建系解决立体几何大题专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦空间向量工具，通过四模块系统训练线线角、线面角、面面角及综合问题，以题载法构建空间几何解题逻辑链。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |空间向量解决线线角|4题|异面直线成角余弦值计算|以建系为核心，从线线位置关系切入，培养空间观念| |空间向量解决线面角|6题|线面角正弦值计算|递进至线面垂直证明与角的求解，强化推理能力| |空间向量解决面面角|8题|二面角余弦/正弦值计算|深化至面面垂直及翻折问题，提升数学思维| |空间向量解决其他问题|7题|距离、体积及存在性问题|综合应用向量工具，完善知识体系与应用意识|

建系解决空间几何大题 一空间向量解决线线角 1.(25-26高三上·四川成都期中)如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD,侧棱 PA=PD=√2 ABC ,底面 CD为直角梯形，其中BC1AD,AB⊥AD,D=2AB=2BC=2,0为4D 中点 (1)求证：PO⊥平面ABCD (2)求异面直线PB与CD所成角的余弦值. 2.(2025·全国一卷高考真题)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,BC∥AD A (1)证明：平面PAB⊥平面PAD: PA=AB=√2，BC=2,AD=1+√ (2)设 3,且点P,B,C,D均在球O的球面上 (i)证明：点O在平面ABCD内： (i)求直线AC与PO所成角的余弦值. 1 3.(26-27高三上江苏南京开学考试)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA1底面ABCD, PA=AB=BC=2AD=2,AD1IBC,∠DAB=90°.以AC为直径的球面分别交PB,PC于M,N两 点(M,N异于所在棱端点)· D M A D (1)证明：AM⊥平面PBC: (2)求异面直线MN与CD的夹角： (3)求三棱锥C-MND的体积， 4.(2026广东广州三模)如图1，己知四边形ABCD为菱形，且∠BAD=60°，点E,F分别为边AB, AD的中点，将△AEF,△BCE,△DCF分别沿EF,CE,CF折起，使得A,B,D三点重合于点O 得到三棱锥如图2. D E 图1 图2 (1)证明：EF⊥OC: (2)若0=0F,0丽-0c,求直线00与直线EH所成角的余弦值. 二空间向量解决线面角 5.(2026全国二卷·高考真题)如图，三棱锥A-BCD中，点E在BD上，AE⊥CE,AE⊥DE, CD⊥AD D B C (1)证明：CD⊥AB: (2)若DE=2,BE=,4B=2,D=25.求直线4D与平面4C 所成角的正弦值. 6.(2025·北京高考真题)如图，在四棱锥P-ABCD中，△ADC与△BAC均为等腰直角三角形， ∠ADC=90°，∠BAC=90° E为BC的中点. 1)若F,G分别为PD,PE的中点，求证：FG1I平面PAB; (2)若PA⊥平面ABCD,PA=AC,求直线AB与平面PCD所成角的正弦值. 3 7.(2026江西九江模拟预测)如图，在直角梯形ABCD中，AD/BC,∠BAD=90,AB=AD=1,BC=2 将△ABD沿BD翻折，得到空间四边形PBCD,且满足PB⊥CD. D E C B (1)证明：平面PBD⊥平面BCD, (2)若点E为棱PD上一点，且PE=2ED,求直线CE与平面PBC所成角的正弦值. BC-ABG中，MBL4C,AB=1C=2,侧面 AACC 8.(25-26高三下·江苏无锡阶段检测)三棱柱 为矩形， ∠4AB=2 25 ,三棱锥C-ABC的体积为3· C 4 AA (1)求侧棱的长： (②)若点8位于侧棱cC,上，且CE= 3,求直线AB与平面ABC所成角的正弦值. 9(2025陕西成用三模)如图，四楼锥4-BCDE的底同为菱形，∠FDC=60,48=BC=25,棱 AB,AE,AD,DE F,G,H,I 的中点分别为 H B D (1)证明：CH∥平面FGI; (2)若四棱锥的顶点A满足AB⊥CE,且当四棱锥A-BCDE的体积为6时，求直线FI与平面ABC所 成角的余弦值. 10.(2026河南郑州模拟预测)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD, AD=2BC=2CD-2PA=2 BC/AD./BCD-3 ,点E,F分别在棱PD,PC上，DE=4EP: EF1ICD,平面AEF与棱PB交于点G. 5 (1)证明：平面AEFG⊥平面PCD (2)求直线AG与平面PBC所成角的正弦值. 三空间向量解决面面角 11.(2026天津高考真题)在长方体 BCD-4BGD中，AB=2,M=3,AD=4,AE=36D 2CF=FC D E C A D (I)求证：BD⊥面CEF: (2)求面AEF与面CEF的夹角的余弦值； (3)求三棱锥A-CEF的体积. 12.(2025全国二卷高考真题)如图，在四边形ABCD中，AB1/CD,∠DAB=90°，F为CD的中点， 6 点E在AB上，EFIIAD,AB=3AD,CD=2AD将四边形EFDA沿EF翻折至四边形EFD'A,使得面 EFD'A与面EFCB所成的二面角为60°. D B (1)证明：A'B/I平面CD'F: (2)求面BCD'与面EFD'A所成的二面角的正弦值. 13.(26-27高三上湖南常德开学考试)如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD,底面ABCD 为正方形，M,N分别是AB,PC的中点. M B (1)求证：MN∥平面PAD; (2)若PD=AD=2,求平面PAD与平面PBC夹角的余弦值. 14(2026北京高考真题)己知直三棱柱1BC-4BG,∠BMC=0°AB=4C=2,BB=V2,E、 D分别为 AB AC 的中点. B (1)证明： DEI BBCC 平面 (2)点P在平 ABG内，且 P/B,G,再从条件O、条件②、条件®这三个条件中选择一个作为已 知，使得P唯一确定，求平面PAD与平面PDE的夹角的余弦值. OPA=PD:@PALBC,③BB'平面PDE 注：如果选择条件①、条件②、条件③分别解答，按第一个解答计分， 15如图，平面四边形ACD中，AB=8,CD=3,D=55,∠DC=90∠BD=30,点B,F 满足正-号D,-号，将AABr沿EF折至PEF使得PC=45· : (1)证明：EF⊥PD: (2)求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值。 16如图，在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形， BFAD,BCI1ADAD=4AB=BC=EF=2.D=i0,FB=25,M为4D的中点. E (1)证明：BMII平面CDE! (2)求二面角F-BM-E的正弦值. 1知图，在三棱鞋P-ABC中，B1BC,AB=2,BC=25,PB=C=6,B即，4，BC的中 点分别为D,五，0，D=v5D0,点F在AC上，B你140 D D B (1)证明：EF/平面ADO: (2)证明：平面ADO⊥平面BEF: 9 (3)求二面角D-A0-C的正弦值. 18.(2026山东聊城·一模)如图1，平行四边形ABCD中，∠BAD=60°，AB=2AD=4,E是CD的中 点，将△ADE沿AE翻折至△AD'E,如图2所示. D E E B B 图1 图2 (1)若平面AD'E⊥平面ABCE,证明：BE⊥平面AD'E; (2)若二面角D'-AE-B为120°，求二面角E-AD'-B的余弦值. 四空间向量解决其他问题 19.(2026全国一卷·高考真题)如图，在直三棱柱 MBC-ABG中，∠ACB=90°，AC=BC,D,E 分别为B. AC 的中点. A B -- D B 10 BCCB (1)证明： DEl平面 C=2 (2)设 ，直线DE与平 ACC A 所成的角为45°，求直线DE到平面 CCB 的距离。 20.(25-26高二下·江苏常州期中)四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为梯形，其中AB/DC, AB=2BC=2CD=4,∠BCD=60°，平面PBD⊥平面ABCD. B (1)证明：PB⊥AD: (2)若PB=PD,且三棱锥C-PBD 的体积为5，点F在线段PC上，若平面D8F与平面P8C所成 12 的二面角的正弦值为13，求PF的长， 21.(25-26高二下江苏扬州阶段检测)如图1所示，在等腰梯形ABCD,BCAD,CE⊥AD,垂足 为E,4D-=3BC=3,BC=1,将△DBC沿EC折起到D D,EC D,EC⊥ 的位置，如图2所示，平面 平面 ABCE 11 图1 图2 BCD⊥ CDE (1)求证：平面 平面 CD ABD (2)求直线与平面 所成角的正弦值： √6 (3)在棱AD(不包括端点)上是否存在点G,使平面ABD与平面GEC的夹角的余弦值为6，若 AG 存在，求出AD的值，若不存在，请说明理由. 2.(25-26高一下湖北武汉期末)在如图1所示平面四边形4BCD中，AB=2,BC=CD=V6 D=25,ABLBD,将BCD沿5D翻折至△PBD(图2)，其中P为动点，连接P1,令PA=(, 1,4].点E,F,M分别为BP,PA,BD的中点，点N在AD上且满足BN L AM,4与F 交于G,AM与BN交于K,连接GK. 12 D 图1 图2 (1)证明：GK/1平面PBD; (2)当平面AEM⊥平面BFN时，求t的值： (3)求二面角B-AM-E的余弦值的最小值. 23.(2026天津滨海新区·三模)如图，在四棱锥E-ABCD中，平面ABCD⊥平面ABE,，ABIIDC, AB L BC AB=2BC=2CD=2 AE=BE=3 3,点M为BE的中点. D M E (1)求证：CM/I平面ADE: (2)求直线AD与直线CM所成角的余弦值； V30 (3)若线段AD上存在一点N,使直线EN与平面MCD所成角的正弦值为10，求三棱锥N-CDE 的体积. 13 24.(2026安徽安庆模拟预测)如图，直三棱柱 8C-A8C中，BLAC,4=2MB=21C BP=元BB B 力 B (1)当入=2时，证明：平面PAC1平面PAC· (2)当2e(0,1),记平面PAC与平面BCCB的夹角为9，求os0的取值范围. 25(2026河南许昌三模)四棱锥P-BCD 的底面 BCD为矩形，4B=5,BC=2,PA=PD, AC⊥PB 14 D 1-- B (1)证明：平面PAD⊥平面ABCD: (2)设四棱锥P-ABCD的外接球的球心为M,且点M与点P在平面ABCD的同一侧，球M的半径为 66 6. (i)求平面PAD与平面MAD夹角的余弦值； (i)己知平面PAD与平面PBC的交线为l,点Q在1上，设直线QM和平面PBC所成的角为O,求 sin0的取值范围. 15 建系解决空间几何大题 一 空间向量解决线线角 1.（25-26高三上·四川成都·期中）如图，在四棱锥中，侧面底面，侧棱，底面为直角梯形，其中，，，为中点. （1）求证：平面； （2）求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)由已知可得，，为中点，所以，.因为面底面，面底面，平面，所以，平面. （2） 连接，因为，为中点，所以，.又因为，所以四边形为平行四边形，所以，，且. 由已知，所以.如图，建立空间直角坐标系，则，，，， 所以，，，所以，，所以，异面直线与所成角的余弦值为. 2.（2025·全国一卷·高考真题）如图,在四棱锥中，底面，． （1）证明：平面平面； （2）设，且点，，，均在球的球面上． （i）证明：点在平面内； （ⅱ）求直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)证明：由题意证明如下，在四棱锥中，⊥平面，， 平面，平面，∴，，∵平面，平面，，∴平面，∵平面，∴平面平面. (2)（i）证明：由题意及（1）证明如下， 在四棱锥中，，，，∥， ，，建立空间直角坐标系如下图所示， ∴， 若，，，在同一个球面上，则，在平面中， ∴，∴线段中点坐标， 直线的斜率：，直线的垂直平分线斜率：， ∴直线的方程：，即， 当时，，解得：，∴在立体几何中，， ∵解得：，∴点在平面上. （ii）由题意，（1）（2）（ii）及图得，，设直线与直线所成角为， ∴. 3.（26-27高三上·江苏南京·开学考试）如图，在四棱锥中，底面，，，.以为直径的球面分别交，于，两点（，异于所在棱端点）. （1）证明：平面； （2）求异面直线与的夹角； （3）求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明:由底面，底面，得； 又，， 故，，因此平面.平面，故.在以为直径的球面上，直径所对的圆周角是直角，得，即.又，平面，因此平面，得证. （2）以为原点，为轴，为轴，为轴建立坐标系，由题意得各点坐标.由（1）可知，所以.因为所以为的中点，得. ，则，，所以，解得，即.得，.， 故，因此异面直线与的夹角为. （3）由（2）可知，，设平面的法向量为，则， 化简得令，得，因此平面的一个法向量为. ，点到平面的距离，​又，，​，. 故， 三棱锥体积. 4.（2026·广东广州·三模）如图1，已知四边形为菱形，且，点，分别为边，的中点，将，，分别沿，，折起，使得，，三点重合于点得到三棱锥如图2． （1）证明：； （2）若，，求直线与直线所成角的余弦值． 【详解】（1）法一：在图1中，连接交于点，因四边形为菱形，且，点，分别为边，的中点，则点是线段的中点，且，折起后，在图2中有，因，平面,平面，因为平面，所以． 法二：依题意，不妨设菱形的边长为2，在图2中则有， 又因为，所以，在图2中有，以作为基底，所以，因为，则有，所以. （2）由（1）法二为基底，设向量与向量的夹角为， 因为，所以点是线段的中点，在等边三角形中,，且，又由于，则,,, ，所以 又因为 ． 所以，所以直线与直线夹角的余弦值等于. 二 空间向量解决线面角 5.（2026·全国二卷·高考真题）如图，三棱锥中，点在上，，，． （1）证明：； （2）若，，，，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明：因为且，，且， 所以平面.因为平面，所以. 又，，平面，平面，平面，所以平面，故. （2）如图所示，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过点且垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系， 可得， ， ， .因为 且 ，所以.所以，，.设平面 的法向量 ，则，可得，令，则：，，即.设与平面所成的角为： 所以，所以与平面所成的角的正弦值为. 6.（2025·北京·高考真题）如图，在四棱锥中，与均为等腰直角三角形，，E为BC的中点． （1）若分别为的中点，求证：平面PAB； （2）若平面ABCD，，求直线AB与平面PCD所成角的正弦值． 【答案】(1)取PA的中点N，PB的中点M，连接FN、MN，与为等腰直角三角形且，不妨设，..E、F分别为BC、PD的中点，，且.，，，∴四边形FGMN为平行四边形，，平面PAB，平面PAB，平面PAB； （2）平面ABCD，以A为原点，AC、AB、AP所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，，设平面PCD的一个法向量为， ，，取，，.设AB与平面PCD所成角为，则，即AB与平面PCD所成角的正弦值为. 7.（2026·江西九江·模拟预测）如图，在直角梯形中，．将沿翻折，得到空间四边形，且满足． （1）证明：平面平面； （2）若点为棱上一点，且，求直线与平面所成角的正弦值． 【详解】（1）取的中点，连接，因为，，，所以四边形是平行四边形，又，所以，所以，所以，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面； （2）因为，且，所以四边形是正方形，所以， 过作平面，以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以，又因为，所以，所以， 设平面的一个法向量为，，令，则， 所以平面的一个法向量为，设直线与平面所成的角为，所以. 8.（25-26高三下·江苏无锡·阶段检测）三棱柱中，，，侧面为矩形，，三棱锥的体积为． （1）求侧棱的长； （2）若点E位于侧棱上，且，求直线AE与平面所成角的正弦值． 【详解】（1）在平面内过A作，垂足为D，因为侧面为矩形，所以， 又，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，因为，所以，平面，平面 平面，所以平面. 所以，解得，因为，所以，所以； （2）如图，以A为坐标原点，以AB，AC，AD所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则，，，，故，. 因为，则，故，设平面的法向量为， 则,即，令，则，故平面的一个法向量为， 设直线AE与平面所成角为，则，所以直线AE与平面所成角的正弦值为． 9.（2026·陕西咸阳·三模）如图，四棱锥的底面为菱形，，，棱的中点分别为． （1）证明：平面； （2）若四棱锥的顶点满足，且当四棱锥的体积为时，求直线与平面所成角的余弦值． 【详解】（1）因为分别为的中点，所以，又平面，平面，所以平面，因为分别为的中点，所以，因为为菱形，所以，所以，又平面，平面，所以平面，因为平面，，所以平面平面，因为平面，所以平面． （2） 菱形的面积， 设到平面的距离为，所以，解得，由是菱形，得，设，以为坐标原点，分别为轴，过作底面垂线为轴，建立空间直角坐标系，由是菱形，，得为等边三角形，， ，，所以，，，，，设（竖坐标为高），，，因为，所以，解得，，解得，， 结合几何体实际位置，即，因为为中点，为中点，所以，，， ，，设平面的法向量，所以，令，得，所以，所以，所以直线与平面所成角的余弦值为． 10.（2026·河南郑州·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面,，，，点分别在棱上，，，平面与棱交于点． （1）证明：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明：因为平面，且平面，所以，又因为，，所以，因为，且平面，所以平面，又因为，所以平面，因为平面，所以，在直角中，，，所以，因为，所以，所以，又因为，所以，所以，所以，因为且，平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面. （2）解：过点作直线，以为坐标原点，所在的直线分别为x，y，z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，可得，，，，，则，，，设，则，由（1）知，所以，即，得，所以，设平面的法向量为，则，令，可得，所以，设直线与平面所成的角为，则， 故直线与平面所成角的正弦值为． 三 空间向量解决面面角 11.（2026·天津·高考真题）在长方体中，，，，，． （1）求证：面； （2）求面与面的夹角的余弦值； （3）求三棱锥的体积． 【答案】(1)方法一：如图，过点作//,交于点，则有,.连接,则四点共面,平面即平面.由，，可得与相似,所以，则可得,所以.长方体中，平面，因为平面，所以.又,平面，所以平面. 方法二：如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系.则.所以.所以，所以，即.又,平面，所以平面. （2）如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系.则.所以， 设平面的法向量为，则，故可取.由（1）知平面的一个法向量为，所以，所以平面与平面的夹角的余弦值为. （3）方法一：由，，得，所以.所以的面积为.由（2）知，平面的一个法向量为， 点C到平面的距离为.所以三棱锥的体积， 所以三棱锥的体积为. 方法二：点A到平面的距离为.因为//，所以到的距离相等， 所以的面积等于的面积，即.所以三棱锥的体积为. 12.（2025·全国二卷·高考真题）如图，在四边形中，，F为CD的中点，点E在AB上，，.将四边形沿翻折至四边形，使得面与面EFCB所成的二面角为． （1）证明：平面； （2）求面与面所成的二面角的正弦值． 【答案】(1)设，所以，因为为中点，所以，因为，，所以是平行四边形， 所以，所以，因为平面平面，所以平面，因为平面平面，所以平面，又，平面，所以平面平面，又平面，所以平面． （2）因为，所以，又因为，所以，以为原点，以及垂直于平面的直线分别为轴，建立空间直角坐标系.因为，平面与平面所成二面角为60° ，所以.则，，，，，.所以.设平面的法向量为，则 ，所以，令，则，则.设平面的法向量为，则，所以，令，则，所以.所以.所以平面与平面夹角的正弦值为. 13.（26-27高三上·湖南常德·开学考试）如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，，分别是，的中点． （1）求证：平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)设的中点为，连接，，因为，是，的中点，所以在中，，，因为为正方形，为中点，所以，，所以，，即四边形是平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面． （2）因为平面，，平面，所以，，在正方形中，， 所以以为正交基底建立空间直角坐标系，因为，所以，，，所以. 设平面的一个法向量为，所以即解得，取，得，所以，又平面的一个法向量为，所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 14.（2026·北京·高考真题）已知直三棱柱，，，，、分别为、的中点． （1）证明：平面； （2）点在平面内，且，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得唯一确定，求平面与平面的夹角的余弦值． ①； ②； ③平面． 注：如果选择条件①、条件②、条件③分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)取的中点，连接，， 因为分别为，的中点，则，且，又因为为矩形，且为的中点，则，且，可得，且，可知为平行四边形，则，且平面，平面，所以平面； （2）由（1）可知，则，若选①：设，因为，则，解得，即，则，， 设平面的法向量为，则，令，则，，可得，因为平面平面，可知平面的法向量为，则所以平面与平面的夹角余弦值为； 若选②：设，则，因为，则，解得，即，则，，设平面的法向量为，则，令，则，，可得，因为平面平面，可知平面的法向量为，则，所以平面与平面的夹角余弦值为 15.如图，平面四边形ABCD中，，，，，，点E，F满足，，将沿EF翻折至，使得． （1）证明：； （2）求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值． 【答案】(1)由，得，又，在中， 由余弦定理得,所以，则，即，所以，又平面，所以平面，又平面，故； （2）连接，由，则，在中，，得，所以，由（1）知，又平面，所以平面，又平面，所以，则两两垂直，建立如图空间直角坐标系，则，由是的中点，得， 所以，设平面和平面的一个法向量分别为，则，，令，得，所以，所以，设平面和平面所成角为，则，即平面和平面所成角的正弦值为. 16.如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，，，，为的中点． （1）证明：平面； （2）求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明：因为为的中点，所以，四边形为平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面； （2）如图所示，作交于，连接，因为四边形为等腰梯形，，所以，结合（1）为平行四边形，可得，又， 所以为等边三角形，为中点，所以，又因为四边形为等腰梯形，为中点，所以，四边形为平行四边形，，所以为等腰三角形，与底边上中点重合，，，因为，所以，所以互相垂直，以方向为轴，方向为轴，方向为轴，建立空间直角坐标系，，，， ，设平面的法向量为，平面的法向量为，则，即，令，得，即，则，即，令，得，即，，则，故二面角的正弦值为. 17.如图，在三棱锥中，，，，，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，，点F在AC上，.    （1）证明：平面； （2）证明：平面平面BEF； （3）求二面角的正弦值. 【答案】(1)连接，设，则，，， 则，解得，则为的中点，由分别为的中点，于是，即，则四边形为平行四边形，，又平面平面，所以平面. （2）法一：由（1）可知，则，得， 因此，则，有，又，平面， 则有平面，又平面，所以平面平面. 法二：因为，过点作轴平面，建立如图所示的空间直角坐标系， ，在中，， 在中，，设，所以由可得：，可得：，所以， 则，所以，， 设平面的法向量为，则，得， 令，则，所以，设平面的法向量为，则，得，令，则，所以，，所以平面平面BEF；    （3）平面的法向量为，平面的法向量为，所以，因为，所以，故二面角的正弦值为. 18.（2026·山东聊城·一模）如图1，平行四边形ABCD中，，，E是CD的中点，将沿AE翻折至，如图2所示． （1）若平面平面ABCE，证明：平面； （2）若二面角为120°，求二面角的余弦值． 【答案】（1）在平行四边形中，因为是的中点，所以． 又，则，，所以，．又，则，即．又平面平面，平面平面，所以平面． （2）分别取，的中点，，连接，．由（1）知，．因为，分别为，的中点，所以，则．因为，所以，，所以为二面角的平面角，则.由题意，以为坐标原点，分别以，所在直线为轴，以过点且垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 则，，，．设平面的法向量为，所以令，则．设平面的法向量为，所以令，则．所以，所以二面角的余弦值为． 四 空间向量解决其他问题 19.（2026·全国一卷·高考真题）如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点． （1）证明：平面； （2）设，直线与平面所成的角为，求直线到平面的距离． 【答案】(1)连接，在中，，分别为，中点，∴， ∵平面，平面，∴平面. （2）由题意及（1）得，在直三棱柱中，，设， 四边形与四边形是矩形，∴，，，建立空间直角坐标系，如下图所示， 得到，，，，， ∴，面的一个法向量为，∵直线与平面所成的角为， 设直线与平面所成的角∴解得，∴，，，，，∵面，∴由几何知识得，到面的距离为. 20.（25-26高二下·江苏常州·期中）四棱锥中，四边形为梯形，其中，，，平面平面. （1）证明：； （2）若，且三棱锥的体积为，点在线段上，若平面与平面所成的二面角的正弦值为，求的长. 【答案】(1)由题意知为等边三角形，则，所以，又四边形为梯形，，则，在中，，，由， 得，解得，所以，即，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以. （2）取的中点为，因为，且为的中点，所以，又平面平面，平面平面，平面，则平面，连接，则，且平面，故，综上，，，两两垂直，以为原点，，，为，，轴正方向建立空间直角坐标系. 所以，，，，由 ，即，解得，则，设 ，所以 所以 ，，，， 若是平面的一个法向量，则，取，则，则 .若是平面的一个法向量，则，取，则，，则，所以，因为，解得，故，所以． 21.（25-26高二下·江苏扬州·阶段检测）如图1所示，在等腰梯形，，，垂足为，，，将沿折起到的位置，如图2所示，平面平面． （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）在棱（不包括端点）上是否存在点，使平面与平面的夹角的余弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）为等腰梯形，，，又平面平面，平面平面， 平面， 又平面，平面平面. （2），，平面平面，平面平面，，平面，平面，又平面，，故两两互相垂直，以为坐标原点，为轴，建立空间直角坐标系， 在等腰梯形，，，，，，则，设平面的法向量为，则，即，取，则，则，设直线与平面所成角为，则. （3）设，则， 设平面的法向量为，则，即，取，则，则，由题（2）可知，平面的法向量为，设平面与平面的夹角为，则，整理得，解得或（舍去）， 故棱（不包括端点）上存在点，使平面与平面的夹角的余弦值为，此时. 22.（25-26高一下·湖北武汉·期末）在如图1所示平面四边形中，，，，，将沿翻折至（图2），其中为动点，连接，令，．点，，分别为，，的中点，点在上且满足，与交于，与交于，连接．      （1）证明：平面； （2）当平面平面时，求的值； （3）求二面角的余弦值的最小值． 【答案】（1）证明：因为分别为边的中点，所以为的中线，且， 所以为的重心，则，在中，，， 则，，即，又因为，所以∽，则，在中，，则，故，又因,则,即为的中点，故为的中线，且，则为的重心，即，则，所以在中，， 因为平面，平面，所以平面. （2）当平面平面时，因，则平面或平面，设，，，则，，，因为，所以， 在中，，，则由余弦定理，，所以， 设，在中，，，则， 又，，，， 情况一： 若平面，因为平面，则，即， 即，即，即，解得，将其代入到，即，解得(负值舍去)，满足， 情况二： 若平面，因为平面，则，即，即，即，即，解得， 将其代入到，即，解得(负值舍去)，不满足，综上所述，当平面平面时，. （3）依题意，以点为坐标原点，以所在直线分别为，轴，建立空间直角坐标系， 则，，设，则，，两式相减得，代回原式得，则， 则，将代入得，即，由于，则，易得平面的法向量为，因，则，，设平面的法向量为，则有，故可取，设二面角的平面角为，由图可知该二面角为锐二面角， 则，将代入得， 设，因为，则，此时恒为负数，则，则，因为在上单调递减，则在上单调递减，所以，则， 即二面角的余弦值的最小值为.    23.（2026·天津滨海新区·三模）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，点为的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与直线所成角的余弦值； （3）若线段上存在一点，使直线与平面所成角的正弦值为，求三棱锥的体积． 【详解】（1）取的中点，连接，， 由条件可得为的中位线，即，又平面，平面，故平面，由题意可知四边形是直角梯形，且，则，，即四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，故平面，而，平面，所以平面平面，由平面，显然平面． （2）由（1）可知，直线与直线所成角为，又平面平面，平面平面，且，则平面，又平面，则，又，，所以，，，则在中，由余弦定理有， 所以直线与直线所成角的余弦值为． （3）连接，，结合（1），（2）有是正方形，则，且， 又底面，则底面，又，则，所以， 所以以为原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立如下图空间直角坐标系， 则，，，，，， 则，，又线段上存在一点，则设，则，所以，设平面的一个法向量为，则有，令，则，，即，设直线与平面所成的角为，则，整理得，解得或（舍去），所以是线段的中点，所以． 24.（2026·安徽安庆·模拟预测）如图，直三棱柱中，，，． （1）当时，证明：平面平面． （2）当，记平面与平面的夹角为，求的取值范围． 【答案】(1)证明：设，因为为直三棱柱，且，所以平面，又平面，所以，因为，平面，，所以平面.又平面，所以.当时， P为的中点，所以在中，，，则，因为，平面，，所以平面， 又平面，所以平面平面． （2）由（1）知，，两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， ，，设平面的法向量， 则，即，令，则，所以.又，，设平面的法向量，则，即，令，则，所以.所以．又，所以，，所以.故的取值范围为． 25.（2026·河南许昌·三模）四棱锥的底面为矩形，，，，． （1）证明：平面平面； （2）设四棱锥的外接球的球心为M，且点M与点P在平面的同一侧，球M的半径为． （i）求平面与平面夹角的余弦值； （ii）已知平面与平面的交线为l，点Q在l上，设直线和平面所成的角为，求的取值范围． 【详解】（1）取中点O，连接，，   底面为矩形，且，，， ，又，，， ，，平面，平面，又平面， ，，，又，平面， 平面，平面，平面平面． （2）（i）连接交于点N，连接．分别以，，所在直线为x轴，y轴，z轴建系，   过点N作平面的垂线l，则，设，，其中；，，解得，，解得， ，，连接，，，，是平面与平面的夹角，又，，，由余弦定理得．平面与平面夹角的余弦值为． （ii），平面，平面，平面，平面，平面平面，，可设，又，，，，设平面的法向量为，则，，可取，，，，即的取值范围为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $