6.3相交线（第3课时 垂线段）教学设计2026-2027学年苏科版七年级数学上册

苏科版七年级数学上册教学设计 课 题 6.3 相交线（第3课时）——垂线段 上课时间 主备人：__________ 执教老师：__________ 学情分析 学生已经学习了垂直的概念、垂线的画法和“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”，为本节学习垂线段打下了基础。本节核心是两个内容：一是“垂线段最短”——直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短；二是“点到直线的距离”——直线外一点到这条直线的垂线段的长度。学生常见困难：一是把“垂线段最短”与“两点之间线段最短”混淆；二是把“距离”理解成垂线段本身（图形），而不是垂线段的长度（数量）；三是在实际问题中不会找垂线段——比如修路、跳远测量，不知道应该从哪个点向哪条线作垂线。教学中应通过测量、作图和生活实例，帮助学生理解垂线段最短的应用价值。 基于垂直和垂线作图基础，聚焦垂线段最短和点到直线的距离，预判距离概念混淆、实际问题不会作垂线两类困难。 教学目标 1. 知识与技能：理解“垂线段最短”的性质；理解点到直线的距离的概念；会度量点到直线的距离；能运用垂线段最短解决简单的实际问题。 2. 过程与方法：经历观察、测量、比较、归纳的过程，发展几何直观和应用意识；通过跳远测量、修路等实例，体会数学与生活的联系。 3. 情感态度与价值观：在探索垂线段最短的过程中，感受数学规律的简洁美；通过解决实际问题，体会数学的应用价值。 三维目标紧扣“性质—概念—应用”，突出测量操作和实际应用。 教学 重、难点 教学重点：垂线段最短的性质；点到直线的距离的概念。 教学难点：点到直线的距离概念的理解（距离是垂线段的长度，是数量）；在实际问题中准确找出垂线段。 重点落在“垂线段最短+距离概念”；难点锁定“距离是长度不是线段”和“实际问题作垂线”。 教学准备 多媒体课件、三角板、量角器、直尺、导学案 课时安排：1 课时 （一）创设情境，引入新知（约 5 分钟） 教学 活动 1. 情境：体育课跳远，测量员是怎样测量成绩的？ 2. 思考：为什么从脚印脚跟向起跳线作垂线段来测量，而不是量其他斜线？ 3. 揭示课题：这背后有一个重要的几何性质——垂线段最短。今天我们学习——垂线段。 从跳远测量引入，激发学生思考为什么要量垂线段。 （二）合作探究，建构方法（约 12 分钟） 探究 活动1 活动1 垂线段最短 操作：如图，点 P 在直线 l 外。 ① 画垂线段 PO（O 为垂足）； ② 在直线 l 上任取几点 A、B、C……，连接 PA、PB、PC……； ③ 用直尺量出 PO、PA、PB、PC 的长度，填入表格。 测量发现：PO < PA，PO < PB，PO < PC…… 性质：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。 简称：垂线段最短。 注意：与“两点之间线段最短”对比—— 两点之间线段最短：两点之间的所有连线中，线段最短； 垂线段最短：点到直线的所有连线中，垂线段最短。 活动1通过作图、测量、比较得出垂线段最短，并与“两点之间线段最短”对比辨析。 探究 活动2 活动2 点到直线的距离 定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。 如图，PO⊥l，垂足为 O，则 PO 的长度就是点 P 到直线 l 的距离。 注意： （1）距离是垂线段的长度，是一个数量，有单位（如 cm、mm）； （2）垂线段是一个图形，距离是这个图形的长度，二者不同； （3）点到直线的距离一定是垂线段的长度，不是其他斜线段的长度。 辨析： “画出点 P 到直线 l 的距离”——错！应该说“量出点 P 到直线 l 的距离”； “画出点 P 到直线 l 的垂线段”——对！垂线段可以画，距离只能量。 活动2明确点到直线的距离是垂线段的长度，通过辨析题区分“垂线段”（图形）和“距离”（数量）。 探究 活动3 活动3 垂线段最短的实际应用 应用1：跳远测量。 测量方法：从脚印脚跟向起跳线作垂线段，垂线段的长度就是跳远成绩。 为什么这样量？因为垂线段最短，这样量出来的才是最短距离，成绩最公平。 应用2：修路问题。 村庄 P 在公路 l 外，要修一条从村庄到公路的水泥路，怎样修最短？ 答：从 P 向公路 l 作垂线段，沿垂线段修路最短。 应用3：过马路问题。 从马路一侧到对面，怎样走最近？沿垂直于马路的方向走最近。 活动3通过跳远测量、修路、过马路三个实例，应用垂线段最短解决实际问题。 （三）典例剖析，深化理解（约 15 分钟） 例 1 概念 辨析 例1 判断下列说法是否正确，错误的请改正。 （1）垂线段叫做点到直线的距离。 （2）直线外一点与直线上一点的线段叫做点到直线的距离。 （3）直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。 解： （1）错误。垂线段是图形，距离是数量。应改为：垂线段的长度叫做点到直线的距离。 （2）错误。斜线段不是垂线段。应改为：垂线段的长度叫做点到直线的距离。 （3）正确。 答：（1）（2）错误，（3）正确。 例1辨析距离概念，区分垂线段（图形）和距离（长度/数量）。 例 2 线段 长短 例2 如图，点 P 在直线 l 外，PO⊥l，垂足为 O，点 A 在直线 l 上。比较 PO 与 PA 的长短。 解：∵ PO⊥l，PO 是垂线段，PA 是斜线段， 根据“垂线段最短”： 答：PO < PA，垂线段 PO 比斜线段 PA 短。 注意：点到直线的距离是垂线段 PO 的长度，不是斜线段 PA 的长度。 例2用垂线段最短比较垂线段和斜线段的长短。 例 3 跳远 测量 例3 如图，跳远测量时，脚印脚跟到起跳线的垂线段长度为 5.20 m。小明量了一条斜线段，长 5.50 m。哪个是跳远成绩？为什么？ 解：垂线段 5.20 m 是跳远成绩。 因为根据“垂线段最短”，点到直线的距离是垂线段的长度，跳远成绩就是脚印脚跟到起跳线的距离。 斜线段 5.50 m 比垂线段长，不是成绩。 答：跳远成绩是 5.20 m。 例3联系跳远测量，明确为什么要量垂线段而不是斜线段。 例 4 修路 最短 例4 如图，村庄 P 在公路 l 外，要修一条从村庄到公路的水泥路，怎样修路最短？画出最短路线。 解：根据“垂线段最短”，从点 P 向公路 l 作垂线段 PO，沿 PO 修路最短。 作图： ① 把三角尺一条直角边靠在公路 l 上； ② 移动三角尺使另一条直角边经过点 P； ③ 沿另一条直角边画线段 PO，PO 就是最短路线。 答：沿垂线段 PO 修路最短，PO 的长度就是村庄到公路的距离。 例4用垂线段最短解决修路问题，复习垂线作图三步法。 例 5 综合 应用 例5 如图，直线 AB、CD 相交于点 O，P 为 CD 上一点，PE⊥AB 于 E。 （1）点 P 到直线 AB 的距离是哪条线段？ （2）点 O 到直线 CD 的距离是多少？ （3）比较 PE 与 PO 的长短。 解： （1）∵ PE⊥AB，∴ 点 P 到直线 AB 的距离是垂线段 PE 的长度。 （2）∵ CD 是直线，O 在 CD 上，∴ 点 O 到直线 CD 的距离为 0（点在直线上）。 （3）∵ PE⊥AB，PO 是斜线段， 答：（1）PE 的长度；（2）0；（3）PE < PO。 例5综合考查距离概念和垂线段最短，注意点在直线上时距离为0。 （四）分层练习，巩固提升（约 8 分钟） 基础题 全员必做 1. 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，________最短。 【答案】垂线段。 2. 直线外一点到这条直线的________的长度，叫做点到直线的距离。 【答案】垂线段。 3. 判断：垂线段就是距离。（ ） 【答案】×。垂线段是图形，距离是垂线段的长度，是数量。 4. 点 P 到直线 l 的距离是 3 cm，则点 P 到直线 l 上各点的距离中，最短的是________ cm。 【答案】3。 基础题覆盖垂线段最短、距离概念、距离与垂线段辨析，每题附答案。 提升题 小组合作 5. 如图，点 P 在直线 l 外，PO⊥l，PA=5 cm，PO=3 cm，求点 P 到直线 l 的距离。 【解答】点到直线的距离是垂线段 PO 的长度。 【答案】点 P 到直线 l 的距离是 3 cm。 6. 下列说法正确的是（ ）。 A. 从直线外一点到这条直线的垂线，叫做点到直线的距离 B. 从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离 C. 从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离 D. 从直线外一点到这条直线的线段的长度，叫做点到直线的距离 【解答】距离是垂线段的长度，是数量，不是垂线段本身。 【答案】C。 7. 如图，AC⊥BC，CD⊥AB，AC=4 cm，BC=3 cm，CD=2.4 cm。 （1）点 C 到直线 AB 的距离是多少？ （2）点 B 到直线 AC 的距离是多少？ 【解答】 （1）∵ CD⊥AB，点 C 到 AB 的距离是垂线段 CD 的长度。 （2）∵ AC⊥BC，BC⊥AC，点 B 到 AC 的距离是垂线段 BC 的长度。 【答案】（1）2.4 cm；（2）3 cm。 提升题第5题识别距离、第6题概念辨析选择、第7题多垂线找对应距离，供小组合作。 拓展题 学有余力 8. 如图，直线 AB、CD 相交于点 O，P 为直线 CD 上一点，PE⊥AB 于 E，PE=3 cm，OP=5 cm。 （1）点 P 到直线 AB 的距离是多少？ （2）比较 PE 与 OP 的长短，并说明理由。 【解答】 （1）∵ PE⊥AB，点 P 到 AB 的距离是垂线段 PE 的长度。 （2）∵ PE⊥AB，OP 是斜线段， 【答案】（1）3 cm；（2）PE < OP，因为垂线段最短。 9. 如图，在河岸 l 同侧有两个村庄 A、B，现要在河边建一个抽水站 P，向 A、B 两村供水。 （1）要使抽水站到 A 村的水管最短，P 应建在何处？ （2）要使抽水站到 A、B 两村的水管总长最短，P 应建在何处？ 【解答】 （1）根据垂线段最短，过 A 作 l 的垂线段，垂足就是 P 的位置。 （2）根据两点之间线段最短，连接 A、B，与 l 的交点就是 P 的位置。 【注意】（1）用垂线段最短，（2）用两点之间线段最短，两个性质不要混淆。 拓展题第8题垂线段最短+距离综合、第9题垂线段最短与两点之间线段最短对比应用，供学有余力的学生挑战。 （五）课堂小结，深化认知（约 3 分钟） 课堂 小结 1. 知识梳理： （1）垂线段最短：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短； （2）点到直线的距离：垂线段的长度（数量，有单位）。 2. 方法总结： 找距离→找垂线段→量长度； 最短路径问题→区分“点到直线”用垂线段最短，“两点之间”用线段最短。 3. 思想方法：数形结合、数学建模（实际问题→几何模型）。 从性质、概念、应用三层面收束，强调垂线段最短与两点之间线段最短的区别。 板书设计 6.3 相交线（第3课时）垂线段 一、垂线段最短 点到直线的所有连线中，垂线段最短 二、点到直线的距离 = 垂线段的长度（数量，有单位） 三、两个“最短”对比 两点之间→线段最短 点到直线→垂线段最短 四、应用 跳远测量、修路最短、过马路 教学反思 1. 垂线段最短学生容易与“两点之间线段最短”混淆，教学中应通过对比例题（拓展9）明确：点到直线用垂线段最短，两点之间用线段最短。 2. “距离是垂线段的长度”是难点，部分学生说“画出距离”，教学中应强调垂线段是图形可以画，距离是长度只能量。 3. 例7第（2）题“点B到直线AC的距离”需要识别BC⊥AC，部分学生找不到对应的垂线段，应通过变式训练强化。 4. 拓展题第9题综合了两个最短性质，部分学生不会区分，下节课应补充此类对比题的分析方法指导。 5. 实际问题中（修路、跳远），部分学生不会从哪个点向哪条线作垂线，教学中应通过多次画图练习强化。 学科网（北京）股份有限公司 $