平面向量：第3讲 坐标法与几何图形中的向量（提高）讲义-2027届高考数学一轮复习

坐标法与几何图形中的向量 建系、坐标运算与三角形的四心 坐标运算与位置关系的坐标判定 这一节要算的坐标，往往不是题目直接给的。条件写成了几何语言，比如「某个向量在某个向量上的投影向量等于一个确定的向量」、「某个组合的模等于定值」。遇到这种写法，先用两条规则把条件变成坐标方程：投影向量写成 ，模长写成坐标的平方和。坐标可以先设成未知数，再由条件把未知数定下来，解出来以后再往下算。 坐标里带参数时，先分清参数属于哪一类。一类是自由的，题目只说「存在」这样的向量，答案要写成参数的范围，讨论必须做完；另一类是被约束的，同一个参数在两条条件里都出现，两条方程必须给出同一个值，解通常唯一。看清属于哪一类，是这类题的第一步。 例1（多选·★★★☆☆） 已知平面向量，，则下列说法正确的有（ ） A. 向量，不可能垂直 B. 向量，不可能共线 C. 不可能为3 D. 若，则在上的投影向量为 变式1-1（填空·★★★☆☆） 已知平面向量在向量上的投影向量为，则 = ______. 例2（单选·★★★★☆） 注意力机制是一种让模型在处理信息时，能够“有选择地聚焦”于最关键部分的技术，其核心是用数学中的向量来解决问题，设计三个关键向量：查询向量（表示我在寻找什么？）､键向量（表示我有什么可提供？）和值向量（表示我实际提供的内容是什么）。在计算注意力时，首先用与各个计算相似度，然后求权重，记，则注意力输出向量为。现有，，则注意力输出向量为（ ） A. B. C. D. 变式2-1（填空·★★★☆☆） 已知平面向量在方向上的投影向量模长为，则 = ___________． 例3（单选·★★★☆☆） 已知，，，，则下列结论错误的是（ ） A. 若是的重心，则 B. 若是的内心，则 C. 若是的垂心，则 D. 若是的外心，则 变式3-1（多选·★★★☆☆） 已知向量，则（ ） A. B. C. D. 建系：把几何图形翻译成坐标 图形越绕，建系越划算。正八边形、弦图、带分点的三角形，直接看图容易漏掉垂直、平行与比例关系；把顶点写成坐标以后，这些关系全变成算式，不会看漏。建系的用处不在于算得快，而在于把没想到的关系逼出来。 轴选得对不对，后面的计算量差很多。三条现成的规矩：有对称轴就让它当坐标轴；有直角就把直角顶点放原点，两条直角边当坐标轴；题目的关键量是一个数量积时，可以把其中一个向量放到 轴上，让它的坐标只剩一个非零分量。选定以后先估一下，各点坐标里出现根号的次数越少越好。 图形里有动点或分点，坐标就写成带参数的形式，参数取那个比例。参数写进坐标以后，题目的条件变成关于参数的方程或不等式，解出来就是要求的比例值。求比值一类的问题都走这条路 —— 图上量出来的比例不准，坐标算出来的不会错。 算完做两件检查的事。一是数量级：数量积不会超过两个模的乘积，余弦也不会跳出 与 。二是方向：钝角对应的数量积是负的，算出正数就说明有坐标写反了。还有一处容易忽略 —— 写完坐标先回头对一遍，每个点的位置是不是与图上一致，尤其有落在负半轴上的点时，符号最容易抄错。 例4（单选·★★★★☆） 菱形的边长为，为的中点，为的中点，则 = （ ） A. B. C. D. 变式4-1（多选·★★★☆☆） 我国传统文化中有许多具有对称美的形状，如图1为《周易》中的“八卦”，图2为园林建筑中的八角窗．它们均可抽象为正八边形，如图3，O为其中心．记，，且，则（ ） A. B. C. D. 在上的投影向量为 例5（填空·★★★★☆） 在中，是边的中点，是边上的点，且，则向量与向量的夹角的余弦值为___________. 变式5-1（单选·★★★☆☆） 我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，在“赵爽弦图”中，若，则 = （ ） A. B. C. D. 例6（单选·★★★★☆） 如图所示，在中，，，，是的中点，点在上，且.则 = （ ） A. B. C. D. 变式6-1（填空·★★★★☆） 已知中，点为边上一点，且，则 = __________（用与表示）；若点为内的一点，，满足，则 = __________． 向量在几何图形中的应用 形如 （ 为参数）的条件，先读出它的几何含义： 说明点 在过 、方向为 的那条直线上。于是问题变成「这条直线经过三角形的哪个心」—— 认出 的方向，答案就定了。 的三种典型写法各对应一个心。写成两条边上的单位向量之和，方向是角 的平分线，轨迹过内心；写成「边向量除以该边与其邻角正弦的乘积」，因为这两个乘积都等于顶点到对边的高，两个系数相等，方向就是中线，轨迹过重心；写成「边向量除以该边与其邻角余弦的乘积」，方向是高所在的方向，轨迹过垂心。三条放在一起记，比单记结论牢。 外心的条件还有一层用法。把 两边平方，公共项消掉以后会得到一个数量积等式；两条这样的等式联立，就能把 用两条边表示出来。已知外心求半径、求边长都用这个入口，比设圆心坐标再解方程省事。 这类题的四个选项往往就是四个心，不必真把轨迹求出来，只要看方向向量与哪个心的刻画式吻合即可。动手前先扫一眼选项，能省掉不少计算。反过来，选项里出现四个心，就说明条件里的方向向量一定能化简成熟悉的组合，化简时朝「单位向量」「中线」「高」这三个方向凑。另外，判断「是哪种心」只需验证它满足哪一条刻画式，不必把四个心都算一遍。 例7（单选·★★★★☆） 已知是平面上一定点，﹑﹑是平面上不共线的三个点，动点满足，，则点的轨迹一定通过的 A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心 变式7-1（填空·★★★★☆） 已知点是的外心，直线与线段交于点．若，则 = __________． 例8（单选·★★★☆☆） 已知O是锐角所在平面内的一定点，动点P满足：，，则动点P的轨迹一定通过的（ ） A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心 变式8-1（单选·★★★★☆） 在平面直角坐标系中，，，，点分别是的外心和垂心，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 例9（多选·★★★★☆） 已知点是所在平面内一点，点为的中点，，，且，则（ ） A. 是的外心 B. 是的重心 C. D. 变式9-1（单选·★★★☆☆） 为平面内一定点，该平面内一动点满足，则的（ ）一定属于集合. A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心 学科网（北京）股份有限公司 $ 坐标法与几何图形中的向量 建系、坐标运算与三角形的四心 坐标运算与位置关系的坐标判定 这一节要算的坐标，往往不是题目直接给的。条件写成了几何语言，比如「某个向量在某个向量上的投影向量等于一个确定的向量」、「某个组合的模等于定值」。遇到这种写法，先用两条规则把条件变成坐标方程：投影向量写成 ，模长写成坐标的平方和。坐标可以先设成未知数，再由条件把未知数定下来，解出来以后再往下算。 坐标里带参数时，先分清参数属于哪一类。一类是自由的，题目只说「存在」这样的向量，答案要写成参数的范围，讨论必须做完；另一类是被约束的，同一个参数在两条条件里都出现，两条方程必须给出同一个值，解通常唯一。看清属于哪一类，是这类题的第一步。 例1（多选·★★★☆☆） 已知平面向量，，则下列说法正确的有（ ） A. 向量，不可能垂直 B. 向量，不可能共线 C. 不可能为3 D. 若，则在上的投影向量为 【切入点】两个向量的坐标里都含参数 ，所以四项都要先化成关于 的方程或不等式，再看它有没有解。 【关键】逐项化算式。， 项问的是它能不能为零 —— 有解（即 ），所以可以垂直， 错误。 项问的是共线：，即 ，而 ，方程无解，所以不可能共线， 正确。 【关键】 项算模的平方：，它的取值范围是 ，而 ，所以模可以为 ， 错误。 项： 时 、，投影向量为 ， 正确。综上选 BD。 【易错】第一，判断「不可能」要证方程无解，不能只试几个特殊的 。第二， 项要先平方再看范围，直接对 放缩容易算错。第三， 项要按投影向量的公式算，别把「投影向量」与「投影长度」混了 —— 前者是向量，结果里必须带 。 【答案】BD 变式1-1（填空·★★★☆☆） 已知平面向量在向量上的投影向量为，则 = ______. 【切入点】题目没给 的坐标，只说了「 在 上的投影向量是 」—— 这句话里藏着 的方向。 【关键】投影向量一定与 共线，所以 与 同向，设 （）。把投影向量的公式写开：。 【关键】它与 相等，比较系数得 ，所以 ，，。注意到含 的部分整体约掉了 —— 投影向量与基准向量 的长短无关，这也解释了题目为什么不必给出 的坐标。 【易错】第一， 是设出来的，最后会被约掉；若中途把它当成已知量去解，会卡在「方程个数不够」上。第二，比较的是系数，所以只能拿 与它自身比，不能分别比两个坐标再取平均。第三， 意味着 的横坐标为零，代回原式验算一遍更放心。 【答案】 例2（单选·★★★★☆） 注意力机制是一种让模型在处理信息时，能够“有选择地聚焦”于最关键部分的技术，其核心是用数学中的向量来解决问题，设计三个关键向量：查询向量（表示我在寻找什么？）､键向量（表示我有什么可提供？）和值向量（表示我实际提供的内容是什么）。在计算注意力时，首先用与各个计算相似度，然后求权重，记，则注意力输出向量为。现有，，则注意力输出向量为（ ） A. B. C. D. 【切入点】题目给了一整套定义，但真正要算的只有两步：先求三个相似度与权重，再算三个数量积。 【关键】先算相似度：，，。三者之和为 ，所以 。 【关键】输出向量的三个分量分别是 与三个值向量的数量积：；同理 ，，选 A。 【易错】第一，权重是「先算相似度再除以总和」，不能拿相似度直接当权重。第二，三个分量是分别与三个不同的值向量作数量积，不是同一个向量算三遍。第三，四个选项只在小数点后一位上有差别，必须把分数算准 —— 保留 这类分数式核对比直接估小数可靠。 【答案】A 变式2-1（填空·★★★☆☆） 已知平面向量在方向上的投影向量模长为，则 = ___________． 【切入点】条件给的是「投影向量的模长」，先把模长的表达式写出来 —— 组合在 方向上的投影向量的模长是 。 【关键】设 、，则 。，而 。 【关键】于是投影向量的模长为 。由条件得 ，所以 。这里有个巧合值得留意： 恰好等于 ，所以投影向量的模长就是 本身，不必解 。 【易错】第一，投影向量的模长是正数，分子取绝对值后就不必讨论 的正负。第二，问的是 而不是 ； 有两个可能值，但模只有一个。第三，把 当成一个整体运算，直接开方式硬解 会多绕一步。 【答案】 例3（单选·★★★☆☆） 已知，，，，则下列结论错误的是（ ） A. 若是的重心，则 B. 若是的内心，则 C. 若是的垂心，则 D. 若是的外心，则 【切入点】三个顶点的坐标都给了，而选项问的是「 是某种心时 等于多少」—— 把每种心对应的 坐标算出来，再反解 、。 【关键】先写清楚 的坐标：、，所以 。重心为 ，代入解得 ，， 正确。 【关键】 项： 是水平方向，所以 边上的高所在直线是 ，垂心的横坐标必为 ，即 ，得 ， 项正确。 项：外心到三点等距，由 得 ，再由 得 ，所以外心为 ，代入解得 、，， 项正确。 项按角平分线方向设 检验，算出的比值是 ，与选项给的 不符，所以 项错误。综上选 B。 【易错】第一，题目问的是错误的那一个，三个对的都要验完才能选 B。第二，垂心不必硬算坐标 —— 这里 是水平边，用「高线垂直于 」一句话就定了横坐标。第三，、 是同一个点在同一个基底下的系数，每换一种心都要重新解一遍，不能拿上一个的结果套。 【答案】B 变式3-1（多选·★★★☆☆） 已知向量，则（ ） A. B. C. D. 【切入点】三个向量的坐标里都是三角函数，所以每一项都要先化成同一个角的关系式，最关键的换算是 。 【关键】 项：， 项正确。 项：先算 ，而 ， 项正确。 【关键】 项要说明「一般不相等」，举一个反例就够：取 、，则 、、，算得 ，，两者不等， 项错误。 项的破绽在于 不是定值：，它最小可以取到 。取 、，则 、、，， 项错误。综上选 AB。 【易错】第一， 项里 并不恒等于 —— 两个三角函数的下标一个是 一个是 ，不能合成同一个角的平方和；它与 相加以后才配成两组 ，这才是 项成立的原因。第二，判断「不恒成立」只要一个反例，但要挑最简单的反例，不要拿一堆根式硬算。第三， 项的关键一步是 ，看不出这一步就无法把 与 、 挂上钩。 【答案】AB 建系：把几何图形翻译成坐标 图形越绕，建系越划算。正八边形、弦图、带分点的三角形，直接看图容易漏掉垂直、平行与比例关系；把顶点写成坐标以后，这些关系全变成算式，不会看漏。建系的用处不在于算得快，而在于把没想到的关系逼出来。 轴选得对不对，后面的计算量差很多。三条现成的规矩：有对称轴就让它当坐标轴；有直角就把直角顶点放原点，两条直角边当坐标轴；题目的关键量是一个数量积时，可以把其中一个向量放到 轴上，让它的坐标只剩一个非零分量。选定以后先估一下，各点坐标里出现根号的次数越少越好。 图形里有动点或分点，坐标就写成带参数的形式，参数取那个比例。参数写进坐标以后，题目的条件变成关于参数的方程或不等式，解出来就是要求的比例值。求比值一类的问题都走这条路 —— 图上量出来的比例不准，坐标算出来的不会错。 算完做两件检查的事。一是数量级：数量积不会超过两个模的乘积，余弦也不会跳出 与 。二是方向：钝角对应的数量积是负的，算出正数就说明有坐标写反了。还有一处容易忽略 —— 写完坐标先回头对一遍，每个点的位置是不是与图上一致，尤其有落在负半轴上的点时，符号最容易抄错。 例4（单选·★★★★☆） 菱形的边长为，为的中点，为的中点，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】菱形给了边长与顶角，两个中点也在图上 —— 把 放原点，两条邻边当坐标轴方向，四个顶点的坐标一次写出。 【关键】取 、。由 得 ，于是 。中点 在 上：；中点 在 上：。 【关键】，，作数量积：，选 D。 【易错】第一， 的坐标是 加 ，而 ，所以 —— 这一步在 为原点时才成立。第二，、 是两个不同的中点， 在 上、 在 上，别搞混。第三，两个选项带根号（ 一类）是干扰项：本题的两个向量坐标都是「整数加根号」，相乘后根号项应当抵消为有理数。 【答案】D 变式4-1（多选·★★★☆☆） 我国传统文化中有许多具有对称美的形状，如图1为《周易》中的“八卦”，图2为园林建筑中的八角窗．它们均可抽象为正八边形，如图3，O为其中心．记，，且，则（ ） A. B. C. D. 在上的投影向量为 【切入点】正八边形的中心是对称中心，把 放原点、 放 轴，八个顶点的坐标就都成了 的形式。 【关键】取 、、（正八边形相邻顶点所张的圆心角为 ）。 项：，也对得上用定义算的结果 ， 正确。 【关键】 项： 是 再转 ，所以 ，。而 ，两者相等， 正确。 项： 在 转过 处，，。 在 上的投影向量为 ， 正确。 项： 意味着 与 重合，显然不对， 错误。综上选 ACD。 【易错】第一，正八边形相邻顶点的圆心角是 ，不是 ；把它当成正六边形会让所有坐标都错。第二， 要从 数五步才到（），数错步数坐标就偏一个角。第三， 项不必真算 的位置 —— ，而 与 方向不同，一眼就能否掉。 【答案】ACD 例5（填空·★★★★☆） 在中，是边的中点，是边上的点，且，则向量与向量的夹角的余弦值为___________. 【切入点】直角三角形给了两条直角边，把直角顶点放原点，两条直角边当坐标轴 —— 所有点坐标都是整数，夹角余弦一步到位。 【关键】取 、、。 是 的中点，所以 。由 得 是 上靠近 的三等分点：。 【关键】、。，，。所以余弦值为 。 【易错】第一， 说明 靠 近，对应的比例是 ；写成 会得到另一个点。第二，余弦为负说明夹角是钝角，这与图上「 往右下、 往右上」的直观一致，算出正数就说明坐标写反了。第三，分母是两个模的乘积 ，不要把根号留在分母里。 【答案】 变式5-1（单选·★★★☆☆） 我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，在“赵爽弦图”中，若，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】弦图是四个全等的直角三角形加一个小正方形，所以每一条边的长度都只由两个字母决定。设直角三角形的两条直角边为 、，把图中所有线段都用它们写出来，再由 定出比值。 【关键】记正方形边长为 ，、，则 且 。设 、，由 是直角三角形得 。四个三角形全等，对应的字母换位给出 、、；又 、、 在同一直线上，所以 。 【关键】由 得 ，代进 解得 、，即 、。最后把 用 、 表示：取 为原点、 为 轴、 为 轴，则 、、，解出 ，选 A。 【易错】第一，全等三角形的对应关系要看准： 里 与 里的 对应， 与 对应，配错了就会把 、 的位置互换。第二， 而不是 —— 是内正方形的顶点，它到 的距离是短的直角边。第三，四个选项的分母都是 ，这正是 与 联立后的分母，可以拿它当算对了的旁证。 【答案】A 例6（单选·★★★★☆） 如图所示，在中，，，，是的中点，点在上，且.则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】直角三角形的三条边都能算出来，而 、 都是 、 上的分点 —— 建系以后它们都变成简单的坐标。 【关键】取 、、。 是 的中点，所以 。由 得 ，所以 。 【关键】，。作数量积：，选 B。 【易错】第一， 与 的位置可以互换，但一旦定了 、，后面所有点都要按这个约定算，中途换过来会让符号全反。第二， 给出的是 ，所以 在从 到 的 处；看成 是本题最常见的错。第三，结果是负数，说明 与 的夹角是钝角，与图上两者的方向一致。 【答案】B 变式6-1（填空·★★★★☆） 已知中，点为边上一点，且，则 = __________（用与表示）；若点为内的一点，，满足，则 = __________． 【切入点】两问是接力关系：第一问把 用基底表示出来，第二问先在同一个坐标系里定出 的位置，再算数量积。 【关键】第一问用分点公式。 在 上且 ，所以 。 【关键】第二问取 、、 （满足 、）。由 ，条件化为 。而 （ 为 中点），所以 —— 在 的垂直平分线上。设 ，中点 ，由 得 。于是 。 【易错】第一， 的系数来自 ，写成 会把第一问的答案换成另一组系数。第二，第二问的结果与 的具体位置无关，只用到「 在垂直平分线上」这一条；若试图解出 、 的具体值会卡住。第三， 这一步要看清方向，写成 会让垂直平分线的方程变号。 【答案】； 向量在几何图形中的应用 形如 （ 为参数）的条件，先读出它的几何含义： 说明点 在过 、方向为 的那条直线上。于是问题变成「这条直线经过三角形的哪个心」—— 认出 的方向，答案就定了。 的三种典型写法各对应一个心。写成两条边上的单位向量之和，方向是角 的平分线，轨迹过内心；写成「边向量除以该边与其邻角正弦的乘积」，因为这两个乘积都等于顶点到对边的高，两个系数相等，方向就是中线，轨迹过重心；写成「边向量除以该边与其邻角余弦的乘积」，方向是高所在的方向，轨迹过垂心。三条放在一起记，比单记结论牢。 外心的条件还有一层用法。把 两边平方，公共项消掉以后会得到一个数量积等式；两条这样的等式联立，就能把 用两条边表示出来。已知外心求半径、求边长都用这个入口，比设圆心坐标再解方程省事。 这类题的四个选项往往就是四个心，不必真把轨迹求出来，只要看方向向量与哪个心的刻画式吻合即可。动手前先扫一眼选项，能省掉不少计算。反过来，选项里出现四个心，就说明条件里的方向向量一定能化简成熟悉的组合，化简时朝「单位向量」「中线」「高」这三个方向凑。另外，判断「是哪种心」只需验证它满足哪一条刻画式，不必把四个心都算一遍。 例7（单选·★★★★☆） 已知是平面上一定点，﹑﹑是平面上不共线的三个点，动点满足，，则点的轨迹一定通过的 A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心 【切入点】条件写成 的形式，说明 在过 、方向为 的直线上 —— 所以只要看出 的方向。 【关键】这里 。注意 与 是相等的：前者是 到 边上的高在直角三角形里的表达，后者同理，两者都等于 到 的距离。 【关键】既然两个分母相同， 的方向就是 的方向，也就是 边上的中线方向。于是 在过 的中线上，这条线一定经过三角形的重心，选 C。 【易错】第一，这类题的入口是把 改写成 ，直接盯原式看不出「过 的直线」。第二，判断两个分母相等不能靠眼看 —— 与 都等于 到 的距离，这一步要说得出来。第三，四个选项都是「心」，不必把轨迹方程求出来，认准方向即可。 【答案】C 变式7-1（填空·★★★★☆） 已知点是的外心，直线与线段交于点．若，则 = __________． 【切入点】 在 上且 、，所以 ；而 又在直线 上 —— 把 放到坐标轴上，「 在过 、 的直线上」就变成一个方程。 【关键】取 、，则 。设 ，由 得 ，即 。外心 在 的垂直平分线上，所以可设 。又 、、 三点共线，由 得 。 【关键】再由 ：，化简得 ，把 代入得 ，即 。代进共线式：，即 。与 联立：，得 ，（ 舍去）。于是 。 【易错】第一，三条直线的条件要各用一次：、 与 与 共线、 —— 少用一个就会剩两个未知数解不出来。第二，外心在 的垂直平分线上，所以横坐标固定为 ，这一步能把未知数从两个减到一个。第三， 这一步用到了 在原点，所以不必再单独算 到 的距离。 【答案】 例8（单选·★★★☆☆） 已知O是锐角所在平面内的一定点，动点P满足：，，则动点P的轨迹一定通过的（ ） A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心 【切入点】与上一题同型，但要先比较两个系数是否相等 —— 这一题的两个分母不相等，所以要换个角度：把系数化简成单位向量。 【关键】记 、。上一题已经用过 （都等于 到 的距离 ）。本题的两个系数分别是 与 ，把分母写成 与 。 【关键】于是 。括号里是两个边上的单位向量之和，它的方向就是角 的平分线方向。所以 在角 的平分线上，轨迹一定过内心，选 B。 【易错】第一，两个系数的分母看上去不对称，但都含 与 ，先把它们都写成 、 才好比较。第二，「单位向量之和指向角平分线」是本题的关键一步，记住它以后这类题只需要把系数朝单位向量凑。第三， 取正实数、不含零，所以轨迹是射线而不是整条直线，但「过哪一个心」的结论不受影响。 【答案】B 变式8-1（单选·★★★★☆） 在平面直角坐标系中，，，，点分别是的外心和垂心，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【切入点】、 都在 轴上且关于原点对称，所以外心一定在 轴上、垂心的横坐标与 相同 —— 两个「心」的坐标都可以直接写出来。 【关键】设 。外心 在 轴上，设 ，由 得 ，解得 。垂心 ： 是水平边，所以 处的高是竖直的， 的横坐标为 ；把 代进过 的高线方程 ，解得 。 【关键】 与 平行，而 是水平向量，所以 的纵坐标为零：，整理得 ，即 ，所以 。再看横坐标：，反解得 。由 知分子恒负、分母恒正，所以 ，选 A。 【易错】第一， 与 平行且 是水平向量，所以能得出「纵坐标为零」这个强条件，从而把 、 的关系定下来。第二，反解 时要注意 恒为正（因为 ），否则要分正负讨论。第三，本题没有求出 的具体位置，只用到「 存在」这个条件 —— 这类「求参数范围」的题常常如此，不要把注意力放在求点上。 【答案】A 例9（多选·★★★★☆） 已知点是所在平面内一点，点为的中点，，，且，则（ ） A. 是的外心 B. 是的重心 C. D. 【切入点】题目给的是三条「中点 / 分点」关系和一个向量等式，所有条件都以 为起点 —— 把 当原点，条件就变成几个位置向量之间的等式。 【关键】以 为原点，记 、、，则 （ 是 的中点）、（由 得 ）、（由 同理）。题目还给了 ，即 。 【关键】三段合起来正是 ，所以 是 的重心， 正确、 错误。再看面积：以 为公共顶点，，而 ，两者之比为 ， 正确。 项：，，一般情形下没有 倍关系， 错误。综上选 BC。 【易错】第一，三条分点关系都要化成以 为起点的形式，比如 应写成 ，直接当作 就错了。第二，判断重心用的是「三个位置向量之和为零」，不是「三条边等长」—— 后者是外心。第三，面积比可以用叉积（即平行四边形面积）来算，两个向量共起点时比值就等于它们叉积的比值，不必把每个三角形的底和高都求出来。 【答案】BC 变式9-1（单选·★★★☆☆） 为平面内一定点，该平面内一动点满足，则的（ ）一定属于集合. A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心 【切入点】 是一个由参数 决定的点集，先把它看成「过 的一条直线」，再看这条直线的方向。 【关键】把条件改写成 ，即 。所以 是过 、方向为 的射线。注意 与 都等于 到 的距离，两者相等。 【关键】既然两个分母相同， 的方向就是 的方向，也就是 边上的中线方向。中线必过重心，所以重心一定属于 ，选 A。（原卷这道题的题干里，分式的分子分母在排版时被压平了，本稿已按真分式还原。） 【易错】第一， 说明轨迹是射线，但「过哪一个心」只看直线方向，不必纠结射线的端点。第二，判断两个分母相等要靠「都等于 到 的高」这一几何事实，不能用数值验证。第三，如果两个分母是 这种带平方的形式（见上一道提高题），结论就变成内心 —— 两个分母的形式决定了是哪一个心，比较时不要只看分子。 【答案】A 学科网（北京）股份有限公司 $