平面向量 专题 第4讲 新定义与创新向量题讲义-2027届高考数学一轮复习

新定义与创新向量题 平面向量 · 专题篇 · 新运算、新坐标系与情境建模 一、新运算与新概念 「新定义」三个字容易唬人，但这类题的新东西一定是用旧东西搭出来的。命题人定义一个运算或一个概念，目的不是让你背它，而是看你能不能把它翻译成已经学过的语言 —— 数量积、模、夹角、坐标、线性表示，就这五样。翻译对了，剩下的全是熟题。 遇到自定义运算，第一步不是推导性质，而是按定义算一个最简单的例子。例如定义了 ，就取 、 算一遍，得到 —— 立刻看出它是「逐分量相乘」。算出这一步，后面无论题目把它和函数图象、最值、充要条件怎么组合，你都知道它的底细。 遇到自定义概念，要问的是「它在几何上是什么」。定义了 ，把分子读一读： 正是 在 方向上的数量投影，所以这个运算是「投影长度再除以 」；再比如定义了 ，那就是「以这两个向量为邻边的平行四边形的面积」。看出几何意义，就等于把新符号换成了旧知识。 还有一类题用新定义包装充要条件或性质判断：给你一个等式，问「 是 的什么条件」。做法是把新运算的表达式真的写开、因式分解，看它等价于什么 —— 通常化简之后会出现熟悉的因子（如 、），同时也就暴露了「哪些情形被新定义漏掉了」，充分性与必要性随之分开。 这几条合起来其实是一句话：陌生的符号不可怕，不敢动它才可怕。拿到一个新定义，先按定义算一个最简单的例子，或者干脆把表达式按定义整段展开，新东西就会自己露出旧面貌；认出旧面貌之后，题目自然回到熟悉的方法上。真正拉开差距的是第一步愿不愿意动手，而不是有没有见过这个词。 例1（单选·★★★★☆） 设向量，定义一种向量运算，已知向量，，点在的图象上运动．点是函数图象上的动点，且满足 其中为坐标原点，则函数的值域是（ ） A. B. C. D. 【切入点】题目定义了一个新运算 ，又把它和函数图象、点的运动绑在一起。先不看函数那一层，把 算一遍看清它在做什么，再回到函数。 【关键】按定义 ，即逐分量相乘。设 ，由 在 上得 。于是 ，即 、。消去 ：，所以 。正弦的取值范围是 ，故 的值域为 。故选 A。 【易错】第一， 是逐分量相乘而不是数量积 —— 数量积的结果是数，这个运算的结果仍是向量。第二，消参时把 用 表示的这一步要算准：，代回时角是 。第三，题目问的是值域（ 的范围），不是单调性或周期；选项里给的都是闭区间与开区间之差，看清楚是 （两端都能取到）。 【答案】A 变式1-1（单选·★★☆☆☆） 已知，都是非零向量，定义新运算，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【切入点】新运算 的表达式很长，但四项里都有公因式可以提。把它因式分解之后，就能看出它与「垂直」的关系 —— 这是新定义包装充要条件题的典型套路。 【关键】按 提取公因式：前两项提出 、后两项提出 ，得 。所以 等价于 或 。而 等价于 ，它是前者两支中的一支。于是「」能推出「垂直」不成立（还有另一支），而「垂直」能推出「」。所以「」是「」的必要不充分条件。故选 B。 【易错】第一，因式分解要分组提公因式（前两项、后两项），不是硬凑；分解完发现有两支，这正是「不充分」的来源。第二，判断方向时分清「谁推谁」：由结论能推出条件、由条件推不出结论，那是「必要不充分」。第三，题干说明 、 都是非零向量，所以不必讨论零向量的退化情形。 【答案】B 例2（单选·★★★★☆） 对任意两个非零向量，，定义新运算：，表示向量，的夹角．若非零向量，满足，向量，的夹角，且是整数，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【切入点】新运算 的表达式里有 —— 这个组合一眼就认得出来：它是 在 方向上的数量投影。先把这个认识坐实，题目就变成熟悉的投影问题。 【关键】先看清这个运算是什么：分子 是 在 方向上的数量投影，再除以 ，所以 刻画的是「 在 方向上的投影占 长度的比例」。按定义展开题设中的 ：它等于 。由 得 ，由 得 ；两式相乘，，即 。题设说 是整数，而它落在 内，所以只能等于 ，即 。由此解出 ；再由 得 ，即 ，于是 、。最后算要求的式子：，代入 的范围得 。故选 D。 【易错】第一，这个运算不对称（分母是「被投影」的那个向量的模），所以 与 不是一回事，两处要分别展开。第二，「整数」这个条件是解题的支点：正是它把范围 卡成了唯一的 ，之后才有 。第三，两端的开闭要交代： 是开区间，所以 取不到 与 ，最终范围的两端也取不到。 【答案】D 变式2-1（单选·★★★★☆） 定义：""为向量与向量的"外积"，若向量与向量的夹角为、它的长度规定为．在中，若，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【切入点】题目定义了「外积」，并规定它的长度是 —— 这个式子的几何意义是以这两个向量为邻边的平行四边形的面积。认出这一点，问题就变成「求三角形面积的最大值」。 【关键】由定义，，所以求外积模的最大值等价于求 面积的最大值。记 、，两向量夹角记为 、。条件 平方得 ；另一条条件里的 ，平方得 。两式相减消去 ，得 。再看目标：，而由第一式解出 ，代入后 ；把 代进去配方，它等于 ，所以 ，等号在 时取到（此时 ， 在 内，可行）。于是 ，即 的最大值为 。故选 D。 【易错】第一，外积的长度是面积的两倍（平行四边形面积），不是面积本身，最后要乘 。第二，题设给的是「两个向量之和的模」，要用中线的向量公式 把它翻译成中线的长度。第三，求面积最大值时要同时用上两条中线的长度约束，只用一条会得到偏大的上界。 【答案】D 例3（单选·★★★☆☆） 人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法.假设二维空间中有两个点为坐标原点，定义余弦相似度为（其中为向量的夹角），余弦距离为.已知，若的余弦距离为，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】「余弦相似度」听着像信息技术的名词，但它的定义 摆在那里 —— 就是两个向量夹角的余弦。把它按数量积公式算出来即可。 【关键】由定义，、 的「余弦距离」之一 等于 。代入 、：，而两个向量的模都是 （ 在单位圆上、 是定点），所以 到 的这一项就是 。由题设该值为 得 。题目要的是 ，先用诱导公式把它化成 ，再用二倍角公式：。故选 C。 【易错】第一，「余弦距离」与「余弦相似度」差一个正负号（距离是 减相似度），题目给的是哪一个要看清。第二， 是关键 —— 有这个条件，余弦相似度才恰好等于数量积，否则还要除以两个模。第三，求 用二倍角公式时选 （因为已知的是 ），别绕远路。 【答案】C 变式3-1（多选·★★★★☆） 已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转角得到点P．已知平面内点，点，将点B绕点A沿顺时针方向旋转得到点P，将点B绕点A沿逆时针方向旋转得到点Q，则下列说法正确的是（ ） A. 向量 B. 向量在上的投影向量为 C. 若动点M满足且，则的最小值为 D. 若S是外接圆上的动点，则 【切入点】题目定义的是旋转：把 绕起点逆时针转 角，得到 。这个式子见过 —— 就是坐标旋转公式。把点的坐标代进去，逐个选项验证即可。 【关键】把已知点的坐标代入定义式求出 与 ，逐项判断： 项，按定义算出的 与选项给出的 不符，错误。 项，按投影向量公式 计算 在 上的投影向量，与选项一致，正确。 项，由 把 写成 、 的二次式，配方后可得最小值，选项给出的结论成立，正确。 项， 与 的数量积为 ，所以 处是直角， 的外心就是斜边 的中点 。于是 ，而 恒等于外接圆半径 ，所以 是定值，选项说它等于 ，错误。故选 BC。 【易错】第一，旋转公式里的 是逆时针角，符号弄反会得到镜像的结果。第二， 项是二次函数在给定区间（由 、 的范围决定）上的最值，配方后要验证顶点是否落在区间内。第三， 项先要看出 处是直角 —— 直角三角形的外心落在斜边中点上，正因如此 才是定值；若把它当成一般的「圆上动点求最值」去算，既多绕一步，又容易把结论判反。 【答案】BC 二、斜坐标系：把直角坐标推广出去 直角坐标系的两条数轴是垂直的，如果把「垂直」这个要求去掉，只保留两条相交的数轴，就得到斜坐标系：两条数轴的正方向单位向量记为 、，它们的夹角是 （）。平面上任一点 仍然可以唯一地写成 ，于是 就是 在这个坐标系里的坐标。 进了新坐标系，最要紧的是找出新旧之间唯一的接口。这里只有一个：。有了它，直角坐标系里的那两条公式就能现推出来，不必记也记不错 —— 只要把 写成 、把 按分配律展开即可。 推出来的结果是这样的。模长：。数量积：。两式与直角坐标系下的 、 相比，多出来的项全带着 ，这正是「两轴不垂直」的代价。 最后做一个退化检验，这是判断自己有没有记错的最快办法：把 代进去，，两式立刻回到直角坐标系下的样子。反过来说， 时 ，两条公式里都会多出 倍的交叉项 —— 做题时漏掉这些交叉项，是这类题最常见的失分点。 判断一道题该不该走斜坐标，看的是题目的骨架而不是措辞：当题干给出两个夹角已知的向量作为「基准」，而所求的量（模、数量积、夹角、面积）恰好是它们线性组合之后的结果，把这两个基准当作基底、把所求的量改写成坐标运算，通常就是最短的路。基准是单位向量时最省事，因为它们的数量积直接就是夹角的余弦；若题设给的两个向量模不为 ，先各自除以自己的模化成单位向量再建系，后续的系数会干净很多。 例4（多选·★★★★☆） 如图，，是平面内相交成角的两条数轴，分别为轴，轴正方向上的单位向量．若，记，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若点，则 D. 若点，，则的最小值为 【切入点】题目定义了斜坐标系（两条数轴夹角 ），四个选项分别问坐标的加法、数量积、模长、以及两点距离的最小值。把「数量积」与「模长」两条公式按接口 重新推一遍，选项就都能判断。 【关键】 项：由 、 直接相加，得 ，即坐标为 —— 坐标的加法在斜坐标系里与直角坐标系完全一样，正确。 项： 展开后为 ，比选项写的多出一项，错误。 项：，正确。 项：设 的坐标为 （其中 ），则 ，所以 ，当 时取到 ，最小值为 而不是 ，错误。故选 AC。 【易错】第一， 项是本题的主要陷阱：斜坐标系下数量积多一项交叉项，照搬直角坐标系的公式必错。第二， 项反而是对的 —— 坐标的线性运算不受夹角影响（因为基底相同），这一点容易与 项混淆，要分清「线性运算」与「数量积」。第三， 项算出来是 坐标的两个分量恰好互为相反数，交叉项才会把平方项抵消掉一个，动手展开比凭感觉判断可靠。 【答案】AC 变式4-1（解答·★★★★☆） 设、是平面内相交成角（）的两条数轴，，分别是与，正方向同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记．(1)在仿射坐标系中，若，求；(2)在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求；(3)如图所示，在仿射坐标系中，、分别在轴、轴正半轴上，，，、分别为、中点，求的取值范围． 【切入点】题目把斜坐标系叫「仿射坐标系」。前两问直接考那两条公式：(1) 给夹角与坐标求模，(2) 给夹角条件反求 ，写对公式就只剩代入；第三问把公式与中点、取值范围接在一起，先把目标量算出来、再用约束消成一元。 【关键】(1) 在 中 ，由模长公式 ，所以 。(2) 由数量积公式，；由模长公式，，而 （两式相同）。由夹角为 得 ，解之得 。 【关键】(3) 设 、 的坐标分别为 、（，），则 ，由 与模长公式得 。由中点公式，、，按数量积公式展开得 。把约束式中的 代进去，分子 ，于是 ，目标量化成了一个变量。再定 的范围：把 看作关于 的方程 ，判别式 给出 ，此时 满足 的位置要求。所以 ，。 【易错】第一，交叉项的系数是「」而不是「」（后者是模长公式里的），两处别混。第二，(2) 里两个模竟然相等，这不是巧合（），利用它可以少算一次。第三，解出 后要说明它落在 内（ 是两数轴夹角），否则要检查取舍。第四，(3) 中 取不到 （ 在 轴正半轴上），右端 因此取不到，要写成开区间；而左端 在 时可取到（此时 ），是闭的。第五，(3) 消元靠的是约束式给出的 ，代换后交叉项恰好消干净，剩下的只有 ；若忘了代换，就会卡在两个变量的最值上。 【答案】① ；② ；③ 例5（多选·★★★★☆） 如图，建立如下斜坐标系：设，是平面内相交成 角的两条数轴，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量，若，则把有序实数对叫做向量在斜坐标系中的坐标，记作，则在斜坐标系中，下列说法正确的是（ ） A. 点的坐标为，则线段的长度为 B. 点满足，则的轨迹与轴，轴正半轴围成的区域面积小于 C. 点满足，则的最大值为 D. 定义点与点坐标距离为，平面上一点，若动点（，）满足：①；②，则点运动所形成的轨迹长为2 【切入点】同一个斜坐标系（夹角 ），但四个选项把「斜坐标」用到了四个方向：模长、轨迹面积、最值、以及一个新定义的「坐标距离」。共同动作还是那两条公式。 【关键】 项：，正确。 项：，在约束 下，曲线上每一点都有 （只在两个轴上取等号），也就是说这条曲线整体落在「以 为心、半径 的圆弧」之外，它围成的区域因此包含半径为 、圆心角为 的扇形，而该扇形面积是 ，所以 ，选项说「小于」错误。 项：令 、（约束 ），则 ，最大值为 ，正确。 项：由 、 得 、，条件 ① 即 ，它在 、 时恒成立，也就是说 先在正方形 、 内取值；再由 ② 解得 。两条合起来， 的轨迹是端点 与 之间的线段。这里要当心：线段长不能按坐标差直接勾股 —— 这是斜坐标系，两端点的坐标差是 ，对应的实际向量是 ，其平方为 ，所以长度为 ，选项正确。故选 ACD。 【易错】第一，斜坐标系下的模长公式有交叉项， 项若只用 会算出 ，就会误判。第二， 项要小心「 在斜坐标系里不是圆」—— 交叉项把图形拉成了椭圆状的曲线，面积不能直接套圆的公式。第三， 项的「坐标距离」是这个坐标系下定义的新度量，与欧氏距离不同，判断轨迹时要按定义展开绝对值。最要紧的是最后一步：轨迹两端点写着 与 ，看着像 ，但斜坐标系里两轴夹角是 ，求长度必须用 去算，结果才是 —— 把斜坐标当直角坐标用，正是这类题最常见的错法。 【答案】ACD 变式5-1（单选·★★★★☆） 如图，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量．若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标．设，，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【切入点】夹角 的斜坐标系，坐标的加法照旧，求模用斜坐标的模长公式。三步走：先做加法得 的坐标，再代入公式，最后开方。 【关键】由坐标加法，。代入斜坐标模长公式（）：，所以 。故选 B。 【易错】第一，坐标加法在斜坐标系里与直角坐标系一样（基底相同，逐分量相加），这一步不用改公式。第二，求模时必须加上交叉项 ，只算 就会误选 。第三，交叉项里的 、 是同一个向量的坐标分量（这里是 与 ），别误用成两个向量的分量。 【答案】B 三、情境题与网格向量 情境题的难点从来不是向量，而是把文字翻成式子。这类题会先讲一段物理、工程或生活场景，再把其中的量抽象成向量 —— 读题时要做的只有一件事：找出「谁等于谁」。位移、速度、力这类量天然就是向量，题目用文字描述的关系（「每前进 1 千米额外偏移 」「合位移等于主动位移加偏移」）写成向量等式之后，剩下的都是常规运算。 翻译的时候要特别注意「单位」与「比例」。像「每主动飞行 1 千米，会额外叠加位移 」这样的说法，它的意思不是「加一个 」，而是「加上 」（ 是主动飞行对应的向量， 是单位向量）。把「每…」读成乘法，是这类题的关键一步；漏掉这个倍数，方程就会写错。 网格题比情境题简单得多：网格本身就是现成的坐标系。做法固定 —— 选一个格点作原点、以网格线为坐标轴，把图中出现的向量按「格数」读出坐标，然后照常运算。正方向（是 的菱形格还是 的方格）决定了基向量之间的夹角，读坐标时数格数即可，不必真的去量长度。 还有一类以图形为背景的情境题（点在圆上、三角形内、多边形边界），它们的共同点是：图形自带性质，先用性质把问题简化，再上向量。例如「以 为直径的圆」意味着 、「 是直径」意味着圆心是 的中点从而 。先用几何性质把条件收敛，再用向量算，比一上来就设坐标省力得多。 例6（单选·★★★★☆） 某社区使用无人机配送生活物资，配送站的位置为（单位：千米），小区的位置为、若无人机飞行过程中存在恒定风力干扰，对应位移偏移单位向量为，即无人机每主动飞行1千米，会额外叠加的偏移位移，目标位移对应的向量是无人机主动飞行对应的向量与风力偏移对应的向量之和.若无人机要从沿直线匀速精准到达，则其主动飞行对应的向量为（ ） A. B. C. D. 【切入点】题目讲的是无人机在恒定风力下配送物资。要算的是「主动飞行对应的向量」，而题目用文字描述了合位移、主动位移、风力偏移三者的关系 —— 先把这句话翻译成向量等式，后面就是解方程。 【关键】记无人机主动飞行的位移向量为 。由题设「每主动飞行 千米额外叠加 」可知总偏移为 ，于是合位移 。由 、 得 ，而 。记 ，把等式按分量写开：，。再代入 ：，解得 。回代得 ，，即 。故选 A。 【易错】第一，「每飞行 千米叠加 」要读成「叠加 」（ 是主动飞行的路程），漏掉这个倍数是本题最大的坑。第二， 是终点减起点：。第三，解方程时把 用上才能消去未知量，只用分量方程是解不出来的。 【答案】A 变式6-1（单选·★★☆☆☆） 平面向量，， 在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形的边长均为1，则 = （ ） A. -5 B. 5 C. 1 D. -1 【切入点】三个向量画在正方形网格里，而网格本身就是一个现成的坐标系 —— 不用找什么技巧，挑一个格点当原点，按格数把三个向量读成坐标，剩下的就是常规运算。 【关键】取图中左下角的一个格点为原点，让横竖网格线充当坐标轴，逐个读：，，。于是 ，所求为 。故选 C。 【易错】第一，读坐标时只看箭头的起点与终点相差几格，与「向量画在哪个位置」无关（向量可以平移）。第二， 是逐分量相减，其中 的横坐标是 ，减法里会出现「减负」。第三，正方形网格的基向量夹角是 ，所以数量积就是 ，不需要加交叉项（菱形网格才需要）。 【答案】C 例7（单选·★★★☆☆） 我国通信技术飞速发展，部分领域全球领先．某卫星信号测试中，专家将通信信号抽象为向量，接收端参考信号抽象为向量，定义信号匹配度函数，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【切入点】题目把通信信号与参考信号抽象成两个向量，定义「匹配度」为它们的数量积，要求最大值。把数量积算出来，问题就变成了一个三元函数的极值 —— 而三角恒等式正好能把它压成一元。 【关键】，，所以 。令 ，则 ，。求导：，令 得 。比较：，，而端点处 。所以最大值为 。故选 C。 【易错】第一， 要用二倍角公式换成 ，这样才能把整个式子化成只含 的形式。第二，换元后必须写出 的范围 ，并在端点与极值点处都比较一遍。第三，题目问的是 的最大值，导数为零的点有两个，要分清哪个是极大值。 【答案】C 变式7-1（填空·★★★★☆） 已知点，，在圆上运动，且，若点的坐标为，则的取值范围是________． 【切入点】、、 都在圆上运动，条件 看着是个约束，其实它给出了一条很强的几何性质 —— 先把这条性质找出来，向量式就能大幅化简。 【关键】由「」与「、、 都在以 为圆心的圆上」可知 是圆的直径（直径所对的圆周角是直角，反之圆周角为直角时所对的弦是直径），所以圆心 是 的中点，。于是 。由 、 得 ；又 ，两者相加得 。因为 在圆 上，，所以 的范围是 。 【易错】第一， 是直径这一步是由圆周角定理反推的（直角 所对弦为直径），不是题设直接给的。第二， 是向量（）而不是数字 ，把它与 按向量加法合并成 是关键一步。第三， 取 时要说明—— 可以取到 ，此时两者恰好抵消。 【答案】 学科网（北京）股份有限公司 $ 新定义与创新向量题 平面向量 · 专题篇 · 新运算、新坐标系与情境建模 一、新运算与新概念 「新定义」三个字容易唬人，但这类题的新东西一定是用旧东西搭出来的。命题人定义一个运算或一个概念，目的不是让你背它，而是看你能不能把它翻译成已经学过的语言 —— 数量积、模、夹角、坐标、线性表示，就这五样。翻译对了，剩下的全是熟题。 遇到自定义运算，第一步不是推导性质，而是按定义算一个最简单的例子。例如定义了 ，就取 、 算一遍，得到 —— 立刻看出它是「逐分量相乘」。算出这一步，后面无论题目把它和函数图象、最值、充要条件怎么组合，你都知道它的底细。 遇到自定义概念，要问的是「它在几何上是什么」。定义了 ，把分子读一读： 正是 在 方向上的数量投影，所以这个运算是「投影长度再除以 」；再比如定义了 ，那就是「以这两个向量为邻边的平行四边形的面积」。看出几何意义，就等于把新符号换成了旧知识。 还有一类题用新定义包装充要条件或性质判断：给你一个等式，问「 是 的什么条件」。做法是把新运算的表达式真的写开、因式分解，看它等价于什么 —— 通常化简之后会出现熟悉的因子（如 、），同时也就暴露了「哪些情形被新定义漏掉了」，充分性与必要性随之分开。 这几条合起来其实是一句话：陌生的符号不可怕，不敢动它才可怕。拿到一个新定义，先按定义算一个最简单的例子，或者干脆把表达式按定义整段展开，新东西就会自己露出旧面貌；认出旧面貌之后，题目自然回到熟悉的方法上。真正拉开差距的是第一步愿不愿意动手，而不是有没有见过这个词。 例1（单选·★★★★☆） 设向量，定义一种向量运算，已知向量，，点在的图象上运动．点是函数图象上的动点，且满足 其中为坐标原点，则函数的值域是（ ） A. B. C. D. 变式1-1（单选·★★☆☆☆） 已知，都是非零向量，定义新运算，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 例2（单选·★★★★☆） 对任意两个非零向量，，定义新运算：，表示向量，的夹角．若非零向量，满足，向量，的夹角，且是整数，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 变式2-1（单选·★★★★☆） 定义：""为向量与向量的"外积"，若向量与向量的夹角为、它的长度规定为．在中，若，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 例3（单选·★★★☆☆） 人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法.假设二维空间中有两个点为坐标原点，定义余弦相似度为（其中为向量的夹角），余弦距离为.已知，若的余弦距离为，则 = （ ） A. B. C. D. 变式3-1（多选·★★★★☆） 已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转角得到点P．已知平面内点，点，将点B绕点A沿顺时针方向旋转得到点P，将点B绕点A沿逆时针方向旋转得到点Q，则下列说法正确的是（ ） A. 向量 B. 向量在上的投影向量为 C. 若动点M满足且，则的最小值为 D. 若S是外接圆上的动点，则 二、斜坐标系：把直角坐标推广出去 直角坐标系的两条数轴是垂直的，如果把「垂直」这个要求去掉，只保留两条相交的数轴，就得到斜坐标系：两条数轴的正方向单位向量记为 、，它们的夹角是 （）。平面上任一点 仍然可以唯一地写成 ，于是 就是 在这个坐标系里的坐标。 进了新坐标系，最要紧的是找出新旧之间唯一的接口。这里只有一个：。有了它，直角坐标系里的那两条公式就能现推出来，不必记也记不错 —— 只要把 写成 、把 按分配律展开即可。 推出来的结果是这样的。模长：。数量积：。两式与直角坐标系下的 、 相比，多出来的项全带着 ，这正是「两轴不垂直」的代价。 最后做一个退化检验，这是判断自己有没有记错的最快办法：把 代进去，，两式立刻回到直角坐标系下的样子。反过来说， 时 ，两条公式里都会多出 倍的交叉项 —— 做题时漏掉这些交叉项，是这类题最常见的失分点。 判断一道题该不该走斜坐标，看的是题目的骨架而不是措辞：当题干给出两个夹角已知的向量作为「基准」，而所求的量（模、数量积、夹角、面积）恰好是它们线性组合之后的结果，把这两个基准当作基底、把所求的量改写成坐标运算，通常就是最短的路。基准是单位向量时最省事，因为它们的数量积直接就是夹角的余弦；若题设给的两个向量模不为 ，先各自除以自己的模化成单位向量再建系，后续的系数会干净很多。 例4（多选·★★★★☆） 如图，，是平面内相交成角的两条数轴，分别为轴，轴正方向上的单位向量．若，记，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若点，则 D. 若点，，则的最小值为 变式4-1（解答·★★★★☆） 设、是平面内相交成角（）的两条数轴，，分别是与，正方向同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记．(1)在仿射坐标系中，若，求；(2)在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求；(3)如图所示，在仿射坐标系中，、分别在轴、轴正半轴上，，，、分别为、中点，求的取值范围． 例5（多选·★★★★☆） 如图，建立如下斜坐标系：设，是平面内相交成 角的两条数轴，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量，若，则把有序实数对叫做向量在斜坐标系中的坐标，记作，则在斜坐标系中，下列说法正确的是（ ） A. 点的坐标为，则线段的长度为 B. 点满足，则的轨迹与轴，轴正半轴围成的区域面积小于 C. 点满足，则的最大值为 D. 定义点与点坐标距离为，平面上一点，若动点（，）满足：①；②，则点运动所形成的轨迹长为2 变式5-1（单选·★★★★☆） 如图，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量．若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标．设，，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 三、情境题与网格向量 情境题的难点从来不是向量，而是把文字翻成式子。这类题会先讲一段物理、工程或生活场景，再把其中的量抽象成向量 —— 读题时要做的只有一件事：找出「谁等于谁」。位移、速度、力这类量天然就是向量，题目用文字描述的关系（「每前进 1 千米额外偏移 」「合位移等于主动位移加偏移」）写成向量等式之后，剩下的都是常规运算。 翻译的时候要特别注意「单位」与「比例」。像「每主动飞行 1 千米，会额外叠加位移 」这样的说法，它的意思不是「加一个 」，而是「加上 」（ 是主动飞行对应的向量， 是单位向量）。把「每…」读成乘法，是这类题的关键一步；漏掉这个倍数，方程就会写错。 网格题比情境题简单得多：网格本身就是现成的坐标系。做法固定 —— 选一个格点作原点、以网格线为坐标轴，把图中出现的向量按「格数」读出坐标，然后照常运算。正方向（是 的菱形格还是 的方格）决定了基向量之间的夹角，读坐标时数格数即可，不必真的去量长度。 还有一类以图形为背景的情境题（点在圆上、三角形内、多边形边界），它们的共同点是：图形自带性质，先用性质把问题简化，再上向量。例如「以 为直径的圆」意味着 、「 是直径」意味着圆心是 的中点从而 。先用几何性质把条件收敛，再用向量算，比一上来就设坐标省力得多。 例6（单选·★★★★☆） 某社区使用无人机配送生活物资，配送站的位置为（单位：千米），小区的位置为、若无人机飞行过程中存在恒定风力干扰，对应位移偏移单位向量为，即无人机每主动飞行1千米，会额外叠加的偏移位移，目标位移对应的向量是无人机主动飞行对应的向量与风力偏移对应的向量之和.若无人机要从沿直线匀速精准到达，则其主动飞行对应的向量为（ ） A. B. C. D. 变式6-1（单选·★★☆☆☆） 平面向量，， 在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形的边长均为1，则 = （ ） A. -5 B. 5 C. 1 D. -1 例7（单选·★★★☆☆） 我国通信技术飞速发展，部分领域全球领先．某卫星信号测试中，专家将通信信号抽象为向量，接收端参考信号抽象为向量，定义信号匹配度函数，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 变式7-1（填空·★★★★☆） 已知点，，在圆上运动，且，若点的坐标为，则的取值范围是________． 学科网（北京）股份有限公司 $