专题07 一元一次方程避坑指南与题型全归纳-2025-2026学年苏科版七年级上学期数学同步培优题型全归纳

2025-2026学年七年级上学期（2024苏科版） 专题07 一元一次方程避坑指南与题型全归纳 - 2 - - 2 - - 3 - - 6 - 【题型1】 利用等式的性质判断等式变形正误 - 6 - 【题型2】 根据方程解的概念求参数的值 - 4 - 【题型3】 一元一次方程的概念判断 - 3 - 【题型4】 根据一元一次方程的概念求参数的值 - 3 - 【题型5】 一元一次方程的解法 - 3 - 【题型6】 一元一次方程的新定义问题 - 3 - 【题型7】 一元一次方程的实际应用：古代数学文化问题 - 11 - 【题型8】 一元一次方程的实际应用：工程问题 - 11 - 【题型9】一元一次方程的实际应用：行程问题 - 3 - 【题型10】一元一次方程的实际应用：销售问题 - 4 - 【题型11】 一元一次方程的实际应用：水费电费问题 - 4 - 【题型12】 一元一次方程的实际应用：配套问题 - 15 - 【题型13】一元一次方程的实际应用：日历问题 - 18 - 【题型14】一元一次方程的实际应用：积分问题 - 24 - 【题型15】一元一次方程的实际应用：数轴动点问题 - 29 - - 38 - · 理解等式的概念、基本性质、方程、方程的解的概念； · 掌握一元一次方程的概念、解法； · 会利用一元一次方程解决简单的实际问题； 考点 考点详解 避坑指南 等式 1．等式的概念：用符号“=”来表示相等关系的式子叫做等式. 2.等式的性质： （1）基本性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等. 数学语言表示： 如果，那么. （2）基本性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等. 数学语言表示：如果，那么. 如果，，那么. 1.由，可以得到．此时对 但由，得不到，这是最易错的，最容易踩的坑，因为如果，也是可以成立的，例如： ,显然 所以要由，得到，必须加上条件才可以。 2.由,不加任何条件可以得到,因为 方程 1．定义：含有未知数的等式叫做方程. 2.方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解. 3.解方程：求方程的解的过程叫做解方程. 方程的解是一个数值，是使得方程成立的一个数，而解方程是求解的过程。 一元一次方程概念 1.一元一次方程的定义：只含有一个未知数（元），且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程. 1.关于方程中未知数的次数要注意，=1中，这个一定要注意避免踩坑。 2.一元一次方程需要同时满足以下条件： 有等号;有一个未知数;含有未知数的式子都是整式;未知数的次数都是1． 一元一次方程的解法 1.去分母 2.去括号 3.移项 4.合并同类项 5.系数化成1 1.不要漏乘不含分母的项 2.分子是一个整体的，去分母后应加上括号； 3.不要漏乘括号里的项； 4.移项别忘了变号； 5.不要把分子、分母写颠倒。 这五步中每一步都有易错点，步步小心少踩坑。 一元一次方程的应用 1.列方程解应用题的基本思路为： 问题方程解答． 由此可得解决此类题的一般步骤为： 审、设、列、解、检验、答． 1.“审”的关键是寻找等量关系； 2.“设”就是设未知数，一般是直接设，也可以间接设； 3.“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一； 4.“解”就是解方程，求出未知数的值； 5.“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可； 6.“答”就是写出答案，注意单位要写清楚． 典例1．已知是关于x的一元一次方程． (1)求m的值； (2)解出以上方程． 【答案】(1)3 (2) 【知识点】判断是否是一元一次方程、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查一元一次方程的定义，解一元一次方程： （1）根据一元一次方程的定义可得的系数为0，的系数不能为0，由此可解； （2）将m的值代入，解方程即可． 【详解】（1）解：由题意知， 且，………避坑指南：不仅要考虑让的系数为0， 的系数不能为0 解得， ； （2）解：由题意知， 即， 移项，得， 系数化为1，得．……避坑指南：此处容易错写成 典例2．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)2 (2) 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、解一元一次方程（二）——去括号、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为（对于含分母的方程需先去分母）． （1）先去括号去掉括号及前面的系数，再移项将含未知数的项和常数项分别移到等号两边，合并同类项后将系数化为1求解； （2）先找分母的最小公倍数去分母，再去括号、移项、合并同类项，最后系数化为1求解． 【详解】（1）解： 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得． （2） 去分母（两边同乘6），得……避坑指南：此步容易漏掉 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得． 典例3．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程互为“阳光方程”．例如：的解为，的解为，所以这两个方程互为“阳光方程”． (1)若关于x的一元一次方程与是“阳光方程”，求m的值； (2)已知两个一元一次方程互为“阳光方程”，且这两个“阳光方程”的解的差为5．若其中一个方程的解为，求k的值． 【答案】(1) (2)3或 【知识点】已知方程的解，求参数、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程． （1）分别求得两个方程的解，利用“阳光方程”的定义列出关于m的方程解答即可； （2）利用“阳光方程”的定义得出两个“阳光方程”的解为，，由两个“阳光方程”的解的差为5列出关于k的方程解答即可． 【详解】（1）解：关于x的一元一次方程的解为：， 方程的解为：， ∵关于x的一元一次方程与是“阳光方程”， ∴， ∴； （2）解：∵“阳光方程”的一个解为，则另一个解为， ∵这两个“阳光方程”的解的差为5， 则或， 解得或． 故k的值为3或． 典例4．小张开了一家皮鞋店，为尽快出售，小张决定将皮鞋打折销售．若每双皮鞋按标价的4折出售将亏40元，而按标价的8折出售将赚40元． (1)请你算一算每双皮鞋的标价和进价各是多少元？ (2)该皮鞋改款后，小张又以同样的进价进货500件，若标价不变，按标价销售了300件后，剩下的进行大甩卖，为了尽快减少库存，又要保证盈利2万元，请你告诉小张最低能打几折？ 【答案】(1)每双皮鞋的标价为200元，进价为120元 (2)小张最低能打5折 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键． （1）设每双皮鞋的标价为元，则每双皮鞋的进价为元，根据题意列出方程，求出的值，即可解答； （2）设小张最低能打折，根据题意列出方程，求出的值即可解答． 【详解】（1）解：设每双皮鞋的标价为元，则每双皮鞋的进价为元， 由题意得，， 解得：， 则， 答：每双皮鞋的标价为200元，进价为120元． （2）解：设小张最低能打折， 由题意得，， 解得：， 答：小张最低能打5折． 【题型1】 利用等式的性质判断等式变形正误 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：优尖升教育 网址：shop492842749.taobao.com 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：优尖升教育 网址：shop492842749.taobao.com 2025-2026学年七年级上学期数学同步培优 ——重点、热点、难点题型全归纳 - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 1．下列各式中，不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【知识点】等式的性质2、等式的性质1 【分析】本题考查等式的性质，掌握等式的性质是解题的关键． 根据等式的性质，逐项分析判定即可． 【详解】解：A．∵， ∴， 即，故该选项正确，不符合题意； B．∵，， ∴，故该选项正确，不符合题意； C．∵， ∴①当时，a为任意实数；②当时，，故该选项错误，符合题意； D．∵， ∴，即，故该选项正确，不符合题意． 故选C． 2．下列运用等式的性质对等式进行的变形中，正确的是（    ） A．若，则． B．若，则． C．若，则． D．若，则． 【答案】D 【知识点】等式的性质2、等式的性质1 【分析】本题考查了等式的基本性质，解题的关键是掌握等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． 依据等式的性质依次作出判断即可． 【详解】解：A、若，等式两边不能同时除以0，此选项错误，故不符合题意； B、若，等式两边乘以，可得，此选项错误，故不符合题意； C、若，等式两边都加1，可得，此选项错误，故不符合题意； D、若，等式两边同时除以3，可得，此选项正确，故符合题意； 故选：D． 3．运用等式的基本性质，下列变形错误的是（  ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【知识点】等式的性质2、等式的性质1 【分析】此题主要考查了等式的基本性质，正确掌握等式的基本性质是解题关键．直接利用等式的基本性质分别分析得出答案． 【详解】解：A． 若，则，原变形正确，该选项不符合题意； B． 若，则，原变形正确，该选项不符合题意； C． 若，则，则，原变形正确，该选项不符合题意； D． 若，则，即，原变形错误，该选项符合题意； 故选：D． 4．下列变形中，正确的是（    ） A．若，那么 B．若，那么 C．，那么 D．若，那么 【答案】D 【知识点】等式的性质2、等式的性质1、求一个数的绝对值 【分析】本题考查等式的基本性质，绝对值的意义及平方的非负性，解题的关键是掌握等式的基本性质：性质1：等式的两边同时加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；性质2：等式的两边同时乘同一个数，或除以同一个不为的数，结果仍相等． 根据等式的基本性质，结合绝对值和平方的非负性进行判断． 【详解】解：A．若，那么，原变形不正确，故此选项不符合题意； B．若且，那么，原变形不正确，故此选项不符合题意； C，当，时，，但，原变形不正确，故此选项不符合题意； D．若，那么，原变形正确，故此选项符合题意． 故选：D． 5．下列运用等式的性质变形正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【知识点】等式的性质2、等式的性质1 【分析】此题主要考查了等式的性质，解题的关键是熟练掌握等式的性质，注意等式的性质2中是除以同一个不为0的数或式子，等式不变．等式的性质：①等式两边加同一个数（或整式）结果仍得等式；②等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．直接利用等式的基本性质进而判断得出即可． 【详解】解：A．若， 成立的条件是，故选项A变形不正确，故该选项不符合题意， B．若，无法得，故选项B不符合题意， C．若，则，变形正确，故选项C符合题意， D．若，则成立的条件是，故选项D变形不正确，故该选项不符合题意， 故选：C． 【题型2 】 根据方程解的概念求参数的值 6．若是方程的解，则a的值是（   ） A． B．36 C．72 D． 【答案】C 【知识点】已知方程的解，求参数 【分析】本题考查了一元一次方程的解，把代入方程计算即可求解，掌握一元一次方程的解的定义是解题的关键． 【详解】解：将代入到方程中 得： 解得： 故选：． 7．若2是关于的方程的解，则的值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【知识点】已知方程的解，求参数 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，把代入方程，再解关于 的一元一次方程即可求解，掌握一元一次方程的解的定义是解题的关键． 【详解】解：∵2是关于的方程的解， ∴，解得 故选：C. 8．若是方程的解，则k的值是（   ） A． B．5 C．1 D． 【答案】A 【知识点】已知方程的解，求参数 【分析】本题考查了方程的解． 将代入方程计算即可． 【详解】∵是方程的解， ∴ 解得 故选：A 9．若关于x的一元一次方程的解为，则代数式的值为（   ） A． B．3 C． D．2 【答案】A 【知识点】已知方程的解，求参数 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，代数式求值，将代入一元一次方程，再求出代数式的值即可． 【详解】解：因为一元一次方程的解是， 所以， 整理，得， 所以． 故选：A． 10．若是方程的解，则的值为 ． 【答案】 【知识点】已知方程的解，求参数、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题主要考查方程的解的应用，熟练掌握方程的解的定义并能对式子进行变形是解题的关键．先将代入方程，得到与的关系，再对所求式子变形，代入计算． 【详解】解：把代入，得，即． 把代入，得 ， 故答案为：． 【题型3 】 一元一次方程的概念判断 11．下列四个方程属于一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断是否是一元一次方程 【分析】此题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解本题的关键． 利用一元一次方程的定义判断即可得到结果． 【详解】解：A、，未知数的最高次数为2，不符合一元一次方程的定义，故该选项不符合题意； B、，含有两个未知数，不符合一元一次方程的定义，故该选项不符合题意； C、，未知数的最高次数为2，且含有两个未知数，不符合一元一次方程的定义，故该选项不符合题意； D、，只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1，符合一元一次方程的定义，故该选项符合题意； 故选D． 12．下列属于一元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断是否是一元一次方程 【分析】本题考查了一元一次方程的定义．根据一元一次方程的定义（只含有一个未知数，未知数的次数为1，且为整式方程）逐一判断各选项即可． 【详解】解：A. 是一元一次方程，故该选项正确，符合题意；     B. ，含有2个未知数，不是一元一次方程，故该选项不正确，不符合题意；     C. ，未知数的最高次数不是1，不是一元一次方程，故该选项不正确，不符合题意； D. ，不是整式方程，故该选项不正确，不符合题意； 故选：A． 13．下列方程中，是一元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断是否是一元一次方程 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1次的整式方程叫做一元一次方程，根据一元一次方程的定义逐项判断即可． 【详解】A、不是整式方程，故不是一元一次方程，不符合题意； B、未知数的最高次数是2次，故不是一元一次方程，不符合题意； C、含有两个未知数，故不是一元一次方程，不符合题意； D、是一元一次方程，符合题意； 故选：D． 14．下列方程是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断是否是一元一次方程 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握和运用一元一次方程的定义是解决本题的关键．根据一元一次方程的定义，即只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的整式方程，叫做一元一次方程，即可判定． 【详解】解：A．，未知数的最高次数为2，不是一元一次方程，故选项不符合题意； B．，符合一元一次方程的定义，是一元一次方程，故选项符合题意； C．，分母中含有未知数，不是整式方程，不是一元一次方程，故选项不符合题意； D．， 含有两个未知数，不是一元一次方程，故选项不符合题意； 故选：B． 15．下列方程中，是一元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断是否是一元一次方程 【分析】本题考查了一元一次方程的定义．根据“只含有一个未知数（元），未知数的次数是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程”逐一判断即可． 【详解】解：A、含有两个未知数，不符合一元一次方程的定义，本选项不符合题意； B、符合一元一次方程的定义，本选项符合题意； C、不是整式方程，不符合一元一次方程的定义，本选项不符合题意； D、未知数的最高次数为2，不符合一元一次方程的定义，本选项不符合题意； 故选：B． 【题型4】 根据一元一次方程的概念求参数的值 16．如果关于x的方程是一元一次方程，则a、b的值分别为（　　） A．1， B．，1 C．0，2 D．0，1 【答案】D 【知识点】判断是否是一元一次方程 【分析】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0， 根据一元一次方程的定义求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程是一元一次方程， ∴． 故选：D． 17．方程是一元一次方程，则的值为（ ） A．8 B． C． D．16 【答案】D 【知识点】判断是否是一元一次方程 【分析】根据一元一次方程的定义得到，，求解可得答案． 本题考查了一元一次方程的定义，含有一个未知数且未知数的次数是一次的方程是一元一次方程． 【详解】解：是关于x的一元一次方程， ，， ，， ． 故选：D． 18．若方程是关于x的一元一次方程，则这个方程的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断是否是一元一次方程、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查了一元一次方程的定义和一元一次方程的解法等知识，根据一元一次方程的定义求出m是解题关键． 【详解】解：因为方程是关于x的一元一次方程， 所以， 所以， 所以原方程为， 所以， 故选：A． 19．已知方程是关于x的一元一次方程，则 ． 【答案】3 【知识点】判断是否是一元一次方程 【分析】题目主要考查一元一次方程的定义，熟练掌握定义是解题关键．只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的整式方程叫做一元一次方程．它的一般形式是(a，b是常数且），据此求解即可． 【详解】解：因为是关于x的一元一次方程， 所以 且， 解得． 故答案为：． 20．若是关于的一元一次方程，则的值为 ． 【答案】 【知识点】判断是否是一元一次方程 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，由题意可得且，解之即可，掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程， ∴且， ∴， 故答案为：． 【题型5 】 一元一次方程的解法 21．解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1）是解题的关键． （1）按照合并同类项、系数化为1的步骤解答即可； （2）按照合并同类项、系数化为1的步骤解答即可； （3）按照合并同类项、系数化为1的步骤解答即可； （4）按照合并同类项、系数化为1的步骤解答即可． 【详解】（1）解：， ， ． （2）解：， ， ． （3）解：， ， ． （4）解：， ， ． 22．解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）根据解一元一次方程的步骤：移项，合并同类项，系数化为1进行解题即可； （2）根据解一元一次方程的步骤：先去分母，再去括号，移项，合并同类项，系数化为1进行解题即可． 【详解】（1）解：， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 未知数系数化1，得； （2）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 未知数系数化1，得． 23．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、解一元一次方程（二）——去括号、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次方程的解法是解答本题的关键． （1）移项、合并同类项即可求解； （2）去分母，然后去括号，最后移项、合并同类项即可求解． 【详解】（1）解： 移项得：， 合并同类项得：， 解得：． （2）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：． 24．解下列方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、解一元一次方程（二）——去括号、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查解一元一次方程： （1）移项，合并同类项，系数化为1即可； （2）移项，合并同类项，系数化为1即可； （3）去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可； （4）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ； （3）解：， ， ， ， ； （4）解：， ， ， ， ． 25．解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，其步骤是：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1． （1）先去括号，然后移项，再合并同类项，即可得到方程的解； （2）先去分母，再去括号，然后移项，合并同类项，最后系数化为1，即可得解． 【详解】（1）解：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：． （2）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 两边都除以系数化为1得：． 【题型6】 一元一次方程的新定义问题 26．【定义】若关于x的一元一次方程的解满足，则称该方程为“友好方程”．例如：方程的解为，而，则方程为“友好方程”． 【运用】 (1)在①，②两个方程中，为“友好方程”的是______（填序号） (2)若关于x的一元一次方程是“友好方程”，求b的值． 【答案】(1)① (2) 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，正确理解题意和熟知解一元一次方程的方法是解题的关键． （1）分别计算方程求出两个方程的解，再根据“友好方程”的定义判断即可； （2）先解方程得到方程的解，再根据“友好方程”的定义得到关于b的方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：解方程得， ∵， ∴方程是“友好方程”； 解方程得， ∵， ∴方程不是“友好方程”； （2）解：解方程得， ∵关于x的一元一次方程是“友好方程”， ∴， ∴． 27．定义：若关于x的一元一次方程（的常数）的解满足，则称该方程为“差解方程”，例如：方程的解为，而，则方程为“差解方程”．根据题意，解决下面问题： (1)方程_____（填“是”或“不是”）“差解方程”； (2)关于x的一元一次方程是“差解方程”，求m的值； 【答案】(1)不是 (2) 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、解一元一次方程（三）——去分母、一元一次方程解的关系 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的解法，理解新定义，是解题的关键． （1）根据差根方程的定义进行求解即可； （2）先求出方程的解为：，然后根据关于x的一元一次方程是“差解方程”，列出关于m的方程，解关于m的方程即可． 【详解】（1）解：方程的解为：， ， ∴方程不是“差解方程”； （2）解：方程的解为：， ∵关于x的一元一次方程是“差解方程”， ∴， 解得：． 28．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于的方程与方程是“美好方程”，求的值： (2)若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为，求的值； (3)若无论取任何有理数，关于的方程（，为常数）与关于的方程是“美好方程”，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，能根据等式的性质求出方程的解是解此题的关键． （1）先根据等式的性质求出两个方程的解，再根据两方程是“美好方程”得出关于m的方程，再求出m即可； （2）设另一个方程的解为x，列出方程组求出n值即可； （3）先根据等式的性质求出两个方程的解，再根据两方程是“美好方程”得出结论即可． 【详解】（1）解：解方程，得， 解方程，得， ∵关于的方程与方程是“美好方程”， ∴ 解得：． （2）解：设另一个方程的解为x，根据题意可得：， ∴或． ∴或． （3）解：将方程整理为， 由题意得：方程的解与的值无关， ∴， 解得， 此时方程的解为：； 解方程得：， 又无论取任何有理数，关于的方程（，为常数）与关于的方程是“美好方程”， 所以，， 解得，， 所以，． 29．定义：如果两个一元一次方程的解之和为，我们就称这两个方程互为“成双方程”． 例如：判断方程和，是否互为“成双方程”． 解：方程和是互为“成双方程”，理由如下： 解方程，解得．解方程，解得． ，方程和互为“成双方程”． (1)请判断方程与方程是否互为“成双方程”，并说明理由； (2)若关于的方程与方程互为“成双方程”，求的值． 【答案】(1)不是，理由见解析 (2) 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、解一元一次方程（二）——去括号 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，有理数加法运算等知识点，准确理解并运用题目新定义，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键． （1）分别解两个方程，然后根据“成双方程”的定义进行判断即可； （2）先求出两个方程的解分别为，，再根据关于的方程与方程互为“成双方程”得出，解关于的一元一次方程即可． 【详解】（1）解：不是，理由如下： 解方程， 解得：， 解方程， 解得：， ， 方程与方程不是“成双方程”； （2）解：解关于的方程， 解得：， 解方程， 解得：， 关于的方程与方程互为“成双方程”， ， 解得：． 30．定义：已知关于的一元一次方程（其中，，为常数），若这个方程的解为，则称这样的方程为“和合方程”．例如：的解为，而，则方程就是“和合方程”． (1)判断：方程 “和合方程”；（填“是”或“不是”） (2)若关于的一元一次方程是“和合方程”，求的值． 【答案】(1)是 (2) 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】（）求出方程的解，再根据“和合方程”的定义解答即可； （）求出方程的解，再根据“和合方程”的定义解答即可； 本题考查了新定义方程，解一元一次方程，理解新定义是解题的关键． 【详解】（1）解：解方程，得， ∵, ∴方程是“和合方程”， 故答案为：是； （2）解：∵， ∴， ∵一元一次方程是“和合方程”， ∴， 解得， ∴的值为． 【题型7】 一元一次方程的实际应用：古代数学文化问题 31．我国古代数学著作《算学启蒙》一书记载：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里；驽马先行一十二日，问良马几何追及之．其大意是：良马每天走240里，劣马每天走150里；劣马先走12天．问良马几天可以追上劣马？（列方程求解） 【答案】20天 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用) 【分析】此题考查列方程解应用题，关键是根据题意找出基本数量关系，列方程解决问题． 设良马天可以追上劣马，根据等量关系：劣马每天跑的里数（良马跑的天数劣马先走的天数）良马每天跑的里数良马跑的天数，列方程即可． 【详解】解：设良马天可以追上劣马，则可列方程为 ． 解得：， 答：良马20天可以追上劣马． 32．《孙子算经》记载：“今有木，不知长短；引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”（尺、寸是长度单位，1尺=10寸）．意思是：现有一根长木，不知道其长短，用一根绳子去度量长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再度量长木，长木还剩余1尺，问长木长多少？ 【答案】长木长尺 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用． 设长木长为x尺，则根据“用一根绳子去度量长木，绳子还剩余4.5尺”可得绳长为尺；根据“将绳子对折再度量长木，长木还剩余1尺” 可得绳长为尺；列方程求解可得答案． 【详解】解：根据题意，得， 解得， 答：长木长尺． 33．《张丘建算经》由北魏数学家张丘建所著，其中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘：三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人．若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子，问客人和盘子各有多少？”请你解答这个问题． 【答案】客人共有30位，盘子共有13个． 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设共有x位客人，根据盘子的数量为定值，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设共有x位客人． 依题意，得，解得， 所以． 答：客人共有30位，盘子共有13个． 34．《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：清明游园，共坐八船，大船满六，小船满四，三十八学子，满船坐观，请问客家，大小几船？其大意为：清明时节出去游园，所有人共坐了8只船，大船每只坐6人，小船每只坐4人，38人刚好坐满，问：大小船各有几只？ 【答案】大船有3只，小船有5只 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设大船有只，则小船有只，根据38人刚好坐满8只船，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出大船的只数，再将其代入中，即可求出小船的只数． 【详解】解：设大船有只，则小船有只， 根据题意得：， 解得：， （只）， 答：大船有3只，小船有5只． 35．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”大意是：有一个人走了378里路，第一天健步行走，第二天因脚疼，每天走的路程为前一天的一半，走了6天才到达目的地．请计算此人第二天走的路程．(注：里，古代长度单位) 【答案】96里 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，分数乘法的应用，根据题意每天行走的路程为前一天的，所以可以设第一天走的路程为x，那么第二天走的路程为，第三天走的路程为的是，以此类推，六天行走的路程是378里，根据这一等量关系列方程解答即可． 【详解】解：，，， ， 设此人第一天走了x里路，则第二天走了里路． 则， ， （里） 答：此人第二天走了96里． 【题型8 】 一元一次方程的实际应用：工程问题 36．一项工程，甲独做要 12 小时完成，乙独做 18 小时完成．如果先由甲工作 1 小时，然 后由乙接替甲工作 1 小时，再由甲接替乙工作 1 小时……两人如此交替工作，那么： (1)完成任务时共用了多少小时？ (2)如果把条件中的“乙独做 18 小时完成”改为“乙独做 15 小时完成”，则完成任务时 共用了多少小时呢？ 【答案】(1) (2) 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确地用代数式表示甲、乙两人各自的工作效率和各自完成的工作量是解题的关键， （1）假设甲、乙合作小时可以完成，可列方程，得出甲、乙两人交替工作，各工作7小时后，还剩下部分任务由甲完成，设两人各工作7小时后甲还要工作小时才能完成，可列方程得，求出的值，再加上14，就是两人交替工作完成任务时所用的小时数； （2）利用（1）的解法即可求解． 【详解】（1）解：假设甲、乙合作小时可以完成， 根据题意得， 解得， 可见，甲、乙两人交替工作，各工作7小时后，还剩下部分任务由甲完成， 设各工作7小时后甲还要工作小时才能完成任务， 根据题意得， 解得， ∴（小时）， 答：完成任务时共用了小时； （2）解：假设甲、乙合作小时可以完成， 根据题意得，解得， 可见，甲、乙两人交替工作，各工作6小时后，还剩下部分任务由甲工作1小时，然后由乙接替甲工作完成， 甲、乙两人交替工作，由甲工作7小时，乙工作6小时后，还剩下部分任务由乙完成， 设乙还要工作小时才能完成任务， 根据题意得，解得， ∴， 答：完成任务时共用了小时． 37．整理一批图书，由一个人做要40小时完成．现在计划有一部分人先做4小时，再增加2人和他们一起做8小时后才完成这项工作．若这些人的工作效率相同，那么先安排多少人工作4小时？ 【答案】先安排2人工作4小时 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用． 设先安排x人工作，把这份工作看作“1”，由题意易知一个人完成这份工作的工作效率为，然后根据题意可列方程求解即可． 【详解】解：设先安排x人工作，把这份工作看作单位“1”，由题意得： ， 解得：. 答：先安排2人工作4小时． 38．某市道路改造工程，如果让甲工程队单独工作，需要45天完成，如果让乙工程队单独工作，需要90天完成．甲工程队施工每天需付工费2.5万元，乙工程队施工每天需付费1.3万元． (1)甲、乙两个工程队一起合作多少天就可以完成此项工程？ (2)甲、乙两个工程队一起合作15天后，甲工程队因另有任务调离，剩下的部分由乙工程队单独做，问共需多少天才能完成此项工程？ (3)如果工程必需要在36天内（含36天）完成，如何安排两个工程队施工，才能使施工费最少？请说出你的安排方法，并求出所需要的施工费． 【答案】(1)30天 (2)60天 (3)先由甲、乙合作18天，再由甲独做18天，才能使工费最少．所需施工费为113.4万元 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的应用，分析题意，找准等量关系列方程是解题的关键． （1）设甲、乙两个工程队一起合作，根据题意列一元一次方程解答即可； （2）设共需y天才能完成此项工程，根据“合作15天后，剩下的部分由乙工程队单独做”列方程解答即可； （3）分别计算甲、乙单独完成所需费用，甲费用较少，应尽量让甲多做．设甲、乙合作天，余下的工程由甲独做，求出这种方案的费用，做比较解答即可． 【详解】（1）解：设甲、乙两个工程队一起合作天就可以完成此项工程， 则， 解得， 答：甲、乙两个工程队一起合作30天就可以完成此项工程． （2）解：设共需y天才能完成此项工程， 则． 解得． 答：共需60天才能完成此项工程． （3）解：甲完成工程所需费用为（万元）， 乙完成工程所需费用为（万元）． 甲费用较少，应尽量让甲多做．设甲、乙合作天，余下的工程由甲独做， 由题意得． 解得． 所需费用为：万元． 答：先由甲、乙合作18天，再由甲独做18天，才能使工费最少．所需施工费为113.4万元． 39．一项工程，甲队单独做天可以完成，乙队单独做天可以完成，丙队单独做天可以完成．如果先由三队合作天，剩下的由甲队单独完成，那么甲队还需要多少天才能完成这项工程？ 【答案】甲队还需要天才能完成这项工程 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设甲队还需要天才能完成这项工程，三队合作天完成的工作量是，甲队单独完成的工作量为，根据最后完成了总工作量，可列方程为，解方程即可求出甲队单独工作的时间． 【详解】解：设甲队还需要天才能完成这项工程， 根据题意可得：， 整理得：， 解得：， 答：甲队还需要天才能完成这项工程． 40．整理一批数据，由一人做需要，现在先安排一些人做，然后再增加3人做，刚好完成这项工作的．问先安排做的人数是多少？ 【答案】4 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用) 【分析】设先安排做的人数是x人，根据题意，得，解方程即可． 本题考查了一元一次方程的应用之工程问题，熟练掌握解题方法是解题的关键． 【详解】解：设先安排做的人数是x人， 根据题意，得， 解得． 答：先安排做的人数是4． 【题型9 】一元一次方程的实际应用：行程问题 41．一列匀速前进的火车，从它开始进入米长的隧道到完全通过隧道共用了秒，隧道顶部一盏固定的小灯的灯光在火车上照射了秒钟，求这列火车的长为多少米？ 【答案】这列火车的长为400米 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】设这列火车的长为x米，根据题意表示出火车的速度：或者，根据速度的相等关系列出方程，解方程即可． 【详解】解：设这列火车的长为x米，由题意得： ， 解得：； 答：这列火车的长为400米． 42．小秦和小明在操场练习跑步，两人从同一起点A出发，小秦每分钟跑300米，小明每分钟跑200米，小秦比小明晚出发3分钟，结果两人同时到达终点B，求两地的路程． 【答案】A，B两地的路程为1800米 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设A，B两地的路程为x米，利用时间路程速度，结合小秦比小明少用3分钟，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设A，B两地的路程为x米， 根据题意得：， 解得：． 答：A，B两地的路程为1800米． 43．甲、乙两地相距千米，、两车分别从甲乙两地开出，车每小时行驶千米，车每小时行驶千米． (1)若两车相向而行，车提前小时出发，求车出发后几小时两车相遇？ (2)若、两车同向而行，车在前，车在后，车先行小时，求车出发几小时后两车相距千米？ 【答案】(1)车出发 小时相遇 (2)车出发小时或 小时后两车相距千米 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． （1）设车出发后 小时相遇，根据两车相向而行，车的总路程为千米，列出一元一次方程； （2）设车出发 小时后两车相距千米，根据题意，分两种情况列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：设车出发后 小时相遇 则 解得： 答：车出发后小时相遇 （2）解：设车出发 小时后两车相距千米 ① 解得： （小时） ② 解得：（小时） 答：车出发小时或 小时后两车相距千米 44．已知A，B，C三地依次在同一条直线上，A，C两地距离465千米，A，B两地距离330千米． (1)现有甲、乙两车分别从A，B两地相向而行，两车均保持匀速行驶且甲车的速度是乙车速度的3倍，若甲车比乙车提前1小时出发，则甲车出发后3小时两车相遇．求甲、乙两车的速度分别是多少千米/小时？ (2)如果甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，向C地行驶，两车保持（1）中的速度，求经过多少小时两车相距30千米？ 【答案】(1)甲、乙两车的速度分别是90千米/小时和30千米/小时 (2)经过5小时两车相距30千米 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意，根据题意找出等量关系是解题的关键． （1）设乙车速度为x千米/小时，则甲车的速度是千米/小时，根据题意列出方程求解即可； （2）设经过小时两车相距30千米，然后进行分类讨论：当两车相遇前，当两车相遇后，分别列出方程求解，再结合实际即可解答． 【详解】（1）解：设乙车速度为x千米/小时，则甲车的速度是千米/小时， 根据题意：， 解得， 千米/小时， 答：甲、乙两车的速度分别是90千米/小时和30千米/小时； （2）解：设经过t小时两车相距30千米， ①两车相遇前： ； ②两车相遇后： ； ， 不合题意，舍去； 答：经过5小时两车相距30千米． 45．甲、乙两人沿环形跑道散步，已知甲的速度为，乙的速度为，跑道一圈长． (1)若两人同时同地同向出发，则多长时间后他们第一次相遇？ (2)若两人同时同地反向出发，则多长时间后他们第一次相遇？ 【答案】(1)若两人同时同地同向出发，则后他们第一次相遇 (2)若两人同时同地反向出发，则后他们第一次相遇 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程是关键． （1）设两人同时同地同向出发，后他们第一次相遇．根据跑道一圈长列方程，并解方程即可； （2）设两人同时同地反向出发，后他们第一次相遇．根据跑道一圈长列方程，并解方程即可． 【详解】（1）解：设两人同时同地同向出发，后他们第一次相遇． 由题意，得 解得 答：若两人同时同地同向出发，则后他们第一次相遇． （2）解：设两人同时同地反向出发，后他们第一次相遇． 由题意，得 解得 答：若两人同时同地反向出发，则后他们第一次相遇． 【题型10 】一元一次方程的实际应用：销售问题 46．春节将至，中央广播电视总台《2025年春节联欢晚会》发布官方吉祥物形象“巳升升”，祝福全球华人在新的一年如意康宁，好事连连．“巳升升”吉祥物摆件也随之热销，某超市用18000元从厂家购进了300个“巳升升”摆件，并以每个80元的价格销售，销售了一部分后正值元旦促销，该超市将剩下的“巳升升”摆件在原售价的基础上打9折继续销售，并且全部售完．已知这批“巳升升”摆件获得的总利润是4560元． (1)求每个“巳升升”摆件的进价是多少元？ (2)请你算一算打9折前共售出多少个“巳升升”摆件？ 【答案】(1)60元 (2)120个 【知识点】有理数除法的应用、销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列出方程． （1）用购买金额除以数量，即可得到进价； （2）设打9折前共售出x个“巳升升”摆件，根据这批“巳升升”摆件获得的总利润是4560元列方程可解得答案． 【详解】（1）解：∵某超市用18000元从厂家购进了300个“巳升升”摆件， ∴每个“巳升升”摆件的进价是（元）； 答：每个“巳升升”摆件的进价是60元； （2）解：设打9折前共售出x个“巳升升”摆件， 根据题意得：， 解得， ∴打9折前共售出120个“巳升升”摆件． 47．某体育用品店在“双十一”期间特别准备篮球和足球进行促销活动，其中每个篮球的进价比每个足球的进价多元，购进个篮球和个足球共需元． (1)篮球和足球的进价分别是多少元？ (2)该店购进了篮球和足球共个，篮球在进价的基础上加价进行标价，足球在进价的基础上加价元进行标价，若按标价售完全部篮球和足球共可获利元，求该店购进的篮球和足球分别是多少个？ (3)在（）的条件下，“双十一”期间，若篮球按标价折出售，足球按标价先卖出个，余下的部分按标价降价出售，若篮球和足球全部售出，该店可获得利润多少元？ 【答案】(1)篮球的进价为元，足球的进价为元 (2)购进篮球个，购进足球个 (3)元 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】（）设足球的价格为元，则篮球的价格为元，根据题意列出方程即可求解； （）设购进篮球个，则购进足球个，根据题意求出单个篮球和足球的利润，进而列出方程解答即可求解； （）分别求出活动后单个篮球和足球的利润，进而根据题意列出算式计算即可； 本题考查了一元一次方程的应用，有理数混合运算的实际应用，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】（1）解：设足球的价格为元，则篮球的价格为元， 根据题意得，， 解得， ∴， 答：篮球的进价为元，足球的进价为元； （2）解：设购进篮球个，则购进足球个， 由题意得，篮球的标价为元，足球的标价为元， ∴单个篮球的利润为元，单个足球的利润为元， ∴， 解得， ∴， 答：购进篮球个，购进足球个； （3）解：由题意得，篮球售价为元，单个利润为元，足球剩下部分售价为元，单个利润为元， ∴利润为：元， 答：该店可获得利润元． 48．国庆节期间蔬菜加工公司共储存蔬菜吨，根据市场信息，将蔬菜直接销售，每吨可获利元；如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工吨，每吨可获利元；如果进行精加工，每天可加工吨，每吨可获利元．限于公司加工条件，在同一天中只能采用一种方式加工，计划要求必须在节日期间（7天）全部销售出去．为此公司制定了以下几种销售方案： 方案一：直接销售； 方案二：全部粗加工销售； 方案三：7天时间都进行精加工，未来得及加工的在市场上直接销售； (1)上述三种方案那种获利最多？请通过计算说明理由． (2)问：是否存在第四种方案可获得更多利润？若存在，求销售后所获利润；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)方案三获利最多，见解析 (2)存在，销售后所获利润为元 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，一元一次方程的应用； （1）根据题意分别计算三种销售方案的利润，即可求解； （2）设天用于精加工，则天用于粗加工，根据题意得出，进而计算销售利润，即可求解． 【详解】（1）解：方案三获利最多，理由如下： 方案一：， 方案二：， 方案三：， ， 所以方案三获利最多； （2）存在，销售后所获利润为元 设天用于精加工，则天用于粗加工，由题意： ， 解得： 获利： 49．小王看到两个超市的促销信息如图所示． 甲超市促销信息栏 乙超市促销信息栏 全场8.8折 不超过200元，不给予优惠 超过200元而不大于500元，打9折 超过500元，500元的部分优惠，超过500元的部分打8折 (1)当一次性购物标价总额是300元时，甲、乙超市实付款分别是多少？ (2)当标价总额是多少时，甲、乙超市实付款一样？ (3)小王两次到乙超市分别购物标价198元和466元，若他只去一次该超市购买同样多的商品，可以节省多少元？ 【答案】(1)甲超市付款264元，乙超市付款270元 (2)元 (3)元 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程． （1）根据图中的信息，可以分别计算出在两家超市需要付款的金额； （2）根据题意和图中的信息，可以列出相应的方程，然后求解即可； （3）根据题意可以计算两种情况下的实际付款金额，然后作差即可． 【详解】（1）解：由题意可得， 当一次性购物标价总额是元时， 在甲超市需付款：（元）， 在乙超市需付款：（元）， 答：甲超市付款元，乙超市付款元； （2）由图中的信息可知，只有当购物标价总额超过元时，两家超市才可能付款总金额相等， 设当标价总额是元时，甲、乙超市实付款一样， 由题意可得：， 解得， 答：当标价总额是元时，甲、乙超市实付款一样； （3）由题意可得， 小王两次到乙超市分别购物标价198元和466元时， 需要付款：（元）， 小王一次性到乙超市购物标价元的商品， 需要付款：（元）， （元）， 答：可以节省元． 50．平价商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件进价50元，售价80元，乙种商品每件进价40元，售价60元． (1)乙种商品每件的利润率为______． (2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价用去2100元，求购进甲种商品多少件？ (3)在“元旦”期间，该商场对甲、乙两种商品进行如表的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额不超过380元 优惠措施不优惠 超过380元，但不超过500元 售价打九折 超过500元 售价打八折 按上述优惠条件，若小明这天只购买了甲种商品，实际付款432元，求小明这天在该商场购买甲商品多少件？ 【答案】(1) (2)购进甲种商品10件 (3)小明这天在该商场购买甲商品6件 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用)、有理数四则混合运算的实际应用、销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键． （1）根据乙种商品每件的进价为40元，售价为60元，列出算式，求解即可获得答案； （2）设购进甲种商品件，则购进乙种商品件，根据题意列出方程并求解，即可获得答案； （3）设小明购买了甲种商品件，可分小明购买甲种商品的原售价超过380元，但不超过500元和购买甲种商品的原售价超过500元两种情况，分别列方程并求解，并结合生活实际，即可获得答案． 【详解】（1）解：乙种商品每件的利润率为： ； （2）解：设购进甲种商品件，则购进乙种商品件， 根据题意，可得：， 解得 ， 答：购进甲种商品10件； （3）解：根据题意，小明购买了甲种商品，实际付款432元， 设小明购买了甲种商品件，可分为两种情况讨论， ①若小明购买甲种商品的原售价超过380元，但不超过500元， 则有， 解得 ， 检验：当时，购买甲商品的原售价为元，满足， 故符合题意； 即购买了甲种商品6件； ②若小明购买甲种商品的原售价超过500元， 则有， 解得 ，不合题意，舍去． 综上所述，小明购买了甲种商品6件． 【题型11 】 一元一次方程的实际应用：水费电费问题 51．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，株洲市采用分段收费，规定每月每户居民生活用水标准量为，每月生活用水的收费标准（单位：元）及单价说明如表所示： 用水量 单价（元） 费用说明 免收污水处理费 超出的部分 超出的部分加收污水处理费元 某居民某月用水，共缴纳水费23元． (1)求a的值； (2)该居民用户10月份缴纳水费71元，求该用户10月份的用水量． 【答案】(1) (2) 【知识点】电费和水费问题(一元一次方程的应用) 【分析】（1）根据水费标准进行计算即可； （2）判断出10月份的用水量超过，根据水费的收费办法列方程求解即可． 本题考查一元一次方程的应用，理解题目中“收费办法”是解决问题的关键． 【详解】（1）由题意得，， 解得， 答：； （2）， 该居民用户10月份的用水量超过， 设该居民用户10月份的用水量为，由题意得， ， 解得， 答：该用户10月份用水． 52．节约用水．市政府决定对居民用水实行三级阶梯水价： 每户每月用水量 水费价格（单位：元/立方米） 不超过22立方米 2.3 超过22立方米且不超过30立方米的部分 a 超过30立方米的部分 4.6 (1)若小明家去年2月份用水量是26立方米，缴费64.4元，求出用水在22～30立方米的收费标准a？ (2)在（1）条件下，若小明家去年8月份用水量增大，共缴费87.4元，请求出他家8月份的用水量是多少立方米？ 【答案】(1)用水在立方米之间的收费标准元/立方米 (2)他家8月份的用水量是32立方米 【知识点】电费和水费问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，理解三级阶梯水价收费标准是重点，根据等量关系列方程求解是关键． （1）因为26立方米超过22立方米且不超过30立方米，所以，根据方程即可求出a的值； （2）先根据第（1）问中得出的结果计算30立方米的费用，从而确定属于第几个阶梯，再列方程解决． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得． 答：用水在立方米之间的收费标准元/立方米； （2）当用水量为30立方米时，缴费元， 小明家去年8月份用水量增大，共缴费87.4元， 小明家去年8月份用水量超过30立方米， 设他家8月份的用水量是x立方米． 由题意得：， 解得． 答：他家8月份的用水量是32立方米． 53．为响应国家节能减排的号召，鼓励人们节约用电，保护能源，某市实施用电“阶梯价格”收费制度．收费标准如表： 居民每月用电量 单价（元/度） 不超过50度的部分 0.5 超过50度但不超过200度的部分 0.6 超过200度的部分 0.8 已知小刚家上半年的用电情况如下表（以200度为标准，超出200度记为正、低于200度记为负）： 一月份 二月份 三月份 四月份 五月份 六月份 根据上述数据，解答下列问题： (1)小刚家用电量最多的是___________月份，实际用电量为___________度； (2)小刚家一月份应交纳电费___________元； (3)若小刚家七月份应交纳的电费为163元，求小刚家七月份的用电量． 【答案】(1)五，236 (2)85 (3)260 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、电费和水费问题(一元一次方程的应用)、正负数的实际应用 【分析】本题考查了正负数的实际意义，列代数式和解一元一次方程，掌握以上知识是解题的关键． （1）根据正负数表示的意义，结合表格找到最多的，加上基础量进行计算即可解答； （2）根据表格求出用电量，结合收费标准列式计算即可得到答案； （3）根据收费标准，判断出小刚家七月份用电量超过了200度，再设小刚家七月份的用电量为x度，利用前两档满额计算加上第三档的即可得到答案． 【详解】（1）解：由表格可知， 五月份用电量最多，实际用电量为：（度）， 故答案为：五，236； （2）小刚家一月份用电：（度）， 小刚家一月份应缴纳电费：（元）， 故答案为：85； （3）居民每月用电量为50度时，电费为：（元）， 居民每月用电量为200度时，电费为：（元）， ， 小刚家七月份用电量超过了200度， 设小刚家七月份用电量为x度， ， 解得， 答：小刚家七月份用电量为260度． 54．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的手段达到节水的目的，该市自来水收费的收费标准如下表： 收费标准（注：水费按月份结算） 每月用水量 单价（元/立方米） 不超出6立方米的部分 2 超出6立方米不超出10立方米的部分 4 超出立方米的部分 8 例如：某户居民1月份用水8立方米，应收水费为（元） 请根据上表的内容解答下列问题： (1)若某户居民2月份用水7立方米，则应收水费多少元？ (2)若某户居民4月份用水a立方米（其中），请用含a的代数式表示应收水费多少元？（结果需化简） (3)若某户居民3月份交水费60元，则3月份用水量为多少立方米？ 【答案】(1)16元 (2)元 (3)该居民3月份用水量为立方米 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、电费和水费问题(一元一次方程的应用)、列代数式 【分析】本题主要考查列一元一次方程解实际问题，有理数混合运算的应用，列代数式，读懂题意是解题的关键． （1）根据题目规定进行计算； （2）利用用水量的范围确定单价计算出结果即可； （3）设3月份用水量为立方米，根据题意列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：某户居民2月份用水7立方米，则应收水费为： （元）； （2）解：某户居民4月份用水a立方米（其中），则应该收水费为： 元； （3）解：（元）， ∵， ∴该居民3月份用水量超过10立方米， 设3月份用水量为立方米，根据题意得： ， 解得． 答：该居民3月份用水量为立方米． 55．居民生活用水通常按户计费.下表是某城市居民生活用水的收费标准，称这样的收费方式为阶梯计价． 收费方式 年用水量 收费标准（元） 第一阶梯 0~180（含180） 4.5 第二阶梯 180~240（含240） 6 第三阶梯 240以上 （例如：该城市某户家庭年用水量为，则水费为元） (1)若该城市小明家2024年的年用水量为，则小明家这一年的水费是______元； (2)已知该城市小颖家2024年的年用水量为，水费为1650元，求的值； 【答案】(1)930 (2) 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、电费和水费问题(一元一次方程的应用)、整式加减的应用 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、列代数式以及有理数的混合运算． （1）利用小明家这一年的水费超过的部分，即可求出结论； （2）利用该城市小颖家2024年的水费超过的部分，可列出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论； 【详解】（1）解：根据题意得： （元）， ∴小明家这一年的水费是930元． 故答案为：930； （2）解：根据题意得：， 解得：． 答：a的值为8； 【题型12 】 一元一次方程的实际应用：配套问题 56．在手工制作课上，老师组织七年级（）班的学生用硬纸制作圆柱形茶叶筒．七年级（）班共有名学生，每名学生每小时可以剪筒身个或剪筒底个，要求个筒身配个筒底，为了使每小时剪出的筒身与筒底恰好配套，应该分配多少名学生剪筒身，多少名学生剪筒底？ 【答案】, 【知识点】配套问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查的是一元一次方程的数学知识，在解答此类问题时一定要对相关的知识有一个明确的认识和把握，同时结合题设的已知条件就可以解答出问题的正确结论；通过设未知数，根据筒身和筒底的配套关系(个筒身配个筒底)来列方程求解． 【详解】解：设分配名学生剪筒身，那么剪筒底的学生有名， 由题意得：， ， ， ， 剪筒底的学生人数为(名)， 答：应该分配名学生剪筒身，名学生剪筒底． 57．列一元一次方程解决实际问题（两问均需用方程求解） 第19届亚洲夏季运动会于2023年9月23日在杭州举行，象征杭州三大世界文化遗产的吉祥物“宸宸”“琮琮”“莲莲”通过不同色彩、不同纹饰向世界讲述“江南忆”的美丽故事．现有工厂生产吉祥物的盲盒，分为A、B两种包装，该工厂共有1000名工人． (1)若该工厂生产盲盒A的人数比生产盲盒B的人数的2倍少200人，请求出生产盲盒A的工人人数； (2)为了促销，工厂按商家要求生产盲盒大礼包，该大礼包由2个盲盒A和3个盲盒B组成．已知每个工人平均每天可以生产20个盲盒A或10个盲盒B，且每天只能生产一种包装的盲盒．该工厂应该安排多少名工人生产盲盒A，多少名工人生产盲盒B才能使每天生产的盲盒正好配套？ 【答案】(1)生产盲盒A的工人人数为600人； (2)该工厂应该安排250名工人生产盲盒A，750名工人生产盲盒B才能使每天生产的盲盒正好配套． 【知识点】和差倍分问题(一元一次方程的应用)、配套问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据等量关系，列出方程是解题的关键． （1）设生产盲盒B的工人人数为x人，则生产盲盒A的工人人数为人，根据该工厂共有1000名工人，列出方程，解方程即可； （2）设安排m人生产盲盒A，则安排人生产盲盒B，根据2个盲盒A和3个盲盒B组成，列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设生产盲盒B的工人人数为x人，则生产盲盒A的工人人数为人， 由题意得：， 解得：， ∴， 答：生产盲盒A的工人人数为600人； （2）解：设安排m人生产盲盒A，则安排人生产盲盒B， 由题意得：， 解得：， ∴， 答：该工厂应该安排250名工人生产盲盒A，750名工人生产盲盒B才能使每天生产的盲盒正好配套． 58．列方程解应用题：有一批生产桌椅的木料，每块木料均相同．已知一块该木料可以生产桌子2张或椅子5把，如何分配78块这样的木料，可使生产的桌子和椅子恰好配套（一张桌子配4把椅子）？ 【答案】用30块木料生产桌子，48块木料生产椅子 【知识点】配套问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，正确理解题意列方程并解方程即可解决，设用x块木料生产桌子，根据使生产的桌子和椅子恰好配套（一张桌子配4把椅子）列方程解决即可． 【详解】解：设用x块木料生产桌子． 由题意得：． ． ． ． 答：用30块木料生产桌子，48块木料生产椅子． 59．用一元一次方程解决下列问题： 山东淄博陶瓷生产史已逾万年，享有“淄博陶瓷，当代国窑”的美誉．某陶瓷器厂烧制陶瓷茶具，每套茶具由1个茶壶和6只茶杯组成，用1千克瓷泥可做3个茶壶或9只茶杯．现要用6千克瓷泥全部制作这类茶具，则用多少千克瓷泥做茶壶时，恰好使制作的茶壶和茶杯配套？ 【答案】用2千克瓷泥做茶壶时，恰好使制作的茶壶和茶杯配套 【知识点】配套问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设用千克瓷泥做茶壶，则用千克瓷泥做茶杯，利用制作的茶杯的总数量是制作茶壶总数量的倍，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设用千克瓷泥做茶壶，则用千克瓷泥做茶杯， 根据题意得：， 解得：． 答：用千克瓷泥做茶壶时，恰好使制作的茶壶和茶杯配套． 60．手工制作课上，劳动课吴老师组织七年级（2）班的学生用硬纸制作圆柱形茶叶筒．七年级（2）班共有48人，其中男生人数比女生人数少2人，并且每名学生每小时剪筒身55个或剪筒底130个． (1)七年级（2）班有男生、女生各多少人？ (2)七年级（2）班全体同学积极参与制作圆柱形茶叶筒，要求用一个筒身配两个筒底，为了使每小时剪出的筒身与筒底刚好配套，应该分配多少名学生剪筒身，多少名学生剪筒底？ 【答案】(1)七年级（2）班有男生23人，女生25人 (2)要安排26名学生剪筒身，22名学生剪筒底 【知识点】和差倍分问题(一元一次方程的应用)、配套问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，熟练掌握配套问题是解题的关键． （1）设七年级（2）班有男生人，则女生有人，根据“男生人数比女生人数少2人”列出方程，然后解方程即可得到答案； （2）设安排名学生剪筒身，名学生剪筒底，根据“一个筒身配两个筒底，每小时剪出的筒身与筒底刚好配套”即可列方程求得结果． 【详解】（1）解：设七年级（2）班有男生人，则女生有人． 由题意得：， 解得，， 答：七年级（2）班有男生23人，女生25人． （2）解：设安排名学生剪筒身，名学生剪筒底，则 ， 解得：， ∴； 答：要安排26名学生剪筒身，22名学生剪筒底． 【题型13 】一元一次方程的实际应用：日历问题 61．如图，表中给出的是2024年11月的月历，任意选取“H”型框，框中含有7个数（如阴影部分所示），如果设“H”型框中的正中间的数为x，则： (1)求这7个数的和为多少？ (2)这张月历中这7个数的和可能是49吗？说明理由． 【答案】(1) (2)这张月历中这7个数的和不可能是49 【知识点】日历问题(一元一次方程的应用)、列代数式 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数之间的关系，用含的代数式表示出另外6个数；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程． （1）根据各数之间的关系，用含的代数式表示出另外6个数，再将7个数相加，即可用含的代数式表示出这7个数的和； （2）假设这张月历中这7个数的和能是49，根据这7个数的和是49，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值，将其代入中，可得出，不符合题意，进而可得出假设不成立，即这张月历中这7个数的和不可能是49． 【详解】（1）解：∵“H”型框中的正中间的数为， ∴另外6个数分别为， ∴这7个数的和为； （2）解：这张月历中这7个数的和不可能是49，理由如下： 假设这张月历中这7个数的和能是49， 根据题意得：， 解得：， ∴，不符合题意，舍去， ∴假设不成立， ∴这张月历中这7个数的和不可能是49． 62．“洛书”是我国文化中最古老、最神秘的事物之一．如图1，这是“洛书”的示意图．数出图1中各处的圆圈和圆点的个数，并按照图1中的顺序把它们填入正方形方格中，就得到一个幻方（如图2），此时每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数的和都为15． (1)①如图3，当______时，每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数的和都相等； ②若将，，，1，3，5，7，9，11这9个数填入图4的九个格子中，使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数的和都相等，则______． (2)将幻方迁移到月历，如图5，这是2024年12月的月历．某同学说：“在该月历中，不改变阴影方框的大小，将方框移动位置，方框中的9个数的和可以是189．”该同学的说法正确吗？请说明理由． 【答案】(1)①；②3 (2)该同学的说法正确，理由见解析 【知识点】日历问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，根据幻方的特点，得到每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数的和为幻方中央数字的3倍是解题的关键． （1）①根据题意，列出方程进行计算即可； ②根据每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数的和为幻方中央数字的3倍，列出方程进行求解即可； （2）设阴影方框的中央位置的数为x，根据题意，列出方程求出x的值，进行判断即可． 【详解】（1）解：①由题意得， 解得， 故答案为：； ②根据题意得， 解得， 故答案为：3； （2）解：正确．理由如下： 设阴影方框的中央位置的数为x， 由题意得， 解得， 当阴影方框中央位置数字为21时，方框中的9个数的和是189，故该同学的说法正确． 63．把1，2，3，4，5，…按如图所示的方式排列成一个表，用一个正方形框在表中任意框4个数，记左上角的一个数为． (1)另外三个数分别用含的式子表示出来，从小到大依次是_____，_____，_____． (2)当被框住的4个数之和等于416时，的值是多少？ (3)能否框住这样的4个数，使它们的和等于324？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)；；； (2)x的值为100 (3)不能框住4个数，使它们的和等于324，理由见解析 【知识点】日历问题(一元一次方程的应用)、列代数式 【分析】本题考查的是列代数式，一元一次方程的应用； （1）左右相邻两个数差1，上下相邻的两个数相差为7，据此表示其他三个数； （2）根据题意列出，解一元一次方程求出x的值； （3）令，求出x的值，进而作出判断． 【详解】（1）解：由图表可知：左右相邻两个数差1，上下相邻的两个数相差为7，左上角的一个数为x， 则另外三个数用含x的式子从小到大依次表示；；； （2）解：根据题意可得：， ， 解得， 答：x的值为100； （3）解：假设， 解得，77在第7列，但78在第1列 答：不能框住4个数，使它们的和等于324． 64．如图，将连续的奇数1，3，5，7，…按图1中的方式排成一个数表，用一个十字框框住5个数，这样框出的任意5个数（如图2）分别用a，b，c，d，x表示． (1)若，则=______； (2)设，用含x的式子分别表示M； (3)判断（2）中M的值能否等于2025，请说明理由． 【答案】(1)68 (2)； (3)能等于2025，理由见解析 【知识点】日历问题(一元一次方程的应用)、列代数式 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及列代数式，仔细阅读图表排列规律，观察出其余四个数与最中间的数的关系是解题的关键． （1）由可找出a、b、c、d的值，将其相加即可得出结论； （2）根据图形即可得出a、b、c、d与x之间的关系，将a、b、c、d相加即可得出结论； （3）根据，代入2025求出x的值，根据x的奇偶性即可得出M的值能等于2025． 【详解】（1）解：∵， ∴，，，， ∴； 故答案为：68； （2）解：由题意得，，，； ∴， ∴； （3）解：能等于2025，理由如下： ∵， 当时，， ∵405为奇数，，所以2025在第34行第5列， ∴的值能等于2025． 65．图1是某年10月的月历． (1)如图1所示，用一个框竖着框住三个数，若被框住的三个数的和为60，则这三个数分别为______． (2)如图1所示，若任意画一个十字框，框住五个数，设这五个数为，，，，，具体见图2，若，则的值为______． (3)（2）中画的十字框中，是否存在的值，使得？请说明理由． 【答案】(1)13，20，27； (2)12； (3)不存在，理由见解析． 【知识点】数字类规律探索、日历问题(一元一次方程的应用)、列代数式 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． (1)设这三个数中间的数为，则另外两个数分别为，，根据被框住的三个数的和为60，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）根据各数之间的关系，可得出，，， ，结合，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； (3)假设存在，根据，可得出关于的一元一次方程，解之可得出的值，再利用求出该值大于31，即可得出假设不成立，即不存在的值，使得． 【详解】（1）解：设这三个数中间的数为，则另外两个数分别为，． 根据题意得，解得． 所以，． 故答案为：13，20，27． （2）观察图1可知： ，，， 所以． ． 故答案为：12． （3）不存在． 理由如下： 假设存在，由（2）得， 解得．所以． 因为，所以假设不成立． 所以不存在的值，使得． 【题型14 】一元一次方程的实际应用：积分问题 66．为响应河南省“2024全民阅读”系列活动，某校开展“书香校园”文学阅读与知识竞赛活动．知识竞赛为百分制，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答． A，B，C三位参赛者得分情况如下表所示，求参赛者C答对的题数． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 19 1 94 C 58 【答案】参赛者C答对的题数为13 【知识点】比赛积分(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，先根据题意求出答对一道题得5分，错一道扣1分，再设参赛者C答对的题数为x，列出方程进行求解即可． 【详解】解：由参赛者A可得，答对一题得（分）， 结合参赛者B可得，答错一题扣（分）. 设参赛者C答对的题数为x， 根据题意，得， 解得：． 答：参赛者C答对的题数为13． 67．学校组织数学知识竞赛，共设计20道选择题，各题的分值相同，每题必答．下表列出了5名参赛同学的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 19 1 94 B 14 6 64 C 20 0 100 D 10 10 40 E 18 2 88 (1)同学F得76分，他答对了几道题？ (2)同学G说他得85分，你认为可能吗？为什么？ 【答案】(1)他答对了16道题； (2)不可能，见解析 【知识点】比赛积分(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的应用，根据题意列出等式是解题的关键． （1）根据题意得出答对一题得5分，答错一题扣1分，设同学F答对了a道题，答错了道题，根据题意列出方程求解即可； （2）假设他得85分可能，设答对了b道题，答错了道题，根据答对的得分+答错的得分分建立方程求出其解即可，注意b要为整数． 【详解】（1）解：根据题意得：答对一题得分，答错一题扣分， 设同学F答对了a道题，答错了道题，由题意得： ， 解得：． 答：他答对了16道题； （2）解：不可能，理由如下： 假设他得85分可能，设答对了b道题，答错了道题， 由题意得， 解得：， ∵b为整数， 而不是整数， ∴同学G说他得85分，是不可能的． 68．匹克球融合了羽毛球、乒乓球和网球的元素，是一项既有趣又有益的运动．某校七年级举行匹克球比赛，每个班级均比赛8场，前三名班级的积分榜信息（比赛无平局）如下表． 名次 班级 场次 胜场 负场 积分 1 （1）班 8 8 0 24 2 （5）班 8 6 2 a 3 （7）班 8 4 4 16 (1)从表中信息可以看出，胜一场积________分，负一场积________分，a的值为________． (2)若某班的总积分为14分，求该班的胜场次数．（列一元一次方程解决问题） (3)嘉嘉说他们班的总积分为11分，你认为可能吗？请说明理由． 【答案】(1)3；1；20 (2)3 (3)不可能，理由见解析 【知识点】比赛积分(一元一次方程的应用)、有理数四则混合运算的实际应用、整式加减的应用 【分析】本题考查一元一次方程的应用． （1）根据（1）班可以求得胜场积分，再根据（7）班即可求得负场积分，然后计算（5）班的积分即可得a的值； （2）根据题意可知，胜场积分负场积分总积分，可以列出相应的方程，然后求解即可； （3）根据题意可知，胜场积分+负场积分=总积分，可以列出相应的代数式，然后判断即可． 【详解】（1）解：由（1）班的成绩可知：胜一场得（分）， 由（7）班的成绩可知：负一场积分为（分）， ∴（5）班的积为为：（分）， 故答案为：2；1；20； （2）解：设该班级胜场次数为x， 由题意可得：， 解得， 答：该班级胜场次数为3； （3）解：不可能，理由如下： 设嘉嘉他们班胜场次数为y，则总积分为， ∵y为整数， ∴一定为偶数， 故不可能为11分． 69．在足球联赛中，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某队9场比赛保持不败． (1)设这支球队胜了x场比赛． ①根据信息填表（用含有x的式子表示）； 得分（分/场） 场次（场） 积分（分） 胜 3 平 1 ②若这支球队9场比赛得到的总积分是21分，请列一元一次方程，并求出这支球队的胜场数和平场数； (2)这支球队9场比赛的胜场总积分能等于它的平场总积分吗？（请列一元一次方程，说明你的结论．） 【答案】(1)①，；②胜6场，平3场 (2)不能，见解析 【知识点】比赛积分(一元一次方程的应用)、列代数式 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，掌握理解题意，建立方程是解题的关键． （1）①根据胜场加平场等于总场数列代数式即可；②根据胜场得分加平场得分为21分建立方程求解； （2）设胜y场，则平场，根据胜场总积分等于平场总积分建立方程求解判断． 【详解】（1）解：①由题意得平的场次为场，则积分为分，故填表为： 得分（分/场） 场次（场） 积分（分） 胜 3 平 1 ②由题意得， 解得：， 所以胜6场，平3场； （2）解：设胜y场，则平场， 由题意得， 解得：， ∵场数不是整数，故不符合题意， ∴这支球队9场比赛的胜场总积不能等于它的平场总积分． 70．某中学组织足球比赛，比赛规定：胜一场得2分，平一场得1分，负一场得0分．勇士队共参加8场比赛，在保持不败的情况下，共得13分．问此次比赛中勇士队胜了几场？ 【答案】胜了5场 【知识点】比赛积分(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系，列出方程求解． 设此次比赛中勇士队胜了场，则平了场，根据胜一场得2分，平一场得1分，共得13分，列出方程求解即可． 【详解】解：设此次比赛中勇士队胜了场，则平了场， 根据题意，得 解这个方程，得． 答：此次比赛中勇士队胜了5场． 【题型15 】一元一次方程的实际应用：数轴动点问题 71．已知如图，，为数轴上两点，点表示的数为，点表示的数为，点也是数轴上的点，如果点到点的距离是点到点的距离的倍，即，则可称点是的偶点，回答下列问题： （1）当在点，之间，点表示的数为______； （2）当为数轴上一点，点表示的数为________； 【深入思考】 （3）如图，、为数轴上两点，点表示的数为，点表示的数为，现有一个动点从点出发，以每秒个单位的速度向左运动，到达点停止，若运动时间为，求当为何值时，，，中恰有一个点为其余两点的偶点？ 【答案】（1）；（2）或；（3）秒或秒或秒 【知识点】数轴上两点之间的距离、动点问题（一元一次方程的应用）、数轴上点的平移（动点问题） 【分析】（1）根据偶点的定义，列方程求解即可； （2）根据题意，分两种情况，分别列方程求解即可； （3）根据题意，分四种情况分类讨论：①当点是的偶点时，；②当点是的偶点时，；③当点是的偶点时，；④点是的偶点时，；然后分别列方程求解． 【详解】（1）解：设点表示的数是， 点是的偶点，在点、之间， ，即， ，即点表示的数是． 故答案为：． （2）解：设点表示的数是， 依题得：或， 解得：或． 故答案为：或． （3）解：点从点出发，以每秒个单位的速度向左运动，到达点停止， 若运动时间为，则动点表示的数为，，， 分四种情况讨论： ①当点是的偶点时，， ， 解得：（秒）； ②当点是的偶点时，， ， 解得：（秒）； ③当点是的偶点时，， ， 解得：（秒）； ④当点是的偶点时，， ， 解得：（秒）． 综上所述，当为秒、秒或秒时，、、中恰有一个点为其余两点的偶点． 【点睛】本题考查的知识点是一元一次方程的实际应用，数轴上动点问题，数轴上两点之间的距离，解题关键是根据题意列出正确的方程并求解． 72．如图，点A、B在数轴上表示的数分别为a、b．其中，式子是关于x的二次三项式， (1)点P为数轴上A点左边一点，且，求点P在数轴上对应的数． (2)在（1）的条件下，若点P、A、B三点在数轴上同时向右运动，点P、A、B的速度分别是4个单位长度/秒、3个单位长度/秒、2个单位长度/秒，设点P运动的时间为t秒，当时，求t的值． (3)如图（2），点C在数轴上对应的数是1，点A、C的速度分别是3个单位长度/秒、2个单位长度/秒，当点A向左运动，点C向右运动，试问是否存在一个常数k使得不随运动时间t的改变而改变，若存在，请求出k；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点P对应的数为 (2)t=3 (3)当时，，当时， 【知识点】数轴上两点之间的距离、动点问题（一元一次方程的应用）、多项式系数、指数中字母求值 【分析】本题主要考查了数轴动点问题、一元一次方程实际应用． （1）由二次三项式可求，，进而表示出和，建立方程求解即可； （2）先将动点用含t的式子表示出来，进而在表示两点距离，这里有两种方法一则是利用绝对值，再分类讨论，二则是先分类讨论，然后表示，最后利用建立方程求解即可； （3）和第二问一样，先表示出动点，再分类讨论，要与t无关，令t的系数为0即可得解． 【详解】（1）解：是关于x的二次三项式， ，， ，， 点A表示的数为，点表示的数为4， 设P对应的数为， 根据题意可得：，， ， ， 解得：， 答：点P对应的数为； （2）解：当运动的时间为t秒时， 点P表示的数为：，点A表示的数为：，点B表示的数为：， ，， ， ， 或， 当时，方程无解， 当时， 解得：， 的值为3； （3）解：当运动t秒时，点A对应的数为：，点C对应的数为：， ，， 分以下两种情况讨论： ①当时，， ， ， 解得； ②当时，， ， ， 解得； 综上，当时，，当时，． 73．数轴上点A表示数a，点 B 表示数b，且a、b满足．点 M为数轴上一动点，其对应的数为 m． (1)点A表示的数为 ；若点M为线段的中点，则点M对应的数为 ； (2)点M在移动的过程中，当点M到点A、点B的距离之和为10时，求点M对应的数m； (3)对于数轴上的三点，给出如下定义：若当其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍关系时，则称该点是其他两个点的“2倍点”．例如：在数轴上点C表示的数为，点D表示的数为2，原点O到点C，点D 的距离分别为，，则，即原点O是点C，D的“2倍点”．点A、点B分别以每秒4个单位长度和每秒1个单位长度的速度同时向右运动，同时点M以每秒3个单位长度的速度从表示数5的点向左运动．设三个点的运动时间为t秒． ①当点M恰好是点A，B的“2倍点”时，求t的值； ②当点A恰好是点M，B的“2倍点”时，直接写出t的值． 【答案】(1)，1 (2)此时点M对应的数是或6； (3)①的值为或或；②或或 【知识点】数轴上两点之间的距离、动点问题（一元一次方程的应用）、绝对值非负性 【分析】本题考查数轴定义与性质，涉及数轴表示数、非负式和为零的条件、两点之间距离、数轴上中点表示方法、数轴动点问题等，根据题意，准确找到各个点表示的数，数形结合列式求解即可得到答案． （1）根据数轴的定义，由非负式和为零的条件得方程求解即可得到点、点表示的数，再由数轴上中点表示方法代值求解即可得到点M对应的数； （2）根据题意，数形结合，分三种情况讨论，列方程求解即可得到答案； （3）①根据题意，理解“2倍点”概念，数形结合，分情况讨论，列方程求解即可得到答案；②根据题意，理解“2倍点”概念，数形结合，分情况讨论，列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：数轴上点表示数，点表示数，且满足， ，且，解得， 点表示的数为；点表示的数为； 点M为线段的中点， 点M对应的数为， 故答案为：，1； （2）解：根据题意，分三种情况讨论： 当时，，则，解得； 当时，，不存在这样的； 当时，，则，解得； 综上所述，此时点M对应的数是或6； （3）解：①设出发后，表示的数是、表示的数是、M表示的数是，根据题意，分情况讨论： 当位置如图所示： 则、， 由点M是点的“2倍点”，数形结合得，即， 解得（负值，不合题意，舍去）； 当位置如图所示： 则、， 由点M是点的“2倍点”，数形结合，分两种情况： 若，即，解得； 若，即，解得； 当位置如图所示： 则、， 由点M是点的“2倍点”，数形结合得，即，解得； 当位置如图所示： 则、， 由点M是点的“2倍点”，数形结合得，即， 解得（负值，不合题意，舍去）； 综上所述，的值为或或； ②设出发后，表示的数是、表示的数是、M表示的数是，根据题意，分情况讨论： 当位置如图所示： 则、， 由点A是点M，B的“2倍点”，数形结合得，即， 解得（负值，不合题意，舍去）； 当位置如图所示： 则、， 由点A是点M，B的“2倍点”，数形结合，分两种情况： 若，即，解得； 当位置如图所示： 则、， 由点A是点M，B的“2倍点”，数形结合，分两种情况： 若，即，解得； 若，即，解得； 当位置如图所示： 则、， 由点A是点M，B的“2倍点”，数形结合得，即， 解得（负值，不合题意，舍去）； 综上所述，的值为或或． 74．如图，点A、B都在数轴上，O为原点，点A在原点O的右侧，点B在原点O的左侧，且O，A两点间的距离为2个单位长度，A，B两点间的距离为6个单位长度． (1)分别求出点A和点 B对应的数； (2)点M以每秒2个单位长度的速度从点B出发，沿数轴向右运动，运动时间为t秒，当点M与点A之间的距离为4个单位长度时，求t的值； (3)对折数轴，使数轴上点A与点B重合，求同时与 对应的点重合的点对应的数． 【答案】(1)点对应的数为2，点表示的数为 (2)的值为1或5 (3)同时与对应的点重合的点对应的数 【知识点】用数轴上的点表示有理数、动点问题（一元一次方程的应用） 【分析】题目主要考查数轴上的点的动点问题，一元一次方程的应用，理解题意是解题关键． （1）根据题意直接求解即可； （2）分两种情况：当点在点左侧时，当点在点右侧时，分别求解即可； （3）设线段的中点为，点所对应的数为，得出，设点所表示的数为，与表示的点重合，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可知：， ∴点对应的数为2， ， ∴点表示的数为； （2）当点在点左侧时，， 解得； 当点在点右侧时，， 解得． 综上所述，当点与点之间的距离为4个单位长度时，的值为1或5； （3）设线段的中点为，点所对应的数为， ∵对折数轴，使数轴上的点与点重合， ∴， ∴， 解得：， 设点所表示的数为，与表示的点重合， ∴点是线段的中点， ∴， ∴， 解得：． 答：同时与对应的点重合的点对应的数． 75．在数学综合实践活动课上，小亮同学借助于两根小木棒，研究数学问题：如图，他把两根木棒放在数轴上，木棒的端点，，，在数轴上对应的数分别为，，，，已知，，． (1)求和的值； (2)小亮把木棒，同时沿轴正方向移动，，的速度分别为个单位/和个单位/，设平移时间为， 若在平移过程中原点恰好是木棒的中点，求的值； 在平移过程中，当木棒，重叠部分的长为个单位长度时，求的值． 【答案】(1)，； (2)①若在平移过程中原点恰好是木棒的中点，求的值为；②当木棒，重叠部分的长为个单位长度时，的值为或． 【知识点】数轴上两点之间的距离、动点问题（一元一次方程的应用）、绝对值非负性 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，数轴上两点之间的距离，根据题意建立等量关系是解题的关键． （1）根据非负数的性质求解即可； （2）①先求出平移前木棒的中点，再根据原点恰好是木棒的中点，可得，进一步求解即可；设经过秒，木棒、重叠部分的长为个单位长度，分情况讨论，分别列一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴， （2）解：木棒的端点，在数轴上对应的数分别为，， ∴， 记木棒的中点为，则， ∴， ∵木棒沿轴正方向移动，速度为个单位/， ∴， ∴， 答：若在平移过程中原点恰好是木棒的中点，求的值为． 设经过秒，木棒，重叠部分的长为个单位长度， 当的右端和的左端重叠时， 根据题意可得，， 解得，， 当的左端和的右端重叠时， 根据题意可得，， 解得，， 答：当木棒，重叠部分的长为个单位长度时，的值为或． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．下列利用等式的基本性质变形，错误的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】B 【知识点】等式的性质1、等式的性质2 【分析】本题考查了等式的基本性质，根据等式的基本性质逐项分析即可得解，熟练掌握等式的基本性质是解此题的关键． 【详解】解：A、如果，等式两边都除以，那么，故原选项变形正确，不符合题意； B、如果，当时，得不出，故原选项变形错误，符合题意； C、如果，等式两边都减，那么，故原选项变形正确，不符合题意； D、如果，等式两边都乘以，那么，故原选项变形正确，不符合题意； 故选：B． 2．下列等式变形正确的是（　　） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】C 【知识点】等式的性质1、等式的性质2 【分析】本题主要考查了等式的基本性质，熟练掌握等式的基本性质是解题的关键． 根据等式的基本性质，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴，故本选项不符合题意； B、若，则，故本选项不符合题意； C、如果，那么，故本选项符合题意； D、当时，如果，那么，故本选项不符合题意． 故选：C 3．若关于的一元一次方程的解为,则的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】B 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、已知方程的解，求参数 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，能得出关于b的一元一次方程是解此题的关键．首先根据求出，再把代入方程中得，再求出关于b的方程的解即可． 【详解】方程为关于的一元一次方程， ， 解得， 又方程的解为， ， 解得， ， 故选：B． 4．下列方程变形正确的是（         ） A．由移项，得 B．由去括号，得 C．由系数化为1，得 D．由去分母，得 【答案】D 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了一元一次方程的知识，解题的关键是熟练掌握一元一次方程的性质，从而完成求解．根据一元一次方程的性质分析，即可得到答案． 【详解】解：A．由移项，得，故选项A错误； B．由去括号，得，故选项B错误； C．由系数化为1，得，故选项C错误； D．由去分母，得，故选项D正确； 故选：D． 5．小强在解方程“”时，将“”中的“”抄漏了，得出，则原方程正确的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、已知一元一次方程的解，求参数 【分析】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解的应用，能求出的值是解此题的关键．小强漏抄负号后解得的可求出k的值，再代入原方程求解即可． 【详解】小强将方程抄为，解得， 则将代入错误方程得：， 解得：． 原方程为：， 移项得：， 即， 解得：． 故选：A． 6．嘉嘉同学在解关于x的方程时，由于粗心大意，误将等号左边的“”看作了“”，其他解题过程均正确，从而解得方程的解为，则原方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母、已知一元一次方程的解，求参数 【分析】本题考查求含参数一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的计算方法是解题的关键． 利用“将错就错”的方法求出的值，再将代入原方程即可得到答案． 【详解】解：由题意可得：的解为， 将代入中，得： ∴， 再将代入中，得： ∴， 故选：B． 7．《九章算术》中有一道“盈不足术”的问题：今有一群人共买物，人出九，盈六；人出六，不足三，问人数几何？设共有人，所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．根据人数不变，即可得出关于y的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意得． 故选：A． 8．某服装店为回馈新老客户，打折销售店内服饰，已知店内某款服装每件的标价为380元，若按标价的八折销售，仍可获利75元，设这款服装每件的进价为x元（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．利用利润标价折扣率进价，即可列出关于x的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意得：． 故选：D． 二、填空题(本大题共7小题，每小题3分，共21分) 9．已知是方程的解，则 ． 【答案】 【知识点】已知方程的解，求参数 【分析】本题考查方程的解，将代入，解关于a的方程即可． 【详解】解：将代入，得：， 即， 解得， 故答案为：． 10．已知是关于x的一元一次方程，则a的值为 ． 【答案】 【知识点】判断是否是一元一次方程 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是 1 （次）的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是（a， b是常数且）．根据一元一次方程的定义求解即可． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程， 且， 解得：． 故答案为：． 11．当 时，代数式比的值大1． 【答案】 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题主要考查了解一元一次方程．根据题意得到，解方程即可得到答案． 【详解】解：根据题意得：， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 解得：． 故答案为： 12．当 时，代数式和的值互为相反数． 【答案】 【知识点】相反数的定义、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题主要考查了相反数的定义、解一元一次方程等知识点，根据相反数的定义列出方程是解题的关键． 先根据相反数的定义列出方程，然后求解即可． 【详解】解：由题意可得：， ， ， ， ． 故答案为：． 13．小玉在解方程去分母时，方程右边的“”项没有乘6．因而求得的解是，则 ． 【答案】3 【知识点】已知方程的解，求参数、已知一元一次方程的解，求参数 【分析】本题考查解整式方程．根据题意利用错误计算还原，即可得到本题答案． 【详解】解：由小玉的解法可知去分母后的方程为 ， 解得， ∵， ∴， 解得． 故答案为：3． 14．某测试卷只有25道选择题，做对1道得4分，做错1道扣1分．某同学做了全部试题，得了70分，他一共做对了 道． 【答案】19 【知识点】比赛积分(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 设某同学做对了道，那么他做错了道，他的得分应该是，据此可列出方程． 【详解】解：设某同学做对了道，则做错了道， 根据题意得：， 解得：， 故答案为：． 15．小红在某月的日历中任意框出如图所示的四个数，但不小心将墨水滴在上面遮盖了其中的两个数，用含字母的代数式表示的结果是 ． 【答案】/ 【知识点】日历问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，以及列代数式，弄清题意是解本题的关键．设阴影部分上面的数字为x，下面为，根据日历中数字特征确定出a与b的关系式即可． 【详解】解：设阴影部分上面的数字为x，下面为， 根据题意得：，，即， 整理得：， 故答案为：． 三、解答题(本大题共7小题，共55分) 16．（本题12分）解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、解一元一次方程（二）——去括号、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查解一元一次方程，掌握知识点是解题的关键． （1）根据解一元一次方程的步骤：移项，合并同类项，系数化为1，即可解答； （2）根据解一元一次方程的步骤：去括号，移项，合并同类项，系数化为1，即可解答； （3）根据解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，即可解答； （4）先将方程的分子与分母整数化，再根据解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，即可解答． 【详解】（1）解：， 移项，得， 合并，得， 系数化为1，得 （2）解：， 去括号，得 移项及合并，得， 系数化为1，得 （3）解： 去分母，得， 去括号，得， 移项及合并，得， 系数化为1，得． （4）解：原方程可化为 ， 即， 去分母，得， 去括号，得， 移项及合并，得， 系数化为1，得 ． 17．（本题5分）【问题】解方程： 【解题】解：____， 得， ……………………第一步 去括号，得                    ……………………第二步 移项，得，                         ……………………第三步 合并同类项，得，                        ……………………第四步 ……… 【批注】 (1)以上求解步骤中，第一步横线上应填的是_______ ，从第_______步开始出现错误； (2)请你写出正确的解答过程． 【答案】(1)去分母，三 (2)解答过程见详解 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了解一元一次方程，按步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、把x系数化为1，进行检查并解方程，即可求解． 【详解】（1）解：第一步横线上应填的是去分母， 移项，得，   从第三步开始出现错误； 故答案为：去分母，三； （2）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得，         系数化为，得． 18．（本题5分）定义：如果两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程为“成双方程”．例如：方程和为“成双方程”． (1)请判断方程与方程是否为“成双方程”； (2)若关于x的方程与方程互为“成双方程”，求的值． 【答案】(1)方程与方程不是互为“成双方程” (2) 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、解一元一次方程（二）——去括号、一元一次方程解的关系 【分析】本题考查了解一元一次方程和应用一元一次方程的根求参数的值，理解新定义是解题的关键． （1）根据题意，分别解一元一次方程，根据“成双方程”的定义验证即可求解； （2）分别解一元一次方程，根据“成双方程”的定义列出关于的方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：方程与方程不是互为“成双方程”，理由如下： 解，得， 解，得， ， 方程与方程不是互为“成双方程”． （2）解，得， 解，得， 关于x的方程与方程互为“成双方程”， ， ． 19．（本题5分）定义一种新的运算“※”： ，例如： ． (1)求2※的值； (2)若※，求的值． 【答案】(1)12 (2) 【知识点】有理数四则混合运算、解一元一次方程（二）——去括号 【分析】（1）根据，将，代入求解即可； （2）根据新定义，将，代入左边，得到一个一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：； （2）解：∵， ∴， ． 【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用、新定义下的有理数运算，正确计算是解题的关键． 20．（本题8分）某班数学兴趣小组对某商场进行调研后了解到：商场从厂家购进A，两款书包，其中A款书包4个，款书包7个，共付款760元，已知每个款书包的进价比每个A款书包贵30元．请根据以上信息解答下列问题： (1)求A，两款书包的进价； (2)商场将款书包按（1）中的进价提高后标价，再打九折出售，此时每个款书包的利润率是多少？ 【答案】(1)A款50元，B款80元 (2) 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，及利润问题，读懂题意，找准等量关系式，列出方程是解题的关键． （1）设每个A款书包为x元，则B款书包为元，利用A款书包的总价和B款书包的总价和付款总额，列出方程求解即可； （2）根据售价标价折扣，和利润，即可解答 【详解】（1）解：设每个A款书包为x元，则B款书包为元，根据题意得： 解得：， 则B款书包为元， （2）解：∵款书包按（1）中的进价提高后标价，再打九折出售， ∴元 ∴B款书包的利润率为：． 21．（本题10分）某旅游景点门票价格如下表：某校七年级（1）和（2）班共105人去游玩，其中七（1）班40多人不足50人，经计算，如果两个班都以班为单位购票，则一共应付1401元． 购票数量 1~50张 51~100张 100张以上 每张票的价格 15元 12元 10元 (1)两班各有多少人？ (2)如果两班联合起来，作为一个团体购票，能省多少钱？ (3)如果七年级（1）班单独组织游玩，作为组织者，你如何购票更省钱？请说明理由 【答案】(1)七年级（1）班47人，（2）班58人 (2)两个班联合起来，作为一个团体购票，可省351元 (3)直接购买51张票才最省钱，理由见解析 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、方案选择(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． （1）设七年级（1）班x人，根据题意可以得出，从而可以解答本题； （2）用（1）中求得的费用减去两班联合起来，作为一个团体购票的费用即可求解； （3）计算购买51张票的费用与原来费用比较即可解决问题． 【详解】（1）解：设七年级（1）班x人， ， 解得，， ∴， 答：七年级（1）班47人，（2）班58人； （2）解：（元）， 答：两个班联合起来，作为一个团体购票，可省351元； （3）解：若七年级（1）班按照人数买票的花费为：（元）， 如果七年级（1）班买51张票的花费为：（元）， ∵， ∴七年级（1）班单独组织游玩，作为组织者直接购买51张票最省钱． 22．（本题10分）某市为鼓励居民节约用水，采取分段计费的方法按月计算每户家庭的水费，月用水量与水费的单价如下表： 月用水量 不超过 超过 水费价格 4元/ 不超过的部分仍按4元/计费， 超过部分按6元/计费 (1)每户用水量为n，用式子表示： ①当月用水量不超过时，应收水费________元； ②当月用水量超过时，应收水费________元； (2)小明家七、八月份共用水50，共交水费208元，已知七月份用水不超过24 ，请帮小明计算他家这两个月各用水多少立方米． 【答案】(1)①　② (2)小明家七月份用水22 ，八月份用水28 【知识点】列代数式、电费和水费问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查的是列代数式，一元一次方程的应用，确定相等关系是解本题的关键； （1）根据不超过时，直接利用单价乘以数量计算即可，根据超过，利用分段收费的单价与数量列式计算即可； （2）设小明家七月份用水，则八月份用水，由于七月份用水不超过，所以八月份用水一定超过．再根据总费用为208元，再建立方程求解即可. 【详解】（1）解：①当月用水量不超过时，应收水费元； ②当月用水量超过时，应收水费 元． 故答案为：； （2）设小明家七月份用水，则八月份用水， 由于七月份用水不超过，所以八月份用水一定超过． 根据题意，得， 解得， 则． 答：小明家七月份用水，八月份用水． $2025-2026学年七年级上学期（2024苏科版） 专题07 一元一次方程避坑指南与题型全归纳 - 2 - - 2 - - 3 - - 6 - 【题型1】 利用等式的性质判断等式变形正误 - 6 - 【题型2】 根据方程解的概念求参数的值 - 2 - 【题型3】 一元一次方程的概念判断 - 2 - 【题型4】 根据一元一次方程的概念求参数的值 - 2 - 【题型5】 一元一次方程的解法 - 2 - 【题型6】 一元一次方程的新定义问题 - 2 - 【题型7】 一元一次方程的实际应用：古代数学文化问题 - 4 - 【题型8】 一元一次方程的实际应用：工程问题 - 2 - 【题型9】一元一次方程的实际应用：行程问题 - 4 - 【题型10】一元一次方程的实际应用：销售问题 - 2 - 【题型11】 一元一次方程的实际应用：水费电费问题 - 4 - 【题型12】 一元一次方程的实际应用：配套问题 - 7 - 【题型13】一元一次方程的实际应用：日历问题 - 9 - 【题型14】一元一次方程的实际应用：积分问题 - 12 - 【题型15】一元一次方程的实际应用：数轴动点问题 - 14 - - 17 - · 理解等式的概念、基本性质、方程、方程的解的概念； · 掌握一元一次方程的概念、解法； · 会利用一元一次方程解决简单的实际问题； 考点 考点详解 避坑指南 等式 1．等式的概念：用符号“=”来表示相等关系的式子叫做等式. 2.等式的性质： （1）基本性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等. 数学语言表示： 如果，那么. （2）基本性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等. 数学语言表示：如果，那么. 如果，，那么. 1.由，可以得到．此时对 但由，得不到，这是最易错的，最容易踩的坑，因为如果，也是可以成立的，例如： ,显然 所以要由，得到，必须加上条件才可以。 2.由,不加任何条件可以得到,因为 方程 1．定义：含有未知数的等式叫做方程. 2.方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解. 3.解方程：求方程的解的过程叫做解方程. 方程的解是一个数值，是使得方程成立的一个数，而解方程是求解的过程。 一元一次方程概念 1.一元一次方程的定义：只含有一个未知数（元），且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程. 1.关于方程中未知数的次数要注意，=1中，这个一定要注意避免踩坑。 2.一元一次方程需要同时满足以下条件： 有等号;有一个未知数;含有未知数的式子都是整式;未知数的次数都是1． 一元一次方程的解法 1.去分母 2.去括号 3.移项 4.合并同类项 5.系数化成1 1.不要漏乘不含分母的项 2.分子是一个整体的，去分母后应加上括号； 3.不要漏乘括号里的项； 4.移项别忘了变号； 5.不要把分子、分母写颠倒。 这五步中每一步都有易错点，步步小心少踩坑。 一元一次方程的应用 1.列方程解应用题的基本思路为： 问题方程解答． 由此可得解决此类题的一般步骤为： 审、设、列、解、检验、答． 1.“审”的关键是寻找等量关系； 2.“设”就是设未知数，一般是直接设，也可以间接设； 3.“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一； 4.“解”就是解方程，求出未知数的值； 5.“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可； 6.“答”就是写出答案，注意单位要写清楚． 典例1．已知是关于x的一元一次方程． (1)求m的值； (2)解出以上方程． 【答案】(1)3 (2) 【知识点】判断是否是一元一次方程、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查一元一次方程的定义，解一元一次方程： （1）根据一元一次方程的定义可得的系数为0，的系数不能为0，由此可解； （2）将m的值代入，解方程即可． 【详解】（1）解：由题意知， 且，………避坑指南：不仅要考虑让的系数为0， 的系数不能为0 解得， ； （2）解：由题意知， 即， 移项，得， 系数化为1，得．……避坑指南：此处容易错写成 典例2．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)2 (2) 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、解一元一次方程（二）——去括号、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为（对于含分母的方程需先去分母）． （1）先去括号去掉括号及前面的系数，再移项将含未知数的项和常数项分别移到等号两边，合并同类项后将系数化为1求解； （2）先找分母的最小公倍数去分母，再去括号、移项、合并同类项，最后系数化为1求解． 【详解】（1）解： 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得． （2） 去分母（两边同乘6），得……避坑指南：此步容易漏掉 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得． 典例3．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程互为“阳光方程”．例如：的解为，的解为，所以这两个方程互为“阳光方程”． (1)若关于x的一元一次方程与是“阳光方程”，求m的值； (2)已知两个一元一次方程互为“阳光方程”，且这两个“阳光方程”的解的差为5．若其中一个方程的解为，求k的值． 【答案】(1) (2)3或 【知识点】已知方程的解，求参数、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程． （1）分别求得两个方程的解，利用“阳光方程”的定义列出关于m的方程解答即可； （2）利用“阳光方程”的定义得出两个“阳光方程”的解为，，由两个“阳光方程”的解的差为5列出关于k的方程解答即可． 【详解】（1）解：关于x的一元一次方程的解为：， 方程的解为：， ∵关于x的一元一次方程与是“阳光方程”， ∴， ∴； （2）解：∵“阳光方程”的一个解为，则另一个解为， ∵这两个“阳光方程”的解的差为5， 则或， 解得或． 故k的值为3或． 典例4．小张开了一家皮鞋店，为尽快出售，小张决定将皮鞋打折销售．若每双皮鞋按标价的4折出售将亏40元，而按标价的8折出售将赚40元． (1)请你算一算每双皮鞋的标价和进价各是多少元？ (2)该皮鞋改款后，小张又以同样的进价进货500件，若标价不变，按标价销售了300件后，剩下的进行大甩卖，为了尽快减少库存，又要保证盈利2万元，请你告诉小张最低能打几折？ 【答案】(1)每双皮鞋的标价为200元，进价为120元 (2)小张最低能打5折 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键． （1）设每双皮鞋的标价为元，则每双皮鞋的进价为元，根据题意列出方程，求出的值，即可解答； （2）设小张最低能打折，根据题意列出方程，求出的值即可解答． 【详解】（1）解：设每双皮鞋的标价为元，则每双皮鞋的进价为元， 由题意得，， 解得：， 则， 答：每双皮鞋的标价为200元，进价为120元． （2）解：设小张最低能打折， 由题意得，， 解得：， 答：小张最低能打5折． 【题型1】 利用等式的性质判断等式变形正误 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：优尖升教育 网址：shop492842749.taobao.com 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：优尖升教育 网址：shop492842749.taobao.com 2025-2026学年七年级上学期数学同步培优 ——重点、热点、难点题型全归纳 - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 1．下列各式中，不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．下列运用等式的性质对等式进行的变形中，正确的是（    ） A．若，则． B．若，则． C．若，则． D．若，则． 3．运用等式的基本性质，下列变形错误的是（  ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．下列变形中，正确的是（    ） A．若，那么 B．若，那么 C．，那么 D．若，那么 5．下列运用等式的性质变形正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【题型2 】 根据方程解的概念求参数的值 6．若是方程的解，则a的值是（   ） A． B．36 C．72 D． 7．若2是关于的方程的解，则的值为（   ） A． B．2 C． D． 8．若是方程的解，则k的值是（   ） A． B．5 C．1 D． 9．若关于x的一元一次方程的解为，则代数式的值为（   ） A． B．3 C． D．2 10．若是方程的解，则的值为 ． 【题型3 】 一元一次方程的概念判断 11．下列四个方程属于一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 12．下列属于一元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 13．下列方程中，是一元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 14．下列方程是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 15．下列方程中，是一元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 【题型4】 根据一元一次方程的概念求参数的值 16．如果关于x的方程是一元一次方程，则a、b的值分别为（　　） A．1， B．，1 C．0，2 D．0，1 17．方程是一元一次方程，则的值为（ ） A．8 B． C． D．16 18．若方程是关于x的一元一次方程，则这个方程的解是（　　） A． B． C． D． 19．已知方程是关于x的一元一次方程，则 ． 20．若是关于的一元一次方程，则的值为 ． 【题型5 】 一元一次方程的解法 21．解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 22．解下列方程： (1)； (2)． 23．解方程： (1)； (2)． 24．解下列方程： (1) (2) (3) (4) 25．解方程： (1) (2) 【题型6】 一元一次方程的新定义问题 26．【定义】若关于x的一元一次方程的解满足，则称该方程为“友好方程”．例如：方程的解为，而，则方程为“友好方程”． 【运用】 (1)在①，②两个方程中，为“友好方程”的是______（填序号） (2)若关于x的一元一次方程是“友好方程”，求b的值． 27．定义：若关于x的一元一次方程（的常数）的解满足，则称该方程为“差解方程”，例如：方程的解为，而，则方程为“差解方程”．根据题意，解决下面问题： (1)方程_____（填“是”或“不是”）“差解方程”； (2)关于x的一元一次方程是“差解方程”，求m的值； 28．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于的方程与方程是“美好方程”，求的值： (2)若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为，求的值； (3)若无论取任何有理数，关于的方程（，为常数）与关于的方程是“美好方程”，求的值． 29．定义：如果两个一元一次方程的解之和为，我们就称这两个方程互为“成双方程”． 例如：判断方程和，是否互为“成双方程”． 解：方程和是互为“成双方程”，理由如下： 解方程，解得．解方程，解得． ，方程和互为“成双方程”． (1)请判断方程与方程是否互为“成双方程”，并说明理由； (2)若关于的方程与方程互为“成双方程”，求的值． 30．定义：已知关于的一元一次方程（其中，，为常数），若这个方程的解为，则称这样的方程为“和合方程”．例如：的解为，而，则方程就是“和合方程”． (1)判断：方程 “和合方程”；（填“是”或“不是”） (2)若关于的一元一次方程是“和合方程”，求的值． 【题型7】 一元一次方程的实际应用：古代数学文化问题 31．我国古代数学著作《算学启蒙》一书记载：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里；驽马先行一十二日，问良马几何追及之．其大意是：良马每天走240里，劣马每天走150里；劣马先走12天．问良马几天可以追上劣马？（列方程求解） 32．《孙子算经》记载：“今有木，不知长短；引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”（尺、寸是长度单位，1尺=10寸）．意思是：现有一根长木，不知道其长短，用一根绳子去度量长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再度量长木，长木还剩余1尺，问长木长多少？ 33．《张丘建算经》由北魏数学家张丘建所著，其中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘：三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人．若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子，问客人和盘子各有多少？”请你解答这个问题． 34．《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：清明游园，共坐八船，大船满六，小船满四，三十八学子，满船坐观，请问客家，大小几船？其大意为：清明时节出去游园，所有人共坐了8只船，大船每只坐6人，小船每只坐4人，38人刚好坐满，问：大小船各有几只？ 35．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”大意是：有一个人走了378里路，第一天健步行走，第二天因脚疼，每天走的路程为前一天的一半，走了6天才到达目的地．请计算此人第二天走的路程．(注：里，古代长度单位) 【题型8 】 一元一次方程的实际应用：工程问题 36．一项工程，甲独做要 12 小时完成，乙独做 18 小时完成．如果先由甲工作 1 小时，然 后由乙接替甲工作 1 小时，再由甲接替乙工作 1 小时……两人如此交替工作，那么： (1)完成任务时共用了多少小时？ (2)如果把条件中的“乙独做 18 小时完成”改为“乙独做 15 小时完成”，则完成任务时 共用了多少小时呢？ 37．整理一批图书，由一个人做要40小时完成．现在计划有一部分人先做4小时，再增加2人和他们一起做8小时后才完成这项工作．若这些人的工作效率相同，那么先安排多少人工作4小时？ 38．某市道路改造工程，如果让甲工程队单独工作，需要45天完成，如果让乙工程队单独工作，需要90天完成．甲工程队施工每天需付工费2.5万元，乙工程队施工每天需付费1.3万元． (1)甲、乙两个工程队一起合作多少天就可以完成此项工程？ (2)甲、乙两个工程队一起合作15天后，甲工程队因另有任务调离，剩下的部分由乙工程队单独做，问共需多少天才能完成此项工程？ (3)如果工程必需要在36天内（含36天）完成，如何安排两个工程队施工，才能使施工费最少？请说出你的安排方法，并求出所需要的施工费． 39．一项工程，甲队单独做天可以完成，乙队单独做天可以完成，丙队单独做天可以完成．如果先由三队合作天，剩下的由甲队单独完成，那么甲队还需要多少天才能完成这项工程？ 40．整理一批数据，由一人做需要，现在先安排一些人做，然后再增加3人做，刚好完成这项工作的．问先安排做的人数是多少？ 【题型9 】一元一次方程的实际应用：行程问题 41．一列匀速前进的火车，从它开始进入米长的隧道到完全通过隧道共用了秒，隧道顶部一盏固定的小灯的灯光在火车上照射了秒钟，求这列火车的长为多少米？ 42．小秦和小明在操场练习跑步，两人从同一起点A出发，小秦每分钟跑300米，小明每分钟跑200米，小秦比小明晚出发3分钟，结果两人同时到达终点B，求两地的路程． 43．甲、乙两地相距千米，、两车分别从甲乙两地开出，车每小时行驶千米，车每小时行驶千米． (1)若两车相向而行，车提前小时出发，求车出发后几小时两车相遇？ (2)若、两车同向而行，车在前，车在后，车先行小时，求车出发几小时后两车相距千米？ 44．已知A，B，C三地依次在同一条直线上，A，C两地距离465千米，A，B两地距离330千米． (1)现有甲、乙两车分别从A，B两地相向而行，两车均保持匀速行驶且甲车的速度是乙车速度的3倍，若甲车比乙车提前1小时出发，则甲车出发后3小时两车相遇．求甲、乙两车的速度分别是多少千米/小时？ (2)如果甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，向C地行驶，两车保持（1）中的速度，求经过多少小时两车相距30千米？ 45．甲、乙两人沿环形跑道散步，已知甲的速度为，乙的速度为，跑道一圈长． (1)若两人同时同地同向出发，则多长时间后他们第一次相遇？ (2)若两人同时同地反向出发，则多长时间后他们第一次相遇？ 【题型10 】一元一次方程的实际应用：销售问题 46．春节将至，中央广播电视总台《2025年春节联欢晚会》发布官方吉祥物形象“巳升升”，祝福全球华人在新的一年如意康宁，好事连连．“巳升升”吉祥物摆件也随之热销，某超市用18000元从厂家购进了300个“巳升升”摆件，并以每个80元的价格销售，销售了一部分后正值元旦促销，该超市将剩下的“巳升升”摆件在原售价的基础上打9折继续销售，并且全部售完．已知这批“巳升升”摆件获得的总利润是4560元． (1)求每个“巳升升”摆件的进价是多少元？ (2)请你算一算打9折前共售出多少个“巳升升”摆件？ 47．某体育用品店在“双十一”期间特别准备篮球和足球进行促销活动，其中每个篮球的进价比每个足球的进价多元，购进个篮球和个足球共需元． (1)篮球和足球的进价分别是多少元？ (2)该店购进了篮球和足球共个，篮球在进价的基础上加价进行标价，足球在进价的基础上加价元进行标价，若按标价售完全部篮球和足球共可获利元，求该店购进的篮球和足球分别是多少个？ (3)在（）的条件下，“双十一”期间，若篮球按标价折出售，足球按标价先卖出个，余下的部分按标价降价出售，若篮球和足球全部售出，该店可获得利润多少元？ 48．国庆节期间蔬菜加工公司共储存蔬菜吨，根据市场信息，将蔬菜直接销售，每吨可获利元；如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工吨，每吨可获利元；如果进行精加工，每天可加工吨，每吨可获利元．限于公司加工条件，在同一天中只能采用一种方式加工，计划要求必须在节日期间（7天）全部销售出去．为此公司制定了以下几种销售方案： 方案一：直接销售； 方案二：全部粗加工销售； 方案三：7天时间都进行精加工，未来得及加工的在市场上直接销售； (1)上述三种方案那种获利最多？请通过计算说明理由． (2)问：是否存在第四种方案可获得更多利润？若存在，求销售后所获利润；若不存在，请说明理由． 49．小王看到两个超市的促销信息如图所示． 甲超市促销信息栏 乙超市促销信息栏 全场8.8折 不超过200元，不给予优惠 超过200元而不大于500元，打9折 超过500元，500元的部分优惠，超过500元的部分打8折 (1)当一次性购物标价总额是300元时，甲、乙超市实付款分别是多少？ (2)当标价总额是多少时，甲、乙超市实付款一样？ (3)小王两次到乙超市分别购物标价198元和466元，若他只去一次该超市购买同样多的商品，可以节省多少元？ 50．平价商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件进价50元，售价80元，乙种商品每件进价40元，售价60元． (1)乙种商品每件的利润率为______． (2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价用去2100元，求购进甲种商品多少件？ (3)在“元旦”期间，该商场对甲、乙两种商品进行如表的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额不超过380元 优惠措施不优惠 超过380元，但不超过500元 售价打九折 超过500元 售价打八折 按上述优惠条件，若小明这天只购买了甲种商品，实际付款432元，求小明这天在该商场购买甲商品多少件？ 【题型11 】 一元一次方程的实际应用：水费电费问题 51．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，株洲市采用分段收费，规定每月每户居民生活用水标准量为，每月生活用水的收费标准（单位：元）及单价说明如表所示： 用水量 单价（元） 费用说明 免收污水处理费 超出的部分 超出的部分加收污水处理费元 某居民某月用水，共缴纳水费23元． (1)求a的值； (2)该居民用户10月份缴纳水费71元，求该用户10月份的用水量． 52．节约用水．市政府决定对居民用水实行三级阶梯水价： 每户每月用水量 水费价格（单位：元/立方米） 不超过22立方米 2.3 超过22立方米且不超过30立方米的部分 a 超过30立方米的部分 4.6 (1)若小明家去年2月份用水量是26立方米，缴费64.4元，求出用水在22～30立方米的收费标准a？ (2)在（1）条件下，若小明家去年8月份用水量增大，共缴费87.4元，请求出他家8月份的用水量是多少立方米？ 53．为响应国家节能减排的号召，鼓励人们节约用电，保护能源，某市实施用电“阶梯价格”收费制度．收费标准如表： 居民每月用电量 单价（元/度） 不超过50度的部分 0.5 超过50度但不超过200度的部分 0.6 超过200度的部分 0.8 已知小刚家上半年的用电情况如下表（以200度为标准，超出200度记为正、低于200度记为负）： 一月份 二月份 三月份 四月份 五月份 六月份 根据上述数据，解答下列问题： (1)小刚家用电量最多的是___________月份，实际用电量为___________度； (2)小刚家一月份应交纳电费___________元； (3)若小刚家七月份应交纳的电费为163元，求小刚家七月份的用电量． 54．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的手段达到节水的目的，该市自来水收费的收费标准如下表： 收费标准（注：水费按月份结算） 每月用水量 单价（元/立方米） 不超出6立方米的部分 2 超出6立方米不超出10立方米的部分 4 超出立方米的部分 8 例如：某户居民1月份用水8立方米，应收水费为（元） 请根据上表的内容解答下列问题： (1)若某户居民2月份用水7立方米，则应收水费多少元？ (2)若某户居民4月份用水a立方米（其中），请用含a的代数式表示应收水费多少元？（结果需化简） (3)若某户居民3月份交水费60元，则3月份用水量为多少立方米？ 55．居民生活用水通常按户计费.下表是某城市居民生活用水的收费标准，称这样的收费方式为阶梯计价． 收费方式 年用水量 收费标准（元） 第一阶梯 0~180（含180） 4.5 第二阶梯 180~240（含240） 6 第三阶梯 240以上 （例如：该城市某户家庭年用水量为，则水费为元） (1)若该城市小明家2024年的年用水量为，则小明家这一年的水费是______元； (2)已知该城市小颖家2024年的年用水量为，水费为1650元，求的值； 【题型12 】 一元一次方程的实际应用：配套问题 56．在手工制作课上，老师组织七年级（）班的学生用硬纸制作圆柱形茶叶筒．七年级（）班共有名学生，每名学生每小时可以剪筒身个或剪筒底个，要求个筒身配个筒底，为了使每小时剪出的筒身与筒底恰好配套，应该分配多少名学生剪筒身，多少名学生剪筒底？ 57．列一元一次方程解决实际问题（两问均需用方程求解） 第19届亚洲夏季运动会于2023年9月23日在杭州举行，象征杭州三大世界文化遗产的吉祥物“宸宸”“琮琮”“莲莲”通过不同色彩、不同纹饰向世界讲述“江南忆”的美丽故事．现有工厂生产吉祥物的盲盒，分为A、B两种包装，该工厂共有1000名工人． (1)若该工厂生产盲盒A的人数比生产盲盒B的人数的2倍少200人，请求出生产盲盒A的工人人数； (2)为了促销，工厂按商家要求生产盲盒大礼包，该大礼包由2个盲盒A和3个盲盒B组成．已知每个工人平均每天可以生产20个盲盒A或10个盲盒B，且每天只能生产一种包装的盲盒．该工厂应该安排多少名工人生产盲盒A，多少名工人生产盲盒B才能使每天生产的盲盒正好配套？ 58．列方程解应用题：有一批生产桌椅的木料，每块木料均相同．已知一块该木料可以生产桌子2张或椅子5把，如何分配78块这样的木料，可使生产的桌子和椅子恰好配套（一张桌子配4把椅子）？ 59．用一元一次方程解决下列问题： 山东淄博陶瓷生产史已逾万年，享有“淄博陶瓷，当代国窑”的美誉．某陶瓷器厂烧制陶瓷茶具，每套茶具由1个茶壶和6只茶杯组成，用1千克瓷泥可做3个茶壶或9只茶杯．现要用6千克瓷泥全部制作这类茶具，则用多少千克瓷泥做茶壶时，恰好使制作的茶壶和茶杯配套？ 60．手工制作课上，劳动课吴老师组织七年级（2）班的学生用硬纸制作圆柱形茶叶筒．七年级（2）班共有48人，其中男生人数比女生人数少2人，并且每名学生每小时剪筒身55个或剪筒底130个． (1)七年级（2）班有男生、女生各多少人？ (2)七年级（2）班全体同学积极参与制作圆柱形茶叶筒，要求用一个筒身配两个筒底，为了使每小时剪出的筒身与筒底刚好配套，应该分配多少名学生剪筒身，多少名学生剪筒底？ 【题型13 】一元一次方程的实际应用：日历问题 61．如图，表中给出的是2024年11月的月历，任意选取“H”型框，框中含有7个数（如阴影部分所示），如果设“H”型框中的正中间的数为x，则： (1)求这7个数的和为多少？ (2)这张月历中这7个数的和可能是49吗？说明理由． 62．“洛书”是我国文化中最古老、最神秘的事物之一．如图1，这是“洛书”的示意图．数出图1中各处的圆圈和圆点的个数，并按照图1中的顺序把它们填入正方形方格中，就得到一个幻方（如图2），此时每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数的和都为15． (1)①如图3，当______时，每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数的和都相等； ②若将，，，1，3，5，7，9，11这9个数填入图4的九个格子中，使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数的和都相等，则______． (2)将幻方迁移到月历，如图5，这是2024年12月的月历．某同学说：“在该月历中，不改变阴影方框的大小，将方框移动位置，方框中的9个数的和可以是189．”该同学的说法正确吗？请说明理由． 63．把1，2，3，4，5，…按如图所示的方式排列成一个表，用一个正方形框在表中任意框4个数，记左上角的一个数为． (1)另外三个数分别用含的式子表示出来，从小到大依次是_____，_____，_____． (2)当被框住的4个数之和等于416时，的值是多少？ (3)能否框住这样的4个数，使它们的和等于324？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 64．如图，将连续的奇数1，3，5，7，…按图1中的方式排成一个数表，用一个十字框框住5个数，这样框出的任意5个数（如图2）分别用a，b，c，d，x表示． (1)若，则=______； (2)设，用含x的式子分别表示M； (3)判断（2）中M的值能否等于2025，请说明理由． 65．图1是某年10月的月历． (1)如图1所示，用一个框竖着框住三个数，若被框住的三个数的和为60，则这三个数分别为______． (2)如图1所示，若任意画一个十字框，框住五个数，设这五个数为，，，，，具体见图2，若，则的值为______． (3)（2）中画的十字框中，是否存在的值，使得？请说明理由． 【题型14 】一元一次方程的实际应用：积分问题 66．为响应河南省“2024全民阅读”系列活动，某校开展“书香校园”文学阅读与知识竞赛活动．知识竞赛为百分制，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答． A，B，C三位参赛者得分情况如下表所示，求参赛者C答对的题数． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 19 1 94 C 58 67．学校组织数学知识竞赛，共设计20道选择题，各题的分值相同，每题必答．下表列出了5名参赛同学的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 19 1 94 B 14 6 64 C 20 0 100 D 10 10 40 E 18 2 88 (1)同学F得76分，他答对了几道题？ (2)同学G说他得85分，你认为可能吗？为什么？ 68．匹克球融合了羽毛球、乒乓球和网球的元素，是一项既有趣又有益的运动．某校七年级举行匹克球比赛，每个班级均比赛8场，前三名班级的积分榜信息（比赛无平局）如下表． 名次 班级 场次 胜场 负场 积分 1 （1）班 8 8 0 24 2 （5）班 8 6 2 a 3 （7）班 8 4 4 16 (1)从表中信息可以看出，胜一场积________分，负一场积________分，a的值为________． (2)若某班的总积分为14分，求该班的胜场次数．（列一元一次方程解决问题） (3)嘉嘉说他们班的总积分为11分，你认为可能吗？请说明理由． 69．在足球联赛中，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某队9场比赛保持不败． (1)设这支球队胜了x场比赛． ①根据信息填表（用含有x的式子表示）； 得分（分/场） 场次（场） 积分（分） 胜 3 平 1 ②若这支球队9场比赛得到的总积分是21分，请列一元一次方程，并求出这支球队的胜场数和平场数； (2)这支球队9场比赛的胜场总积分能等于它的平场总积分吗？（请列一元一次方程，说明你的结论．） 70．某中学组织足球比赛，比赛规定：胜一场得2分，平一场得1分，负一场得0分．勇士队共参加8场比赛，在保持不败的情况下，共得13分．问此次比赛中勇士队胜了几场？ 【题型15 】一元一次方程的实际应用：数轴动点问题 71．已知如图，，为数轴上两点，点表示的数为，点表示的数为，点也是数轴上的点，如果点到点的距离是点到点的距离的倍，即，则可称点是的偶点，回答下列问题： （1）当在点，之间，点表示的数为______； （2）当为数轴上一点，点表示的数为________； 【深入思考】 （3）如图，、为数轴上两点，点表示的数为，点表示的数为，现有一个动点从点出发，以每秒个单位的速度向左运动，到达点停止，若运动时间为，求当为何值时，，，中恰有一个点为其余两点的偶点？ 72．如图，点A、B在数轴上表示的数分别为a、b．其中，式子是关于x的二次三项式， (1)点P为数轴上A点左边一点，且，求点P在数轴上对应的数． (2)在（1）的条件下，若点P、A、B三点在数轴上同时向右运动，点P、A、B的速度分别是4个单位长度/秒、3个单位长度/秒、2个单位长度/秒，设点P运动的时间为t秒，当时，求t的值． (3)如图（2），点C在数轴上对应的数是1，点A、C的速度分别是3个单位长度/秒、2个单位长度/秒，当点A向左运动，点C向右运动，试问是否存在一个常数k使得不随运动时间t的改变而改变，若存在，请求出k；若不存在，请说明理由． 73．数轴上点A表示数a，点 B 表示数b，且a、b满足．点 M为数轴上一动点，其对应的数为 m． (1)点A表示的数为 ；若点M为线段的中点，则点M对应的数为 ； (2)点M在移动的过程中，当点M到点A、点B的距离之和为10时，求点M对应的数m； (3)对于数轴上的三点，给出如下定义：若当其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍关系时，则称该点是其他两个点的“2倍点”．例如：在数轴上点C表示的数为，点D表示的数为2，原点O到点C，点D 的距离分别为，，则，即原点O是点C，D的“2倍点”．点A、点B分别以每秒4个单位长度和每秒1个单位长度的速度同时向右运动，同时点M以每秒3个单位长度的速度从表示数5的点向左运动．设三个点的运动时间为t秒． ①当点M恰好是点A，B的“2倍点”时，求t的值； ②当点A恰好是点M，B的“2倍点”时，直接写出t的值． 74．如图，点A、B都在数轴上，O为原点，点A在原点O的右侧，点B在原点O的左侧，且O，A两点间的距离为2个单位长度，A，B两点间的距离为6个单位长度． (1)分别求出点A和点 B对应的数； (2)点M以每秒2个单位长度的速度从点B出发，沿数轴向右运动，运动时间为t秒，当点M与点A之间的距离为4个单位长度时，求t的值； (3)对折数轴，使数轴上点A与点B重合，求同时与 对应的点重合的点对应的数． 75．在数学综合实践活动课上，小亮同学借助于两根小木棒，研究数学问题：如图，他把两根木棒放在数轴上，木棒的端点，，，在数轴上对应的数分别为，，，，已知，，． (1)求和的值； (2)小亮把木棒，同时沿轴正方向移动，，的速度分别为个单位/和个单位/，设平移时间为， 若在平移过程中原点恰好是木棒的中点，求的值； 在平移过程中，当木棒，重叠部分的长为个单位长度时，求的值． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．下列利用等式的基本性质变形，错误的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 2．下列等式变形正确的是（　　） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 3．若关于的一元一次方程的解为,则的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 4．下列方程变形正确的是（         ） A．由移项，得 B．由去括号，得 C．由系数化为1，得 D．由去分母，得 5．小强在解方程“”时，将“”中的“”抄漏了，得出，则原方程正确的解是（   ） A． B． C． D． 6．嘉嘉同学在解关于x的方程时，由于粗心大意，误将等号左边的“”看作了“”，其他解题过程均正确，从而解得方程的解为，则原方程的解是（   ） A． B． C． D． 7．《九章算术》中有一道“盈不足术”的问题：今有一群人共买物，人出九，盈六；人出六，不足三，问人数几何？设共有人，所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 8．某服装店为回馈新老客户，打折销售店内服饰，已知店内某款服装每件的标价为380元，若按标价的八折销售，仍可获利75元，设这款服装每件的进价为x元（    ） A． B． C． D． 二、填空题(本大题共7小题，每小题3分，共21分) 9．已知是方程的解，则 ． 10．已知是关于x的一元一次方程，则a的值为 ． 11．当 时，代数式比的值大1． 12．当 时，代数式和的值互为相反数． 13．小玉在解方程去分母时，方程右边的“”项没有乘6．因而求得的解是，则 ． 14．某测试卷只有25道选择题，做对1道得4分，做错1道扣1分．某同学做了全部试题，得了70分，他一共做对了 道． 15．小红在某月的日历中任意框出如图所示的四个数，但不小心将墨水滴在上面遮盖了其中的两个数，用含字母的代数式表示的结果是 ． 三、解答题(本大题共7小题，共55分) 16．（本题12分）解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 17．（本题5分）【问题】解方程： 【解题】解：____， 得， ……………………第一步 去括号，得                    ……………………第二步 移项，得，                         ……………………第三步 合并同类项，得，                        ……………………第四步 ……… 【批注】 (1)以上求解步骤中，第一步横线上应填的是_______ ，从第_______步开始出现错误； (2)请你写出正确的解答过程． 18．（本题5分）定义：如果两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程为“成双方程”．例如：方程和为“成双方程”． (1)请判断方程与方程是否为“成双方程”； (2)若关于x的方程与方程互为“成双方程”，求的值． 19．（本题5分）定义一种新的运算“※”： ，例如： ． (1)求2※的值； (2)若※，求的值． 20．（本题8分）某班数学兴趣小组对某商场进行调研后了解到：商场从厂家购进A，两款书包，其中A款书包4个，款书包7个，共付款760元，已知每个款书包的进价比每个A款书包贵30元．请根据以上信息解答下列问题： (1)求A，两款书包的进价； (2)商场将款书包按（1）中的进价提高后标价，再打九折出售，此时每个款书包的利润率是多少？ 21．（本题10分）某旅游景点门票价格如下表：某校七年级（1）和（2）班共105人去游玩，其中七（1）班40多人不足50人，经计算，如果两个班都以班为单位购票，则一共应付1401元． 购票数量 1~50张 51~100张 100张以上 每张票的价格 15元 12元 10元 (1)两班各有多少人？ (2)如果两班联合起来，作为一个团体购票，能省多少钱？ (3)如果七年级（1）班单独组织游玩，作为组织者，你如何购票更省钱？请说明理由 22．（本题10分）某市为鼓励居民节约用水，采取分段计费的方法按月计算每户家庭的水费，月用水量与水费的单价如下表： 月用水量 不超过 超过 水费价格 4元/ 不超过的部分仍按4元/计费， 超过部分按6元/计费 (1)每户用水量为n，用式子表示： ①当月用水量不超过时，应收水费________元； ②当月用水量超过时，应收水费________元； (2)小明家七、八月份共用水50，共交水费208元，已知七月份用水不超过24 ，请帮小明计算他家这两个月各用水多少立方米． $