6.4平行线精讲精练2026-2027学年苏科版七年级数学上册

本初中数学讲义围绕平行线核心知识点，构建从概念（定义、三要素、位置关系、表示）到画法与平行公理，再到三线八角（同位角、内错角、同旁内角），最后到判定（同位角相等、内错角相等、同旁内角互补等）与性质（两直线平行得角关系）的递进学习支架。 资料通过“特别提醒”强化概念精准性（如“同一平面内”前提）培养抽象能力，例题推理（如例4角转化）发展推理意识，典题含中考及各地考题联系实际（如长方体、修路方向）提升应用意识，课中助教师教学，课后供学生查漏补缺。

6.4　平行线 精讲精练含答案 知识精讲 要点同步精讲 要点一　平行线的概念与表示 1．平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线． 平行线的三个要素：（1）在同一平面内；（2）不相交；（3）都是直线． 2．同一平面内两条直线的位置关系：在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系只有两种：平行和相交． 3．平行的表示：用符号"∥"表示平行．如图，直线 与直线 互相平行，记作 ，读作"a 平行于 b"． 4．特别提醒：（1）定义中"在同一平面内"这一前提不能省略； （2）平行是指两条直线之间的位置关系，线段（或射线）的平行，是指它们所在直线的平行； （3）在同一平面内，两条不相交的线段所在直线不一定平行，不能仅凭"线段不相交"就断定它们平行． 【例1】如图，在长方体 ABCD-A′B′C′D′ 中，与棱 AD 平行的棱有哪些？请用符号"∥"把它们表示出来． 解：与棱 AD 平行的棱有棱 、棱 、棱 BC，用符号表示为 ，，． 【总结】在长方体中，与一条棱平行的棱通常还有 3 条，它们与这条棱的方向相同．找平行线时，要紧扣"在同一平面内"和"不相交"两个条件；表示平行时必须用符号"∥"，不能写成"="或其他符号． 要点二　平行线的画法与平行线基本事实1 1．用直尺和三角板画平行线（过直线外一点 P 画已知直线 l 的平行线）的步骤： 一放：把三角板的一边放在已知直线 l 上；二靠：用直尺紧靠三角板的另一边；三推：把三角板沿着直尺推动，使三角板上原来与 l 重合的那一边经过点 P；四画：沿三角板这一边画直线，所得直线就是 l 的平行线． 2．平行线基本事实1（平行公理）：过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．"有且只有"一层意思是"存在"，另一层意思是"唯一"． 注意：若点在已知直线上，则过这一点画不出与已知直线平行的直线，所以"过直线外一点"这一前提不能少． 3．平行线的传递性（平行线基本事实1的推论）：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．即：若 ，，则 ． 4．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行．即：若 ，，则 ． 5．在方格纸中画平行线：水平方向、竖直方向的平行线可以沿方格线直接画；其他方向的平行线，可以分别画出两个"横 m 竖 n"的长方形，这两条对角线所在的直线互相平行． 【例2】下列说法：①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②一条直线的平行线只有一条；③过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．其中正确的有（　　） A．3 个　　B．2 个　　C．1 个　　D．0 个 解：过直线上一点画不出与这条直线平行的直线，所以①错误；一条直线的平行线有无数条，所以②错误；③就是平行线基本事实1，正确．故选 C． 【总结】判断与平行线基本事实有关的说法是否正确，要抓住"过直线外一点"和"有且只有"两个关键词：少了"外"字说法就不成立；"有"保证存在性，"只有"保证唯一性． 要点三　同位角、内错角与同旁内角 1．三线八角：如图，两条直线 ， 被第三条直线 所截，形成八个角（简称"三线八角"）． 2．同位角：像 与 这样，在截线 的同侧、在被截两条直线 ， 的同一方向的一对角叫作同位角．三线八角中共有 4 对同位角： 与 ， 与 ， 与 ， 与 ．同位角的图形特征形如字母"F"． 3．内错角：像 与 这样，在截线 的两侧、夹在被截两条直线 ， 之间的一对角叫作内错角．共有 2 对： 与 ， 与 ．内错角的图形特征形如字母"Z"． 4．同旁内角：像 与 这样，在截线 的同侧、夹在被截两条直线 ， 之间的一对角叫作同旁内角．共有 2 对： 与 ， 与 ．同旁内角的图形特征形如字母"U"． 5．特别提醒：同位角、内错角、同旁内角反映的是两个角之间的位置关系，与它们的大小无关；它们都成对出现，且两个角的顶点不相同（对顶角的两个角顶点相同）． 【例3】如图，直线 ， 被直线 所截．（1）写出图中所有的内错角；（2） 的同位角是哪一个？ 解：（1）图中的内错角共有 2 对： 与 ， 与 ； （2） 的同位角是 ． 【总结】识别三线八角中的角，关键是先找准"截线"和"被截线"：两个角中公共边所在的那条直线就是截线；再按"同位看 F、内错看 Z、同旁看 U"的图形特征去判断，若图形是倒置或旋转的，可以把它旋转成基本图形再识别． 要点四　平行线的判定 1．判定方法1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简单说成：同位角相等，两直线平行． 2．判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行． 3．判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互补，两直线平行． 4．判定两条直线平行，还可以依据：平行线的定义；平行线基本事实1及其推论（平行线的传递性）；在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行． 5．书写说理过程时，每一步都要写清依据，一般格式为"因为……（已知），所以……（理由）"． 【例4】如图，直线 AE，CD 相交于点 O．如果 ，，那么 AB 与 CD 平行吗？为什么？ 解：．理由如下： 因为 与 是对顶角，所以 （对顶角相等）； 又因为 ，所以 ，所以 （同旁内角互补，两直线平行）． 【总结】判定两条直线平行，要正确找出一对同位角、内错角或同旁内角，再说明它们"相等"或"互补"．本题中 与 是同旁内角，需要先用"对顶角相等"把 转化到 ，这种"转化"是几何说理的常用方法． 要点五　平行线的性质 1．性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等． 2．性质2：两直线平行，内错角相等． 3．性质3：两直线平行，同旁内角互补． 4．平行线的判定与性质的区别：判定是由角的数量关系（相等或互补）得出直线的位置关系（平行）；性质是由直线的位置关系（平行）得出角的数量关系（相等或互补）．简单地说："由角得平行"用判定，"由平行得角"用性质，两者的条件与结论正好相反，解题时不能混淆． 【例5】如图，，，，求 的度数． 解：如图，设 AE 与 CD 相交于点 G． 因为 ，所以 （两直线平行，同位角相等）； 又因为 ，所以 （两直线平行，同位角相等）．所以 的度数是 ． 【总结】本题连续两次运用"两直线平行，同位角相等"：第一次以 AB、CD 为平行线，AE 为截线；第二次以 AE、CF 为平行线，CD 为截线．解决这类问题时，要先看清每一组平行线和截线分别是哪两条，再确定相应的同位角，做到"步步有据"． 典题精练 知识点　平行线的概念、基本事实与三线八角 1.（25-26学年七上•苏科版•同步练习）下列说法中，正确的是（　　） A．不相交的两条直线是平行线　　B．在同一平面内，两条不相交的线段是平行线 C．在同一平面内，不相交的两条直线是平行线　　D．同一平面内，两条不相交的射线是平行线 2.（25-26学年七上•江苏徐州贾汪区•期中）在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是（　　） A．平行　　B．相交　　C．平行或相交　　D．平行、相交或垂直 3.（25-26学年七上•江苏常州钟楼区•期中）在长方体 ABCD-A′B′C′D′ 中，与棱 AD 平行的棱共有（　　） A．1 条　　B．2 条　　C．3 条　　D．4 条 4.（25-26学年七上•江苏无锡滨湖区•期中）过直线外一点画已知直线的平行线，能画（　　） A．0 条　　B．1 条　　C．2 条　　D．无数条 5.（25-26学年七上•江苏盐城亭湖区•期中）在同一平面内，若 ，，则 与 的位置关系是（　　） 　　　　C．相交　　D．无法确定 6.（25-26学年七上•江苏南通海门区•期末）如图，在同一平面内，若 ，，则 与 的位置关系是______． 7.（25-26学年七上•江苏泰州靖江•期中）如图，直线 AB，CD 被直线 EF 所截，交点分别为 G，H，则 与 是（　　） A．同位角　　B．内错角　　C．同旁内角　　D．对顶角 8.（25-26学年七上•江苏扬州江都•期末）用直尺和三角板画平行线的步骤"一放、二靠、三推、四画"中，"三推"是指（　　） A．把三角板的一边放在已知直线上　　B．用直尺紧靠三角板的另一边 C．把三角板沿着直尺推动，使三角板经过已知点　　D．沿三角板的一边画直线 9.（2025•江苏苏州中考）如图，在 A，B 两地间修一条笔直的公路，从 A 地测得公路的走向为北偏东 ．若 A，B 两地同时开工，要使公路准确接通，则 的度数应为（　　） 　　　　　　 10.（2025•江苏连云港中考）如图，，直线 AB 与射线 DE 相交于点 O．若 ，则 的度数是______． 知识点　平行线的判定与性质 11.（25-26学年七上•江苏苏州工业园区•期中）下列说法中，正确的是（　　） A．同位角相等　　B．内错角相等，两直线平行 C．两直线平行，同旁内角相等　　D．如果两条直线都与第三条直线相交，那么这两条直线平行 12.（25-26学年七上•江苏南京秦淮区•期末）如图，直线 ， 被直线 所截，，，， 是其中的四个内角．给出下列条件：①；②；③；④．其中能判定 的是（　　） A．1 个　　B．2 个　　C．3 个　　D．4 个 13.（2025•江苏扬州中考）如图，平行于主光轴 PQ 的光线 AB 和 CD 经过凸透镜折射后，折射光线 BE，DF 交于主光轴上一点 G．若 ，，则 的度数是（　　） 　　　　　　 14.（25-26学年七上•江苏淮安淮阴•期中）如图，，．请补全下面的说理过程，并说明 AD 与 BC 平行． （1）因为 （已知），所以 （______）； （2）因为 （已知），所以 （等量代换），所以 （______）． 15.（25-26学年七上•江苏扬州邗江•期中）如图，BE 平分 ，DE 平分 ，且 ．试说明 ． 16.（25-26学年七上•江苏镇江京口•期末）如图，在方格纸中，线段 AB 的两个端点和点 C 都在格点上．（1）经过点 C 画直线 l，使 ；（2）说一说你是怎样画的，并说明这样画的道理． 17.（25-26学年七上•江苏盐城盐都区•期中）如图，，直线 EF 分别交 AB，CD 于点 E，F，EG 平分 ，交 CD 于点 G，．（1）求 的度数；（2）求 的度数． 18.（25-26学年七上•江苏无锡江阴•期末）如图，，CE 平分 ，交 AB 于点 E，．求 的度数． 知识点　平行线的判定与性质的综合运用 19.（25-26学年七上•江苏泰州姜堰•期中）在下列生活实例中，给出的两条线不能看作平行线的是（　　） A．铁路上两条平行的铁轨　　B．双杠上的两根平行的杠 C．100 m 跑道两侧的两条直道　　D．教室里相邻的两条墙边 20.（25-26学年七上•江苏宿迁宿城区•期末）下列命题中，是真命题的有______（填序号）． ①在同一平面内，不相交的两条线段平行；　　②对顶角相等； ③两直线平行，同旁内角互补；　　④若两个角相等，则这两个角是对顶角． 21.（25-26学年七上•江苏徐州云龙区•期末）如图，在方格纸中，直线 AB 与直线 CD 都经过格点．判断 AB 与 CD 的位置关系，并说明理由． 22.（25-26学年七上•江苏南通如东•期末）小明在纸上画了两条平行线 ，，又画了一条直线 与 相交．他断定"直线 一定与 相交"．他的判断正确吗？请说明理由． 23.（25-26学年七上•江苏扬州宝应•期末）如图，，点 E 在直线 AB 与直线 CD 之间，连接 AE，CE，，．求 的度数．（提示：过点 E 画一条与 AB 平行的直线） 24.（25-26学年七上•江苏无锡宜兴•期中）如图，，直线 EF 分别交 AB，CD 于点 E，F，EP 平分 ，FQ 平分 ．（1）试说明 ；（2）由（1）你能得到 吗？请说明理由． 25.（25-26学年七上•江苏苏州吴江•期末）如图，四边形 ABCD 中，，，．求 的度数． 26.（25-26学年七上•江苏南京建邺区•期末）【探究】如图 1，，点 E 在直线 AB 与直线 CD 之间，连接 BE，DE．（1）若 ，，直接写出 的度数；（2）试说明 ． 【拓展】如图 2，点 E 在直线 AB 的上方，连接 BE，DE．（3）直接写出 与 、 之间的数量关系；（4）在（3）的条件下，若 ，，求 的度数． 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.4　平行线 答案： 　　解析：A 缺少"在同一平面内"这一前提，错误；B、D 中是线段、射线，两条不相交的线段（射线）所在直线不一定平行，错误；C 正确．故选 ． 　　解析：在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系只有平行和相交两种，垂直是相交的特例．故选 ． 　　解析：与棱 AD 平行的棱有棱 A′D′、棱 B′C′、棱 BC，共 3 条（不包括棱 AD 本身）．故选 ． 　　解析：根据平行线基本事实1，过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行．故选 ． 　　解析：由平行线的传递性，平行于同一条直线的两条直线互相平行，所以 ．故选 ． 　　解析：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，所以 ． 　　解析： 与 都夹在被截直线 AB、CD 之间，且分别在截线 EF 的两侧，符合内错角"形如字母 Z"的特征．故选 ． 　　解析："一放"是把三角板的一边放在已知直线上；"二靠"是用直尺紧靠三角板的另一边；"三推"是把三角板沿着直尺推动，使三角板经过已知点；"四画"是沿三角板的一边画直线．故选 ． 　　解析：A，B 两地的"北"方向射线互相平行，由"两直线平行，同旁内角互补"得 ，所以 ．故选 ． 　　解析：因为 ，所以 （两直线平行，内错角相等），所以 ． 　　解析：A 缺少"两直线平行"的前提，错误；C 应为"两直线平行，同旁内角互补"，错误；D 中两条直线可能与第三条直线相交而彼此平行，也可能彼此相交，错误；B 正确．故选 ． 　　解析：③中 与 是内错角，由"内错角相等，两直线平行"能判定 ；④中 与 是同旁内角，由"同旁内角互补，两直线平行"能判定 ；①中 与 是同旁内角，相等不能判定平行；②中 与 是内错角，互补不能判定平行．能判定的有 2 个，故选 ． 　　解析：因为 ，所以 （两直线平行，同旁内角互补），所以 ；同理，由 得 ．所以 ，所以 （对顶角相等）．故选 ． （1）两直线平行，同旁内角互补；（2）同旁内角互补，两直线平行　　解析：由 得 与 是同旁内角且互补；用 等量代换 后， 与 是直线 AD、BC 被直线 CD 所截得到的同旁内角，由"同旁内角互补，两直线平行"得 ． 见解析　　解析：因为 BE 平分 ，所以 （角平分线的定义）；同理，．所以 ．所以 （同旁内角互补，两直线平行）． （1）图略；（2）见解析　　解析：（1）从点 C 出发，沿方格纸"向右 6 格、向上 3 格"确定格点 D，过 C，D 两点画直线 l，则直线 l 即为所求； （2）道理：线段 AB 是"横 6 竖 3"的长方形的对角线，直线 l（即线段 CD 所在直线）也是"横 6 竖 3"的长方形的对角线，这两条对角线与横格线相交所成的同位角相等，由"同位角相等，两直线平行"得 ．（用直尺推三角板的方法画也可以） （1）；（2）　　解析：（1）因为 ，所以 （两直线平行，同旁内角互补），所以 ． （2）因为 EG 平分 ，所以 ；因为 ，所以 （两直线平行，内错角相等）． 　　解析：因为 ，所以 （两直线平行，同旁内角互补），所以 ；因为 CE 平分 ，所以 ；因为 ，所以 （两直线平行，内错角相等）． 　　解析：教室里相邻的两条墙边相交于墙角处，是相交线，不能看作平行线；A、B、C 中的两条线都可以看作平行线．故选 ． ②③　　解析：①中线段不相交时，它们所在的直线仍可能相交，错误；④中相等的两个角不一定是对顶角，错误；②③正确． ，理由见解析　　解析：．理由：线段 AB 是"横 4 竖 2"的长方形的对角线，线段 CD 也是"横 4 竖 2"的长方形的对角线，这两条对角线与横格线相交所成的同位角相等，由"同位角相等，两直线平行"得 ． 正确，理由见解析　　解析：正确．理由：假设直线 与 不相交，因为在同一平面内，所以 ；又因为 ，由平行线的传递性得 ，这与"直线 与 相交"矛盾，所以假设不成立，直线 一定与 相交． 　　解析：过点 E 画 （点 F 在点 E 的左侧），则 （平行线的传递性）．因为 ，所以 （两直线平行，内错角相等）；因为 ，所以 （两直线平行，内错角相等）．又 ，所以 ． 见解析　　解析：（1）因为 ，所以 （两直线平行，内错角相等）．因为 EP 平分 ，所以 ；因为 FQ 平分 ，所以 ，所以 ． （2）能．因为 与 是直线 EP、FQ 被直线 EF 所截得到的内错角，且 ，所以 （内错角相等，两直线平行）． 　　解析：因为 ，所以 （两直线平行，同旁内角互补），所以 ；因为 ，所以 （两直线平行，同旁内角互补），所以 ． （1）；（2）见解析；（3）；（4）　　解析：（2）如图 1，过点 E 画 ，则 （平行线的传递性）．因为 ，所以 （两直线平行，内错角相等）；因为 ，所以 （两直线平行，内错角相等）．所以 ．（1）由（2）得 ． （3）如图 2，．理由：过点 E 画 ，则 ，同理可得 ，，而 ，所以 ．（4）． 学科网（北京）股份有限公司 $