2026--2027学年人教版八年级上册数学-期末复习专题8《角平分线模型》

期末复习专题8《角平分线模型》 人教版八年级上册　第十四章 全等三角形 拆分突破17角平分线模型（一）内心与旁心 　 内心（三条角平分线的交点） 旁心（内外角平分线的交点） ①AO平分∠BAC； ①AO平分∠DAC； ②BO平分∠ABC； ②BO平分ABC； ③CO平分∠ACB； ③CO平分∠ACE； 在①②③中，知二推一 在①②③中，知二推一 S△ABC=S△AABO+S△ACO+S△BCO S△AABC=S△AABO+S△ABCO-S△AACO 必刷考点一三角形的内心 1．如图，已知△ABC的周长是30，BO，CO分别平分乙ABC，乙ACB，OD⊥BC于点D，且OD=3，则△ABC的面积为　　　 2．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，AB=10.BAC，∠ABC的平分线交于点D，DEBC于点E，DF⊥AC于点F，则DE的长是　　　 必刷考点二三角形的旁心 3．如图，△ABC的外角乙DAC和ACE的平分线相交于点P，连接BP. (1)求证：BP平分∠ABC； （2)若AC=5，△APC的面积是10，△ABC的面积是15，求△ABC的周长. 4．如图，OC是乙AOB的角平分线，P是OC上一点，D，E分别是OA，OB上的动点.D，P，E三点共线，EQ平分∠PEB，交OC于点Q，作QF⊥OB于点F.若EF=1，DP=2,PE=3，则OE=OD的值为EF 拆分突破18 角平分线模型（二）隐角平分线 条件 BD平分∠ABC. ∠BAD+∠CAD=180°, (t,t) BP平分∠ABO. P(t,t) Ex 结论 AD平分∠CAE,CD平分∠ACF. OP平分∠AOE，AP平分∠HAO 必刷考点一补角隐 1．如图，P是△ABC外一点，∠P=∠B，∠BAC十∠PAC=180°，求证：PC=BC. 必刷考点二旁心隐 2．如图，在四边形ABCD中，对角线BD平分乙ABC，若∠CAB=100°，∠CAD=40°，则∠CDB的度数为　　　 3．如图，在四边形ABCD中，对角线BD平分乙ABC，BAD+∠CAD=180°，ABC=44则∠ADC的度数为　　　 必刷考点三坐标隐 4．如图，点A，B在坐标轴上，∠ABO的平分线经过点D（2，一2)，且与轴交于点C. (1)求证：AD平分△OAB的外角； (2)求OA-OB+AB的值. 拆分突破19角平分线模型（三）截长补短 　 条件：BD平分ABC 条件：BE平分∠ABC， 方法：截取BF=BE CE平分∠DCB 结论：△BDE≌△BDF 方法：截取BF=BA 结论：△ABE≌△FBE， ADCEAFCE 必刷考点一单角平分线 1．如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，∠BCD的平分线交AB于点E，BE=AD，连接DE.若BC-CD=1,求AE的长. 必刷考点二双角平分线 2．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E是AD上的一点，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，求证：AB+CD=BC. 3．如图，在△ABC中，∠B=60°△ABC的角平分线AD，CE相交于点O.若SAAOc=m，S四边形OEBD=n，则△ABC的面积为 .（用含m，n的式子表示） 必刷考点三隐角平分线 4．如图，AD是△ABC的角平分线，EA⊥AD，若AB=5，AC=3，求EB+EC的最小值. 拆分突破20角平分线模型（四）角分垂 　 条件：BD平分∠ABC，CD⊥BD 条件：BD平分∠ABC,AC=BC， 方法：延长CD交AB于点E. AD⊥BD,AC⊥BC. 结论：△BCD≌△BED， 方法：延长AD，BC交于点E. S△AABD AABC 结论：BF=2AD,S△ABP=AD² 必刷考点一延长得中点，导面积 1．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD，若S△ACD=7，则S^ABC的值为　　　 2．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°CD是△ABC的角平分线，AE工CD于点E，连接BE.AB=5，AC=12,BC=13，则△ABE的面积是　　　 必刷考点二延长得中点，证全等 3．如图，△ABC是等腰直角三角形，点A在y轴上，直角顶点B在轴上.若y轴恰好平分∠BAC,BC与y轴交于点E，过点C作CF⊥y轴于点F.已知C（一2，a）,求AE的长 4．如图，在△ABC中，∠BAC和乙ACB的平分线相交于点O，OD⊥OA交AB于点D,OE⊥OC交BC于点E，连接DE，AC=7,BC=8，△BDE的周长为6，则AB的长为　　　 拆分突破21 角平分线模型（五）对角互补 作垂 截长 补短 模型 FP 结论 方法 条件 作DE⊥BC,DF⊥AB ADBFADBE 21=∠2, ∠1=2,DA=DC 截取BE=AB 延长BC至点E，使CE=AB △BAD≌△ECD BD平分ABC 必刷考点一角平分线十邻边相等 1．如图，AD>AB，AC平分∠BAD，BC=CD.求证：∠ABC+∠ADC=180° 2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以点A为圆心，适当长度为半径作弧，分别交AB，AC边于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于MN长为半径作弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，在AC上取点E，连接DE，DE=BD，若AE=2，AC=6，求AB的长. 3．如图，P是∠AOB的角平分线OC上一点，PN⊥OB于点N，M是ON上一点，OM=3，ON=4,D为OA上一点，若满足PD=PM，则OD的长为MN 必刷考点二邻边相等十对角互补 4．如图,AC=BC，∠C=90°，点A的坐标为（0,4)，点B的坐标为（10,0)，则点C的坐标为　　　 5．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，AC=6，∠DAB=∠DCB=90°则四边形ABCD的面积 必刷考点三角平分线十对角互补 6．如图，在四边形ABCD中，∠B+∠ADC=180°，CE⊥AB于点E，∠BAC=∠DAC,若 "BE 的值为　　　 必刷考点四邻边相等十隐对角互补 7．如图，在△ABC中，∠ABC=∠C，点D，E分别是BC，AC上的点，AD，BE相交于点P，连接DE，∠EBC=∠BAD.若PE=CE，求证：DE平分∠ADC. 拆分突破22 角平分线模型（六）同旁张等角 模型 作垂 截长 补短 图形 条件 ∠BAC=∠BDC,AD平分∠GAC ∠BAC=∠BDC,BD=CD ∠BAC=∠BDC,BD=CD 方法 作DE⊥AB,DF⊥AC 截取CF=BA 延长BA使BF=CA 结论 △BDE≌△CDF， AADEAADF △BDA≌△CDF, AD平分∠EAC ABDFACDA, AD平分∠FAC 必刷考点一等线段十张等角 1．如图，在△ABC和△DBC中，AB=AC，且∠BAC=乙BDC，AM⊥BD于点M.求证：BM=DM+DC. CD,求证:AB=AE. 必刷考点二等线段十隐角平分线 2．如图，AD>AB，点E在线段BA的延长线上，AF平分∠EAD，BF=FD，求证：∠BAD=∠BFD. 必刷考点三隐等线段十隐角平分线 3．如图，在△ABC中，D为AB的中点，DE⊥AB，∠ACE十∠BCE=180°EF⊥BC于点F，AC=8,BC=12，求BF的长. 参考答案 拆分突破17角平分线模型（一）内心与旁心 1．解：过O作OEAB于点E，OF上AC于点F，连接OA。 由题意，得.OE=OF=OD=3。 ∵AB+BC+AC=30,S△AABC=S△AOB+S△BOC+S△AAOC=45. 2．解：过点D作DH⊥AB于点H，连接CD。 ∠BAC，∠ABC的平分线交于点D，DF⊥AC，DEBC，DF=DH=DE。 ：∠C=90°AC=6，BC=8，AB=10且S△ADC+S△ADB+S△ABDC=S△ABCX6DE+ X10DE+- X8，DE= X6X8，解得DE=2 3．解：（1)过点P作PF⊥BD于点F，PG⊥AC于点G，PH⊥BE于点H。 AP平分∠DAC,PF⊥BD,PGAC，PF=PG.CP平分∠ACE,PH⊥BE,PG⊥AC，PH=PG.PF=PH.PF⊥BD,PHBE，BP平分∠ABC； SAABC=15SAAPC=10 AB BC。PH=25，AB+BC=12.5，△ABC的周长=AB+BC+AC=12.5+5=17.5. 4．解：过点Q分别作QG⊥OA于点G，QH⊥DE于点H，则QG=QF，连接DQ。 DQ平分∠ADE，△QHE≌△QFE（AAS），同理可证△QGD≌△QHD，EFy∠H条件 BD平分ABC. ∠BAD+∠CAD=180° (P(t,t) P(t,t) BP平分∠ABO. Ex结论 AD平分∠CAE,CD平分∠ACF. OP平分∠AOE，AP平分∠HAO. 拆分突破18 角平分线模型（二）隐角平分线 1．证明：过点C作CG⊥AB于点G，CH⊥PA交PA的延长线于点H。 ：∠BAC+∠PAC=180°，∠HAC+∠PAC=180°，∠BAC=∠HAC.CG⊥AB,CH⊥PA.CG=CH，∠BGC=∠H=90°， △BGCAPHC(AAS).BC=PC. 2．的度数为 50° 解：过点D分别作BA，BC，AC的垂线，垂足分别为F，E，G. 又BD平分∠ABC，DFDG=DE.CD平分∠ACE， 由三角形内、外角平分线模型知∠CDB： ∠BAC=50° 3．∠ABC=44°则∠ADC的度数为 68° 解：过点D分别作DE⊥BA交BA延长线于点E，DF⊥BC交BC延长线于点F，DG⊥AC于点G，∠AED=∠DFC=90°BD是∠ABC的平分线，DE=DF。 ∵BAD+∠CAD=∠BAD+∠EAD=180°，∠CAD=∠EAD,AD为∠EAC的平分线，DE=DG=DF，CD为∠ACF的平分线。 ∴x+y=112∠ADC=180°-（x+y）=68 4．解：（1)过点D作DE⊥y轴于点E，作DH⊥x轴于点H，作DF⊥BA，交BA的延长线于点F，∠DEB=∠AHD=∠AFD=90° DH=DF，AD平分∠OAF，即AD平分△OAB的外角； (2)设AF=X，则AH=x.DE=2,DH=2，OH=2，OE=2.可证△BDE≥△BDF，OA=AH+OH=2+x，x=OA-2，AB+x=AB+OA-2=OB+2, AB+0A-OB=2+2=4.方法：截取BF=BE CE平分DCBK009ADCESAFCE 拆分突破19角平分线模型（三）截长补短 1．解：在CB上截取CF=CD，连接EF。 ∵CE平分BCD，∠DCE=∠BCE。 又CE=CE，△CFEACDE（SAS)，FE=DE。 ∠A=∠B=90°,BE=AD,Rt△BEFRt△ADE（HL)，AE=BF=BC-CF=BC-CD=1. 2．证明：在BC上截取BF=BA，连接EF。BE平分∠ABC，∠ABE=F∠FBE,△ABE≌△FBE,∠BAE=∠BFE.AB∥CD,∠BAE+∠D=180°，∠BFE+∠CFE=180° ∵∠D=∠CFE.·CE平分∠BCD，·∠DCE=∠FCE，△DCE≌△FCE.DC=CF，BC=BF+CF=AB+CD. 3．点O.若S△AOc=m,S四边形OEBD=n，则△ABC 的面积为 2m+n.（用含m，n的式子表示） 解：在AC上取点Q，使CQ=CD，连接OQ.：CE平分∠ACB，∠1=∠2，△CQO≌△ACDO(SAS)∠QOC=∠CODSAQOC=S△ACOD. 又AO平分∠CAB，∠3=∠4，△AOQ≥△AOE（ASA). 4．的最小值。 解：延长BA至点F，使AF=AC，连接EF。 EA⊥AD,∠BAD=∠CAD,∠FAE=∠CAE,△ACE≌△AFE(SAS),EF-EC,方法：延长CD交AB于点E. AD⊥BD,AC⊥BC. S△ABD △ABC. 结论：BF=2AD,S△AABF=AD² 拆分突破20角平分线模型（四）角分垂 1．解：延长BD交AC的延长线于点E。 ∵AD平分∠BAC,BD⊥AD，△ABD≌△AED，BD=DE，S△AABC=S△ABE-S△BCE=14+2×-2×=14. 2． 解：延长AE交BC于点F.CD平分∠ACB，∠ACD=∠DCB.CD⊥AF,∴∠AEC=∠FEC=90°BF=BC-CF=13-12=1， AABC 13 AABE AABF 3．解：延长AB，CF交于点G.·y轴平分BAC，∠CAF=∠FAG.∠AFC=∠AFG=90°，AF=AF,△AFC≌△AFG(ASA).CF=FG. ∵∠ABE=∠EFC=90°，∠AEB=∠FEC,∠BCG=∠BAE.∠ABE=∠CBG=90°，AB=BC,△ABE≌△CBG（ASA)，AE=CG=2，CF=4. 4．解：延长DO交AC于点M，延长EO交AC于点N，则△ODA≌△AOM（ASA），△COE≌△CON（ASA） ∴OD=OM,OE=ON,AD=AM,CE=CN,△EODANOM(SAS),∴DE=MN.：△BDE的周长为6，AC=7,BC=8.AB+87=6,AB=5. 作垂 截长 补短模型条件 ∠BAD+∠BCD=180° 1=∠2, 1=∠2,DA=DC ∠BAD+∠BCD=180°方法 作DE⊥BC,DF⊥AB ADAFSADCE 截取BE=AB 延长BC至点E，使CE=AB 结论 ADBFADBE BD平分∠ABC如图，AD>AB，AC平分∠BAD，BC=CD.求证：∠ABC十∠ADC=180° 证明：过点C分别作CE⊥AD于点E，CF上AB于点F。 ∵AC平分∠BAD，CE=CF，Rt△CDERtACBF(HL),∠ADC=∠CBF. 拆分突破21 角平分线模型（五）对角互补 1．：∠CBF+∠ABC=180°，∠ABC+∠ADC=180° 2．解：过点D作DF⊥AB于点F。 AE=2,AC=6,CE=AC-AE=4. 由作图可知AD是∠BAC的平分线。 DF⊥AB于点F，∠C=90°，DF=DC，RtAAFDRt△ACD(HL),∴AF=AC=6,Rt△DCERt△DFB(HL).CE=BF=4, AB=AF+BF=6+4=10.即AB的长度是10 3．解：过点P作PE⊥OA于点E，则PE=PN，Rt△OPERt△OPN（HL）， 若点D在线段OE上，Rt△PMNRt△PDE（HL），DE=MN=1，DE=MN=1.OD=OE+DE=5.故答案为3或5· MN (7,7) 解：过点C作CH⊥y轴于点H，作CG⊥x轴于点G，则∠CHA=∠BGC=90°,OH=CG,CH=OG,∠HCG=90°：∠ACB=90°.AC=BC,∠CAO+∠CBO=180°, ∴∠CAH=∠CBG,∴△ACH≌△BCG(AAS),∴CH=CG∴AH=BG=3,∴CH=CG=7,∴C(7,7). 5．为18 解：延长CB至点E，使BE=CD，连接AE。 可得△ADC≌△ABE（SAS），∠DAC=∠BAEAE=AC=6,SAADC=SAABE∠DAB=∠DAC+∠CAB=∠BAE+∠CAB=∠CAE=90° S四边形ABCD=SACAE AC ·AE: X6X6=18.故选D 6．∠BAC=∠DAC,若 的值为 解：过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F，则∠CFD=90°CE⊥AB，∠CEB=90°,∴∠CEB=∠CFD.∠BAC=∠DAC,∴AC平分∠BAD， CE=CF.∠B+∠ADC=180°，∠CDF+∠ADC=180°,∠B=∠CDF,△CEB≌△CFD（AAS).BE=DF.可证△AEC≌△AFC，AEAF， AB-AD=2BE.设AB=5a，AD=4a，则BE=0.5a，AE=4.5a。 BE 7．证明：在△ABP中，BAD+∠ABE+∠APB=180°·∠EBC=∠BAD，∠APB=∠DPE，∠EBC+∠ABE+∠DPE=180°，即∠ABC+∠DPE=180° 又·∠ABC=∠C,∠DPE+∠C=180° 过点E作EM⊥AD于点M，EN⊥CD于点N，∠PME=∠CNE=90°，∠DPE+∠C=180°，∠APE=∠C. 又：PE=CE.△PME≌△CNE（AAS),∴EM=EN，DE平分∠ADC.模型 作垂 截长 补短图形条件 ∠BAC=∠BDC,AD平分∠GAC ∠BAC=∠BDC,BD=CD ∠BAC=∠BDC,BD=CD 方法 作DE⊥AB,DF⊥AC 截取CF=BA 延长BA使BF=CAABDESACDF, ABDAACDF, ABDFACDA, 结论 AADEAAADF AD平分∠EAC AD平分∠FAC如图，在△ABC和△DBC中，ABAC，且∠BAC=∠BDC，AM+BD 拆分突破22 角平分线模型（六）同旁张等角 1．证明：过点A作AN⊥CD，垂足为N，连接AD，∠ANC=90°AM⊥BD,∴∠AMB=∠AMD=90°,∴∠AMB=∠AMD=∠ANC ∠BAC=∠BDC,∠ABD=∠ACD,AAMBAANCAAS),BM=CN,AM-AN.AD=AD,RtAAMDRtAAND(HL), ∴DN=DM.CN=DN+DC.BM=DM+DC.如图，AB=AC，∠BAC=∠BDC，点E是线段BD延长线上一点，且DE= 证明：过点A分别作AM⊥BD于点M，ANCD于点N·∠BAC=∠BDC,∠ABD=∠ACD,∠AMB=∠ANC=90°，△AMB≌△ANC（AAS）, AM=AN，∴DA平分∠MDN，∴∠ADM=∠ADN.∠CDM=∠EDN，∠ADC=∠ADE.又AD=AD,DE=DC，△AADC≌△ADE(SAS).AC-AE.AB=AE. 2．证明：过点F分别作FMBA于点M，FN⊥AD于点N.AF平分∠EAD，FM=FN. 又BF=FD，Rt△BFMRtADFN（HL)，∠MBF=∠NDF,∠BAD=∠BFD.如图，在△ABC中，D为AB的中点，DE⊥AB，ACE十∠BCE=180°,EFBC于点F， 3．解：连接AE，过点E作EG⊥AC交AC的延长线于点G。 D为AB中点，DE⊥AB，EAEB.：∠ACE+∠BCE=180°，∠ACE+∠ECG=180°，∠ECG=∠BCE。 EFBC,EG⊥AC,∴EG=EF,∴Rt△EFCRt△EGC(HL).CF=CG. 同理可得BF=AG，12−CF=8+CF，解得CF=2.BF=12−2=10.方法：作DE⊥AB,DF⊥AC. 1 学科网（北京）股份有限公司 $