函数与导数的方法体系（四）函数与方程专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦函数与导数中函数零点、方程根分布等核心问题，构建“概念-方法-应用”三层逻辑体系，提炼分离参数、换元等通法，适配高考一轮系统复习 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |零点存在与个数|4例+6练|分离参数化交点问题，极值符号定零点个数|从零点定义到存在定理，结合三次函数特性递进| |方程根分布|4例+6练|参数分离后分析函数值域，相切定临界条件|方程与函数图象交点转化，含参问题分类讨论| |复合函数零点|4例+6练|换元法分层求解，内外层根个数乘积|内层函数值域限定外层方程解，分段函数分类处理| |分段函数与绝对值|4例+6练|分界点分段去绝对值，接缝条件验单调性|分段函数定义域值域整合，绝对值方程等价转化|

函数与导数的方法体系（四） 函数与方程 · 从题型到方法的完整梳理 一、知识点梳理 知识点一　零点的存在与个数 ★ 函数零点的定义：使 的实数 叫函数 的零点。零点是一个数，不是点，也不是「图象与 轴的交点」本身。 ★ 三者等价： 是 的零点 是方程 的根 点 在 的图象上。题目换一种说法不必慌，翻译回方程即可。 ★ 零点存在定理：若函数 在 上的图象连续不断，且 ，则 内至少有一个零点。 ★ 定理的三个前提：闭区间、图象连续、两端函数值异号。缺任何一条结论都不成立——例如 在 上两端异号却没有零点，因为它在 处不连续。 ★ 数零点个数的通法——分离参数：把 整理成 ，零点个数 直线 与曲线 的交点个数。 ★ 分离参数的步骤：先移项把含参数的项归到一边，再提公因式，最后除以含 的因式（注意该因式是否可能为零）。整理到「一边只有字母 、另一边只有 」才算完成。 ★ 画 的草图要盯四件事：两端极限、极值、单调区间、断点（无定义处）。四件事齐了，水平线穿过几次一目了然。 ★ 三次函数的零点个数结论：设 的两个极值为 、。 时有 个零点； 时有 个零点； 时有 个零点。 ★ 三次函数中三个零点 满足（韦达定理），其图象的对称中心横坐标为 ，中心对称的纵坐标就是 。 ★ 含 的零点问题，先提公因式化简。例如 化成 ，求导时 恒正，不影响导数符号，计算量立刻减半。 ★ 含 的零点问题，注意定义域 。分离参数得到的 只在 上有图象，画图时左半平面留空。 ★ 判断零点个数，要把「存在」与「唯一」两件事分开说。 在 内恰有一个零点，需要两个条件同时成立：一是 ，由零点存在性定理保证区间内至少有一个零点；二是 在 上单调，保证这样的零点至多一个。两条都写才算完整 —— 只写端点异号，只能是「存在」，说不出「恰有」。 ★ 求零点所在的区间，用「取中点算符号」二分逼近。题目一般给出几个相邻整数，只要算出各整数点的函数值符号，零点落在符号变化的那两个整数之间。 ★ 判断「零点个数」的多选题，不要用特殊值代替证明。取两个点算符号只说明「存在一个」，要说明个数，必须交代单调性或极值符号。 ★ 若 是奇函数且在 上恰有 个零点，则 在 上也恰有 个零点，再加上 ，共有 个零点。偶函数的零点成对出现， 与 同为零点。 ★ 指数型与多项式相乘的函数，两端的走向要分别判断： 时 起主导， 时 趋于零、由多项式决定符号。 ★ 参数范围的端点能不能取，用临界情形验：把端点值代入，看零点个数是否恰好等于题目要求。相切是最常见的临界情形。 ★ 「恰有 个零点」与「至少 个零点」条件不同。前者的参数范围必须是闭区间（端点在临界处也可能满足），后者只需取到最小的那个临界值。 知识点二　方程根的分布 ★ 方程 的根的个数，等于直线 与曲线 的交点个数。这是本节所有题目共同的转化方向。 ★ 含参方程 的第一选择是分离参数：化成 ，然后研究 的值域与单调性。 ★ 分离参数时必须检查所除的因式是否可能为零。若 使所除因式为零，则要把 单独代回原方程判断一次，不能直接在 里讨论。 ★ 「方程有两个不等实根」的常见情形：水平线落在 的极大值与极小值之间。「有唯一解」的常见情形：水平线恰好等于极值，或落在值域的端点之外。 ★ 相切的代数刻画：直线 与曲线 相切，等价于方程组 有解。两个方程联立能解出切点与参数。 ★ 方程 这类「两侧各一条熟悉曲线」的方程，画两条曲线数交点即可。若两条曲线一条增、一条减，交点必唯一。 ★ 比较两个方程的根的大小，不必解出根：把两式都写成同一个函数的零点问题，用单调性把两个根分别夹在两个整数之间，比较夹出的区间即可。 ★ 取整符号的等价写法：。含 的方程按 所在区间分段，每段上 是常数，方程退化成普通方程。 ★ 对数方程 型与指数方程 型，讨论时都要先写定义域。 只对 有定义， 还要求 且 。 ★ 方程有解 参数落在函数的值域内。求值域的方法照旧：单调性、极值、两端极限。若函数有断点，值域可能分成两段，参数的范围就是两段的并集。 ★ 方程 、 这类「由定义规定的方程」，先把两边的表达式写出来再解。函数 的根叫不动点， 的根叫驻点型新定义。 ★ 三次方程 有三个实根的条件：其导函数 必须有两个零点（），且两极值异号。这与三次函数零点个数的结论完全一致。 ★ 三个根成等差时，设成 、、；成等比时，设成 、、。代入后用韦达定理， 或 往往能直接消去。 ★ 根的个数与函数图象的「翻折」：方程 的根，等于 与 （）的交点个数之和。 ★ 型方程分两步：先由 定出允许的 范围，再解 ，两式解出的根都要落回上面那个范围里检验。 ★ 方程根的「和」与「积」，能用对称性时优先用。若 的图象关于 对称，则方程 的两根之和为 ；若关于点 中心对称，则两组根的搭配有固定关系。 ★ 含三角函数的方程，先看周期、再截取一个周期。在 上解出全部根之后，再加上周期的整数倍。 ★ 判断参数的取值范围时，用「区间端点代入 + 单调性」确定根的个数变化，不必把每个参数值都试一遍。关键是把参数区间按「极值与水平线的相对位置」切分。 ★ 若方程中含有两个参数，先固定其中一个，把另一个分离出来讨论，最后把两次得到的条件合并。 ★ 解出参数范围后，务必回代一个内点值检验。例如结论是 ，取 代回原方程数一数根的个数，这一步能查出分离参数时丢了根或多了根的错误。 知识点三　复合函数的零点 ★ 复合方程的两类常见外形：一是 ，二是关于 的二次型 。两类都用同一个办法处理：令 。 ★ 换元的完整流程：令 得关于 的方程 解出 对每个 解 把各支的根合并。 ★ 换元后第一件事是求 的取值范围。 只能取 的值域里的数，值域外的 对应的 一个也不存在，必须舍掉。 ★ 数根的个数要数两次：外层方程有几个根 ，每个 又对应 的几个根。两层的个数相乘或相加，取决于外层方程各根是否互不相同。 ★ 若外层方程有两个不同的根 、，且 有 个根、 有 个根，则原方程共有 个根（ 时两批根不会重合）。 ★ 用图象数 的根：把 的极值求出，看水平线 与 交几次。 等于极值时是相切的情形，根的个数要单独处理。 ★ 分段函数作内层时，先看 的取值范围落在哪一段，再决定外层用哪一段的解析式。两段都要讨论，遗漏一段就少算根。 ★ 分段点本身代入验一次。 在分段点常常左右取值不同，若所求的解恰好落在分段点，容易在两段中都不被计入。 ★ 求「根的个数最多」时的参数范围：先列出 的根数随 变化的分段表，再让换元后方程的两个根分别落在「根数最多」的两段内。 ★ 求「至多有几个解」：外层方程最多 个根，每个根最多对应 个 ，则原方程至多 个解。要说明这个上界能取到，再举一组具体取值。 ★ 复合函数的单调性口诀：同增异减。外层增、内层增，则复合后增；外层增、内层减，则复合后减；外层减时结论反过来。内层在区间上不单调时，必须按单调性分界拆开讨论。 ★ 复合函数的值域：先求内层 的值域 ，再求外层 在 上的值域。两步的值域不能交换顺序。 ★ 复合函数的最值：内层的最大（小）值不一定对应外层的最大（小）值。若外层在 上单调，两端对应即可；若外层在 内先增后减，则要检查极值点是否落在 内。 ★ 与 的分界点是方程 的根。解出分界点之后，在各区间上判断大小关系，即可分段写出解析式。 ★ 型方程有一条捷径：若 恒正或恒负，则该方程无实根；若 是 的根，则 也是 的根。所以不动点一定被包含在复合方程的解里。 ★ 的根数，与 是否在 的值域内直接相关。 不在值域内则无根； 在值域内则要先解 。 ★ 若内层是三角函数， 在给定区间内可能有多个根，用「一个周期内有几个解」或「解的个数与区间长度」来数。 ★ 复合后的对称性：若 是偶函数、 是任意函数，则 是偶函数；若 是奇函数且 是奇函数，则 是奇函数。奇偶性是「谁决定谁」的传递关系，先看内层。 ★ 复合后的周期性：若 以 为周期，则 也以 为周期；但 有周期不保证复合函数有同样的周期。 ★ 换元后若得到的 是一个范围而不是具体值，则要按这个范围里每个 的根的个数逐一统计，可以用分离参数把根数写成 的分段函数。 知识点四　分段函数与绝对值方程 ★ 分段函数的定义：在定义域的不同子集上用不同解析式表示的函数。写分段函数必须写清每一段对应的自变量范围，分界点属于哪一段由题目的解析式规定。 ★ 分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集。求值域时逐段求、再取并集，不要只算一段。 ★ 去绝对值的两种方式：一是按绝对值内部的零点分段讨论；二是用等价变形 （只在不含参时好用）。 ★ 绝对值的等价变形：（）；（）； 或 。 时前两式无解，第三式恒成立。 ★ 的标准解法：先由 筛出允许范围，再解 与 ，两根都要落回允许范围内才有效。 ★ 分段函数的零点：在每一段上解对应的方程，解出的根必须落在该段的自变量范围内才计入。分界点单独代一次，看它是否使函数值为零。 ★ 含参分段函数的参数讨论：先比较分段点与已知区间的位置关系，再逐种情况列出该段上使用的解析式，每种情况都要回写「此时参数应满足什么」。 ★ 分段函数的奇偶性判定：先看定义域是否关于原点对称，再逐段验证 。若已知一半的解析式，用 求出另一半。 ★ 分段函数在 上单调递增的两个条件：（1）每一段都单调递增；（2）左段在右段分界点处的最大值不超过右段在该点处的最小值（接缝条件）。只写（1）是最常见的错误。 ★ 的图象画法：把 在 轴下方的部分沿 轴翻折到上方，上方的部分保持不变。 ★ 的零点与 的零点相同；但最值关系不同，原来 的极小值（负）翻折后可能成为新的最大值候选。 ★ 与 的区别：前者是把 轴左边的图象换成右边的镜像，后者是把 轴下方的图象翻上去。两者都使新函数成为偶函数。 ★ 分段函数零点之和问题：逐段求出全部零点（不用求具体值，只需知道它们与分界点的相对位置），再按各段的对称性求和。若某段上是正弦或余弦，一周期内的零点之和等于周期端点之和的若干倍。 ★ 分段函数含三角函数的零点，先在给定区间上数出个数，再用「零点关于该段中点对称」之类的性质求和。 ★ 分段函数的最值：逐段求最值（含端点），再在全体候选值中取最大或最小。若某段在端点处取不到最值，要说明该段的取值范围是开区间。 ★ 「存在最大值」与「有最大值」不同：前者只要函数值有上界（可以是极限），后者要求这个上界能被某一点真正取到。含参的分段函数在这两处容易混淆。 ★ 分段函数的对称性：若图象关于直线 对称，则在 两侧对称的位置解析式可互相推得；若关于点 对称，则 。 ★ 含绝对值的函数若为偶函数，则其解析式里 只以 的形式出现；若 是偶函数，则 的图象关于某条竖直线对称（或 本身为偶函数）。 ★ 分段函数的复合 ：先算内层 落在哪一段，再按该段的解析式求外层。若内层的取值可能落在不同段，必须分情况全部讨论。 ★ 分段函数与数列结合时，把数列的项代入分段函数得到新的递推关系，再按递推的常规办法（累加、累乘、构造）处理。 二、方法突破 方法一　零点的存在与个数 函数 的零点，就是方程 的实数根，也就是图象与 轴交点的横坐标。三句话说的是同一件事，用哪一句取决于题目给的是哪一种语言：给解析式就解方程，给图象就读交点，给含参的式子就数交点个数。 ★ 判断「有没有零点」，用零点存在定理：若 在 上图象连续不断，且 ，则 内至少有一个零点。定理只保证「存在」，不保证「唯一」，也不保证「只有一个」。要说明唯一，必须再加上单调性。 ★ 判断「有几个零点」，通法是「分离参数 + 数交点」。把 整理成 的形式，左边只含 、右边只含参数，于是零点个数就等于水平直线 与曲线 的交点个数。接下来只需用导数画出 的增减与极值，数水平线穿过几次。 ★ 画 的草图时要盯住四个量：两端极限（ 时 往哪走）、极值点处的函数值、单调区间的分界、以及有没有渐近线或不可导的尖点。把这四条列清楚，水平线的位置能穿几次一目了然。 ★ 三次函数 的零点个数，直接看两个极值的符号：两个极值同号则只有 个零点，异号则有 个零点，其中一个极值为 则有 个零点。这是三次函数最常用的一条结论，不必每次重新画图。 ★ 三次函数还有一个好用的性质：它的图象关于对称中心 中心对称，若三个零点为 ，则 。多个选项里出现的「对称中心」「零点之和」，都可以从这里一眼看出。 ★ 含参的指对型函数，零点个数问题几乎都要先求导。 这类式子，提公因式、移项整理之后往往能化成「一条曲线与一条水平线」的结构，先化简再求导，比直接硬导省力得多。 ★ 遇到 与 的乘积或商，记住「先提 次幂」。例如 可写成，右边是常数，左边求导时 次幂那一项永远不为零，导数的符号就只由剩下的一次因式决定。 ★ 多选题里常见的判断「零点个数是多少」「有没有零点」，不要用特殊值代替证明。取 、 算出两个函数值只说明「在这两点之间有一个」，要说明只有这一个，还得交代单调性或者极值的符号。 ★ 出现参数范围的选择题，先看端点能不能取到。临界值处的零点往往退化（相切、或落在极值点上），这些值该不该取，用「极值等于零时零点个数恰好是几」当场验一遍，比事后猜开闭区间可靠。 ★ 零点个数题做完，回头用图形验一次。把函数的增减画成一条简单折线，两端的走向标出来，然后数水平线穿过几次。图形与答数不符就说明单调区间或极值算错了，这一步能拦住绝大多数「个数差一」的错误。 例题 例 1-1 【单选】已知实数满足，则函数的零点个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【解析】 第 1 步　先把 的范围夹出来 ◈ 求不出 的精确值，但 关于 严格递增，用 、 一夹就知道 。整道题只需要这个范围，不需要 的具体数值。 第 2 步　三次函数的零点个数由两个极值的符号决定 ◈ 说明 处取极大、 处取极小。极大值为正、极小值为负，图象必然在两段上各穿过 轴一次，再加上 时 ，一共三个零点。 第 3 步　 与 的正负完全由 的范围决定 ◈ 这两个值分别是 与 ，在 下一正一负。题目把 藏在指数式 里，它实际起的作用只是把两个极值拉到 轴的两侧。 答　D 例 1-2 【多选】已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 若方程有两个不相等的实根，则 D. 若不等式对恒成立，则 【解析】 第 1 步　先把 的单调性与最小值求出来 ◈ ， 在 上减、在 上增，最小值是 。A、B 两项的比较都建立在这条单调性上，C 项里「两个根分居 的两侧」也由它保证。 第 2 步　C 项把两根写成同一个比值的函数 ◈ 由 得 ，记 后，、 都能用 单独表示，两根之和变成 ，大于 就化为关于 的不等式。处理「两个零点之和」这类问题，这是最通用的入口。 第 3 步　D 项先做换元，把两边变成同一个函数 ◈ 右边 ，与左边的 是同一个函数 在两个自变量处的取值。 在 上递增，比较大小就退化成比自变量，恒成立条件直接化成 。 答　ACD 例 1-3 【填空】已知函数恰好有3个零点，则实数的取值范围是__________. 【解析】 第 1 步　 是白送的一个零点 ◈ 代进去发现 与 无关，所以「恰好三个零点」真正要数的是非零零点，目标变成「恰有两个非零零点」。碰到含参函数先代几个好算的值，往往能省掉一半功夫。 第 2 步　分离参数，把问题变成水平线与曲线 ◈ 时方程等价于 。右边只与 有关， 是水平直线的纵坐标，零点个数就是这条直线与曲线交点的个数。含参零点问题里，能这样分离参数就优先分离。 第 3 步　 是处理 的好工具 ◈ 这个函数严格递增、是奇函数、在 处导数为 。把 写成 之后，它就是两点连线的斜率，单调性只需判一次 的符号，值域的两端由 与 时的极限给出。 答　 例 1-4 【填空】已知函数有两个零点，则实数的取值范围是__________． 【解析】 第 1 步　先排除 再分离参数 ◈ 时方程左边是 ，所以可以放心除以 ，得到 。分离参数前先把分母可能为零的自变量代进去检查一遍，这个动作不能省。 第 2 步　 恒正，但定义域被 切成两段 ◈ ，分子恒正，所以两段上都在递增。但 是函数的间断点，两支的走向要各自看，不能合成一条曲线来数交点。 第 3 步　两支在端点的走向定了零点个数 ◈ 右支从 升到 ，对每个 都有一个解；左支从 附近升到 ，只有 时才有一个解。要凑够两个零点，只能靠「右支一个加上左支一个」，所以条件是 。 答　 练习 1-1. 【多选】设函数，则（ ） A. 当时，有三个零点 B. 当时，无极值点 C. ，使在上是减函数 D. 图象对称中心的横坐标不变 1-2. 【多选】函数，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，的极小值为0 B. 若有3个零点，，，则 C. 若，则为奇函数 D. 当时，在区间上单调递增 1-3. 【多选】已知函数，则（ ） A. 若，且的对称中心为，则的极大值点为 B. 若，且，则函数有两个零点 C. 若有两个极值点，且，则只有一个零点 D. 若且，直线是过函数对称中心的切线，定点满足，则过点与相切的直线有三条 1-4. 【填空】已知函数是奇函数，则函数的零点个数为___________． 1-5. 【多选】已知，则下列说法正确的是（ ） A. 时，有唯一的零点 B. 时，存在极小值 C. 时，存在极大值 D. 若，则的范围为 1-6. 【单选】已知函数若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 方法二　方程根的分布 「方程 有两个不等实根」这一类条件，说的仍然是曲线与水平线的交点个数，只是参数被藏在方程里，需要先把它分离出来。本节的核心动作就一句：把方程整理成「一边只有参数、另一边只有 」的形式。 ★ 分离参数的两种常用手法：能整式除开的直接除（例如 化成 ）；含 、 的，先提公因式再看能不能除。除之前务必确认所除的式子不为零，如果它在区间内会取到零，必须把那个点单独讨论。 ★ 转化成 之后，问题变成「直线 与曲线 有几个交点」。于是把 的单调区间和极值求出来，再看水平线在哪些高度上穿过一次、两次或者不穿。这一步与前一节的「数交点」完全相同，区别只在于参数从函数里跑到了直线上。 ★ 分离参数有时会把定义域挖掉一块，这是失分高发处。例如由 得到的 在 处没有定义，画图时这一段要留空，水平线恰好落在断点高度时交点个数要单独判断。 ★ 若不是含参方程，而是「解的个数」问题，常常需要把 、 与多项式拆到两边：例如 、 这类方程，两边各画一条熟悉的曲线，交点个数就是根的个数，而且由两条曲线的增减可以直接比较根的大小。 ★ 比较两个方程的根的大小，用「同一函数在不同点的值」来传递。若 且 ，就把两式都写成「」的形式，用 的单调性把 与 分别夹在两个整数之间，大小关系随即确定，不必解出具体值。 ★ 含 （取整）的方程，先按 所在区间分段。在每一段上 是常数，方程退化成普通方程，解出来之后再检查这根是否落在该段内。取整符号还有一个好用的等价写法：，用它可以把方程改写成不等式，直接筛出有效的根。 ★ 「有唯一解」与「有两个不等实根」的边界情形，都要用相切来定。相切时直线与曲线只有一个交点，对应的方程是「导数值相等 + 函数值相等」两个条件联立。这一步算完要回代检查切点横坐标是否在允许的范围内。 ★ 方程 这类「定义型」的根，先分别把两边的表达式写出来，再解方程。新定义题里的「新驻点」「不动点」，本质都是某一类方程的解，把定义翻译成方程，题目就回到熟悉的样子。 ★ 三个根成等差、成等比这类附加条件，用「设元」来处理。若三个根成等差，就设成 、、，代入方程后利用对称性一次消去 ；若成等比，就设成 、、。设元后未知量个数不增反减，是这类条件最省事的用法。 ★ 根的分布题写完，用「取一个满足条件的参数值代回去」检验。比如结论是 ，就取 回代原方程，数一数根的个数是否与题目要求一致。端点值也各试一次（取 与 ），确认开闭区间写没写错。 例题 例 2-1 【填空】已知关于的方程有两个不等实根，则的取值范围是__________． 【解析】 第 1 步　把 整体换成 ◈ 既出现在指数的指数上，又出现在一次项上，令 后方程立刻缩成 。因为 时 与 一一对应，实根的个数不会变。 第 2 步　 时直接排除 ◈ ，只要 就有 ，导数恒正， 严格递增，最多一个根。所以两个根的答案必定落在 里。 第 3 步　用 定出等号的位置 ◈ 最小值小于 化简后是 ，也就是 。而 的最大值恰为 ，在 处取到，说明这个不等式除 外都成立，边界就锁定在 。 答　 例 2-2 【填空】关于的方程（且）有唯一实数解，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围是______________. 【解析】 第 1 步　 是白送的一个解 ◈ 、，与 无关，所以 永远在解集里。要把解集中只有一个元素，只需保证别处不再有解，这比直接研究 的所有零点要省力得多。 第 2 步　分界点是 的符号 ◈ 是单调的，它的零点 与 的先后顺序决定了 是在递减段还是递增段上。而 的正负恰好就是这个顺序，于是分界点落在 。 第 3 步　 与 是两种完全不同的图象 ◈ 时 ，导数恒正，是单调递增型； 时 ， 先减后增，是谷形。后者两端都趋于 ，只要最小值落到 轴下方就必然多出一个零点。 答　或 例 2-3 【单选】定义方程的实数根叫做函数的“新驻点”．若函数，，的“新驻点”分别为，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【解析】 第 1 步　"新驻点"就是 的根 ◈ 定义直接给出了方程，不必额外转化。三个函数分别对应一次方程、对数方程、三次方程，解的形状各不相同，但都不需要算出精确值，只要把根夹在整段区间里就够了。 第 2 步　三个根都只夹范围，不求精确值 ◈ 由 决定，夹在 内； 由 决定，夹在 内。比较大小只需要 ，用不到 、 的具体数值。 第 3 步　夹根靠"端点异号 单调" ◈ 在 上递增， 在 上递增，两段都单调，所以端点一正一负就说明区间内有且只有一个根。 答　D 例 2-4 【多选】已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 若有2个零点，则 B. 当时，是增函数 C. 当时，恒成立 D. 当时，若是的零点，则 【解析】 第 1 步　零点个数问题先分离参数 ◈ 写成 之后，零点个数就等于水平线 与曲线 的交点个数。 时直接没有零点，剩下的都交给 的图象。 第 2 步　 被 断成两支，两支要分开看 ◈ 在 处换号，左支从 一路增到 ，右支先减后增、最小值为 。两条分支的值域一合， 个零点只可能出现在水平线恰好碰到右支最低点的时候。 第 3 步　只有一个零点时，单调性就能定出它的位置 ◈ 比 小，所以零点唯一且必在左支。左支上 是增函数，只要把 与 同 比一比，零点的位置区间就出来了。 答　ABD 练习 2-1. 【多选】设函数，则（ ） A. 当时，没有零点 B. 当时，在区间上不存在极值 C. 存在实数，使得曲线为轴对称图形 D. 存在实数，使得曲线为中心对称图形 2-2. 【单选】已知函数（且），是自然对数的底数，函数的导函数为．实数，满足，，当时，实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 2-3. 【单选】函数与函数的图象交点个数为（ ） A. B. C. D. 2-4. 【单选】设表示不超过实数的最大整数，如，则方程解的个数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 2-5. 【单选】设是关于的方程的一个实根，其中为常数，则（ ） A. B. C. D. 2-6. 【多选】已知函数，其导函数为，则（ ） A. 直线是曲线的切线 B. 有三个零点 C. D. 若在区间上有最大值，则的取值范围为 方法三　复合函数的零点 方程里出现 、、 这种「把 当整体」的结构时，硬展开展不开，正确做法是换元。本节把「换元之后怎么数根」这件事说透。 ★ 换元三步走：第一步，令 ，把原方程化成关于 的方程；第二步，解出 的所有可能值；第三步，对每一个 的值，解方程 ，把得到的 加起来。题目问「有几个根」，就把第三步每个 的根的个数相加。 ★ 换元之后必须先定 的取值范围。 能取到的值不是全体实数，而是 的值域。把值域求出来，再用它去筛第二步得到的 ：落在值域外的 直接舍掉，它对应的 一个也不存在。这一步漏掉，根的个数必然算多。 ★ 第三步数根的个数，靠的是「 有几个根」。与前一节一样，把 的单调区间和极值画出来，看水平线 与 交几次。所以复合函数的零点题，本质上要做两次「数交点」：一次对 ，一次对 。 ★ 分段函数做内层时，要按 落在哪一段分开讨论。 里，内层的取值落在哪一段，外层就用哪一段的解析式，两段各解一次、各数一次，最后合并。分界点处的取值要单独验，那里最容易漏根或多根。 ★ 让根的个数「最多」的参数范围，思路是让每个 都取到尽可能多的根。先数出 的根数随 变化的分段情况，再让换元后方程的两个根分别落在「根数最多」的那两段里。两个条件同时成立，就得到参数的范围。 ★ 求「至多有几个解」，先看外层方程最多有几个根，再看每个根最多对应几个 。两个数相乘就是上界。要说明这个上界能达到，还得举出一组具体取值说明每一层都能取满。只写「最多是 」而不验取到，是不够的。 ★ 复合函数不止能问零点，也能问单调区间与最值。内层 的值域是外层 的自变量，所以「外层 在哪个区间上增」要翻译成「内层 落在哪个区间」，再把 的取值区间解出来，就得到整个复合函数的单调区间。内层单调而外层单调时，同增异减；内层不单调则必须分段讨论。 ★ 复合函数的最值按层求：先求内层 的值域，再把外层 在这个值域上的最值求出来。两个最值合起来就是复合函数的最值。如果外层在这个值域上不是单调的，就要看它内部有没有极值点落在值域内。 ★ 与 这类新定义函数，先把两条曲线画在一起，分界点就是 的解，然后按「谁在上面取谁」分段写出解析式。这类题的零点、对称性、最值，都能在图上直接读出来。 ★ 复合函数的零点题，最后把每个解代回原方程验一次。换元法最容易出的错是「求出的 不在 的值域内」，而这类错代回原方程时立刻暴露：那一支的 根本解不出来，或者解出来的 代进去两边不等。逐个回代比重新检查一遍换元过程更快。 例题 例 3-1 【多选】分别用，表示，中的最小者和最大者，记为，.若，，则（ ） A. B. 函数有2个零点 C. 函数的图象关于轴对称 D. 关于的方程的所有解的乘积为 【解析】 第 1 步　先用差定出 与 的身份 ◈ ，符号只由 的正负决定。于是正半轴上 、，负半轴上正好相反。取最小者与最大者的题，第一步都是把 的分工定清楚。 第 2 步　B 项两段分别解 ◈ 时 恒为负，不可能有零点； 时 ，令其为零得 。两段一算，零点就只有一个。 第 3 步　D 项把两种等式落到四个位置 ◈ 与 各要在正、负两段上验证。正段上 给一个正根、 在 时给根；负段上只有 有解。再回头看这些根恰好是同一个二次方程的两根（乘积 ），结论就出来了。 答　ACD 例 3-2 【单选】已知函数，若有4个互不相同的根，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【解析】 第 1 步　关于 的二次方程先因式分解 ◈ 的两根是 与 ，所以原方程拆成 与 两个简单方程。复合方程的第一步总是把内层当成一个整体解出来。 第 2 步　两支的值域决定根的个数 ◈ 时 ，水平线 在这段上最多碰一次； 时 ， 时碰两次。数根之前先把这两段的值域写清楚。 第 3 步　凑够四个根要对齐两边的个数 ◈ 白送一个根，还差三个，只能靠 。正段给两个、负段给一个，正好凑成 ；最后再回头确认五个候选根两两不同。 答　B 例 3-3 【填空】已知函数，其中.若方程有且只有一个解，则实数的取值范围是_________. 【解析】 第 1 步　内层整体换元，先解外层 ◈ 令 ，方程变成 。外层的解只有 、、 三个候选，再用 把 与 的去留定下来。 第 2 步　外层解集在 处换挡 ◈ 永远可用， 只在 时可用。所以 时只需要解一个内层方程， 时要解两个，分界点就是 。 第 3 步　内层的根要逐个拿 筛 ◈ 的两个候选是 ， 的两个候选是 ，它们在分段点两侧的归属不同，是否算数只取决于与 的大小关系。把四个数从小到大排好，再让 从中间穿过，取值范围自然显形。 答　 例 3-4 【填空】已知函数，则至多有______个实数解. 【解析】 第 1 步　先看内层 的取值范围 ◈ ，所以 ，而右边的 若为负则外层直接无解。所以讨论最大值时可以只盯住 。 第 2 步　外层 的根数在 处分档 ◈ 那支单调递增，恒给一个根； 那支在 处取最大值 ，只有 时这个最大值才高于端点值 ，才多出一个根。 第 3 步　每个 给几个 ，只看 与 谁大 ◈ 在 上恒有一解，在 上最多两解，条件是 不超过山峰高度 。取 时两条水平线都低于山峰，三加三再加 的那一个，正好七个。 答　7 练习 3-1. 【填空】设函数，若方程在区间上有解，则实数的取值范围为______. 3-2. 【填空】已知函数，当关于的方程的不同实数根的个数最多时，实数的取值范围是______． 3-3. 【多选】已知函数，，则下列结论正确的是（ ） A. 为奇函数 B. 为偶函数 C. 在上仅有1个零点 D. 的最小正周期为 3-4. 【多选】已知函数，，令，，则（ ） A. 与的单调区间相同 B. 与的单调区间相同 C. 与有相同的最小值 D. 与有相同的最小值 3-5. 【单选】已知函数和的定义域均为.若是奇函数，是偶函数，且，则（ ） A. B. C. D. 3-6. 【单选】设函数则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 方法四　分段函数与绝对值方程 分段函数与含绝对值的方程，做法只有一个：按分界点把定义域切开，每一段上都是普通的函数与普通的方程，解完再检查所求的根是否落在该段内。本节把「怎么切、切完怎么合并」讲清楚。 ★ 切分的依据有两类：一是解析式里写明的分段点，二是绝对值内部的零点（令绝对值里那一串等于零解出来的 ）。把所有分界点从小到大排好，定义域就被分成若干段，一段一段写解析式。 ★ 绝对值去符号的口诀是「大于取两边、小于取中间」。 在 时等价于 ； 化成 或 ； 化成 。凡是解出来的 都要回代检查是否落在该段内，不合的舍去。 ★ 分段函数的零点个数，等价于「各段零点个数之和」。逐段解方程、逐段判断根是否落在该段内，再把各段的结果相加。分界点本身是不是零点要单独验一次，它常被两段都漏掉或多算一次。 ★ 含参的分段函数，参数往往出现在分段点或某一段的解析式里。处理办法是「以参数为界分情况讨论」：先确定分段点相对于已知区间的位置，再逐种情况解方程。讨论时画一条数轴标出各分界点，情况不容易漏。 ★ 分段函数的奇偶性、单调性，要求各段「接得上」。若函数在 上是奇函数，就把一段的解析式代成 求出另一段，最后用 检验一次。单调递增则要求每一段都增、且左段在右段的分界点处不超过右段的取值，这个「接缝条件」是分段单调题的核心考点。 ★ 分段函数求值，先看自变量落在哪一段。遇到 这类条件，先把 、 折到各自所在的段，再按该段的解析式列方程。题目若还给了三个自变量之间的等差或等比关系，就把它作为一个方程一起联立。 ★ 分段函数零点之和的问题，注意两点：第一，各段的根分别求出，绝不能只求一段；第二，正弦余弦型的分段函数，另一段的零点往往有无穷多个，题目会限定在一个周期或一个区间内，看清范围再数。 ★ 分段函数的最值，逐段求完再比。每一段上求出该段的最值（含端点），所有段的最值里取最大或最小。若某段的端点取不到，最值可能只在内部取得，这类「存在最大值 / 最小值」的问题要检查极限处是否趋于无穷。 ★ 的图象是「把 轴下方的部分翻上来」。所以关于 的对称性、最值、零点问题，先把 的图象画出来再翻折。翻折后原来在 轴下方的零点依然保留，而 的极小值点翻上来之后可能变成新的极大值点。 ★ 分段题的答案写完，逐段做一次「端点检验」。把每个分界点代进左右两段的解析式，看是否接得上；再把求出的每根代回原方程，确认它落在所属的那一段内。分段题失分几乎都出在这两处：接缝处的一个点算错，或者某段的根越界却没有舍去。 例题 例 4-1 【多选】已知函数则下列说法中正确的是（ ） A. 为奇函数 B. 任意，存在，使得恒成立 C. 若方程恰有两个不等实根，则 D. 若方程恰有三个不等实根，则 【解析】 第 1 步　奇偶性用特值推翻 ◈ 不必做一般性的验证，取 与 两点代入即可： 而 ，不是相反数，奇函数不成立。 第 2 步　B 项化成「 的范围是否非空」 ◈ 里 已经给定，除过去就是 的一个范围： 时 ， 时 。两边的界都是有限数，所以总能取到一个 。 第 3 步　D 项先把三段根的个数点清 ◈ 负半轴上 严格递增且值域为全体实数，只贡献一个根；正半轴上两根之积为 、之和为 。三个根的和就化成了 的一个函数，再比 处的值。 答　BCD 例 4-2 【单选】函数所有零点之和为（ ） A. B. C. 0 D. 1 【解析】 第 1 步　分段函数求零点必须一段一段来 ◈ 两段的表达式不同，零点也要在各自的定义域上解，解完再检查根是否落在本段内，落在外面的要舍掉。 第 2 步　三角方程的零点别漏周期 ◈ 的解是 ，化成 后再用区间 卡 ，只取 。 第 3 步　正负根成对抵消 ◈ 第一段给出 ，第二段给出 ，两组互为相反数，求和为 。 答　C 例 4-3 【填空】已知函数，若有三个零点，，，则实数a的取值范围为______；若，则的最大值为______. 【解析】 第 1 步　先数交点个数，再谈取值范围 ◈ 左段严格递增只给一个交点，右段的正弦波在峰两侧各给一个。要三个零点就必须让右段给出两个，于是 ，再单独检查 这种峰顶相切的情形。 第 2 步　右段两根用对称性捆成一个未知量 ◈ 且两根落在峰的两侧，必有 。于是只引进一个 ，另一个直接写成 ，未知量从两个降到一个。 第 3 步　把和写成 的函数再求导 ◈ 由 把 换掉，和式变成 ，求导只剩 ，零点 一目了然。 答　； 例 4-4 【填空】已知方程有且仅有两个不相等的正实数根，则实数的取值范围是__________. 【解析】 第 1 步　绝对值按内层符号拆，两式判别式相同 ◈ 记 、，方程就是 。 时走 ， 时走 ，两条整理后的判别式都是 ，于是 直接出局， 就是临界值。 第 2 步　换元 消去绝对值里的一次项 ◈ 两边同除以 再换元，绝对值里变成 ，一次项被完全消掉，方程只剩 ，两个二次方程的正根个数只取决于 与 谁大，分段讨论就一目了然。 第 3 步　 必须单独交待 ◈ 时 恒成立，绝对值可以直接去掉，只剩一个二次方程，正根至多一个，永远凑不出两个，所以最后只需在 里讨论。 答　 练习 4-1. 【多选】已知函数，若函数为偶函数，则下列说法一定正确的是（ ） A. 的图象关于直线对称 B. C. D. 4-2. 【填空】已知函数，若存在实数、b、，满足且，则_____． 4-3. 【单选】已知函数，若存在实数、、且，使得，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4-4. 【多选】设，已知函数（ ） A. 在上单调递减 B. 当时，存在最小值 C. 设，则 D. 设，若存在最小值，则 4-5. 【填空】函数的最小值为_____． 4-6. 【单选】已知，当时，有，则必有（ ） A. B. C. D. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 函数与导数的方法体系（四） 函数与方程 · 从题型到方法的完整梳理 一、知识点梳理 知识点一　零点的存在与个数 ★ 函数零点的定义：使 的实数 叫函数 的零点。零点是一个数，不是点，也不是「图象与 轴的交点」本身。 ★ 三者等价： 是 的零点 是方程 的根 点 在 的图象上。题目换一种说法不必慌，翻译回方程即可。 ★ 零点存在定理：若函数 在 上的图象连续不断，且 ，则 内至少有一个零点。 ★ 定理的三个前提：闭区间、图象连续、两端函数值异号。缺任何一条结论都不成立——例如 在 上两端异号却没有零点，因为它在 处不连续。 ★ 数零点个数的通法——分离参数：把 整理成 ，零点个数 直线 与曲线 的交点个数。 ★ 分离参数的步骤：先移项把含参数的项归到一边，再提公因式，最后除以含 的因式（注意该因式是否可能为零）。整理到「一边只有字母 、另一边只有 」才算完成。 ★ 画 的草图要盯四件事：两端极限、极值、单调区间、断点（无定义处）。四件事齐了，水平线穿过几次一目了然。 ★ 三次函数的零点个数结论：设 的两个极值为 、。 时有 个零点； 时有 个零点； 时有 个零点。 ★ 三次函数中三个零点 满足（韦达定理），其图象的对称中心横坐标为 ，中心对称的纵坐标就是 。 ★ 含 的零点问题，先提公因式化简。例如 化成 ，求导时 恒正，不影响导数符号，计算量立刻减半。 ★ 含 的零点问题，注意定义域 。分离参数得到的 只在 上有图象，画图时左半平面留空。 ★ 判断零点个数，要把「存在」与「唯一」两件事分开说。 在 内恰有一个零点，需要两个条件同时成立：一是 ，由零点存在性定理保证区间内至少有一个零点；二是 在 上单调，保证这样的零点至多一个。两条都写才算完整 —— 只写端点异号，只能是「存在」，说不出「恰有」。 ★ 求零点所在的区间，用「取中点算符号」二分逼近。题目一般给出几个相邻整数，只要算出各整数点的函数值符号，零点落在符号变化的那两个整数之间。 ★ 判断「零点个数」的多选题，不要用特殊值代替证明。取两个点算符号只说明「存在一个」，要说明个数，必须交代单调性或极值符号。 ★ 若 是奇函数且在 上恰有 个零点，则 在 上也恰有 个零点，再加上 ，共有 个零点。偶函数的零点成对出现， 与 同为零点。 ★ 指数型与多项式相乘的函数，两端的走向要分别判断： 时 起主导， 时 趋于零、由多项式决定符号。 ★ 参数范围的端点能不能取，用临界情形验：把端点值代入，看零点个数是否恰好等于题目要求。相切是最常见的临界情形。 ★ 「恰有 个零点」与「至少 个零点」条件不同。前者的参数范围必须是闭区间（端点在临界处也可能满足），后者只需取到最小的那个临界值。 知识点二　方程根的分布 ★ 方程 的根的个数，等于直线 与曲线 的交点个数。这是本节所有题目共同的转化方向。 ★ 含参方程 的第一选择是分离参数：化成 ，然后研究 的值域与单调性。 ★ 分离参数时必须检查所除的因式是否可能为零。若 使所除因式为零，则要把 单独代回原方程判断一次，不能直接在 里讨论。 ★ 「方程有两个不等实根」的常见情形：水平线落在 的极大值与极小值之间。「有唯一解」的常见情形：水平线恰好等于极值，或落在值域的端点之外。 ★ 相切的代数刻画：直线 与曲线 相切，等价于方程组 有解。两个方程联立能解出切点与参数。 ★ 方程 这类「两侧各一条熟悉曲线」的方程，画两条曲线数交点即可。若两条曲线一条增、一条减，交点必唯一。 ★ 比较两个方程的根的大小，不必解出根：把两式都写成同一个函数的零点问题，用单调性把两个根分别夹在两个整数之间，比较夹出的区间即可。 ★ 取整符号的等价写法：。含 的方程按 所在区间分段，每段上 是常数，方程退化成普通方程。 ★ 对数方程 型与指数方程 型，讨论时都要先写定义域。 只对 有定义， 还要求 且 。 ★ 方程有解 参数落在函数的值域内。求值域的方法照旧：单调性、极值、两端极限。若函数有断点，值域可能分成两段，参数的范围就是两段的并集。 ★ 方程 、 这类「由定义规定的方程」，先把两边的表达式写出来再解。函数 的根叫不动点， 的根叫驻点型新定义。 ★ 三次方程 有三个实根的条件：其导函数 必须有两个零点（），且两极值异号。这与三次函数零点个数的结论完全一致。 ★ 三个根成等差时，设成 、、；成等比时，设成 、、。代入后用韦达定理， 或 往往能直接消去。 ★ 根的个数与函数图象的「翻折」：方程 的根，等于 与 （）的交点个数之和。 ★ 型方程分两步：先由 定出允许的 范围，再解 ，两式解出的根都要落回上面那个范围里检验。 ★ 方程根的「和」与「积」，能用对称性时优先用。若 的图象关于 对称，则方程 的两根之和为 ；若关于点 中心对称，则两组根的搭配有固定关系。 ★ 含三角函数的方程，先看周期、再截取一个周期。在 上解出全部根之后，再加上周期的整数倍。 ★ 判断参数的取值范围时，用「区间端点代入 + 单调性」确定根的个数变化，不必把每个参数值都试一遍。关键是把参数区间按「极值与水平线的相对位置」切分。 ★ 若方程中含有两个参数，先固定其中一个，把另一个分离出来讨论，最后把两次得到的条件合并。 ★ 解出参数范围后，务必回代一个内点值检验。例如结论是 ，取 代回原方程数一数根的个数，这一步能查出分离参数时丢了根或多了根的错误。 知识点三　复合函数的零点 ★ 复合方程的两类常见外形：一是 ，二是关于 的二次型 。两类都用同一个办法处理：令 。 ★ 换元的完整流程：令 得关于 的方程 解出 对每个 解 把各支的根合并。 ★ 换元后第一件事是求 的取值范围。 只能取 的值域里的数，值域外的 对应的 一个也不存在，必须舍掉。 ★ 数根的个数要数两次：外层方程有几个根 ，每个 又对应 的几个根。两层的个数相乘或相加，取决于外层方程各根是否互不相同。 ★ 若外层方程有两个不同的根 、，且 有 个根、 有 个根，则原方程共有 个根（ 时两批根不会重合）。 ★ 用图象数 的根：把 的极值求出，看水平线 与 交几次。 等于极值时是相切的情形，根的个数要单独处理。 ★ 分段函数作内层时，先看 的取值范围落在哪一段，再决定外层用哪一段的解析式。两段都要讨论，遗漏一段就少算根。 ★ 分段点本身代入验一次。 在分段点常常左右取值不同，若所求的解恰好落在分段点，容易在两段中都不被计入。 ★ 求「根的个数最多」时的参数范围：先列出 的根数随 变化的分段表，再让换元后方程的两个根分别落在「根数最多」的两段内。 ★ 求「至多有几个解」：外层方程最多 个根，每个根最多对应 个 ，则原方程至多 个解。要说明这个上界能取到，再举一组具体取值。 ★ 复合函数的单调性口诀：同增异减。外层增、内层增，则复合后增；外层增、内层减，则复合后减；外层减时结论反过来。内层在区间上不单调时，必须按单调性分界拆开讨论。 ★ 复合函数的值域：先求内层 的值域 ，再求外层 在 上的值域。两步的值域不能交换顺序。 ★ 复合函数的最值：内层的最大（小）值不一定对应外层的最大（小）值。若外层在 上单调，两端对应即可；若外层在 内先增后减，则要检查极值点是否落在 内。 ★ 与 的分界点是方程 的根。解出分界点之后，在各区间上判断大小关系，即可分段写出解析式。 ★ 型方程有一条捷径：若 恒正或恒负，则该方程无实根；若 是 的根，则 也是 的根。所以不动点一定被包含在复合方程的解里。 ★ 的根数，与 是否在 的值域内直接相关。 不在值域内则无根； 在值域内则要先解 。 ★ 若内层是三角函数， 在给定区间内可能有多个根，用「一个周期内有几个解」或「解的个数与区间长度」来数。 ★ 复合后的对称性：若 是偶函数、 是任意函数，则 是偶函数；若 是奇函数且 是奇函数，则 是奇函数。奇偶性是「谁决定谁」的传递关系，先看内层。 ★ 复合后的周期性：若 以 为周期，则 也以 为周期；但 有周期不保证复合函数有同样的周期。 ★ 换元后若得到的 是一个范围而不是具体值，则要按这个范围里每个 的根的个数逐一统计，可以用分离参数把根数写成 的分段函数。 知识点四　分段函数与绝对值方程 ★ 分段函数的定义：在定义域的不同子集上用不同解析式表示的函数。写分段函数必须写清每一段对应的自变量范围，分界点属于哪一段由题目的解析式规定。 ★ 分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集。求值域时逐段求、再取并集，不要只算一段。 ★ 去绝对值的两种方式：一是按绝对值内部的零点分段讨论；二是用等价变形 （只在不含参时好用）。 ★ 绝对值的等价变形：（）；（）； 或 。 时前两式无解，第三式恒成立。 ★ 的标准解法：先由 筛出允许范围，再解 与 ，两根都要落回允许范围内才有效。 ★ 分段函数的零点：在每一段上解对应的方程，解出的根必须落在该段的自变量范围内才计入。分界点单独代一次，看它是否使函数值为零。 ★ 含参分段函数的参数讨论：先比较分段点与已知区间的位置关系，再逐种情况列出该段上使用的解析式，每种情况都要回写「此时参数应满足什么」。 ★ 分段函数的奇偶性判定：先看定义域是否关于原点对称，再逐段验证 。若已知一半的解析式，用 求出另一半。 ★ 分段函数在 上单调递增的两个条件：（1）每一段都单调递增；（2）左段在右段分界点处的最大值不超过右段在该点处的最小值（接缝条件）。只写（1）是最常见的错误。 ★ 的图象画法：把 在 轴下方的部分沿 轴翻折到上方，上方的部分保持不变。 ★ 的零点与 的零点相同；但最值关系不同，原来 的极小值（负）翻折后可能成为新的最大值候选。 ★ 与 的区别：前者是把 轴左边的图象换成右边的镜像，后者是把 轴下方的图象翻上去。两者都使新函数成为偶函数。 ★ 分段函数零点之和问题：逐段求出全部零点（不用求具体值，只需知道它们与分界点的相对位置），再按各段的对称性求和。若某段上是正弦或余弦，一周期内的零点之和等于周期端点之和的若干倍。 ★ 分段函数含三角函数的零点，先在给定区间上数出个数，再用「零点关于该段中点对称」之类的性质求和。 ★ 分段函数的最值：逐段求最值（含端点），再在全体候选值中取最大或最小。若某段在端点处取不到最值，要说明该段的取值范围是开区间。 ★ 「存在最大值」与「有最大值」不同：前者只要函数值有上界（可以是极限），后者要求这个上界能被某一点真正取到。含参的分段函数在这两处容易混淆。 ★ 分段函数的对称性：若图象关于直线 对称，则在 两侧对称的位置解析式可互相推得；若关于点 对称，则 。 ★ 含绝对值的函数若为偶函数，则其解析式里 只以 的形式出现；若 是偶函数，则 的图象关于某条竖直线对称（或 本身为偶函数）。 ★ 分段函数的复合 ：先算内层 落在哪一段，再按该段的解析式求外层。若内层的取值可能落在不同段，必须分情况全部讨论。 ★ 分段函数与数列结合时，把数列的项代入分段函数得到新的递推关系，再按递推的常规办法（累加、累乘、构造）处理。 二、方法突破 方法一　零点的存在与个数 函数 的零点，就是方程 的实数根，也就是图象与 轴交点的横坐标。三句话说的是同一件事，用哪一句取决于题目给的是哪一种语言：给解析式就解方程，给图象就读交点，给含参的式子就数交点个数。 ★ 判断「有没有零点」，用零点存在定理：若 在 上图象连续不断，且 ，则 内至少有一个零点。定理只保证「存在」，不保证「唯一」，也不保证「只有一个」。要说明唯一，必须再加上单调性。 ★ 判断「有几个零点」，通法是「分离参数 + 数交点」。把 整理成 的形式，左边只含 、右边只含参数，于是零点个数就等于水平直线 与曲线 的交点个数。接下来只需用导数画出 的增减与极值，数水平线穿过几次。 ★ 画 的草图时要盯住四个量：两端极限（ 时 往哪走）、极值点处的函数值、单调区间的分界、以及有没有渐近线或不可导的尖点。把这四条列清楚，水平线的位置能穿几次一目了然。 ★ 三次函数 的零点个数，直接看两个极值的符号：两个极值同号则只有 个零点，异号则有 个零点，其中一个极值为 则有 个零点。这是三次函数最常用的一条结论，不必每次重新画图。 ★ 三次函数还有一个好用的性质：它的图象关于对称中心 中心对称，若三个零点为 ，则 。多个选项里出现的「对称中心」「零点之和」，都可以从这里一眼看出。 ★ 含参的指对型函数，零点个数问题几乎都要先求导。 这类式子，提公因式、移项整理之后往往能化成「一条曲线与一条水平线」的结构，先化简再求导，比直接硬导省力得多。 ★ 遇到 与 的乘积或商，记住「先提 次幂」。例如 可写成，右边是常数，左边求导时 次幂那一项永远不为零，导数的符号就只由剩下的一次因式决定。 ★ 多选题里常见的判断「零点个数是多少」「有没有零点」，不要用特殊值代替证明。取 、 算出两个函数值只说明「在这两点之间有一个」，要说明只有这一个，还得交代单调性或者极值的符号。 ★ 出现参数范围的选择题，先看端点能不能取到。临界值处的零点往往退化（相切、或落在极值点上），这些值该不该取，用「极值等于零时零点个数恰好是几」当场验一遍，比事后猜开闭区间可靠。 ★ 零点个数题做完，回头用图形验一次。把函数的增减画成一条简单折线，两端的走向标出来，然后数水平线穿过几次。图形与答数不符就说明单调区间或极值算错了，这一步能拦住绝大多数「个数差一」的错误。 例题 例 1-1 【单选】已知实数满足，则函数的零点个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【解析】 条件 解不出 的精确值，但可以先把 夹在一个很窄的范围里，后面的判断只用到这个范围。 记 。因为 与 都在 上严格递增，所以 严格递增， 的解唯一。由 得 ，这就够用了。 于是 ，。 再看单调性： 所以 在 上递增，在 上递减，在 上递增。 处取极大值 ， 处取极小值 ，两个极值恰好一正一负。 又 时 ， 时 。、、 三段各有一个零点，共 个。 选 D。 第 1 步　先把 的范围夹出来 ◈ 求不出 的精确值，但 关于 严格递增，用 、 一夹就知道 。整道题只需要这个范围，不需要 的具体数值。 第 2 步　三次函数的零点个数由两个极值的符号决定 ◈ 说明 处取极大、 处取极小。极大值为正、极小值为负，图象必然在两段上各穿过 轴一次，再加上 时 ，一共三个零点。 第 3 步　 与 的正负完全由 的范围决定 ◈ 这两个值分别是 与 ，在 下一正一负。题目把 藏在指数式 里，它实际起的作用只是把两个极值拉到 轴的两侧。 答　D 例 1-2 【多选】已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 若方程有两个不相等的实根，则 D. 若不等式对恒成立，则 【解析】 的定义域是 ，先把它研究透： 所以 在 上递减，在 上递增， 处取最小值 。 A 项： 与 都在 上， 在那里递增，所以 。A 项成立。 B 项： 在 上、 在 上，不能直接用单调性比较，算差最稳妥： 判断它的正负，只要比较 与 。对 有不等式 ：记 ，则 ，且 所以 ，取 得 。于是 ，B 项不成立。 C 项：设两个根为 ，由单调性知 。由 得 移项得 。记 ，则 ，两根都能用 表示： 于是 要证 ，只需证 ，也就是 记 ，则 ，且 所以 对一切 成立，。C 项成立。 D 项：把不等式两边整理成同一个函数。记 ，则 ， 在 上严格递增。右边 ，左边就是 。因为 、 时 ，两个自变量都落在 的单调递增区间上，所以恒成立条件等价于 对一切 成立，即 对一切 成立。 记 ，，求导得 所以 在 上递减，在 上递增，最小值是 。于是 ；又题设 ，得 。D 项成立。 选 ACD。 第 1 步　先把 的单调性与最小值求出来 ◈ ， 在 上减、在 上增，最小值是 。A、B 两项的比较都建立在这条单调性上，C 项里「两个根分居 的两侧」也由它保证。 第 2 步　C 项把两根写成同一个比值的函数 ◈ 由 得 ，记 后，、 都能用 单独表示，两根之和变成 ，大于 就化为关于 的不等式。处理「两个零点之和」这类问题，这是最通用的入口。 第 3 步　D 项先做换元，把两边变成同一个函数 ◈ 右边 ，与左边的 是同一个函数 在两个自变量处的取值。 在 上递增，比较大小就退化成比自变量，恒成立条件直接化成 。 答　ACD 例 1-3 【填空】已知函数恰好有3个零点，则实数的取值范围是__________. 【解析】 先把 单独看一下：，所以 一定是零点，与 无关。于是「 恰好有 个零点」等价于「 在 时恰有 个零点」。 当 时， 就是 。因为 ，可以除过去，把参数分离出来： 记 ，则 。 有三个好用的性质： 所以 在 上严格递增；； 是奇函数。 只讨论 。记 ，它正是 的图象上点 与原点连线的斜率，先看它的单调性： 记分子为 。由 知 时 ，而 又 对 成立，所以 ，，从而 。 在 上严格递减。 再看 在两端的样子。由导数的定义， 而当 时 ，所以 。于是 在 上的值域是 ，并且每个值只取一次。 所以 时 的取值范围是 ，这个范围内的每个 对应一个正零点，范围外的 没有正零点。 再看 。由 是奇函数， 所以 是偶函数，负半轴的情形与正半轴完全一样， 时也恰有一个负零点。 汇总： 落在 之外时非零零点一个也没有， 只有 这一个零点； 落在 内时非零零点恰有两个，加上 共三个。 所以 的取值范围是 。 第 1 步　 是白送的一个零点 ◈ 代进去发现 与 无关，所以「恰好三个零点」真正要数的是非零零点，目标变成「恰有两个非零零点」。碰到含参函数先代几个好算的值，往往能省掉一半功夫。 第 2 步　分离参数，把问题变成水平线与曲线 ◈ 时方程等价于 。右边只与 有关， 是水平直线的纵坐标，零点个数就是这条直线与曲线交点的个数。含参零点问题里，能这样分离参数就优先分离。 第 3 步　 是处理 的好工具 ◈ 这个函数严格递增、是奇函数、在 处导数为 。把 写成 之后，它就是两点连线的斜率，单调性只需判一次 的符号，值域的两端由 与 时的极限给出。 答　 例 1-4 【填空】已知函数有两个零点，则实数的取值范围是__________． 【解析】 即 。当 时左边是 ，所以 ，两边可以除以 ： 记 ，。求导： 分子上 恒成立，所以 ， 在 与 上分别严格递增。但 不在定义域内，两段要分开看。 先看 ： 时 而 ，所以 ； 时 。 在这段上从 一路增到 ，对每个实数 都恰有一个解。 再看 ： 时 是绝对值很小的负数、，两者相除得一个很小的正数，所以 ； 时 ，所以 。 在这段上从 附近升到 ，当且仅当 时有一个解。 两段合起来： 时左右各给一个零点，共 个； 时只有右支那一个，共 个。 所以 的取值范围是 。 第 1 步　先排除 再分离参数 ◈ 时方程左边是 ，所以可以放心除以 ，得到 。分离参数前先把分母可能为零的自变量代进去检查一遍，这个动作不能省。 第 2 步　 恒正，但定义域被 切成两段 ◈ ，分子恒正，所以两段上都在递增。但 是函数的间断点，两支的走向要各自看，不能合成一条曲线来数交点。 第 3 步　两支在端点的走向定了零点个数 ◈ 右支从 升到 ，对每个 都有一个解；左支从 附近升到 ，只有 时才有一个解。要凑够两个零点，只能靠「右支一个加上左支一个」，所以条件是 。 答　 练习 1-1. 【多选】设函数，则（ ） A. 当时，有三个零点 B. 当时，无极值点 C. ，使在上是减函数 D. 图象对称中心的横坐标不变 解析　答：BD A 项：当 时 ， 处取极大值 极大值都是负的，所以 在 上恒为负，没有零点；而 在 上递增，、 时 ，那里恰有一个零点。 只有一个零点。A 项不成立。 B 项：，判别式 。当 时 ， 恒成立（ 时 ）， 在 上单调递增，没有极值点。B 项成立。 C 项：三次项系数为 ， 时 ，所以 不可能在 上单调递减。C 项不成立。 D 项：把二次项消掉就能看出对称中心。令 ，则 这是关于 的奇函数再加上一个常数，所以图象关于 即 对称，对称中心的横坐标与 无关。D 项成立。 选 BD。 1-2. 【多选】函数，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，的极小值为0 B. 若有3个零点，，，则 C. 若，则为奇函数 D. 当时，在区间上单调递增 解析　答：BD 先把 展开： 二次项系数是 ，这个信息在 B、C 两项都要用到。 A 项：当 时 ， 处取极小值 ，不是 。A 项不成立。 B 项：若 有三个零点 、、，由 知二次项系数为 ，由韦达定理 B 项成立。 C 项：。 为奇函数要求常数项为 ，即 。题设只给出 ，当 时 不是奇函数。C 项不成立。 D 项：。当 且 时 ，于是 所以 在 上单调递增。D 项成立。 选 BD。 1-3. 【多选】已知函数，则（ ） A. 若，且的对称中心为，则的极大值点为 B. 若，且，则函数有两个零点 C. 若有两个极值点，且，则只有一个零点 D. 若且，直线是过函数对称中心的切线，定点满足，则过点与相切的直线有三条 解析　答：ACD A 项：三次函数 的对称中心横坐标是 。取 得 ，中心横坐标为 说明 ，即 。 此时 。中心是 ，所以 解得 ，于是 在 上 ，在 上 ，所以 是极大值点。A 项成立。 B 项：取 、、。此时 ，而 条件全部满足。这时 ， 是极小值点，且 于是 在 上从 减到 、在 上增到 ，所以 时 ；而在 上 递减、 时 ，那里只有一个零点。 只有一个零点，不是两个。B 项不成立。 C 项： 有两个极值点，说明 且 有两个不等实根，记作 。当 时把 换成 讨论，零点不变，所以只需看 。此时 时 ， 时 ，三个区间 、、 上 依次递增、递减、递增。 由 知两个极值同号，又 ，所以要么都为正、要么都为负。 都为正时：左边一段从 增到 ，穿一次；中间一段两端都为正，不穿；右边一段从正值增到 ，不穿。共一个零点。 都为负时：左边一段从 增到 ，不穿；中间一段两端都为负，不穿；右边一段从负值增到 ，穿一次。共一个零点。 两种情形下 都只有一个零点。C 项成立。 D 项：过点 且与曲线在 处相切的直线是 它经过 当且仅当 。记 这是关于 的三次函数，过 的切线条数就是 的不同实根个数。求导： 而 ，其中 正是对称中心的横坐标。因此 的两个驻点是 与 。 把这两个值代入 ： 第二个式子用到「 是过对称中心的切线」。由 知 是极小值点、 是极大值点，所以必然 。 于是 在 上从 降到负值、在 上从负值升到正值、在 上从正值降到 ，三段各有一个实根。三个不同的 对应三个不同的切点，也就是三条切线。D 项成立。 选 ACD。 1-4. 【填空】已知函数是奇函数，则函数的零点个数为___________． 解析　答：2 是 上的奇函数，先用这一点把 那一段的表达式定出来。对 有 ，落在第一段里，所以 与第二段 比较系数，得 、。 的零点就是方程 的根，分两段解。 当 时，，即 ， 其中 ，不在 内，舍去； 保留，得到一个零点。 当 时，，即 ，也就是 落在 内，得到一个零点。 两段合起来共 个零点。 1-5. 【多选】已知，则下列说法正确的是（ ） A. 时，有唯一的零点 B. 时，存在极小值 C. 时，存在极大值 D. 若，则的范围为 解析　答：AC 定义域是 。 A 项：当 时 对一切 成立，所以 ， 在 上单调递增。又 时 而 ，故 ； 时 。单调函数从 一路变到 ，恰有一个零点。A 项成立。 B、C 项：当 时，由 解得 ，记作 。在 上 ，；在 上 ，。所以 是极大值点，极大值为 有极大值、没有极小值。B 项不成立，C 项成立。 D 项：若 恒成立，最大值也必须小于 ，即 解得 ，即 ，。所以 的取值范围是 ，与 方向正好相反。D 项不成立。 选 AC。 1-6. 【单选】已知函数若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 解析　答：B 的零点就是方程 的根，分两段数。 当 时 ，它在 上从 递增到 ，值域是 。所以 在这一段上有解当且仅当 ，此时解唯一。 当 时，解方程 。两边乘 （ 保证同解）得 判别式 。 若 ，则 ，两根之积为 ，一正一负，正根落在 上，这一段恰有一个解。 若 ，则 ，方程没有正根（ 时方程是 ，根 也不在 内）。 若 ，则 ，但两根之积 、两根之和 ，两根都是非正数，这一段仍然没有解。 所以 这一段： 时恰有一个解， 时没有解。 两段合起来： 时零点个数为 ； 时第一段一个、第二段一个，共 个； 时第一段没有解、第二段一个，共 个。 恰有 个零点当且仅当 。 选 B。 方法二　方程根的分布 「方程 有两个不等实根」这一类条件，说的仍然是曲线与水平线的交点个数，只是参数被藏在方程里，需要先把它分离出来。本节的核心动作就一句：把方程整理成「一边只有参数、另一边只有 」的形式。 ★ 分离参数的两种常用手法：能整式除开的直接除（例如 化成 ）；含 、 的，先提公因式再看能不能除。除之前务必确认所除的式子不为零，如果它在区间内会取到零，必须把那个点单独讨论。 ★ 转化成 之后，问题变成「直线 与曲线 有几个交点」。于是把 的单调区间和极值求出来，再看水平线在哪些高度上穿过一次、两次或者不穿。这一步与前一节的「数交点」完全相同，区别只在于参数从函数里跑到了直线上。 ★ 分离参数有时会把定义域挖掉一块，这是失分高发处。例如由 得到的 在 处没有定义，画图时这一段要留空，水平线恰好落在断点高度时交点个数要单独判断。 ★ 若不是含参方程，而是「解的个数」问题，常常需要把 、 与多项式拆到两边：例如 、 这类方程，两边各画一条熟悉的曲线，交点个数就是根的个数，而且由两条曲线的增减可以直接比较根的大小。 ★ 比较两个方程的根的大小，用「同一函数在不同点的值」来传递。若 且 ，就把两式都写成「」的形式，用 的单调性把 与 分别夹在两个整数之间，大小关系随即确定，不必解出具体值。 ★ 含 （取整）的方程，先按 所在区间分段。在每一段上 是常数，方程退化成普通方程，解出来之后再检查这根是否落在该段内。取整符号还有一个好用的等价写法：，用它可以把方程改写成不等式，直接筛出有效的根。 ★ 「有唯一解」与「有两个不等实根」的边界情形，都要用相切来定。相切时直线与曲线只有一个交点，对应的方程是「导数值相等 + 函数值相等」两个条件联立。这一步算完要回代检查切点横坐标是否在允许的范围内。 ★ 方程 这类「定义型」的根，先分别把两边的表达式写出来，再解方程。新定义题里的「新驻点」「不动点」，本质都是某一类方程的解，把定义翻译成方程，题目就回到熟悉的样子。 ★ 三个根成等差、成等比这类附加条件，用「设元」来处理。若三个根成等差，就设成 、、，代入方程后利用对称性一次消去 ；若成等比，就设成 、、。设元后未知量个数不增反减，是这类条件最省事的用法。 ★ 根的分布题写完，用「取一个满足条件的参数值代回去」检验。比如结论是 ，就取 回代原方程，数一数根的个数是否与题目要求一致。端点值也各试一次（取 与 ），确认开闭区间写没写错。 例题 例 2-1 【填空】已知关于的方程有两个不等实根，则的取值范围是__________． 【解析】 方程里 在指数位置和一次项位置各出现一次，把它整体换成 ，两处会同时变简单。 令 。因为 ， 与 一一对应，所以原方程有两个不等实根，等价于关于 的方程 有两个不等实根。 先看 。此时 ，， 在 上严格递增，至多一个根，不合题意。 所以只需讨论 。此时 ， 关于 递减，于是 先减后增，图象是一条开口向上的谷形曲线。 记 。由 得 ，即 ，代回得最小值 又 时 ， 时 ，所以 的两端都趋于 。于是两个不等实根当且仅当最小值小于 ，即 记 ，设 。则 ， 在 处取到最大值 ，所以 对一切 成立，且等号只在 时取到。 回到 ：它等价于 ，由上面的不等式知，它当且仅当 时成立，即 ，也就是 。 综合 与 ，得 第 1 步　把 整体换成 ◈ 既出现在指数的指数上，又出现在一次项上，令 后方程立刻缩成 。因为 时 与 一一对应，实根的个数不会变。 第 2 步　 时直接排除 ◈ ，只要 就有 ，导数恒正， 严格递增，最多一个根。所以两个根的答案必定落在 里。 第 3 步　用 定出等号的位置 ◈ 最小值小于 化简后是 ，也就是 。而 的最大值恰为 ，在 处取到，说明这个不等式除 外都成立，边界就锁定在 。 答　 例 2-2 【填空】关于的方程（且）有唯一实数解，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围是______________. 【解析】 先把白送的那部分找出来：代入 得 ，不论 取何值都成立。所以 一定是解，所谓"有唯一实数解"，就是要求它没有别的解。 记 ，则 ， 若 ，则 ， 恒成立， 在 上严格递增，零点只有 ，符合要求。 下面设 ，此时 。，所以 在 上严格递增；又 时 ， 时 占主导，，所以 有唯一的零点 ， 在 上递减、在 上递增。 关键在于比较 与 的大小，它决定了 落在 的哪一侧。 若 ，则 ，由递增性得 。于是 上 ，而最小值 ，又有 时 ，所以 内还有一个零点，与唯一性矛盾。 若 ，则 ，得 。于是 上 ，而 时 ，所以 内还有一个零点，同样矛盾。 若 ，则 ，即 。此时 在 处取到最小值 ，所以 对一切 成立，零点只有 。 综上， 或 。 第 1 步　 是白送的一个解 ◈ 、，与 无关，所以 永远在解集里。要把解集中只有一个元素，只需保证别处不再有解，这比直接研究 的所有零点要省力得多。 第 2 步　分界点是 的符号 ◈ 是单调的，它的零点 与 的先后顺序决定了 是在递减段还是递增段上。而 的正负恰好就是这个顺序，于是分界点落在 。 第 3 步　 与 是两种完全不同的图象 ◈ 时 ，导数恒正，是单调递增型； 时 ， 先减后增，是谷形。后者两端都趋于 ，只要最小值落到 轴下方就必然多出一个零点。 答　或 例 2-3 【单选】定义方程的实数根叫做函数的“新驻点”．若函数，，的“新驻点”分别为，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【解析】 按定义逐个把"新驻点"解出来，再比大小即可。 对 ：，方程 给出 。 对 ：， 即 ，也就是 ，解记作 。记 （），则 ， 在 上递减、在 上递增，最小值 。又 ，，所以 在 内恰有一个零点，即 。 对 ：， 即 ，解记作 。记 ，则 ， 在 上递增。而 ，，所以 在 内恰有一个零点，即 。 把三个结果串起来：，，，所以 ，选 D。 第 1 步　"新驻点"就是 的根 ◈ 定义直接给出了方程，不必额外转化。三个函数分别对应一次方程、对数方程、三次方程，解的形状各不相同，但都不需要算出精确值，只要把根夹在整段区间里就够了。 第 2 步　三个根都只夹范围，不求精确值 ◈ 由 决定，夹在 内； 由 决定，夹在 内。比较大小只需要 ，用不到 、 的具体数值。 第 3 步　夹根靠"端点异号 单调" ◈ 在 上递增， 在 上递增，两段都单调，所以端点一正一负就说明区间内有且只有一个根。 答　D 例 2-4 【多选】已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 若有2个零点，则 B. 当时，是增函数 C. 当时，恒成立 D. 当时，若是的零点，则 【解析】 四个选项都绕不开 的零点分布，先把这件事弄清。 当 时，，等式 不可能成立， 没有零点。所以只需讨论 。 此时 不是零点，方程 可化为 。记 ，则 当 时 ， 递增， 时 ， 时 ，所以左支的值域是 ；当 时 在 上递减、在 上递增，最小值 ，值域是 。 于是水平线 与两支的交点个数是： 时左支交出 个点、右支没有，共 个零点； 时左支 个，右支在最低点 处被水平线碰到，只交出 个点，共 个零点； 时左支 个、右支 个，共 个零点。 所以恰有 个零点只能是 ，A 项成立。 B 项： 时 。由 得 ， 在 上单调递增，B 项成立。 C 项： 时 ，与 恒成立矛盾，C 项不成立。 D 项：，由前面的分析，零点全落在左支上，而且只有一个，记作 。左支上 严格递增，而 ，，所以 落在 内，D 项成立。 选 ABD。 第 1 步　零点个数问题先分离参数 ◈ 写成 之后，零点个数就等于水平线 与曲线 的交点个数。 时直接没有零点，剩下的都交给 的图象。 第 2 步　 被 断成两支，两支要分开看 ◈ 在 处换号，左支从 一路增到 ，右支先减后增、最小值为 。两条分支的值域一合， 个零点只可能出现在水平线恰好碰到右支最低点的时候。 第 3 步　只有一个零点时，单调性就能定出它的位置 ◈ 比 小，所以零点唯一且必在左支。左支上 是增函数，只要把 与 同 比一比，零点的位置区间就出来了。 答　ABD 练习 2-1. 【多选】设函数，则（ ） A. 当时，没有零点 B. 当时，在区间上不存在极值 C. 存在实数，使得曲线为轴对称图形 D. 存在实数，使得曲线为中心对称图形 解析　答：ABC 定义域是 且 。先把式子整理成便于求导的形状： A 项： 时 的表达式化为 ， 即 记 （），则 由 （，等号只在 处取到）知 ，所以 在 与 上分别递增。 当 时，分子 ，分母 ，故 ；又 时 ，故 ，而 时 ，所以这一段上 。 当 时，分子分母同为正，且 ，所以 。 两种情形都有 ，方程 无解，即 时 没有零点，A 项成立。 B 项：设 ，只讨论 。由上面的整理式得 记分子 ，则 ，，，。所以 在 上递减，；于是 递减，，从而 。 在 上严格递减，不存在极值，B 项成立。 C 项：取 ，把 代进去得 定义域为 。对定义域内的 ， 也落在定义域内，把 代进去得 所以曲线 关于直线 对称，C 项成立。 D 项：若曲线 关于点 中心对称，则对定义域内每个 都要有 记 （），左边等于 时 ，左边趋于 ；而取 时左边等于 。它不是常数，不存在满足条件的 ，D 项不成立。 选 ABC。 2-2. 【单选】已知函数（且），是自然对数的底数，函数的导函数为．实数，满足，，当时，实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 解析　答：B 先求导：，条件 说明 、 是方程 的两个根。记 ，则 ，且 情形一：。此时 ，， 递增， 的图象下凸。又 时 ， 时 ，所以 的两端都趋于 ， 先减后增，两个根 、 分居极小值点两侧，即 ，且 只在 上成立。 于是 在 上递减，在其余部分递增， 是极大值、 是极小值，必然有 ，与已知的 相反。所以 不可取，C、D 两项都被排除。 情形二：。此时 ，， 递减。 时 ，； 时 。所以 从 降到 ，有唯一零点 ， 先增后减，在 处取到最大值。 再看两端： 时 且是指数级，压过 项，故 ； 时 ，，同样 。所以 的两个零点当且仅当最大值大于 ，此时两根 、 满足 。 由 得 ，两边取对数解出 代回得最大值 于是 等价于 ，代入 的表达式并注意 ，两边同乘 后不等号反向，得 即 ，也就是 ，结合 得 ，。 此时 在 上成立， 在 上递增、在其余部分递减， 是极小值、 是极大值，所以 ，且 ，与题意相符。 选 B。 2-3. 【单选】函数与函数的图象交点个数为（ ） A. B. C. D. 解析　答：A 的定义域是 ，而 的值域是 。交点必须满足 ，即 ，这个区间之外不可能有交点。 记 ，则 。当 从 增到 时， 从 增到 ，依次经过 、、。对应回去， 依次取到 、、，把 分成四段， 在这四段上的单调性依次是递增、递减、递增、递减。 第一段 ： 落在 内，所以 ；而 时 。这一段上 ，没有交点。 第二段 ： 从 严格减到 ， 严格递增，差 严格递减。又 ，，两端异号，恰有一个交点。 第三段 ： 从 严格增到 ， 也递增。先看 的部分，即 ，此时 ，无交点。剩下 ，这段上 且 。 记 ，则 。这段上 从 增到 ， 由 单调减到 ；再看 ，其中 由 增到 ，而 ，所以除紧挨 的一小段外都有 。于是 先微增、随后一直递减。而 在起点处为 、在终点处为 ，所以 只变号一次， 先增后减。 再看端点： 时 而 ，； 时 而 ，。 先增后减、递增段由负升到正、递减段终点仍为正，所以这一段上恰有一个交点。 第四段 ： 且 ，所以 从 严格递减到 ，而 从 增到 。 严格递减，端点处 、，恰有一个交点。 四段合计 个交点，选 A。 2-4. 【单选】设表示不超过实数的最大整数，如，则方程解的个数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 解析　答：B 先化开取整符号。因为 （ 表示 的小数部分），原方程等价于 而 ，所以必须有 ，即 ，也就是 。范围外的 一律不是解，先把讨论锁在这个区间内。 情形一：。此时 ，，又 ，方程化为 ，即 在 上严格递增，，，所以这一段上恰有一解。 情形二：。此时 ，，等式左边为 、右边为 ， 是解。 情形三：。此时 ，记 ，则 ，方程化为 ，因为 ，所以 时 ， 在 上严格递增，且 ，。 逐段比对： 时 ，而 ，无解； 时 ，，，一解； 时 ，，，一解； 时 ，，，一解； 时 ，而 ，无解。 上面的符号判断都只用真数与 、 的大小：，，，。 三段共 个解，加上情形一的 个和 ，一共 个解，选 B。 2-5. 【单选】设是关于的方程的一个实根，其中为常数，则（ ） A. B. C. D. 解析　答：D 记 。注意 恰好是 的两倍，用二倍角公式可以写出 满足的关系： 去分母整理得 即 。两边同乘 ，并注意 ，得 也就是说， 是二次式 的根，其中 。而 又是已知四次多项式的根，很自然地把这个二次式当作它的因式。 设 把右边展开： 两边的常数项都是 ，已经吻合。 比较 的系数得 ，代入 解出 。 再验 的系数： 与已知的 完全一致，说明这个因式分解是成立的。 于是 的系数为 所以 ，选 D。 2-6. 【多选】已知函数，其导函数为，则（ ） A. 直线是曲线的切线 B. 有三个零点 C. D. 若在区间上有最大值，则的取值范围为 解析　答：BC 求导得 ，所以 在 上递增、在 上递减、在 上递增， 处取极大值 ， 处取极小值 。 A 项：若直线 是曲线的切线，设切点横坐标为 ，则必须 ，即 。这个方程的判别式是 ，没有实根，说明曲线上不存在斜率为 的切线，A 项不成立。 B 项：由单调性， 在 上从 增到 ，在 上从 减到 ，在 上从 增到 。三段各穿过 轴一次，共 个零点，B 项成立。 C 项：把 代进导函数： 所以 的图象关于直线 对称，C 项成立。 D 项：先看 何时超过 。 所以 时 （等号只在 处取到）， 时 ，且 在 上递增。 只要 ，开区间 内就有使 的点，而且越靠近右端点 越大、端点本身又取不到，最大值取不到，所以必须有 ，即 。 当 时， 落在 内部，而在 上恒有 且 ，最大值 在区间内部取到，符合要求。 当 时，区间完全落在 内， 在此递增，最大值只能落在右端点上，取不到，同样不符合。所以符合条件的范围是 ，与 D 项给的 不同。 取 就是反例。此时区间为 ， 在 上递增，；而区间内 的部分有 ， 的部分又都小于 。最大值取不到，D 项不成立。 选 BC。 方法三　复合函数的零点 方程里出现 、、 这种「把 当整体」的结构时，硬展开展不开，正确做法是换元。本节把「换元之后怎么数根」这件事说透。 ★ 换元三步走：第一步，令 ，把原方程化成关于 的方程；第二步，解出 的所有可能值；第三步，对每一个 的值，解方程 ，把得到的 加起来。题目问「有几个根」，就把第三步每个 的根的个数相加。 ★ 换元之后必须先定 的取值范围。 能取到的值不是全体实数，而是 的值域。把值域求出来，再用它去筛第二步得到的 ：落在值域外的 直接舍掉，它对应的 一个也不存在。这一步漏掉，根的个数必然算多。 ★ 第三步数根的个数，靠的是「 有几个根」。与前一节一样，把 的单调区间和极值画出来，看水平线 与 交几次。所以复合函数的零点题，本质上要做两次「数交点」：一次对 ，一次对 。 ★ 分段函数做内层时，要按 落在哪一段分开讨论。 里，内层的取值落在哪一段，外层就用哪一段的解析式，两段各解一次、各数一次，最后合并。分界点处的取值要单独验，那里最容易漏根或多根。 ★ 让根的个数「最多」的参数范围，思路是让每个 都取到尽可能多的根。先数出 的根数随 变化的分段情况，再让换元后方程的两个根分别落在「根数最多」的那两段里。两个条件同时成立，就得到参数的范围。 ★ 求「至多有几个解」，先看外层方程最多有几个根，再看每个根最多对应几个 。两个数相乘就是上界。要说明这个上界能达到，还得举出一组具体取值说明每一层都能取满。只写「最多是 」而不验取到，是不够的。 ★ 复合函数不止能问零点，也能问单调区间与最值。内层 的值域是外层 的自变量，所以「外层 在哪个区间上增」要翻译成「内层 落在哪个区间」，再把 的取值区间解出来，就得到整个复合函数的单调区间。内层单调而外层单调时，同增异减；内层不单调则必须分段讨论。 ★ 复合函数的最值按层求：先求内层 的值域，再把外层 在这个值域上的最值求出来。两个最值合起来就是复合函数的最值。如果外层在这个值域上不是单调的，就要看它内部有没有极值点落在值域内。 ★ 与 这类新定义函数，先把两条曲线画在一起，分界点就是 的解，然后按「谁在上面取谁」分段写出解析式。这类题的零点、对称性、最值，都能在图上直接读出来。 ★ 复合函数的零点题，最后把每个解代回原方程验一次。换元法最容易出的错是「求出的 不在 的值域内」，而这类错代回原方程时立刻暴露：那一支的 根本解不出来，或者解出来的 代进去两边不等。逐个回代比重新检查一遍换元过程更快。 例题 例 3-1 【多选】分别用，表示，中的最小者和最大者，记为，.若，，则（ ） A. B. 函数有2个零点 C. 函数的图象关于轴对称 D. 关于的方程的所有解的乘积为 【解析】 两个函数作差：，所以 时 ， 时 。这就把 与 分别是谁定死了： 于是 时 、； 时 、。 A 项：，，和为 ，A 项成立。 B 项：。 时 ，没有零点； 时 ，令它为零得 ，即 ，在 上只有 一个解。所以 只有 个零点，B 项不成立。 C 项：无论 还是 ， 都是 ，而 把 换成 后 与 都不变，所以 是偶函数，图象关于 轴对称，C 项成立。 D 项：方程等价于 或 ，四种搭配都要看。 当 时： 即 ，整理得 ，两根一正一负，正根记为 而 即 。由 知， 时无解； 时解为 （重根）； 时有两解 ，且 。 当 时：，所以 无解（ 在负半轴恒为负）； 即 ，同样由 得负根 这些根合起来就是方程的全部解。注意 与 是同一个二次方程的两个根，由韦达定理 ； 时多出的 满足 ， 时只有一个 ，乘进去也不改变结果。所以所有解的乘积恒为 ，D 项成立。 选 ACD。 第 1 步　先用差定出 与 的身份 ◈ ，符号只由 的正负决定。于是正半轴上 、，负半轴上正好相反。取最小者与最大者的题，第一步都是把 的分工定清楚。 第 2 步　B 项两段分别解 ◈ 时 恒为负，不可能有零点； 时 ，令其为零得 。两段一算，零点就只有一个。 第 3 步　D 项把两种等式落到四个位置 ◈ 与 各要在正、负两段上验证。正段上 给一个正根、 在 时给根；负段上只有 有解。再回头看这些根恰好是同一个二次方程的两根（乘积 ），结论就出来了。 答　ACD 例 3-2 【单选】已知函数，若有4个互不相同的根，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【解析】 方程里 换个元就是一个二次方程，先因式分解： 所以原方程等价于 或 ，根的个数就是这两个方程根数之和（重合的要扣掉）。 先看 。 时 ，无解； 时 ，由 且等号在 取到，得唯一解 。所以 恒给出一个根 ，与 无关。 再看 ，两段分开数。 这一段， 取遍 ，所以 取遍 。于是 时恰有一根 ； 或 时这一段没有根。 这一段， 的值域是 ，所以 时有两根（是一对倒数）， 时只有 ， 时没有根。 现在凑“ 个互不相同的根”。 只给 个，所以必须有 给出 个，这就要求 此时正段的两根是 ，都在 上，与 重合需要 ，已被排除；负段那根 也不可能与正数重合。所以 时确实是 个互不相同的根，选 B。 第 1 步　关于 的二次方程先因式分解 ◈ 的两根是 与 ，所以原方程拆成 与 两个简单方程。复合方程的第一步总是把内层当成一个整体解出来。 第 2 步　两支的值域决定根的个数 ◈ 时 ，水平线 在这段上最多碰一次； 时 ， 时碰两次。数根之前先把这两段的值域写清楚。 第 3 步　凑够四个根要对齐两边的个数 ◈ 白送一个根，还差三个，只能靠 。正段给两个、负段给一个，正好凑成 ；最后再回头确认五个候选根两两不同。 答　B 例 3-3 【填空】已知函数，其中.若方程有且只有一个解，则实数的取值范围是_________. 【解析】 把内层的 整体记成 ，先解外层 。 这一段：，即 ，得 或 。其中 恒成立； 要满足 ，而题设 ，舍去。 这一段：，得 ，要满足 。 所以外层的解集是： 时为 ； 时为 。接下来就是把内层的 （以及 时的 ）解出来数个数。 先解 。 时 ，得 即 与 ，只有满足 的才算； 时 无解。 再解 。 时 ，得 即 与 ，同样只有小于 的才算； 时 给出 ，但 与 矛盾，舍去。 情形一：。外层只有 ，只需 恰有一个解。 对 恒成立， 等价于 ，所以解的个数是： 时一个， 时两个。这一段给出 。 情形二：。外层是 与 ，四个候选根都要过一遍。其中 与 都大于 ，而 ，一定不满足；只需比较 、 与 的大小。恰有一个解就是 ，这一段给出 两段合并，得 第 1 步　内层整体换元，先解外层 ◈ 令 ，方程变成 。外层的解只有 、、 三个候选，再用 把 与 的去留定下来。 第 2 步　外层解集在 处换挡 ◈ 永远可用， 只在 时可用。所以 时只需要解一个内层方程， 时要解两个，分界点就是 。 第 3 步　内层的根要逐个拿 筛 ◈ 的两个候选是 ， 的两个候选是 ，它们在分段点两侧的归属不同，是否算数只取决于与 的大小关系。把四个数从小到大排好，再让 从中间穿过，取值范围自然显形。 答　 例 3-4 【填空】已知函数，则至多有______个实数解. 【解析】 先把内层记成 。因为 ，所以 。 时方程 左边非负、右边为负，无解； 时只有 ，对应 ，也只有一解。所以最大解数一定来自 的情形，下面设 。 先数外层 有几个 。 时 ，它在 上从 严格递增到 ，所以恰有一个根，记作 。 时 ，，在 处取到最大值 。 时这段单调递减， 只有 ； 时这段先增后减，端点值 ，中间的最大值 ，所以在 内还有一个根，记作 。 于是外层根的个数： 时是 三个； 时是 两个。 再数每个 对应几个 ，也就是 的解数。 时只有 ，一个。 时， 这一段 从 严格递增到 ，恒给一个解； 这一段 在 处取最大值 ，所以 时给两个解， 时给一个， 时一个也没有。合起来， 时解的个数最多是 。 个数最多只可能出现在 （外层有三个 ），此时 给一个解；，而 ，所以 给三个解； 给几个，要看它与 的大小。 取 试一试：，此时 满足 ，在 上解得 ； 满足 ，解得 。两者都小于 ，各给三个解，再加上 的一个，共 个实数解。 而 时外层只有两个 ，其中 给一个、 最多给三个，顶多 个；外层的 也不可能有第四个。所以至多就是 个。 填 。 第 1 步　先看内层 的取值范围 ◈ ，所以 ，而右边的 若为负则外层直接无解。所以讨论最大值时可以只盯住 。 第 2 步　外层 的根数在 处分档 ◈ 那支单调递增，恒给一个根； 那支在 处取最大值 ，只有 时这个最大值才高于端点值 ，才多出一个根。 第 3 步　每个 给几个 ，只看 与 谁大 ◈ 在 上恒有一解，在 上最多两解，条件是 不超过山峰高度 。取 时两条水平线都低于山峰，三加三再加 的那一个，正好七个。 答　7 练习 3-1. 【填空】设函数，若方程在区间上有解，则实数的取值范围为______. 解析　答： 先看 的单调性。，在 上两项都为正，所以 在 上严格递增。 严格递增时， 与 是一回事。 若 ，两边再作用一次 立刻得 ；反过来，若 而 ，由 递增得 ，矛盾； 时同样矛盾。所以只能是 。 于是问题变成 在 上有解： 整理得 。记 求导： 所以在 上 ， 递减；在 上 ， 递增。最小值是 再看两端：，，两者相等，所以最大值也是 。 在 上连续，值域就是 方程 有解，当且仅当 落在值域内，所求范围为 。 3-2. 【填空】已知函数，当关于的方程的不同实数根的个数最多时，实数的取值范围是______． 解析　答： 记 ，先把 的图象摸清。 ，求导： 所以 在 上递增、在 上递减，最大值 ； 时 ， 时 。 于是 的解数只由 决定： 无解， 一个解， 两个解， 一个解（）， 一个解。 再看关于 的方程 。判别式 ，要它有两个实根须 。两根为 由韦达定理 、。 要让 的根数最多，最好 都落在 内，这样每个 各给两个根，共 个。 乘积为正，所以两根同号；又要它们都为正，只需 ，即 。此时 ，而 自动成立。 再要求 ，即 。左边要小于 ，先得 ，两边平方： 解得 。 与判别式条件 合起来， 检查两个端点： 时判别式为 ，两根重合为 ，只给两个根； 时 ，只给一个根，总共三个。都不是最多。 的根最多两个，每个 最多给两个 ，所以 就是上限。所求范围是 。 3-3. 【多选】已知函数，，则下列结论正确的是（ ） A. 为奇函数 B. 为偶函数 C. 在上仅有1个零点 D. 的最小正周期为 解析　答：BCD 是奇函数， 是偶函数，两个复合式 、 逐项看。 A 项：，所以 ，它是偶函数。而它的值并不恒为零（ 时为 ），偶函数不可能是奇函数，A 项错误。 B 项：，所以 ，是偶函数，B 项正确。 C 项：解 。因为 ，而 在 上只有 ，所以必须 ，在 上只有 一个解，C 项正确。 D 项：把 换成 ，，所以 ，与原来的值相等， 是周期。 再把 换成 ，，此时得到 。取 得 ，而原式在 处为 ，两者不等，所以 不是周期。最小正周期是 ，D 项正确。 选 BCD。 3-4. 【多选】已知函数，，令，，则（ ） A. 与的单调区间相同 B. 与的单调区间相同 C. 与有相同的最小值 D. 与有相同的最小值 解析　答：BC 先把两个基本函数的单调性摆出来。，所以 在 上递减、在 上递增，最小值 。，所以 在 上递减、在 上递增，最小值 。 A 项：，，令它为零有两条路：（），或 ，即 （ 或 ）。这四个点把数轴分成四段，逐段判号： 时 ，故 ，而 ，所以 ， 递减； 时 ，故 ，，所以 ， 递增； 时 ，，所以 ， 递减； 时 ，，所以 ， 递增。 有四个单调区间，而 只有两个，A 项错误。 B 项：，。因为 ，所以 恒成立，于是 与 同号， 与 的单调区间相同，B 项正确。 C 项： 的值域是 ，而 的最小值点 落在这个值域里—— 有解 与 。所以 在 或 处取到 的最小值 ， 与 有相同的最小值，C 项正确。 D 项：，而 的取值范围是 。 在 上递增（因为对称轴 ），所以 的最小值是 。而 本身的最小值是 ，两者不同，D 项错误。 选 BC。 3-5. 【单选】已知函数和的定义域均为.若是奇函数，是偶函数，且，则（ ） A. B. C. D. 解析　答：D 先把两个条件翻译成等式。 是奇函数，即 对一切 成立。令 ，则 ，条件写成 是偶函数，即 。 已知 。把 换成 ： 左边两项各自化简：由 取 得 ；由 是偶函数得 。代回去： 再把 记成 ，得到一个贯穿全局的关系式 现在取两个 就能解出来。在 中令 ：；在原式 中令 ：，而 ，所以 。 两式相加得 ，即 ，于是 ，从而 。 再在 中令 ： 把 代入，得 。所以 ，选 D。 3-6. 【单选】设函数则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 解析　答：B 把 里那一串关于 的式子单独打包。记 则 。 不等式右边是 ，而 里拖着常数 ，两处都减 更好看。记 ，则 再记 ，就有 。 于是 等价于 也就是 现在看 的性质。 由 得 。取等号需要 与 同时成立，这不可能，所以 恒成立， 在 上严格递增。 再看奇偶性：， 是奇函数。 把不等式里的 用奇函数改写：，所以 。记 ，不等式成为 即 。 严格递增，不等式两边可以脱去 ： 即 ，也就是 ，。选 B。 方法四　分段函数与绝对值方程 分段函数与含绝对值的方程，做法只有一个：按分界点把定义域切开，每一段上都是普通的函数与普通的方程，解完再检查所求的根是否落在该段内。本节把「怎么切、切完怎么合并」讲清楚。 ★ 切分的依据有两类：一是解析式里写明的分段点，二是绝对值内部的零点（令绝对值里那一串等于零解出来的 ）。把所有分界点从小到大排好，定义域就被分成若干段，一段一段写解析式。 ★ 绝对值去符号的口诀是「大于取两边、小于取中间」。 在 时等价于 ； 化成 或 ； 化成 。凡是解出来的 都要回代检查是否落在该段内，不合的舍去。 ★ 分段函数的零点个数，等价于「各段零点个数之和」。逐段解方程、逐段判断根是否落在该段内，再把各段的结果相加。分界点本身是不是零点要单独验一次，它常被两段都漏掉或多算一次。 ★ 含参的分段函数，参数往往出现在分段点或某一段的解析式里。处理办法是「以参数为界分情况讨论」：先确定分段点相对于已知区间的位置，再逐种情况解方程。讨论时画一条数轴标出各分界点，情况不容易漏。 ★ 分段函数的奇偶性、单调性，要求各段「接得上」。若函数在 上是奇函数，就把一段的解析式代成 求出另一段，最后用 检验一次。单调递增则要求每一段都增、且左段在右段的分界点处不超过右段的取值，这个「接缝条件」是分段单调题的核心考点。 ★ 分段函数求值，先看自变量落在哪一段。遇到 这类条件，先把 、 折到各自所在的段，再按该段的解析式列方程。题目若还给了三个自变量之间的等差或等比关系，就把它作为一个方程一起联立。 ★ 分段函数零点之和的问题，注意两点：第一，各段的根分别求出，绝不能只求一段；第二，正弦余弦型的分段函数，另一段的零点往往有无穷多个，题目会限定在一个周期或一个区间内，看清范围再数。 ★ 分段函数的最值，逐段求完再比。每一段上求出该段的最值（含端点），所有段的最值里取最大或最小。若某段的端点取不到，最值可能只在内部取得，这类「存在最大值 / 最小值」的问题要检查极限处是否趋于无穷。 ★ 的图象是「把 轴下方的部分翻上来」。所以关于 的对称性、最值、零点问题，先把 的图象画出来再翻折。翻折后原来在 轴下方的零点依然保留，而 的极小值点翻上来之后可能变成新的极大值点。 ★ 分段题的答案写完，逐段做一次「端点检验」。把每个分界点代进左右两段的解析式，看是否接得上；再把求出的每根代回原方程，确认它落在所属的那一段内。分段题失分几乎都出在这两处：接缝处的一个点算错，或者某段的根越界却没有舍去。 例题 例 4-1 【多选】已知函数则下列说法中正确的是（ ） A. 为奇函数 B. 任意，存在，使得恒成立 C. 若方程恰有两个不等实根，则 D. 若方程恰有三个不等实根，则 【解析】 先把两个分支写开： 时 ， 时 。 A 项看奇偶性，取一正一负两个点就够了。，。若 是奇函数应有 ，与 不符，A 项不成立。 B 项把不等式按 的正负分开看，问题就是「 能不能取到」。 时两边同除以 ，得 ，这样的 显然存在（取 即可）； 时两边同除以 要变号，得 ，这样的 也存在（取 即可）。 两类 下 的允许范围都非空，B 项成立。 C 项： 时把 整理成整式方程 两个不等实根 都在正半轴上（两根之和 、之积 ），由韦达定理 ，C 项成立。 D 项先弄清三个根各在哪一段。 负半轴上 是严格递增的：任取 ， 且有 ，所以 与 的大小无法一眼看出，换个写法更清楚：令 （），负半轴上的函数就是 ，它随 严格递减，因此随 严格递增；又当 从 增大到 时它从 降到 ，值域是全体实数。 所以 在负半轴恰好有一个根，记为 。 正半轴上 是 ， 时有两个不等正根 ，由韦达定理 负半轴上的根来自同一个方程 ，取负的那个 于是 记右边为 （）。 因为 ， 随 增大而增大；而 所以 时 ，D 项成立。 选 BCD。 第 1 步　奇偶性用特值推翻 ◈ 不必做一般性的验证，取 与 两点代入即可： 而 ，不是相反数，奇函数不成立。 第 2 步　B 项化成「 的范围是否非空」 ◈ 里 已经给定，除过去就是 的一个范围： 时 ， 时 。两边的界都是有限数，所以总能取到一个 。 第 3 步　D 项先把三段根的个数点清 ◈ 负半轴上 严格递增且值域为全体实数，只贡献一个根；正半轴上两根之积为 、之和为 。三个根的和就化成了 的一个函数，再比 处的值。 答　BCD 例 4-2 【单选】函数所有零点之和为（ ） A. B. C. 0 D. 1 【解析】 零点分两段各解各的，解出来的根还要退回本段的定义域核一遍。 当 时，令 ，因式分解得 解得 与 ，两个都在 内，都留下。 当 时，令 ，得 即 。落在 内的只有 与 ，也就是 与 ； 给出 ，不在这一段里，舍去。 四个零点为 ，其和为 选 C。 第 1 步　分段函数求零点必须一段一段来 ◈ 两段的表达式不同，零点也要在各自的定义域上解，解完再检查根是否落在本段内，落在外面的要舍掉。 第 2 步　三角方程的零点别漏周期 ◈ 的解是 ，化成 后再用区间 卡 ，只取 。 第 3 步　正负根成对抵消 ◈ 第一段给出 ，第二段给出 ，两组互为相反数，求和为 。 答　C 例 4-3 【填空】已知函数，若有三个零点，，，则实数a的取值范围为______；若，则的最大值为______. 【解析】 的零点就是方程 的根，所以先把两段的值域各看一遍，再数水平线 与图象的交点个数。 当 时 严格递增，从 升到 ，值域为 ，取到每个值时恰好一次。 当 时 先在 上增到 ，再在 上减到 ，值域同样是 ，但除 之外每个值都取到两次。 左段给一个交点、右段给两个交点，一共三个，这就是三个零点的唯一来源。于是右段要两个：；此时左段自动有一个（因为 ）。若 ，右段两份合成 一个，只有两个零点；若 ，右段一个也没有。所以实数 的取值范围是 。 接着算 。三个根的大小位置是 。 由 得 。 设 ，则 且 ； 而 在对称轴右侧，所以 。 把三部分加起来： 其中 也由 决定，，。代进去得只含 的函数 求导： 在 上 ， 当且仅当 ，即 。所以 在 上递增、在 上递减， 时取到最大值。 此时 ，三个根为 、、，代入得 所以 的取值范围是 ， 的最大值为 。 第 1 步　先数交点个数，再谈取值范围 ◈ 左段严格递增只给一个交点，右段的正弦波在峰两侧各给一个。要三个零点就必须让右段给出两个，于是 ，再单独检查 这种峰顶相切的情形。 第 2 步　右段两根用对称性捆成一个未知量 ◈ 且两根落在峰的两侧，必有 。于是只引进一个 ，另一个直接写成 ，未知量从两个降到一个。 第 3 步　把和写成 的函数再求导 ◈ 由 把 换掉，和式变成 ，求导只剩 ，零点 一目了然。 答　； 例 4-4 【填空】已知方程有且仅有两个不相等的正实数根，则实数的取值范围是__________. 【解析】 先把绝对值里外的两块记成 原方程就是 ，右边是非负的那个，所以先要有 。 按 的符号拆成两个整式方程。 时原方程与 同解； 时原方程与 同解。整理得 两式的判别式是同一个数： 这就先把 卡住了：若 ，两个方程都没有实根，正根一个也没有，不合题意。 先排除 。此时对任意 有 ，绝对值可以直接去掉，方程只剩 这一条，即 它的两根之积为 、之和为 。 当 时判别式 （ 时为一个负根），无正根；当 时两根同负；当 时方程退化，解得 ；当 时两根一正一负，正根只有一个。总之 至多给一个正根，都不满足题意，所以 。 下面设 。把原方程两边同除以 （），再换元 因为 ， 与 一一对应，而且 。代入后 ，，方程化为 右边是 自身，所以只有 才可能有解。去掉绝对值得到两个二次方程，判别式又都是 ： 它们的正根个数可以逐段点清（记 ）。第一个方程的两根为 ，正根有 一个； 为正还需要 ，即 。第二个方程的两根为 ，正根只有 ，它为正还需要 ，即 。 于是：当 时，第一个方程给两个正根，第二个不给；当 时，两个方程各给一个正根； 时 ，第一个方程给 ，另外 也是解（此时 ），共两个。 三种情况都恰好两个，与 单调对应，正根的个数不变。 而当 时 ，第一个方程是一个重根 ，正根只有一个，少了。 所以实数 的取值范围是 。 第 1 步　绝对值按内层符号拆，两式判别式相同 ◈ 记 、，方程就是 。 时走 ， 时走 ，两条整理后的判别式都是 ，于是 直接出局， 就是临界值。 第 2 步　换元 消去绝对值里的一次项 ◈ 两边同除以 再换元，绝对值里变成 ，一次项被完全消掉，方程只剩 ，两个二次方程的正根个数只取决于 与 谁大，分段讨论就一目了然。 第 3 步　 必须单独交待 ◈ 时 恒成立，绝对值可以直接去掉，只剩一个二次方程，正根至多一个，永远凑不出两个，所以最后只需在 里讨论。 答　 练习 4-1. 【多选】已知函数，若函数为偶函数，则下列说法一定正确的是（ ） A. 的图象关于直线对称 B. C. D. 解析　答：BCD 把 记作 ， 为偶函数就是：对任意实数 ， 记 ，，上式两边都是非负数，平方后得 恒成立。两个多项式相乘恒为零，只可能是其中一个恒为零。 若 恒为零，就是 对任意 成立。把两边展开， 的系数分别是 与 ，于是 ，得 ，与 矛盾。 所以只能是 恒为零，即 恒成立。这句话的几何含义是 的图象关于点 中心对称，而三次函数的对称中心恰是它的拐点。 由 得拐点横坐标 ，所以 即 。再在对称式里取 ，得 ，展开就是 代入 ，得 。 A 项：把 当作自变量，由对称性有 。记 ，它是一个奇函数，且 的系数为 ，不恒为零。于是 于是 ，而 。两者相等需要 ，也就是 。取一个使 的 ，两边的值就不同，所以 的图象不关于直线 对称，A 不成立。 B 项： B 成立。 C 项：由 得 C 成立。 D 项：在 中取 ，直接得到 D 成立。 选 BCD。 4-2. 【填空】已知函数，若存在实数、b、，满足且，则_____． 解析　答： 先看 上 的性态。 上 严格递增，值域为 ； 上 严格递减，值域为 。两段各自严格单调，所以对任一实数 ，方程 在 上最多两个解。 条件里 是三个非负数却给出同一个函数值，由「最多两个解」可知这三个数中必有两个相等。 两两相等只有三种可能，逐一排查。 若 ，由 得 ，代入 得 。此时 ；而 ， 要么是 、要么是 ，总之不等于 ，矛盾，排除。 若 ，由 得 ，于是 ，再由 得 ；此时三个绝对值是 。 若 ，由 得 ，于是 ，再由 得 ，记 ，三个绝对值是 。 两种可行情形都归结为同一件事：存在 使 而且两种情形下都有 ：第一种 、，第二种 、，两种情形下的差都是 。 下面求 。若 与 同属 ，则 ，解得 ，不合；若同属 ，则 ，同样解得 ，不合。所以两个数只能跨段，即 ，左边走一次支、右边走指数支： 左边随 严格递增、右边随 严格递减，解至多一个。而 时左边等于 、右边等于 ，恰好相等，所以 是唯一解。 于是 4-3. 【单选】已知函数，若存在实数、、且，使得，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 解析　答：D 先把两段的性质写清楚。 时 严格递减，从 一直降到 （ 取不到）； 时 ，先在 上从 降到 ，再在 上从 升回 。 设公共的函数值为 。要有三个不同的根，就得左侧段给一个、右侧段给两个。 右侧段在 时给两个根（对称轴 两侧各一个）， 时给 与 ， 时只给 一个， 或 时没有根；左侧段则要求 才有一个根。合起来， 的取值范围是 。 设三个根为 。负半轴上的那个由 解出， 另两个落在 上，满足 且 ，两点关于对称轴 对称，所以 ，即 三个点恰好把三个函数值都取成 ，于是 这是开口向下的二次函数，在 处取到最大值 端点处最小： 时值为 ， 趋近 时值也趋近 。而 确实能取到（例如 、、），所以 也包含在内。 所求取值范围为 ，选 D。 4-4. 【多选】设，已知函数（ ） A. 在上单调递减 B. 当时，存在最小值 C. 设，则 D. 设，若存在最小值，则 解析　答：BCD A 项：取 ，在 处，左支的极限是 ，而函数值为 ，从左往右是往上跳的。取 略小于 、，就有 ，与单调递减不符，A 不成立。 B 项：分三段比较 与 的大小。 时 ，而 时 ； 时 ，等号在 处取到； 时 。 所以对一切 都有 ，且 ，最小值确实存在，B 成立。 C 项：记 与 的横坐标为 ，先看 的情形。此时纵向落差 而横向间距 ，所以 。 再看 的情形。这时 ，说明 ，于是 ，记 ，则 纵向落差为 ，横向间距为 ，所以 把右边看成 的二次函数，它是开口向上的，最小值在 处，最小值为 括号里大于 ，平方后除以 大于 ，所以无论 取何值都有 。C 成立。 D 项：把 到原点的距离记作 ， 在直线 上，横坐标 。中间那一段是以原点为圆心、 为半径的下半圆，当 在圆外时，它到这段圆弧的最短距离就是 ，而且最近点 的横坐标等于 ，确实落在允许的范围内，所以 的最小值问题就化成了 的最小值问题。 而 它在 处最小，在 上随 增大而减小。 若 ，可以取到 （它满足 ），此时当然也是 的最小值点，， 的最小值为 ，是取得到的，最小值存在。 若 ，允许的 全部小于 ，只能让 无限接近 而不能相等，于是 从而 。又 ，这个下界非负却取不到，所以最小值不存在。D 成立。 选 BCD。 4-5. 【填空】函数的最小值为_____． 解析　答： 两个绝对值把定义域分成 、、 三段，逐段去掉绝对值再求最小值。 当 时 且 ， 导数 恒成立，这段上函数递减，最小值在右端点取到，。 当 时 而 ， 导数 ，这段上也递减，最小值在右端点取到，。 当 时 且 ， 求导得 ，令它为零，得 ，即 这个点落在 内。当 时 ，导数为负；当 时导数为正。所以 是这一段的最小值点，最小值为 三段的候选值依次是 、、。由 得 ；由 得 ；由 得 。后两个都大于 ，只有 小于 ，它就是三者中最小的。 所以函数的最小值为 。 4-6. 【单选】已知，当时，有，则必有（ ） A. B. C. D. 解析　答：D 先摸清 的形状。 时 严格递减，从 降到 ； 时 严格递增，从 往上升。整条曲线关于 轴呈「」形，最小值 在 处取到。 由 能先把 与 的位置定下来。 若 ，则 ，在负半轴上 递减，应有 ，与 矛盾，所以 。 若 ，则 ，在正半轴上 递增，应有 ，与 矛盾，所以 。 于是必有 ，而 的正负还没定。 A 项：若三个数都小于 ， 在负半轴上递减，只能得到 ，与条件里的 矛盾，A 不成立。 B 项不一定成立，取 、、： ，而 ； 而 。比较 与 ，前者大，所以 ；再比较 与 ，前者小，所以 。于是 ，三个函数值确实满足 ，但 ，说明 B 不是必然的。 C 项用同一组数据即可推翻：，而 给出 ，所以 ，C 不成立。 D 项：已经知道 ，所以 ；又 ，所以 。条件 就是 移项得 上界有了。下界来自 ：，再添上正的 ，得 两边合起来就是 ，D 成立。 选 D。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $