第三章 一元一次不等式 单元小测 2026-2027学年浙教版数学八年级上册

浙教版八年级上册　第3章《一元一次不等式》单元小测 （含知识点梳理、单元测试卷、参考答案与解析） （满分120分　考试时间90分钟） 班级：__________　　姓名：__________　　学号：__________　　得分：__________ 第一部分　知识点梳理 知识点1　认识不等式 1．用不等号（>、<、≥、≤、≠）表示不等关系的式子叫做不等式。 2．常见关键词与不等号的对应： 文字表述 符号 文字表述 符号 大于、超过、多于 > 小于、不足、少于 < 不小于、至少、不低于 ≥ 不大于、至多、不超过 ≤ 3．使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解；一个不等式的所有解组成的集合叫做这个不等式的解集；求不等式解集的过程叫做解不等式。 4．在数轴上表示解集：“>”“<”用空心圆圈，“≥”“≤”用实心圆点；“大于”向右画，“小于”向左画。 知识点2　不等式的基本性质 性质 内容 符号语言 性质1 不等式两边都加上（或减去）同一个数或式子，不等号的方向不变 若a>b，则a±c>b±c 性质2 不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 若a>b，c>0，则ac>bc，> 性质3 不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 若a>b，c<0，则ac<bc，< 易错提醒：不等式两边同乘（或除以）一个负数时，不等号方向必须改变；当乘数含字母且符号不确定时，要分类讨论。另外，不等式还具有传递性：若a>b，b>c，则a>c。 知识点3　一元一次不等式及其解法 1．只含有一个未知数，且含未知数的式子是整式，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式。 2．解一元一次不等式的一般步骤：去分母→去括号→移项→合并同类项→两边都除以未知数的系数（化系数为1）。 例如：解不等式≥-1。 去分母（两边同乘6）：3(x-1)≥2x-6；去括号：3x-3≥2x-6；移项：3x-2x≥-6+3；合并：x≥-3。 易错提醒：①去分母时，不含分母的项也要乘最小公倍数；②分子是多项式时，去分母后要加括号；③系数化为1时，若系数为负数，不等号方向要改变。 知识点4　一元一次不等式组 1．由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组，叫做一元一次不等式组。不等式组中所有不等式解集的公共部分，叫做不等式组的解集。 2．解一元一次不等式组的步骤：先分别求出每个不等式的解集，再在数轴上找出它们的公共部分。 3．由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集有以下四种情况（设a<b）： 知识点5　一元一次不等式（组）的应用 列不等式（组）解应用题的一般步骤：审题→设未知数→找不等关系→列不等式（组）→解不等式（组）→检验并写出答案。实际问题中要注意未知数的实际意义（如整数、正数），常见题型有方案选择、利润问题、积分问题、分配问题等。 第二部分　单元测试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1．下列不等式中，属于一元一次不等式的是（　　） A．x2>1 B．<2 C．2x-1>3 D．x+y≤0 2．若a>b，则下列不等式中不正确的是（　　） A．a+2>b+2 B．a-3>b-3 C．-2a>-2b D．> 3．不等式2x-1≤3的解集在数轴上表示正确的是（　　） 4．不等式组的解集是（　　） A．x>-1 B．x≤2 C．-1<x≤2 D．无解 5．x=2是下列哪个不等式的解（　　） A．x+1<3 B．2x>4 C．3-x>0 D．x-2>0 6．不等式3x-6<0的正整数解有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 7．若关于x的不等式(m-1)x>m-1的解集为x<1，则m的取值范围是（　　） A．m>1 B．m<1 C．m≥1 D．m≠1 8．某商品的进价为200元，标价为300元，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则最多可以打（　　） A．6折 B．7折 C．8折 D．9折 9．若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（　　） A．a<1 B．a≤1 C．a>1 D．a≥1 10．某不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则这个不等式组的解集是（　　） A．-1<x≤3 B．-1≤x<3 C．x>-1 D．x≤3 二、填空题（每小题4分，共24分） 11．用不等式表示“x的2倍与3的差不小于5”：________________。 12．若a<b，则-+1________-+1（填“>”或“<”）。 13．不等式≤1的解集是________。 14．不等式组的整数解是________。 15．已知关于x的方程2x+m=4的解是负数，则m的取值范围是________。 16．某次知识竞赛共有20道题，答对一题得5分，答错或不答一题扣2分。小明要使得分超过60分，他至少要答对________道题。 三、解答题（共66分） 17．（6分）解不等式3(x-1)<2x+1，并把它的解集在数轴上表示出来。 18．（6分）解不等式-≥1，并把它的解集在数轴上表示出来。 19．（8分）解不等式组，把解集在数轴上表示出来，并写出它的所有整数解。 20．（8分）已知关于x、y的方程组的解满足x>0，y<0，求m的取值范围，并写出m的所有整数值。 21．（8分）某班同学去看演出，甲种票每张24元，乙种票每张18元。如果该班共买了35张票，且总费用不超过750元，那么最多可以买甲种票多少张？ 22．（10分）某学校计划购买A、B两种树苗共100棵，A种树苗每棵30元，B种树苗每棵20元。要求购买树苗的总费用不超过2600元，且A种树苗的数量不少于B种树苗数量的。 （1）最多可以购买A种树苗多少棵？ （2）A种树苗至少购买多少棵？ （3）哪种购买方案最省钱？最少费用是多少元？ 23．（10分）对于任意实数a、b，定义一种新运算：a⊕b=2a-b。例如：3⊕1=2×3-1=5。 （1）求3⊕(-2)的值； （2）若x⊕3<5，求x的取值范围； （3）若关于x的不等式x⊕a≥1的解集为x≥2，求a的值。 24．（10分）已知关于x的不等式组。 （1）当a=-2时，求不等式组的解集； （2）若不等式组有解，求a的取值范围； （3）若不等式组恰好有两个整数解，求a的取值范围。 第三部分　参考答案与解析 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C B C C A B B B A 1．【答案】C 【解析】A中未知数的次数是2；B中分母含未知数，不是整式；D中含有两个未知数；只有C符合一元一次不等式的定义。故选C。 2．【答案】C 【解析】由不等式的性质3，a>b两边同乘-2，不等号方向改变，应为-2a<-2b，所以C不正确。故选C。 3．【答案】B 【解析】解2x-1≤3得2x≤4，x≤2。表示时在2处画实心圆点，向左画。故选B。 4．【答案】C 【解析】由x+1>0得x>-1；由x-2≤0得x≤2。公共部分为-1<x≤2。故选C。 5．【答案】C 【解析】把x=2分别代入：A：3<3不成立；B：4>4不成立；C：3-2=1>0成立；D：0>0不成立。故选C。 6．【答案】A 【解析】解3x-6<0得x<2，正整数解只有x=1，共1个。故选A。 7．【答案】B 【解析】不等式两边同除以(m-1)后不等号方向改变，说明m-1<0，即m<1。故选B。 8．【答案】B 【解析】设打x折，则售价为300×元。根据题意得300×-200≥200×5%，即30x-200≥10，解得x≥7。所以最多打7折。故选B。 9．【答案】B 【解析】由2x+1>3得x>1。不等式组无解，说明x>1与x≤a没有公共部分，所以a≤1（当a=1时，x>1与x≤1无公共部分，也无解）。故选B。 10．【答案】A 【解析】数轴上-1处为空心圆圈，3处为实心圆点，公共部分在两者之间，所以解集为-1<x≤3。故选A。 二、填空题 11．【答案】2x-3≥5 【解析】“x的2倍与3的差”为2x-3，“不小于”即“≥”。 12．【答案】> 【解析】由a<b，两边同乘-，得->-，两边再加1，得-+1>-+1。 13．【答案】x≤3 【解析】两边同乘2，得x-1≤2，所以x≤3。 14．【答案】x=2 【解析】由x-1>0得x>1，由2x<6得x<3，解集为1<x<3，整数解为x=2。 15．【答案】m>4 【解析】解方程得x=。由<0，得4-m<0，所以m>4。 16．【答案】15 【解析】设答对x道，则答错或不答(20-x)道。根据题意得5x-2(20-x)>60，即7x>100，x>≈14.3。x为整数，所以至少答对15道题。 三、解答题 17．【答案】x<4 【解析】去括号，得3x-3<2x+1； 移项，得3x-2x<1+3； 合并同类项，得x<4。 在数轴上表示如下（4处画空心圆圈，向左画）： 18．【答案】x≥11 【解析】去分母（两边同乘6），得2(2x-1)-3(x+1)≥6； 去括号，得4x-2-3x-3≥6； 移项、合并同类项，得x≥11。 在数轴上表示如下（11处画实心圆点，向右画）： 19．【答案】-2≤x<2；整数解为-2，-1，0，1 【解析】解不等式①：2x+3≥x+1，得x≥-2； 解不等式②：两边同乘3，得x+1>3(x-1)，即x+1>3x-3，-2x>-4，x<2。 所以不等式组的解集为-2≤x<2，在数轴上表示如下： 所以不等式组的整数解为-2，-1，0，1。 20．【答案】-2<m<1；整数值为-1，0 【解析】两个方程相加，得2x=2m+4，x=m+2；两个方程相减，得2y=2m-2，y=m-1。 由x>0，得m+2>0，m>-2；由y<0，得m-1<0，m<1。 所以m的取值范围是-2<m<1，m的整数值为-1，0。 21．【答案】最多买甲种票20张 【解析】设买甲种票x张，则买乙种票(35-x)张。 根据题意，得24x+18(35-x)≤750， 即24x+630-18x≤750，6x≤120，x≤20。 答：最多可以买甲种票20张。 22．【答案】（1）60棵；（2）34棵；（3）购买A种34棵、B种66棵最省钱，最少费用为2340元 【解析】设购买A种树苗x棵，则购买B种树苗(100-x)棵。 （1）由30x+20(100-x)≤2600，得10x≤600，x≤60。所以最多购买A种树苗60棵。 （2）由x≥(100-x)，得2x≥100-x，3x≥100，x≥≈33.3。x为整数，所以A种树苗至少购买34棵。 （3）总费用为30x+20(100-x)=10x+2000（元），x越小费用越少。在34≤x≤60中，当x=34时费用最少，为10×34+2000=2340（元）。 此时购买A种树苗34棵，B种树苗66棵。 23．【答案】（1）8；（2）x<4；（3）a=3 【解析】（1）3⊕(-2)=2×3-(-2)=6+2=8。 （2）x⊕3=2x-3，由2x-3<5，得2x<8，x<4。 （3）x⊕a=2x-a，由2x-a≥1，得x≥。 由题意=2，解得a=3。 24．【答案】（1）-2<x<2；（2）a<2；（3）-1≤a<0 【解析】解不等式①得x>a；解不等式②：-2x>-4，得x<2。 （1）当a=-2时，解集为-2<x<2。 （2）不等式组有解，则x>a与x<2有公共部分，所以a<2。 （3）不等式组的解集为a<x<2，要恰好有两个整数解，这两个整数只能是1和0（如图）。 所以-1≤a<0。 （检验：当a=-1时，解集为-1<x<2，整数解为0，1，符合；当a=0时，解集为0<x<2，整数解只有1，不符合。） 【附】易错题专练（选做） 1．解不等式->1。 2．若关于x的不等式ax>2的解集为x<，则a的取值范围是________。 3．已知关于x的不等式x-m≤0的正整数解恰好是1，2，3，求m的取值范围。 易错题专练答案： 1．去分母得3x-2(x-1)>6，注意分子x-1要加括号，去括号得3x-2x+2>6，所以x>4。常见错误：写成3x-2x-1>6，得出x>7。 2．a<0。不等号方向改变，说明两边除以了负数，因此a<0。 3．由x-m≤0得x≤m。正整数解恰好是1，2，3，说明3≤m且m<4，即3≤m<4。常见错误：漏掉m=3这一端点，或把m=4也包含进去（m=4时正整数解还有4）。 【评分与复习建议】 1．解不等式时最容易出错的是：两边乘除负数不变号、去分母漏乘、去括号时符号错误。解完后可以取一个解集内的数代入检验。 2．含参数的不等式（组）问题，要借助数轴分析端点能否取到，特别注意“=”是否成立。 3．应用题要抓住“不超过、不少于、至少、至多”等关键词，并结合实际意义（整数解）确定最终答案。 4．方案类问题可先求出未知数的范围，再列出所有方案或借助费用表达式的增减性选择最优方案。 浙教版八上 第3章 一元一次不等式 单元小测　　第 页 学科网（北京）股份有限公司 $