0208函数与方程专项训练-2027届高三数学一轮复习

2027届高三数学一轮复习—— 函数与方程 专项训练 0208函数与方程 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、函数零点所在区间的判断 例1．函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数单调性的性质，结合零点存在性定理即可判断. 【详解】因为在区间上单调递增， 所以函数是上的单调增函数，故图象是连续不断的曲线，那么 对于A，当时，,，故A错误; 对于B，,故B正确; 对于C，,故C错误； 对于D，,故D错误. 2、 函数零点的个数判断 例2．已知函数的图象是连续不间断的曲线，且有如下的对应值： x 1 2 3 4 5 6 y 35 则函数在区间上的零点至少有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【详解】由题意得， 故， 在上至少有1个零点， 故在区间上的零点至少有3个. 训练2-1．函数的零点个数为（     ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【详解】设函数和. 函数的零点个数就是函数和的交点个数. 在同一坐标系内作出函数和的图象，如图， 可知两函数的图象有4个交点，故函数有4个零点. 训练2-2．已知是定义在上的奇函数，，且当时，，则函数的图象与函数的图象有___________个交点． 【答案】17 【详解】当时，，所以函数在上单调递增， 又是定义在上的奇函数，所以函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增，又， 所以函数在上的值域为， 由，可得关于直线对称， 所以函数在上单调递减，值域为， 由，得， 所以，所以函数是以4为周期的周期函数， 函数在上单调递增，由，得， 又，所以函数的图象与函数的图象在有一个交点， 在，（且）上每个周期内各有2个交点， 所以函数的图象与函数的图象有17个交点. 训练2-3．函数，则方程的实根的个数是______________． 【答案】2 【分析】对绝对值函数进行分段处理，由得，利用函数图象交点个数确定方程实根的个数. 【详解】. ，，. 方程的实根的个数等价于函数与图象的交点个数，如图所示： 由图可知，函数与图象有2个交点，即方程有2个实数根. 训练2-4．已知函数定义在上，且，满足，且当时，，则函数的零点个数是____. 【答案】 【分析】利用函数的奇偶性，对称性以及函数图象和性质，结合函数零点的定义分析即可. 【详解】定义在上函数满足，可得为奇函数， 又由，可得有对称轴， 由，可得， 则最小正周期为4， 函数的零点即函数与函数图象交点的横坐标， 又当时，， 在同一坐标系内作出函数与函数图象如下： 两函数图象有3个公共点， 则函数的零点个数是3. 训练2-5．方程的解的个数为__. 【答案】2 【分析】方程的解的个数，即函数和函数的图象的交点个数，画出两函数图象即可得. 【详解】方程的解的个数， 即函数和函数的图象的交点个数， 如图所示，数形结合可得， 函数和函数的图象的交点个数为2， 故方程的解的个数为2. 训练2-6．定义在区间上的函数与的图象的交点个数为___________ 【答案】6 【详解】因为，，所以与均为偶函数， 所以只需先研究上的交点， 当时，，由，得， 整理得，解得或， 当，时，解得或，共2个解； 当，时，解为，共1个解. 所以当时，函数与的图象有3个交点； 所以由偶函数对称性，上也有3个交点。 所以函数与的图象的交点个数为6. 3、 函数零点的应用 例3．函数的零点在区间内，则_________． 【答案】4 【分析】利用函数零点的存在性定理求解. 【详解】由题意知，函数在上连续，根据对数函数和一次函数性质知该函数单调递增， 又有，， 由函数零点存在性定理可知零点在内，结合题意可得. 训练3-1．若函数在区间内有零点，则的取值范围是_______． 【答案】 【分析】因为在上单调递增，所以可由零点存在定理得，即，解关于的不等式可得的取值范围. 【详解】因为在上单调递增，所以在区间内单调递增，则由零点存在定理可得， 即，解得，故的取值范围是． 故答案为： 训练3-2．已知函数有三个零点，则实数的取值范围是______. 【答案】 【分析】分析函数的零点个数，利用导数法讨论函数的单调性与最值,再判断函数在每段上的零点个数,根据零点分布情况建立不等式组，求得实数的取值范围. 【详解】由题可得，函数最多只有一个零点. 若零点存在，则，解得， 又由，得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以， 且当时，， 所以最多有两个零点. 因为有三个零点，所以有两个零点， 则， 解得，所以实数的取值范围为. 综上可得：实数的取值范围为. 故答案为： 训练3-3．已知偶函数有两个零点，的取值范围为___________. 【答案】 【分析】利用偶函数的性质可以计算的值，再利用最小值小于0即可求得的取值范围. 【详解】因为为偶函数，所以， 所以，化简得：，则， 所以，， 令，解得：，即：在单调递增，在单调递减， 所以，且当时，，时，， 若有两个零点，则需满足，即：，所以的取值范围为. 训练3-4．设函数，则________；若方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为________. 【答案】 2 【详解】，. 草图如下： 时，时， 故有两个不相等的实数根可转化为函数的图像与直线的图像有两个交点，所以. 4、 由嵌套函数零点的情况求参数 例4．已知函数，若关于的方程有且仅有两个实数根，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用换元法，令，由得出，方程化为；恒有1根，只需让段恰有1根，解不等式得到a的取值范围． 【详解】令，方程化为， ， 若，由得， 若，，当时无解；当时有无穷多解，不符合题意． 故只有解，原方程等价于， 当时，，解得，始终有1个根； 当时，，则，，即， 解得， 要使该根满足，则，，， 故当时，方程有两个实根，和， 即实数的取值范围是． 训练4-1．已知函数，（，其中为自然对数的底数），若关于的方程有且只有一个实数解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用，先解出的根，又由得到，再利用函数的图象即可得的取值范围. 【详解】当时，，则；当时，则，得. 因为，所以. 又关于的方程有且只有一个实数解，所以有且只有一个实数解. 如图，作出函数的图象，又，由图可得. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三数学一轮复习—— 函数与方程 专项训练 0208函数与方程 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、函数零点所在区间的判断 例1．函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 二、函数零点的个数判断 例2．已知函数的图象是连续不间断的曲线，且有如下的对应值： x 1 2 3 4 5 6 y 35 则函数在区间上的零点至少有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 训练2-1．函数的零点个数为（     ） A．2 B．3 C．4 D．6 训练2-2．已知是定义在上的奇函数，，且当时，，则函数的图象与函数的图象有___________个交点． 训练2-3．函数，则方程的实根的个数是______________． 训练2-4．已知函数定义在上，且，满足，且当时，，则函数的零点个数是____. 训练2-5．方程的解的个数为__. 训练2-6．定义在区间上的函数与的图象的交点个数为___________ 三、函数零点的应用 例3．函数的零点在区间内，则_________． 训练3-1．若函数在区间内有零点，则的取值范围是_______． 训练3-2．已知函数有三个零点，则实数的取值范围是______. 训练3-3．已知偶函数有两个零点，的取值范围为___________. 训练3-4．设函数，则________；若方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为________. 四、由嵌套函数零点的情况求参数 例4．已知函数，若关于的方程有且仅有两个实数根，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 训练4-1．已知函数，（，其中为自然对数的底数），若关于的方程有且只有一个实数解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $