3.3.2借助运算解释规律和现象 课件 2026-2027学年北师大版数学七年级上册

# 北师大版七年级上册数学 借助运算解释规律和现象专项练习（约1400字） ## 核心知识点梳理 这类题目的核心：**先用字母表示数量\(n-1，n+1\)列代数式\(n-1，n+1\)再通过整式加减运算化简\(n-1，n+1\)用计算结果解释现象、证明规律。** 解题步骤： 1. 设未知数（用字母表示题目中的数）； \(\boldsymbol{2}\). 根据文字描述列出代数式； 3. 去括号、合并同类项化简； 4. 根据化简后的式子说明规律：结果是定值、和某个变量无关、一定是某个数的倍数等。 常见题型： ① 数字游戏：随便选数\(n-1，n+1\)按步骤运算\(n-1，n+1\)结果永远不变； ② 两位数、三位数数字变换规律； ③ 图形拼接\(n-1，n+1\)通过代数式说明周长、面积不变； ⚠️关键：**不能只举例子猜想\(n-1，n+1\)必须用代数运算证明\(n-1，n+1\)举例只能用来检验。** 易错点： ① 两位数表示错误：十位数字$a$\(n-1，n+1\)个位$b$\(n-1，n+1\)两位数是$\(10\(a+b\)\)$\(n-1，n+1\)不是$ab$； ② 去括号时符号出错； ③ 化简不彻底\(n-1，n+1\)无法清晰解释规律； ④ 把猜想当成证明\(n-1，n+1\)缺少代数运算过程。 ## 专项练习题 ### 一、选择题（每题4分\(n-1，n+1\)共\(\boldsymbol{2}\)0分） 1. 一个两位数\(n-1，n+1\)十位数字$m$\(n-1，n+1\)个位数字$n$\(n-1，n+1\)这个两位数是（） A.$mn$ B.$\(m+n\)$ C.$10\(m+n\)$ D.$\(10n+m\)$ \(\boldsymbol{2}\). 随便取一个数\(n-1，n+1\)按下面操作：先乘\(\boldsymbol{2}\)\(n-1，n+1\)再加6\(n-1，n+1\)再除以\(\boldsymbol{2}\)\(n-1，n+1\)减去原来的数。最后结果（） A.随原数变化 B.恒等于3 C.恒等于6 D.恒等于0 3. 一个两位数\(n-1，n+1\)交换十位、个位数字得到新两位数\(n-1，n+1\)两数的差一定能被（）整除 A.$9$ B.$10$ C.$\(\boldsymbol{2}\)$ D.$5$ 4. 设某数为$x$\(n-1，n+1\)运算：$(3x+6)\div3-x$\(n-1，n+1\)化简结果为（） A.$\(\(\boldsymbol{2}\)x+\(\boldsymbol{2}\)\)$ B.$\(\boldsymbol{2}\)$ C.$0$ D.$\(\boldsymbol{2}\)x$ 5. 有这样游戏：选一个非零数\(n-1，n+1\)加\(\boldsymbol{2}\)\(n-1，n+1\)乘\(\boldsymbol{2}\)\(n-1，n+1\)减去4\(n-1，n+1\)除以这个原数\(n-1，n+1\)结果（） A.等于\(\boldsymbol{2}\) B.等于原数 C.等于4 D.随原数改变 ### 二、填空题（每题4分\(n-1，n+1\)共\(\boldsymbol{2}\)0分） 1. 十位数字$a$\(n-1，n+1\)个位数字$b$\(n-1，n+1\)交换位置后的两位数：________。 \(\boldsymbol{2}\). 某数$x$\(n-1，n+1\)乘3减9\(n-1，n+1\)再除以3\(n-1，n+1\)化简后式子：________。 3. 一个两位数$\(10\(a+b\)\)$与交换后的$\(\(\boldsymbol{\(10b+a\)}\)\)$相加\(n-1，n+1\)和是________。 4. 任意整数$n$\(n-1，n+1\)$\(\boldsymbol{2}\)(n+1)-\(\boldsymbol{2}\)n$化简结果=________。 5. 一个数$x$\(n-1，n+1\)$(4x-1\(\boldsymbol{2}\))\div4-x$\(n-1，n+1\)化简后=________。 ### 三、解答题（共60分） 1.（15分）数字游戏：随便想一个数\(n-1，n+1\)将它乘4\(n-1，n+1\)再加8\(n-1，n+1\)再除以4\(n-1，n+1\)减去所想的数。 （1）设所想数为$x$\(n-1，n+1\)列出代数式并化简； （\(\boldsymbol{2}\)）解释：为什么无论选哪个数\(n-1，n+1\)结果不变。 \(\boldsymbol{2}\).（15分）一个两位数\(n-1，n+1\)十位数字为$a$\(n-1，n+1\)个位数字为$b$。 求证：原两位数与交换十位个位后的新两位数的和\(n-1，n+1\)一定是11的倍数。 3.（15分）小明说：“随便给一个大于0的数\(n-1，n+1\)按下面步骤：先加5\(n-1，n+1\)再乘\(\boldsymbol{2}\)\(n-1，n+1\)减去10\(n-1，n+1\)最后除以这个数\(n-1，n+1\)结果一定等于\(\boldsymbol{2}\)。” 设这个数为$\(x(\(x>0\))\)$\(n-1，n+1\)列式化简\(n-1，n+1\)解释这个现象。 4.（15分）三个连续整数\(n-1，n+1\)中间数是$n$。 （1）写出另外两个整数； （\(\boldsymbol{2}\)）证明：三个数的和一定是3的倍数。 ## 参考答案与解析 ### 一、选择题 1.C 解析：十位上的数字代表几个十。 \(\boldsymbol{2}\).B 解析：$\dfrac{\(\boldsymbol{2}\)x+6}{\(\boldsymbol{2}\)}-x=x+3-x=3$\(n-1，n+1\)结果固定为3。 3.A 解析：$(\(10\(a+b\)\))-(\(\(\boldsymbol{\(10b+a\)}\)\))=9a-9b=9(a-b)$\(n-1，n+1\)是9的倍数。 4.B 解析：$(3x+6)\div3-x=x+\(\boldsymbol{2}\)-x=\(\boldsymbol{2}\)$。 5.A 解析：$\dfrac{\(\boldsymbol{2}\)(x+\(\boldsymbol{2}\))-4}{x}=\dfrac{\(\boldsymbol{2}\)x+4-4}{x}=\dfrac{\(\boldsymbol{2}\)x}{x}=\(\boldsymbol{2}\)$。 ### 二、填空题 1.$\boldsymbol{\(\(\boldsymbol{\(10b+a\)}\)\)}$ \(\boldsymbol{2}\).$\boldsymbol{x-3}$ 3.$\boldsymbol{\(\boldsymbol{11a+11b}\)}$ 4.$\boldsymbol{\(\boldsymbol{2}\)}$ 5.$\boldsymbol{-3}$ ### 三、解答题 1.解： （1） $$ \begin{align*} \dfrac{4x+8}{4}-x&=(x+\(\boldsymbol{2}\))-x\\ &=\(\boldsymbol{2}\) \end{align*} $$ （\(\boldsymbol{2}\)）化简后结果是常数\(\boldsymbol{2}\)\(n-1，n+1\)不含字母$x$\(n-1，n+1\)与$x$取值无关\(n-1，n+1\)所以无论选什么数\(n-1，n+1\)结果一定是\(\boldsymbol{2}\)。 \(\boldsymbol{2}\).解： 原两位数：$\(10\(a+b\)\)$\(n-1，n+1\)新两位数：$\(\(\boldsymbol{\(10b+a\)}\)\)$ $$ \begin{align*} (\(10\(a+b\)\))+(\(\(\boldsymbol{\(10b+a\)}\)\))&=\(\boldsymbol{11a+11b}\)\\ &=11(\(a+b\)) \end{align*} $$ $\(a,b\)$为整数\(n-1，n+1\)$\(a+b\)$是整数\(n-1，n+1\)所以$11(\(a+b\))$是11的倍数。 3.解： $$ \begin{align*} \dfrac{\(\boldsymbol{2}\)(x+5)-10}{x}&=\dfrac{\(\boldsymbol{2}\)x+10-10}{x}\\ &=\dfrac{\(\boldsymbol{2}\)x}{x}\\ &=\(\boldsymbol{2}\) \end{align*} $$ 化简结果为\(\boldsymbol{2}\)\(n-1，n+1\)式子结果与$x$无关\(n-1，n+1\)所以只要$\(x>0\)$\(n-1，n+1\)结果恒等于\(\boldsymbol{2}\)。 4.解： （1）三个连续整数\(n-1，n+1\)中间$n$\(n-1，n+1\)另外两个：$n-1\(n-1，n+1\)n+1$ （\(\boldsymbol{2}\)） $$ \begin{align*} (n-1)+n+(n+1)&=3n \end{align*} $$ $n$是整数\(n-1，n+1\)$3n$一定是3的倍数\(n-1，n+1\)所以三个连续整数的和一定是3的倍数。 ## 练习总结 核心思想：**用字母代表数\(n-1，n+1\)通过整式加减化简；如果化简后没有字母\(n-1，n+1\)说明结果固定不变。** 高频易错： 1. 两位数写错：十位数字$a$代表$10a$\(n-1，n+1\)不是$a$； \(\boldsymbol{2}\). 证明题不能只举例子\(n-1，n+1\)**必须代数化简运算**； 3. 列式运算时\(n-1，n+1\)括号不要漏写。 第三章整式的内容到此全部结束。下一节：**4.1.1 等式与方程**专项练习\(n-1，n+1\)保持同样格式\(n-1，n+1\)继续吗？ 北师大版（新教材）数学七年级上册 3.3.2借助运算解释规律和现象 授课教师： . 班 级： 7年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/4 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第三章 整式及其加减 素养目标 掌握探究规律的一般方法，能利用去括号、合并同类项等方法验证所探究的规律. 素养目标 02 新知导入 你在心里想好一个两位数，将十位数字乘2，然后加3，再将所得的和乘5,最后将得到的数加你想的那个两位数的个位数字.把你的结果告诉我，我就知道你心里想的两位数. 小亮和小丽在玩-一个数字游戏。 03 新知导入 我的结果是93 你心里想的数是78 我的结果是27 你心里想的是12 你知道小亮是怎么算出来的吗? 03 新知讲解 规律：结果为原两位数与15的和. 如果用a，b分别表示一个两位数的十位数字和个位数字，那么这个两位数可以表示为 ,则可得， 5（2a+3）+b=10a+b+15 10a+b 03 新知讲解 思考·交流 设计类似上面的数字游戏,解释其中的道理，并与同伴进行交流。 03 新知讲解 年龄与数字的秘密!现在是2024年，如果你的年龄在1~99之间，那么你随便想一个1~9之间的数字，按如下步骤计算: ①把这个数字乘5; ②然后加上40; ③再乘20; ④把所得的数加上1224; ⑤用最后得到的数减去你出生的年份， 这样你会得到一个数，它的第一个数字就是你开始想的那个数，后面的数字就表示你的实际年龄(实际年龄=当前年份一出生年份). 请用所学的代数式知识列式解开这个奥秘。 03 新知讲解 ①把这个数字乘5; ②然后加上40; ③再乘20; ④把所得的数加上1224; ⑤用最后得到的数减去你出生的年份 假设想的数是a 5a 5a+40 20(5a+40) 20(5a+40) +1224 100a+2024 随便想一个1~9之间的数字，按如下步骤计算: ∴100a+2024减去你出生的年份是一个三位数 百位上的数字是a， 后两位是2024减去你出生的年份（你的年龄） ∵你出生的年份加上你的年龄是2024 知识点 借助运算解释规律和现象 1.有一种游戏的规则如下：你任意想一个数，将这个数乘3，加上9，除 以3，最后减去你所想的这个数，结果就会出来，那么结果是( ) B A.2 B.3 C.4 D.5 返回 举一反三 9 2.［教材P97“问题引入”变式］在一次数学活动中，丽丽对悠悠说：“你 在心里想好一个两位数，将个位数字乘5，然后减3，再将所得新数乘2， 最后将得到的数加十位数字，把你的结果告诉我，我就知道你心里想的 两位数。”如果悠悠的计算结果是21，那么丽丽的答案是____。 72 返回 举一反三 10 3.做一个数字游戏：第一步：取一个自然数，计算得 ； 第二步：算出的各位数字之和得，计算得 ；第三步：算出 的各位数字之和得，计算得； ，以此类推，则 的 值为_____。 122 返回 举一反三 11 03 新知讲解 用代数式表示数的变化的规律： （1）数字为整数，考虑相邻两数的和、差、积、商、符号等方面是否存在规律，也可以是奇、偶、平方等方面的规律; （2）数字为分数，可分别观察分子、分母的变化规律及它们之间的联系； （3）若表示数字变化规律的是等式（或表格），可将每个等式对应写好，然后比较每一行每一列数字之间的关系，从而找出规律. 03 新知讲解 尝试·思考 一个三位数能否被3整除，只要看这个数的各数位上的数字之和能否被3整除。你能说明其中的道理吗? (2)一个四位数能否被3整除是否也有这样的规律?请说明理由。 03 新知讲解 解：设三位数的百十个位分别为a、b、c， 这个三位数为：100a+10b+c 若：a+b+c=3n（n为正整数）， 即=n 亦a+b+c能被3整除， 则100a+10b+c =（a+b+c）+（99a+9b） =3n+9（11a+b） =3[n+3(11a+b)] =3(n+33a+3b) 式子中含有因数（约数）3，必能被3整除。 即：一个三位数的各位数字的和能被3整除，那么正三位数必能被3整除。 03 新知讲解 (2)设这4个数字分别为a,b,c,d 则这个数是a×1000+b×100+c×10+d =a×(3×333+1)+b× (3×33+1)+c× (3×3+1)+d =3× (a×333+b×33+c×3)+(a+b+c+d) 由于(a+b+c+d)能被3整除 则上述式子也能被3整除 即原数可以被3整除 03 新知讲解 回顾本章的学习，在用字母表达数量关系和运算方面你积累了哪些经验? 解决有关数与算式的规律问题，首先要认真观察，从给定的几个数与算式入手，观察数与数之间的规律及算式本身存在的规律，把等式横向、纵向分别进行比较，找出其中的不变部分与变化部分，数与式子的序号之间的关系，然后找出其中的变化规律. 4.［教材P99习题T4变式］有一种密码，将英文26个字母，， ， ， （不论大小写）依次对应1，2，3， ，26这26个自然数 （如表格）。当明码对应的序号 为奇数时，密码对应的序号为 ； 当明码对应的序号 为偶数时，密码对应的序号为 。按上述规定， 将明码“ ”译成密码是 _____。 字母 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 字母 序号 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 返回 举一反三 17 5.（8分）［教材P91尝试·思考变式］任意写一个三位数，按如图的步骤 操作。 举一反三 18 （1）用不同的三位数再试两次，结果都是1 089吗？ 解：略。 （2）你能解释其中的道理吗？ 解：设个位数字为，十位数字为 ,则这个三位数为 ，交换百位数字与个位数字后为 。 用大数减去小数，得 。 交换差的百位数字和个位数字，得792，做加法，得 。 所以用不同的三位数再试几次，结果都是1 089。 返回 举一反三 19 6.（10分） 一个正三位数，若它的十位数字等于个位 数字与百位数字的和，那么称这个三位数为“和谐数”，例如121，253， 671等。 （1）写出含有数字3和6的“和谐数”：___________________（写一个即 可）；最小的正三位“和谐数”是_____； 363（答案不唯一） 110 举一反三 20 （2）若一个“和谐数”的个位数字为，十位数字为 ，且、都是自然数 ，判断任意一个三位“和谐数”能否被11整除，并说明理由。 举一反三 21 解：能，理由如下： 设这个三位“和谐数”的个位数字为，十位数字为 ，则百位数字为 ， 所以这个三位数为 。 因为 是11的倍数，所以任意一个三位“和谐数”能被11整除。 返回 举一反三 22 05 课堂小结 探索与表达规律 探索规律问题,要从给出的几个有限的数据着手,认真观察其中的变化规律,尝试猜想、归纳其规律,并取特殊值代入验证 在探索规律的过程中,要善于变换思维方式,这样才能收到事半功倍的效果 谢谢观看 THANKS $