第3讲 建系法与坐标化策略专项训练-2027届高三数学一轮复习

平面向量的建系法与坐标化策略 平面向量 · 专题篇 · 选点原则、动点坐标与系数解法 一、建系原则与图形坐标化 把一个几何图形放进坐标系，第一件事不是算，而是选原点。原点的选择决定了后面所有点坐标的复杂程度：选在直角顶点上，两条直角边天然就是坐标轴，若干个点的坐标里会出现成片的零；选在对称中心上，对称的两个点坐标只差一个负号；选在图形外，虽然也能算，但每条边都要写两个非零分量。 选原点的三条常用依据。有直角，就把原点放在直角的顶点上，两条直角边分别是 轴与 轴；有对称中心或对角线交点，就把原点放在那里，对称点的坐标成对出现，很多项会自动抵消；有定长边与已知角，就让这条边落在坐标轴上，角用正余弦分摊到另一个方向上。 轴定好之后，逐个把顶点写成坐标。这一步要先把未知长度设成字母（设 、设 之类），不要急着求它 —— 很多题目的条件恰好就是用来解这个字母的方程。写坐标时按顺序来：先从原点出发那个点写起，再写与它共享一条边的点，最后写剩下的顶点，这样每一步都只用到一个已知长度和一个已知角。 这套做法的用处是：图形里所有长度、角度关系都被翻译成了坐标之间的加减乘除，接下来无论是求数量积、求某个点分线段的比例，还是判断垂直，都变成了纯粹的代数运算，不再需要盯着图找相似或作辅助线。代价是要多写几行 —— 所以什么时候值得建系，看的就是「图形里直角多不多、对称性强不强」。 例1（单选·★★★☆☆） 在矩形中，已知，点为线段的中点，且，则 = （ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【切入点】矩形四个角都是直角， 又是垂直条件 —— 这种图形建系最划算。原点选在直角顶点上，两条直角边当作坐标轴，题目里的每个条件都能直接写成坐标。 【关键】以 为原点， 为 轴、 为 轴建系。设 ，则 ，，，， 是 中点即 。由 得 ：，，于是 ，解得 （）。再算要求的两个向量：，，所以 。故选 C。 【易错】第一，垂直条件要写成坐标的乘积为零，不要试图在图上找直角三角形 —— 建系的意义就在这里。第二，解出的是 而不是 ，最后的数量积里出现的是 ，不必开方。第三，原点选 而不是 ，是因为 处同时有两条边落在轴上；选 也能做，但 的坐标会多一个负号。 【答案】C 变式1-1（单选·★★☆☆☆） 早在西周时期，中国就有对勾股定理探讨的实例，数学家商高曾经和周公讨论过"勾3股4弦5"的问题."勾股弦"指的是直角三角形的两条直角边长分别是，斜边长为c.如图，已知在长方形中，满足"勾3股4弦5"，为上一点，且，则向量可用向量表示为（ ） A. B. C. D. 【切入点】题目把「勾 3 股 4 弦 5」写进了长方形里，边长全是已知数；又给了一个垂直条件。图形是长方形，直角现成，建系后 的位置可以用一个方程定出来。 【关键】以 为原点， 为 轴、 为 轴建系。由勾股关系 、，得 ，，，。设 （ 在 上），由 得 ，解得 ，即 。把 用 与 表示：设 ，其中 ，，由分量列方程解得 ，，即 。故选 D。 【易错】第一， 在 上，所以横坐标固定是 ，只设一个参数就够 —— 这一点能省掉一个未知量。第二，垂直条件的写法是 ，注意 与 方向相反，用错会得相反的解。第三，最后把 用两个向量表示，是解一个二元一次方程组，不要试图用几何观察直接看出系数。 【答案】D 变式1-2（填空·★★★☆☆） 如图，由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成一个较大的等边三角形，其中，则的值为______；设，则 = ______． 【切入点】三个全等三角形加中间一个小等边三角形拼成大等边三角形 —— 对称性很强，但各点的相对位置不好直接看。把大三角形的底边放在 轴上，用已知的一组比例把一个顶点坐标定出来，其余的点就都能写了。 【关键】设 ，则由 得 ，即 。以 为原点、 所在直线为 轴建系。图形中 ，于是 。设 ，则 ；再由图形的拼接方式定出 的坐标，代入 到 、 的距离等于 的条件可解出 。面积比 用坐标算三角形面积（底乘高的一半）即可，得 。第二空设 ，把三个向量的坐标都写出来，解二元一次方程组，得 。 【易错】第一， 的坐标是用 与 一起写出来的，角度取错方向会得到另一个点。第二，面积比用坐标算最稳：，比找相似三角形省事。第三，第二空解出的是 与 两个数，题目要的是它们的和，别只写一个。 【答案】； 例2（单选·★★☆☆☆） 如图是古希腊数学家特埃特图斯用来构造无理数，的图形，图中四边形的对角线相交于点，若，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】图里给的是一个「构造无理数」的图形，看不出明显规律，各条边的关系还要自己推。这种题最稳的路子就是建系：把能确定的点先写出来，交点用两条直线的方程求。 【关键】以 为原点， 为 轴、 为 轴建系。由图形构造得 、。设 ，由 与 列方程： 且 ，两式相减得 ，代回得 ；按 在 轴下方取 ，即 。直线 就是 轴；直线 过 与 ，斜率 ，方程为 。与 联立得 ，即 ，所以 。又 ，，由 得 。故选 D。 【易错】第一， 的纵坐标取正还是取负，要按图上的位置定 —— 从坐标轴方向看， 落在 轴下方，所以取 ；取错了后面的斜率会变成另一支。第二，两条直线的交点在 轴正半轴上，且 ，所以 是 内的数。第三， 化简时用 （分母有理化），别把它留成根号分数。 【答案】D 变式2-1（单选·★★☆☆☆） 如图，在边长为2的正方形中，分别为的中点，则 = （ ） A. B. 1 C. D. 【切入点】正方形加两个中点，图形规则、数据少。这类题用「基向量分解」也能做，但把 放在原点后，两个中点的坐标一眼就能写出来，直接算更省。 【关键】以 为原点， 为 轴、 为 轴建系。正方形边长为 ，则 ，，，。 是 中点即 ； 是 中点即 。于是 ，，数量积为 。故选 D。 【易错】第一， 是 的中点而不是 的中点，坐标要按 与 取平均，别按 、 算。第二， 是 减 ，纵坐标是 ，符号别丢。第三，选项里 与 都有，算完检查一下符号再选。 【答案】D 例3（填空·★★★★☆） 如图，已知和为直角三角形，，与交于点，若，则 = __________. 【切入点】两个直角三角形共一条边 ，且有直角与等长条件，建系后所有点的坐标都能一次写全。题目要的是 在 、 下的系数比，把 的坐标求出来即可。 【关键】以 为原点， 为 轴、 为 轴建系。由 且 得 ，于是 ，，； 是等腰直角三角形 的直角顶点，即 。求 ：由 知 是等腰三角形，且 ，所以 ；在直角三角形 中 ，而由 解得 （负值舍去），故 ，即 。于是 。又 ，，由 得分量方程组：横坐标 ，纵坐标 。由第一式得 ，代入第二式得 ，所以 。 【易错】第一， 的坐标是 而不是 —— 它落在 的反向延长线上，符号错了 的横坐标就变号，答案跟着反。第二， 由二倍角公式解出，要说明取正值的原因（ 是锐角）。第三，题目求的是 ，两个系数的符号相反，结果是负数。 【答案】 变式3-1（单选·★★☆☆☆） 在平行四边形中，，则（ ） A. B. C. D. 【切入点】平行四边形里只给了一个数量积条件，四个选项问的都是两条邻边长的关系。用基底分解要把 、 都拆成 、 的组合，而建系之后这一步是自动完成的 —— 坐标一写，两个对角线的分量就出来了。 【关键】以 为原点， 为 轴建系。设 、，则 。于是 ，，数量积为 。而 ，，所以 ，即 。故选 B。 【易错】第一， 展开后 带负号，方向弄反会得到 （选项 D 的陷阱）。第二， 的坐标是 与 的和（平行四边形法则的坐标写法），漏掉分量会算错。第三，结论只跟两条邻边的长度有关，说明这个数量积是与图形形状无关的量 —— 这也解释了为什么任取 、、 都能得到同一个关系。 【答案】B 二、动点与系数的坐标解法 图形建好坐标之后，真正的难点出现在动点上。顶点是钉死的，坐标写一次就够；动点每换一个位置坐标就变一次。处理它的办法只有一条：给动点设一个参数，再把题目里跟它有关的量都写成这个参数的式子 —— 问题从「几何位置」变成「函数取值」。 设参数的方式看动点在哪里活动。动点在一条线段上，就用分比设：设 ，，动点坐标就是两端点坐标的线性组合；动点在圆或圆弧上，就用三角函数设 ， 跑一圈，坐标自动落在圆周上；动点只满足某个方程条件（垂直、等距、到定点的距离为定值），就先解出这条轨迹再按类型选设法。 参数设好之后要做的是解系数。题目常给「用两个基底表示」的条件，写成坐标就是两个等式；用这两个等式把待求的 与 解成参数的函数，参数的范围一代，范围就出来了。这里有个省力的习惯：先把动点的坐标表达式写出来，再让两个式子对齐，而不是先把 λ、μ 的式子猜出来。 还要留一手：有一类题看起来没有参数，其实参数藏在条件里。题目给的是「几个向量之和的模等于常数」，先把这几个向量合成一个（往往能用中点或对称中心一步收拢），它就变成「动点到定点的距离等于定值」—— 动点被压在圆上，接下来按圆上动点设三角函数即可。反过来，如果题目问的是 的范围而不是具体值，画一画等和线（平行线系）常常比解参数更快 —— 建系与等和线是同一件事的两条路，选哪条看数据具体不具体。 例4（多选·★★★★☆） 已知矩形中，、交于点，，，点是矩形所在平面内的一点，且满足，．则下列说法正确的是（ ） A. B. 的最大值是为 C. 的最小值为 D. 的最大值为40 【切入点】题干给的是 —— 四个向量加起来，先把它收拢。矩形对角线的交点是四边的中点，用平行四边形法则可以一步把四项并成一项。 【关键】设 是 、 的交点，则 ，，于是 ，由题设得 ： 在以 为圆心、 为半径的圆上。逐项判断： 项直接由上式得 ，正确。 项：以 为原点、 为 轴、 为 轴建系，，，，；设 ，由 得 、，再由 得 、 的约束， 的最大值是 而非 ，错误。 项：取 中点 ，由极化恒等式 ，结合 的轨迹得最小值为 ，正确。 项：，由轨迹得 的最大值为 ，故最大值为 ，正确。故选 ACD。 【易错】第一，四个向量相加要先收成一个再谈轨迹，直接设点列方程会把式子写得极长。第二， 项的约束是 与 的平方和形式，求 的最值要用圆的参数方程或点到直线的距离，不能当线性约束处理。第三， 项用中点法把数量积换成距离，比硬算 简单得多。 【答案】ACD 变式4-1（多选·★★★★☆） 如图，在菱形中，，延长边至点，使得.动点从点出发，沿菱形的边按逆时针方向运动一周回到点，若，则（ ） A. 当点在线段上移动时， B. 满足的点有且只有一个 C. 满足的点有两个 D. 最大值为3 【切入点】动点 沿菱形的边运动一整圈，位置会依次经过四条边。这种题要先建系写出 、 的一般表达式，再按 在哪条边上分类讨论 —— 每一段上 都是参数的一次函数。 【关键】以 为原点、 为 轴建系，设菱形边长为 。由 得 ，，； 是 的延长线上的点且 ，所以 。于是 ，。设 ，由 得分量方程 ，，即 ，，所以 。逐项判断： 项， 在 上时 、，，正确。 项， 是一条直线，它与菱形的边有多个交点（ 上的点以及 上的点都满足），不是「有且只有一个」，错误。 项， 的直线与菱形的边恰有两个交点，正确。 项，由 在菱形四个顶点处的值比较，最大值为 （在 处），正确。故选 ACD。 【易错】第一， 的坐标是 ，它在 的左上方，符号写错后面 的表达式会跟着错。第二， 是一次式，所以它取最大值一定在菱形的顶点处 —— 顶点是四边形区域上线性函数的最值点。第三， 项说「有且只有一个」，要逐条边验， 上有无穷多个点、 上也有，所以该项错。 【答案】ACD 变式4-2（多选·★★★★☆） 在边长为5的正方形中，，则下列结论正确的是（ ） A. 若点在上，则 B. 的取值范围为 C. 若点在上，则的最小值为 D. 若，，则在上的投影向量为 【切入点】正方形边长为 ， 没有额外限制（可以在平面内任意位置），话题里既问 又问 ，还夹了一个投影向量。这类题的核心动作是先把坐标与系数的关系写出来：、 就是 坐标除以边长。 【关键】以 为原点、 为 轴、 为 轴建系，则 ，，，。设 ，由 得 、，即 、，所以 。逐项判断： 项， 在 上即 ，也就是 ，正确。 项， 可以取平面内任意点，、 无界，故 也无界，说它落在 缺乏依据，错误。 项，当 时 （用了 ），当 时取等，正确。 项，按投影向量公式逐项核算，该项不成立，错误。故选 AC。 【易错】第一，题干没有限定 的位置，所以 项的「取值范围」是没有依据的 —— 只有 在正方形内部或边界上时 ，这一点要看清题干。第二， 项的不等式用的是「和定积最大」，取等条件是 ，要写出来。第三， 项含投影向量的计算，把 、 都用 、 表示后逐项算，不要凭印象判断。 【答案】AC 例5（填空·★★★★☆） 在直角梯形中，，，且，，对角线与交于点，点满足，则的取值范围是_____． 【切入点】直角梯形，，直角现成，建系最顺；动点 在边 上，用分比设参数。题目要的是 的范围，把两个向量都用坐标写出来，目标量就成了参数的线性函数。 【关键】以 为原点， 为 轴、 为 轴建系。由 、 得 ，，，，于是 ，。对角线交点 ：由 且 得 ，所以 。由 得 。于是 。由 得范围为 。 【易错】第一， 来自相似比 ，比例方向别写反（ 占 而不是 ）。第二， 用的是 而不是 ，符号反了 的系数会变号。第三，本题也能用纯几何法做 —— 先把 用 、 表示，再求数量积；建系的好处是不用找相似与夹角。 【答案】 变式5-1（填空·★★☆☆☆） 如图，是边长为2的等边三角形，以为直径作一个半圆，点P为此半圆弧上的一个动点，若，则的最大值为______________. 【切入点】动点在半圆上，这种活动范围用三角函数设最自然；等边三角形加半圆，把圆心放在原点上，两个端点的坐标都是 ，非常干净。 【关键】取 的中点为原点， 在 轴上。等边三角形边长为 ，三线合一得 且 ，所以 ，，。动点 在上半圆弧上，设 ，。于是 ，，。由 比较分量得 与 ，由第二式得 。 时 的最大值为 ，所以最大值为 。 【易错】第一， 只在上半圆，，这个范围要写出来（虽然不影响最大值，但影响取值范围的完整表述）。第二， 在 轴的负半轴（），符号错了后面 的常数项会跟着变。第三， 是由纵坐标那一个方程直接给出的，横坐标的方程用来核对 ，不要误用它去解 。 【答案】 变式5-2（单选·★★☆☆☆） 已知，，是平面内一动点，且，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【切入点】条件是 —— 到两定点距离之比为定值，动点的轨迹是一个圆（阿氏圆）。先把圆的方程解出来，再用「圆上动点设三角函数」的法子把 写成单变量函数。 【关键】设 ，由 、 与 得 ，整理得 ，即 ：圆心 、半径 。设 。由 且 、 得 、，于是 。而 ，所以 。故选 B。 【易错】第一， 带负号，所以 ，符号丢了答案的正负会错。第二，阿氏圆的圆心解出来是 ，不在 、 的中点位置，要按方程算。第三， 的振幅是 而不是 ，这正是另三个选项的干扰所在。此外本题也可以用等和线做： 取到极值时，直线 与阿氏圆相切，由圆心到直线的距离等于半径解出 ，与上面的结果一致。 【答案】B 例6（单选·★★★★☆） 已知直角梯形中，，，且，，点是梯形内（含边界）任意一点，设，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【切入点】直角梯形加直角条件，建系后顶点坐标几乎不用推导。动点 在梯形内部（不是边上），所以两个参数各自独立地在一个区间里跑 —— 这正是建系法最占优的场景。 【关键】以 为原点， 为 轴、 为 轴建系。设 ，由 、 得 ，，，。动点 在梯形内，故 、。由 比较分量得 、，所以 、，。当 时取最小值 ；当 、 时取最大值 。故选 A。 【易错】第一， 的活动范围是整个梯形内部，所以 、 各自跑到上界时 才能取到最大 —— 最大值点落在顶点 上，不是边界上的任意点。第二， 里的分母是 的长度 ， 里的分母是 的长 ，两个分母不要混。第三，最小值 在 处取到，此时 ，也要写清楚。 【答案】A 变式6-1（单选·★★★☆☆） 在平面四边形中，，点M在边（含端点）上运动，设，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【切入点】四边形是「上底是下底两倍」的那一类（、、），直角现成，建系后 、 的坐标只差一个倍数。动点 在边 上，用分比设参数。 【关键】以 为原点， 为 轴、 为 轴建系。设 、，则 ，，，，于是 ，，。设 ，，则 。又 ，比较分量得 、，所以 。由 得 。故选 C。 【易错】第一， 的横坐标是 （因为 ， 在 方向的偏移是 ），写成 会让整题崩掉。第二， 是关键的一步 —— 把动点从固定点出发写，而不是从原点出发另设坐标。第三，本题也是等和线的典型题： 里 来自 ， 来自 沿 的分比，等和线立刻给出 ；两条路都对，建系更不容易记错。 【答案】C 变式6-2（多选·★★★★☆） 已知四边形是正方形，延长至，使，点是线段上的任意一点.设向量，则的可能取值为（ ） A. B. C. D. 【切入点】正方形延长出一条等长的边，动点 在对角线 上 —— 又是一道「动点在直线上 + 用两个向量表示」的题。正方形边长没给，自己设一个（设 最方便）。 【关键】以 为原点、 为 轴、 为 轴建系，设正方形边长为 （，）。由 且 在 的延长线上得 ，所以 ，。设 在 上，则 且 。由 得 ，即 、，所以 。由 得 。四个选项 、、、 中，落在 内的有 、（）、，故选 ABC。 【易错】第一，答案是「可能取值」而不是「取值范围」，所以要把每个选项逐个与 比 —— 这种无理数容易被误判。第二， 在第二象限，横坐标是负的，这是 与「延长线」共同决定的。第三， 是常数（因为 在 上给了一个约束），这道题里「 随 变」而不是两个系数都变。 【答案】ABC 例7（多选·★★★★☆） 如图，在正方形中，E为中点，M为线段上的动点，，则下列结论正确的是（ ） A. 当M为线段的中点时， B. 的最大值为 C. 的取值范围为 D. 的取值范围为 【切入点】正方形里 在线段 上动，用 、 两个基底表示 。正方形边长没给，可以自己设一个（设 最好算），因为四个选项问的都是比例关系。 【关键】以 为原点， 为 轴、 为 轴建系，设 ，则 ，（ 中点），。设 ，。由 得分量方程：，，解得 ，。逐项判断： 项， 为 中点时 ，，正确。 项，，最大值在 处为 而非 ，错误。 项， 且 ，故 ，正确。 项，，范围是 而非 ，错误。故选 AC。 【易错】第一，正方形边长可以自己设（设 让中点是整数坐标），四个选项都是比例式，设成别的值答案一样。第二，坐标系以 为原点而不是 ，是因为题干里的两个基底 、 都从 出发 —— 原点选在「基底公共端点」上，坐标最简。第三， 项与 项都是关于 的二次函数在闭区间上的最值，要写清取到时的 。 【答案】AC 变式7-1（单选·★★☆☆☆） 在平面直角坐标系xOy中，已知点，若点满足，则 = （ ） A. -3 B. 0 C. 1 D. 4 【切入点】、 的坐标已经给了，动点 只满足一个长度条件。直接设 ，把条件写成方程，再算目标的数量积 —— 全程不需要任何几何观察。 【关键】设 ，由 、 得 ，，于是 。由 得 ，即 。再算 ，，所以 。故选 A。 【易错】第一， 里 、 只与 有关，因为 、 关于原点对称 —— 这一点看出来了，条件就很好用。第二， 展开后出现的 正好用条件代换成 ，这是整道题的枢纽。第三，注意 与 方向相反，但两者与对应的另一个向量同时反号，数量积不变，用哪一对都行。 【答案】A 学科网（北京）股份有限公司 $ 平面向量的建系法与坐标化策略 平面向量 · 专题篇 · 选点原则、动点坐标与系数解法 一、建系原则与图形坐标化 把一个几何图形放进坐标系，第一件事不是算，而是选原点。原点的选择决定了后面所有点坐标的复杂程度：选在直角顶点上，两条直角边天然就是坐标轴，若干个点的坐标里会出现成片的零；选在对称中心上，对称的两个点坐标只差一个负号；选在图形外，虽然也能算，但每条边都要写两个非零分量。 选原点的三条常用依据。有直角，就把原点放在直角的顶点上，两条直角边分别是 轴与 轴；有对称中心或对角线交点，就把原点放在那里，对称点的坐标成对出现，很多项会自动抵消；有定长边与已知角，就让这条边落在坐标轴上，角用正余弦分摊到另一个方向上。 轴定好之后，逐个把顶点写成坐标。这一步要先把未知长度设成字母（设 、设 之类），不要急着求它 —— 很多题目的条件恰好就是用来解这个字母的方程。写坐标时按顺序来：先从原点出发那个点写起，再写与它共享一条边的点，最后写剩下的顶点，这样每一步都只用到一个已知长度和一个已知角。 这套做法的用处是：图形里所有长度、角度关系都被翻译成了坐标之间的加减乘除，接下来无论是求数量积、求某个点分线段的比例，还是判断垂直，都变成了纯粹的代数运算，不再需要盯着图找相似或作辅助线。代价是要多写几行 —— 所以什么时候值得建系，看的就是「图形里直角多不多、对称性强不强」。 例1（单选·★★★☆☆） 在矩形中，已知，点为线段的中点，且，则 = （ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 变式1-1（单选·★★☆☆☆） 早在西周时期，中国就有对勾股定理探讨的实例，数学家商高曾经和周公讨论过"勾3股4弦5"的问题."勾股弦"指的是直角三角形的两条直角边长分别是，斜边长为c.如图，已知在长方形中，满足"勾3股4弦5"，为上一点，且，则向量可用向量表示为（ ） A. B. C. D. 变式1-2（填空·★★★☆☆） 如图，由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成一个较大的等边三角形，其中，则的值为______；设，则 = ______． 例2（单选·★★☆☆☆） 如图是古希腊数学家特埃特图斯用来构造无理数，的图形，图中四边形的对角线相交于点，若，则 = （ ） A. B. C. D. 变式2-1（单选·★★☆☆☆） 如图，在边长为2的正方形中，分别为的中点，则 = （ ） A. B. 1 C. D. 例3（填空·★★★★☆） 如图，已知和为直角三角形，，与交于点，若，则 = __________. 变式3-1（单选·★★☆☆☆） 在平行四边形中，，则（ ） A. B. C. D. 二、动点与系数的坐标解法 图形建好坐标之后，真正的难点出现在动点上。顶点是钉死的，坐标写一次就够；动点每换一个位置坐标就变一次。处理它的办法只有一条：给动点设一个参数，再把题目里跟它有关的量都写成这个参数的式子 —— 问题从「几何位置」变成「函数取值」。 设参数的方式看动点在哪里活动。动点在一条线段上，就用分比设：设 ，，动点坐标就是两端点坐标的线性组合；动点在圆或圆弧上，就用三角函数设 ， 跑一圈，坐标自动落在圆周上；动点只满足某个方程条件（垂直、等距、到定点的距离为定值），就先解出这条轨迹再按类型选设法。 参数设好之后要做的是解系数。题目常给「用两个基底表示」的条件，写成坐标就是两个等式；用这两个等式把待求的 与 解成参数的函数，参数的范围一代，范围就出来了。这里有个省力的习惯：先把动点的坐标表达式写出来，再让两个式子对齐，而不是先把 λ、μ 的式子猜出来。 还要留一手：有一类题看起来没有参数，其实参数藏在条件里。题目给的是「几个向量之和的模等于常数」，先把这几个向量合成一个（往往能用中点或对称中心一步收拢），它就变成「动点到定点的距离等于定值」—— 动点被压在圆上，接下来按圆上动点设三角函数即可。反过来，如果题目问的是 的范围而不是具体值，画一画等和线（平行线系）常常比解参数更快 —— 建系与等和线是同一件事的两条路，选哪条看数据具体不具体。 例4（多选·★★★★☆） 已知矩形中，、交于点，，，点是矩形所在平面内的一点，且满足，．则下列说法正确的是（ ） A. B. 的最大值是为 C. 的最小值为 D. 的最大值为40 变式4-1（多选·★★★★☆） 如图，在菱形中，，延长边至点，使得.动点从点出发，沿菱形的边按逆时针方向运动一周回到点，若，则（ ） A. 当点在线段上移动时， B. 满足的点有且只有一个 C. 满足的点有两个 D. 最大值为3 变式4-2（多选·★★★★☆） 在边长为5的正方形中，，则下列结论正确的是（ ） A. 若点在上，则 B. 的取值范围为 C. 若点在上，则的最小值为 D. 若，，则在上的投影向量为 例5（填空·★★★★☆） 在直角梯形中，，，且，，对角线与交于点，点满足，则的取值范围是_____． 变式5-1（填空·★★☆☆☆） 如图，是边长为2的等边三角形，以为直径作一个半圆，点P为此半圆弧上的一个动点，若，则的最大值为______________. 变式5-2（单选·★★☆☆☆） 已知，，是平面内一动点，且，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 例6（单选·★★★★☆） 已知直角梯形中，，，且，，点是梯形内（含边界）任意一点，设，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 变式6-1（单选·★★★☆☆） 在平面四边形中，，点M在边（含端点）上运动，设，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 变式6-2（多选·★★★★☆） 已知四边形是正方形，延长至，使，点是线段上的任意一点.设向量，则的可能取值为（ ） A. B. C. D. 例7（多选·★★★★☆） 如图，在正方形中，E为中点，M为线段上的动点，，则下列结论正确的是（ ） A. 当M为线段的中点时， B. 的最大值为 C. 的取值范围为 D. 的取值范围为 变式7-1（单选·★★☆☆☆） 在平面直角坐标系xOy中，已知点，若点满足，则 = （ ） A. -3 B. 0 C. 1 D. 4 学科网（北京）股份有限公司 $