专题03 平面向量专项训练-2027届高三数学一轮复习

专题03　平面向量 2027届高考数学辅导一轮复习讲义 专题03　平面向量 一、核心知识 1．向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量；大小叫模，记为 ；长度为 0 的向量叫零向量，方向任意。 2．特殊向量：模为 1 的向量叫单位向量；方向相同或相反的非零向量叫共线（平行）向量，记 。 3．线性运算：加减法满足三角形法则与平行四边形法则；数乘 的模为 ， 同向、 反向。 4．共线定理：（）的充要条件是存在唯一实数 使 ；坐标形式为 。 5．平面向量基本定理：同一平面内不共线的两向量 可作为一组基底，平面内任一向量都能唯一表示为 。 6．坐标运算：，则 ，。 7．数量积定义：（ 为夹角）；坐标形式 。 8．模的坐标公式：；。 9．垂直与夹角：；。 10．投影： 在 方向上的投影数量为 ，是个数量不是向量。 11．重要不等式：；。 12．三角形四心： 为重心； 为垂心。 二、题型精练 题型一　平面向量的线性运算与共线定理 【方法与技巧】 线性运算先化坐标：加减就是对应分量相加减，数乘就是每个分量都乘，最后再算模或判断位置关系。 判断共线用交叉相乘 ，比“设 再解”更快，且不会漏掉零向量情形。 三点共线问题统一转成两个向量共线：（或 ），注意要有公共点。 【例题精讲】 1．已知 ，，则 （　　） A． B． C． D． 2．已知 不共线，，，，则下列三点一定共线的是（　　） A． B． C． D． 3．已知向量 ，，若 ，则 （　　） A．2 B． C．8 D． 【变式训练】 1．已知 ，，则 （　　） A． B． C． D． 2．已知 ，，则 （　　） A． B． C． D． 3．已知 不共线，，，若 ，则 （　　） A．4 B．2 C．1 D． 4．已知 ，，若 ，则 （　　） A．2 B． C．1 D．0 5．已知点 ，，，则 （　　） A． B． C． D． 6．已知 ，，若 与 共线，则 （　　） A． B． C． D．2 【巩固练习】 1．已知 ，，则 （　　） A． B． C． D． 2．已知 ，则与 同向的单位向量是（　　） A． B． C． D． 3．已知 ，，若 与 共线，则 （　　） A．4 B．2 C． D．1 4．已知 ，，若 ，则点 P 的坐标为（　　） A． B． C． D． 5．已知 ，，，，若 ，则 （　　） A． B． C． D．2 6．已知 ，，且 与 反向，则 （　　） A．13 B．5 C．1 D． 7．已知 ，，若 且 ，则 （　　） A． B．1 C．2 D． 8．已知 不共线，，，，若 三点共线，则 （　　） A．1 B．2 C． D．5 题型二　平面向量基本定理与坐标表示 【方法与技巧】 用基底表示向量时，把目标向量拆成“从起点到终点走了几步”，每步用已知向量替换，最后合并系数。 已知坐标反求系数（）就列二元一次方程组，解出 即可，注意 要不共线才有唯一解。 中点、重心、平行四边形的向量式要记牢：中点 ，重心满足 。 【例题精讲】 1．已知 ，，若 ，则（　　） A． B． C． D． 2．在平行四边形 ABCD 中，，，E 为 BC 的中点，则 （　　） A． B． C． D． 3．已知 ，，若 ，则 （　　） A． B． C． D．2 【变式训练】 1．已知 ，，，则 （　　） A． B．1 C．5 D． 2．已知 ，，若 与 共线，则 （　　） A． B．1 C．2 D． 3．在梯形 ABCD 中， 且 ，，，则 （　　） A． B． C． D． 4．已知 ，，则 的坐标为（　　） A． B． C． D． 5．已知 为一组基底，，，则 （　　） A． B． C． D． 6．已知 ，，，若 且 ，则 （　　） A．3 B．2 C．4 D．5 【巩固练习】 1．已知 ，，则 （　　） A． B． C． D． 2．已知 ，，则 （　　） A． B． C．3 D． 3．在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 交于 O，，，则 （　　） A． B． C． D． 4．已知 ，，若 ，则 （　　） A．2 B． C．4 D． 5．已知 ，，则 （　　） A． B． C． D． 6．已知 不共线，，，，用 表示 为（　　） A． B． C． D． 7．已知 ，，则与 同向的单位向量为（　　） A． B． C． D． 8．已知 ，，若 与 共线，则 （　　） A． B．2 C． D．1 题型三　平面向量的数量积与模 【方法与技巧】 数量积有两条路：定义式 与坐标式 ，有坐标优先用坐标式。 求模一律先平方：，算完再开方，能避开根号运算。 投影是数量不是向量，公式为 （分母是“被投影到”的那个向量的模）。 【例题精讲】 1．已知 ，， 与 的夹角为 ，则 （　　） A．3 B．6 C． D． 2．已知 ，，则 （　　） A．0 B．3 C． D．4 3．已知 ，，且 ，则 与 的夹角为（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．已知 ，，夹角为 ，则 （　　） A． B．6 C． D．12 2．已知 ，，则 （　　） A．7 B． C．5 D． 3．已知 ，，，则 （　　） A．2 B．4 C． D．1 4．已知 ，，则 与 的夹角为（　　） A． B． C． D． 5．已知 ，， 在 方向上的投影为 ，则 与 的夹角为（　　） A． B． C． D． 6．已知 ，，则 在 方向上的投影为（　　） A． B．11 C． D． 【巩固练习】 1．已知 ，，夹角为 ，则 （　　） A． B．7 C． D．3 2．已知 ，，则 与 的位置关系是（　　） A．垂直 B．平行 C．夹角为 D．夹角为 3．已知 ，，，则 与 的夹角为（　　） A． B． C． D． 4．已知 ，，，则 （　　） A．7 B． C．49 D．5 5．已知 ，，则 与 的夹角为（　　） A． B． C． D． 6．已知 ， 与 反向且 ，则 （　　） A． B． C． D． 7．已知 ，，，则 与 的夹角为（　　） A． B． C． D． 8．已知 ，，若 ，则 （　　） A．1 B． C．2 D． 题型四　平面向量的夹角与垂直 【方法与技巧】 判断垂直直接用 （坐标式最快）；判断夹角用 ，再对照特殊角。 “夹角为锐角”要同时满足 且两向量不共线同向；“夹角为钝角”要满足 且不反向共线，漏掉共线这一条是最常见的失分点。 含参垂直问题： 就展开成 ，解出 即可。 【例题精讲】 1．已知 ，，则 与 的夹角为（　　） A． B． C． D． 2．已知 ，，若 ，则 （　　） A． B．2 C． D．1 3．已知 ，， 与 的夹角为 ，若 ，则 （　　） A． B．1 C． D．2 【变式训练】 1．已知 ，，若 与 的夹角为 ，则 （　　） A．3 或 B．3 C． D．1 2．已知 ，，则 与 的位置关系是（　　） A．垂直 B．平行 C．夹角为 D．夹角为 3．已知 ，，若 与 的夹角为锐角，则 的取值范围是（　　） A． 且 B． C． D． 4．已知 ，，且 ，则 与 的夹角为（　　） A． B． C． D． 5．已知 ，，则 与 夹角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 6．已知 ，，若 ，则 （　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．已知 ，，则 与 的夹角为（　　） A． B． C． D． 2．已知 ，，若 ，则 （　　） A．6 B． C．8 D． 3．已知 ，，，则 与 的夹角为（　　） A． B． C． D． 4．已知 ，，若 与 的夹角为钝角，则 的取值范围是（　　） A． 且 B． C． D． 且 5．已知 ，，则 与 夹角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 6．已知 ，，则 （　　） A． B．13 C． D．5 7．已知 ，，若 ，则 （　　） A． B．2 C． D．4 8．已知 为非零向量，若 ，则（　　） A． B． C． D． 题型五　向量在平面几何中的应用（最值、轨迹与四心） 【方法与技巧】 模的最值用三角不等式：，等号在共线（同向或反向）时取到。 四心判定要记向量特征式：重心 ；垂心 ；外心 。 判断三角形形状看夹角余弦符号： 为锐角； 为直角； 为钝角。注意 对应的是 为钝角（方向相反）。 【例题精讲】 1．已知 ，，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．在 中，点 G 满足 ，则 G 为 的（　　） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 3．已知点 P 在 所在平面内，且 ，则 P 是 的（　　） A．垂心 B．重心 C．外心 D．内心 【变式训练】 1．已知 ，，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．在 中，O 满足 且 ，则 为（　　） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．钝角三角形 3．在 中，若 ，则 一定是（　　） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 4．已知 ， 为单位向量，则 的最大值为（　　） A．3 B．2 C． D．1 5．在 中，D 为 BC 的中点，则 （　　） A． B． C． D． 6．已知 （），则点 P 的轨迹所在直线是 的（　　） A．BC 边上的中线 B．BC 边上的高 C． 的平分线 D．BC 的垂直平分线 【巩固练习】 1．已知 ，则 的最大值为（　　） A．2 B．1 C． D． 2．在 中，若 ，则（　　） A． 为钝角 B． 为锐角 C． 为钝角 D． 为直角 3．已知 G 为 的重心，则 （　　） A． B． C． D． 4．已知 ，，则 的最小值为（　　） A． B．2 C． D．0 5．在平行四边形 ABCD 中，若 ，则该平行四边形为（　　） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形 6．已知 ，，则 （　　） A． B．1 C．2 D． 7．在 中，若 ，则（　　） A． 为钝角 B． 为锐角 C． 为直角 D．无法确定 8．已知 满足 且 ，则 与 的夹角为（　　） A． B． C． D． 题型六　向量与三角、解析几何的综合 【方法与技巧】 向量与三角综合多用单位圆： 的模恒为 1，两向量点积 。 形如 的最值用辅助角：最大值 ，最小值 ，因为 可看成单位向量。 坐标背景下的向量题，先把点坐标转成向量坐标，再套数量积、模、共线、垂直的坐标公式，本质是同一套运算。 【例题精讲】 1．已知 ，，若 ，则 （　　） A． B．1 C． D． 2．已知点 ，，，则 （　　） A． B．4 C． D．8 3．已知 ，，则 （　　） A． B． C． D．1 【变式训练】 1．已知 ，，若 ，则 （　　） A． B．1 C．0 D． 2．已知 ，则与 垂直的一个单位向量可以是（　　） A． B． C． D． 3．已知 ，，，则 （　　） A． B．16 C．0 D． 4．已知 ，则 （　　） A．1 B．2 C． D．与 有关 5．已知 ，，则 的最大值为（　　） A． B．5 C．3 D．2 6．已知 ，，且 ，则 可能为（　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．已知 ，则 （　　） A．1 B． C．2 D．不确定 2．已知 ，，若 ，则 （　　） A． B．2 C． D． 3．已知 ，，，则 （　　） A．2 B． C．0 D．1 4．已知 ，，则 的最小值为（　　） A． B．5 C． D．0 5．已知 ，，则 与 的夹角为（　　） A． B． C． D． 6．已知 ，，则 （　　） A． B．13 C． D．5 7．已知 ，，若 ，则 可以为（　　） A． B． C． D． 8．已知 ，，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 三、达标检测（共14题，建议限时40分钟） 【单项选择题】 1．已知 ，，则（　　） A． B． C． D． 2．已知 ，，夹角为 ，则 （　　） A．6 B．12 C． D．3 3．已知 ，，若 ，则 （　　） A．2 B． C．8 D． 4．已知 ，，则 与 的夹角为（　　） A． B． C． D． 5．已知 ，则与 反向的单位向量为（　　） A． B． C． D． 6．已知 ，，则 与 的夹角为（　　） A． B． C． D． 7．在 中，D 为 BC 的中点，则 （　　） A． B． C． D． 8．已知 ，，则（　　） A． B． C． D． 【多项选择题】 9．（多选）已知 ，，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 10．（多选）已知 ，，则下列结论可能成立的是（　　） A． B． C． D． 11．（多选）下列关于向量的命题正确的是（　　） A． B． C．若 ，则 或 D．若 ，，则 【填空题】 12．已知 ，，则 。 13．已知 ，， 与 的夹角为 ，则 。 14．已知 ，，若 ，则 。 （答案与逐题详解见《解析版》） 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $专题03　平面向量 2027届高考数学辅导一轮复习讲义 专题03　平面向量 一、核心知识 1．向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量；大小叫模，记为 ；长度为 0 的向量叫零向量，方向任意。 2．特殊向量：模为 1 的向量叫单位向量；方向相同或相反的非零向量叫共线（平行）向量，记 。 3．线性运算：加减法满足三角形法则与平行四边形法则；数乘 的模为 ， 同向、 反向。 4．共线定理：（）的充要条件是存在唯一实数 使 ；坐标形式为 。 5．平面向量基本定理：同一平面内不共线的两向量 可作为一组基底，平面内任一向量都能唯一表示为 。 6．坐标运算：，则 ，。 7．数量积定义：（ 为夹角）；坐标形式 。 8．模的坐标公式：；。 9．垂直与夹角：；。 10．投影： 在 方向上的投影数量为 ，是个数量不是向量。 11．重要不等式：；。 12．三角形四心： 为重心； 为垂心。 二、题型精练 题型一　平面向量的线性运算与共线定理 【方法与技巧】 线性运算先化坐标：加减就是对应分量相加减，数乘就是每个分量都乘，最后再算模或判断位置关系。 判断共线用交叉相乘 ，比“设 再解”更快，且不会漏掉零向量情形。 三点共线问题统一转成两个向量共线：（或 ），注意要有公共点。 【例题精讲】 1．已知 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，故 。选 A。 2．已知 不共线，，，，则下列三点一定共线的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，故 ，又两向量有公共点 B，所以 共线。选 A。 3．已知向量 ，，若 ，则 （　　） A．2 B． C．8 D． 【答案】A 【详解】由共线条件 ，得 。选 A。 【变式训练】 1．已知 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，。选 A。 2．已知 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，模为 。选 A。 3．已知 不共线，，，若 ，则 （　　） A．4 B．2 C．1 D． 【答案】A 【详解】设 ，则由 的系数得 ，故 。选 A。 4．已知 ，，若 ，则 （　　） A．2 B． C．1 D．0 【答案】A 【详解】，。由 得 ，。选 A。 5．已知点 ，，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，和为 。选 A。 6．已知 ，，若 与 共线，则 （　　） A． B． C． D．2 【答案】A 【详解】，。由 得 ，。选 A。 【巩固练习】 1．已知 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，。选 A。 2．已知 ，则与 同向的单位向量是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，同向单位向量为 。选 A。 3．已知 ，，若 与 共线，则 （　　） A．4 B．2 C． D．1 【答案】A 【详解】，。由 得 。选 A。 4．已知 ，，若 ，则点 P 的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由 得 ，即 ，故 。选 A。 5．已知 ，，，，若 ，则 （　　） A． B． C． D．2 【答案】A 【详解】，。由 得 。选 A。 6．已知 ，，且 与 反向，则 （　　） A．13 B．5 C．1 D． 【答案】A 【详解】反向故 。，故模为 13。选 A。 7．已知 ，，若 且 ，则 （　　） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【详解】，。由 得 ，。选 A。 8．已知 不共线，，，，若 三点共线，则 （　　） A．1 B．2 C． D．5 【答案】A 【详解】。由 得 ，故 且 ，。选 A。 题型二　平面向量基本定理与坐标表示 【方法与技巧】 用基底表示向量时，把目标向量拆成“从起点到终点走了几步”，每步用已知向量替换，最后合并系数。 已知坐标反求系数（）就列二元一次方程组，解出 即可，注意 要不共线才有唯一解。 中点、重心、平行四边形的向量式要记牢：中点 ，重心满足 。 【例题精讲】 1．已知 ，，若 ，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由 与 联立，第二式得 代入第一式：，，。选 A。 2．在平行四边形 ABCD 中，，，E 为 BC 的中点，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，而 ，故 。选 A。 3．已知 ，，若 ，则 （　　） A． B． C． D．2 【答案】A 【详解】由 与 联立，得 ，，故 。选 A。 【变式训练】 1．已知 ，，，则 （　　） A． B．1 C．5 D． 【答案】A 【详解】由 与 联立，相加得 ，，，故 。选 A。 2．已知 ，，若 与 共线，则 （　　） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【详解】，。由 得 ，。选 A。 3．在梯形 ABCD 中， 且 ，，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，故 。选 A。 4．已知 ，，则 的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，故 。选 A。 5．已知 为一组基底，，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，减去 得 。选 A。 6．已知 ，，，若 且 ，则 （　　） A．3 B．2 C．4 D．5 【答案】A 【详解】由 与 联立，得 ，，故 。选 A。 【巩固练习】 1．已知 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对应分量相加：。选 A。 2．已知 ，，则 （　　） A． B． C．3 D． 【答案】A 【详解】，。选 A。 3．在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 交于 O，，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，O 为 AC 中点，故 。选 A。 4．已知 ，，若 ，则 （　　） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【详解】由 得 。选 A。 5．已知 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，和为 。选 A。 6．已知 不共线，，，，用 表示 为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设 ，则 ，，解得 ，。选 A。 7．已知 ，，则与 同向的单位向量为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，模为 5，同向单位向量为 。选 A。 8．已知 ，，若 与 共线，则 （　　） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【详解】，。由 得 ，。选 A。 题型三　平面向量的数量积与模 【方法与技巧】 数量积有两条路：定义式 与坐标式 ，有坐标优先用坐标式。 求模一律先平方：，算完再开方，能避开根号运算。 投影是数量不是向量，公式为 （分母是“被投影到”的那个向量的模）。 【例题精讲】 1．已知 ，， 与 的夹角为 ，则 （　　） A．3 B．6 C． D． 【答案】A 【详解】。选 A。 2．已知 ，，则 （　　） A．0 B．3 C． D．4 【答案】A 【详解】。选 A。 3．已知 ，，且 ，则 与 的夹角为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由 ，得 ，故 。选 A。 【变式训练】 1．已知 ，，夹角为 ，则 （　　） A． B．6 C． D．12 【答案】A 【详解】。选 A。 2．已知 ，，则 （　　） A．7 B． C．5 D． 【答案】A 【详解】，模为 7。选 A。 3．已知 ，，，则 （　　） A．2 B．4 C． D．1 【答案】A 【详解】，故模为 2。选 A。 4．已知 ，，则 与 的夹角为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，故两向量垂直，夹角为 。选 A。 5．已知 ，， 在 方向上的投影为 ，则 与 的夹角为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】投影为 ，即 ，，故 。选 A。 6．已知 ，，则 在 方向上的投影为（　　） A． B．11 C． D． 【答案】A 【详解】，，投影为 。选 A。 【巩固练习】 1．已知 ，，夹角为 ，则 （　　） A． B．7 C． D．3 【答案】A 【详解】，故模为 。选 A。 2．已知 ，，则 与 的位置关系是（　　） A．垂直 B．平行 C．夹角为 D．夹角为 【答案】A 【详解】，故 。选 A。 3．已知 ，，，则 与 的夹角为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，故 。选 A。 4．已知 ，，，则 （　　） A．7 B． C．49 D．5 【答案】A 【详解】，故模为 7。选 A。 5．已知 ，，则 与 的夹角为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，两向量模都为 1，故 ，。选 A。 6．已知 ， 与 反向且 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，反向且模为 10，故 。选 A。 7．已知 ，，，则 与 的夹角为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，故 。选 A。 8．已知 ，，若 ，则 （　　） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【详解】，得 。选 A。 题型四　平面向量的夹角与垂直 【方法与技巧】 判断垂直直接用 （坐标式最快）；判断夹角用 ，再对照特殊角。 “夹角为锐角”要同时满足 且两向量不共线同向；“夹角为钝角”要满足 且不反向共线，漏掉共线这一条是最常见的失分点。 含参垂直问题： 就展开成 ，解出 即可。 【例题精讲】 1．已知 ，，则 与 的夹角为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，故 ，夹角为 。选 A。 2．已知 ，，若 ，则 （　　） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【详解】，得 。选 A。 3．已知 ，， 与 的夹角为 ，若 ，则 （　　） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【详解】由 ，得 。选 A。 【变式训练】 1．已知 ，，若 与 的夹角为 ，则 （　　） A．3 或 B．3 C． D．1 【答案】A 【详解】，平方整理得 ，解得 或 。选 A。 2．已知 ，，则 与 的位置关系是（　　） A．垂直 B．平行 C．夹角为 D．夹角为 【答案】A 【详解】，故垂直。选 A。 3．已知 ，，若 与 的夹角为锐角，则 的取值范围是（　　） A． 且 B． C． D． 【答案】A 【详解】锐角要求 即 ，且不能同向共线：，即 。选 A。 4．已知 ，，且 ，则 与 的夹角为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，得 ，。选 A。 5．已知 ，，则 与 夹角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，，故 。选 A。 6．已知 ，，若 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，点积为 ，故 。选 A。 【巩固练习】 1．已知 ，，则 与 的夹角为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，故夹角为 。选 A。 2．已知 ，，若 ，则 （　　） A．6 B． C．8 D． 【答案】A 【详解】，得 。选 A。 3．已知 ，，，则 与 的夹角为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，故 。选 A。 4．已知 ，，若 与 的夹角为钝角，则 的取值范围是（　　） A． 且 B． C． D． 且 【答案】A 【详解】钝角要求 即 ，且不能反向共线；反向共线时 （），得 ，，应排除。选 A。 5．已知 ，，则 与 夹角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，两向量模均为 ，故 。选 A。 6．已知 ，，则 （　　） A． B．13 C． D．5 【答案】A 【详解】，模为 。选 A。 7．已知 ，，若 ，则 （　　） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【详解】由 得 。选 A。 8．已知 为非零向量，若 ，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，故 。选 A。 题型五　向量在平面几何中的应用（最值、轨迹与四心） 【方法与技巧】 模的最值用三角不等式：，等号在共线（同向或反向）时取到。 四心判定要记向量特征式：重心 ；垂心 ；外心 。 判断三角形形状看夹角余弦符号： 为锐角； 为直角； 为钝角。注意 对应的是 为钝角（方向相反）。 【例题精讲】 1．已知 ，，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由三角不等式 ，得 。选 A。 2．在 中，点 G 满足 ，则 G 为 的（　　） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 【答案】A 【详解】三条中线的交点即重心，其向量特征为 。选 A。 3．已知点 P 在 所在平面内，且 ，则 P 是 的（　　） A．垂心 B．重心 C．外心 D．内心 【答案】A 【详解】由 得 ，即 ；同理 、，故 P 为垂心。选 A。 【变式训练】 1．已知 ，，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由三角不等式得 ，即 。选 A。 2．在 中，O 满足 且 ，则 为（　　） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【详解】前式说明 O 为外心，后式说明 O 为重心；外心与重心重合的三角形必为等边三角形。选 A。 3．在 中，若 ，则 一定是（　　） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】A 【详解】 说明 ，即 ，故为直角三角形。选 A。 4．已知 ， 为单位向量，则 的最大值为（　　） A．3 B．2 C． D．1 【答案】A 【详解】，当 与 同向时取到。选 A。 5．在 中，D 为 BC 的中点，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由平行四边形法则（或中点向量公式），。选 A。 6．已知 （），则点 P 的轨迹所在直线是 的（　　） A．BC 边上的中线 B．BC 边上的高 C． 的平分线 D．BC 的垂直平分线 【答案】A 【详解】设 D 为 BC 中点，则 ，故 ，P 恒在中线 AD 所在直线上。选 A。 【巩固练习】 1．已知 ，则 的最大值为（　　） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【详解】由三角不等式，最大值为 （同向时取到）。选 A。 2．在 中，若 ，则（　　） A． 为钝角 B． 为锐角 C． 为钝角 D． 为直角 【答案】A 【详解】，故 ， 为钝角。选 A。 3．已知 G 为 的重心，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】这是重心的向量特征式，和为 。选 A。 4．已知 ，，则 的最小值为（　　） A． B．2 C． D．0 【答案】A 【详解】，当 时取到 。选 A。 5．在平行四边形 ABCD 中，若 ，则该平行四边形为（　　） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形 【答案】A 【详解】左边为 ，右边为 ，即两条对角线相等，故为矩形。选 A。 6．已知 ，，则 （　　） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【详解】，，故模为 。选 A。 7．在 中，若 ，则（　　） A． 为钝角 B． 为锐角 C． 为直角 D．无法确定 【答案】A 【详解】，故 ， 为钝角。选 A。 8．已知 满足 且 ，则 与 的夹角为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，故 ，。选 A。 题型六　向量与三角、解析几何的综合 【方法与技巧】 向量与三角综合多用单位圆： 的模恒为 1，两向量点积 。 形如 的最值用辅助角：最大值 ，最小值 ，因为 可看成单位向量。 坐标背景下的向量题，先把点坐标转成向量坐标，再套数量积、模、共线、垂直的坐标公式，本质是同一套运算。 【例题精讲】 1．已知 ，，若 ，则 （　　） A． B．1 C． D． 【答案】A 【详解】，故 。选 A。 2．已知点 ，，，则 （　　） A． B．4 C． D．8 【答案】A 【详解】，，点积为 。选 A。 3．已知 ，，则 （　　） A． B． C． D．1 【答案】A 【详解】两向量均为单位向量，。选 A。 【变式训练】 1．已知 ，，若 ，则 （　　） A． B．1 C．0 D． 【答案】A 【详解】，两边平方得 ，故 。选 A。 2．已知 ，则与 垂直的一个单位向量可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】检验 A：，且模为 。选 A。 3．已知 ，，，则 （　　） A． B．16 C．0 D． 【答案】A 【详解】，，点积为 。选 A。 4．已知 ，则 （　　） A．1 B．2 C． D．与 有关 【答案】A 【详解】，恒成立。选 A。 5．已知 ，，则 的最大值为（　　） A． B．5 C．3 D．2 【答案】A 【详解】，最大值为 （也可看成 ）。选 A。 6．已知 ，，且 ，则 可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，故 。选 A。 【巩固练习】 1．已知 ，则 （　　） A．1 B． C．2 D．不确定 【答案】A 【详解】。选 A。 2．已知 ，，若 ，则 （　　） A． B．2 C． D． 【答案】A 【详解】，故 。选 A。 3．已知 ，，，则 （　　） A．2 B． C．0 D．1 【答案】A 【详解】，，点积为 。选 A。 4．已知 ，，则 的最小值为（　　） A． B．5 C． D．0 【答案】A 【详解】 是单位向量， 的最小值为 。选 A。 5．已知 ，，则 与 的夹角为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，两向量模均为 2，故 ，。选 A。 6．已知 ，，则 （　　） A． B．13 C． D．5 【答案】A 【详解】，模为 。选 A。 7．已知 ，，若 ，则 可以为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 即 ，在给定选项中 满足。选 A。 8．已知 ，，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 为单位向量，，取值范围为 。选 A。 三、达标检测（共14题，建议限时40分钟） 【单项选择题】 1．已知 ，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，故 （事实上 ）。选 A。 2．已知 ，，夹角为 ，则 （　　） A．6 B．12 C． D．3 【答案】A 【详解】。选 A。 3．已知 ，，若 ，则 （　　） A．2 B． C．8 D． 【答案】A 【详解】，得 。选 A。 4．已知 ，，则 与 的夹角为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，故夹角为 。选 A。 5．已知 ，则与 反向的单位向量为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，反向单位向量为 。选 A。 6．已知 ，，则 与 的夹角为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，故 ，。选 A。 7．在 中，D 为 BC 的中点，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】中点向量公式 。选 A。 8．已知 ，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。选 A。 【多项选择题】 9．（多选）已知 ，，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】，A 对；，B 对；点积不为 0，C 错；，D 错。选 AB。 10．（多选）已知 ，，则下列结论可能成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】，故 A、B 可能，C 不可能；同向时 ，D 可能。选 ABD。 11．（多选）下列关于向量的命题正确的是（　　） A． B． C．若 ，则 或 D．若 ，，则 【答案】AB 【详解】A 是柯西不等式，B 是三角不等式，均正确；C 错在忽略了非零向量互相垂直的情形；D 错在 时不成立。选 AB。 【填空题】 12．已知 ，，则 。 【答案】1 【详解】。 13．已知 ，， 与 的夹角为 ，则 。 【答案】 【详解】，故模为 。 14．已知 ，，若 ，则 。 【答案】 【详解】，得 。 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $