4.3 用一元一次方程解决问题（第 3 课时 利用公式、性质、规律等构建等量关系）教学设计 2026-2027学年苏科版七年级数学上册

苏科版七年级数学上册教学设计 课 题 4.3 用一元一次方程解决问题（第3课时 利用公式、性质、规律构建等量关系） 上课时间 主备人：__________ 执教老师：__________ 学情分析 七年级学生已经学习了一元一次方程的解法，并在比例分配、行程、销售盈亏等问题中积累了“找等量关系列方程”的经验。但本课时面对的问题，等量关系不直接以文字形式出现，而是藏在几何公式、数字表示规律、等积变形原理和配套关系之中，学生存在以下困难：一是等积变形问题中想不到“形变积不变”；二是两位数、三位数问题不会用“十位×10＋个位”表示原数；三是配套问题中搞不清“几个螺钉配几个螺母”的倍数方向；四是日历问题看不出相邻日期之间的差数规律。教学中应借助实物演示、列表分析、画图等方式，帮助学生从公式和规律中提炼等量关系。 基于前几课时方程建模经验，聚焦“从公式、规律中找等量关系”，预判等积变形、数位表示、配套倍数三类困难。 教学目标 1. 知识与技能：能利用几何公式（周长、面积、体积）、数位表示规律、等积变形原理、配套关系、日历数字规律等构建一元一次方程，解决实际问题。 2. 过程与方法：经历“审题→找公式或规律→设未知数→列方程→检验”的过程，提高从公式和规律中提炼等量关系的能力，体会建模思想。 3. 情感态度与价值观：在解决等积变形、数字游戏、日历探秘等问题中感受数学的趣味性和实用性；通过小组合作，养成规范书写、认真检验的学习习惯。 三维目标紧扣“公式/规律即等量关系”核心，突出建模思想和数学趣味性。 教学 重、难点 教学重点：从几何公式、数位规律、等积变形、配套关系中找等量关系列一元一次方程。 教学难点：等积变形中“形变积不变”的理解与运用；两位数的代数表示；配套问题中倍数关系的方向（谁是谁的几倍）。 重点落在“从公式规律找等量”；难点锁定“等积不变”与“配套倍数方向”。 教学准备 多媒体课件、圆柱形橡皮泥（或超轻黏土）、日历卡片、导学案 课时安排：1 课时 （一）创设情境，引入新知（约 5 分钟） 教学 活动 1. 情境演示：教师拿出一块棱长为 4 cm 的正方体橡皮泥，当众捏成一个长 8 cm、宽 4 cm 的长方体。 提问：形状变了，什么没有变？（体积没变） 2. 追问：你能列方程求出这个长方体的高吗？ 设高为 h cm。捏前体积＝捏后体积： 3. 教师引导：刚才我们用到的等量关系，不是题目文字直接给的，而是从“体积公式”和“形变积不变”这个规律中找到的。今天我们就学习——利用公式、性质、规律构建等量关系。 用橡皮泥捏形演示“形变积不变”，直观引入等积变形，激发兴趣。 （二）合作探究，建构方法（约 12 分钟） 探究 活动1 活动1 基本模型——等积变形（体积不变） 问题：用直径为 4 cm 的圆钢，铸造 3 个直径为 2 cm、高为 16 cm 的圆柱形零件。问需要截多长的圆钢？（不计损耗） 分析：锻造前后钢材体积不变。圆钢是圆柱体，底面积＝πr²。 设需要截 x cm 长的圆钢。圆钢半径 2 cm，零件半径 1 cm。 圆钢体积＝3 个零件体积： 答：需要截 12 cm 长的圆钢。 方法提炼：等积变形问题——变形前体积＝变形后体积，即 V前＝V后。 活动1建立“V前=V后”等积变形模型，注意约去π简化计算。 探究 活动2 活动2 基本模型——周长不变（铁丝围图形） 问题：用一根长 60 cm 的铁丝围成一个长方形，使长是宽的 1.5 倍。求长方形的长和宽。 分析：铁丝长度就是长方形的周长，周长公式 C＝2（长＋宽）。 设宽为 x cm，则长为 1.5x cm。 长：1.5×12＝18（cm）。 答：长方形长 18 cm，宽 12 cm。 方法提炼：围铁丝问题——铁丝总长＝图形周长，套用周长公式列方程。 活动2从周长公式入手，体会“周长即等量关系”，注意设宽为 x、长用 1.5x 表示。 探究 活动3 活动3 难点突破——数字问题（数位表示） 问题：一个两位数，十位数字与个位数字之和是 7。把十位数字与个位数字交换后，所得新数比原数大 27。求原数。 分析：两位数怎么表示？若十位是 a、个位是 b，则原数＝10a＋b，不是 a＋b！ 设个位数字为 x，则十位数字为 7−x。 原数＝10（7−x）＋x＝70−9x；新数＝10x＋（7−x）＝9x＋7。 根据“新数比原数大 27”列方程： 十位数字：7−5＝2。原数为 25。 检验：交换后为 52，52−25＝27，符合题意。 方法提炼：数字问题——两位数＝10×十位数字＋个位数字；连续整数设中间数为 x，左右对称表示。 活动3突破数位表示难点，强调“两位数=10a+b”而非a+b，交换后要重新表示。 （三）典例剖析，深化理解（约 15 分钟） 例 1 等积 变形 例1 将一个棱长为 6 cm 的正方体橡皮泥，捏成一个长 12 cm、宽 6 cm 的长方体。求这个长方体的高。 分析：形状改变，体积不变。正方体体积＝棱长³，长方体体积＝长×宽×高。 设长方体的高为 h cm。 答：这个长方体的高为 3 cm。 检验：12×6×3＝216＝6³，体积相等，正确。 例1是最基础的等积变形，正方体捏成长方体，直接套体积公式。 例 2 周长 围场 例2 某农户想用篱笆靠墙围一个长方形养鸡场（墙足够长），篱笆总长为 35 m。已知长比宽多 5 m。求养鸡场的长和宽。 分析：靠墙的一边不需要篱笆。设宽为 x m，则长为（x＋5）m。 情况一：长平行于墙，篱笆＝2×宽＋长 长＝15 m。但墙只有 14 m 长，15＞14，不合理，舍去。 情况二：宽平行于墙，篱笆＝2×长＋宽 长＝25/3＋5＝40/3 ≈ 13.3（m）＜14 m，合理。 答：养鸡场长为 40/3 m，宽为 25/3 m。 注意：实际问题中求出解后必须检验是否符合实际意义（如墙长限制）。 例2结合实际墙长限制，需分类讨论长边靠墙还是宽边靠墙，培养检验意识。 例 3 连续 数 例3 三个连续偶数之和为 48，求这三个偶数。 分析：连续偶数之间相差 2。设中间的偶数为 x，则前一个为 x−2，后一个为 x＋2。 三个数分别为：16−2＝14，16，16＋2＝18。 检验：14＋16＋18＝48，正确。 答：这三个连续偶数为 14、16、18。 方法提炼：连续整数（或连续偶数、连续奇数）问题，设中间数为 x，前后分别为 x−d、x＋d，相加时常数项抵消，计算简便。 例3设中间数为x，利用对称抵消简化计算，这是连续数问题的通用技巧。 例 4 配套 问题 例4 某车间有 22 名工人，生产螺钉和螺母。每人每天平均生产螺钉 1200 个或螺母 2000 个，一个螺钉要配两个螺母。为了使每天生产的产品刚好配套，应该分配多少名工人生产螺钉，多少名工人生产螺母？ 分析：1 个螺钉配 2 个螺母，即螺母总数＝螺钉总数的 2 倍。 设分配 x 名工人生产螺钉，则（22−x）名工人生产螺母。 螺钉总数＝1200x，螺母总数＝2000（22−x）。 生产螺母人数：22−10＝12（名）。 检验：螺钉 1200×10＝12000，螺母 2000×12＝24000，24000＝2×12000，刚好配套。 答：应分配 10 名工人生产螺钉，12 名工人生产螺母。 例4是经典配套问题，关键等量关系“螺母=2×螺钉”，注意倍数方向不要写反。 例 5 日历 问题 例5 在某张月历上，同一竖列相邻三个日期之和为 45。求这三个日期。 分析：月历中，同一竖列相邻两个日期相差 7（一周 7 天）。设中间的日期为 x，则上面一个为 x−7，下面一个为 x＋7。 三个日期分别为：15−7＝8，15，15＋7＝22。 检验：8＋15＋22＝45，正确；且 8、15、22 在月历上确实同列相邻。 答：这三个日期分别为 8 号、15 号、22 号。 方法提炼：日历问题——横排相邻差 1，竖列相邻差 7；设中间数为 x，利用对称抵消。 例5是日历数字规律问题，竖列差7，横排差1，设中间数简化计算。 （四）分层练习，巩固提升（约 8 分钟） 基础题 全员必做 1. 一个圆柱的底面半径为 5 cm，体积为 100π cm³。求这个圆柱的高。 【解答】设高为 h cm。由圆柱体积公式 V＝πr²h： 【答案】这个圆柱的高为 4 cm。 2. 用长为 40 cm 的铁丝围成一个长方形，长比宽多 4 cm。求这个长方形的面积。 【解答】设宽为 x cm，则长为（x＋4）cm。 长＝12 cm，面积＝12×8＝96（cm²）。 【答案】长方形面积为 96 cm²。 3. 三个连续整数之和为 36，求这三个整数。 【解答】设中间整数为 x，则三个数为 x−1、x、x＋1。 【答案】这三个整数为 11、12、13。 4. 在月历上，同一横排相邻三个日期之和为 30。求这三个日期。 【解答】横排相邻差 1。设中间日期为 x，则三个数为 x−1、x、x＋1。 【答案】这三个日期为 9 号、10 号、11 号。 基础题覆盖圆柱体积、长方形周长面积、连续整数、日历横排四种基本类型，每题均附完整解答。 提升题 小组合作 5. 用直径为 200 mm 的圆柱形钢柱（足够高）锻造一个长 300 mm、宽 300 mm、高 100 mm 的长方体毛坯。应截取多长的钢柱？（π 取 3.14，结果精确到 1 mm） 【解答】设截取钢柱长 x mm。钢柱半径 100 mm，体积不变： 【答案】应截取约 287 mm 长的钢柱。 6. 一个三位数，三个数位上的数字之和是 14。百位数字是十位数字的 2 倍，个位数字比十位数字大 2。求这个三位数。 【解答】设十位数字为 x，则百位数字为 2x，个位数字为（x＋2）。 百位＝6，十位＝3，个位＝5。这个三位数为 635。 检验：6＋3＋5＝14，6＝2×3，5＝3＋2，正确。 【答案】这个三位数为 635。 7. 用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身 25 个或制盒底 40 个，一个盒身与两个盒底配成一套。现有 36 张白铁皮，用多少张制盒身、多少张制盒底可以使盒身与盒底正好配套？ 【解答】设用 x 张制盒身，则（36−x）张制盒底。盒底数量＝盒身数量的 2 倍。 制盒底：36−16＝20（张）。 检验：盒身 25×16＝400，盒底 40×20＝800，800＝2×400，配套。 【答案】用 16 张制盒身，20 张制盒底。 提升题第5题圆柱锻长方体、第6题三位数、第7题罐头盒配套，供小组合作完成。 拓展题 学有余力 8. 一个两位数，十位数字比个位数字大 3。把十位数字与个位数字交换位置后，所得新数与原数之和为 121。求原来的两位数。 【解答】设个位数字为 x，则十位数字为（x＋3）。 原数＝10（x＋3）＋x＝11x＋30；新数＝10x＋（x＋3）＝11x＋3。 十位数字＝7，个位数字＝4。原数为 74。 检验：交换后为 47，74＋47＝121，符合题意。 【答案】原来的两位数为 74。 9. 小明在日历上圈出一个数，发现这个数的上、下、左、右四个日期之和为 80。求小明圈出的是几号。 【解答】设小明圈出的日期为 x 号。上面日期为 x−7，下面为 x＋7，左面为 x−1，右面为 x＋1。 检验：上面 13，下面 27，左面 19，右面 21；13＋27＋19＋21＝80，正确；且 20 号四周都有日期，合理。 【答案】小明圈出的是 20 号。 拓展题第8题两位数交换求和、第9题日历十字框四数之和，供学有余力的学生挑战。 （五）课堂小结，深化认知（约 3 分钟） 课堂 小结 1. 知识梳理：利用公式、性质、规律构建等量关系的常见类型—— （1）等积变形：形变积不变，即 V前＝V后（圆柱 V＝πr²h，长方体 V＝abc，正方体 V＝a³）； （2）几何公式：周长 C＝2（a＋b），面积 S＝ab，套公式列方程； （3）数字问题：两位数＝10×十位＋个位，三位数＝100×百位＋10×十位＋个位； （4）连续数问题：设中间数为 x，前后对称表示，相加时常数项抵消； （5）配套问题：按配套倍数列方程，注意倍数方向（如螺母＝2×螺钉）； （6）日历问题：横排相邻差 1，竖列相邻差 7。 2. 方法总结：解这类问题的关键—— “审题先找公式和规律，设好未知数再列式；求出结果要检验，实际意义不能忘”。 3. 思想提炼：方程思想、建模思想、转化思想（把实际问题转化为方程）。 从六类问题、方法口诀、数学思想三个层面收束课堂，强调检验实际意义。 板书设计 4.3 用一元一次方程解决问题（第3课时 利用公式、性质、规律） 一、等积变形：V前＝V后 圆柱 V＝πr²h 长方体 V＝abc 正方体 V＝a³ 二、几何公式 周长 C＝2（a＋b） 面积 S＝ab 三、数字问题 两位数＝10a＋b 三位数＝100a＋10b＋c 四、配套问题：螺母＝2×螺钉 五、日历规律：横排差1，竖列差7 六、例题板演 例1（等积变形） 例2（周长围场） 例3（连续偶数） 例4（配套问题） 例5（日历竖列） 教学反思 1. 用橡皮泥演示等积变形效果直观，学生很容易理解“形变积不变”，但独立列方程时仍有部分学生忘记约去 π，教学中应强调等式两边都有 π 时可以约去。 2. 数位表示是本课时难点，约有三分之一的学生把两位数写成“十位＋个位”而非“10×十位＋个位”，下节课应补充数位值的专项练习。 3. 配套问题中倍数方向易错，部分学生写成“螺钉＝2×螺母”，教学中应通过实物或示意图让学生直观看到“一个螺钉配两个螺母”意味着螺母多、螺钉少。 4. 例2靠墙围养鸡场问题，学生容易忽略墙长限制而直接取第一个解，今后应强化“求出方程的解后必须回到实际情境检验”的习惯。 5. 日历问题学生兴趣浓厚，可在课后让学生自己设计日历数字游戏，下节课分享，进一步激发学习兴趣。 学科网（北京）股份有限公司 $