精品解析：广西壮族自治区崇左市天等县福新镇初级中学2026-2027学年九年级上学期9月阶段检测数学试题

2026学年福新镇初级中学九年级数学上册月考测试卷 （满分120分，时间120分钟） 一、选择题（共12小题，每题3分，共36分在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合要求，请考生用2B铅笔在答题卡选定的答案标号涂黑）． 1. 一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别为（ ） A. 1，2 B. 1，3 C. 1， D. 1， 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的一般形式是，它的特征是等号左边是一个关于未知数的二次多项式，等号右边是0．其中是二次项，a是二次项系数；是一次项，b是一次项系数；c是常数项，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴二次项系数是1，一次项系数是， 故选D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，要注意任何一个一元二次方程经过整理都能化成一般形式，在判断一个方程是不是一元二次方程时，要先化成一般形式，再判断． 2. 若关于的一元二次方程有一个根为1，则的值为（ ） A. 3 B. 0 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把代入，转化为m的方程求解即可．本题考查了方程根的定义即使方程左右两边相等的未知数的值，转化求解是解题的关键． 【详解】把代入， 得， 解得， 故选A． 3. 关于x的一元二次方程中，则该一元二次方程根的情况为（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法判断 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 先计算判别式的值，再利用根据判别式的意义进行判断即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程中，，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 4. 已知关于x的方程有两个实数根，则a的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】方程有两个实数根，说明方程为一元二次方程，因此二次项系数不为0，同时根据一元二次方程根的判别式非负列不等式求解，即可得到a的取值范围． 【详解】解：∵方程有两个实数根， ∴，， ∴的取值范围是且． 5. 若关于的一元二次方程中的，，满足，则方程必有根（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据方程根的定义，只需将选项中的值代入方程左边，验证是否能得到的形式，结合已知条件，即可判断方程必有的根． 【详解】解：当时，代入方程左边得： ， ， 满足方程，因此方程必有一根为． 6. 设、是关于的方程的两个根，且，则的值是（　　） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，先根据两根之和结合求出两个根，再通过两根之积计算的值，即可选出正确选项． 【详解】解：∵、是方程的两个根， ∴根据一元二次方程根与系数的关系可得 ，， 又∵， ∴， 解得， ∴， ∴． 7. 已知三角形两边长分别为6和8，第三边长是方程的解，则这个三角形的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先解一元二次方程得到第三边的可能值，结合三角形三边关系排除不符合的边长，再计算周长得到结果． 【详解】解：解方程， 因式分解得， 解得，， ∵三角形边长为正数， ∴舍去负根，得第三边长为， ∵，符合三角形三边关系， ∴三角形周长为． 8. 已知一元二次方程的两根为，，一元二次方程的两根为，，则值是（ ） A. 1 B. C. 5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用一元二次方程根与系数的关系，从第一个方程得到两根和与两根积，再对第二个方程利用根与系数的关系得到的表达式，代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为，， ∴根据根与系数的关系可得，， ∵一元二次方程的两根为，， ∴两根之积满足， ∴． 9. 为丰富职工文化生活，东营区举办职工篮球友谊赛，每两支参赛队伍之间都要进行一场比赛，累计比赛36场．设共有x个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据单循环比赛的规则，计算总比赛场数列方程，用到的是计数去重的思路，即可得到符合题意的方程． 【详解】解：依题意，共有个队参赛，每两支队伍之间赛一场，每支队伍需要和除自身外的支队伍比赛， 又∵ 两队之间进行一场比赛， ∴ 实际总比赛场数为， 已知总比赛为36场， 因此列方程得，符合题意的为选项A. 10. 已知关于x的一元二次方程（m，h，k均为常数且）的解是，，则关于x的一元二次方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题利用一元二次方程根的性质求出，再将代入新方程即可求解． 【详解】解：由题意，关于x的一元二次方程有解， 解方程得， ∵一元二次方程（）的解是，， ∴，， ∴， 将，代入原方程得， 对于方程， 整理得：， 代入得 ， 解得，． 11. 对于任意实数m、n，定义新运算，，例如：，则方程的根是（ ） A. B. C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了新定义，以及解一元二次方程，根据新运算的定义，将方程转化为一元二次方程，然后求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴或， ∴或， 故方程根为． 故选：C． 12. 对于一元二次方程，根据求根公式为（其中），可以推导两根之差的绝对值的表达式．若有两个实数根，．则能够满足的m的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】先推导一元二次方程两根之差的绝对值公式，再结合题目条件列出关于的方程，同时根据方程有两个实数根确定判别式的取值范围，求解后得到符合条件的的值． 【详解】解：对于一元二次方程，由求根公式，得 ， ∵方程有两个实数根，． ． 由，得 解得， ，符合条件． 二、填空题（本大题共4题小题，每题3分，共12分）． 13. 已知一元二次方程，将其化成二次项系数为正数的一般形式后，它的常数项是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，需将方程化为二次项系数为正的一般形式后确定常数项． 【详解】解：展开方程，得． 由于二次项系数为负，方程两边乘以，得． 因此常数项为． 故答案为：． 14. 若关于的一元二次方程的一个根是10，则另一个根是________． 【答案】 【解析】 【分析】利用因式分解法解一元二次方程，先得到方程的两个根，再结合已知一个根为，即可求出另一个根 ． 【详解】解：已知方程为 得 或 ， 解得，， 方程的一个根是，  ， 因此方程的另一个根为2． 15. 某校要在边长为的正方形空地上建造一个劳动实践基地（图中阴影部分），保证该基地四周小路的宽度相等，且该基地的面积为，则小路的宽度为__________m． 【答案】1 【解析】 【分析】设小路的宽度为，劳动实践基地的边长为，根据正方形的面积公式列方程即可． 【详解】解：设小路的宽度为，劳动实践基地是边长为的正方形，其面积为， 则可列方程：， 解得或（舍去）， ∴小路的宽度为． 16. 新定义定义新运算：，例如： ，则方程 的解为_________． 【答案】， 【解析】 【分析】本题属于新定义运算题目，考查一元二次方程的解法，根据新定义的运算规则将原方程整理为标准一元二次方程，再利用因式分解法求解即可． 【详解】解： ，且 ， ， 整理得 ， 因式分解得 ， 即 或 ， 解得 ，． 三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答时要求在答题卡对应的区域内写出文字说明、证明过程或运算步骤）． 17. 解一元二次方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解； （2）根据公式法解一元二次方程，即可求解． 【小问1详解】 解：， 或， ，； 【小问2详解】 解：，其中，，， 则， 原方程有两个不相等的实数根， ， ，． 18. 已知，是两个不相等的实数，且满足，． （1）求式子的值； （2）若与两数异号，求实数k的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可知，可看成方程的两个根，利用根与系数的关系求出两根之和即可； （2）根据方程有两个不相等的实数根得到判别式，再结合，求出实数k的取值范围． 【小问1详解】 解：由题意可知，，可看成方程的两个根， 由根与系数的关系得：； 【小问2详解】 解：方程有两个不相等的实数根， 判别式, 解得, 与两数异号, , 解得, 综上所述，的取值范围是． 19. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）若，该方程的两个实数根分别为，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握它们的性质是解本题的关键． （1）根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，求出m的范围即可； （2）利用根与系数的关系得出，代入得，根据即可求出答案． 【小问1详解】 解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得：； 【小问2详解】 解：由题意得：， ， ， ． 20. 已知关于的一元二次方程有两个实数根和． （1）求实数的取值范围； （2）若两个实数根和满足，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和韦达定理，熟练掌握根的判别式的意义和韦达定理的内容是解题的关键． （1）根据一元二次方程根的判别式，当时方程有两个实数根，据此列不等式求的取值范围； （2）利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），求出和的值，代入已知等式求解，再结合（1）中的范围确定最终值． 【小问1详解】 解：∵ 方程是一元二次方程，且有两个实数根， ∴ ， ， ， ； 【小问2详解】 解：∵ 对于方程，根据韦达定理，，， 又∵ ， ∴ ， 解得， ∵ ，符合（1）中的取值范围， ∴ ． 21. 如图，一面靠墙（墙的长度不限），另三面用篱笆围成了一个矩形场地，篱笆总长为32m． （1）若围成一个面积为的矩形场地，求矩形场地的长和宽； （2）能围成一个面积为的矩形场地吗？如果能，请求出矩形场地的长和宽；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）长为14m，宽为4m （2） 不能，理由如下： 设垂直于墙的边长为，则平行于墙的边长为， 依题意，得：， 整理得：， ∵， ∴不能围成一个面积为的矩形场地． 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用及根的判别式，这类问题要注意不要设长宽，要设垂直于墙面的边或者平行于墙面的边. （1）根据题意列出一元二次方程，求解即可； （2）根据题意列出以面积作等量的一元二次方程，计算△的值，通过△的值判定有无解，来确定结果即可． 【小问1详解】 解：设垂直于墙的边长为xm，则平行于墙的边长为，依题意得：， 解得：， ， 答：矩形场地的长为14m，宽为4m． 【小问2详解】 略 22. “我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2023年的32万人增加到2025年的50万人． （1）求该市参加健身运动人数的年均增长率； （2）为支持市民的健身运动，市政府决定从A公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1400元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于998元．已知市政府向该公司支付货款20万元，求购买的这种健身器材的套数． 【答案】（1） （2）套 【解析】 【分析】（1）本题为增长率问题，设年均增长率为，利用两年后人数等于初始人数乘以增长率的平方列一元二次方程，舍去不符合题意的负根即可得到结果． （2）先判断购买套数超过100套，再根据优惠规则表示出每套售价，结合总货款列一元二次方程，求解后根据最低售价要求舍去不符合题意的解，即可得到最终结果． 【小问1详解】 解：设该市参加健身运动人数的年均增长率为，由题意得， 解得，(不符合题意，舍去)， 答∶该市参加健身运动人数的年均增长率为． 【小问2详解】 解∶(元)， 购买的健身器材套数大于100套， 设购买的健身器材套数为套， 根据题意，每套售价为， 列方程得， 整理得， 解得， 当时，每套售价为元，，符合题意， 当时，每套售价为元，，不符合题意，舍去， 若每套售价最低为998元，购买总套数不是正整数，不符合实际，该情况不存在， 综上所述，购买的这种健身器材的套数为200套， 答∶购买的这种健身器材的套数为200套． 23. 【阅读材料】 材料1：一元二次方程的两个根有如下的关系： 材料2：有些数学问题看似与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识将其解决． 下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造．例如，如果实数满足，且，则可将看作是方程的两个不相等的实数根． 方法2：利用根与系数的关系逆向构造．例如，如果实数满足，则可以将看作是方程的两实数根． 根据上述材料解决下面问题： （1）已知一元二次方程的两根，则___________，___________； （2）已知实数满足，且，求的值； （3）已知实数满足，且，求的最大值． 【答案】（1）2， （2） （3）1 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，，也考查了判别式的意义，熟练掌握相应知识是解题的关键． （1）根据一元二次方程的根与系数的关系即可得结论； （2）可以看作是方程的两根，利用根与系数的关系即可求解； （3）将看作是方程的两实数根，利用判别式的意义即可求解． 【小问1详解】 解：由一元二次方程的根与系数的关系可得，，． 故答案为：2，． 【小问2详解】 解：∵，实数满足，， ∴可看作方程的两根， ∴， ∴原式 ∴原式的值为． 【小问3详解】 解：∵， ∴将看作是方程的两实数根； ∴，且， ∴， ∴， 解得， ∴的最大值为1． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年福新镇初级中学九年级数学上册月考测试卷 （满分120分，时间120分钟） 一、选择题（共12小题，每题3分，共36分在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合要求，请考生用2B铅笔在答题卡选定的答案标号涂黑）． 1. 一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别为（ ） A. 1，2 B. 1，3 C. 1， D. 1， 2. 若关于的一元二次方程有一个根为1，则的值为（ ） A. 3 B. 0 C. D. 3. 关于x的一元二次方程中，则该一元二次方程根的情况为（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法判断 4. 已知关于x的方程有两个实数根，则a的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 5. 若关于的一元二次方程中的，，满足，则方程必有根（ ） A. B. C. D. 6. 设、是关于的方程的两个根，且，则的值是（　　） A. 2 B. 4 C. D. 7. 已知三角形两边长分别为6和8，第三边长是方程的解，则这个三角形的周长是（ ） A. B. C. D. 8. 已知一元二次方程的两根为，，一元二次方程的两根为，，则值是（ ） A. 1 B. C. 5 D. 9. 为丰富职工文化生活，东营区举办职工篮球友谊赛，每两支参赛队伍之间都要进行一场比赛，累计比赛36场．设共有x个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知关于x的一元二次方程（m，h，k均为常数且）的解是，，则关于x的一元二次方程的解是（ ） A. B. C. D. 11. 对于任意实数m、n，定义新运算，，例如：，则方程的根是（ ） A. B. C. ， D. ， 12. 对于一元二次方程，根据求根公式为（其中），可以推导两根之差的绝对值的表达式．若有两个实数根，．则能够满足的m的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 二、填空题（本大题共4题小题，每题3分，共12分）． 13. 已知一元二次方程，将其化成二次项系数为正数的一般形式后，它的常数项是________． 14. 若关于的一元二次方程的一个根是10，则另一个根是________． 15. 某校要在边长为的正方形空地上建造一个劳动实践基地（图中阴影部分），保证该基地四周小路的宽度相等，且该基地的面积为，则小路的宽度为__________m． 16. 新定义定义新运算：，例如： ，则方程 的解为_________． 三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答时要求在答题卡对应的区域内写出文字说明、证明过程或运算步骤）． 17. 解一元二次方程： （1）； （2）． 18. 已知，是两个不相等的实数，且满足，． （1）求式子的值； （2）若与两数异号，求实数k的取值范围． 19. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）若，该方程的两个实数根分别为，求的值． 20. 已知关于的一元二次方程有两个实数根和． （1）求实数的取值范围； （2）若两个实数根和满足，求的值． 21. 如图，一面靠墙（墙的长度不限），另三面用篱笆围成了一个矩形场地，篱笆总长为32m． （1）若围成一个面积为的矩形场地，求矩形场地的长和宽； （2）能围成一个面积为的矩形场地吗？如果能，请求出矩形场地的长和宽；如果不能，请说明理由． 22. “我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2023年的32万人增加到2025年的50万人． （1）求该市参加健身运动人数的年均增长率； （2）为支持市民的健身运动，市政府决定从A公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1400元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于998元．已知市政府向该公司支付货款20万元，求购买的这种健身器材的套数． 23. 【阅读材料】 材料1：一元二次方程的两个根有如下的关系： 材料2：有些数学问题看似与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识将其解决． 下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造．例如，如果实数满足，且，则可将看作是方程的两个不相等的实数根． 方法2：利用根与系数的关系逆向构造．例如，如果实数满足，则可以将看作是方程的两实数根． 根据上述材料解决下面问题： （1）已知一元二次方程的两根，则___________，___________； （2）已知实数满足，且，求的值； （3）已知实数满足，且，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $