A（3，0），C（0，3），平移线段AC，点A的对应为点D，点C的对应点为E， 设E（m，m﹣3），则D（m+3，m﹣6）， ∵D落在二次函数在第四象限的图象上， ∴﹣（m+3）2+2（m+3）+3＝m﹣6， m1＝1，m2＝﹣6（舍去）， ∴D（4，﹣5）， （3）∵C（0，3），D（4，﹣5）， ∴ ， 解得 ， ∴直线CD的解析式为y＝﹣2x+3， 令y＝0，则x＝， ∴M（，0）， ∵一次函数y＝x﹣3的图象与x轴交于A（3，0），C （0，3）， ∴AO＝3，OC＝3， ∴∠OAC＝45°， 过点P作PF⊥AC，点P作PN⊥OA交AC于点E，连PC， ∴△PEF和△AEN都是等腰直角三角形， 设P（m，﹣m2+2m+3），E（m，﹣m+3）， ∴PE＝PN﹣EN＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m， ∴EN＝﹣m+3，AE＝，FE＝， ∴CF＝AC﹣AE﹣EF＝， ①当△COM∽△PFC，， ∴， 解得m1＝0，舍去，， ②当△COM∽△CFP时，， ∴， 解得m1＝0（舍去），， 综合可得P点的横坐标为或． 【点睛】 本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数与坐标轴的交点坐标、待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的判定与性质，难度中等．分类讨论思想的应用是解答（3）问的. 22．【答案】（1）     （2）     （3），      【分析】 （1）将代入二次函数的解析式得出，再由二次函数的对称轴公式计算即可得解； （2）当时，，从而可得抛物线的解析式为，进而得出抛物线的开口向下，对称轴为直线，再结合抛物线的对称性以及题意可得，，求解即可； （3）由题意可得，，结合，得出，由（1）可2，从而得出，整理可得，由题意可得，，从而得出，整理可得，再由是一个与无关的定值，得出，求出的值即可得解． (1) 小问详解： 解：∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴对称轴为直线； (2) 小问详解： 解：当时，， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∵对于该抛物线上的两点，，且当，时，均满足， ∴，， 解得：， 故的取值范围为：； (3) 小问详解： 解：∵点和分别在抛物线和上（，都不与原点重合）， ∴，， ∵， ∴， 由（1）可得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，都不与原点重合， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵是一个与无关的定值， ∴， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查了二次函数的图象与性质，因式分解的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 考点04 二次函数与一元二次方程 1．C 2．D 3．A 4．B 5．B 6．【答案】 【分析】 本题主要考查了二次函数图象与坐标轴的交点问题，理解函数图像与解析式的关系是解题的关键． 把代入函数解析式得到纵坐标，即可解答． 【详解】 解：当时，， ∴二次函数的图象与轴的交点坐标为． 故答案为：． 7．【答案】（1），；     （2）．      【分析】 本题主要考查了二次函数的解析式求解与函数图象的应用，熟练掌握二次函数的交点式、顶点式以及利用函数图象确定函数值正负对应的自变量范围是解题的关键． （1）已知抛物线与轴的两个交点，设交点式解析式，代入轴交点坐标求出参数，进而将解析式化为顶点式求顶点坐标． （2）观察抛物线图象在轴上方部分对应的取值范围． (1) 小问详解： 解：抛物线与轴交于，， 设抛物线解析式为， 抛物线与轴交于E， ， 解得， 抛物线解析式为，展开得， 化为顶点式：， 顶点的坐标为； (2) 小问详解： 解：抛物线与轴交于，，观察图象可知，抛物线在轴上方时，对应的取值范围是， 当抛物线对应函数值大于时自变量的取值范围是． 8．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数图象始终在x轴上方，需满足开口向上且判别式小于零，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】 解：∵二次函数的图象总是在轴的上方， ∴，即， 解得：， 故答案为：． 9．【答案】② ④ 【分析】 本题考查了二次函数的图象，二次函数与一元二次方程的关系．熟练掌握二次函数的图象，二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． 由图象可知，，可判断① 的正误；当时，，可判断② 的正误；由函数图象与轴有两个交点，则有两个不相等的实数根，即，可判断③ 的正误；将代入得，，可判断④ 的正误． 【详解】 解：由图象可知，，① 错误，故不符合要求； 当时，，② 正确，故符合要求； 函数图象与轴有两个交点， ∴有两个不相等的实数根，即，③ 错误，故不符合要求； 将代入得，，④ 正确，故符合要求； 故答案为：② ④ ． 10．【答案】 【分析】 本题考查抛物线与轴的交点问题，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系． 抛物线与轴没有交点，则，进而求解． 【详解】 若抛物线与轴没有交点， 则， 解得． 故答案为：． 11．【答案】（1）     （2）等腰三角形      【分析】 本题考查了二次函数的表达式求解以及等腰三角形的判定，解题的关键是熟练掌握二次函数的顶点式以及等腰三角形的判定方法． （1）利用二次函数的顶点式求解表达式； （2）求出与x轴交点坐标，再根据线段长度关系判定三角形类型． (1) 小问详解： 解：二次函数的顶点坐标为， 设二次函数的顶点式为． 又函数图象过点，将代入顶点式可得： 解得： 该二次函数的表达式为； (2) 小问详解： 解：（2）令，则 解得， 点的坐标为，点的坐标为， 已知点，根据两点间距离公式可得： ， ， ， 是等腰三角形． 12．【答案】（1）4或     （2）      【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是： （1）把原函数解析式转化为顶点式，然后根据二次函数有最小值，构建关于m的方程求解即可； （2）根据二次函数的开口向上，且二次函数图象与线段有2个公共点，得出当、时，函数值，以及顶点的纵坐标，对称轴，然后解不等式组即可． (1) 小问详解： 解： ， ∴当时，有最小值为， ∵二次函数有最小值， ∴， 解得或； (2) 小问详解： 解：∵二次函数图象与线段有2个公共点，，， ∴ ， 解得． 13．【答案】（1） 证明：， 故此抛物线与x轴有两个交点；     （2），抛物线与x轴另一交点为      【分析】 本题考查的是抛物线和x轴的交点问题． （1）证明，即可求解； （2）将代入抛物线表达式，进而求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：将代入得，， ∴抛物线解析式为， 令得到， 解得：， ∴抛物线与x轴另一交点为． 14．【答案】 【分析】 本题考查二次函数与不等式，由已知不等式解集可确定对应二次函数的根，从而求出常数关系且，代入第二个不等式并求解． 【详解】 解：不等式的解集为， 则二次函数的根为和， ∴当时，，即， ∴，解得； ∵的解集为， ∴抛物线的开口向上， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴ 或 解得：无解或； 故答案为：． 15．【答案】（1）2；；（2）①；②或 【分析】 题目主要考查二次函数的综合应用及新定义理解，熟练掌握二次函数的性质结合图象求解是解题关键． （1）根据题意确定点在的伴随抛物线上，代入求解即可； （2）①根据题意确定顶点坐标为：，然后代入解析式得出，即可求解； ② 根据题意得出顶点坐标在图像上滑动，然后分情况分析即可得出结果． 【详解】 解：（1）二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线， ∴点在的伴随抛物线上， 代入得：，， 解得：，， 故答案为：2；； （2）①， ∴顶点坐标为：， ∵函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线， ∴， 整理得：， ∴； ② ∵与x轴有两个不同的交点，， 由①得：函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线， ∴顶点坐标在图像上滑动， 顶点为， 当时， 解得：或， 抛物线与x轴交两个点， 当顶点在下方时，抛物线有两个交点，， ∵若是的伴随抛物线，则也是的伴随抛物线，即C的顶点在上． ∴在 上， 当顶点在下方时，； 综上可得：或． 考点05 实际问题与二次函数 1．B 2．【答案】（1），     （2）当时，有最大值      【分析】 本题考查了矩形的性质，二次函数的实际应用，计算的取值范围是解题的关键． （1）根据，求出与的函数解析式，根据矩形面积公式求出与的函数解析式； （2）将与的函数配成顶点式，先求出的取值范围，再根据二次函数的性质求出的最大值． (1) 小问详解： 解：由题意得：， ， ， ； (2) 小问详解： 解：， ， ， ， ， ∵，对称轴为直线， 当时，有最大值． 3．【答案】每本纪念册应该降价元，最大利润是元 【分析】 本题主要考查了二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的性质以及根据题意列出函数关系式是解题的关键． 通过设每本纪念册降价元，分别表示出每本的利润和每周的销售量，再根据“总利润 = 每本利润×销售量”列出二次函数关系式，最后利用二次函数的性质求出最大利润及对应的降价金额． 【详解】 解：设每本纪念册降价元，每周的利润为元．则每本的利润为元，每周的销售量为本． ， 因为二次项系数， 所以该函数图象开口向下， 当时，有最大值． 答：每本纪念册应该降价元，最大利润是元． 4．【答案】（1）297000元     （2）78辆，304200元      【分析】 此题考查了二次函数的应用，有理数的混合运算的实际应用， （1）首先求出每辆车的月租费，然后求出月收益即可； （2）设每月租出辆汽车时收益为，根据题意表示出y，然后根据二次函数的性质求解即可． (1) 小问详解： 解：由题意可知，当租出90辆汽车时，每辆车的月租费为（元） 月收益为：元； (2) 小问详解： 解：设每月租出辆汽车时收益为 则 ∵， ∴当时，， ∴当每月租出78辆汽车时，收益最大，为304200元． 5．【答案】（1）；； （2）① 能； ② 【分析】 本题考查了二次函数的实际应用，包括抛物线表达式的求解以及利用二次函数解决障碍物越过问题，熟练掌握二次函数的顶点式、图象性质及不等式求解是解答本题的关键． （1）利用抛物线的顶点式，结合起跳点和落地点的坐标，求出抛物线的函数表达式； （2）① 分别将障碍物左端和右端的横坐标代入甲的抛物线表达式，计算出纵坐标，与障碍物高度比较竖直距离，判断是否能安全跃过； ② 分别将障碍物左端和右端的横坐标代入甲、乙的抛物线表达式，列出不等式，求解出的取值范围． 【详解】 解：（1）对于抛物线： 起跳点，落地点，顶点， 设， 代入点得， 则， 展开得：； 对于抛物线： 起跳点，落地点，顶点， 设， 代入点得， 则， 展开得：． （2）①，，， 分别将，代入得： ， ， 甲款机器人能安全跃过该障碍物． ② 甲款机器人：令， 则， 解得：，， 即 ， 解得：； 乙款机器人：令， 则， 解得：，， 即 ， 解得：， 综上所述，的取值范围为． 6．【答案】（1）      （2）22时     （3）① 不是； ② 图象如下图： 时，；时，， ∴图象是从到的递减曲线，形状类似开口向左的抛物线的一部分． 【分析】 本题考查二次函数的应用，能够求出二次函数解析式是解题关键； （1）如图，可以所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系，然后再利用待定系数法求解析式即可； （2）先求出时，，再利用水流的速度求解即可； （3）① 求出关于的表达式，即可判断是否为二次函数；② 描点画图即可． (1) 小问详解： 解：∵抛物线拱桥， ∴两点关于抛物线的对称轴对称，两点也关于抛物线的对称轴对称， ∴如图，可以所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系， 此时，，，，设抛物线的函数表达式为：， 代入，得到 ，解得 ， ∴抛物线的函数表达式为：， (2) 小问详解： 解：当时，，此时水面将经过拱顶， ∵上涨用了12小时， ∴每小时上涨， ，， ∴当日时刻22时，水面将经过拱顶； (3) 小问详解： 解：当时，，变形得到， ∴水面宽度，即， ∴，， ① 故不是的二次函数， ② 略 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $